De thi HSG toan 8 TPTDM Binh Duong1213

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.51 KB, 4 trang )

(1)PHÒNG GD – ĐT TP. THỦ DẦU MỘT. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH NĂM HỌC: 2012-2013 MÔN TOÁN: LỚP 8 Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 30/3/2013 Bài 1: (3d) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 b) Cho a,b,c thoả mãn: Tính A = a4 + b4 + c4.  a  b  c 0  2 2 2  a  b  c 2009. Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz 2x  m x  1  3 b) Cho Phương trình: x  2 x  2 . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. 1 1 1   9 c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : a b c. Bài 3(2đ) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt lấy BE.BF AB 2  2   điểm E và F sao cho EAD FAD . Chứng minh rằng CE.CF AC .. Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM. Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi. ------------Hết------------.

(2) Giải Bài 1: (3d)  a  b  c 0  2 2 2 a) Cho a,b,c thoả mãn: a  b  c 2009. Tính A = a4 + b4 + c4 Cách 1: Ta có: a+b+c=0  a+b = -c  (a+b)2 – 2ab = c2  (a+b)2 – c2 = 2ab  (a+b+c)(a+b-c) = 2ab  0 = 2ab  a=0 hoặc b=0  Nếu a=0  b = -c và b2 + c2 = 2009  b2 + b2 = 2009  2b2 = 2009  b=. 2009 2009 2 và c = - 2 4. 4. 4. 4. 2009 2009 1 04   20092. 2 2 2 (1) Do đó: A = a4 + b4 + c4 =  Nếu b=0  a = -c và a2 + c2 = 2009  a2 + a2 = 2009  2a2 = 2009  a=. 2009 2009 2 và c = - 2. 04  Do đó: A = a4 + b4 + c4 = Từ (1) và (2)  A = a4 + b4 + c4. 2009 2009 1  20092. 2 2 2 (2) 20092.. 1 2.

(3) Cách 2: Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a2 + b2 + c2 )2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092  a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092  a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1) Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009  (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009 2009  2 ( do a+b+c = 0)  ab+ac+bc 20092  4  (ab+ac+bc )2 20092  2 2 2 2 2 2 2 2 2 4  a b + b c + c a + 2a bc + 2b ac + 2c ab 20092  4  a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c) 20092 4 ( do a+b+c = 0)  a2b2 + b2c2 + c2a2 20092 (1)  a4 +b4 +c4 = 20092 -2. 4 . 20092  2  a4 +b4 +c4. Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz Cách 1: Ta có: (x-y)2 ≥ 0 với mọi x,y  R Tương tự : (y-z)2 ≥ 0 , (z-x)2 ≥ 0 với mọi x,y,z  R Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0  2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ 0  (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ 0  (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 )  3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy)  3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = 9  (xy+yz+xy) ≤ 3 Vậy B = 3 thì đạt giá trị lớn nhất Dấu “=” xảy ra khi x=y=x =1 Cách 2: Ta có: B = xy + yz + xz và x + y + z = 3 B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y) =xy + 3(x+y) – (x+y)2 = -x2 – y2 – xy + 3x + 3y.

(4) 2. 2  y  3  3y 2  6 y  9  3  x   y  1  3 3   2  4 4 =   y  1 0  y 3  0  x y z 1 x  2   x  y  z 0. Dấu “=” xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x=y=z=1. 2x  m x  1  3 b) Cho Phương trình: x  2 x  2 . Tìm m để phương trình có nghiệm dương.. Đk: x ≠  2 Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)  2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12  (1-m)x = 2m – 14 . x. 2  m  7 1 m. Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi.  m  7  0   1  m  0   m  7  0   1  m  0.  m  7 (loai )   m  1  1 m  7  m  7    m  1. 2  m  7. +Với Đk x ≠ 2  1  m ≠ 2  m ≠ 4 (2) Từ (1), (2) Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương .. (1).

(5)

De thi HSG toan 8 TPTDM Binh Duong1213

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về