Chuyen de 1 ham so LTDH 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Hàm số bậc ba 3 2 Bài 1: Cho hàm số y =- x + 3x - 2. (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đ ồ thị (C). 3 2 Bài 2: Cho hàm số y = x - 3mx + 9x - 7 có đồ thị (Cm).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =0 . 2) Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 3 2 Bài 3: Cho hàm số y = x - 3x +1 có đồ thị (C).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và đ ộ dài đoạn AB = 4 2 . Hàm số bậc bốn trùng phương 4 2 Bài 4: Cho hàm số y = x - 5x + 4, có đồ thị (C).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm m để phương trình. x 4 - 5x 2 + 4 = log 2 m. có 6 nghiệm.. 4 2 2 Bài 5: Cho hàm số f ( x ) = x + 2(m - 2)x + m - 5m + 5. (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. 4 2 Bài 6: Cho hàm số: y x  (2m  1) x  2m (m là tham số ).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất Bài 7: Cho hàm số. y=. 2x + 1 x - 1 có đồ thị (C).. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến t ại M c ắt 2 ti ệm c ận t ại Avà B. G ọi I là giao đi ểm hai tiệm cận . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 8: Cho hàm số. y=. 2x + 1 x + 2 có đồ thị là (C).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đ ồ th ị (C) t ại hai đi ểm phân bi ệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 9: Cho hàm số. y=. x +1 x - 1 (C).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên trục tung tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến t ới (C). y= Bài 10: Cho hàm số. x +3m - 1 ( 2 + m) x + 4m. có đồ thị là (Cm) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Xác định m sao cho đường thẳng (d): y =  x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho đ ộ dài đo ạn AB là ngắn nhất. ĐỀ SỐ 1 4 2 4 Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm c ực đ ại, c ực ti ểu c ủa đ ồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1. Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình (2cos x - 1)(sin x + cos x ) = 1. ìï ïï x - 13 = y - 13 x y í ïï ( x - 4 y )(2x - y + 4) =- 36 Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ïïî p 2. Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân. ò 0. sin2x cos x dx 1 + cos x. 0 · Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A' B 'C ' có AB = 2a , BC = a 2 ABC = 30 và thể tích 3 lăng trụ bằng a . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BC ) . 2 2 2 Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 9 . Chứng minh. 2(a + b + c ) - abc £ 10 Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có c ạnh AC đi qua M(0; -1) Bi ết AB = 2AM, đường phân giác trong AD và đường cao CH lần l ượt có ph ương trình là x - y =0 và. 2x + y +3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6 x - y - z +13 = 0 và hai đường x y z x +1 y z - 1 d1 : = = , d2 : = = 1 1 2 - 2 1 1 . Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . Câu 9 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm l ần l ượt biểu di ễn hai nghi ệm 2 phức của phương trình z + 6z +18 = 0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> HƯỚNG DẪN. Hàm số bậc ba. 3 2 Bài 1: Cho hàm số y =- x + 3x - 2 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đ ồ thị (C). HD: Gọi M(m; 2)  d. Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: y = k( x - m) + 2 .. Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)  Hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ìï ïï m <- 1 hoặc m > 5 3 2 ìï - x +3x - 2 = k( x - m) + 2 (1) í ïí 3 ïï ïï - 3x 2 + 6 x = k (2) î  ïî m ¹ 2. 3 2 Bài 2: Cho hàm số y = x - 3mx + 9x - 7 có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =0 . 2) Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. HD: 3 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành: x - 3mx + 9x - 7 = 0 (1) Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1 ; x2 ; x3 . Ta có: x1 + x2 + x3 = 3m. Để x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1) ém = 1 ê ê - 1 ± 15 - 1 - 15 êm = m= 3 ê 2 2  - 2m + 9m - 7 = 0 Û ë . Thử lại ta được : 3 2 Bài 3: Cho hàm số y = x - 3x +1 có đồ thị (C).. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và đ ộ dài đoạn AB = 4 2 . HD: 3 2 3 2 Giả sử A(a;a - 3a +1), B(b; b - 3b +1) (a  b) ¢ ¢ Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y (a) = y ( b)  (a - b)(a + b - 2) = 0  a + b - 2 = 0  b = 2 – a  a  1 (vì a  b). AB2 = (b - a)2 +(b3 - 3b2 +1 - a3 +3a2 - 1)2 = 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 6. 4. 2. éa = 3 Þ b =- 1 ê ê ëa =- 1 Þ b = 3. AB = 4 2  4(a - 1) - 24(a - 1) + 40(a - 1) = 32   A(3; 1) và B(–1; –3) Hàm số bậc bốn trùng phương 4 2 Bài 4: Cho hàm số y = x - 5x + 4, có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). x 4 - 5x 2 + 4 = log 2 m 2) Tìm m để phương trình có 6 nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> HD: 9 9 log12 m = Û m = 12 4 = 144 4 12 x 4 - 5x 2 + 4 = log 2 m 4 có 6 nghiệm  4 2 2 Bài 5: Cho hàm số f ( x ) = x + 2(m - 2)x + m - 5m + 5 (C ). m. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. HD: Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 . Toạ độ các điểm cực trị là: A(0;m2 - 5m +5), B( 2 - m ;1 - m), C(- 2 - m ;1 - m) Tam giác ABC luôn cân tại A  ABC vuông tại A khi m = 1. 4 2 Bài 6: Cho hàm số: y  x  (2m  1) x  2m (m là tham số ). HD:. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đ ều nhau.. 4 2 Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau  phương trình x  (2m  1) x  2m 0 (1) có 4 nghịêm phân biệt lập thành cấp số cộng  phương trình: X2 – (2m + 1)X + 2m = 0 (2) có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn X1 = 9X2. ìï 4m2 - 4m +1 > 0 2 ïìï D > 0 ìïï (2m +1) - 8m > 0 ïï ìï m > 0 ïï ï 1 ïí S > 0 Û ïíï 2m +1 > 0 Û í m >Û ïí ïï ïï ïï ïï m ¹ 1 2 ïïî P > 0 ïîï 2m > 0 ïï 2 îï m >0 ï ï î  . Hàm số bậc nhất trên bậc nhất 2x + 1 y= x - 1 có đồ thị (C). Bài 7: Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến t ại M c ắt 2 ti ệm c ận t ại Avà B. G ọi I là giao đi ểm hai tiệm cận . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. HD: æ ö 3 ÷ - 3 3 ç ÷ çx0 ;2 + y= ( x - x0 ) + 2 + ÷ 2 ç x0 - 1 ÷ ( x0 - 1) x0 - 1 ø(C). Tiếp tuyến d tại M có dạng: Gọi M è. æ ö 6 ÷ ç ÷ 1;2 + ç ÷ ç ç x0 - 1 ÷ ø, B(2x –1; 2). Các giao điểm của d với 2 tiệm cận: A è 0. 6 = 2 x0 - 1 Þ x0 - 1. éx = 1 + 3 ê0 ê ê ëx0 = 1 - 3. SIAB = 6 (không đổi)  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB   M1( 1 + 3;2 + 3 ); M2( 1 - 3;2 - 3 ) 2x + 1 y= x + 2 có đồ thị là (C). Bài 8: Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đ ồ th ị (C) t ại hai đi ểm phân bi ệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. HD: AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12)  AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m = 0. Khi đó AB = 24.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x +1 x - 1 (C). Bài 9: Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên trục tung tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến t ới (C). HD: Sử dụng điều kiện tiếp xúc  M(0;1) và M(0;–1) x +3m - 1 y= ( 2 + m) x + 4m có đồ thị là (Cm) (m là tham số) Bài 10: Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Xác định m sao cho đường thẳng (d): y =  x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho đ ộ dài đo ạn AB là ngắn nhất. HD: y=. ( 2m - 1) AB =. 2. 2. +4 ³ 2. . Dấu "=" xảy ra . m=. 1 1 m= 2  AB ngắn nhất  2.. ĐỀ SỐ 1 4 2 4 Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm c ực đ ại, c ực ti ểu c ủa đ ồ thị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1. Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình (2cos x - 1)(sin x + cos x ) = 1. ìï ïï x - 13 = y - 13 x y í ïï ( x - 4 y )(2x - y + 4) =- 36 Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ïïî p 2. Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân. ò 0. sin2x cos x dx 1 + cos x. 0 · Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B 'C ' có AB = 2a , BC = a 2 ABC = 30 và thể tích 3 lăng trụ bằng a . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BC ) .. 2 2 2 Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 9 . Chứng minh 2(a + b + c ) - abc £ 10 Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0; -1) Biết AB = 2AM, đường phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có phương trình là x - y =0 và. 2x + y +3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.. Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6 x - y - z +13 = 0 và hai đường x y z x +1 y z - 1 d1 : = = , d2 : = = 1 1 2 - 2 1 1 . Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . Câu 9 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm 2 phức của phương trình z + 6z +18 = 0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1 Câu 1 (2,0 điểm) a) 4 2 - Khi m = 1 thì y = x - 2x +3 - Tập xác định D = R - Sự biến thiên :. 3 2 Chiều biến thiên y ' = 4 x - 4 x = 4 x( x - 1) ,. éx = 0 ê y ' = 0 Û êx = 1 ê êx =- 1 ë. - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1 ; 0) và (1 ; +¥ ), nghịch biến trên các khoảng ( (- ¥ ;- 1) và (0 ; 1) - Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 3 Hàm số đạt cực tiểu tại x =±1, yCT = 2 lim y = lim y =+¥ x ®¥ - Giới hạn x ®- ¥ x y’. - ¥. +¥. -1 -. 0. 0 +. +¥. 1. 0. -. 0. +. 3. +¥. y 2 Đồ thị. 2 y. 3 2. -2 b) - Tập xác định D = R y ' = 4 x 3 - 4mx éx = 0 y' =0 Û ê 2 ê ëx = m. -1. 0. 1. 2. x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt Û x1 ¹ 0 4 Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A(0, m +2m) và hai điểm cực tiểu là B(- m ; m4 - m2 + 2m), C( m ;m4 - m2 + 2m) VABC cân tại A, A Î Ox ; B, C đối xứng nhau qua Ox 1 SV ABC = y A - yB .BC 2 1 SV ABC = m2 .2 m = 1 Û m2 m = 1 Û m = 1 2 Câu 2 (1,0 điểm) 2 PT đã cho tương đương với: sin2x +2cos x - (sinx + cos x ) = 1. Û sin2x +1 + cos2x - (sinx + cos x ) = 1 Û sin2x + cos2x = sinx + cos x p p Û sin(2x + ) = sin(x + ) 4 4 p 2p x = +k ,k Î Z Û x = k 2p hoặc 6 3 Câu 3 (1,0 điểm) ĐK : x , y ¹ 0. éx = y ê êy 2 + xy + x 2 ê =- 1 ê x 3 y3 ë Trường hợp x = y thay vào phương trình: ( x - 4 y )(2x - y + 4) =- 36 éx =- 6 x 2 + 4 x - 12 = 0 Û ê ê ëx = 2 ta được phương trình: Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2) y 2 + xy + x 2 =- 1 3 3 x y Trường hợp 1 1 ( y - x )( y 2 + xy + x 2 ) x - 3 = y - 3 Û (x - y) = Û x y x 3 y3. 2 2 Do y + xy + y > 0 với " x , y ¹ 0 nên nếu ( x ; y ) là nghiệm thì xy <0 2 2 Mặt khác ( x - 4 y )(2x - y + 4) =- 36 Û 2x + 4 y - 9xy + 4x - 16 y =- 36. Û 2( x +1)2 + 4( y - 2)2 - 9xy =- 18 (*). Do xy <0 nên PT(*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2) Câu 4 (1,0 điểm) p 2. p 2. sin2x .cos x sinx.cos2 x dx = 2ò dx 1 + cos x 1 + cos x 0 0 t = 1 + cos x Þ dt =sin xdx , cos x = t - 1 Đặt p x = Þ t =1 x =0 Þ t =2 , 2 I =ò. 2. I=. 2. (t - 1)2 1 2ò dt = 2ò(t - 2 + )dt t t 1 1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2 t2 - 2t + ln t ) = 2ln2 - 1 1 = 2 Câu 5 (1,0 điểm) 1 a2 2 0 S ABC = BA.BC .sin30 = 2 2 2 a 2 VABC . A' B 'C ' = S ABC . AA ' = . AA ' = a3 Û AA' = a 2 2 Kẻ AK ^ BC , AH ^ A ' K Do AA ' ^( ABC ) nên AA' ^ BC ® BC ^ (AA' K ) 2(. ® BC ^ AH ® AH ^( A ' BC ) Þ AH = d( A,( A' BC )) Trong tam giác vuông ABK ta có. AK = AB.sin300 = a Trong tam giác vuông AA’K ta có 1 1 1 3 = + = 2 2 2 2 AH AA' AK 2a 2 Þ AH = a = d( A,( A ' BC )) 3 Câu 6 (1,0 điểm) 2 2 2 Do a + b + c = 9 nên ít nhất một bình phương lớn hơn hoạc bằng 3. 2 2 2 Giả sử c ³ 3 Þ a + b £ 6 2 2(a + b) +(2 - ab)c ] £ (4 +(2 - ab)2 )((a + b)2 + c 2 ) [ 2 VT = 2 2 VT2 £ (8 - 4ab + a b )(9 + 2ab) 2 2 3 2 Ta sẽ CM (8 - 4ab + a b )(9 +2ab) £ 100 Û 2(ab) +(ab) - 20ab - 28 £ 0 Û 2(ab)3 +(ab)2 - 20ab - 28 £ 0 Û (2ab - 7)(ab + 2)2 £ 0. a2 + b2 6 £ = 3 Þ 2ab - 7 < 0 2 2 . Vậy BDT Đúng Câu 7 (1,0 điểm) Goi d là đường thẳng qua M vuông góc AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có : PT(d) : x + y +1 = 0 , I = d Ç AB 1 1 Þ I(- ;- ) Þ N(- 1;0) 2 2 (I là trung điểmMN) x 2 y - 1 = 0 , A = ( AB ) Ç( AD) Þ A(1;1) AB ^ CH Þ pt(AB) : ab £. AB = 2AM = 2AN Þ N là trung điểm AB Þ B(- 3;- 1) 1 2x - y - 1 = 0, C = ( AM ) Ç(CH ) Þ C (- ;- 2) 2 pt(AM) : Câu 8 (1,0 điểm) Gọi M, N là giao điểm của d với d1 , d2 Vì M Î d1 nên M( s ; s ;2s ) , N Î d2 Þ N(- 1 - 2t , t ,1 + t ) uuur Þ MN =(- 2t - s - 1;t - s ;1 +t - 2s ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> - 2t - s - 1 t - s 1 + t - 2s uuur uur = = d ^( P ) MN / / Up = (6; 1; 1) 6 - 1 - 1 Vì nên do đó ìï 4t - 7s = 1 ìïï t = 2 Û ïí Û í Û M(1;1;2), N(- 5;2;3) ïîï s = 1 ïîï s = 1 . Phương trình đường thẳng d Câu 9 (1,0 điểm) 2 2 phương trình : z - 6z +18 = 0 có V' = 9 - 18 =- 9 = 9i nên có hai nghiệm t1 = 3 +3i ; t2 = 3 - 3i Trong mặt phẳng tọa độ số phức t1 có điểm biểu diễn là A(3 ;3), số phức t 2 có điểm biểu diễn là B(3 ;-3) uur uur uur uur VOAB có OA = OB =3 2 nên VOAB cân tại O. Ta có OA(3;3) , OB(3;- 3) Þ OA.OB = 0 Þ OA ^ OB Nên VOAB vuông tại O. Vậy VOAB vuông cân tại O.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>