Bai giang CUC TRI HAM SO 2014

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ DẠNG 1: Cực trị của hàm số bậc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d . I. Các kiến thức cơ bản:  Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt.  Hoành độ x1 , x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y  0 .  Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm:  Phân tích y  f ( x ).q( x )   x   .  Suy ra y1   x1   , y2   x2   . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y   x   .  Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1 : y  k1 x  b1 , d2 : y  k2 x  b2 thì tan  . k1  k2 . 1  k1k2. II. Bài tập: Câu 1: (ĐH A-2002) Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3(1  m2 )x  m3  m2 (1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giải: TXĐ: D   . y  3x 2  6mx  3(1  m2 ) Phương trình y '  0 có   1  0 m nên đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) .. m 1 Ta có: y   x   y  2x  m2  m . 3 3 Khi đó: y1  2x1  m2  m ; y2  2x 2  m2  m . PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y  2x  m2  m .. 2 2 Câu 2: (ĐH D-2012) Tìm m để hàm số y  x 3  mx 2  2 3m2  1 x  có hai điểm cực trị x1 và x2 3 3 sao cho x1 x2  2  x 1  x2   1 .. . . Giải: TXĐ: D   Ta có: y '  2x 2  2mx  2 3m2  1  . Hàm số có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt.    0  13m2  4  0  m  . 2 13 2 13 v m . 13 13.  x1  x 2  m Theo Viet:  2  x1 . x 2  1  3m. GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. 2 Theo giả thiết: x1 x2  2 x1  x2   1  1  3m2  2m  1  m  0  m  . 3 2 So sánh điều kiện ta có m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 1 1 Câu 3: Cho hàm số y  x 3   m  1 x 2  3 m  2 x  , với m là tham số thực. Xác định m để hàm 3 3 số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  2x2  1 . Giải: TXĐ: D   y  x 2  2  m  1  x  3  m  2  Hàm số có cực đại và cực tiểu  y   0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    0  m2  5m  7  0 (m).  x1  x 2  2 m  1 Theo Viet: :   x1 x2  3 m  2 Theo giả thiết x1  2x2  1.  x2  3  2m 4  34   8m2  16m  9  0  m  . 4  x2  1  2x2   3 m  2 Câu 4: Cho hàm số y  4 x 3  mx 2  3x . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho. x1  4 x2 . 9 ĐS: m   . 2 Câu 5: Cho hàm số y  2x 3  9mx 2  12m2 x  1 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x 2CĐ  x CT . Giải: TXĐ: D   y  6x 2  18mx  12m2  6( x 2  3mx  2m2 ).. y '  0  x 2  3mx  2m2  0. Hàm số có CĐ và CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2   = m2 > 0  m  0 . 1 1 Khi đó: x1   3m  m  , x2   3m  m  . 2 2 Dựa vào bảng xét dấu y suy ra xCĐ  x1 , xCT  x2 . 2. Do đó: x. 2 CĐ.  x CT. GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892.  3m  m  3m  m   m  2 .    2  2. Page 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. 1 Câu 6: Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m2  1)x  1 (C m ) . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 3 yCD  yCT  2 . Giải: TXĐ: D   . x  m  1 y  x 2  2mx  m2  1 . y  0   . x  m  1  1  m  0 yCD  yCT  2  2m3  2m  2  2   . m  1 Câu 7: Cho hàm số y  x 3  3(m  1)x 2  9x  m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2 . Giải: TXĐ: D   y '  3x 2  6(m  1)x  9. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2.  PT x 2  2(m  1)x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 . m  1  3   '  (m  1)2  3  0   m  1  3  x  x 2  2(m  1) Theo Viet:  1  x1 x2  3 2. 2. Theo giải thiết: x1  x2  2   x1  x 2   4x1 x2  4  4  m  1   12  4.  (m  1)2  4  3  m  1 . So sánh điều kiện ta được giá trị của m cần tìm là 3  m  1  3 v 1  3  m  1. Câu 8: Cho hàm số y  x 3  (1  2m)x 2  (2  m)x  m  2 , với m là tham số thực.. Xác định m để hàm 1 số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  . 3 ĐS: m . 3  29  m  1 . 8. 1 Câu 9: Cho hàm số y  x 3  mx 2  mx  1 , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt 3 cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  8 .. GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014.  1  65 m  2 ĐS:  .  1  65 m   2. 3 1 Câu 10: Cho hàm số : y  x 3  mx 2  m3 . 2 2 Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Giải: TXĐ: D   . x  0 Ta có y '  3x 2  3mx  3x( x  m)  0   . x  m Với m  0 thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ, CT.  1  Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: A  0; m3  , B  m;0  .  2  3  m m    1  Trung điểm của đoạn AB là I  ;  , AB   m;  m3  . 2   2 4   AB  d A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x   I  d 1 3  m  2 m   m2  2  m   2 . 3 m  m  2 4. Câu 11: Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3m  1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x  8 y  74  0 . ĐS: m  2. Câu 12: Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x  2 y  5  0 . Giải: TXĐ: D   . y  x 3  3x 2  mx  y '  3x 2  6x  m . Hàm số có cực đại, cực tiểu  y   0 có hai nghiệm phân biệt    9  3m  0  m  3 . 1 1 1 2  Ta có: y   x   y   m  2  x  m . 3 3 3 3 . GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. 1 2  Do đó đường thẳng  đi qua các điểm cực trị có phương trình y   m  2  x  m nên có hệ 3 3  2 số góc k1  m  2 . 3 1 5 1 d: x  2 y  5  0  y  x   d có hệ số góc k2  2 2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d   1 2   k1k2  1   m  2   1  m  0 . 2 3  Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 thỏa ycbt. Câu 13: (ĐH B-2007) Tìm m để hàm số : y   x 3  3x 2  3  m2  1  x  3m3  1 C  có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của  C  cách đều gốc tọa độ O. Giải: TXĐ: D   . Ta có: y '  3x 2  6 x  3  m2  1  , y '  0   x 2  2x  m2  1  0 Hàm số có cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt   '  m2  0  m  0 . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là A 1  m; 2  2m3  , B 1  m; 2  2m3  . O cách đều A và B  OA  OB . 2. 2. 1  m   2  2m3 . 2. . = 1  m  2  2m3. . 2. 1 1 v m   v m 0. 2 2 1 1 So sánh điều kiện ta được m  v m   thỏa mãn ycbt. 2 2.  8m3  2m  m . Câu 14: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3  m2  1  x  m3  m (1), m là tham số. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O. Giải: TXĐ: D   . Ta có: y '  3x 2  6mx  3  m2  1  . Hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' đổi dấu 2 lần  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt   '  0  9  0  m   Hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m. Khi đó, điểm cực đại của đồ thị là A  m  1;2  2m  , điểm cực tiểu của đồ thị là B  m  1; 2  2m  . Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O  OB  3OA . GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. 2.  m  1   2  2m. 2. 3. 2. 2.  m  1  2  2m . .. Page 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. m  2 .   m  1    2  2m   9  m  1    2  2m    2m  5m  2  0     m  1  2 1 So sánh điều kiện ta được m  v m  2 thỏa mãn ycbt. 2 2. 2. 2. 2. 2. Câu 15: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1)x  m3  m . Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. m  3  2 2 ĐS:  . m   3  2 2 . 2 lần khoảng cách từ điểm. Câu 16: (ĐH B-2012) Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3  3mx 2  3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Giải: TXĐ: D   . x  0 y '  3x 2  6mx  0    x  2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  m  0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là A  0;3m , B  2m; m3  . 3. Suy ra OA  3 m , d  B , OA   2 m . m  2 1 Theo giả thiết S OAB  48  d  B , OA  .OA  48  3m4  48   (Thỏa ycbt). 2 m  2 Câu 17: Cho hàm số y  x 3  3x 2  m2  m  1 . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ). m  3 ĐS:  . m  2 Câu 18: Cho hàm số y  2x 2  3(m  1)x 2  6mx  m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB  2 . Giải: TXĐ: D   . y  6 x 2  6  m  1 x  6m . x  1 . y '  0  x 2   m  1 x  m  0   x  m Hàm số có CĐ, CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  1 . Khi đó các điểm cực trị là A(1; m3  3m  1), B(m;3m2 ) . GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014 2. AB  2  (m  1)2  (3m2  m3  3m  1)2  2  (m  1)2  (m  1)3   2.  m  0; m  2 (thoả điều kiện). Câu 19: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1)x  m3  4m  1 . Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho  OAB vuông tại O. Giải: TXĐ: D   . x  m  1  y  m 3 y  3x 2  6mx  3(m2  1) ; y  0   . x  m  1  y  m  1 Khi đó hai điểm cực trị của hàm số là A(m  1; m  3) , B(m  1;m  1) .    OA  (m  1; m  3) , OB  (m  1; m  1) .   m  1 OAB vuông tại O  OA.OB  0  2m2  2m  4  0   . m  2 Câu 20: Cho hàm số y  2x 2  3(m  1)x 2  6mx  m3 . Tìm m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C (4;0) . ĐS: m  1 . Câu 21: Cho hàm số y  x 3  3(m  1)x 2  12mx  3m  4 . Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao 9  cho hai điểm này cùng với điểm C  1;   lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. 2  Giải: TXĐ: D   . y '  3x 2  6(m  1)x  12m .. x 2  2(m  1)x  4m  0 . Hàm số có hai cực trị  y  0 có hai nghiệm phân biệt.   '  (m  1)2  0  m  1 (*). Khi đó hai cực trị là A(2;9m), B(2m; 4m3  12m2  3m  4) . ABC nhận O làm trọng tâm 2  2m  1  0  x A  x B  x C  3 xO 1     m   (thoả (*)). 9 3 2 2  y A  yB  yC  3 yO  4m  12m  6m  4  2  0 Câu 22 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 (1) . Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. Giải: TXĐ: D   . y  3x 2  6 x  m . Hàm số có 2 cực trị  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  3 . GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. 1 m  2m   2 x  2  . Ta có: y  ( x  1). y    3 3  3  m  2m   2 x  2  . Suy ra đường thẳng  đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình: y    3  3   m6   6m  cắt Ox, Oy tại A  ;0  , B  0;   m  0 . 3   2(m  3)   Tam giác OAB cân OA = OB . m6 6m 9 3   m  6; m   ; m   . 2(m  3) 3 2 2. 3 So sánh điều kiện ta có m   . 2 Câu 23: Cho hàm số y   x 3  (2m  1)x 2  (m2  3m  2)x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Giải: TXĐ: D   . y  3x 2  2(2m  1)x  (m2  3m  2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  0 có 2 nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2 . Câu 24: Cho hàm số y  x 3  6 x 2  3  m  2 x  m  6. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. Giải: TXĐ: D   . y '  3x 2  12x  3  m  2  , y '  0  x 2  4 x  m  2  0 Hàm số có cực đại, cực tiểu  y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '  2  m  0  m  2 . x 2 Biểu diễn: y  y ' 2 m  2 x  m  2 . 3  x1  x2 Khi đó, hai điểm cực trị của hàm số là A  , B .  y1  2 m  2 x1  m  2  y2  2 m  2 x 2  m  2  x  x2  4 Theo Viet:  1 (*)  x1 . x2  m  2 Hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành  y1 . y2  0.  2 m  2 x1  m  2 2 m  2 x 2  m  2  0 2.   m  2  4 x1 x 2  2 x1  x2   1  0 Từ (*) thay vào trên ta được. m  2  m  2 4  m  2  2.4  1  0   m  2  4m  17   0   17 . m   4 2. GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. 2. Page 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cực trị hàm số So Sánh điều kiện ta được . Luyện thi Đại học 2014. 17  m  2 thỏa mãn ycbt. 4. Câu 25: Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. ĐS: m  3. 1 1 Câu 26: Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m2  3)x . Tìm các giá trị của m để hàm số có các điểm cực trị 3 2 5 x1 , x2 với x1  0, x2  0 và x12  x22  . 2 Giải: TXĐ: D   . y  x 2  mx  m2  3 ; y  0  x 2  mx  m2  3  0.   0 P  0  3 m2  14  YCBT  S  0  14  m  2 .  m    2  x12  x 22  5  2. Câu 27: (Dự bị 2006) Tìm các giá trị của m để đồ thị  C  : y  x 3  1  2m  x 2   2  m  x  m  2 . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số  C  có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Giải: TXĐ: D   . y  3x 2  2(1  2m)x  2  m, y '  0  3x 2  2(1  2m)x  2  m  0 (1) . Đặt t  x  1  x  t  1 , thay vào (1) ta được: 2 3  t  1   2 1  2m  t  1   2  m  0  3t 2  4 2  m  t  5t  7  0 . (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt.  4m2  m  5  0    0  5 7   5m  7  P  0   0  m . 4 5 S  0  3   4  2  m  0   3. m 3 x  (m  2)x 2  (m  1)x  2 3 Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1  x2  1 . Câu 28: Cho hàm số y . GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014. Giải: TXĐ: D   . y  mx 2  2(m  2)x  m  1 ; y  0  mx 2  2(m  2)x  m  1  0 (1) Đặt t  x  1  x  t  1 , thay vào (1) ta được: m(t  1)2  2(m  2)(t  1)  m  1  0  mt 2  4(m  1)t  4m  5  0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. m  0    0 5 4   m .  4 3 P  0 S  0. 1 3 x  mx 2  (m2  m  1)x  1 3 Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thoả mãn 1  x1  x2 . Câu 29: Cho hàm số : y =. Giải: TXĐ: D   y  x 2  2mx  m2  m  1 . Đặt t  x  1  x  t  1 ta được : y '  g(t )  t 2  2 1  m  t  m2  3m  2. (1) có hai cực trị x1 , x2 thoả 1  x1  x2  g(t )  0 có hai nghiệm t 1 , t 2 thoả 0  t 1  t 2 m  1  0  '  0    S  0  m2  3m  2  0  m  2. 2m  2  0 P  0   Vậy: Với m  2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1 , x2 thoả mãn 1  x1  x2 .. Câu 30: Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1. Giải: TXĐ: D   Hàm số có CĐ, CT  y '  3x 2  6x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt x A ; x B   '  9  3m  0  m  3 (*). 1 m 1  2m   Biểu diễn: y   x   y '   2 x   2  . 3 3 3  3     2m m    2m m   Khi đó, hai điểm cực trị của hàm số là A  x A ;   2  x A  2   , B  x B ;  2 xB  2   3   3 3     3 Các điểm cực trị cách đều đường thẳng  : y  x  1  d  A,    d  B ,   . x A  yA  1 2. . GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. x B  yB  1 2.  x A  x B   y A  yB   0  x  y A  1  x B  yB  1  A   x A  y A  1   x B  yB  1  x A  x B   y A  yB   2  0. Page 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Cực trị hàm số. Luyện thi Đại học 2014.  x A  x B  L    2m m   2m m       x A  x B   3  2  x A   2  3    3  2  x B   2  3    2  0   .  2m  m    x A  x B    2   x A  x B   2 2     2  0 3     3  2m  m    2    2  .2  2 2     2  0  m  0. 3     3 Vậy giá trị cần tìm của m là: m  0 . Câu 31: Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3x  2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Giải: TXĐ: D   Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g( x , y )  3x  y  2 ta có: g( x A , y A )  3x A  y A  2  4  0; g( x B , yB )  3x B  yB  2  6  0.  2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y  3x  2 . Do đó MA + MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng  M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y  2x  2  y  3x  2 4 2  4 2  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:   x  ; y   M  ;  . 5 5 5 5  y  2x  2  Câu 32: Cho hàm số y  x 3  3mx  2  C m  . Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của. Cm  cắt đường tròn tâm I(1;1) , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất. Giải: TXĐ: D   . y '  3x 2  3m . Hàm số có CĐ, CT  PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0. 1 Vì y  x . y  2mx  2 nên đường thẳng  đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương 3 trình là: y  2mx  2. Ta có d  I ,   . 2m  1.  R  1 (vì m > 0)   luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 4m2  1 tại 2 điểm A, B phân biệt. 1 1   1 R2  1 . Với m  :  không đi qua I, ta có: S IAB  IA.IB.sin AIB 2 2 2 2 R 1 1  Nên S IAB đạt GTLN bằng khi sin  AIB  1 hay IAB vuông cân tại I  IH  . 2 2 2. GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cực trị hàm số . 2m  1 2. 4m  1. Luyện thi Đại học 2014 . 1 2 3 (H là trung điểm của AB). m 2 2. Câu 33: Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có  1 11  hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I  ;  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 4  lớn nhất. Giải: TXĐ: D   y  3x2  6x  m . Hàm số có 2 điểm cực trị  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt    0  m  3 . m  x 1  2m   2 x   1 Ta có: y     y   3  3 3  3  m  2m   2 x   1 .  PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là:  : y   3  3     1   3 Dễ dàng tìm được điểm cố định của  là A   ;2  . AI   1;  .  2   4 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên  .  2m  3  2.  0  m  1 . Ta có d( I , )  IH  IA . Dấu "=" xảy ra  IA    1    3  4 5 Vậy max(d( I ,  ))  khi m  1 . 4. 1 Câu 34: Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m  1 (C m ) . 3 Tìm m để đồ thị  Cm  có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất. Giải: TXĐ: D   y  x 2  2mx  1 ; y  0 có   m2  1  0, m  hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 , x2 . Giả sử các điểm cực trị của (C m ) là A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ). 1 2 2 Ta có: y  ( x  m). y  (m2  1)x  m  1 3 3 3 2 2 2 2  y1   (m2  1)x1  m  1 ; y2   (m2  1)x2  m  1. 3 3 3 3 4  4   Do đó: AB 2  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  (4m2  4) 1  (m2  1)2   4  1   9  9   2 13 2 13  AB  . Dấu "=" xảy ra  m  0 . Vậy min AB  khi m  0 . 3 3 Câu 35: Cho hàm số y  x 3  3x 2  m (1). GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892. Page 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>