ltdh11 va 12 giai tich to hop va xac suat

<span class='text_page_counter'>(1)</span>GV Hoàng Công Nhật. 12. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP - TỔ HỢP – NHỊ THỨC - XÁC SUẤT Gv Hoàng Công Nhật I . HOÁN VỊ Định nghĩa 1: Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n  1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Định lí 1: Nếu kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì ta có: Pn = n! = 1.2.3…(n  1).n. II. CHỈNH HỢP Định nghĩa 2: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k (1  k  n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Định lí 2: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn , thì ta có:. Akn = n.(n  1)…(n – k + 1).  Chuù yù: 1. Ta coù theå vieát Akn theo caùch khaùc:. Akn  n(n  1)(n  2)...(n  k  1) . n! (n-k) !. 2. Neáu k = n thì: n! n! = = n! = Pn. 0! 1 Như vậy, một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n phần tử. Từ đó, suy ra:. Ann =. Ann = Akn . Annkk , với mọi 1  k  n. Kết quả này được phát biểu là " Số các hoán vị của n phần tử phân biệt bằng số các chỉnh hợp n chập r của các phần tử đó, nhân với số các hoán vị của (n - r) phần tử còn lại ". III. TỔ HỢP Định nghĩa 3: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tập con của E, gồm k phần tử phân biệt không cần thứ tự (1  k  n), được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Định lí 3: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Ckn , thì ta có:. Ckn =. Akn. k!. =. n(n  1)...(n  k  1) , k!. (1). với 0  k  n và quy ước Cn0 = 1. Từ kết quả của định lí 3 suy ra: n! 1. Ckn = , với 0  k  n. k!(n  k)! 2.. Ckn = Cnnk , với 0  k  n.. 3.. Ckn = Ckn1 + Ckn11 , với 0  k  n.. (2) (3) (4). CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GV Hoàng Công Nhật. IV. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Ở lớp 8 chúng ta đã được làm quen với các hằng đẳng thức: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02 a2  0b0 + C12 a2  1b1 + C22 a0b2, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03 a3  0b0 + C13 a3  1b1 + C23 a3  2b2 + C33 a0b3. Tổng quát: Với mọi cặp số a, b và mọi số n nguyên dương, ta có: (a + b)n = Cn0 an + C1n an - 1b + Cn2 an - 2b2 + ... + Cnn1 abn - 1 + Cnn bn =. (1). n.  Cknank .bk .. k 0. Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Niu  tơn (gọi tắt là nhị thức Niu  tơn) Soá haïng toång quaùt coù daïng: Tk + 1 = Ckn an  kbk, với k = 0, 1, ..., n.. đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức (a + b)n. Như vậy, với yêu cầu "Tìm hệ số của an  kbk" thì cầu trả lời là Ckn . * ÑAËC BIEÄT (1 + x)n = Cn0 + C1n x + Cn2 x2 + ... + Cnn1 xn - 1 + Cnn xn. k n (1 - x)n = C0 - C1 x + C2 x2 - ... + (-1)k Cn xk + ... + (-1)n Cn xn. n. n. (2) (3). n. Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n. n Cn0 - C1n + Cn2 - ... + (-1)n Cn = 0. (1  x)n (1  x)m  (1  x)nm 0 1 m 0 1 n m n m  (Cn0  Cn1 x  ...  Cnn xn ).(Cm  Cm x  ...  Cm m x )  Cn m  Cn m x  ...  Cn m x. V. TAM GIAÙC PASCAL Các hệ số của khai triển Niutơn của nhị thức (a + b)n có thể được sắp xếp thành tam giác sau ñaây (goïi laø tam giaùc Pascal): n n n n n n n. =0 =1 =2 =3 =4 =5 =6 …. 1 1 1 1. 1. 6. 1 5. 4 15. 1. 2. 3 10. 6 20. 1 3 10. 1 4 15. 1 5. 1 6. 1. 1. Như vậy, dựa vào bảng ta có: C14 = C34 = 4, C24 = 6.. C15 + C25 = C26 (chúng ta đã từng được biết Ckn + Ckn 1 = Ckn 11 ).. CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GV Hoàng Công Nhật. VI. MOÄT SOÁ KHAÙI NIEÄM VEÀ XAÙC SUAÁT  Phép thử ngẫu nghiên : là phép thử T mà ta không đoán trước được kết quả, mặc dù tập hợp các kết quả có thể có của Tù ta đã biết  Tập hợp các kết quả có thể có của một phép thử T gọi là không gian mẫu của phép thử T . Kí hiệu  .Số phần thử của  được viết là    hoặc n .  Biến cố A của phép thử T là tập hợp con của không gian mẫu  : A   . Số phần tử của tập hợ A được ghi là  A  hoặc nA . A =  : bieán coá roãng hay bieán coá khoâng theå coù A =  : bieán coá chaéc chaén A = A1  A2 với A1 ; A2   : biến cố giao A = A1  A2 với A1 ; A2   : biến cố hợp A =  \ A: gọi là biến cố đối của A Nếu A, B là các biến cố của cùng phép thử T thỏa A  B =  ta nói A và B là 2 biến cố xung khaéc . Ví duï : A vaø A laø 2 bieán coá xung khaéc A và B gọi là 2 biến cố độc lập nếu việc biến cố A xảy ra hay không xảy ra của biến cố này khoâng phuï thuoäc vaøo bieán coá kia A  Xaùc suaát cuûa bieán coâù A : P(A) =   Ñònh lyù : a) P( ) = 0 ; P( ) = 1 b) 0  P(A)  1 vaø P( A ) = 1 - P(A) ;  A  c) Neáu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) d) Nếu A, B là hai biến cố độc lập  P(A.B) = P(A).P(B) Các bài toán cơ bản Vấn đề 1 : Giải phương trình hệâ phương trình và bất phương trình * Caàn chuù yù ñieàu kieän cuûa : Hoán vị n phần tử Pn = n! là n  1. ;. n! laø 1  k  n ; (n  k )! n! Tổ hợp chập k của n phần tử Ckn  laø 0  k  n k!.(n  k )! Chỉnh hớp chập k của n phần tử Akn . * Chú ý cách rút gọn giai thừa n! (14  n)!  (n  1).n ;  (11  n).(12  n).(13  n)(14  n) (n  2)! (10  n)!. * Một số tính chất của tổ hợp a) Tính chất đối xứng của công thức : Ckn  Cnnk ( ĐK : 0  k  n ) b) Tính chaát Patxcan : Ckn11  Cnk  Cnk  1 ( 1  k  n – 1 ) * Giải và nhớ chọn nghiệm thích hợp CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> GV Hoàng Công Nhật. Vấn đề 2 : Bài tóa n chọn chữ số để có số tự nhiên thỏa điều kiện cho trước *Goïi soá caàn tìm laø a1a2a 3 ......ak ai  Tập hợp đề cho A   a1  0 * ÑK  ai  a j (i  j ) Điều kiện cho chữ số a nếu có k  * Đếm cách chọn: chú ý điều kiện bên trên để chọn cho đúng  ak : ( Chọn chữ số cuối cùng thỏa đề cho ) N1 cách  a1 : coù N2 caùch  a2a3. . . ak -1 : có N3 cách ( có thể chọn từng chữ số một không nhất thiết phải chọn cùng luùc ) Coù N = N1.N2.N3 soá  Lưu ý có thể phải chia trường hợp ra đếm rồi cộng hoặc trừ các kết quả của các trường hợp đó lại Vấn đề 3 : Bài tóa n chọn đối tượng * Đọc kĩ đề để xem đối tượng chọn có thứ tự dùng chỉnh hợp Akn  không có thứ tự dùng tổ hợp Ckn . n! (n  k )!. n! k!.(n  k )!. * Nếu có hóan vị thì ta phải tính thêm số lần hóan vị nữa Pn = n!  Lưu ý có thể chia trường hợp ra dếm rồi cộng kết quả của các trường hợp đó lại Vấn đề 4 : Nhị thức Niutơn P(x) = (a + b)n (a  b)n . (nN* ) - Chứng minh dẳng thức. n.  Cinani.bi  Cn0an  C1nan1b  ...  Cknankbk  ...  Cnnbn i 0. n  ?  * Ta caàn lieät keâ a  ? b  ? . của đa thức P(x) = (a + b)n. (nN* ). * Số hạng thứ k + 1 : Tk 1  Cnk ank .bk (k  0,1,2,...,n) . * Cần tìm k để thỏa đề bài ví dụ như  Số hạng không chứa x  mũ của x là 0  k  Số hạng chứa xm  mũ của x là m  k . . . BAØI TAÄP OÂN 1. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau? 2. Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau Cyx 1 : Cyx 1 : Cyx 1  6 : 5 : 2 3. Giải bất phương trình (với hai ẩn là n, k  N):. Pn 4. (n  k)!. ÑS: 2296 ÑS: (x  8; y  3).  60Akn 23 .. CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> GV Hoàng Công Nhật. k  n ÑS: BPT   (n  5)(n  4)(n  k  1)  60 + Xét với n  4: BPT vô nghiệm. + Xét với n  {0, 1, 2, 3} được các nghiệm (n; k) là: (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3). 5 4. Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên: Cnn12  Cnn 2  An2 . ĐS: n  2. 2 5. Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1  x)n , nN*, biết tổng tất cả các heä soá trong khai trieån treân baèng 1024.. ÑS:. 5 C10  252 .. 6. Giải phương trình: Cn4  Cn5  3Cn61 (trong đó Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử). ÑS:. n = 6.. 7. Giải phương trình: 3Cn3  2Cn2  3An2 (trong đó Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử,. Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử). 8. Giaûi baát phöông trình:. ÑS: n = 6.. (n2  5)Cn4  2Cn3  2An3 (trong đó Akn là số chỉnh hợp chập k của. n phần tử, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử).. ÑS:. 9. Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2x  1)10 .. n = 4; n = 5. ÑS:. 3 27 C10 .. 13. CÁC ĐỀ THI VỀ HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP - TỔ HỢP – NHỊ THỨC - XÁC SUẤT 1. (ĐH 2003A1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ? HD: 192 2. (ĐH 2003A2) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau ? HD: 952 3. (ĐH 2003B1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ? HD: 108 4. (ĐH 2003B2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? HD: 462 5. (ĐH 2003D1) Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ? HD: 90720 6. (ĐH 2003D2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2Cnn 2  2Cn2Cn3  Cn3Cnn 3  100 ( Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử).. HD:.  . 2. n = 4 (Chuù yù: Ckn .Cnnk  Ckn ). 7. (ĐH 2004D) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 7. 3 1  với x > 0. HD: C74  35 .  x 4  x  8. (ĐH 2004A1) Cho tập A gồm n phần tử, n  7. Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tâọ A. 9. (ĐH 2004A2) Cho tập A gồm n phần tử, n > 4. Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ. HD: 10. (ĐH 2004B1) Biết rằng (2  x)100  a0  a1x  ...  a100 x100 . Chứng minh rằng a2  a3 . Với giaù trò naøo cuûa k thì ak  ak  1 (0  k  99) ?. HD:. CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> GV Hoàng Công Nhật. 11. (ĐH 2004B2) Giả sử (1  2x)n  a0  a1x  a2 x2  ...  an xn . Tìm n và số lớn nhất trong các soá a0 ,a1,a2 ,...,an , bieát raèng a0  a1  a2  ...  an  729 .. HD: n.  1 12. (ĐH 2004D1) Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của  x   tổng các hệ số của hai  x. số hạng đầu tiên bằng 24, tính tổng các hệ số của các số hạng chứa xk với k > 0 và chứng minh raèng toång naøy laø moät soá chính phöông. HD: 13. (ĐH 2004D2) Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn dồng thời ba điều kiện sau: gồm đúng 4 chữ số đôi một khác nhau; là số chẵn; nhỏ hơn 2158 ? HD: 14. (ÑH 2005A) Tìm soá nguyeân döông n sao cho: 2 2 3 3 4 2n 2n 1 k 15. C12n 1  2.2C2n  1  3.2 C2n 1  4.2 C2n 1  ...  (2n  1).2 C2n 1  2005 ( Cn là số tổ hợp. chập k của n phần tử). HD: Sử dụng khai triển của (1  x)2n 1 . Lấy đạo hàm hai vế, rồi thay x = –2.. ÑS: n = 1002.. 16. (ĐH 2005B1) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức: 2Pn  6An2  Pn An2  12 ( Pn là số hoán vị của n phần tử và Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). HD:. PT  (6  n!) n(n  1)  2   0  n = 3 hay n = 2.. 17. (ĐH 2005B2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. HD: a3  a 4  a5  8  a3 ,a4 ,a 5  {1,2,5} hoặc a3 ,a 4 ,a 5  {1,3,4} . ÑS: 720 + 720 = 1440 (soá). 18. (ĐH 2005D1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. HD:. 5 4 3 C35C10  C45C10  C55C10  3690 caùch.. 19. (ĐH 2005D2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ? HD: Thực hiện 2 bước: + Bước 1: xếp 2 số 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí, có: A25  20 cách. + Xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi, coù: A 35  60 caùch. ÑS: 20.60 = 1200 soá. 20. (ĐH 2008B1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. HD:. 5 4 3 C35C10  C45C10  C55C10  3690 caùch.. 21. (ĐH 2008B2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ? HD: Thực hiện 2 bước: + Bước 1: xếp 2 số 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí, có: A25  20 cách. + Xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi, coù: A 35  60 caùch.. ÑS: 20.60 = 1200 soá.. 22. (ĐHA-2012)Cho n là số nguyên dương thỏa phương trình 5.Cnn1  Cn3 tìm số hạng chứa x5. CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> GV Hoàng Công Nhật n.  nx2 1  35 trong khai triển nhi thức Niu-tơn của    ;x  0 ? ÑS: n = 7 ;  x 5  14 x  16   23. (ĐHB-2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và 25! 11075 443 4 nữ. ? ÑS: n = C25   12650 ; nA = 4550 + 4725 + 1800 = 11075 ; p =  4!.21! 12650 506 24. Tính A . 21.C02011 1.2. . 22.C12011 2.3. . 23.C22011 3.4.  ..... . 22011.C2010 2011. 2011.2012. . 22012.C2011 2011. 2012.2013. CHUYÊN TOÁN LÝ HÓA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507 EMail : ; 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>