Bài tập lớn môn đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.38 KB, 12 trang )
BÀI TẬP NHÓM KẾT THÚC HỌC PHẦN – ĐẠI SỐ
Câu 1. Cho các ma trận
và đa thức
f x x2 x 1
A, tính
B, tính
C, tính rank(A), rank(B)
Bài giải
A,
Det(A) = = 20 + 6 +2 – 4 – 4 –15 = 5
A2 = =
AB =
Bt =
BtB =
BBt =
Det(BBt) = 126 + 45 + 45 – 54 – 63 – 75 = 24
B,
- Cho f(x)=x2 + x – 1 và
khi đó :
f(A) = A2 + A – 1=
=
= +
=
- Ta có kết quả BBt =ở ý A
f(BBt) = (BBt )2 + BBt – 1 =
=
= +
=
C,
A=
Vậy rank(A) = 3
B=
Vậy rank(B) = 3
Câu 2. giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Bài giải
Gọi hệ phương trình đã cho là A =
Từ hệ ta được:
Abs =
hpt
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1,1,1,1).
Câu 3. Trong không gian vec-tơ R3, cho hệ vec-tơ
A, chứng tỏ rằng hệ S độc lập tuyến tính
B, bổ sung vào hệ S một vec-tơ , chứng tỏ S phụ thuộc tuyến tính.
C, chứng tỏ S là một cơ sở của R3
D, tìm ma trận chuyểnn từ cở sở chính tắc sang cơ sở S trong R3
E, tìm tọa độ của vec-tơ trong cơ sở S
F, tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở chính tắc
G, trực giao hóa Gram-Smidt hệ vec-tơ S ở câu A
Bài giải
A,
Chứng minh:
Xét a.v1+ b.v2 + c.v3 =
a(1,0,1) + b(-1,2,0) + c(1,1,1) = (0,0,0)
.
Suy ra hệ vec-tơ S là độc lập tuyến tính.
B,
Bổ sung vào hệ S một vec-tơ
v a, b, c | a 2 b 2 c 2 �0
Xét biểu diễn tuyến tính của vectơ v(a,b,c) trong hệ S ta có:
(1,0,1) + (-1,2,0) + (1,1,1) = (a,b,c)
Vì
=> Tồn tại (
=> + +
Ta thấy -1 => hệ S phụ thuộc tuyến tính.
C,
S= { (1, 0, 1); (-1, 2, 0); (1, 1, 1)} R3
+/ Số phần tử của S = dim R3 = 3 (tm)
+/
Det(S)= = -1(tm)
độc lập tuyến tính
Vậy S là cơ sở của R3
D,
Ta có cơ cở chính tắc của R3 là :E ={e1=(1,0,0); e2=(0,1,0); e3=(0,0,1)}
Khi đó ma trận chuyển từ sơ sở chính tắc E sang cơ sở S là : E S
=
v1=
(1, 0, 1)=+
=> =>=
_
=
v2=
(-1, 2, 0)=+
=> =>=
_
=
v3=
(1, 1, 1)=+
=>=>=
Vậy =là ma trận chuyển từ cở sở chính tắc sang cơ sở S trong R3
E,
Cho vectơ
u 1,3, 2
S
Xét biểu diễn tuyến tính của vectơ u=(1, 3, 2) trong cơ sở S
Ta có : u=av1 + bv2 + cv3
(1, 3, 2) = a(1, 0, 1) + b(-1, 2, 0) + c(1, 1, 1)
Vậy tọa độ của vectơ u trong cơ sở S là
F,
Ta có cơ cở chính tắc của R3 là :E ={e1=(1,0,0); e2=(0,1,0); e3=(0,0,1)}
Khi đó ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở chính tắc E là: S E
_
=
e1=
(1, 0, 0)=+
=> =>=
_
=
e2=
(0, 1, 0)=+
=> =>=
_
=
e3=
(0, 0, 1)=+
=>=>=
Từ =
Vậy = là ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở chính tắc E
G,
Trực giao hóa Gram-Smidt hệ vec-tơ S= { (1, 0, 1); (-1, 2, 0); (1, 1, 1)}
Chọn f1 = v1 = (1,0,1).
f 2 = v2 f 1 =
= (-1,2,0) + ()
= (-1,2,0) ()
= ()= (-1, 4, 1)
f3 = v3 f1 f2
=
= (1,1,1) – () – ()
= (1,1,1) () ()
= ().
Chuẩn hóa vectơ trực giao ta được:
= ==
= ==
= ==
Như vậy quá trình trực giao hóa Gram-schmidt cho ta họ vectơ trực chuẩn là
S*=( )
=
Câu 4. Chứng tỏ là một không gian vec-tơ trên trường R, tìm số chiều
P x
và tìm một cơ sở của 2
Bài giải
_ là một không gian vectơ
thì
Pn(x) được gọi là một khơng gian vectơ trên trường R nếu
thì x+y
(Đ/n)
Pn(x) là một không gian vectơ trên trường R
_
Cơ sở của là :
Số chiều của cơ sở P2 (x ) là :
dim(P2)=2+1=3
Câu 5. Trước hết, nhắc lại về ánh xạ tuyến tính: cho hai khơng gian vec-tơ
M và N trên trường số thực , một ánh xạ tuyến tính f : M � N , là một ánh xạ
đi từ M vào N và thỏa mãn:
�
�f x y f x f y
| x, y �M , k �R
�
kf x f kx
�
1
Hai không gian M và N gọi là đẳng cấu, và viết M N , nếu như f là song ánh.
1
A(*), chứng tỏ định nghĩa trên tương đương với đẳng thức
B(*), chứng minh các khơng gian vec-tơ có chiều n thì đẳng cấu với Rn
C(*), từ đó chứng minh rằng P2R3
Bài giải
A,
Hai không gian vec-tơ M và N trên trường số thực , một ánh xạ tuyến tính
Theo định nghĩa ánh xạ tuyến tính ta có :
Từ đẳng thức :
Thay a=b=1 ta được f(x+y)=f(x)+f(y)
(*)
Thay tiếp b=0 ta được f(ax)=af(x)+0f(y)=af(x)
(**)
Từ (*)và(**) suy ra đẳng thức đã cho giống với định nghĩa (1)
B,
Theo định lý: Hai không gian euclide đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số
chiều.
Như đề bài cho ta có : số chiều của khơng gian Rn là: dim(Rn) = n
Vì vậy các khơng gian vectơ có chiều n đều đẳng cấu với Rn
C,
dim(P2)=2+1=3
dim(R3)=3
=> dim(P2)=dim(R3)=3
=> P2R3
Câu 6, cho ánh xạ :
f: R3 R2
f(x,y,z)=(x+y;x
A, chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.
B, tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc trong R3 và R2
C, tìm số chiều của hạt nhân và của ảnh đối với ánh xạ f
D, từ đó chứng tỏ ker(f); Im(f)R2
Bài giải
A,
x=(x1, y1 ,z1 ) ; y=( x2 ,y2 ,z2) R3
_Xét đk1: f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x1 +x2 ,y1 +y2 , z1 +z2 )
=( (x1 + x2)+( y1 + y2) ,( x1 + x2) (z1 + z2))
=( x1 + y1 , x1 z1)+( x2 + y2, x2 z2)
=f(x)+f(y)
(t/m)
_Xét đk2:f(x)=f(x)
f(x)=f(x1 , x2 , x3)
=f((x1 + y1) ,( x1 z1 ))
= f(x1 + y1 , x1 z1 )
= f(x)
(t/m)
Từ đk1 và đk2 => f là ánh xạ tuyến tính
B,
Ta có:
f(x,y,z)=(x+y;x
Ký hiệu (e)={e1= (1,0,0) ; e2= (0,1,0) ; e3= (0,0,1) }là cơ sở chính tắc của R3
Ký hiệu ( e’) ={ = (1,0) ; = (0,1) } là cơ sở chính tắc của R2
_Từ giả thiết ta có:
f(e1) =f(1,0,0) = (1,1) =
f(e2) =f(0,1,0) = (1,0) =
f(e3) =f(0,0,1) = (0,1) =
_Như vậy , ma trận của f trên cặp cơ sở (e) , ( e’) là :A=
C,
Ta có : dim(R3) = 3
=> f(D)=0
(x + y ;x – z ) =(0,0,0)
=> D(1,1)
⇒ ker(�) = ����(1, −1) ∈ � 3 ⇒ dim(ker(�)) = 1
Theo định lý về số chiều: dim(R3)= dim(Imf)+dim(kerf)
=>dim(Imf) = dim(R3) dim(kerf)
=3 1 = 2
Vậy số chiều của hạt nhân bằng 1 và số chiều của ảnh bằng 2.
D,
_Chứng tỏ ker(f)
Từ ý C ta có
=>rank(f)=dim(R)=> ker(f) là đẳng cấu của R
_Chứng tỏ Im(f)R2
dim(R2)=2
Từ ý C ta có
=> dim(R2)==>Im(f) là đẳng cấu của R2
Câu 7(*). Chứng minh lại (theo ý hiểu) định lý sau: cho f : M � N là ánh xạ
tuyến tính giữa các khơng gian vec-tơ M , N trên trường R. Khi đó ta có :
Bài giải
Giả sử dim(Ker(f))=n. Tồn tại cơ sở của nhân
Bổ sung vào E để được cơ sở của M:
Ta chứng tỏ cơ sở của Im(f) là
1)
2) Chứng minh độc lập tuyến tính.
Giả sử
Vì
độc lập tuyến tính. Vậy là cơ sở của Im(f).
