ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐINH NGUYỄN DUY HẢI

BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH
KHUẾCH TÁN VỚI ĐẠO HÀM RIESZ-FELLER

Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số ngành: 62460102

Phản
Phản
Phản
Phản
Phản

biện
biện
biện
biện
biện

1:
2:
3:
độc lập 1:
độc lập 2:

PGS.TS. Phạm Hoàng Quân
PGS.TS. Mai Đức Thành

PGS.TS. Trần Vũ Khanh
TS. Mai Viết Thuận
TS. Bùi Thanh Duy

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đặng Đức Trọng

Tp. Hồ Chí Minh – Năm 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng
bố trước đó.
Nghiên cứu sinh

Đinh Nguyễn Duy Hải

i


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn của tôi,
GS.TS. Đặng Đức Trọng. Thầy đã tận tâm hướng dẫn và chỉ dạy tơi trong suốt q
trình tơi thực hiện luận án. Đây là động lực to lớn để tơi hồn thành được luận án
này.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn. Thầy đã
đưa ra những gợi ý quý báu khi tôi bước đầu tiếp cận đến bài tốn trong luận án.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến các Thầy trong Khoa Tốn - Tin học của Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng
dạy cho tơi trong suốt q trình học tập. Tôi xin được cảm ơn đến Ban Giám Hiệu,
các Thầy, Cơ thuộc phịng Đào tạo sau đại học, Bộ mơn Giải tích, Ban chủ nhiệm

Khoa Tốn - Tin học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia
Tp. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để cho tơi hồn thành được chương
trình nghiên cứu sinh.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy trong Hội đồng chấm luận án đã dành thời
gian quý báu của mình đến tham dự hội đồng chấm luận án và cả những góp ý sâu
sắc để cho luận án của tơi được hồn chỉnh.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lời cảm ơn thân thương nhất đến gia đình của tôi. Họ
đã luôn động viên, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và nghiên
cứu.

ii


Mục lục
Danh mục các ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

1.2


1.3

Giải tích thực và phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Tích chập trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Giá của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


1.1.5

Hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.6

Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.7

Laplacian bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.8

Đạo hàm Riesz-Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.9

Không gian H k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12


1.1.10 Một vài bất đẳng thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3

Hàm số Lipschitz toàn cục và Lipschitz địa phương . . . . . .

14

1.2.4

Định lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


14

Bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Bài tốn khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2

Sơ đồ chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.3

Đánh giá sai số tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

iii


2 Chỉnh hóa Bài tốn 1

19


2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Tính duy nhất và tính khơng chỉnh của Bài tốn 1 . . . . . . . . . . .

21

2.3

Điều kiện ổn định và chặn sai số tối ưu cho Bài toán 1 . . . . . . . .

22

2.4

Phương pháp chặt cụt Fourier và ước lượng sai số tối ưu . . . . . . .

25

2.4.1

Quy tắc chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm . . . . . . . . . .

28


2.4.2

Quy tắc chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm . . . . . . . . . .

36

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.5.1

Tính toán số của biến đổi Fourier liên tục . . . . . . . . . . .

44

2.5.2

Sơ đồ mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5.3

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


47

2.5

2.6

3 Chỉnh hóa Bài tốn 2

48

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2

Chỉnh hóa Bài tốn 2 bằng phương pháp phổ . . . . . . . . . . . . . .

51

3.2.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2.2


Những ước lượng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.3

4 Chỉnh hóa Bài tốn 3

67

4.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.2

Chỉnh hóa Bài toán 3 bằng phương pháp từng bước . . . . . . . . . .

68

4.2.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


68

4.2.2

Những ước lượng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.2.3

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3

Kết luận

84

Danh mục cơng trình khoa học của tác giả

85

Tài liệu tham khảo


86

iv


Danh mục các ký hiệu
N

Tập hợp các số tự nhiên

R

Tập hợp các số thực

C

Tập hợp các số phức

Re(z)

Phần thực của số phức z

Im(z)

Phần ảo của số phức z

supp(f )

Giá của hàm f , supp (f ) = {x : f (x) = 0}


f

Biến đổi Fourier của hàm f , f (ω) =

√1
2π

f (x) eiωx dx
R

f ∗g

Tích chập của các hàm f và g , (f ∗ g)(x) =

f (x − u)g(u) du
R

χA

Hàm đặc trưng của tập A, χA (x) = 1 nếu x ∈ A và χA (x) = 0 nếu x ∈
/A

α
x Dθ f (x)

Đạo hàm Riesz-Feller theo biến x bậc không nguyên α (0 < α ≤ 2) và độ
lệch θ (|θ| ≤ min{α, 2 − α}) của hàm f (x)

(−∆)γ f (x) Laplacian bậc không nguyên γ (0 < γ ≤ 1) của hàm f (x)

·

C[a,b]

Chuẩn trong không gian những hàm liên tục trên [a, b] được định nghĩa
bởi ς

C[a,b]

= supt∈[a,b] |ς(t)|

C([a, b]; H) Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên không gian

Hilbert H
C 1 ([a, b]; H) Tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên không

gian Hilbert H

1


Mở đầu
Đạo hàm bậc không nguyên được giới thiệu đầu tiên vào năm 1695 bởi hai nhà
toán học L’Hopital và Leibniz [28]. Đạo hàm này có những ứng dụng rộng rãi trong
các lĩnh vực như vật lý, sinh học, cơ khí, xử lý tín hiệu, nhận dạng hệ thống, tài
chính, . . . nên nó ngày càng thu hút sự quan tâm từ các nhà nghiên cứu. Chúng ta
có thể tham khảo trong các tài liệu [8, 34, 44] và nhiều tài liệu khác nói về những
ứng dụng của đạo hàm bậc không nguyên.
Đạo hàm bậc nguyên và bậc không ngun đều là những tốn tử tuyến tính.
Trong khi đạo hàm bậc nguyên là những toán tử địa phương nhằm mô tả sự biến

thiên tức thời của hàm số tại một điểm, thì đạo hàm bậc khơng ngun lại là những
tốn tử khơng địa phương, nghĩa là tại một điểm được cho đạo hàm bậc không nguyên
của một hàm phụ thuộc vào những đặc tính của hàm trên tồn bộ miền [36]. Vì lý
do này, khi mơ hình hóa các hiện tượng vật lý, những đạo hàm bậc khơng ngun
có thể cung cấp kết quả chính xác hơn các đạo hàm bậc nguyên [10]. Hơn thế nữa,
những đạo hàm bậc khơng ngun có khả năng mơ tả được các hiện tượng mà đạo
hàm bậc nguyên không thể mô tả được, chẳng hạn như sự vận chuyển chất dẫn trong
đất, dòng chảy của dầu trong môi trường xốp (chất lỏng, không khí đi qua được)
và dịng nước ngầm [38]. Để tìm hiểu rõ hơn về lịch sử phát triển của đạo hàm bậc
khơng ngun chúng ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [25, 26].
Như chúng ta biết, quá trình khuếch tán thơng thường (the normal diffusion)
được mơ tả bởi phương trình khuếch tán cổ điển
∂u(x, t)
∂J(x, t)
=−
+ Θ(x, t, u(x, t)),
∂t
∂x

(1)

trong đó u(x, t) là nồng độ của chất tại vị trí x với thời gian t, J là thơng lượng
khuếch tán cịn Θ(x, t, u(x, t)) là nguồn ổn định. Trong vật lý nhiệt và cơ học chất
lỏng thì thơng lượng khuếch tán J tn theo định luật Fick (hoặc định luật Fourier)
[7]:
∂u(x, t)
(2)
∂x
với µ > 0 là hệ số khuếch tán. Tuy nhiên, có nhiều quá trình khuếch tán dị thường
J = −µ ·


(the anomalous diffusion) xuất hiện trong khoa học tự nhiên như các hệ thống động
lực phức tạp không thỏa định luật Fick (2) mà lại thỏa luật đạo hàm cấp không
nguyên Fick (the fractional Fick’s law) [17].

2


Trong luận án này, chúng tơi khảo sát mơ hình (1) với thông lượng J tuân theo
luật đạo hàm cấp không nguyên Fick. Đạo hàm cấp không nguyên chúng tôi xét
đến là đạo hàm Riesz-Feller, ký hiệu x Dθα . Đây là đạo hàm theo biến x của bậc
α (0 < α ≤ 2) và độ lệch θ(|θ| ≤ min{α, 2 − α}, θ = ±1) được định nghĩa qua biến đổi

Fourier [23]
α
x Dθ f (ω)

= −ψαθ (ω)f (ω),

(3)

với
ψαθ (ω) = |ω|α [cos(θπ/2) + isign(ω) sin(θπ/2)] .

(4)

Sở dĩ ta gọi toán tử được định nghĩa bởi (3)-(4) là đạo hàm Riesz-Feller là do nó
được giới thiệu từ hai nhà tốn học Marcel Riesz và William Feller [9, 32].
Phương trình khuếch tán với đạo hàm Riesz-Feller có nguồn gốc từ bước thời
gian liên tục ngẫu nhiên (the continuous-time random walk) trong cơ học thống kê

và nó có những ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết của sự phân bố xác suất, nhiệt
đàn hồi [29], sinh thái học [11], vật lý plasma [2] và trong tài chính [34].
Khi xét bài tốn liên quan đến đạo hàm bậc không nguyên theo biến không
gian, phần lớn những bài báo tập trung vào bài toán thuận thời gian (xem trong
[22, 30, 47]). Trong thực tế, một phần của dữ liệu biên hoặc dữ liệu ban đầu hoặc
những hệ số khuếch tán hoặc hàm nguồn không được biết và ta phải xác định lại
chúng từ các dữ liệu đo bổ sung. Đây là bài toán ngược thời gian và là chủ đề nghiên
cứu trong luận án này.
Từ (3) và (4), ta nhận thấy
α
x D0 f (ω)

= −|ω|α f (ω), α ∈ (0, 2].

Mặt khác, biến đổi Fourier của Laplacian bậc không nguyên được xác định qua công
thức [13, 21]
(−∆)γ f (ω) = |ω|2γ f (ω),

γ ∈ (0, 1].

Vì vậy, theo biến đổi Fourier ta có thể xem Laplacian bậc không nguyên là trường
hợp đối xứng (độ lệch θ = 0) của đạo hàm Riesz-Feller [50, 51]. Trong luận án, chúng
tôi sẽ xét trường hợp đối xứng này trong Bài toán 1.

3


Bài toán 1. Cho T > 0. Giả sử ta có u ∈ C 1 ([0, T ]; L2 (R)) ∩ C([0, T ]; H 1 (R)) và
S ∈ L2 (R) thỏa hệ



u (x, t) = µx D0α u(x, t) + Φ(t)S(x),


 t
u(x, 0) = 0, x ∈ R,




u(x, T ) = uT (x), x ∈ R,

(x, t) ∈ R × (0, T ),

trong đó 0 < α ≤ 2, hàm Φ(t) cho trước và hệ số khuếch tán µ > 0 là một hằng số đã
biết. Hãy tìm hàm xấp xỉ cho S(x) khi có (uT , Φ ) ∈ L2 (R), C[0, T ] thỏa
uT − uT

L2 (R)

≤

và

Φ −Φ

C[0,T ]

≤ ,


với ∈ (0, 1).
Bởi vì Bài tốn 1 khơng chỉnh nên một phương pháp chỉnh hóa cho bài tốn là cần
thiết. Chúng tơi quan tâm đến sự tối ưu của phương pháp chỉnh hóa trong trường hợp
đánh giá sai số xấu nhất. Vấn đề này cũng được nghiên cứu trong những bài báo gần
đây, chẳng hạn như [45, 46, 48, 49]. Dựa vào kết quả trong bài báo của Tautenhahn
[39], các tác giả có được bậc chỉnh hóa tối ưu (the order optimal regularization).
Chỉnh hóa tối ưu tiệm cận (the asymptotically optimal regularization) vẫn chưa
được nghiên cứu trong những bài báo được liệt kê này.
Trong bài báo của Tautenhaln [39], những kết quả tối ưu được xét cho một họ
của tốn tử chỉnh hóa tổng qt. Câu hỏi đặt ra: các kết quả tối ưu này còn đúng
khi ta xét cho một họ của tốn tử chỉnh hóa cố định? Vấn đề này sẽ được chúng
tơi trình bày rõ trong Bài tốn 1. Chính xác, chúng tơi sẽ tìm sự tối ưu cho một họ
phương pháp chỉnh hóa được cố định. Tình huống này xảy ra khi ta thiết lập một
phương pháp chỉnh hóa cụ thể mà chưa biết các tham số. Những kết quả tối ưu có
được không thể suy ra trực tiếp từ kết quả bài báo [39] và cho đến thời điểm hiện tại
chúng tôi khơng tìm thấy những bài báo khảo sát sự tối ưu theo quan điểm của câu
hỏi đặt ra. Trong nhiều ứng dụng, chỉnh hóa chặt cụt Fourier là một phương pháp
dễ tính tốn. Vì vậy, chúng tơi sẽ trình bày các kết quả tối ưu của họ phương pháp
chỉnh hóa chặt cụt Fourier cho cả quy tắc chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm và
hậu nghiệm. Các kết quả có được của Bài tốn 1 được chúng tơi cơng bố trong bài
báo [P2].
Nội dung tiếp theo của luận án là xét bài tốn ngược cho phương trình khuếch
tán Riesz-Feller phi tuyến được thể hiện qua Bài toán 2 và Bài toán 3.

4


Bài tốn 2. Giả sử ta có u ∈ C([0, T ]; H p (R)) thỏa hệ



u (x, t) = x Dθα u(x, t) + Θ(x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ R × (0, T ),


 t
u(x, t)|x→±∞ = 0, t ∈ (0, T ),




u(x, T ) = uT (x), x ∈ R.
Với điều kiện
p

(1 + ω 2 ) 2 exp(ψαθ (ω)t)u(ω, t)

2

dω < ∞, trong đó p > 0 và t ∈ [0, T ],

R

hãy tìm hàm xấp xỉ cho u(x, t), t ∈ [0, T ) khi có uT (x) ∈ H p (R) thỏa
uT − uT

H p (R)

≤ , ∈ (0, 1).

Khi α = 2, đạo hàm Riesz-Feller x Dθα u trở thành uxx (xem trong tiểu mục 1.1.8),
vì vậy ta được bài tốn nhiệt ngược cổ điển. Nhiều phương pháp đã được nghiên

cứu và áp dụng cho bài toán này, chẳng hạn như phương pháp chỉnh hóa Fourier
[42], phương pháp làm nhuyễn [16], phương pháp Quasi-reversibility [6], phương pháp
phương trình tích phân [43], . . . .
Bài toán 2 trong trường hợp hàm nguồn Θ ≡ 0 là tuyến tính thuần nhất và được
nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu gần đây, ta có thể liệt kê một vài bài báo
như [5, 37, 48, 49, 52]. Mặc dù có nhiều nghiên cứu về trường hợp tuyến tính, bài
tốn trong trường hợp phi tuyến vẫn chưa được nghiên cứu nhiều và đầy đủ. Trong
luận án, chúng tơi sẽ xét Bài tốn 2 với hàm nguồn Θ là Lipschitz địa phương. Vì
Bài tốn 2 là khơng chỉnh nên chúng tôi đề xuất phương pháp phổ để chỉnh hóa cho
bài tốn. Các ước lượng hội tụ trong khơng gian H p (R) được trình bày dưới điều
kiện trơn của u
p

(1 + ω 2 ) 2 exp(ψαθ (ω)t)u(ω, t)

2

dω < ∞, trong đó p > 0 và t ∈ [0, T ].

R

Nhiều ví dụ được đưa ra để thấy rằng điều kiện này là tự nhiên. Những kết quả có
được cho Bài tốn 2 đã cải thiện kết quả của bài báo [14] trước đó và được chúng tôi
công bố trong bài báo [P1].

5


Bài tốn 3. Giả sử ta có u ∈ C([0, T ]; L2 (R)) thỏa hệ



u (x, t) = x Dθα u(x, t) + Θ(x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ R × (0, T ),


 t
u(x, t)|x→±∞ = 0, t ∈ (0, T ),




u(x, T ) = uT (x), x ∈ R.
Tìm hàm xấp xỉ cho u(x, t), t ∈ [0, T ) khi có uT (x) ∈ L2 (R) thỏa
uT − uT

L2 (R)

≤ , ∈ (0, 1).

Trong hầu hết những bài tốn ngược phi tuyến, để có ước lượng hội tụ ta thường giả
thiết một số điều kiện trơn mạnh cho nghiệm chính xác. Chẳng hạn, trong bài báo
[42], các tác giả xét bài toán nhiệt ngược cổ điển ut = uxx + Θ(u). Để có ước lượng
hội tụ cho nghiệm chỉnh hóa, họ đã sử dụng điều kiện




exp(2ω 2 (t + q))|u(ω, t)|2 dω  < ∞,

sup 


0≤t≤T

R

trong đó q > 0. Trong bài báo [14], các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt
để giải bài tốn ngược cho phương trình khuếch tán Riesz-Feller với hàm nguồn là
Lipschitz toàn cục. Những ước lượng hội tụ được trình bày dưới điều kiện
(|ω|α cos(θπ/2))a exp(2|ω|α cos(θπ/2)t) |u(ω, t)|2 dω < ∞, ∀t ∈ [0, T ] và a > 0. (5)
R

Tiếp theo đó, trong bài báo [41], các tác giả đã chỉnh hóa cho bài tốn bằng cách sử
dụng một nghiệm chỉnh hóa có điều chỉnh dưới hai điều kiện
exp(2|ω|α cos(θπ/2)t) |u(ω, t)|2 dω < ∞, ∀t ∈ [0, T ]

(6)

R

và

T

exp(|ω|α cos(θπ/2)s)|Θ(ω, s, u)|2 ds dω < ∞.
R

(7)

0

Tìm cách giảm điều kiện cho bài tốn là chủ đề cần quan tâm. Trong một phần của

bài báo [41], những tác giả đã đưa ra một nghiệm chỉnh hóa mới cho bài tốn. Thay
vì sử dụng hai điều kiện mạnh như (6) và (7), họ sử dụng một điều kiện đơn giản
hơn
K ∈ (0, 1/T ),
6

(8)


trong đó K là hằng số Lipschitz của hàm nguồn. Trong luận án, chúng tôi đề xuất
một phương pháp chỉnh hóa mới để làm giảm điều kiện (8). Cụ thể, chúng tôi sẽ sử
dụng phương pháp từng bước để chỉnh hóa cho Bài tốn 3. Các kết quả có được cho
bài tốn này được chúng tơi cơng bố trong bài báo [P3].
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày
trong bốn chương.
Chương 1: Chúng tơi trình bày một số kiến thức làm nền tảng cho việc nghiên cứu
các nội dung chính của luận án được trình bày ở Chương 2, Chương 3 và Chương 4.
Chương 2: Chỉnh hóa Bài tốn 1.
Chương 3: Chỉnh hóa Bài tốn 2.
Chương 4: Chỉnh hóa Bài tốn 3.

7


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giải tích thực và phức


1.1.1

Khơng gian Lp

Định nghĩa 1.1.1 Cho (Ω, M, µ) là một khơng gian đo và cho p ∈ R với 1 ≤ p < ∞.
Nếu f : Ω → C là một hàm đo được thì ta đặt

f

Lp

 p1

|f |p dµ ,

=
Ω

f

∞

= inf M > 0 : |f (x)| ≤ M với hầu hết x ∈ Ω .

Ta định nghĩa
Lp (Ω, µ) = {f : Ω → C đo được : f

Lp


< ∞} ,

L∞ (Ω, µ) = {f : Ω → C đo được : f

∞

< ∞} .

Trong trường hợp Ω ⊂ Rk và µ là độ đo Lebesgue trên Ω, để đơn giản ta dùng ký
hiệu Lp (Ω) thay cho Lp (Ω, µ), với 1 ≤ p ≤ ∞.
Định lý 1.1.2 (Xem [31], trang 66) Cho (Ω, M, µ) là một khơng gian đo.
(a) Nếu f ∈ Lp (Ω, µ), g ∈ Lq (Ω, µ) với p ≥ 1, q ≥ 1 và
Hơn nữa, ta có bất đẳng thức f g

L1

≤ f

Lp

g

1
p

+

Lq ,

1

q

= 1, thì f g ∈ L1 (Ω, µ).

được gi l bt ng thc

Hoălder. Bt ng thc Hoălder vi p = q = 2 còn được gọi là bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz.
(b) Nếu f, g ∈ Lp (Ω, µ) với p ≥ 1, thì f + g ∈ Lp (Ω, µ). Hơn nữa, ta có bất đẳng thức
f +g

Lp

≤ f

Lp

+ g

Lp ,

được gọi là bất đẳng thức Minkowski.

Định lý 1.1.3 (Xem [31], trang 67) Cho (Ω, M, µ) là một khơng gian đo. Khi đó,
(Lp (Ω, µ), ·

Lp ),

1 ≤ p ≤ ∞, là không gian Banach.
8



1.1.2

Tích chập trên R

Định lý 1.1.4 (Định lý Young) (Xem [3], trang 104). Cho f ∈ L1 (R) và g ∈
Lp (R), với 1 ≤ p ≤ ∞. Với hầu hết x ∈ R, hàm u → f (x − u) g (u) khả tích Lebesgue

trên R, và khi đó ta định nghĩa
(f ∗ g)(x) =

f (x − u)g(u) du.
R

Hơn nữa, f ∗ g ∈ Lp (R) và f ∗ g

Lp

≤ f

L1

g

Lp .

Ta gọi hàm f ∗ g là tích chập

(convolution) của f và g .

1.1.3

Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm f ∈ L1 (R). Hàm f : R → C, xác định bởi
1
f (ω) = √
2π

f (x)e−iωx dx, ω ∈ R
R

được gọi là biến đổi Fourier của hàm f .
Mệnh đề 1.1.6 (Xem [24], trang 179) Giả sử f, g ∈ L1 (R). Khi đó, ta có
(a) af + bg = af + bg với mọi a, b ∈ C.
(b) supω∈R |f (ω)| ≤

√1
2π

f

L1 .

(c) f liên tục đều trên R và |f (ω)| → 0 khi |ω| → ∞.
(d) f ∗ g = f g .
(e) nếu f (1) , . . . , f (m) ∈ L1 (R) thì f (m) (ω) = (−iω)m f (ω) với mọi ω ∈ R.
Định lý 1.1.7 Nếu f ∈ L1 (R) và f ∈ L1 (R) thì, với hầu hết x ∈ R, ta có
1
f (x) = √

2π

f (ω) eiωx dω.
R

Đẳng thức này cịn được gọi là cơng thức biến đổi Fourier ngược.
Định lý 1.1.8 (Parseval-Plancherel - Xem [24], trang 185-186) Giả sử f ∈ L2 (R).
Khi đó, ta có
f

L2

= f

9

L2 .


1.1.4

Giá của hàm số

Định nghĩa 1.1.9 Cho hàm số f : R → R. Bao đóng trong R của tập hợp {x ∈ R :
f (x) = 0} được gọi là giá (support) của hàm f , ký hiệu supp (f ). Hàm f được gọi là

có giá com-pắc nếu supp (f ) là một tập com-pắc trong R.
1.1.5

Hàm giải tích


Định nghĩa 1.1.10 Cho D là một miền trong C (tức là D là một tập mở và liên
thông trong C) và f là một hàm phức xác định trên D. Ta nói hàm f khả vi tại
z0 ∈ D nếu giới hạn limz→z0 [f (z) − f (z0 )]/(z − z0 ) tồn tại. Nếu f khả vi tại mọi điểm

của D thì ta nói f giải tích trên D. Trong trường hợp f giải tích trên C, ta cịn nói
f là một hàm ngun (entire function).

Định lý 1.1.11 (Xem [15], trang 16, Định lý 1.12). Cho f là một hàm giải tích,
khơng đồng nhất khơng trên miền D. Khi đó, nếu z0 ∈ D là một khơng điểm của f
thì z0 là một điểm cơ lập của f , nghĩa là tồn tại r > 0 sao cho f (z) = 0 với mọi
z ∈ B(z0 , r)\ {z0 }.
1.1.6

Hàm Gamma

Định nghĩa 1.1.12 (xem [18], trang 24) Cho z ∈ C có Re(z) > 0. Hàm gamma Γ(z)
được định nghĩa bởi

∞

tz−1 exp(−t) dt.

Γ(z) =
0

Tích phân trên hội tụ cho tất cả z có Re(z) > 0.
1.1.7

Laplacian bậc khơng nguyên


Định nghĩa 1.1.13 (xem [13, 21]) Cho f (x) là hàm biến thực, Laplacian bậc không
nguyên γ (0 < γ ≤ 1) của hàm f (x), ký hiệu (−∆)γ f (x), được định nghĩa bởi
(−∆)γ f (ω) = |ω|2γ f (ω).
1.1.8

Đạo hàm Riesz-Feller

Định nghĩa 1.1.14 (xem [23]) Cho f (x) là hàm biến thực, đạo hàm Riesz-Feller
theo biến x bậc không nguyên α (0 < α ≤ 2) và độ lệch θ (|θ| ≤ min{α, 2 − α}) của
hàm f (x), ký hiệu x Dθα f (x), được định nghĩa bởi
α
x Dθ f (ω)

= −ψαθ (ω)f (ω),
10


trong đó
ψαθ (ω) = |ω|α [cos(θπ/2) + isign(ω) sin(θπ/2)] .

Để ý rằng miền của những tham số α và θ tạo thành kim cương Feller-Takayasu
(the Feller-Takayasu diamond ) trong mặt phẳng {α, θ} với các đỉnh
O(0, 0), A(1, −1), B(2, 0), C(1, 1),

xem hình 1.1.
Hình 1.1: Kim cương Feller-Takayasu.

Khi θ = 0, nghĩa là ψα0 (ω) = |ω|α , ta có một tốn tử đối xứng đối với x
α

x D0

d2
=− − 2
dx

α/2

.

Khi θ = 0 và α = 2, nghĩa là ψ20 (ω) = |ω|2 , ta có một đạo hàm cấp 2 theo biến x
2
x D0

d2
.
dx2

=

Khi 0 < α < 2 và |θ| ≤ min{α, 2 − α}, đạo hàm Riesz-Feller được biểu diễn dưới
dạng tích phân trong miền xác định của x
∞
α
x Dθ f (x)

Γ(1 + α)
=
π


f (x + s) − f (x)
ds
s1+α

(α + θ)π
sin
2
0
∞

+ sin

(α − θ)π
2

f (x − s) − f (x)
ds ,
s1+α
0

ở đây Γ là hàm Gamma.
Khi α = 1, ta có cơng thức
1
x Dθ f (x)

= cos(θπ/2)x D01 + sin(θπ/2)x D f (x).
11


Vì vậy, trong trường hợp α = 1 và θ = ±1 ta được

1
x D±1

= ±x D = ±

d
.
dx

Trong tính toán số, ta sử dụng định nghĩa của đạo hàm Riesz-Feller như sau [12]:
x
α
x Dθ f (x)

(α − θ)π d
sin
2
dx

1
=−
Γ(1 − α) sin(απ)

f (s)
ds
(x − s)α
−∞

∞


+ sin

f (s)
ds , 0 < α < 1,
(s − x)α

(α + θ)π d
2
dx
x

1
x Dθ f (x)

f (s)
θπ df (x)
ds + sin
, α = 1,
x−s
2 dx

θπ d
1
= − cos
π
2 dx
R

(α − θ)π d2
sin

2
dx2

1
α
x Dθ f (x) = −
Γ(2 − α) sin(απ)

x

f (s)
ds
(x − s)α−1
−∞

+ sin

(α + θ)π d2
2
dx2

∞

f (s)
ds , 1 < α < 2,
(s − x)α−1
x

2
x D0 f (x)


1.1.9

=

d2 f (x)
dx2

, α = 2.

Không gian H k

Định nghĩa 1.1.15 Cho f đo được trên R và 0 ≤ k < ∞. Ta đặt

 12
f

k

2

(1 + |ω|2 )k f (ω) dω  .

=
R

Khi đó, khơng gian

H k ( R)


được định nghĩa như sau

H k (R) := f ∈ L2 (R) : f

k

<∞ .

Chú ý rằng
f

0

= f

L2 .

Nếu f ∈ H k (R) thì ta nói k là tham số mượt của f .
1.1.10

Một vài bất đẳng thức bổ sung

Mệnh đề 1.1.16 (Bất đẳng thức Young) Cho p, q > 0 thỏa
với mọi x, y > 0 ta có

xp y q
+
≥ xy.
p
q

12

1
p

+

1
q

= 1. Khi đó,


Đẳng thức xảy ra khi xp = y q .
Mệnh đề 1.1.17 (Bất đẳng thức Gronwall) Cho F (t) là hàm không âm, liên
tục trên đoạn [0, T ]. Nếu
T

F (t) ≤ k

F (s) ds + m, với k, m > 0,
t

thì
F (t) ≤ m exp(k(T − t)).

Mệnh đề 1.1.18 Cho υ, ζ, A, B > 0. Khi đó, ta có
υ+ζ

Aυ + B ζ ≥

υ

υ
υ+ζ

ζ

ζ
υ+ζ

υζ

(AB) υ+ζ .

Đẳng thức xảy ra khi υAυ = ζB ζ .
Chứng minh. Đặt
p=

Khi đó

1
p

+

1
q

υζ
υζ

1
1
υ+ζ
υ+ζ
,q =
, x = p p A υ+ζ , y = q q B υ+ζ .
ζ
υ

= 1. Áp dụng bất đẳng thức Young, ta được
Aυ + B ζ =

υζ
1 1
xp y q
+
≥ xy = p p q q (AB) υ+ζ
p
q

và đẳng thức xảy ra khi xp = y q hay υAυ = ζB ζ . Mệnh đề đã được chứng minh.

1.2
1.2.1

Giải tích hàm
Toán tử liên hợp

Gọi L(X, Y ) là tập tất cả các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Giả sử X, Y là
hai không gian Hilbert và K ∈ L(X, Y ). Khi đó, với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất một

phần tử K ∗ y ∈ X sao cho
Kx, y

=

x, K ∗ y với mọi x ∈ X.

Toán tử K ∗ : Y → X được xác định như trên được gọi là toán tử liên hợp của K .

13


1.2.2

Phổ của toán tử

Định nghĩa 1.2.1 (xem [19], trang 239) Cho X là không gian định chuẩn và K :
X → X là tốn tử tuyến tính. Phổ của tốn tử K , ký hiệu σ(K), là tập hợp các số

thực (hoặc phức) λ sao cho toán tử K − λI khơng có tốn tử nghịch đảo bị chặn
trong X , trong đó I là tốn tử đồng nhất trong X . Số λ ∈ σ(K) được gọi là giá trị
riêng của K nếu K − λI không là song ánh. Nếu λ là một giá trị riêng thì nghiệm x
khơng tầm thường của phương trình Kx − λx = 0 gọi là vectơ riêng của K .
1.2.3

Hàm số Lipschitz toàn cục và Lipschitz địa phương

Cho X và Y là hai không gian Banach.
(a) Hàm số F : X → Y được gọi là Lipschitz toàn cục nếu tồn tại κ ≥ 0 sao cho
F (x) − F (y)


Y

≤κ x−y

X,

với mọi x, y ∈ X .
(b) Hàm số F : X → Y được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mọi η ≥ 0 tồn tại
κ(η) ≥ 0 sao cho
F (x) − F (y)

với mọi x, y ∈ X thỏa x
1.2.4

X,

y

X

Y

≤ κ(η) x − y

X,

≤ η.

Định lý ánh xạ co


Định lý 1.2.2 Cho X là một không gian Banach với chuẩn · , B là tập đóng trong
khơng gian X và ánh xạ F : B → B thỏa
F (x1 ) − F (x2 ) ≤ k x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ B

với k ∈ (0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm bất động của F , nghĩa là có duy
nhất một phần tử x0 ∈ B để cho F (x0 ) = x0 .

1.3
1.3.1

Bài tốn ngược
Bài tốn khơng chỉnh

Bài tốn của phương trình đạo hàm riêng được xét từ những dữ liệu cho trước của
các vấn đề có nguồn gốc vật lý. Khi xét một bài tốn của phương trình đạo hàm
riêng, ta thường gặp những khả năng khác nhau về nghiệm của nó. Từ những điều
14


này, một bài toán được gọi là chỉnh (well-posed) theo nghĩa của Hadamard (xem
trong [19], trang 10) nếu nó thỏa ba tính chất sau:
1. Tồn tại nghiệm của bài tốn (existence).
2. Có khơng q một nghiệm của bài tốn (uniqueness).
3. Nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ liệu (stability).
Hai điều kiện đầu đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn, cịn điều
kiện thứ ba bảo đảm tính ổn định nghiệm của bài tốn khi dữ liệu thay đổi ít. Một
bài tốn được gọi là khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa của Hadamard nếu nó khơng
thỏa một trong ba tính chất trên.
Về mặt lý thuyết, tính tồn tại nghiệm có thể có được bằng cách mở rộng không

gian nghiệm. Chẳng hạn như khái niệm về nghiệm suy rộng của phương trình vi
phân. Nếu bài tốn có hơn một nghiệm thì có nghĩa là ta thiếu thông tin về nghiệm.
Trong trường hợp này, ta bổ sung vài thông tin về nghiệm, chẳng hạn như điều kiện
về dấu, thì ta sẽ có được tính duy nhất của nghiệm. Yêu cầu về tính ổn định là quan
trọng nhất. Nếu một bài tốn thiếu tính chất ổn định này, thì về mặt thực tế, nghiệm
của nó là khơng thể tính được bởi bất kỳ một sự đo đạc hay giải số nào vì các dữ
liệu ln bị tác động bởi những sai số không thể tránh khỏi, nghĩa là dữ liệu của bài
tốn ln bị nhiễu. Nếu nghiệm của bài tốn khơng phụ thuộc liên tục vào dữ liệu,
thì về mặt tổng quát sai số giữa nghiệm đúng từ dữ liệu chính xác với nghiệm gần
đúng từ dữ liệu nhiễu sẽ lớn.
Vì thế, để khắc phục tính khơng chỉnh của bài toán, ta sẽ tiến hành một sơ đồ
chỉnh hóa. Ta sẽ “xấp xỉ” phương trình khơng chỉnh bởi một phương trình chỉnh
phụ thuộc vào một tham số sao cho nghiệm của phương trình này có sai số nhỏ so
với nghiệm chính xác ban đầu. Từ đây, do tính chỉnh, nên nếu dữ liệu có nhiễu, thì
nghiệm tương ứng sẽ xấp xỉ so với nghiệm của phương trình chỉnh. Cuối cùng, ta có
sai số giữa nghiệm chính xác ban đầu và nghiệm nhiễu.
Về mặt tốn học, chúng ta trình bày chính xác những khái niệm của tính chỉnh
như sau.
Định nghĩa 1.3.1 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, và ánh xạ K : X → Y
(tuyến tính hoặc phi tuyến). Cho y ∈ Y , nếu tồn tại x ∈ X thỏa Kx = y thì ta nói
x là nghiệm chính xác và y là dữ liệu chính xác của bài tốn Kx = y . Các điều kiện

đặt ra thêm trên nghiệm chính xác gọi là các thông tin tiên nghiệm.
15


Định nghĩa 1.3.2 Xét bài toán Kx = y . Cho
Khi đó y gọi là dữ liệu nhiễu và

> 0 và y ∈ Y thỏa y − y


Y

≤ .

gọi là cấp độ nhiễu.

Định nghĩa 1.3.3 (xem [19], trang 10) Bài toán Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa
ba tính chất sau:
1. Tính tồn tại nghiệm: Với mỗi y ∈ Y , tồn tại ít nhất x ∈ X sao cho Kx = y .
2. Tính duy nhất nghiệm: Với mỗi y ∈ Y , tồn tại nhiều nhất một x ∈ X thỏa
Kx = y .

3. Tính ổn định nghiệm: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y , nghĩa là, với
mỗi dãy (xn ) ⊂ X mà Kxn → Kx (n → ∞), thì dẫn tới xn → x (n → ∞).
Những bài tốn khơng thỏa một trong ba tính chất trên được gọi là không chỉnh.
Một điều quan trọng là xác định rõ bộ ba (X, Y, K) và chuẩn của chúng. Tính
tồn tại và duy nhất nghiệm chỉ phụ thuộc vào cấu trúc đại số của khơng gian và tốn
tử, nghĩa là, tốn tử K có tồn ánh hay đơn ánh khơng. Tuy nhiên, về tính ổn định
nghiệm, thì lại phụ thuộc vào các cấu trúc tô pô trên không gian, nghĩa là, tốn tử
ngược K −1 : Y → X có liên tục khơng.
1.3.2

Sơ đồ chỉnh hóa

Các khảo sát ở Chương 2 của [19] cho thấy các bài tốn có dạng Kx = y thường là
khơng chỉnh khi tốn tử K com-pắc cùng với một số điều kiện của Ker(K), chẳng
hạn như khi Dim(Ker(K)) là vô hạn. Trong các trường hợp khi bài tốn khơng chỉnh
chúng ta cần xây dựng một sơ đồ chỉnh hóa.
Định nghĩa 1.3.4 (xem [19], trang 25) Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các tốn tử

tuyến tính liên tục
Rα : Y → X,

α > 0,

sao cho
lim Rα Kx = x,

α→0+

∀x ∈ X,

nghĩa là các toán tử Rα K hội tụ điểm về ánh xạ đồng nhất.
Từ định nghĩa trên và tính com-pắc của tốn tử K , ta có định lý sau
16


Định lý 1.3.5 (xem [19], trang 25) Giả sử Rα là một sơ đồ chỉnh hóa cho tốn tử
com-pắc K : X → Y với dimX = ∞. Khi đó, ta có
1. Những tốn tử Rα là khơng bị chặn đều, nghĩa là tồn tại dãy (αj ) thỏa Rαj → ∞
khi j → ∞.
2. Dãy (Rα Kx) không hội tụ đều về x, nghĩa là Rα K − I → 0 khi α → 0+ .
Ta xét y ∈ K(X) là dữ liệu chính xác và y là dữ liệu nhiễu sao cho y − y

Y

≤ .

Chúng ta định nghĩa
xα := Rα y


là nghiệm xấp xỉ của nghiệm chính xác x của bài tốn khơng chỉnh
Kx = y.

Khi đó, sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ được đánh giá như sau
x − xα

X

≤

Rα y − Rα y

≤

Rα

y −y

X
Y

+ Rα y − x

X

+ Rα Kx − x

X.


Do đó, ta được
x − xα

X

≤

Rα + Rα Kx − x

X.

Trong đánh giá trên chúng ta thấy sai số gồm hai phần: phần thứ nhất có lượng Rα
theo Định lý 1.3.5 sẽ tiến ra vô cùng khi α → 0, phần thứ hai sẽ tiến về không khi
α → 0 theo định nghĩa của sơ đồ chỉnh hóa. Do đó, chúng ta cần chọn α = α( ) phụ

thuộc vào

để giữ cho tổng sai số là nhỏ nhất có thể. Cụ thể ta có khái niệm sau:

Định nghĩa 1.3.6 Một tham số chỉnh hóa α = α( ) được gọi là chấp nhận được
(admissible) nếu
α → 0 và sup { Rα y − x

X

: y − Kx

Y

≤ } → 0, khi


→ 0+ ,

với mọi x ∈ X .
Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn phụ thuộc vào các thông tin tiên nghiệm
của x thì ta gọi là quy tắc chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm (a-priori parameter
choice rule). Nếu α được chọn không phụ thuộc thông tin tiên nghiệm của x thì ta gọi
là quy tắc chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm (a-posteriori parameter choice rule).
Sự chỉnh hóa (regularization) cho một bài tốn khơng chỉnh là sự xây dựng sơ đồ
chỉnh hóa và tìm tham số chỉnh hóa.
17


1.3.3

Đánh giá sai số tối ưu

Gọi R : Y → X là tốn tử chỉnh hóa bất kỳ cho bài tốn khơng chỉnh Kx = y . Cho
M ⊂ X là một tập bị chặn, ta định nghĩa trường hợp sai số xấu nhất của toán tử R

tại x và trong tập M như sau:
∆( , R, K, x) := sup{ Ry − x

X

: y ∈ Y, y − Kx

Y

≤ },


∆( , R, K, M ) := sup ∆( , R, K, x).
x∈M

Gọi G0 là tập của tất cả những toán tử R và G ⊂ G0 . Đặt
∆( , G, K, M ) := inf ∆( , R, K, M ).
R∈G

Khi đó, một tốn tử chỉnh hóa π : Y → X, π ∈ G được gọi là
a. G -tối ưu trong tập M nếu ∆( , π, K, M ) = ∆( , G, K, M ),
b. G -bậc tối ưu trong tập M nếu ∆( , π, K, M ) ≤ c∆( , G, K, M ) với c ≥ 1.
Cho E, p > 0, x¯ ∈ X , ta định nghĩa tập nguồn
p

Mp,E := x ∈ X : x − x¯ = (K ∗ K) 2 v, v

X

≤E

và mơ-đun liên tục của tốn tử ngược K −1 như sau
ω( , K, Mp,E ) := sup

x − x¯

X

: x ∈ Mp,E , Kx − K x¯

Y


≤

.

Khi đó, ta có
Mệnh đề 1.3.7 (xem [39], trang 382) Nếu

2
p+1

E

thuộc vào phổ σ(K ∗ K) thì
1

∆( , G, K, Mp,E ) ≥ ω( , K, Mp,E ) = E p+1

18

p
p+1

.


Chương 2

Chỉnh hóa Bài tốn 1
Xác định hàm nguồn là một trong những bài toán quan trọng trong khoa học kỹ

thuật. Do có nhiều ứng dụng nên bài tốn được nhiều nhà khoa học quan tâm. Trong
chương này, chúng tôi áp dụng phương pháp chặt cụt Fourier để chỉnh hóa bài tốn
xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán trong trường hợp đối xứng của
đạo hàm Riesz-Feller. Đánh giá sai số tối ưu của phương pháp sẽ được trình bày.
Chương này chứa nội dung của bài báo [P2] đã được cơng bố trên tạp chí Applied
Mathematics and Computation vào năm 2019. Bố cục của chương được chia thành
sáu mục. Trong mục 2.1, chúng tơi phát biểu bài tốn và nêu ý nghĩa của mơ hình
hàm nguồn đang xét. Tính duy nhất và tính khơng chỉnh của bài tốn sẽ được trình
bày ở mục 2.2. Trong mục 2.3, chúng tơi đưa ra điều kiện ổn định và chặn sai số tối
ưu cho bài tốn. Trong mục 2.4, chúng tơi trình bày phương pháp chặt cụt Fourier
và giới hạn họ phương pháp chỉnh hóa trong tập của những tốn tử chặt cụt Fourier.
Những kết quả tối ưu sẽ được đưa ra dưới quy tắc chọn tham số chỉnh hóa tiên
nghiệm và hậu nghiệm. Trong mục 2.5 chúng tơi trình bày các ví dụ số minh họa cho
phần lý thuyết. Cuối cùng, mục 2.6 dành cho việc tóm tắt các kết quả đạt được cho
Bài toán 1.

2.1

Giới thiệu

Bài toán 1. Cho T > 0. Giả sử ta có u ∈ C 1 ([0, T ]; L2 (R)) ∩ C([0, T ]; H 1 (R)) và
S ∈ L2 (R) thỏa hệ


u (x, t) = µx D0α u(x, t) + Φ(t)S(x),


 t
u(x, 0) = 0, x ∈ R,





u(x, T ) = uT (x), x ∈ R,

19

(x, t) ∈ R × (0, T ),


trong đó 0 < α ≤ 2, hàm Φ(t) cho trước và hệ số khuếch tán µ > 0 là một hằng số đã
biết. Hãy tìm hàm xấp xỉ cho S(x) khi có (uT , Φ ) ∈ L2 (R), C[0, T ] thỏa
uT − uT

L2 (R)

≤

Φ −Φ

và

C[0,T ]

≤ ,

với ∈ (0, 1).
Ta sẽ thảo luận về ý nghĩa vật lý của nguồn Q(x, t) = Φ(t)S(x). Xét một dây dẫn,
nếu chúng ta có một điện trường ngồi thì dịng điện sẽ làm tăng năng lượng bên
trong và sẽ làm nóng nó. Cho rc > 0, chúng ta mơ hình hóa dây dẫn bởi hình trụ

C = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 + z 2 ≤ rc2 } và ε = ε(x, y, z) là độ dẫn điện của chất tại (x, y, z).

Theo định luật Joule-Lenz và định luật Ohm (xem trong [33], Chương 5, trang 112),
nguồn có thể là lượng nhiệt được giải phóng theo đơn vị thể tích của chất trên một
đơn vị thời gian có dạng Q(x, y, z, t) = εE2 , trong đó E = E(x, y, z, t) là điện trường
ngoài. Nếu ta thiết lập điện trường ngoài E = υ0 ψ(t)e với ψ được biết và e = (1, 0, 0),
thì Q(x, y, z, t) = υ02 ε(x, y, z)Φ(t) với Φ(t) = ψ 2 (t). Nếu rc nhỏ thì ta có thể xấp xỉ
ε(x, y, z) bởi ε(x, 0, 0) và có thể viết Q(x, y, z, t) ≈ S(x)Φ(t) với S(x) = υ02 ε(x, 0, 0).

Đây là mơ hình nghiên cứu trong bài tốn của chúng ta.
·

Để đơn giản, từ đây về sau ta sẽ ký hiệu

là chuẩn trong L2 (R) và

·

p

là

chuẩn trong H p (R).
Sử dụng biến đổi Fourier theo biến x đến phương trình đầu tiên trong hệ của Bài
toán 1, ta được
ut (ω, t) = −µ|ω|α u(ω, t) + Φ(t)S(ω).

Giải phương trình trên với điều kiện đầu và điều kiện cuối ta có
T


uT (ω) exp (|ω|α µT ) = S(ω)

exp (|ω|α µt) Φ(t) dt.

(2.1)

0

Vì vậy, sử dụng ký hiệu
T

exp(|ω|α µ(t − T ))Φ(t) dt,

ρΦ (ω) =

(2.2)

0

ta nhận được
S(ω) =

uT (ω)
ρΦ (ω)

1
và S(x) = √
2π

uT (ω)

exp(ixω) dω.
ρΦ (ω)
R

20

(2.3)