LỜI NĨI ĐẦU.
Trong hình học afin khái niệm tâm tỉ cự là một khái niệm có rất nhiều
ứng dụng, chúng ta đã sử dụng tâm tỉ cự như một công cụ đầy hiệu lực để giải
quyết nhiều bài toán nhờ các tính chất đặc biệt của tâm tỉ cự trong khơng gian
Afin. Đặc biệt là trong hình học sơ cấp nhiều bài tốn có thể giải quyết được
bằng một cách khác nhờ sự biểu diễn tỉ cự của các hình qua các điểm đặc biệt.
Và các khái niệm quen thuộc trong không gian afin như phẳng, siêu mặt bậc hai,
tập lồi, đơn hình, hộp … đều có thể biểu diễn được qua tâm tỉ cự. Qua đó ta có
thể giải quyết được các bài tốn có liên quan theo một cách khác có dựa vào tâm
tỉ cự.
Từ những nhận xét đó chúng tơi đã thực hiện đề tài tâm tỉ cự và sự biễu
diễn tỉ cự của các hình trong khơng gian Afin, Ơclít với mục đích hệ thống lại
khái niệm tâm tỉ cự trong khơng gian Afin, các tính chất và các phép biến đổi
tâm tỉ cự trong mặt phẳng và trong không gian. Nêu ra một số biểu diễn tỉ cự của
các hình trong khơng gian Afin, khơng gian Ơclít và ứng dụng của nó trong giải
tốn.
Nội dung trình bày của khố luận gồm hai phần:
-Phần I:

Tâm tỉ cự và sự biểu diễn của các hình trong khơng gian Afin,

Ơclit .
Đ1.Tâm tỉ cự và toạ độ tỉ cự. Trình bày hệ thống các khái niệm và tính
chất về tâm tỉ cự và đưa ra khái niệm toạ độ tỉ cự trong không gian Afin.
Đ2. Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong khơng gian Afin, Ơclít. Trong
mục này tơi đã chứng minh được một số tính chất tỉ cự của các điểm đặc biệt
trong các hình như tam giác, tứ giác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp … Từ đó
ta có biểu diễn tỉ cự của các điểm đặc biệt đó, cũng trong mục này tơi đã biểu
diễn được các khái niệm quen thuộc trong hình học Afin như phẳng, siêu mặt
bậc hai, tập lồi, đơn hình, hộp qua tâm tỉ cự và tọa độ tỉ cự.
1

-Phần II: Các ví dụ áp dụng. Phần này gồm những bài tốn hình sơ cấp
được giải theo phương pháp dùng các tính chất của tâm tỉ cự và các biễu diễn
tâm tỉ cự của một số hình, và những bài tốn quen thuộc trong hình học Afin
được giải theo phương pháp tỉ cự.
Trong thời gian thực hiện đề tài này ngồi sự nổ lực cố gắng của bản thân
tơi cịn nhận được sự giúp đỡ của các thầy cơ giáo trong trường nói chung, các
thầy cơ trong khoa tốn nói riêng và đặc biệt là sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình
của thầy giáo - tiến sĩ Phạm Ngọc Bội cùng sự quan tâm giúp đỡ của người thân
và bạn bè. Nhân đây tơi xin bày tỏ lịng biết ơn và chân thành cảm ơn mọi người
đã giúp đỡ tơi hồn thành đề tài này.

2


PHẦN I . TÂM TỈ CỰ VÀ SỰ BIỂU DIỄN TỈ CỰ CỦA CÁC HÌNH TRONG
KHƠNG GIAN AFIN, ƠCLIT
Trong phần này trình bày hệ thống về khái niệm, các tính chất của tâm tỉ
cự trong hình học afin. Từ đó xây dựng khái niệm toạ độ tỉ cự và sự biểu diễn tỉ
cự của các hình trong khơng gian Afin và khơng gian Ơclít.
Đ1. TÂM TỈ CỰ VÀ TỌA ĐỘ TỈ CỰ.
1.1. Định lí. Cho k điểm P1, P2, …, Pk của không gian afin An và k số
k



thuộc trường K: 1, 2,…, k sao cho

i 1


i

 0. Khi đó tồn tại duy nhất điểm G

k

sao cho

  GP = 0 .
i 1

i

i

Chứng minh: Lấy một điểm O tuỳ ý của An thì điểm G được xác định bởi:
k

  i GPi = 0

k

  (OP  OG



i 1

i 1


i

i

) =0
k



k

k

i 1

i 1

  OP

  i OPi = (  i )OG  OG =

i

i 1

i

k



i 1

i

Vậy G luôn tồn tại và duy nhất.
1.2. Định nghĩa. Điểm G nói trong định lý 1 được gọi là tâm tỉ cự của
hệ điểm Pi gắn với họ hệ số i.
P

P 

P ... P 

Ta ký hiệu

k
G=  1 2
hay  i 

 1  2 ...  k 
 i  1i  k

Vậy ta có

k
G =  1 2
 
 1  2 ...  k 


P

P ... P 

k

  GP = 0
i 1

i

i

Chú ý: a. Nếu các i ( 1 i  k) bằng nhau thì điểm G được gọi là trọng
tâm của hệ điểm Pi.
3


b. Khi k = 2 thì điểm G được gọi là trung điểm của cặp điểm (P1, P2).
1.3. Các tính chất.
1.3.1. Tính chất 1. Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi ( i= 1, k ) gắn với họ
hệ số i(i= 1, k ) thì G cũng là tâm tỉ cự của hệ điểm đó với họ hệ số i (với  
 0) ( Tâm tỉ cự không thay đổi khi thay các số i bởi i ,   0). Tức là:
P

P ... P 

P

P


P ... P 

k

P ...

P 

k
2
k
G=  1 2
=  1


 1  2 ...  k 
1  2 ...  k 

k
Chứng minh. G =  1 2
   i GPi = 0
i 1
 1  2 ...  k 
k
k
 P1
    i GPi = 0    i GPi = 0  G = 
i 1
i 1

1

Pk 
 2 ...  k 
P2 ...

1.3.2. Tính chất 2. Tâm tỉ cự sẽ khơng thay đổi nếu ta thêm vào (hoặc bớt
đi ) những điểm với hệ số bằng 0.
P

P ... P 

P

P ... P P

... P



k
k
k 1
k l
Nghĩa là:  1 2
= 1 2


 1  2 ...  k 
 1  2 ...  k 0 ... 0 


P

P ... P 

k

k
G=  1 2
   GPi = 0
i 1
 1  2 ...  k 

Chứng minh.
k

   i GPi + 0 GP k 1 + … + 0 GPk  l = 0
i 1

 G =

 P1

 1

P2 ... Pk Pk 1 ... Pk  l 
 2 ...  k 0 ... 0 

1.3.3. Tính chất 3. Khi ta đổi chỗ các điểm nhưng vẫn giữ nguyên hệ số
kèm theo của chúng thì tâm tỉ cự khơng thay đổi. Nghĩa là nếu i1, i2,…, ik là

P

P ... P 

 Pi

P

P ... P 

k

Pi ... Pi 

k
1
2
k
một hoán vị của 1,2,…, k thì  1 2

 = 

...



...

i2
ik 

2
k
 1
 i1

k
Chứng minh. Ta có G =  1 2
   i GPi = 0


...

i 1
2
k
 1

4


k

  ij GPij = 0

 Pi1
 i1



Pi 2 ... Pi k 

.
 i 2 ...  i k 

G =

j 1

1.3.4. Tính chất 4. Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ
số i (i = 1,…,n) và I1, I2,…, Ik là một phân hoạch của tập 1,2,…, n sao cho
j =1,2,…,k thì


iI j

 0.

i

 Pi 
 
P2 ... Pn 
  i  iI1
=
 2 ...  n 
  i
 iI1

P

Khi đó ta có  1




1

P

Pi  
  
 i  iI k 
  i 
iI k


...
...

P 

P ... P 

n
Chứng minh. Đặt G =  1 2
, Gj =  i  ,

 1  2 ...  n 
 i  iI j

 G1


G’ =  
iI
 1

Gk 
 i ...   i 

iI 2
iI k

G 2 ...

i

Khi đó theo chứng minh định lý 1 ta có:


(

)
GG



i
j
j1 
i

I


j

GG ' =
và GG j =
k
 (  i )
k

j1



1
 GG = k

(   i )
i

(  i ) j1  iI j

i

I
j

j1 iI j




   i GPi

n


i 1

hay

k

n

1

 P1

 1

iI j



iI j

i 1

i

...

...

5

i 1

i

Pi  
  
 i  iI k 
i 


iI k

k

1
k

 (  )
j1

   i GPi  0

n




=

n

1
i 1

 Pi 
 
P2 ... Pn 
=  i  iI1

 2 ...  n 
  i
 iI1

i



 i GPi 

iI j



GG ' 

i


i



iI j

1

'

  GP

iI j

   i GPi
j1 iI j

i



G  G'


A

A ... A 

 1 ...  k 


1.3.5. Nhận xét. Với A ta có A = 

 1

với i thỗ mãn

k



i

i 1

0

Chứng minh. A ta có AA = 0

k

  i AA = 0 (Vì



i 1

A


i 1


i

 0)

A ... A 

 1 ...  k 

A= 

 1

P

k

P ... P 

P

P ... P

G

k
1
2
k
 

1.3.6. Nhận xét. Với  ta có G =  1 2


 1  2 ...  k 
1  2 ...  k  

Chứng minh.


P

P ... P 

k
G=  1 2



...

2
k
 1

k

  GP
i 1

i


i

k

  GP
i 1

i

i

P

=0
P ... P

G

k
+  GG = 0  G =  1 2

1  2 ...  k  

P

P ... P 

k
1.3.7. Nhận xét. Nếu G =  1 2

 và một bộ hệ số 1, 2, …, l
 1  2 ...  k 

P

l

thoã mãn


j 1

j

P ... P P ... P 

k
= 0 thì ta có G =  1 2
.
 1  2 ...  k  1 ...  l 

P

P ... P 

k
Chứng minh. G =  1 2
 
 1  2 ...  k 




k

  i GPi + 0. GP = 0 
i 1



k

  GP = 0
i 1

i

k

l

i 1

j1

  i GPi +(   j ) GP = 0

l
P
 j ) GP  G =  1
+

(

GP


i
i
j1
i 1
 1
k

i

P2 ... Pk P ... P 
.
 2 ...  k  1 ...  l 

1.3.8. Định lí. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P0,P1,…,Pk gắn
với tất cả các họ hệ số là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy.
Chứng minh. Gọi  là cái phẳng bé nhất chứa Pi ( i = 0,1,…,k) khi đó
véc tơ P0 Pi ( i= 1,2,…,k)   ( phương của ) trong hệ  P0 Pi i=1,2,…,k lấy hệ véc
6


tơ con độc lập tuyến tính tối đại. Giả sử là (s  k). Khi đó ta có dim = s. Điểm
G   P0 G  
 P0 G =

s


  i P0 Pi  P0 G =
i 1

s

  ) GP

(1-

0

i

i 1

P

s

+


i 1

s

s

i 1


i 1

  i (GPi - GP0 )  1   i ) GP0 +

GPi + 0GPsl + … + 0GPk

i

... P 

P ... P P

 G =  0 1 s s 1 k  với  0 = 1  0  1 ...  s 0 ... 0 

s


i 1

i

GPi = 0

=0

s


i 1


i

Vậy G  là tâm tỉ cự của họ Pii=0,1,2,…,k .
Ngược lại nếu tâm tỉ cự của họ P0, P1,…,Pk gắn với họ hệ số  0 ,  1 ,…,
k

  GP = 0

 k thì

i 1

i

k

i

 (   i )GP0 +
i 1

k

  (GP



i


i 1

0

 P0 Pi ) = 0

k

  i P0 Pi = 0  P0 G =
i 1

k

1

 P P

k


i 0

i 0

i

0

i


 P0 G  

i

 G  .

1.3.9. Hệ quả. Cho m-phẳng  đi qua m+1 điểm độc lập P0 ,P1,…,Pm khi
đó  chính là tập hợp tất cả tâm tỉ cự của hệ điểm đó (gắn với tất cả họ hệ số).
1.3.10. Định lý. Cho m-phẳng  đi qua m+1 điểm độc lập P0 , P1 ,…, Pm
và một điểm O tuỳ ý .Điều kiện cần và đủ để M thuộc  là:
m

OM =

  i OPi trong đó
i 0

Chứng minh.

m


i 0

i

= 1.

Điểm M thuộc  khi và chỉ khi M là tâm tỉ cự của họ


P0 ,P1 ,…, Pm gắn với họ hệ số  0 ,  1 ,…,  m nào đó


m


i 0

i

M Pi

=0 

m

  (OP
i 0

i

i

- OM ) = 0

7


m


m

 (   i ) OM =



i 0

i 0

i

i



i 0

i

i 0

i

m

(Vì


i 0


i

0 )

i

m

ta có: OM =

m



  OP

m

i 0

Đặt  i =

m

1

OPi  OM =

  i OPi và khi đó

i 0

m


i 0

i

= 1.

i

1.3.11. Hệ quả. Khi cho hệ điểm độc lập P0 , P1 ,…, Pm và M là tâm tỉ cự
của hệ với họ hệ số  0 ,  1 ,…,  m thoả mãn

m

 i

= 1 thì với điểm O tuỳ ý ta có:

i 0

m

OM =

  OP .
i


i 0

i

 P ... P 

m

m
Chứng minh . Khi M =  0
 (với  i  R ,   i  0)
i 0
 0 ...  m 
m

m

m

i 0

i 0

  i (OPi  OM) = 0  (   i )OM =

  i MPi = 0 
i 0

m


  OP

 OM =

i 0

i

i

m

  OP
i 0

i

i

m

( Vì


i 0

i

= 1 ).


1.3.12. Nhận xét . Tâm tỉ cự kèm theo họ hệ số là một bất biến afin. Tức
là nếu f là ánh xạ afin trên An , hệ điểm P1 , P2, …., Pk thuộc An . Khi đó nếu
P

P ... P 

f (P ) f (P2 ) ... f (Pk )
.
 2 ...  k 

k
G  An và G =  1 2
thì f(G) =  1

 1  2 ...  k 
 1

P

P ... P 

k

k
Chứng minh . Thật vậy nếu G =  1 2
    i GPi = 0
i 1
 1  2 ...  k 


khi đó ta xét

k

k

k

  f (G)f (P ) =   f (GP ) = f(   GP ) = f( 0 ) = 0
i 1

i

i

 f(G) =

i 1

i

i

i 1

i

i

f (P1 ) f (P2 ) ... f (Pk )

.
 
 2 ...  k 
 1

1.3.13.Hệ quả. + Phép chiếu song song bảo toàn tâm tỉ cự .

8


P

P ... P 

k
Nghĩa là nếu G =  1 2
 và phép chiếu song song biến Pi thành
 1  2 ...  k 

P1 '

P’i (i=1,2,…,k) và biến G thành G’ thì G’ = 

1

'
'
P2 ... Pk 
.
 2 ...  k 


+ Các phép biến hình (trừ phép nghịch đảo) bảo toàn tâm tỉ cự
P

P ... P 

và phép biến hình B : Pi  Pi’ , G

k
Nghĩa là nếu G =  1 2

 1  2 ...  k 

P1 '

'
'
P2 ... Pk 
.
 2 ...  k 

G’ (i= 1,2,…,k ) thì G’ = 

1

1.3.14. Nhận xét. Cho M là tâm tỉ cự của hệ Pi ( i = 1,2,…,k ) với họ hệ
số

k




 1 ,  2 ,…,  k trong đó

i 1

1,2,…,m) với họ hệ số  1 ,  2 ,…,  m và

i

=1, N là tâm tỉ cự của hệ Qj ( j =

m


j1

j

=1, G là tâm tỉ cự của (M,N) với

họ hệ số t1 ,t2 thoả mãn t1+t2 = 1 .
Khi đó ta có G là tâm tỉ cự của hệ P1 , P2 ,..., Pk , Q1 , Q 2 ,..., Q m với họ hệ số
 1 t1,  2 t1 ,…,  k t1,  1 t2,  2 t2,…,  m t2 .

Chứng minh . Theo bài ra ta có:
P

P ... P 


k
M=  1 2
 
 1  2 ...  k 

Q

Q ... Q 

M

N

k


i 1

i

M Pi = 0

(1)

m

2
k
N=  1
    j NQ j = 0

j1
  1  2 ...  k 

G= 
  t1 GM + t2 GN = 0
t1 t 2 

(2)

(3)
k

m

i 1

j1

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: t1 GM + t2 GN + t1   i M Pi + t2   j NQ j = 0
k

m

i 1

j1

 t1( GM +   i M Pi ) + t2( GN +   j NQ j ) = 0

9



k

k

m

m

i 1

i 1

j1

j1

 t1(   i GM +   i M Pi ) + t2(   j GN +   j NQ j ) = 0
k

m

i 1

j1

 t1   i ( GM + MPi ) + t2   j ( GN + NQ j ) = 0



m

k



  i t1 GPi +

j1

i 1

 P

j

t2 GQ j ) = 0

P ... P

Q

Q ... Q



2
k
1
1

m
hay G =  1

t

t

t

t

t

t

...
...
 1 1 1 2 1 k 2 1 2 2 2 m

Vậy G là tâm tỉ cự của hệ P1 , P2 ,..., Pk , Q1 , Q 2 ,..., Q m với họ hệ số

1

t1,  2 t1 ,…,  k t1,  1 t2,  2 t2,…,  m t2 .
1.4.Toạ độ tỉ cự.
1.4.1. Nhận xét. Trong không gian afin An với hệ độc lập P0 , P1 ,..., Pm  (
 P0 P1 ... Pm 
m  n ) và điểm G thoả mãn G  
 . Khi đó ln tồn tại và duy nhất
 0 1 ...  m 

P

P ... P 

một bộ số  0 , 1 ,...,  m  sao cho G   0 1 m  và
 0 1 ...  m 
P

Thật vậy G   0



Đặt  i 

i  1, m thì  

i

m

m


i 0

0

 P0
P1 ... Pm    0
 m

1 ...  m  
i
 
i 0

i 0

i

i

m


i 0

i

 1.

P1
Pm 
1 ...  m 

m
m
...
i  i 



i 0
i 0

 P0 P1 ... Pm 
 1 và G  
.
 0 1 ...  m 
m

Theo hệ quả 1.3.11 ta có P0 G    i P0 Pi . Nếu tồn tại bộ 0 , 1 ,...,  m  thoả
i 1

m
 P0 P1 ... Pm 
m
G

và
khi
đó
ta
cũng
có


1
P
G

 i P0 Pi . Vì hệ Pi i1



i
0
  ... 
i 0
i 1
m
 0 1
m

mãn

độc lập suy ra P0 G phân tích theo hệ Pi im1 là duy nhất. Nên ta có  i  i

10


i  1, m. Và khi đó 

0

m

m

i 1

i 1


 1    i  1    i   o suy ra bộ số  0 , 1 ,...,  m  là duy

nhất.
1.4.2. Định nghĩa. Trong khơng gian afin An thì mỗi hệ điểm độc lập

P0 , P1 ,..., Pn   được gọi là một mục tiêu tỉ cự, mỗi điểm
một bộ x 0 , x1 ,..., x n  thoả mãn

n

x
i 0

i

X  A n tồn tại duy nhất

 P0 P1 ... Pm 
 1 và X  
 thì bộ x 0 , x 1 ,..., x n 
 x 0 x 1 ... x m 

được gọi là toạ độ tỉ cự của điểm X đối với mục tiêu tỉ cự P0 , P1 ,..., Pn   trong
không gian afin An.
1.4.3. Nhận xét. –Toạ độ tỉ cự của một điểm trong An là một bộ n  1 số
không đồng thời bằng 0, nghĩa là khác với bộ 0,0,...,0 .
- Với mục tiêu P0 , P1 ,..., Pn   thì mỗi điểm Pi i  0,1,2,..., n 
P ... P ......P 

n

ta có X   0 i
 hay Pi có toạ độ là 0,...,1,..0 .
 0 ... 1 ... 0 

1.4.4. Mối liên hệ giữa toạ độ tỉ cự và toạ độ afin.
Trong An cho mục tiêu P0 , P1 ,..., Pn   và điểm G có toạ độ afin là

x1 ,..., x n  đối với mục tiêu P , P ,..., P   thì
0

1

n

G có toạ độ tỉ cự đối với mục tiêu

n

đó là x0 , x1 ,..., xn  trong đó x0  1   xi
i 1

Chứng minh.

x1 ,..., x n  thì ta có

Đối với mục tiêu P0 , P1 ,..., Pn   G có toạ độ afin là
n

n


i 1

i 1



P0 G   x i P0 Pi  P0 G   x i GPi  GP 0



n
n
n
 P0 P1 ... Pn 
 ( 1   x i ) GP0   x i GPi  0 . Đặt x 0   x i thì G  
 và
i 1
i 1
i 1
 x 0 x 1 ... x n 

Suy ra G có toạ độ tỉ cự là x 0 , x1 ,..., x n  .
1.4.5. Công thức đổi mục tiêu tỉ cự .

11

n

x
i 0


i

1


Trong không gian afin An cho hai mục tiêu tỉ cự P0 , P1 ,..., Pn   (I) và

P , P ,..., P  
'
0

'
1`

'
n

(II). Điểm G có toạ độ đối với mục tiêu (I) là x 0 , x1 ,..., x n  còn

đối với mục tiêu (II) là x 'o , x1' ,..., x 'n . Ta có cơng thức đổi mục tiêu tỉ cự là

x  A* x '  . Trong đó x và

x  là ma trận cột toạ độ tỉ cự của điểm
'

G đối với

mục tiêu (I) và mục tiêu (II) còn A  a ij n 1n 1 gọi là ma trận chuyển từ cơ sở

(I) sang cơ sở (II).
Trên đây là tổng hợp những khái niệm tính chất của tâm tỉ cự và xây dựng
khái niệm tọa độ tỉ cự, tìm ra mối liên hệ giữa tọa độ afin và toạ độ tỉ cự. Hi
vọng từ đây các khái niệm quen thuộc trong khơng gian afin và khơng gian Ơclít
có thể biểu diễn được qua tâm tỉ cự và toạ độ tỉ cự.

12


Đ2. SỰ BIỂU DIỄN TỈ CỰ CỦA CÁC HÌNH TRONG KHƠNG GIAN
AFIN VÀ KHƠNG GIAN ƠCLÍT.
Trong mục này dựa vào khái niệm và các tính chất của tâm tỉ cự và các
điểm đặc biệt của các hình trong khơng gian Afin và khơng gian Oclít tơi đã
chứng minh được một số tính chất tỉ cự đặc biệt của các điểm trong tam giác, tứ
giác, hình bình hành, tứ diện, hình hộp… và tìm được sự liên hệ giữa tâm tỉ cự
với các hình trong khơng gian Afin. Phần này tạm gọi là sự biểu diễn tỉ cự theo
nghĩa sau đây.
2.1. Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong khơng gian R2.
2.1.1. Nếu M thuộc đường thẳng AB thì M = 

A
B 

 MB  MA

Chứng minh . Nếu M thuộc đường thẳng AB thì :
- Khi M khơng thuộc đoạn thẳng AB tức MA = k MB (với k > 0) hay MB.
B 
 A
MA = MA. MB  MB. MA - MA. MB  0  M = 

.
 MB  MA

- Khi M thuộc đoạn thẳng AB tức MB.MA= - MA.MB
B 
 A
 MB. MA= MA. MB  MB. MA- MA. MB = 0  M = 
.
 MB  MA

 A B C
.
1 1 1

2.1.2. G là trọng tâm của tam giác ABC  G  
13


( chú ý (a) định nghĩa 3 cho ta điều này ).
2.1.3. Nếu tam giác ABC khơng vng ta có :
 A

C 

B

H là trực tâm của tam giác ABC  H = 
.
tgA tgB tgC 
Chứng minh. Giả sử tam giác ABC nhọn (nếu tam giác tù ta làm tương

tự)
Khi đó giả sử các đường cao của tam giác là AA1, BB1, CC1 ta dựng
hình bình hành HB’CA’ trong đó A nằm trên đường thẳng AA1 ,B’ nằm trên
đường thẳng BB1 .

B

A’

Khi đó ta có : HC = HB' + HA ' (1)

A1

CA 1
HB '
Theo định lí Talet ta có
=
BA 1
HB

H

A

Mặt khác ta lại có CA1= AA1.cotgC

B1

C


BA1=AA1.cotgB


B’

cot gC
tgB
tgB
HB '
 HB ' =
=
=
HB (2)
cot gB
tgC
tgC
HB

Một cách tương tự ta có HA ' = -

tgA
HA
tgC

(3).

Thay (2) và (3) vào (1) ta có tgA. HA +tgB. HB +tgC. HC = 0
Vì tgA+tgB+tgC  0 

B C 

 A
H
.
tgA tgB tgC 

2.1.4. I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC


 A B C
I
.
a b c

A
B1

B’

Chứng minh. Đặt B1  AC  BI, A1  BC  AI .
Dựng hình bình hành IB' CA ' (như hình vẽ)
Khi đó ta có: IC  IA'  IB'

(1)
14

I

B

C


A1
A’


Mặt khác ta lại có


A ' C A 1C
( vì BI  A ' C )

BI
A1 B

IB' A1C AC b
b
b
(vì AA1 là phân giác )  IB'  IB  IB'   IB



IB BA1 AB c
c
c
a
c

Một cách tương tự ta có: IA '   IA

(2)


(3)
a
c

b
c

Thay (2) và (3) vào (1) ta được IC   IA  IB hay a IA  bIB  cIC  0
 A B C
I
.
a b c

Vì a  b  c  0 nên ta suy ra

A B C
 .Trong đó
Sa S b Sc 

2.1.5. M là điểm nằm trong tam giác ABC thì M  
Sa  SMBC , Sb  SMAC , Sc  SMAB

Chứng minh. Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BC, BM với
AC, CM với AB lần lượt là A1,B1, C1. Dựng hình bình hành MB’CA’ .
'

Khi đó ta có MC  MB'  MA (1)
Kẻ AH và CK vng góc với BM, khi đó theo định lí Talet ta có
A


S
CB 1
B'C
CK
=
=
= a
AB!
Sc
MA
AH

K

B’

B1

C1



S
B'C
M A'
=
= a
Sc
MA

MA

S
 M A = - a MA
Sc
'

H
M

B
(2)

S
Một cách tương tự ta có: MB ' = - b MB
Sc

Thay (2) và (3) vào (1) ta được
A

B



Sb

Suy ra M = 
S

a


C
S c 

C

A1

A’

(3)

Sa MA + Sb MB + Sc M C= 0
(vì Sa+ Sb +Sc  0) .

15


2.1.6.

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 A
 O= 
sin 2A

C 
.
sin 2C

B

sin 2B

A

Chứng minh . Giả sử O nằm trong

A B C
O =

S a S b S c 

 A
sin 2A


=

B
sin 2B

C

O

tam giác ABC. Khi đó theo 2.1.5 ta có :
B

C 
sin 2C


A’

Nếu O khơng nằm trong tam giác ABC ta xét A’ đối xứng với A qua O
thì O sẽ nằm trong tam giác A’BC và khi đó ta cũng có
 A
sin 2A

O =

B
sin 2B

C 
.
sin 2C

2.1.7. Cho tam giác đều ABC, M là điểm bất kì và A1, B1 ,C1 lần lượt là
điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB
A

B
1

Khi đó ta có: 
1

C  A 1
=
1   1


B1
1

C1 
.
1 

Chứng minh.
M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (ABC), khi đó theo hệ quả 3.9 ta có :
A

C
 

B


M= 


A

(với  +  +   0)
C1

B1

Gọi X là điểm đối xứng của A qua BC
X
A1= 



B


M

C
 

( vì phép đối xứng trục bảo toàn tâm tỉ cự)
A

B


C
 

X
A1 = 


B


và X = 
 
suy ra


C

B

( vì tam giác ABC đều)
  A B C B C
C

=     


 
  



16

A1


A

B C B C

A

C 
suy ra A1 =
   


B
 

= 
= 
        

A
 


C 
.
   

B


Một cách tương tự ta có :
 A
  

B1 = 

C 
   

B




A

1
Từ đó ta có : 
    

 A
  

C1= 

B


B1
 

C1 
     

C
  

 A
B
C   A
B
C   A

B
C 






                             
= 



 
 
 







A

B



C


A

B

C 

A B

= 
Ta suy ra :  1 1 1  = 

               
1 1 1
1 1

C
1


.


2.1.8. Cho tam giác ABC , điểm M nằm trong tam giác ABC và A ’ , B’ ,
C’ lần lượt là giao điểm của AM, BM , CM với các cạnh của tam giác ABC
A

B
1


.Khi đó ta có : M = 
1

A '
C 
M
=


1 
1
A

Chứng minh. Nếu M = 
1

B
1

C
1

B'
1

C' 
.
1 



.


Khi đó phép chiếu song song theo phương BC xuống đường thẳng AA ’ ta
có : A  A,

B  A’ ,

A
Suy ra M = 
1

A'
1

A’  A’,

A’,

M  M

A A ' 
A' 
 = 

1 
1 2 
A

B B ' 

Tương tự ta có : M = 

1 2 

C C ' 
và M = 
.
1 2 

C 

C’

B’

M
B
A’

17

C


  A A '   B B '  C C '  
M  
=  1 2   1 2   1 2  

3 
3

3
3 


M M
Ta suy ra M = 
3 3

  A B C  A ' B ' C '  
A A ' B B ' C C '   

 
= 
   1 1 1   2 2 2  
1 2 1 2 1 2  

3
6


M A ' B '
= 
3 2 2

A ' B '
C' 
 suy ra M = 
2 
2 2


A ' B '
1 1

Ngược lại nếu M = 
A B

Giả sử M = 
x y
A A '
xuống AA thì M = 
x y
’

C
z

A ' B '
C' 
 = 
2 
1 1

A ' B '
C' 
=


1 
2 2


C'
2

C'
1


.


M
.
3


 . Khi đó qua phép chiếu song song phương BC


A A ' 
A' 
 = 

z 
 x y  z

B B ' 
C C ' 
Tương tự ta cũng có M = 
 = 


 y x  z
 z x  y

A

Suy ra M = 

A'

B

B'

C

x

yz y zx z

Suy ra

M= 
x x

C' 
 
x  y

xy
yz

zx
=
=
=
2
2
2

xyz
2
 x = y = z.

A B

C 
A B C 
=

.
x
1 1 1 
 A B C

2.1.9. ABMC là hình bình hành  M= 
.
 1 1 1 
Chứng minh. ABMC là hình bình hành
 MB + M C = MA

M


B

 - MA+ MB+ M C= 0


 A B C

M= 

 1 1 1 

A

18

C


2.2 Sự biểu diễn tỉ cự của các hình trong R3.
2.2.1. Cho tứ diện ABCD và M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của AB,
CD, BC, AD, AC, BD . Khi đó ta có MN, PQ, RS, địng quy tại một điểm I là
A B C D

trung điểm của mỗi đường và I = 
.
1 1 1 1
Chứng minh. Giả sử I là trung điểm của MN ta chứng minh I cũng là
M N 


trung điểm của PQ và RS. Thật vậy ta có I = 

1 1
 A B C D 
=  1 1   1 1  


2 
 2

=

 A C  B D  

 

 1 1   1 1  
2 
 2

A

A B C D

= 

1 1 1 1

=


Q

(*)

R S
 1 1 (**)



M

D

B

N
P

Từ (**) suy ra I là trung điểm của RS.

C

Tương tự ta có I là trung điểm của PQ.
Nên suy ra MN, PQ, RS đồng quy tại I là trung điểm của mỗi đường và từ (*)
A B C D

ta có I là trọng tâm của tứ diện hay I = 
 .
1 1 1 1
2.2.2. Cho tứ diện ABCD và G1, G2, G3, G4 theo thứ tự là trọng tâm của

các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Khi đó ta có AG1 , BG2 , CG3 , DG4
A

đồng quy tại G là trọng tâm của tứ diện .
Chứng minh. Giả sử G là trọng tâm của
A B C D

tứ diện tức G = 
 .Ta chứng minh
1 1 1 1

G3
G

B

G1

G  AG1 , G  BG2 , G  CG3 , G  DG4 .
A B C D

A C B D

Thật vậy: G = 
 = 1 1 1 1
1 1 1 1


19


C

D


=

 A C  B D 

 1 1  =  A C M  =
1 1 2 





2 
 1 1


C M  
A 
  = A G !  . Suy ra G  AG1
1
2

  1 3 


3  

 1

Tương tự ta chứng minh được G  BG2 , G  CG3 và G  DG4.
2.2.3. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ . Đường chéo AC’ cắt mặt
phẳng (BDA’) tại M , cắt mặt phẳng (B’D’C) tại N. Khi đó ta có M,N là trọng
tâm của tam giác BDA’ và tam giác B’D’C và AM = M N = NC' .

Chứng minh.
B D A ' 
Đặt G =  1 1 1 
 3 3 3 

là trọng tâm của
D

tam giác BDA’, ta chứng minh M



G.

C

A

B

Thật vậy, theo hệ quả 1.3.11 ta có:

M

’

D

AG =

1
1
1
AB + AD + AA'
3
3
3

AG =

1 ' '
1
1
A B + B ' C ' + AA'
3
3
3

AG =

1
AC '
3


N

’

’

C

B’

A

suy ra G  AC’.

Mặt khác G là trọng tâm của tam giác BDA’ nên suy ra G  AC’  (
BDA) hay M  G
1
3

Vậy M là trọng tâm của tam giác BDA’ và AM  AG  AC (1).
Tương tự ta có N là trọng tâm của tam giác B’D’C và C ' N =

20

1 '
CA
3


Suy ra NC ' =


1
AC '
3

(2). Lại vì A, M ,N, C’ thẳng hàng theo thứ tự đó

nên ta suy ra M N = AC ' - AM - NC ' = AC ' Từ (1) ,(2) và (3) ta suy ra

1
1
1
AC ' - AC ' = AC '
3
3
3

(3) .

AM = M N = NC ' .

2.3. Phương trình của phẳng trong An theo tọa độ tỉ cự.
Trong không gian afin cho mục tiêu tỉ cự P0 , P1 ,..., Pn .
2.3.1.Phương trình tham số: Trong khơng gian afin n-chiều cho mục
tiêu P0 , P1 ,..., Pn  (I), U là m-phẳng và A 0 , A1 ,...A m là m  1 điểm độc lập trong U
P

P ... P 

với A i   0 1 n  i  0, m . Điểm X  A n có toạ độ tỉ cự đối với mục tiêu (I)

a i 0 a i1 ... a in 
là x 0 , x1 ,..., x n  . Khi đó X  U  t 0 , t 1 ,..., t m  R thoả mãn

m

 t i  1 và
i 0

m

 t XA
i 0

i

i

0

A 0 ... A m 
 .Theo công thức đổi mục tiêu toạ độ I.5 ta có
t
t
...
0
m



hay X  U  X  


m

x

a ij t i

j

i 0
(*) m
hay ta viết
  t.i  1
 i 0

t0 
x 0 
t 
x 
X  A * T
 m
1 

trong đó T 
, X   1  , A  a ji n 1n 1 .

t

 
i

 
i 0
 
 
t m 
x n 

Và (*) được gọi là phương trình tham số của U.
2.3.2. Phương trình tổng quát: Khử m  1 tham số từ hệ (*) ta được
n
 b ij x i  0
*   i0n
gọi là phương trình tổng quát của U.
  xi  1
 i 0

Chú ý: 1 Nếu U là siêu phẳng thì phương trình tổng quát của U là
a 0 x 0  a 1 x 1  ...  a n x n  0
 n
. Khi đó bộ a 0 , a 1 ,.., a n  gọi là toạ độ tỉ cự của siêu

x j  1 , a i  0


 j0

phẳng đối với mục tiêu đã cho.
21



2

U là m-phẳng trong khơng gian afin An và có phương trình

tổng quát theo toạ độ afin là

n

b x
ij

j 0

j

i  1, n  m

 bi  0

khi đó phương trình

tổng quát của U theo toạ độ tỉ cự là



n
i  1, n  m
 b ij x j  0
j 0


n

xj 1

j 0




b i0  b 0

i  1, n  m

b ij  a ij  b i

2.4. Siêu mặt bậc hai.
Trong không gian afin cho mục tiêu P0 , P1 ,..., Pn   (I) và một siêu mặt bậc
hai có phương trình

n

a

i , j1

n

ij

x i x j  2 a i x i  a o  0


(1).

i 1

Trong đó a ij , a i , a 0  R , các a ij không đồng thời bằng 0 và a ij  a ji và x1 ,..., x n  là
tọa độ afin của điểm X  A n đốivới (I). Khi đó theo I.4 ta có X có tọa độ tỉ cự
n

đối với (I) là x 0 , x1 ,..., x n  với x 0  1   x i . Suy ra:
i 1

(1) 

n

a

i , j1







ij

x i x j  2 a i x i  a o x 0  x 1  ...  x n   0
i 1


n

n

i , j1

i 1

 a ij x i x j  b i x i  a o  0 với b 0  a 0 , bi  2a i  a 0 , i  0
n

a

i , j1



n

n

ij

x i x j  b i x i x 0  x 1  ...  x n   0
i 0

n

n


bi  b j

i , j1

i 0

2

 a ij x i x j  c ij x i x j  0 với c ij 
n

d

i , j 0

ij

xix j  0

Ta có: c ij 

bi  b j
2

d  a  c ij

với  ij ij
 d ij  c ij



b j  bi
2

i, j  0
i, j  0

 c ji . Vậy d ij  d ji , i, j  0, n .

22


Và ta có d ij khơng đồng thời bằng 0, vì nếu d ij  0 với i, j  0, n thì
d 00  0  c 00  0  a 0  0 và d 0i  0
 bi  0

i  1, n  c 0i 

 b i b j  0  c ij  0

i  1, n

b0  bi a 0  bi bi


0
2
2
2


i, j  0, n

i, j  1, n điều này mâu thuẫn với giả thiết a ij  0 .

 a ij  d ij  c ij  0  a ij  0

Vì vậy ta có thể định nghĩa siêu mặt bậc hai theo toạ độ tỉ cự như sau:
Định nghĩa. Trong không gian afin cho mục tiêu tỉ cự P0 , P1 ,..., Pn  và
phương trình

n

a

i , j 0

ij

(1)

xix j  0



bằng 0. Tập S  Mx 0 , x 1 ,..., x n   A n



với a ij  a ji , i, j  0, n ,


a ij không đồng thời



a
x
x

0
 là một siêu mặt bậc hai .

ij i j

i , j 0

n

x 0 
, X      khi đó phương trình (1) tương đương với
 x n 

Đặt A  a ij 

Xt AX  0 .
2.5. Tập lồi trong không gian afin thực.
2.5.1.Đoạn thẳng.
Định nghĩa đoạn thẳng trong khơng gian afin thực (xem 1 ).
Ta có M thuộc đoạn thẳng PQ 

với điểm O bất kì thì


OM  OP  1   OQ với   R,0    1









P Q 
 OM   OM  MP  1    OM  MQ  MP  1   MQ  0 hay M  
.
 1   

Từ đó ta có định nghĩa tương đương sau.
Định nghĩa. Cho hai điểm P và Q trong không gian afin thực An thì đoạn
P

Q 

thẳng PQ (kí hiệu là P, Q) là tập hợp những điểm M thoả mãn M  

 1   
với 0    1 .
23


2.5.2. Tập lồi.

a. Định nghĩa. Tập X trong không gian afin thực được gọi là lồi nếu P, Q  X
thì P, Q  X .
b. Ví dụ. Trong khơng gian afin thực An đoạn thẳng là một tập lồi.
Thật vậy, trong không gian afin An cho đoạn thẳng PQ . Giả sử
P0 , Q 0  P, Q

P

Q 

P

Q 

khi đó thì P0  
 với 0   0  1 , Q 0   1   

1


0
0
 0
 0
với 0   0  1 , 0   0  1 .
 P
Q  P
Q 
P0 Q 0 





M  P0 , Q 0   M  
 M   0 1   0   0 1   0  



  1  

1 



 P
Q  P
Q  



  P Q




1


0
0

0
0



  

1 

 
1

  0 1   0



 P

  0
1  

Q

1   0 
1 

Q 
P
 1      P
0     

 0
0
 1  
1
 

Q 
P
 1    
0 
 0
1 



Q

P

1 

0

1   0 

P

   0
 0


1  

1   0 

P Q

 (*)
x y 

với x   0   0 1    0 , y  1   0   1   0 1    0

Q

1 

 
P

 1   0   0   0 1   


Q 

1  0 



1   0   1   0 1   
Q


(vì ,  0 ,  0  0,1 ) và khi đó ta có x  y  1 (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra M  P, Q . Vậy P, Q là tập lồi.
Nhận xét: Trong không gian afin thực tập hợp

24




M




 A B C

M
, , ,   0,       0 gọi là hình tam giác ABC.


   


2.5.3. Đơn hình.
Trong khơng gian afin thực cho m  1 điểm độc lập P0 , P1 ,..., Pm .Tập hợp
những

điểm
m


OM    i OPi
i 0

M

sao

m


i 0

i

1

cho

với

điểm

O

tuỳ

ý

thì


 i  0i được gọi là m-đơn hình với các đỉnh

P0 , P1 ,..., Pm và ký hiệu là S( P0 , P1 ,..., Pm ).
m

Khi đó M  S( P0 , P1 ,..., Pm )  OM    i OPi
i 0

m

 OM    i (OM  MPi ) với
i 0

m

   i MPi  0 với
i 0

 P ... Pm 
M 0
 với
 o ...  m 

m


i 0

m



i 0

i

i

m


i 0

i

1

m

  i
i 0

1

 i  0i  0, m



 i  0, i  0, m

1


 i  0, i  0, m

1

 i  0, i  0, m .

Từ đó ta có định nghĩa tương đương sau:
a. Định nghĩa. Trong không gian afin thực An cho tập điểm độc lập
P0 , P1 ,..., Pm



 P0 P1 ... Pm  m
,   i  1,  i  0
 0 1 ...  m  i 0

tập SP0 , P1 ,..., Pm   X  A n X  





i là



m-đơn hình với các đỉnh P0 , P1 ,..., Pm
Ví dụ : 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là đoạn thẳng.
b. Định lí. m-đơn hình SP0 , P1 ,..., Pm  là tập lồi nhỏ nhất chứa P0 , P1 ,..., Pm .

P ... P ... P 

Chứng minh. Ta có Pi   0 i m   SP0 , P1 ,..., Pm  i  0, m . Ta chứng
 0 ... 1 ... 0 
minh SP0 , P1 ,..., Pm  là tập lồi. Thật vậy, giả sử M  SP0 , P1 ,..., Pm  ,

25