Contents
3.1.

Ước lượng khoảng cho kì vọng ............................................................................................2

Bài tập 3.1. ...................................................................................................................................2
Bài tập 3.2. ...................................................................................................................................2
Bài tập 3.3. ...................................................................................................................................2
Bài tập 3.4. ...................................................................................................................................2
Bài tập 3.5. ...................................................................................................................................2
Bài tập 3.6. ...................................................................................................................................3
Bài tập 3.7. ...................................................................................................................................3
Bài tập 3.8. ...................................................................................................................................3
Bài tập 3.9. ...................................................................................................................................3
Bài tập 3.10. .................................................................................................................................4
Bài tập 3.11. .................................................................................................................................4
Bài tập 3.12. .................................................................................................................................4
Bài tập 3.13. .................................................................................................................................5
Bài tập 3.14. .................................................................................................................................5
Bài tập 3.15. .................................................................................................................................5
Bài tập 3.16. .................................................................................................................................5
Bài tập 3.17. .................................................................................................................................6
Bài tập 3.18. .................................................................................................................................6
Bài tập 3.19. .................................................................................................................................6
Bài tập 3.20. .................................................................................................................................6
3.2.

Ước lượng khoảng cho tỷ lệ hay xác suất ............................................................................7

Bài tập 3.21. .................................................................................................................................7
Bài tập 3.22. .................................................................................................................................7

Bài tập 3.23. .................................................................................................................................7
Bài tập 3.24. .................................................................................................................................7
Bài tập 3.25. .................................................................................................................................8
Bài tập 3.26. .................................................................................................................................8
Bài tập 3.27. .................................................................................................................................8
Bài tập 3.28. .................................................................................................................................9
Bài tập 3.29. .................................................................................................................................9
Bài tập 3.30. .................................................................................................................................9

HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

1


Link đề bài tại đây

Chương 3
Ước lượng tham số
Ước lượng khoảng cho kì vọng

3.1

Bài tập 3.1.
(a)
Có thể dùng

X
để ước lượng cho p bởi vì tần suất là ước lượng khơng chệch và vững cho tỉ lệ
n


(b)
p = 0, 2  q = 0,8

X
 ( DX )2 (n. p.q) 2 (500.0, 2.0,8) 2
Ta có: P  − p     4 2 =
=
n4 2
5004  2
 n
 n
   1, 024.10−5
Bài tập 3.2.
 = 305; n = 45; x = 2150;  = 95%  u = 1,96
Vậy khoảng tin cậy 95% là:

305
x  u .
= 2150  1,96.
= 2150  89,11 hay 2060,89    2239,11
n
45
Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của bóng đèn nằm giữa 2060,89 và 2239,11
Bài tập 3.3.
(a)
 = 3,8; n = 9;  = 99%  u = 2,58
9

 xi


9

 (x − x )

2

i

= 2, 79
= 16, 77 ; s = i =1
n −1
9
Vậy khoảng tin cậy 99% là:

3,8
x  u .
= 16, 77  2,58.
= 16, 77  3, 268 hay 13,502    20, 038
n
9
Vậy với độ tin cậy 99%, trọng lượng tạp chất trung bình của sản phẩm nằm giữa 13,502 và 20,038
(b)
Nếu độ tin cậy là 95% thì khoảng ước lượng trung bình sẽ hẹp hơn so với ý (a)
Bài tập 3.4.
 = 0, 2; n = 35; x = 25;  = 95%  u = 1,96
x=

i =1

Vậy khoảng tin cậy 95% là:


0, 2
x  u .
= 25  1,96.
= 25  0.066 hay 24,934    25, 066
n
35
Vậy với độ tin cậy 95%, chiều dài trung bình của chi tiết sản phẩm nằm giữa 24,934 và 25,066
Bài tập 3.5.
s = 1,8; n = 20  30; x = 49, 2;  = 99%
Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,99 = 0, 01 



= 0, 005 . +++++++++++++++++++++++++++++Tra
2
bảng phân bố Student với bậc tự do k = n − 1 = 20 − 1 = 19 , ta tìm được t0,005 = 2,861
HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

2


Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
1,8
x  t.
= 49, 2  2,861.
= 49, 2  1,15 hay 48, 05    50,35
n
20

Vậy với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình của một bao gạo nằm giữa 48,05 và 50,35
Bài tập 3.6.
s = 1,8; n = 16  30; x = 4;  = 99%
Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,99 = 0, 01 



= 0, 005 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2
k = n − 1 = 16 − 1 = 15 , ta tìm được t0,005 = 2,947

Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
1,8
x  t.
= 4  2,947.
= 4  1,32 hay 2, 68    5,32
n
16
Vậy với độ tin cậy 99%, thời gian chờ đợi trung bình của một khách hàng nằm giữa 2,68 và 5,32
Bài tập 3.7.
n = 16  30;  = 95%
16

16

x=

 xi
i =1


16

= 19,33 ; s =

 (x − x )
i

i =1

n −1

2

= 0, 61

Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,95 = 0, 05 



= 0, 025 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2
k = n − 1 = 16 − 1 = 15 , ta tìm được t0,025 = 2,131

Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
0, 61
x  t.
= 19,33  2,131.
= 19,33  0,1525 hay 19,1775    19, 4825

n
16
Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình các thùng hàng nằm giữa 19,1775 và 19,4825
Bài tập 3.8.
n = 35  30;  = 95%  u = 1,96
35

( x − xi ) 2

16,5.3 + 17,5.4 + 18,5.10 + 19,5.9 + 20,5.5 + 21,5.4
= 1, 41
x=
= 19,1 ; s = i =1
n −1
3 + 4 + 10 + 9 + 5 + 4
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
1, 41
x  u .
= 19,1  1,96.
= 19,1  0, 467 hay 18, 633    19,567
n
35
Vậy với độ tin cậy 95%, thời gian tham gia cơng trung bình một chi tiết máy nằm giữa 18,633 và
19,567
Bài tập 3.9.
n = 18  30;  = 99%
19, 6.1 + 19,5.2 + 19,9.2 + 20.4 + 19,8.2 + 20,5.3 + 21.2 + 18,5.1 + 19, 7.1
x=
= 19,98 ;

1+ 2 + 2 + 4 + 2 + 3 + 2 +1+1
18

s=

 (x − x )
i

i =1

n −1

2

= 0,58

HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

3


Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,99 = 0, 01 



= 0, 005 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2
k = n − 1 = 18 − 1 = 17 , ta tìm được t0,005 = 2,898

Vậy khoảng tin cậy 99% là:

s
0,58
x  t.
= 19,98  2,898.
= 19,98  0,396 hay 19,584    20,376
n
18
Vậy với độ tin cậy 99%, áp lực trung bình của các thùng nằm giữa 19,584 và 20,376
Bài tập 3.10.
n = 12  30;  = 95%
12

12

x=

x
i =1

12

i

= 2,9 ; s =

 (x − x )
i

i =1


n −1

2

= 0, 099

Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,95 = 0, 05 



= 0, 025 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2
k = n − 1 = 12 − 1 = 11 , ta tìm được t0,025 = 2, 201

Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
0, 099
x  t.
= 2,9  2, 201.
= 2,9  0, 0629 hay 2,8371    2,9629
n
12
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ làm giàu trung bình của các thanh nhiên liệu nằm giữa 2,8371 và
2,9629
Bài tập 3.11.
(a)
s = 0,15; n = 25  30; x = 2, 45;  = 99%
Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,99 = 0, 01 



2

= 0, 005 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do

k = n − 1 = 25 − 1 = 24 , ta tìm được t0,005 = 2, 797

Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
0,15
x  t.
= 2, 45  2, 797.
= 2, 45  0, 08 hay 2,37    2,53
n
25
Vậy với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình các viên gạch nằm giữa 2,37 và 2,53
(b)
Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ hẹp hơn so với kết quả câu (a)
(c)
Với độ tin cậy 99% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ rộng hơn so với kết quả câu (a)
(d)
Với độ tin cậy 99% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ rộng hơn so với kết quả câu (a)
Bài tập 3.12.
(a)
s = 6, 43; n = 16  30; x = 15, 26;  = 95%
Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,95 = 0, 05 



= 0, 025 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2

k = n − 1 = 16 − 1 = 15 , ta tìm được t0,025 = 2,131

Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
6, 43
x  t.
= 15, 26  2,131.
= 15, 26  3, 42 hay 11,84    18, 68
n
16
HỒ CÔNG BÌNH K9RHM

4


Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình các viên gạch nằm giữa 11,84 và 18,68
(b)
b1. Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ hẹp hơn so với kết quả câu (a)
b2. Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ hẹp hơn so với kết quả câu (a)
b3. Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ rộng hơn so với kết quả câu (a)
Bài tập 3.13.
(a)
n = 12  30;  = 95%
12

12

x=

x

i =1

i

12

= 2256, 75 ; s =

 (x − x )

2

i

i =1

n −1

Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,95 = 0, 05 

= 31,81



= 0, 025 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2
k = n − 1 = 12 − 1 = 11 , ta tìm được t0,025 = 2, 201

Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s

31,81
x  t.
= 2256, 75  2, 201.
= 2256, 75  20, 21 hay 2236,54    2276,96
n
12
Vậy với độ tin cậy 95%, cường độ nén trung bình của bê tơng nằm giữa 2236,54 và 2276,96
(b)
n = 12  30;  = 99%
12

12

x=

 xi
i =1

12

= 2256, 75 ; s =

 (x − x )
i

i =1

n −1

Ta có:  = 1 −  = 1 − 0,99 = 0, 01 


2

= 31,81



= 0, 005 . Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
2
k = n − 1 = 12 − 1 = 11 , ta tìm được t0,005 = 3,106

Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
31,81
x  t.
= 2256, 75  3,106.
= 2256, 75  28,52 hay 2228, 23    2285, 27
n
12
Vậy với độ tin cậy 99%, khoảng tin cậy phải cho cường độ nén trung bình của bê tơng là 2285,27
Bài tập 3.14.
x = 163; s = 12; n = 49  30;  = 99%  u = 2,58
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
12
x  u .
= 163  2,58.
= 163  4, 42 hay 158,58    167, 42
n
49

Vậy với độ tin cậy 99%, chiều cao trung bình của sinh viên trường đó nằm giữa 158,58 và 167,42
Bài tập 3.15.
x = 95; s = 36; n = 60  30;  = 95%  u = 1,96
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
36
x  u .
= 95  1,96.
= 95  9,1 hay 85,9    104,1
n
60
Vậy với độ tin cậy 95%, số tiền điện thoại trung bình trong một tháng của mỗi sinh viên nằm giữa
85,9 và 104,1
Bài tập 3.16.
n = 35  30;  = 99%  u = 2,58
HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

5


35

35

 xi

2

i


= 19,1
35
n −1
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
19,1
x  u .
= 66, 65  2,58.
= 66, 65  8,33 hay 58,32    74,98
n
35
Vậy với độ tin cậy 99%, số điếu thuốc trung bình trong 5 ngày của những người nghiện thuốc nằm
giữa 58,32 và 74,98
Bài tập 3.17.
n = 40  30;  = 99%  u = 2,58
x=

i =1

= 66, 65 ; s =

 (x − x )

40

40

 xi

i =1


2

i

= 12, 22
n −1
40
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
s
12, 22
x  u .
= 21,85  2,58.
= 21,85  4,98 hay 16,87    26,83
n
40
Vậy với độ tin cậy 99%, thời gian xem ti vi trung bình của thanh niên ở độ tuổi từ 18 đến 35 trong
vòng một tuần nằm giữa 16,87 và 26,83
Bài tập 3.18.
n = 200  30;  = 95%  u = 1,96
x=

x=

i =1

= 21,85 ; s =

 (x − x )
i =1


130.14 + 230.25 + 330.43 + 430.46 + 530.39 + 630.23 + 730.10
= 420 ;
14 + 25 + 43 + 46 + 39 + 23 + 10
200

s=

 (x − x )

2

i

= 156, 6
n −1
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
156, 6
x  u .
= 420  1,96.
= 420  21, 7 hay 398,3    441, 7
n
200
Vậy với độ tin cậy 95%, số tiền trung bình một hộ dân phải trả ở phường đó nằm giữa 398,3 và
441,7
Bài tập 3.19.
n = 55  30;  = 95%  u = 1,96

x=


i =1

10, 75.5 + 11, 25.12 + 11, 75.15 + 12, 25.13 + 12, 75.6 + 13, 25.4
= 11,88 ;
5 + 12 + 15 + 13 + 6 + 4
55

s=

 (x − x )

2

i

= 0, 68
n −1
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
0, 68
x  u .
= 11,88  1,96.
= 11,88  0,18 hay 11, 7    12, 06
n
55
Vậy với độ tin cậy 95%, lượng xăng hao phí trung bình cho một xe nằm giữa 11,7 và 12,06
Bài tập 3.20.
n = 100  30;  = 95%  u = 1,96
i =1


HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

6


100

100

 xi

2

i

= 4, 02
100
n −1
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
4, 02
x  u .
= 90, 64  1,96.
= 90, 64  0, 78 hay 89,86    91, 42
n
100
Vậy với độ tin cậy 95%, giá trung bình của loại hàng đó tại thời điểm đang xét nằm giữa 89,86 và
91,42
x=


i =1

3.2

= 90, 64 ; s =

 (x − x )
i =1

Ước lượng khoảng cho tỷ lệ hay xác suất

Bài tập 3.21.
n = 135; k = 36;  = 95%  u = 1,96

k 36
=
 0, 27
n 135
nf = 135.0, 27 = 36  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 135.(1 − 0, 27) = 99  10
f =

f (1 − f )
0, 27(1 − 0, 27)
= 0, 27  1,96.
= 0, 27  0, 074 hay 0,196  p  0,344

n
135
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ các cây bạch đàn có chiều cao trên 7,5 m nằm giữa 0,196 và 0,344
Bài tập 3.22.
n = 300; k = 32;  = 99%  u = 2,58
f  u .

k 32
=
 0,106
n 300
nf = 300.0,106 = 32  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 300.(1 − 0,106) = 268  10
f =

f (1 − f )
0,106(1 − 0,106)
= 0,106  2,58.
= 0,106  0, 045 hay 0, 061  p  0,151
n
300
Vậy với độ tin cậy 99%, tỷ lệ cá được đánh dấu là:
100
100
100
0, 061  p  0,151  0, 061 
 0,151 

N
 662, 25  N  1639,3
N
0,151
0, 061
Vậy số cá trong hồ nằm trong  662, 25;1639,3
f  u .

Bài tập 3.23.
n = 450; k = 275;  = 95%  u = 1,96

k 275
=
 0, 61
n 450
nf = 450.0, 61 = 275  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 450.(1 − 0, 61) = 175  10
f =

f (1 − f )
0, 61(1 − 0, 61)
= 0, 61  1,96.
= 0, 61  0, 045 hay 0,565  p  0, 655
n
450
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ người mua xe Honda nằm giữa 0,565 và 0,655
Bài tập 3.24.

n = 400; k = 387;  = 95%  u = 1,96
f  u .

HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

7


k 387
=
= 0,9675
n 400
nf = 400.0,9675 = 387  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 400.(1 − 0,9675) = 13  10
f =

f (1 − f )
0,9675(1 − 0,9675)
= 0,9675  1,96.
= 0,9675  0, 017 hay 0,951  p  0,984
n
400
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ chính phẩm tối thiểu của hệ thống máy mới là 0,951
Bài tập 3.25.
n = 560; k = 10;  = 95%  u = 1,96
f  u .


k 10
=
 0, 017
n 560
nf = 560.0, 017 = 10

Vì 
nên điều kiện nêu ra không thỏa mãn
n(1 − f ) = 560.(1 − 0, 017) = 550  10
Vậy ta không thể giả thiết rằng phân bố của f là xấp xỉ chuẩn, do đó cơng thức xây dựng khoảng
tin cậy không áp dụng được
Bài tập 3.26.
n = 200; k = 10;  = 95%  u = 1,96
f =

k 10
=
= 0, 05
n 200
nf = 200.0, 05 = 10

Vì 
nên điều kiện nêu ra không thỏa mãn
n
(1
−
f
)
=
200.(1

−
0,
05)
=
190

10

Vậy ta không thể giả thiết rằng phân bố của f là xấp xỉ chuẩn, do đó cơng thức xây dựng khoảng
tin cậy khơng áp dụng được
Bài tập 3.27.
(a)
n = 1000; k = 823;  = 99%  u = 2,58
f =

k 823
=
= 0,823
n 1000
nf = 1000.0,823 = 823  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n
(1
−
f
)
=
1000.(1

−
0,823)
=
177

10

f =

f (1 − f )
0,823(1 − 0,823)
= 0,823  2,58.
= 0,823  0, 031 hay 0, 792  p  0,854
n
1000
Vậy với độ tin cậy 99%, tỷ lệ tử vong của bệnh nhân điều trị ung thư phổi nằm giữa 0,792 và 0,854
(b)
 = 0, 03; n = 1000; k = 823;  = 95%  u = 1,96
f  u .

k 823
=
= 0,823
n 1000
nf = 1000.0,823 = 823  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 1000.(1 − 0,823) = 177  10
f =


f (1 − f )
0,823(1 − 0,823)
= 0,823  1,96.
= 0,823  0, 023 hay 0,8  p  0,846
n
1000
u2 . f (1 − f ) 1,962.0,823.(1 − 0,823)
Để sai số không quá 0,03 thì n 
=
 621,8  n = 622
2
0, 032
f  u .

HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

8


Vậy phải lấy kích thước mẫu bằng 622 để sai số khi dự đốn khơng q 0,03
Bài tập 3.28.
f = 0, 2;  = 95%  u = 1,96
f (1 − f )
= 0, 05
n
0, 2(1 − 0, 2)
 1,96.
= 0, 05
n

 n  245,86
Vậy phải lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bằng 246 để thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài tập 3.29.
Sai đề
Bài tập 3.30.
(a)
n = 64  30;  = 95%  u = 1,96

Theo đề bài ta có: u .

64

 (x − x )

2

42,5.2 + 47,5.5 + 52,5.15 + 57,5.30 + 62,5.8 + 67,5.4
= 5, 4
= 56,32 ; s = i =1
n −1
2 + 5 + 15 + 30 + 8 + 4
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
s
5, 4
x  u .
= 56,32  1,96.
= 56,32  1,323 hay 54,99    57, 64
n
64
Vậy với độ tin cậy 95%, năng suất trung bình của loại hoa màu A nằm giữa 54,99 và 57,64

s
5, 4
u .
1,96.
n =
64 = 0, 6615
Sai số giảm đi 2 lần   =
2
2
2
 u .s 
Để sai số không quá 0,6615 thì n  
 = 256
  
Vậy để sai số của ước lượng giảm đi 2 lần thì cần kiểm tra 256 điểm
(b)
n = 64; k = 8 + 4 = 12;  = 99%  u = 2,58
i

x=

k 12
=
= 0,1875
n 64
nf = 64.0,1875 = 12  10

Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 64.(1 − 0,1875) = 52  10

f =

f (1 − f )
0,1875(1 − 0,1875)
= 0,1875  2,58.
= 0,1875  0,13 hay 0, 058  p  0,318
n
64
Vậy với độ tin cậy 99%, tỷ lệ điểm đạt trên 60 tạ/ha là:
K
0, 058  p  0,318  0, 058 
 0,318  10000.0, 058  K  10000.0,318  580  K  3180
10000
Vậy có khoảng 580 đến 3180 điểm đạt năng suất trên 60 tạ/ha
(c)
n = 64; k = 8 + 4 = 12;  = 95%  u = 1,96
f  u .

f =

k 12
=
= 0,1875
n 64
HỒ CƠNG BÌNH K9RHM

9


nf = 64.0,1875 = 12  10


Vì 
nên áp dụng quy tắc tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ, ta có:
n(1 − f ) = 64.(1 − 0,1875) = 52  10
f (1 − f )
0,1875(1 − 0,1875)
f  u .
= 0,1875  1,96.
= 0,1875  0, 095 hay 0, 093  p  0, 283
n
64
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ điểm đạt trên 60 tạ/ha của loại hoa màu A tối thiểu là 0,093

HỒ CƠNG BÌNH K9RHM 10