ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THU HÀ

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . . . .
1.1.1 Không gian véctơ . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian véctơ tôpô . . . . . . .

1.1.4 Không gian metric . . . . . . . . .
1.1.5 Không gian véctơ định chuẩn . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . . . .
1.2.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . .
1.2.3 Một số định lý về sự tương giao và
ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
về điểm
. . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bất động của

. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài tốn và một số ví dụ . . . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . .
2.2.1 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao của các tập
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên định lý điểm bất động . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
compact
. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 16

.
.
.

.
.

3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân khơng có
tính lồi
3.1 Ngun lý giải được hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ánh xạ tương giao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Bài toán cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Bài toán cân bằng chiến lược trội . . . . . . . . . . . . . . .

1

6
6
6
7
9
10
11
12
12
15

17
17
21
21

22
28

32
32
33
34
34
35
35
36


4 Bài
4.1
4.2
4.3

tốn quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM
Quan hệ KKM tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM . . . . . .
Ứng dụng vào một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Bất đẳng thức Ky Fan minimax tổng quát với hàm C tựa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Bất đẳng thức véctơ minimax Ky Fan véctơ tổng quát với
C - P - tựa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Trò chơi đa mục tiêu tổng quát và trị chơi n - người khơng
hợp tác tổng qt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.

38
38
41
45
45

. 48
. 49
.
.
.
.

51
52
53
54


Mở đầu
Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp

của định lý điểm bất động Brower (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster,
Kuratowski, Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác
rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả
này sau gọi là bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không
gian vô hạn chiều, kết quả này được gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM. Vào năm
2008, GS. Đinh Thế Lục đã sử dụng quan hệ KKM vào một bài toán mới, bài
toán "Quan hệ biến phân", nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc như bài tốn tối ưu tuyến tính, bài tốn
tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm
thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài tốn bất đẳng thức
biến phân có thể biến đổi được về bài toán này.
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là
các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử
a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y. Hãy tìm một điểm a ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b).
Mục đích của luận văn là trình bày sự tồn tại nghiệm của bài tốn quan hệ biến
phân trong trường hợp bài tốn có hoặc khơng có tính chất KKM và tính lồi
dựa theo các bài báo [3] , [4] , [5] .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho ba
chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái
niệm và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính
chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.
3



Chương 3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân khơng
có tính lồi. Mục đích chính của chương này là trình bày sự tồn tại nghiệm của
bài tốn quan hệ biến phân khơng có tính lồi.
Chương 4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân khơng
có tính chất KKM. Mục đích chính của chương này là trình bày sự tồn tại
nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM.
Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh
chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân được đề cập
trong các bài báo [3] , [4] , [5] .

4


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia Hà Nội. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TS. Tạ Duy Phượng - Viện Tốn học, Viện Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam,
người thầy đã tận tình hướng dẫn tơi hồn thành công việc nghiên cứu này này.
Tôi xin gửi tới quý thầy cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia
giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất.
Xin được cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên rất nhiều giúp
tơi hồn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2015
Tác giả luận văn
Nguyễn Thu Hà

5



Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tơpơ,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,...(theo [1] và [2]) cần thiết
cho việc trình bày các nội dung ở chương sau.

1.1
1.1.1

Kiến thức tơpơ và giải tích hàm
Khơng gian véctơ

Định nghĩa 1.1.1. (Xem [1], trang 181) Ký hiệu R là tập số thực. Các phần
tử của R được gọi là số (hay đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V trên
trường R là một tập hợp V khơng rỗng mà trên đó xác định hai phép cộng véctơ
và phép nhân với một số được định nghĩa sao cho các tiên đề sau đây được thỏa
mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hốn:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hịa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ R, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;


6


6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng các số:
Với mọi α, β ∈ R, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân các số phân phối với phép nhân véctơ: Với mọi α, β ∈ R; v ∈ V :
α.(β.v) = (α.β)v;

8. Phần tử đơn vị của R có tính chất: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1 = v.
Định nghĩa 1.1.2. (Xem [1], trang 256) Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X
được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C
(nói cách khác, C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.3. (Xem [1], trang 262) Cho X là không gian véctơ, x1 , x2 , ..., xk ∈
k

X và các số λ1 , λ2 , ..., λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và

λj = 1. Khi đó,
j=1

k

λj xj , được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1 , x2 , ..., xk ∈ X.

x=
j=1

Định nghĩa 1.1.4. (Xem [1], trang 262) Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu
là convS là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm của S.

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ.
1. Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.
2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
1.1.2

Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.6. (Xem [1], trang 372)(Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một
họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính
chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Một tập X cùng với một tôpô τ trên X , được gọi là không gian tôpô (X, τ ) .
Định nghĩa 1.1.7. (Xem [1], trang 373) Cho hai tơpơ τ1 và τ2 . Ta nói τ1 yếu
hơn τ2 (hay τ2 mạnh hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều
là tập mở trong τ2 .
7


Định nghĩa 1.1.8. (Xem [1], trang 376) Cho (X, τ ) là khơng gian tơpơ.
• Tập G ⊂ X được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.9. (Xem [1], trang 375) Lân cận của một điểm x trong không
gian tôpô X là bất cứ tập nào bao hàm một tập mở chứa x. Nói cách khác V là
lân cận của x nếu có một tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V.

Định nghĩa 1.1.10. Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi
là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận
V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.1.11. (Xem [1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một
tập con bất kì của X. Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.
(ii) x là điểm biên của A nếu mọi lân cận của x đều chứa ít nhất một điểm
trong của A và một điểm không thuộc A.
Định nghĩa 1.1.12. (Xem [1], trang 377) Giả sử A là tập con bất kì của khơng
gian tơpơ (X, τ ). Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm
trong A.
o
Phần trong của A là tập mở lớn nhất nằm trong A. Nó được ký hiệu bởi A
hoặc intA.
Định nghĩa 1.1.13. (Xem [1], trang 377) Giả sử A là tập con bất kì của khơng
gian tơpơ (X, τ ). Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A.
Bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Nó được ký hiệu bởi A¯ hoặc
clA.

Định nghĩa 1.1.14. (Xem [1], trang 383) Cho X là một không gian tôpô và
M ⊂ X. M là tập compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của M đều chứa một phủ
con hữu hạn.
Định nghĩa 1.1.15. (Xem [1], trang 377) Cho X , Y là hai không gian tôpô.
Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận
V của f (x0 ) tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.

8



Định nghĩa 1.1.16. (Xem [1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong
X đều tồn tại một lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.17. Tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó xác
định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i)) Với mọi α, β, γ ∈ I sao cho: α ≥ β, β ≥ γ thì α ≥ γ;
(ii) Nếu α ∈ I thì α ≥ α;
(iii) Với mọi α, β ∈ I thì tồn tại γ ∈ I sao cho: γ ≥ α, gamma ≥ β.
Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là (I, ≥) hoặc
viết tắt là I.
Định nghĩa 1.1.18. Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ”. Khi đó ánh
xạ x xác định trên I và nhận giá trị trong tập X được gọi là lưới (hay dãy suy
rộng) trong X. Ta viết xi = x(i) và kí hiệu lưới là (xα )α∈I
Nếu miền giá trị của lưới là khơng gian tơpơ X thì (xα )α∈I được gọi là lưới trong
không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.19. Cho I là một tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và X là
một không gian tôpô. Khi đó lưới (xα )α∈I được gọi là hội tụ trong không gian
tôpô đến điểm x đối với tôpô τ nếu với mọi lân cận U của x tồn tại α0 ∈ I sao
cho với mọi α ∈ I mà α ≥ α0 thì xα ∈ U. Kí hiệu: lim xα = x hay xα → x.
α→∞

1.1.3

Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.20. (Xem [1], trang 387) Ta nói một tơpơ τ trên không gian
véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên
tục trong tơpơ đó, tức là:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y. Cụ thể, với mọi lân cận V của
điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho

nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x. Cụ thể, với mọi lân cận V của αx
đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho α ∈ (α − ε, α + ε) thì
α x ∈ V.

Một khơng gian véctơ X, trên đó có một tơpơ tương hợp với cấu trúc đại số
được gọi là một không gian véctơ tôpô (hay khơng gian tơpơ tuyến tính).
9


Định nghĩa 1.1.21. (Xem [1], trang 392) Một không gian véctơ tôpô X được
gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận
(của gốc) chỉ gồm các tập lồi.
1.1.4

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.22. (Xem [1], trang 34) Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích X × X
vào tập hợp các số thực R được gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau
đây được thỏa mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là khơng gian metric, kí hiệu là
(X, d) hay thường được viết là X.
Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y .
Các phần tử của X được gọi là các điểm.
Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là hệ tiên đề metric.
Định nghĩa 1.1.23. Cho X là không gian metric, một điểm x ∈ X và A là một
tập con của X . Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi

d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Định nghĩa 1.1.24. (Xem [1], trang 47) Trong không gian metric X . Một dãy
{xn } được gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε.

Nhận xét 1.1.1. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì
theo bất đẳng thức tam giác ta có
d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → 0 (n, m → ∞).

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric với
d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy

không hội tụ trong không gian ấy (dãy

1
n

1
, mặc dù là dãy cơ bản, nhưng
n
hội tụ đến điểm x = 0 ∈
/ (0, 1)).

Định nghĩa 1.1.25. (Xem [1], trang 47) Khơng gian metric X trong đó mọi
dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian
metric đầy đủ.
10



Định nghĩa 1.1.26. (Xem [1], trang 59) Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ
Lipschitz nếu tồn tại k > 0 sao cho:
d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Đặc biệt,
• k = 1: f được gọi là ánh xạ khơng giãn.
• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co.

Định lý 1.1.1. (Xem [1], trang 59)[Nguyên lý Banach về ánh xạ co] Mọi ánh
xạ co P từ không gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động duy
nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất x¯ ∈ X sao cho P x¯ = x¯.
1.1.5

Không gian véctơ định chuẩn

Định nghĩa 1.1.27. (Xem [1], trang 187)(Không gian véctơ định chuẩn) Một
không gian định chuẩn là một không gian véctơ X, trong đó ứng với mỗi phần
tử x ∈ X, ta có một số x ,được gọi là chuẩn của nó sao cho các điều kiện sau
được thỏa mãn:
1) x > 0 nếu x = 0, x = 0 nếu x = 0;
2) αx = |α| x (tính thuần nhất của chuẩn).
3) x + y
x + y (bất đẳng thức tam giác);
Định nghĩa 1.1.28. (Xem [1], trang 189) Không gian Banach là không gian
véctơ định chuẩn đầy đủ. Điều này nghĩa là một không gian Banach là không
gian véctơ V trên trường số thực với một chuẩn . sao cho mọi dãy Cauchy
(tương ứng với metric d (x, y) = x − y ) có giới hạn trong V.
Định nghĩa 1.1.29. (Xem [1], trang 313) Trong không gian Rk tích vơ hướng

của hai véctơ x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξk ) , y = (η1 , η2 , ..., ηk ) được xác định bởi công thức:
(x, y) = ξ1 η1 + ξ2 η2 + ... + ξk ηk .

Định nghĩa 1.1.30. (Xem [1], trang 315) Một không gian véctơ thực X được
gọi là không gian Hilbert, nếu trong nó xác định hàm hai biến (x, y), gọi là tích
vơ hướng của hai véctơ (x, y), với các tính chất sau:
1) (x, y) = (y, x) ;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
3) (αx, y) = α (x, y) với mọi số thực α;
4) (x, x) > 0 nếu x = 0, (x, x) = 0 nếu x = 0.
11


1.2
1.2.1

Ánh xạ đa trị
Định nghĩa ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.2.1. (Xem [2], trang 9) Cho X , Y là hai tập hợp bất kì và tập
các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y
nếu với mỗi x ∈ X , F (x) là một tập hợp con của Y . Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay
F : X → 2Y .

Nhận xét 1.2.1. Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của
Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay kí hiệu F : X ⇒ Y
ta dùng kí hiệu quen thuộc F : X → Y.
Ví dụ 1.2.1. Xét phương trình đa thức:
xn + a1 xn−1 + ... + an−1 + an = 0


trong đó ai ∈ R. Ta thấy với mỗi điểm a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn thì phương trình
trên có n nghiệm phức. Vậy quy tắc cho tương ứng mỗi điểm a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈
Rn với tập nghiệm phức F (a) của phương trình trên cho ta một ánh xạ đa trị
F : Rn ⇒ C.
Định nghĩa 1.2.2. (Xem [2], trang 10) Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và
miền ảnh rgeF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được ký hiệu bởi:
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Định nghĩa 1.2.3. (Xem [2], trang 11) Cho X và Y là các không gian tôpô và
F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.
1. F được gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) nếu gphF là tập
đóng trong khơng gian tơpơ tích X × Y.
2. F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ domF.
3. F được gọi là ánh xạ mở (hoặc ánh xạ có đồ thị mở ) nếu gphF là tập mở
trong không gian tơpơ tích X × Y.
4. F được gọi là ánh xạ có giá trị mở nếu F (x) là tập mở với mọi x ∈ domF.
12


Nhận xét 1.2.2. Nếu ánh xạ đa trị F có gphF đóng thì F (x) là đóng với mọi
x ∈ domF.

Thật vậy, lấy một lưới (xn , yn ) ∈ gphF sao cho (xn , yn ) hội tụ tới (¯
x, y¯). Do
(xn , yn ) ∈ gphF nên yn ∈ F (xn ). Mặt khác, gphF là đóng nên (x, y) ∈ gphF, suy
ra y¯ ∈ F (¯
x). Vậy với mọi lưới xn → x¯, với yn ∈ F (xn ) thì y¯ ∈ F (¯
x). Vậy F (x) là

đóng với mọi x ∈ domF.
Ví dụ 1.2.2. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

[0, 1]
0

nếu x = 0,
nếu x = 0.

(1.1)

gphF = (R∗ × {0}) ∪ ({0} × [0, 1]) là hợp của hai tập đóng nên gphF là tập đóng.

Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

[0, 1]
0

không phải là ánh xạ đa trị đóng vì

nếu x = 0,
nếu x = 0.

1
1
,1 −
n
n


∈ gphF và

(1.2)
1
→ 0,
n

1−

1
n

→1

nhưng điểm (0; 1) ∈
/ gphF.
Định nghĩa 1.2.4. (Xem [2], trang 11) Cho X, Y là các khơng gian véctơ. Ta
nói ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là:
1. Ánh xạ đa trị lồi nếu gphF là tập lồi trong khơng gian tích X × Y.
2. Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X.
Nhận xét 1.2.3. Giả sử X, Y là các tập lồi của không gian tuyến tính.
• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và t ∈ [0, 1]

thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 )

(1.3)

Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là gphF là lồi. Lấy hai phần tử

x1 , x2 bất kì sao cho y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ), khi ấy (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ gphF.
Với t ∈ [0, 1] , do gphF lồi nên
(x, y) = (tx1 + (1 − t)x2 , ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ gphF.

Suy ra, ty1 +(1−t)y2 ∈ F (tx1 +(1−t)x2 ) đúng với mọi y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ).
Vì thế,
13


tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Điều ngược lại được chứng minh tương tự.
Trong trường hợp ánh xạ F : X → R là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f (x)} thì F
là lồi khi và chỉ khi nó lồi theo nghĩa thơng thường, tức là
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ).

(1.4)

Ta nhận thấy rằng (1.3) tương thích với (1.4). Thật vậy, giả sử f : X ⇒ R là
ánh xạ đơn trị. Hàm epif = F được xác định bởi
F (x) = f (x) + R+ = {f (x) + α, α

0} .

Khi ấy f là hàm lồi, khi và chỉ khi F là ánh xạ đa trị lồi.
Thật vậy, do f là hàm lồi khi và chỉ khi
tf (x1 ) + (1 − t) f (x2 )

f (tx1 + (1 − t) x2 ) .


Suy ra tồn tại α > 0 sao cho:
tf (x1 ) + (1 − t) f (x2 ) = f (tx1 + (1 − t) x2 ) + α.

Vì F (x1 ) = f (x1 ) + R+ nên tồn tại s1 , s2 ∈ R+ sao cho F (x1 ) = f (x1 ) + s1 ,
F (x2 ) = f (x2 ) + s2 . Xét w ∈ tF (x1 ) + (1 − t) F (x2 ) , tức là
w = tf (x1 ) + ts1 + (1 − t)f (x2 ) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2 ) + α + ts1 + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2 ) + β,

với β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0

∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Vậy tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ). Hay F là ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.2.4. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) = y ∈ R : y ≥ x2 + 2x + 2 ,

là ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.2.5. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

0
[0, 1]

nếu x = 0,
nếu x = 0,

(1.5)
1
2


không phải là ánh xạ đa trị lồi vì lấy x2 = −x1 , x1 > 0 và t = . Khi ấy ta có
1
{[0, 1] + [0, 1]}
2
1
= [0, 2] = [0, 1]
2
F (tx1 + (1 − t)x2 ) = F (0) = {0} .

tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) =

14


1.2.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Cho Y , X là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y.
Định nghĩa 1.2.5. (Xem [2], trang 19) Ánh xạ F là:
(i) Nửa liên tục trên tại x ∈ domF (kí hiệu usc) nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa
mãn F (x) ⊂ V, tồn tại tập mở U của x sao cho F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U ;
(ii) Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF (kí hiệu lsc) nếu với mọi tập mở V ⊂ Y
thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅, tồn tại tập mở U của x sao cho F (x) ∩ V = ∅ với
mọi x ∈ U ∩ domF ;
(iii) Liên tục tại x ∈ domF nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
tại x.
Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là liên tục trên domF
Ví dụ 1.2.6. Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

0, 12
[0, 1]

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa
liên tục dưới tại x = 0.
Thật vậy, lấy một lân cận mở V của F (0) sao cho F (0) ⊂ V , hay [0, 1] ⊂ V.
Lấy U là lân cận bất kỳ của 0 , khi ấy ta có F (x) = [0, 21 ) ⊂ [0, 1] ⊂ V với mọi
x ∈ U, x = 0.
Vậy F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
Tiếp theo ta chứng minh F không là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0.
Lấy V = 34 , 2 , ta có F (0) = [0, 1] nên F (0) ∩ V = ( 34 , 1] = ∅.
Gọi U là lân cận bất kỳ của 0 thì tồn tại x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) ∩ V =
0, 21 ∩ 43 , 2 = ∅ Vậy F không là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0
Ví dụ 1.2.7. Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

0
[0, 1]

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa
liên tục trên tại x = 0.
Thật vậy, với mọi lân cận V thỏa mãn V ∩ F (0) = {0} = ∅ hay 0 ∈ V.

Chọn lân cận U = − 21 , 12 ta có 0 ∈ F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ − 21 , 12
15


Vậy F là hàm nửa liên tục dưới tại x = 0.
Tiếp theo ta chứng minh F không là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0
Thật vậy, lấy một lân cận mở V = − 21 , 12 của F (0). Khi ấy mọi lân cận U
của 0 thì tồn tại x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) = [0, 1] ⊂ V. Do đó F khơng phải là
ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
1.2.3

Một số định lý về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa
trị

Cho X , Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A một tập con khác rỗng
trong X.
Định nghĩa 1.2.6. (Ánh xạ KKM) Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A được gọi là ánh
xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {a1 , ..., an } của A và mỗi phần tử a thuộc
vào bao lồi của {a1 , ..., an } có thể tìm được một chỉ số i sao cho a ∈ F (ai ).
Dưới đây là một số định lý quan trọng của giải tích hàm sử dụng trong các
Chương sau
Định lý 1.2.1. (Định lý về sự tương giao của các tập compact) Giả sử {Ci : i ∈ I}
là một họ các tập compact, khác rỗng trong khơng gian X . Nếu nó có tính chất
giao hữu hạn, tức là
Cj = ∅ với J là tập hữu hạn trong I thì
Ci = ∅.
j∈J

i∈I


Định lý 1.2.2. (Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị) Cho A là tập compact,
lồi, khác rỗng và ánh xạ F : A ⇒ A đóng với giá trị khác rỗng, là ánh xạ KKM
. Khi đó
F (a) = ∅.
a∈A

Định lý 1.2.3. (Định lí điểm bất động Fan-Browder) Cho A là một tập compact, lồi, khác rỗng. Nếu ánh xạ đa trị F : A ⇒ A thỏa mãn điều kiện A =
intF −1 (a), thì tồn tại a ∈ A mà a ∈ convF (a).
a∈A

16


Chương 2

Bài toán quan hệ biến phân
Trong chương này ta trình bày bài tốn quan hệ biến phân và đưa ra một số
bài tốn có thể xem như bài tốn quan hệ biến phân và trình bày sự tồn tại
nghiêm của bài tốn quan hệ biến phân dựa trên tính chất tương giao KKM và
định lý điểm bất động theo bài báo [3].

2.1

Phát biểu bài tốn và một số ví dụ

Giả sử A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y
là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần
tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y.
Định nghĩa 2.1.1. Bài tốn tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);

(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b);
được gọi là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR).
Các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T được gọi là ánh xạ ràng buộc.
Quan hệ R là một quan hệ biến phân.
Điểm a¯ thỏa mãn điều kiện (1) và (2) được gọi là nghiệm của bài toán (VR).
Tập các nghiệm của bài toán (VR) kí hiệu là Sol(VR).
Sau đây là một số bài tốn đã biết có thể được xem như một bài tốn quan
hệ biến phân.
Ví dụ 2.1.1. Bài tốn quy hoạch phi tuyến
Cho X ⊆ Rn , và f : X → R, g : X → Rm , h : X → Rk và tập
D = x ∈ X : g(x) ≤ 0 và h(x) = 0 .
17


Bài toán quy hoạch phi tuyến được phát biểu như sau:
Tìm x¯ ∈ D sao cho f (¯
x) ≤ f (x) với mọi x ∈ D.
Đặt:
A = B = Y = X,
S1 (a) = X, S2 (a) = x ∈ Rn : g(x) ≤ 0 và h(x) = 0 , T (a, b) = {b} .

Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu f (a) ≤ f (b) đúng với mọi b ∈ D.

Như vậy, bài toán quy hoạch phi tuyến được đưa về bài tốn quan hệ biến phân.
Ví dụ 2.1.2. Bài tốn bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion Problem)
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là các
ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng. Cho F , G là hai ánh xạ đa trị xác định trên
A × B × Y lấy giá trị trên khơng gian Z. Bài tốn bao hàm thức biến phân, được
kí hiệu là (VIP), phát biểu như sau:

Tìm a¯ ∈ A sao cho a¯ ∈ S1 (a) và F (¯a, b, y) ⊆ G(¯a, b, y) với mọi b ∈ S2 (¯a) và
y ∈ T (¯
a, b).
Đặt:
A = B = Y = X,
S1 (a) = X = S2 (a), T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A, b ∈ B.
Quan hệ R được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu F (a, b, y) ⊆ G(a, b, y) với mọi b ∈ S2 (a) và y ∈ T (a, b).

Như vậy, (VIP) là (VR).
Ví dụ 2.1.3. Bài tốn cân bằng (Equilibrium Problem)
Cho tập X = ∅, φ là một hàm thực trên tập X × X . Bài tốn cân bằng, được kí
hiệu là (EP), phát biểu như sau
Tìm x¯ ∈ X sao cho φ(¯
x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ X .
Đặt:
A = B = Y = X,
S1 (a) = S2 (a) = X , T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A, b ∈ B.

Quan hệ R được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu φ(a, y) ≥ 0 với mọi y ∈ X.

Như vậy, (EP) là (VR).
18


Ví dụ 2.1.4. Bài tốn bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)
Cho ϕ : K → X, X là không gian Hilbert, K ⊆ X là tập lồi, khác rỗng.
Bài tốn tìm x ∈ X sao cho
ϕ (x) , y − x


0, ∀y ∈ K

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân.
Đặt ϕ (x, y) = ϕ (x) , y − x thì bài tốn (VI) là bài tốn (EP), do đó cũng là
bài tốn (VR)
Ví dụ 2.1.5. Bài toán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu (Weak vector Ky Fan
inequality problem)
Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô, tập K ⊂ X là tập khác
rỗng, C ⊂ Z là nón lồi đóng với intC = ∅ và ánh xạ đa trị F : K × K ⇒ Z .
Bài tốn bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu kí hiệu là (P) được phát biểu như
sau
Tìm x ∈ K sao cho F (x, η) ⊂ −intC với mọi η ∈ K.
Đặt: A = K = B = Y, S1 (a) = K = S2 (a), T (a, b) = {b} .
Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu F (a, b) ⊂ −intC, với mọi b ∈ S2 (a).

Như vậy, (P) là (VR).
Nhận xét: Khi Z = R, F là ánh xạ đơn trị, ký hiệu là ϕ
C = R+ = {x ∈ R : x 0}
Suy ra int C = {x ∈ R : x > 0} hay − int C = {x ∈ R : x < 0} .
Khi đó F (x, y) ⊂ − int C trở thành ϕ (x, y) ⊂ − int C hay ϕ (x, y) > 0.
Do đó bất đẳng thức véctơ Ky Fan là mở rộng (tổng quát hóa) của bài tốn
cân bằng.
Ví dụ 2.1.6. Bài tốn cân bằng véctơ tổng quát mạnh (Generalized strong
vector equilibrium problem)
Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô và C ⊂ Z là nón lồi,
đóng. Giả sử tập con K ⊂ X khác rỗng và F : K × K ⇒ Z, F (x, y) = ∅, ∀x, y ∈ K.
Bài tốn cân bằng véctơ tổng qt mạnh, kí hiệu là (GSVEP) phát biểu như
sau:

Tìm x ∈ K sao cho F (x, y) ∩ (−C\ {0Z }) = ∅ với mọi y ∈ K.
19


Đặt A = B = K = Y, S1 (a) = K = S2 (a), T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A, b ∈ B và
quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu F (a, y) ∩ (−C\ {0Z }) = ∅, với mọi y ∈ K.

Như vậy, (GSVEP) là (VR).
Ví dụ 2.1.7. Bài toán tựa cân bằng (Quasi-Equilibrium Problem )
Cho X là không gian tôpô, C là một tập con đóng của khơng gian véctơ tơpơ Z
với intC khác rỗng, các ánh xạ đa trị S, G : X ⇒ X và F : X × X ⇒ Z. Bài tốn
tựa cân bằng kí hiệu là (QEP) được phát biểu như sau:
Tìm a¯ ∈ X sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của clS, tức là a¯ ∈ clS(¯a);
(2) F (b, y) ⊆ Z\ − intC với mọi b ∈ S(¯a) và y ∈ G(¯a).
Đặt
A = B = Y = X,
S1 (a) = clS(a), S2 (a) = S(a), T (a, b) = G(a) với mọi a, b ∈ X.

Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau:
R(a, b, y) đúng nếu F (b, y) ⊆ Z\ − intC với mọi b ∈ S2 (a), y ∈ T (a, b).

Như vậy, (QEP) là (VR).
Cho X là không gian tôpô, A ⊆ X, ánh xạ S : X ⇒ X và f : X × X → Z. Với
mỗi a ∈ A, C(a) là tập con, có phần trong khác rỗng của không gian véctơ tôpô
Z. Một dạng khác của (QEP) là (QEP’) được phát biểu như sau:
Tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ ∈ S(¯a);
(2) f (¯a, b) ∈ Z\ − intC(¯a) với mọi b ∈ S(¯a).

Đặt
A = B = Y = X,
S1 (a) = S2 (a) = S(a), T (a, b) = {b} với mọi a ∈ A và F (x, b, y) = {f (x, b)} và
G (x, b, y) = Z\ − int C (x) .

Bài toán (QEP’) là (VIP), do đó cũng là (VR).
Bài tốn (QEP∗ ) là một dạng khác của bài toán (QEP’), ở đây −intC(¯a) được
thay thế bởi −clC(¯a), cụ thể:
Tìm a¯ ∈ A sao cho
20


(1) a¯ ∈ S(¯a);
(2) f (¯a, b) ∈ Z\ − clC(¯a) với mọi b ∈ S(¯a).
Tương tự, đặt
A = B = Y = X,
S1 (a) = S (a) , S2 (a) = X, T (a, b) = {b} ,
F (x, b, y) = {f (x, b)} , G (x, b, y) = Z\ − clC (x) .

Khi ấy bài toán (QEP∗ ) là (VIP), do đó cũng là (VR).
Kết luận: Hầu hết các bài toán của tối ưu phi tuyến đều đưa được về mơ
hình bài tốn quan hệ biến phân.

2.2
2.2.1

Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
Định lý cơ bản

Giả sử S1 , S2 , T là các ánh xạ đa trị và quan hệ biến phân R được xác định

trong Mục 2.1. Xét ánh xạ đa trị P : B ⇒ A được xác định bởi
P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b),

trong đó
P1 (b) = A\S2−1 (b), S2−1 (b) = {a ∈ A : b ∈ S2 (a} ,
P2 (b) = a ∈ A : a ∈ S1 (a) và R(a, b, y) đúng với mọi y ∈ T (a, b) .

Định lý 2.2.1. a ∈ Sol (V R) khi và chỉ khi a¯ ∈

P (b).
b∈B

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử a¯ ∈ A là một nghiệm của bài toán (VR).
Lấy b ∈ B bất kì, khi đó có hai khả năng hoặc là b ∈ S2 (¯a) hoặc là b ∈
/ S2 (¯
a).
−1
−1
Nếu b ∈
/ S2 (¯
a) thì a
¯∈
/ S2 (b), suy ra a
¯ ∈ A\S2 (b) hay a
¯ ∈ P1 (b), do đó a ∈ P (b)
Nếu b ∈ S2 (¯a) thì theo định nghĩa của bài tốn (VR) ta có R(¯a, b, y) đúng với
mọi y ∈ T (¯a, b). Mặt khác theo điều kiện (1) của bài toán (VR) thì a¯ ∈ S1 (¯a).
Suy ra a¯ ∈ P2 (b).
Kết hợp hai trường hợp trên ta có a¯ ∈ P (b) với mọi b ∈ B. Vậy a¯ ∈
P (b).

b∈B

Điều kiện đủ: Giả sử a¯ ∈ P (b) với mọi b ∈ B . Trước hết ta đi chứng minh
a
¯ ∈ S1 (¯
a). Phản chứng rằng a
¯∈
/ S1 (¯
a), tức là a
¯∈
/ P2 (b).
Mà a¯ ∈ P (b) với mọi b ∈ B nên a¯ ∈ P1 (b) hay a¯ ∈ A\S2−1 (b) với mọi b ∈ B. Suy ra,
a
¯∈
/ S2−1 (b) với mọi b ∈ B, tức là b ∈
/ S2 (¯
a) với mọi b ∈ B. Vì thế, S2 (¯
a) ∩ B = ∅,
21


do đó S2 (¯a) = ∅ (mâu thuẫn). Vậy a¯ ∈ S1 (¯a).
Tiếp theo ta đi chứng minh R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b).
Thật vậy, nếu b ∈ S2 (¯a) thì a ∈ S2−1 (b) nên a¯ ∈
/ A\S2−1 (b) hay a
¯∈
/ P1 (b). Mà
a
¯ ∈ P (b) nên a
¯ ∈ P2 (b), tức là R(¯

a, b, y) đúng với mọi y ∈ T (¯
a, b) do a ∈ S1 (a) .
Vậy, a¯ là một nghiệm của bài toán (VR).
Hệ quả 2.2.1. Điểm a¯ ∈ A là nghiệm của bài toán (VR) nếu và chỉ nếu tập
B\P −1 (¯
a) là tập rỗng. Đặc biệt, nếu A = B thì bài tốn (VR) có nghiệm nếu các
điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Ánh xạ a → A\P −1 (a) có điểm bất động nếu nó có giá trị khác rỗng ∀a;
(ii) Với mỗi a ∈ A, S2 (a) ⊆ S1 (a);
(iii) Với mỗi a ∈ A, a ∈ S1 (a): R(a, a, y) đúng với mọi y ∈ T (a, a).
Chứng minh. Trước hết ta đi chứng minh a¯ ∈ Sol(VR) nếu và chỉ nếu B\P −1 (¯a) =
∅. Thật vậy, giả sử a
¯ ∈ Sol(VR), theo Định lí 2.2.1 ta có a
¯ ∈ P (b) với mọi b ∈ B ,
nên b ∈ P −1 (¯a) với mọi b ∈ B. Vì thế b ∈
/ B\P −1 (¯
a) hay B\P −1 (¯
a) = ∅. Ngược lại,
−1
−1
giả sử B\P (¯a) = ∅. Khi ấy b ∈ P (¯a) với mỗi b ∈ B, tức là a¯ ∈ P (b) với mỗi
b ∈ B. Suy ra a
¯∈
P (b), theo Định lí 2.2.1 ta có a
¯ là nghiệm của (VR).
b∈B

Tiếp tục ta chứng minh phần còn lại của Hệ quả.
Giả sử phản chứng, bài tốn (VR) khơng có nghiệm tức là A\P −1 (a) = ∅ với
mọi a ∈ A. Theo (i) tồn tại a0 ∈ A\P −1 (a0 ). Suy ra a0 ∈

/ P −1 (a0 ), tức là a0 ∈
/ P (a0 ).
−1
−1
Vì thế a0 ∈
/ P1 (a0 ) hay a0 ∈
/ A\S2 (a0 ), nên a0 ∈ S2 (a0 ) hay a0 ∈ S2 (a0 ), tức là
a0 là điểm bất động của S2 (a0 ).
Theo (ii) thì a0 ∈ S1 (a0 ).
Theo (iii) ta có R(a0 , a0 , y) đúng với mọi y ∈ T (a0 , a0 ), nên a0 ∈ P2 (a0 ). Do đó
a0 ∈ P (a0 ), nghĩa là a0 ∈ P −1 (a0 ), mâu thuẫn với điều giả sử.
Vậy tồn tại a mà A\P −1 (¯a) = ∅, theo phần đầu của hệ quả thì a là một nghiệm
của bài tốn (VR).
2.2.2

Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao của các tập compact

Dưới đây chúng ta sẽ trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài tốn
(VR) dựa trên tính chất tương giao của các tập compact và Định lí KKM-Fan
đã phát biểu trong Chương 1.

22


Định nghĩa 2.2.1. Bài toán (VR) được gọi là giải được hữu hạn nếu với mỗi
tập con hữu hạn phần tử D ⊆ B, tồn tại a0 ∈ A sao cho với mỗi b ∈ D hoặc là
b∈
/ S2 (a0 ) hoặc là a0 ∈ S1 (a0 ) và R(a0 , b, y) đúng với mọi y ∈ T (a0 , b).
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử A là một tập compact và P (b) là tập đóng với mỗi
b ∈ B . Khi đó bài tốn (VR) có nghiệm nếu và chỉ nếu bài toán (VR) là giải

được hữu hạn.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử a¯ ∈ A là một nghiệm của bài tốn (VR).
Theo Định lí 2.2.1 ta có a¯ ∈
P (b) suy ra a
¯∈
P (b) với mọi tập con hữu
b∈B

b∈D

hạn D ⊆ B. Suy ra a ∈ P (b) , ∀b ∈ D, hay a ∈ P1 (b) ∪ P2 (b) , ∀b ∈ D, tức là hoặc
a ∈ P1 (b) hoặc a ∈ P2 (b).
Nếu a ∈ P1 (b) thì a ∈ A\S2−1 (b) . Suy ra a ∈
/ S2−1 (b) hay b ∈
/ S2 (a) .
Nếu a ∈ P2 (b) thì a ∈ S1 (a) và R (a, b, y) đúng ∀b ∈ S2 (a) , ∀y ∈ T (a, b) .
Từ hai trường hợp trên suy ra bài toán (VR) giải được hữu hạn.
Điều kiện đủ: Giả sử (VR) giải được hữu hạn nghĩa là a0 là nghiệm của bài
toán (V R)D . Ta cần chứng minh bài tốn (VR) là có nghiệm. Điều này có thể
được chứng minh dựa vào Định lý 2.2.1 và tính chất tương giao hữu hạn.
Từ nay về sau nếu khơng nói gì thêm chúng ta ln giả thiết A = B là tập
con khác rỗng của không gian véctơ tôpô Hausdorff.
Định nghĩa 2.2.2. Quan hệ R được gọi là quan hệ KKM nếu với mọi tập con
hữu hạn {a1 , ..., ak } của A và với mỗi tổ hợp lồi a của {a1 , ..., ak } tìm được một
chỉ số i sao cho R(a, ai , y) đúng với mọi y ∈ T (a, ai ).
Trường hợp đặc biệt, a là tổ hợp lồi của chính nó. Nhận xét sau có lợi trong
các lập luận tiếp theo.
Nhận xét 2.2.1. Nếu R là KKM thì R(a, a, y) đúng với mọi y ∈ T (a, a).
Định lý 2.2.2. Bài tốn (VR) có nghiệm nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) A là tập khác rỗng, lồi, compact.

(ii) Ánh xạ P có giá trị đóng.
(iii) Với mỗi a ∈ A, bao lồi S2 (a) chứa trong S1 (a).
(iv) Quan hệ R là KKM.

23


Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh với mọi a ∈ A, P (a) = ∅. Phản chứng
rằng tồn tại a0 ∈ A mà P (a0 ) = ∅. Suy ra, A\S2−1 (a0 ) = ∅, hay A ≡ S2−1 (a0 ). Do
đó với mọi a ∈ A : a ∈ S2−1 (a0 ), tức là a0 ∈ S2 (a) với mọi a ∈ A. Theo (iii),
S2 (a0 ) ⊆ convS2 (a0 ) ⊆ S1 (a0 ),

nên a0 ∈ S1 (a0 ).
Theo (iv), R là KKM nên tồn tại a0 sao cho R(a0 , a0 , y) đúng với mọi y ∈
T (a0 , a0 ). Suy ra, a0 ∈ P2 (a0 ), nên a0 ∈ P (a0 ), điều này mâu thuẫn với giả thiết
phản chứng. Vậy, P (a) = ∅.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh P là ánh xạ KKM. Lấy
k

{a1 , ..., ak } ∈ A, a =

k

αi ai ∈ A,αi
i=1

αi = 1.

0,
i=1


Nếu tồn tại i0 sao cho a ∈ A\S2−1 (ai0 ), thì a ∈ P (ai0 ). Suy ra P là KKM.
Ngược lại, với mọi i = 1, ..., k, a ∈
/ A\S2−1 (ai ), thì a ∈ S2−1 (ai ), tức là
ai ∈ S2 (a) ⊆ convS2 (a).

Do đó,
k

ai ∈ convS2 (a) ⊆ S1 (a).

a=
i=1

Theo (iv) R là KKM nên tồn tại chỉ số i ∈ {1, ..., k} sao cho R(a, ai , y) đúng
với mọi y ∈ T (a, ai ). Do đó, a ∈ P (ai ), tức là P là ánh xạ KKM. Vì vậy, với P là
ánh xạ KKM, P (a) khác rỗng và P (a) là tập đóng nên theo Định lí KKM-Fan
ta có:
P (b) = ∅. Vậy bài tốn (VR) có nghiệm.
b∈A

Nhận xét 2.2.2. Xem xét các điều kiện của Định lí 2.2.2 một cách chi tiết hơn
chúng ta thấy rằng định lí vẫn đúng dưới điều kiện yếu hơn đặt lên quan hệ R
bằng cách đòi hỏi quan hệ R(a, ai , y) với y ∈ T (a, ai ) là đúng khi tổ hợp lồi a của
các ai là điểm cố định của S1 . Các điều kiện (i) và (iii) là các điều kiện bình
thường, cịn nếu bỏ điều kiện (ii) hoặc (iv) đi thì khẳng định của Định lí có thể
khơng cịn đúng nữa.
Ví dụ 2.2.1. Xét mơ hình bài tốn cân bằng mơ tả trong Ví dụ 2.1.2, trong
đó X = [0, 1] ⊆ R, A = B = X = Y và quan hệ R được định nghĩa bởi ánh xạ
φ : X × X → R với

1
φ(x, y) = x2 − x − y + .
2

Đặt
24