DE HSG casio 9 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS. TRIỆU SƠN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án có: 04 trang). GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 – 2013. Ngày thi: 06/11/2012. Chú ý: 1. Những bài kết quả hơn 7 chữ số ở phần thập phân thì làm tròn đến 7 chữ số ở phần thập phân . 2. Với những bài có 2 ý (a và b) mà không yêu cầu trình bày lời giải thì mỗi ý 1 điểm. 3. Với những bài có yêu cầu trình bày lời giải thì phần trình bày lời giải 1,5 điểm, còn phần kết quả 0,5 điểm. 4. Nếu kết quả sai một chữ số cuối cùng hoặc thiếu 1 chữ số hoặc thừa 1 chữ số thì mỗi trường hợp trừ 1/4 số điểm. 5. Nếu sai dấu “=” hoặc “” hoặc kết quả có đơn vị mà thiếu đơn vị thì trừ 1/4 số điểm. 6. Nếu giải học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm. 7. Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.. Công thức tính và kết quả. Đề bài Bài 1: (2,0 điểm): Hãy tính giá trị của biểu thức: A=a −. 1. ( √ a − √a − 1. −. 1. √ a+ √ a −1 ). A ¿ a −2 √ a −1 A 32 , 4604997. với a=1+ √2012. Lời giải: ĐKXĐ: a ≥ 1 A=a −. ( √ a − 1√a − 1 − √ a+√1a −1 ). ¿a−. [. √ a+ √a − 1− ( √ a− √ a −1 ) 2 2 ( √ a ) − ( √ a −1 ). ]. a+ √ a − 1− √ a+ √ a −1 = a− 2 √ a − 1 a −a+ 1 Thay a=1+ √2012 vào biểu thức A ¿ a −2 √ a −1 ta được A 32 , 4604997 ¿a−. [√. ]. Bài 2: (2,0 điểm): a) Tìm số dư trong phép chia 3100 cho 13. b) Tìm giá trị chính xác của số B = 130120103. Lời giải: 100 4 96 4 3 32 a) Ta có: 3 =3 . 3 =3 . ( 3 ) Vì 33=27=13 . 2+1 nên 33 ≡1 (mod 13), do đó: 32 ( 33 ) ≡ 132 (mod 13) hay 396 ≡1 (mod 13). 34 =81=13 . 6+3 nên 34 ≡3 (mod 13) Do đó: 3100 =34 . 396 ≡ 1. 3 (mod 13) Vậy số dư trong phép chia 3100 cho 13 là 3. b) Ta có: 13012013 = (13.105 + 1201)3 = 133.1015 + 3.132.1010. 1201 + 3.13.105.12012 + 12013 = 2197.1015 + 608907.1010 +56253639.105 + 1732323601 = 2203094697096223601 Nên kết quả là: 2203094697096223601000.. Bài 3: (2,0 điểm). a) 3 b) 22030946970962 23601000.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 9cm, AC = 12cm. a) DB ≈ 6 , 4285714 cm Phân giác của góc A cắt BC ở D. DC ≈ 8 , 5714286 cm a) Tính DB, DC và số đo góc B (làm tròn đến phút). b) Qua D kẻ DE AB, DF AC.Tính chu vi và diện tích tứ giác B 5308’ AEDF. Lời giải: b) 2 a) Tam giác ABC vuông ở A: S =DE BC2 =AB 2+ AC2=92+ 122=225. Suy ra: BC = 15 (cm) AC. AB. Do đó:. 4 DE 20 ,5714286 ( cm ). F E. 9. B. D. C. DB DC DB+ DC BC 15 5 = = = = = 9 12 9+12 21 21 7 5 5 DB= . 9 ≈ 6 , 4285714 ( cm ) ; DC= .12 ≈ 8 , 5714286 ( cm ) . 7 7. b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật vì có ba góc vuông, lại có AD là phân giác của góc A nên AEDF là hình vuông. Δ BDES. Δ BCA nên. DE BD = . Suy ra: AC BC. DE=. AC . BD 36 = BC 7. 2. 36 2 2 Vậy S AEDF =DE = 7 ≈ 26 , 4489796 ( cm ) .. ( ). 36 Chu vi tứ giác AEDF là: 4 . 7 ≈ 20 , 5714286 ( cm ) Bài 4: (2,0 điểm):. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5 x+25=−3 xy+ 8 y2 b) Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) = - 18. Tính f(2012) = ? Lời giải: 2 a) Ta có: 5 x+25=−3 xy+ 8 y ⇔ x ( 3 y+5 )=8 y 2 −25 ⇔ 9 x ( 3 y +5 )=72 y 2 −225 ⇔ 9 x ( 3 y +5 )=8 ( 9 y 2 −25 ) − 25 ⇔ ( 3 y +5 ) ( 24 y −9 x − 40 )=25 ⇒ 3 y +5 ∈ { ± 1; ± 5 ; ±25 } Suy ra:. y ∈ { −10 ; −2 ; 0 }. a) (x ; y) ¿ ( −31 ; −10 ) ¿ ( −7 ; −2 ) ¿ ( −5 ; 0 ). b) Xét các trường hợp của y, ta tìm được các nghiệm nguyên của phương f(x) = x3 - 6x2 trình là: ( x ; y ) =( −31 ; −10 ) , (− 7 ; −2 ) , ( −5 ; 0 ) . + 11x. b) Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(1) = f(2) = f(3) = 6 và f(-1) = -18 nên ta có: f(2012) = ¿ ¿ 8120598996 a+b+ c+ d=6 a=1 8 a+ 4 b+2 c +d=6 27 a+ 9b +3 c+ d=6 − a+b − c+ d=−18 ¿ { {{ ¿. 2. Chu vi =. nên ta có: DC = AC =12 Suy ra:. 26 , 4489796 cm. 12. Ta có: SinB = BC =15 =0,8 Do đó: B 5308’ Do AD là phân giác của góc A DB. AEDF. A. Giải hệ phương trình ta được:. Vậy f(x) = x3 - 6x2 + 11x; f(2012) = 8120598996.. b=−6 c=11 d=0 ¿ {{ { ¿.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 5: (2,0 điểm) Cho u1 =1; u2 = 2; u3 = 3; un+3 = 2un+2 - 3un+1 + 2un (n 1). a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un+3 . b) Áp dụng quy trình trên để tính u20; u66; u71. Lời giải: a) Gán: 3 → A; 1 → B; 2 → C; 3 → D. Nhập: A=A+1:B=2D-3C+2B:A=A+1:C=2B-3D+2C:A=A+1:D=2C-3B+2D = = = .... b) + A=A+1=20 => C= u20 = -142. + A=A+1=66 => C= u66 = 2777450630. + A=A+1=71 => C= u71 = 20112669699. Bài 6: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n ( 100 ≤n ≤ 200 ) để a=√19026+ 25 n cũng là số tự nhiên. Lời giải: 100 ≤n ≤ 200 Với ta có: 146 , 7174155≈ √ 19026+2500 ≤ √19026+ 25 n≤ √ 19026+5000 ≈ 155 ,0032258 Vậy 147 ≤ a≤ 155 khi 100 ≤n ≤ 200 Thử với. 147 ≤ a≤ 155. theo công thức. n=. a 2 −19026 25. ta được:. n = 127, a = 149; n = 151, a = 151. Bài 7: (2,0 điểm) Tính tổng: S=. 1 −2013. 2. +. 1 −2012. +1 2. +1. +.. .+. 1 1 1 +. ..+ 2012 + 2013 . 2 +1 2 +1 2 + 1 0. Lời giải: a. 1 1 1 1 2 1 + a = + a = a + a =1 . Do đó: 2 +1 2 +1 1 +1 2 +1 2 +1 2 +1 a 2 −a. Ta có: S=. 1. +. 1. 2−2013 + 1 2−2012 +1. +.. .+. 1 1 1 1 1  1  ...  0 2013,5 +. ..+ + 0 2012 2013 2  1 . 2 +1 2 +1 2 + 1. Bài 8: (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho ABD = CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BNE. Lời giải: Kẻ BI  AC  I là trung điểm AC. Ta có:  ABD =  CBE = 200   DBE = 200  ADB =  CEB (g.c.g)  BD = BE   BDE cân tại B  I là trung điểm DE. mà BM = BN và  MBN = 200   BMN và  BDE đồng dạng. 2 S BMN  BM  1    4  S BED  BE  1 S BDE  SBNE = 2SBMN = 2 = SBIE 1 3 S ABC  8 Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = 2. 0 , 2165064. (đvdt).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 9: (2,0 điểm) Giải phương trình: x 2+ 4 x +5=2 √ 2 x +3 Lời giải: 3 ĐKXĐ: x ≥ − 2 .. Ta có: x 2+ 4 x +5=2 √ 2 x +3 ⇔ ( x 2 +2 x+1 ) + [ ( 2 x +3 ) −2 . √ 2 x+3+ 1 ]=0 2 ⇔ ( x +1 )2 + ( √ 2 x +3 −1 ) =0 ⇔ ( x+1 )2 =0 2 ( √ 2 x +3 −1 ) =0 ¿{. ⇔ x=− 1. (Thoả mãn ĐKXĐ). Bài 10: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích là S. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt AM. BN. CP. lấy các điểm M, N, P sao cho: MB =NC = PA =k . a) Tính SMNP theo S và k; b) Áp dụng với S = 4 √ 13 cm2 và k = 1. Lời giải: a) Đặt S1 = SAMP; S2 = SBMN; S3 = SCNP;. A. S AM . AP S 2 BM . BN S 3 CP . CN ⇒ 1= ; = ; = ; S AB . AC S BA . BC S CA . CB. S1. Ta có:. AM k AM k AM k = ⇔ = ⇔ = MB 1 AM+ MB k +1 AB k +1 CP k PA 1 PA 1 AP 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = PA 1 CP k PA +CP k +1 AC k +1 S1 k 1 k Suy ra: S = k +1 . k +1 = (1) ( k +1 )2 S2 k = S ( k +1 )2. Chứng minh tương tự, ta có:. Suy ra: SMNP = S - (S1 + S2 + S3) = S 3k b) SMNP ¿ S 1−. [. ( k+ 1 ). 2. ]. [. =4 √13 . 1−. M S2. S3. B. S3 k = S ( k +1 )2 3k 3k . S=S 1− 2 ( k +1 ) ( k +1 )2. N. (2);. [. 3.1 ≈3 , 6055513 ( cm2 ) 2 ( 1+1 ). ]. P. (3). ]. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>