PT chuan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHẦN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THÔNG THƯỜNG Bài 1: Giải các phương trình sau 1 x 2  x   4  2 3 0 4 1) 1,5x2 -2,5x -1=0 6) 2) -x2 +4x+3=0. 7). 3) x 2 -2(1+ 3 )x +2 3 +1=0. 8). 4x  4 x 1 . 7  4 3 0. x  5  x 1. x 1 x x 1   2 4) x –( 9) x  1 1  x 1  x 2x 1  2 2 3 x  2 3  2 1 x 5) 10) x  1 Bài 2: Giải các phương trình sau ( có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ) x 1 x  1  1) x4 –x2-6=0 2) x  1 x  1 =3 3) (x2 +2x)2 -2(x2+2x) -3=0 4) (x2 +2x+2)2 -2(x2+2x) -28=0 2 2 2 5) (x -5x) -30(x -5x) = 216 6) (y-x-2)2 + (x+2y) 2 =0 2 2 1 2 1 ) )  4,5( x  )  5 0 x 7) (x- x 2 +x- x - 2=0 8) (x+ x 2 1 x 4 1 2  2  2 0 ) 2 9) x  4 x  2 x x  2 x 10) (x+ 2 +6x +11=0 Bài 3; Giải phương trình 2. 2  3 ) x  6 0. 2 1) 1  2 x  x  1 3) 1  x  2  x 1. 5). x 1 1 x. 7) 3x-4 x  1 18 x 1 x 1 3   x 1 x 1 2 9) 11). x2  4  x  2. 2 2 13) x  2 x  5  x  2 x  1. 2) x-4= x  2 4) 1  x  4  x 3 6) x-1= x  1 8) x- x  12 14 10). 1 x . 2  x 1. 12). 3 x 2  12 x  16  y 2  4 y  13 5. 14) x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 5. 2 15) 3x2 +2x=1-x+2 x  x. 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 2.1) Phương trình a x3 +bx2 +cx+d=0 (1) (a 0) -Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải -Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1 - Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích -Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của hạng tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x1;x2;x3 thì x1+x2+x3 =-b/a x1.x2.x3 =-d/a x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a Bài 1: a) Giải phương trình 2x3+7x2+7x+2=0 b) Giải phương trình x3+7x2-56 x+48=0 c) Giải phương trình 2x3+5x2+6x+3=0 d) Giải phương trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) Bài 2: Giải phương trình sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 ( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a 0 ) (Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau ) phương pháp giải gồm 4 bước - Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x 2 (đk x 0) rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình mới 1 1 ) 2 2 - Đặt ẩn phụ : (x+ x =t (3) => x + x =t2 -2 ta được phương trình ẩn t - giải phương trình đó ta được t = …. - thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1) Bài 1: Giải phương trình sau : 10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) 2.3) Phương trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) e d ( ) 2 b ; phương tình hệ số đối Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 e 0) và a xứng bậc 4 chỉ là 1 trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy e Chú ý : Khi a =1hay a=e thì d=  b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 bx +e =0 Cách giải: - Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1)nên chia cả hai vế cho x2 ta được d c  2 a x2 +bx +c + x x = 0 (2) c d )  b( x  )  c  0 2 bx - Nhóm hợp lí a (x2 + ax d d d )  2 t 2 2 b - Đổi biến đặt x+ bx =t => x2 +( bx do (d/b)2 =c/a 2 2 2 nên x + c/ a x =t -2. d/b d 2 Khi đó ta có phương trình a (t - 2 b ) bt +c =0 Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at2+ bt +c=0 (3) - Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu Bài 1: Giải phương trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) Nhận xét : tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bước đặt ẩn phụ m m2 2m  y2  2 2 b Đặt x+ bx =yb => x2 + b x 2.4) Phương trình dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m (Trong đó a+d=b+c) cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó Khi đó phương trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) Ta có phương trình At2 +B t + C =0 (Với A=1) Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm được nghiệm x Bài 1: Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) 2.5) Phương trình dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) cách giải : Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) a b a b a b Đặt t =x+ 2 => x+a =t+ 2 và x+b=t - 2 a b a b Khi đó phương trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( 2 )2 t2 + 2( 2 )4 –c =0 Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải 2.2) Phương trình hệ số đối xứng bậc 4 :.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 1: Giải phương trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 2.6) Phương trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (trong đó x là ẩn ;a  0 ; f(x) là đa thức một biến ) cách giải: - Tìm TXĐ của phương trình - Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phương trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f(x) =t +/ nghiệm của phương trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnh (1) Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) 2.7) Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) Giải phương trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0 Bài tập VN : Giải các phương trình sau 1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0 4 3 2 3) x - 3x +9x -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0 5, x4 +5x3 -14x2-20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0 4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2 2 7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x2 và đặt t=x+7/x (đk x  0) 5 4 3 2 8) 3x -10x +3x +3x -10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 5 4 3 2 10) 6x -29x +27x +27x -29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0 12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20 13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA PHƯƠNG TRÌNH ax2+bx+c=0 CHỨA THAM SỐ. Dạng 1: Giải và biện luận phương trình Cách làm * Xét a = 0, phương trình là... có nghiệm... * Xét a<>0 tính  +  <0 phương trình vô nghiệm +  = 0 phương trình có nghiệm kép, x = (chỉ rõ nghiệm) +  >0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt, viết nghiệm tổng quát * Kết luận: Ví dụ: Giải và biện luận theo m các phương trình sau a) mx2- 4m + 5 = 0 b) (m -1)x2- 2(m+1)x + m -2 =0 c) (2m – 1)x2- 4mx + 4 = 0 d) (m – 1)x2- 2(m+2)x + m + 1 = 0 Dạng 2: Tìm một nghiệm khi đã biết một nghiệm b c *Định lí Vi-et: Nếu phương trình ax2+bx+c=0 có 2 ng x1 ; x2 thì S=x1 + x2 = a và P=x1 x2 = a **Định lí Vi-et đảo: Nếu tồn tại 2 số u và v sao cho S= u + vvà P= u.v thì u và v là 2 nghiệm của phương trình X2-SX+P=0 đk:s2-4p>0 Cách làm: - Vì x = x0 là nghiệm của phương trình ta thay nghiệm đã biết vào phương trình tìm tham số. - Thay nghiệm đã biết và tham số vào hệ thức Vi-et để tìm nghiệm còn lại. Ví dụ 1:Cho phương trình x2 – (m+2)x + 2m + 4 = 0 a) Giải phương trình với m= -1 b) Tìm m và nghiệm còn lại biết phương trình có 1 nghiệm bằng 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + 10mx + 1 = 0 a) Tìm m và nghiệm còn lại biết phương trình có một nghiệm là 3  8 b) Tìm m và nghiệm còn lại biết phương trình có một nghiệm là 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ví dụ 3: Cho phương trình (2m -1)x2 – 4mx + 4 = 0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là m. Ví dụ 4: Cho phương trình x2 +(2m-5) x +3n =0 (1). Tìm m và n để phương trình (1) có 2 nghiệm là x1=2; x2=-3 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm. Cách làm: * Để phương trình có nghiệm duy nhất a=0. a 0  * Để phương trình có nghiệm kép cần  0 a 0  * Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cần   0 * Để phương trình vô nghiệm thì xét 2 trường hợp: - Trường hợp a = 0 xem có nghiệm không. - Trường hợp a<>0 thì cho <0 * Để phương trình có nghiệm thì chia ra hai trường hợp: - Để phương trình có nghiệm duy nhất a = 0 a 0  - Để phương trình có 2 nghiệm:  0 Ví dụ 1: Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. Ví dụ 2: Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm. Ví dụ 3: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. 1. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. 2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. Ví dụ 4: Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Dạng 4: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm. Cách làm: * TH1: a=0 xem phương trình thu được có nghiệm hay không có nghiệm * TH2: a<>0, tính , xét : - Nếu =0 phương trình có nghiệm kép - Nếu >0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt - Nếu <0 phương trình vô nghiệm Ví dụ 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 2 2 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = 0 ; 4) x + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 2 2 7) x – 2mx – m – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu điều kiện sau được thoả mãn: 5a + 3b + 2c = 0. Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm 2 a) x  (a  b  c)x  ab  ac  bc 0 2 2 2 2 2 2 b) a x  (a  b  c )x  b 0 Dạng 5: Chứng minh ít nhất một phương trình có nghiệm. Cách làm: + Tính 1 và 2 + Tính 1+2 > 0 hoặc 1.2<0 thì chắc chắn có 1 hằng số  >0. Vậy ít nhất một phương trình có nghiệm. Ví dụ 1: Cho 3 phương trình : ax2 + 2bx+c=0 (1) ; bx2 +2cx+a=0 (2) ; cx2 +2ax+b=0 (3).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cho biết a ;b;c 0 . Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 – a1x+b1=0 (1) ; x2 – a2x+b2=0 (2) Cho biết a1.a2  2(b1+b2) . CMR rằng ít nhất một trong 2 phương trình đã cho có nghiệm 1 1 1   2 2 Ví dụ 3: Cho các phương trình x + bx+c=0 (1); x +cx+b=0 (2) trong đó b c 2 . CMR ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Ví dụ 4: Cho các phương trình x2 + 2bx+c=0 (1); x2 +2cx+b=0 (2) . CMR nếu b+c>2 thì ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Ví dụ 5: Cho phương trình : x2 + (m-1)x+m2=0 (1); -x2 -2mxx+m=0 (2) Chứng minh rằng ít nhất một trong 2 phương trình đã cho phải có nghiệm Bài 24: Cho phương trình : ax2 + bx+c=0 (1) và cx2 + bx+a=0 (2) trong đó a; c>0 a) Chứng minh rằng 2 phương trình cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1;x2 và (2) có 2 nghiệm x3;x4. Chứng minh rằng x1x2+x3.x4 2 c) Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm. Chứng minh rằng a+c>b Dạng 6: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước về dấu của nghiệm. Cách làm: a 0 a 0  2   b  4ac 0  0 a.c  0 P  0 + Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu cần   a 0 a 0  2   b  4ac  0   0 a.c  0 P  0 + Để phương trình có hai nghiệm trái dấu cần   a 0 a 0  2  0  b  4ac 0    a.c  0 P  0 a.b  0  + Để phương trình có hai nghiệm dương cần S  0   a 0 a 0  2  0 b  4ac 0    a.c  0 P  0 a.b  0  + Để phương trình có hai nghiệm âm cần S  0   a 0   0   P  0  + Để phương trình có hai nghiệm đối nhau cần S 0 . a 0  2  b  4ac  0  a.c  0  b 0.  a 0  2 a 0 b  4ac  0  c   0  1 P 1  + Để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau cần  a + Để phương trình có hai nghiệm, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương cần.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a 0 a 0  2   0  b  4ac  0    a.c  0 P  0  S  0  a.b  0 + Để phương trình có hai nghiệm, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nghiệm dương cần a 0 a 0  2   0  b  4ac  0    a.c  0 P  0  S  0  a.b  0 Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – (m+1) +m = 0. Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm dương b) Hai nghiệm âm c) Hai nghiệm cùng dấu Ví dụ 3: a) Tìm m để phương trình x2 - x +2m-2 =0 (1) có 2 nghiệm dương 2 (1) b) Tìm m để phương trình 4x +2x +m-1 =0 có 2 nghiệm âm c) Tìm m để phương trình m 2x2 +2mx -2 =0 (1) có 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 4:: Cho phương trình x2 - (m +2)x +m+1 =0 (1) ( m là tham số) a)Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm đối nhau Dạng 7: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình thoả mãn biểu thức điều kiện cho trước (biểu thức không đối xứng). Cách làm: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b   x1  x 2  a (1)  x x  c (2) 1 2  a  - Theo Hệ thức viet: - Theo bài ra ta có (hệ thức) (3) - Rút x kết hợp hệ thức (1) và (3) để tìm x1 và x2 thay vào (2) để tìm tham số. - Đối chiếu tham số tìm được với điều kiện có nghiệm => kết luận. Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 2mx + 2m-1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có nghiệm, nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – (m-5)x + m+6=0 a) Khi nào phương trình có nghiệm mà nghiệm này kém nghiệm kia 1 đơn vị. b) Khi nào phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2x1  3x 2 18 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – 8x + m+5 = 0 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, lúc đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn. b) Tìm m để phương trình có nghiệm này gấp 3 nghiệm kia, tìm 2 nghiệm đó. Dạng 8: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình thoả mãn biểu thức điều kiện cho trước (biểu thức đối xứng). Cách làm: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b   x1  x 2  a (1)  x x  c (2) 1 2  a  - Theo Hệ thức viet: - Theo bài ra ta có (hệ thức) (3) - Biến đổi hệ thức 3 này bằng cách tách, thêm bớt sao cho hệ thức thu được chỉ chưa (x1+x2) và chứa (x1x2). (mục đích để thay được hệ thức viet vào) - Thay hệ thức Viet vào hệ thức (3) để tìm tham số. - Đối chiếu tham số tìm được với điều kiện có nghiệm => kết luận. 2 Ví dụ 1: Cho phương trình x  3x  5 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x 1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1 1 1   2 2 2 3 3 2 a) x1 x 2 b) x1  x 2 c) x1 x 2 d) x1  x 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 -6x +m =0 (1) ( m là tham số) a)Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt b)Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho x13 + x23 =72 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - (m- 1)x – m 2+m-2 =0 (1) ( m là tham số) a) Giải phương trình khi m=-1 b) Chứng minh rằng phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho S=x12 +x22 đạt giá trị nhỏ nhất Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – 2mx +2m-1 =0 (1) ( m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có nghiệm x1;x2 với mọi m b) Gọi A=2(x12 +x22 )-5 x1.x2 .; +) Chứng minh rằng A=8m2-18m +9 ; +) Tìm m sao cho A=27 c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia . Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Cách làm: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b   x1  x 2  a (1)  x x  c (2) 1 2 a - Theo Hệ thức viet:  - Khử m ở 2 hệ thức trong hệ thức viet ta sẽ thu được biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm đọc lập với m (Khử bằng cách rút vào thế) Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – mx + 2m-3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm để nó không phụ thuộc vào m. Ví dụ 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với m trong các phương trình sau: a) x2 – 2(m+3)x = 4m -1 = 0 b) mx2 + 2(m-2)x + m-3 = 0 c) (m-3)x2 – 2mx + m + 2 = 0 Ví dụ 3: a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m. b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1. Dạng 10: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm so sánh với một số. Cách làm:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> * Câu hỏi dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm lớn hơn k (hoặc nhỏ hơn k) – Tức là số k ở ngoài khoảng hai nghiệm. B1: Đặt t = x –k suy ra x = t+k đưa phương trình về phương trình ẩn t B2: Để phương trình đã cho có hai nghiệm lớn hơn k (hoặc nhỏ hơn k) thì phương trình ẩn t có hai nghiệm dương (hoặc 2 nghiệm âm) * Câu hỏi dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm lớn hơn k và một nghiệm nhỏ hơn k – (Tức là số k ở trong khoảng hai nghiệm). B1: Đặt t = x –k suy ra x = t+k đưa phương trình về phương trình ẩn t B2: Để phương trình đã cho có hai nghiệm trong đó có một nghiệm lớn hơn k và một nghiệm nhỏ hơn k thì phương trình ẩn t có hai nghiệm trái dấu. Ví dụ 1: Cho phương trình x2 +2(m+1)x + 2m-11=0. Tìm m để phương trình: a) Có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. b) Có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Ví dụ 2: a) Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6. b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. Ví dụ 3: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Ví dụ 4: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. Dạng 11: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung. Cách làm:  1 0   0 - Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm  2 2  x 0  ax 0  b 0  2 x  a'x 0  b ' 0 - Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có:  0 - Trừ từng vế ta tìm được x0 và tham số - Đối chiếu điều kiện để kết luận Ví dụ 1: Tìm m đê hai phương trình sau có nghiệm chung duy nhất: a) x2 -(m + 1)x + (m + 5) = 0 và x2 - (m + 2)x + (m + 1) = 0. b) x2 -(2m - 3)x + 6 = 0 và 2x2 + x + m - 5 = 0 Ví dụ 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Dạng 12: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình tương đương. Cách làm: Hai phương trình tương đương khi hai phương trình có cùng tập nghiệm: 1  0   0 - TH1: Hai phương trình vô nghiệm:  2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> -.  1 0   0  2  S1 S2  P P2 TH2: Mọi nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia:  1 Kết luận chung.. Bài 2: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Bài 3: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trthoả mãn x12+x22  10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Bài tập 2 Bài 1: Cho ph.t: x – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x 1 = 2. Tìm nghiệm x2. Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và trong 2 nghiệm đó có 1 nghiệm bằng −2 Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1) a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cựng dấu hoặc m > 3 Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m c) gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Chứng minh A = x 1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m Bài 6: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ nhất Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = 5 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x2 thỏa món 3x1 + 2x2 = 20 Bài 8: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0 a) Giải phương trình với k = 3 b) Tìm tất cả các số nguyờn dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. Bài 10: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0. (*) 1) Giải phương trình (*) khi m = 1. 2) 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Bài 11: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là a) x1=1/2 và x2=2 b) x1=2+ 3 và x2=2- 3 c) 1/x1 và 1/x2 2 2 (1) Bài 2: Cho phương trình (m -5m+3)x +(3m-1)x -2 =0 a) Giải phương trình khi m=2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm còn lại (thay x=1.. Bài 3: Cho phương trình x2 +(2m+1) x +m2 +3m =0 (1) ( m là tham số) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm mà tích 2 nghiệm bằng 4 .Tìm 2 nghiệm đó Bài 6: Cho phương trình x2 -2(m+1)x +m-4=0 (1) ( m là tham số) a) Giải phương trình khi m=2 b) Chứng minh rằng phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu d) Chứng minh rằng biểu thức M=x1(1-x2)+(1-x1) x2 không phụ thuộc vào m Bài 9: Cho phương trình x2 - (m +1)x +m =0 (1) ( m là tham số) d) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1;x2 tính S=x12 +x22 theo m c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho x12 +x22 =5 Bài 21: Cho phương trình 2x2 – (2m+1)x +m2-9m +39 =0 (1) ( m là tham số) a)Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt b)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia .Tìm các nghiệm đó Bài 22: Cho phương trình (m-1)x2 +2(m-1)x -m =0 (1) ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm Bài 13: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x -3 -m =0 (1) ( m là tham số) a)Chứng tỏ rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x12 +x22  10 c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho E=x12 + x22 đạt GTNN Bài 14: Cho phương trình x2 –(2m+1)x +m2+m -6 =0 (1) ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm đều âm b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho / x13 - x23/ =50 Bài 16: Cho phương trình x2 –(m-1)x –m2+m-2=0 (1) ( m là tham số) a)Chứng minh rằng phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b)Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 17: Cho phương trình x2 –2(m+1)x +2m+10 =0 (1) ( m là tham số) Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 . Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x12 + x22 +10 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó Bài 18: Cho phương trình x2 –(m-1)x +1=0 (1) ( m là tham số) Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 . Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho M=3x12 + 3x22 +5 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm nghiệm trong trường hợp M đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình x2 –2(m-1)x –m2-3m+4=0 (1) ( m là tham số) 1 1 a)Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x ;x sao cho x1 + x2 =1 1. 2. b) Lập một biểu thức giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 20: Cho phương trình 2x2 +(2m-1)x +m-1=0 (1) ( m là tham số) a)Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m b)Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho -1<x1<x2<1 c) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 Lập một biểu thức giữa x1 và x2 mà  m Bài 25: Cho phương trình : x2 + mx+n=0 (1) a) Giải phương trình khi m=-(3+ 3 ) n=3 3 (kq:  =(3- 3 )2 >0) b)Tìm m;n để (1) có 2 nghiệm là x1=-2; x2=1 c) Chứng minh rằng (1) có 2 ng/ dương x1;x2 thì ph/tr: n x2+mx+1=0 (2) cũng có 2 ng/ dương x3;x4 x1x2=m/n ; x3x4 =n/ m nên (1) có 2 ng trái dấu thì (2) có 2 ng trái dấu m n 1   2 0 x1 x1 Vì x là ng của (1) <=> x 2 + mx +n=0 <=> (vì x >0 nên chia cảe 2 vế cho x 1. 2. ). 1. 1. 1. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1 1 = x1 là ng dương của (2). T.tự x4= x2 là ng dương của (2). 1 1 (vì x1;x2>0 nên x1 và x2. Hay x 3 >0 ) là đpcm Bài 26; Cho phương trình (m-1)x2 –2(m+1)x +m=0 (1) ( m là tham số) a) Giải và biện luận nghiệm phương trình (1) theo m b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 .Hãy tìm 1 hệ thức giữa x1 và x2 mà  m x  x 2 2 c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho 1 Bài 27; Cho phương trình x2 –2mx –m2-1=0 (1) ( m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 .Hãy tìm 1 hệ thức giữa x1 và x2 mà  m x1 x2  5 c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x2 + x1 = 2 1 2 Bài 28; Cho phương trình x2 –ax – a =0 (1) Tìm min P=x14+x24 Bài 29; Cho phương trình x2 –mx +m–1=0 (1) ( m là tham số) 2 x1 x2  3 2 2 x  x  2(1  x1 x2 ) 1 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm x ;x với mọi m .Tìm max Q= 1. 2. 1 2 Bài 30; Cho phương trình x2 –ax – 2a =0 (1) ( a là tham số) Chứng minh rằngx14+x24  2  2 dấu (=) xảy ra khi nào? Bài 31: Cho phương trình x2 + 2(a+3)x +4(a+3)=0 (1) (a tham số) a) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó b) Tìm a để (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1 Đặt x=t-1 ; (1) <=> ...t2+2(a+2)t+2a+7=0 (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1<=>  '  0  t1t2  2a  7  0 t  t   2(a  2)  0 1 2 <=> -7/2<a<-3 Bài 32: Cho phương trình bậc ba : x3- (2m-1)x2 + (m2-3m-2)x +2m2+2 m=0 (1) (m tham số) a)Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm x=-2 với mọi m b)Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm ; c) Tìm m để (1) có 3 ng sao cho x12 +x22 +x32 đạtGTNN.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>