NOI DUNG ON THI VAO THPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Néi dung «n thi A - các chủ đề ôn thi vào THPT phần đại số I. Chủ đề 1: Ph¬ng tr×nh - BÊt ph¬ng tr×nh. Ôn tập phần này để bổ trợ cho phần tìm điều kiện xác định của biến ở căn thức bậc hai hoặc làm các bài toán ở chủ đề II. - Giải phơng trình bậc nhất có một ẩn số; phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch. - Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu sè. - Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. - Giải bất phơng trình tích; bất phơng trình thơng; phân biệt đợc sự giống và khác nhau trong c¸ch gi¶i vµ c¸ch tr×nh bµy gi÷a ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu vµ bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. C¸ch lµm: - ¤n tËp kiÕn thøc c¬ b¶n - §a ra vÝ dô minh ho¹ - Cho häc sinh tù gi¶i; GV chèt l¹i vµ chØ ra nh÷ng sai lÇm häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i vµ c¸ch kh¾c phôc; söa ch÷a. - Ph¸t triÓn bµi tËp thµnh nhiÒu d¹ng. Đối với học sinh yếu chỉ yêu cầu thuộc cách giải và biết vận dụng làm các bài tập đơn gi¶n vµ nhËn d¹ng dîc c¸c biÓu thøc d¹ng A2 + k ( k > 0) lµ lu«n d¬ng; d¹ng -A2 + k ( k < 0) lµ lu«n ©m. Đối với học sinh từ trung bình trở lên: yêu cầu phải giải đợc các bất phơng trình có d¹ng bÊt ph¬ng tr×nh tÝch, bÊt ph¬ng tr×nh th¬ng mµ vÕ tr¸i gåm 2 biÓu thøc. Vì thời gian cho mỗi chủ đề có hạn nên mỗi buổi chỉ đa cho HS vài bài tập; xoay quanh các bài tập đó vừa giải vừa củng cố kiến thức. C¸c vÝ dô: VÝ dô 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 4 1 1  x 2 a) x  4 x - 3 - 5x = 7 2. b). ;. c). x +3 = 5 - x. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a). x2  5  0 ;. 3  0 ; x  2. b). c). x  3  0 2  x. ë mçi bµi tËp sau khi gi¶i xong cÇn chèt l¹i c¸ch lµm vµ lu ý häc sinh nÕu gÆp c¸c dạng tơng tự; đặc biệt là liên hệ đợc giải bất phơng trình với việc tìm ĐKXĐ của căn thức bậc hai; hoặc tìm điều kiện của biến để các biểu thức luôn dơng; luôn âm trong chủ đề rút gọn biểu thức. 2. Giải phương trình √3 x −2+ √ x +1=3 Giải: ĐK:x −1(1) Đặt √3 x −2= y , √ x+ 1=z ;Khi đó x -2= y3 ;x+1 = z2. Ta có HPT sau: 3(Thoã mãn) Kết luận: x = 3.  y  z 3  2 3  z  y 3  z 0 . (2) (3) (4). ;Giải HPT (y = 1;z =2) thõa mãn ; Giải tìm x =. 3 1  x  3 1  x 1 2.Giải pt: HD : ĐK x ≥ 0 . 3 3 Đặt 1  x a ; 1  x = b, ta có hệ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a  b 1  3 3 a  b 2. 3.Giải các pt: a). 1 x . 2  x 1. b). 1  x  4  x 3. a.. ĐK -2 ≤ x ≤ 1 . Đặt: 1  x a ≥ 0;. 2  x b ≥ 0 ta có hệ :. a  b 1  2 2 a  b 3 ……. => pt :. 2. b +b -1 =0. =>. b.  1 5 2 giá trị âm bị loại => a. 1 5 = 2. Suy ra nghiệm của pt b. Tương tự x =0; x =3. x.  1 5 2. II. Chủ đề 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức 1. D¹ng to¸n rót gän biÓu thøc A: a) BiÓu thøc kh«ng chøa biÕn:( cñng cè kü n¨ng thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n; c¸c phÐp biến đổi trên căn thức). Không yêu cầu HS yếu phải làm đợc. VD: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:.  A = (§Ò thi vµo líp 10 THPT n¨m häc 2002- 2003). Loại biểu thức này cần phải có kỹ năng cơ bản về biến đổi căn thức nên nếu khuyến khích và ôn lại nhiều lần thì học sinh yếu mới có thể làm đợc. b) BiÓu thøc chøa biÕn + T×m ®iÒu kiÖn cho biÓu thøc cã nghÜa: Cã 3 d¹ng biÓu thøc cÇn t×m §KX§: 32 . 50  8 : 18. A lµ: A 0 . 1 D¹ng 2: §KX§ cña A lµ: A 0 1. - D¹ng 1: §KX§ cña -. - D¹ng 3: §KX§ cña A lµ: A > 0. Lu ý cho häc sinh: - Khi tìm điều kiện xác định các biểu thức chứa biến ở mẫu nên tìm ĐK ở mẫu thøc chung. - Biểu thức đứng sau dấu “ : ” phải đặt điều kiện cho cả tử và mẫu khác 0. + Rót gän biÓu thøc A + TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho biÕn mét gi¸ trÞ cô thÓ (lu ý HS tríc khi thay sè vào để tính giá trị của biểu thức cần kiểm tra xem giá trị của biến có thoả mãn ĐKXĐ kh«ng). + Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên. + Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức sau khi đã rút gọn. + Tìm giá trị của biến để biểu thức A thoả mãn một số điều kiện sau: A > 0; A < 0;. A 0 ; A 0 ; A = k (k R). (quy vÒ gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh; gi¶i ph¬ng tr×nh). 2. D¹ng to¸n chøng minh (Kh«ng yªu cÇu häc sinh yÕu lµm phÇn nµy) + Chứng minh đẳng thức. + Chøng minh biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn. + Chứng minh bất đẳng thức kép:. p  A k.  p; k  R .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. C¸c vÝ dô P. a 2 5 1   a 3 a  a  6 2 a. Bài 1. Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để P < 1. a) đk: Ta có: P. . . . a 0   2  a 0. a 2 5 1 a 2     a 3 a  a  6 2 a a 3 a 2. .   . a 0   a 4. . a  2  5 a 3.  a  3  a 4. . . a 2.  a  2 a 3. a 3. . 5. . a 3.  a  4 5  a  3 . a 3 a 2.  . a 2.  . . 1 a 2. . a. a  12. a 3. . a 2. . a 4 a 2. b) Theo giả thiết: P 1  . a 4 1  a 2. 2 0 a 2. a 4  1 0  a 2. a  2 0. a  4 a 2 0 a 2. a 2 a 4.  1   Bài 2. Cho biểu thức: P = . x   x 3 x 2 x 2   :      x  1   x  2 3  x x  5 x  6 . a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị của a để P < 0  x 0  3  x 0   a) đk:  x  2 0.  x 0   x 9  x 4 . Ta có:   x   x 3 x 2 x  2   x 1  x   x  3 x 2 x 2       :   : x  1   x  2 3  x x  5 x  6   x  1   x  2 x 3 x 2 x 3     x 3   x 3  x 2 x  2  x 2  1   1 : x  9 x 4 x 2  :  x 1  x 1  x 2 x 3 x 2 x 3        1 x 3   1 : 1  x 2  : x 1  x  2 x 1 x  2 x 1 x 3     P  1  . . . .  . . . . . . . . . . x 1  0 . . b) Theo giả thiết ta có: P0. x 2 0 x 1. x  20. . x 2 x4. . . . .

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x1 1 8 x   3 x  2      3 x  1  3 x 1  9x  1  : 1  3 x 1      Bài 3. Cho biểu thức: P =. a) Rút gọn P 6 b) Tìm các giá trị của x để P = 5  x 0  x 0    1 9 x  1 0  x  9 a) đk:. Ta có:  x1 P   3 x1  x1   3 x1 3   x1 3   3 . . .  . 1 8 x   3 x  2   : 1  3 x  1 9 x  1   3 x  1     1 8 x  :  3 x 1  3 x  2    x  1 3 x  1 3 x  1   3 x 1   x 1  3 x  1  8 x   3 x 1  3 x  2   :    3 x 1 x 1 3 x  1  .    .  . . . 3x  x  3 x  1  3 x  1  8 x. 3 3 x. . . . . x 1 3 x  1. . . . :. 3 3x  3 x 3 x 1  . 3 3 x  1 3 x 1 3 x  1. . . . . x 1 1 x x 1 .  3 3 x1 3 x1. . b) 6 P  5. x. .  6  5. x 1. 3 x1. 5. x. .  . . x  1 6 3 x  1.  5 x  5 x 18 x  6  5 x  13 x  6 0.  *. Phương trình (*) là pt bậc hai ẩn x 5 x  13 x  6 0 . 3 9 x 2; x   x1 4; x2  5 25  a   1 2 a 1   :     a 1   a  1 a a  a  a  . Bài 4. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 c) Tìm giá trị của P nếu a 19  8 3 a 0   a  1 0   a) đk:. Ta có:.  a 0   a 1.   1 .

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   a  a 1  1 a   1 2 a P  1   :   :     a1 a 1  a 1   a  1 a a  a  a  1    a  a 1  1 2 a  :   a  1  a  1 a  1 a 1 . . . . .  2 a  a  a  1   a  1 .    a  a 1 : a  2 a  1  a 1  a  1 a  1 . . . . a  a  1  a  1 a  1 a  a 1 .  2 a 1 a1 a1. . . . a  a 1 a  a 1 a  a 1  a 1 a2 1   1 0  0 0 a1 a1 a1 a1. b) P < 1 CÁC BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 5. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P.   1  a3 a (1  a ) 2   1  a 3 :  a .    1 a 1 a   1  a .  a   . 1 b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P - 2 )  x 1   2x  x x 1   : 1    1   2x 1   2x  1 2x 1    Bài 6: Cho biểu thức: P =. a) Rút gọn P 1  .32 2 b) Tính giá trị của P khi x 2  2 x   x x  x  x 1 Bài 7: Cho biểu thức: P = . . . 1 x.   x   : 1     x  1  1 . a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0  2a  1   1  a3 a  .    a3 a  a  1   1  a  Bài 8: Cho biểu thức:P =.  a  . a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1  a  x2 x 1 x 1 . 1 :     x  1 x x  1 x  x  1  Bài 9: Cho biểu thức:P = . a) Rút gọn P b) So sánh P với 3 1 a a  1 a a  .  a  1 a   1 a   Bài 10: Cho biểu thức:P = .  a  . a) Rút gọn P b) Tìm a để P < 7  4 3  2 x x 3x  3   2 x  2   :    x 3   x3  x  9 x  3   Bài 11: Cho biểu thức:P = .  1 . 2x  x   2 x  1 .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a) Rút gọn P 1 b) Tìm x để P < 2. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 3 x   9 x x 3   :  1  x 9   x x  6  2 x    Bài 12: Cho biểu thức: P = . x  2  x  3 . a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P < 1 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1  x x 3 Bài 13: Cho biểu thức:P =. a) Rút gọn P 1 b) Tìm các giá trị của x để P = 2 2  c) Chứng minh P 3 2 x x m2   x m x  m 4 x  4m 2 với m > 0. Bài 14: Cho biểu thức:P = a) Rút gọn P; b) Tính x theo m để P = 0; c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1 a2  a 2a  a  1 a Bài 15: Cho biểu thức:P = a  a  1. a) b) c) d). Rút gọn P Biết a > 1 Hãy so sánh P với GTTĐ của P Tìm a để P = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P.  a 1   a 1 ab  a   :   1  ab  1   ab  1  ab  1    Bài 16: Cho biểu thứcP =.  ab  a  1 ab  1 . a) Rút gọn P 31 b) Tính giá trị của P nếu a = 2  3 và b = 1  3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a  b  4 a a  1 a a 1  1  a  1 a  1    a     a a a a  a  a  1 a  1  P=. Bài 17: Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì P = 7 c) Với giá trị nào của a thì P > 6.  a 1     2  2 a  Bài 18: Cho biểu thức:P = . a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a để P < 0 c) Tìm các giá trị của a để P = - 2. 2.  a1   a 1  . a 1  a  1 .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> . a. . 2. b  4 ab a b  b a . a b ab. Bài 19: Cho biểu thức:P = a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3.  x2 x 1       x x  1 x  x 1 1  x  :  Bài 20: Cho biểu thức: P = . x1 2. a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 0  x 1 2 x x   x x1 Bài 21: Cho biểu thứcP = . 1 x.   x 2   : 1   1   x  x  1 . a) Rút gọn P b) Tính P khi x = 5  2 3 3x    1  2 1 : 1:   2   2 x 4 x 4 2 x  4 2 x    Bài 22: Cho biểu thức:P = . a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = 20  x y x3  y 3    x y y x Bài 23: Cho biểu thức: P = .  :  . . x. . 2. y  xy x y. a) Rút gọn P b) Chứng minh P 0  1 3 ab    1 3 ab  a b   .  :    a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b       Bài 24: Cho biểu thức:P = . a) Rút gọn P b) Tính P khi a = 16 và b = 4  2 a  a  1 2a a  a  a  a  a . 1     2 a1 1 a 1 a a   Bài 25: Cho biểu thức:P =. a) Rút gọn P 6. b) Cho P = 1  6 tìm giá trị của a 2 c) Chứng minh rằng P > 3  x 5 x   25  x     x  25  1 :  x  2 x  15    Bài 26: Cho biểu thức: P = . a) Rút gọn P b) Với giá trịnào của x thì P < 1. x 3 x  5   x 5 x  3 .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . .    a  1. a  b 3 a 3a 1    a  ab  b  a a  b b  a  b  : 2a  2 ab  2b   Bài 27: Cho biểu thức:P =. a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên 1   a 1  1     :  a  1 a a 2    Bài 28: Cho biểu thức:P =. a 2  a  1 . a) Rút gọn P 1 b) Tìm giá trị của a để P > 6  1 1  2 1 1  .   :   x y  x  y x y  Bài 29: Cho biểu thức:P =  . x3  y x  x y  y 3 x 3 y  xy 3. a) Rút gọn P b) Cho x.y = 16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất x3 2x 1 x  . xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x. Bài 30: Cho biểu thức:P = a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P < 0,2.  x 3 x   9 x x 3 x  2  1 :      x 9 x x  6 x 2 x  3     Bµi 31: Cho A = .    a. Tìm x để biểu thức A có nghĩa ( x 0 , x 4, x 9) 3 b. Rót gän A. (KQ : A = ) √ x +2. c. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A < 1. d. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên. e. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. 2 a 9  a  5 a  6 Cho B =. a  3 2 a 1  a  2 3 a Bµi 32: a) Tìm a để biểu thức B có nghĩa (a 0 , a 9 , a 4). a 1 b) Rót gän B. ( KQ : B = a  3 ). c) Tìm a để B < 1. d) T×m gi¸ trÞ cña B khi a  12  6 3 Bµi 33:.  2 x x 3x  3   2 x  2     1   :  x  9 x  3 x  3 x  3    Cho A =  3 a. Chøng minh: A = a  3 . 1 b. Tìm x để A < - 2. víi x  0 , x 9.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> III. Chủ đề 3: Hệ phơng trình 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh + Giải hệ phơng trình bậc nhất có hai ẩn số. (chỉ yêu cầu HS yếu làm đợc dạng toán nµy) + Giải hệ phơng trình bậc nhất có chứa ẩn ở mẫu; Giải hệ phơng trình bằng đặt ẩn phô... 2. T×m gi¸ trÞ tham sè + T×m tham sè khi cho biÕt nghiÖm. + T×m tham sè khi cho ®iÒu kiÖn cña Èn. + Các bài toán quy về giải hệ phơng trình ( xác định hệ số a; b của đờng thẳng y = ax + b khi ®i qua hai ®iÓm cho tríc). 3. C¸c vÝ dô  2( x  y )  3 y 1  VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3x  2( x  y) 7 1  2   x  1 y  1 1    12  8  1 VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x  1 y  1. Đối với học sinh khá giỏi trớc khi làm mỗi dạng yêu cầu các em xác định dạng toán vµ nªu c¸c bíc gi¶i. §èi víi häc sinh trung b×nh; trung b×nh kh¸ sau khi lµm xong mçi d¹ng yªu cÇu c¸c em nªu tæng qu¸t l¹i c¸ch gi¶i. 4. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:. ¿ 2 x − y =4 6 x + y =7 ¿{ ¿. T×m m biÕt r»ng ph¬ng tr×nh 2y - x = m cã cïng nghiÖm víi hÖ ph¬ng tr×nh trªn.. Bµi. Bµi. Bµi. Bµi. ¿ x− y 2x+ y + =7 7 17 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 4 x + y y −7 + =15 5 19 ¿{ ¿ ¿ 2 x+ y=5 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x −2 y=18 ¿{ ¿ ¿ 2 1 + =5 x+ 1 y − 2 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3 2 − =18 x +1 y −2 ¿{ ¿ ¿ (a+1) x − y =3 5. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ax+ y =a ¿{ ¿. a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a=− √ 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0.  m  1 x  y  m  1  Bài 6: Tìm giá trị của m để hệ phương trình;  x   m  1 y  2. Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất Bài 7: Giải hệ phươnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị  x 1  y  a) 2 y  5  x  x  y 2  x y   1 b)  4 4  y 1 x  1  c)  y 3x  12 2 x  by   4  Bài 8: Cho hệ phương trình: bx  ay   5 a b. a) Giải hệ phương trình khi b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm: * (1; - 2) **( 2  1; 2 ) ***có vô số nghiệm  mx  y  2m  Bài 9: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: 4 x  my 6  m  x  ay 1  Bài 10: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình ax· y  2. a) Có một nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm  x 2  xy  y 2 19  Bài 11: Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y   1  x  1  y  2 1  2 Bài 12: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:  x  y   m x  y  1  x  y 0  2 x 2  xy  3 y 2 13  2 2  x  4 xy  2 y   6. Bài 12: GiảI hệ phương trình. a 3  2b 2  4b  3 0  2 2 2 2 2 Bài 14: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình:  a  a b  2b 0 .Tính a  b (a  1) x  y 3  Bài 15: Cho hệ phương trình:  a.x  y  a. a) Giải hệ phương rình khi a = - 2 b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0. IV. Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị Vì thời gian có hạn nên để ôn tập đợc chơng này ta dùng bài tập để vừa ôn cũ vừa gi¶ng míi. Trong ch¬ng nµy cÇn «n nh÷ng néi dung sau: 1. Hµm sè - §å thÞ hµm sè y = ax + b (a  0)..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> + Vị trí tơng đối của các đờng thẳng: y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a’ 0). + Xác định (viết phơng trình) đờng thẳng y = ax + b khi biết một số điều kiện: - §i qua mét ®iÓm vµ biÕt hÖ sè gãc - §i qua 2 ®iÓm. - T¹o víi Ox mét gãc cã sè ®o  cho tríc. + Tính số đo góc  tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox (a  0). + Tính diện tích các hình đợc tạo bởi giao điểm các đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ. + Xác định tham số để các đờng thẳng đồng quy trên một mặt phẳng toạ độ. + Xác định tham số để đờng thẳng đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ. VÝ dô 1: Cho c¸c hµm sè: y = 2x + (3 +m) (d1) vµ y = (3 + 2m)x +(5 - m) (d2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th×: a) Hàm số (d1) đồng biến; hàm số (d2). nghịch biến. . 1 2). b) §å thÞ (d1) // (d2). (m = c) §å thÞ (d1)  (d2) d) Đồ thị của (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng 4. e) §å thÞ cña (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. f) (d2) t¹o víi Ox mét gãc b»ng: 300 ; 1350. g) Xác định hệ số góc của (d1) rồi tính góc  tạo bởi (d1) và Ox (làm tròn đến phút). h) Khi m = -1; gäi giao ®iÓm cña (d 1) ; (d2) lµ A; giao ®iÓm (d1) víi Ox lµ B; giao điểm (d2) với Ox là C. Xác định toạ độ các điểm: A, B, C? Tính chu vi và diện tích tam gi¸c ABC? (A(2; 6); B(-1; 0); C(- 4; 0)) k) Khi m = -1 hãy tìm n để đờng thẳng (n - 2)x + y = 3 đồng quy với 2 đờng thẳng (d1) 1 (n = 2 ). vµ (d2) ? Ví dụ 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2( m - 1 )x + ( m - 2 )y = 2 a/ VÏ (d) víi m = 3 b/ Chứng minh rằng: (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. 2. Hàm số - đồ thị hàm số y = ax2 (a  0). Hàm + Xác định hệ số của hàm số. + Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng y = ax + b và parbol y = ax2 (a  0). VÝ dô 1: T×m hai sè thùc d¬ng a; b sao cho ®iÓm M(a; b2 + 3) vµ N( ab ; 2) cïng thuéc đồ thị của hàm số: y = x2 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc k. b) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt E vµ F víi mäi k. c) Gọi hoành độ của hai điểm E và F lần lợt là x1 và x2 . Chứng minh rằng: x1.x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông. 3. Bµi tËp vÒ nhµ: Bài 1: Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = 2x+m. Xác định m để hai đồ thị trên: a. Tiếp xúc với nhau. Tìm hoành độ tiếp điểm. b. Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x = -1. Tìm tọa độ điểm còn lại. c. Gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quÜ tÝch trung ®iÓm I cña AB khi m thay đổi. Bài 2. Cho đờng thẳng có phơng trình: 2(m - 1)x+(m - 2)y = 2 (d).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P); y = x2 tại hai điểm phân biệt A và B. b. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB theo m. c. Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. d. Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi. Bµi 3. Cho hµm sè: y = (m - 2)x + n (d) Tìm các giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số: a. §i qua ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;- 4) b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1− √ 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ √ 2 . c. Cắt đờng thẳng -2y + x - 3 = 0 d. Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1. Bài 4: Cho hàm sốy = (m - 2)x + n(d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số: a) Đi qua hai điểm A( - 1;2) và B(3; - 4) b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1 - 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + 2 . c) Cắt đường thẳng - 2y + x - 3 = 0 d) Song song vối đường thẳng 3x + 2y = 1 2 Bài 5: Cho hàm số: y  2x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) y mx  1 theo m d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0; - 2) và tiếp xúc với (P) 2 Bài 6: Cho (P) y  x và đường thẳng (d) y 2 x  m 1. Xác định m để hai đường đó: a) Tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, một điểm có hoành độ x = - 1. Tìm hoành độ điểm còn lại. Tìm toạ độ A và B 2. Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bài 7: Cho đường thẳng (d) 2(m  1) x  (m  2) y 2 2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y  x tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi 2 Bài 8: Cho (P) y  x a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từđó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2 3 y  x 3 4 Bài 9: Cho đường thẳng (d).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a) Vẽ (d) b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) y x 1. Bài 10: Cho hàm số (d) a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình Bài 11: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng: (d) y (m  1) x  2 (d') y 3x  1 a) Song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau Bài 12: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng:. x  1 m. (d1 ) y  2 x  5 (d 2 ) y  x  2 ( d3 ) y  a.x  12 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ. Bài 13: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định 1 y  x2 2 Bài 14: Cho (P) và đường thẳng (d) y = a.x + b. Xác định a và b để đường. thẳng (d) đi qua điểm A( - 1;0) và tiếp xúc với (P). y  x 1  x2. Bài 15: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị hàn số trên. b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình x  1  x  2 m 2 Bài 16: Cho (P) y  x và đường thẳng (d) y = 2x + m a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) y . x2 4 và (d) y = x + m. Bài 17: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng - 4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) 2 Bài 18: Cho hàm số y  x (P) và hàm số y = x + m (d) a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2 Bài 19: Cho điểm A( - 2;2) và đường thẳng ( d1 ) y = - 2(x + 1) a) Điểm A có thuộc ( d1 )? Vì sao? 2 b) Tìm a để hàm số y  a.x (P) đi qua A.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> c) Xác định phương trình đường thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 ) d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ); C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung. Tìm toạ độ của B và C. Tính diện tích tam giác ABC 1 y  x2 4 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ Bài 20: Cho (P). lầm lượt là - 2 và 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên b) Viết phương trình đường thẳng(d) c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x    2;4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. (Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ x    2;4 có nghĩa là A( - 2; y A ) và B(4; yB ) tính y A; ; yB ) x2 y  4 và điểm M (1; - 2) Bài 21: Cho (P). a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi 2 2 c) Gọi x A ; xB lần lượt là hoành độ của A và B.Xác định m để x A xB  x A xB đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B. * Tính S theo m 2. 2. * Xác định m để S = 4(8  m m  m  2 ) 2 Bài 22: Cho hàm số y  x (P) a) Vẽ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là - 1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 23: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P). y . 1 2 x 4 vàđường thẳng (d). y  mx  2m  1. a) Vẽ (P) b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định y . 1 2 x 4 và điểm I(0; - 2).Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ. Bài 24: Cho (P) sốgóc m. a) Vẽ (P). CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B m  R b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất y. x2 3 ;1 4 và đường thẳng (d) đi qua điểm I( 2 ) có hệ số góc là m. Bài 25: Cho(P) a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> y. x2 x y   2 4 và đường thẳng (d) 2. Bài 26: Cho (P) a) Vẽ (P) và (d b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d) 2 Bài 27: Cho (P) y  x a) Vẽ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là - 1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) 2 Bài 28: Cho (P) y  2x a) Vẽ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2. Xác định các giá trị của m và n để đường thẳng (d) y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB (d1 ) x  y  m Bài 29: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình: (d 2 )mx  y 1 cắt 2 nhau tại một điểm trên (P) y   2x. V. Chủ đề 5: Phơng trình bậc hai- Hệ thức Vi et. 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh + Gi¶i ph¬ng tr×nh theo c«ng thøc nghiÖm + Gi¶i ph¬ng tr×nh khi cho biÕt gi¸ trÞ cña tham sè. (chỉ yêu cầu HS yếu làm đợc 2 dạng toán này) 2) Bµi to¸n biÖn luËn + Bµi to¸n biÖn luËn vµ c¸c bµi to¸n ®iÒu kiÖn nhá. 3) HÖ thøc Vi et + Chú ý công thức và điều kiện để sử dụng hệ thức Vi-et + C¸c bµi to¸n xu«i; ngîc... 4) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (m + 3 ) x + 2(m +1) = 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 0 . b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m. c) Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x12 + x22 - x1 x2 d) Tìm một hệ thức độc lập liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m. e) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau. Gi¶i: a) Khi m = 0 PT trë thµnh: x2 + 3x +2 = 0. PT cã 2 nghiÖm: x1 = - 1; x2 = - 2. b) Δ = (m + 3)2 - 4.2(m + 1) = (m - 1)2 => PT lu«n cã nghiÖm. c) V× PT lu«n cã nghiÖm nªn theo hÖ thøc Vi-et ta cã: A = x12 + x22 - x1x2 = (x1+ x2)2 - 3 x1x2 A = (m + 3)2 - 4m - 4 = m2 + 6m + 9 - 6m - 6 = m2 +3. ¿ x 1+ x 2=− m− 3 x 1 x2 =2m+2 ¿{ ¿. Amin = 3  m = 0. d) Hệ thức độc lập liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m là: 2(x1 + x2 ) + x1 x2 + 4 = 0..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> e) Phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau  m + 3 = 0  m = - 3. VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m - 2 = 0 (x lµ Èn) Tìm m để: a) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=√ 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i. b) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. . 2 3). c) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. (m d) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu (nh»m nh¾c l¹i cho HS viÖc ph¶i kÕt hîp nghiÖm) 2  m 1 ( §K lµ: 3 ) 1 1  x x2 ; 1 e. Khi m = 2 kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 1 1  2 2 x 31+ x 32 ; x1 x2 .. x 21+ x 22. ;. 1 3 1 3 VÝ dô 3: Cho x = 2 ; y = 2. a) H·y tÝnh x + y; x.y b) H·y lËp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x ; y. Gi¶i: 1 3 1 3 a) Ta cã: x + y = 2 + 2 = 1. 1 3 1 3 1 x.y = 2 . 2 = - 2 .. b) Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ: 2x2 +2 x - 1 = 0 GV chèt l¹i: Muèn lËp ph¬ng tr×nh khi cho biÕt 2 nghiÖm cÇn ph¶i t×m tæng vµ tÝch hai nghiệm đã cho. VÝ dô 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2- (m + 5) x - m + 6 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt   > 0  (m + 5)2 - 4 (- m + 6) > 0  m >  7  4 3 hoÆc m <  7  4 3 .. Nếu học sinh dùng điều kiện tích a.c < 0 =>  > 0 để chỉ ra giá trị của m > 6 làm cho ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ hoµn toµn sai lÇm. (Bµi tËp nµy cÇn chØ râ cho học sinh thấy điều đó vì khi a.c < 0 chỉ là dấu hiệu để nhận biết chắc chắn phơng trình cã hai nghiÖm ph©n biÖt chø kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn) 5. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh x2- 2(m +1)x + m - 4 = 0 (x lµ Èn) (1) a. Chøng minh: ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> c. Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1), chøng minh: gi¸ trÞ cña biÓu thøc M =x 1 .(1 − x 2)+ x 2 .(1− x1 ) kh«ng phô thuéc vµo m. 2. 2. d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 2x1+ 3x2 =1; x1  x2 11 . Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 4x + m + 1 = 0 (1) a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để phơng trình (1) có hai x1 x2 10 + = x x1 3 . 2 nghiÖm tho¶ m·n: 2. Bài 3: Cho phương trình: m 2 x   2  1  2  x  m a) Giải phương trình khi m  2  1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3  2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất 2 Bài 4: Cho phương trình:  m  4 x  2mx  m  2 0 (x là ẩn) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt 2 2 c) Tính x1  x2 theo m 2 Bài 5: Cho phương trình: x  2 m  1 x  m  4 0 (x là ẩn) a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M = x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc vào m. Bài 6: Tìm m để phương trình: 2 a) x  x  2 m  1 0 có hai nghiệm dương phân biệt 2 b) 4 x  2 x  m  1 0 có hai nghiệm âm phân biệt 2 2 c)  m  1 x  2 m  1 x  2m  1 0 có hai nghiệm trái dấu 2 2 Bài 7: Cho phương trình: x   a  1 x  a  a  2 0 a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a 2 2 b) Gọi hai nghiệm của PT là x1 và x2.Tìm giá trị của a để x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất 2. 1 1 1   Bài 8: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: b c 2 x 2  bx  c 0 2. CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm x  cx  b 0 Bài 9: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 2 x 2   3m  2  x  12 0(1) 4 x 2   9m  2  x  36 0(2) 2. 2. Bài 10: Cho phương trình: 2 x  2mx  m  2 0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của PT 2 Bài 11: Cho phương trình bậc hai tham số m: x  4 x  m  1 0 a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 2 2 b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x1  x2 10 2 Bài 12: Cho phương trình x  2 m  1 x  2m  5 0.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? 2 Bài 13: Cho phương trình x  2 m  1 x  2m  10 0 (với m là tham số) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m 2 2 c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 Bài 14: Cho phương trình  m  1 x  2mx  m  1 0 với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1 b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 5   0 x2 x1 2 2. Bài 15: Cho phương trình: x  mx  m  1 0 (m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 2 2 2 b) Đặt A  x1  x2  6 x1 x2 , i) Chứng minh A  m  8m  8 ; ii) Tìm m để A = 8 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng d) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia 2 Bài 16: Cho phương trình x  2mx  2m  1 0 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m. 2 2 2 b) Đặt A = 2( x1  x2 )  5 x1 x2 , i) CMR A = 8m  18m  9 ; ii) Tìm m sao cho A = 27 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia. 2 Bài 44: Giả sử phương trình a.x  bx  c 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 .Đặt S n  x1n  x2n (nnguyên dương). a) CMR a.Sn  2  bSn 1  cSn 0 5. 1 5  1 5       2   2      b) Áp dụng Tính giá trị của:A =. 5. Bài 17: Chof(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1 a) CMR phương trìnhf(x) = 0 có nghiệm với mọi m b) Đặt x = t + 2.Tính f (x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f (x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 2 2 Bài 18: Cho phương trình: x  2 m  1 x  m  4m  5 0 a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 2 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính x1  x2 theo m.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2 Bài 19: Cho phương trình x  4 x 3  8 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phương. 6 x12  10 x1 x2  6 x22 M  5 x1 x23  5 x13 x2 trình, hãy tính giá trị của biểu thức: 1 Bài 20: Cho phương trình x  2 m  2 x  m  1 0 Giải phương trình khi m = 2 x. a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để: x1 (1  2 x2 )  x2 (1  2 x1 )  m 2 2. Bài 21: Cho phương trình x  mx  n  3 0 (1)(n, m là tham số) Cho n = 0. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m  x1  x2 1  2 x1  x22 7 x ; x  1 2 Tìm m và n để hai nghiệm của phương trình(1) thoả mãn hệ:. Bài 22: Cho phương trình: x 2  2 k  2  x  2k  5 0 (k là tham số) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của k sao cho x1  x2 18 2 Bài 23: Cho phương trình  2m  1 x  4mx  4 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Giải phương trình (1) khi m bất kì c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m 2 2 Bài 24: Cho phương trình: x   2m  3 x  m  3m 0 a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1  x1  x2  6 VI. Chủ đề 6: Giải toán bằng cách lập phơng trình - Hệ phơng trình 1. Mét sè d¹ng to¸n thêng gÆp a) Dạng toán chuyển động: Quãng đờng = Vận tốc x Thời gian (S = v.t) => t = ; v = Chó ý c¸c mèi quan hÖ sau: + Chuyển động xuôi dòng nớc: vxuôi = v thc+ v nớc + Chuyển động ngợc dòng nớc: vngợc = v thc- v nớc + §i gÆp nhau. + §uæi kÞp nhau. + Đến sớm - đến muộn ........... b) D¹ng to¸n lµm chung - lµm riªng c) D¹ng to¸n cÊu t¹o sè d) D¹ng to¸n n¨ng suÊt e) To¸n cã néi dung VËt lý , Ho¸ häc; H×nh häc. .............. 2) Mét sè vÝ dô VÝ dô 1: Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A; B c¸ch nhau 85km vµ ®i ngîc chiÒu nhau, sau 1 giê 40 phót th× gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n«, biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc dßng lµ 9km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ 3km/h. (đáp số: vận tốc riêng của ca nô xuôi: 27km/h; vận tốc riêng của ca nô ngợc: 24km/h) VÝ dô 2: Hai ngêi cïng lµm trong 12 ngµy th× xong 1 c«ng viÖc . NÕu 2 ngêi cïng lµm trong 8 ngµy råi ngêi thø nhÊt lµm 1 m×nh trong 7 ngµy n÷a míi xong c«ng viÖc. Hái mçi ngêi lµm 1 m×nh th× trong bao l©u xong c«ng viÖc ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Gi¶i: Gäi thêi gian ngêi thø nhÊt lµm mét m×nh xong viÖc lµ x (ngµy) Gäi thêi gian ngêi thø hai lµm mét m×nh xong viÖc lµ y (ngµy) (§K: x; y > 0). 1 Mỗi ngày ngời thứ nhất làm đợc: x công việc. 1 Mỗi ngày ngời thứ hai làm đợc: y công việc. 1 Mỗi ngày hai ngời làm chung đợc: 12 công việc. 1 1 1   x y 12 Ph¬ng tr×nh: 8 2  Tám ngày hai ngời làm chung đợc: 12 3 công việc. 7 Bảy ngày ngời thứ hai làm đợc: y công việc. 7 1  y 3 Ta cã ph¬ng tr×nh:. Lập hệ rồi giải ta đợc: x = 28 ; y = 21 (TMĐK). VÝ dô 3: Hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng h¬n kÐm nhau 2cm . NÕu gi¶m cạnh lớn đi 4cm và tăng cạnh nhỏ lên 6cm thì diện tích không đổi . Tính diện tích của tam gi¸c vu«ng Giải: Gọi x (cm) là độ dài cạnh góc vuông lớn (x > 0); Gọi y (cm) là độ dài cạnh góc vuång nhá (y > 0) Lập đợc hệ. ¿ x − y =2 3 x −2 y=12 ¿{ ¿. Giải hệ tìm đợc x = 8 ; y = 6 => Diện tích của tam giác là : 24(cm 2) VÝ dô 4: TÝnh c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt r»ng chu vi cña nã lµ 12cm vµ tổng bình phơng độ dài các cạnh bằng 50. (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT n¨m häc 2002 - 2003) 3) Bµi tËp vÒ nhµ: Bài 1: Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A để đến B. Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B để đến A với vận tốc kém vận tốc của ô tô là 24km/h. Ô tô đến B đợc 1 giờ 20 phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng quãng đờng AB dài 120km. (Tài liÖu «n thi vµo líp 10 THPT n¨m häc 2008 - 2009). Bµi 2: Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch ph¶i làm 360 dông cô. Nh ng thùc tÕ xÝ nghiÖp I làm vợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm đợc 404 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp phải làm theo kế ho¹ch. Bài 3: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi Bài 4: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng,biết rằng quãng sông AB dài 30 kmvà vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài 5: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về A.Thời gian xuôi ít hơnthời gian đi ngược1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Bài 6: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi. Bài 7: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tảI đi với vận tốc 30 3 km/h, xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi được 4 quãng đường AB, xe con tăng. vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút. Bài 8: Một người đi xe đạp từ A đến Bcách nhau 33 Km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đilà 1 giờ 30 phút. Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau. Sau 1h40’ thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h. Bài 10: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km. Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 km/h. Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km? Bài 11: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 km/h nên hai người gặp nhau tại C cách B 10 Km. Tính quãng đường AB Bài 12: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 km/h. Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. Bài 13: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi. Bài 14: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 Km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 15: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô IIchạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc. Bài 16: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp2,5 lần vận tốc xe đạp. Bài 17: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) của ca nô..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài 18: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài 19: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h. Bài 20: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã địnhđể đi hết quãng đường dài 120 Km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường. Bài 21: Một ôtô dự định đi từA đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô. Bài 22: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 Km, người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu. Bài 23 Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mìnhđể làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? Bài 24 Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. Bài 25: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định Bài 26: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. Bài 27: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ 2 thì hoàn thành được 3 mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong. mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu? Bài 28: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Bài 29: Hai người thợ cùng làm một công việctrong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong. Bài30: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứnhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể? Bài31: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứhai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài32: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy 1 định thì mỗi giờ phải bơm được 10 m 3. Sau khi bơm được 3 thể tích bể chứa, máy. bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m 3 . Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa. Bài33: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai 1 chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được 5 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ. đầy bể? Bài 34: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?. VII. C¸c d¹ng to¸n kh¸c. Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. - Chứng minh bất đẳng thức. - T×m gi¸ trÞ lín nhÊt; nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. - Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. - Hệ phơng trình bậc cao; hệ phơng trình đối xứng. - ....... Ví dụ 1 : Giải phương trình :. 2x 4x 2x 3 + + = x x x x 4 + 1 2 +1 2 + 4 2. Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt a. b. 1. 3. ¿ a=2 x b=4 x , a , b>0 ¿{ ¿. Khi đó phương trình có dạng : b+1 + a+1 + a+b = 2 Vế trái của phương trình:  a   b   1   a  b 1   a  b  1   a  b 1    1    1    1  3       3  b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1 1  1 1   1  1  a  b  c         3   b  1   a  1   a  b     3  b 1 a 1 a  b   b 1 a 1 a  b  1 3 3 3 3 √( a+1 )( b +1 )( a+b ) . 3 − 3= 2 2 √ ( a+1 ) ( b+1 ) ( a+ b ). Vậy phương trình tương đương với :. x x a+1=b+1=a+b ⇔ a=b=1 ⇔ 2 =4 =1⇔ x =0 .. Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =. x y z + + x +1 y +1 z +1. 1. 1. 1. Giải : P = 3- ( x +1 + y +1 + z +1 ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì a  b  c 3 3 abc . 1 1 1 1 1 1 1 9  1 1 1   3 3   a  b  c      9     a b c abc a b c a b c a b c.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 1. 1. 1. Suy ra Q = x +1 + y +1 + z +1. 9 4. ⇒. 9 -Q − 4 nên P = 3 – Q. 9. 3- 4 =. 3 4 3. 1. Vậy max P = 4 .khi x = y = z = 3 . Ví dụ 3:. 1 1 1 a+ b+c + 2 + 2 ≤ a + bc b + ac c +ab 2 abc. Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng:. 2. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a2 ++ bc ≥ 2 a √ bc ⇒. Tương tự :. 2 1 1 1 1 ≤ ≤ + a ++ bc a √ bc 2 ab ac. (. 2. ). 2 1 1 1 1  2 1 1 1 1       2      b  ac b ac 2  bc ab  c  ab c ab 2  ac bc  2 2 2 a b c  2  2  2  a  bc b  ac c  ab 2abc 2. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.. a. b. c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : b+c − a + c+ a −b + a+b − c ≥ 3 Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :. (*). a b c abc + + ≥3 3 (1) b+c − a c+ a −b a+b − c (b+ c − a)(c +a − b)(a+b − c). Cũng theo bất đẳng thức Côsi :. √. 1. √(b+ c − a)(c +a −b) ≤ 2 (b+ c − a+c +a − b)=c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được (b+ c − a)(c+ a −b)(a+b −c )≤ abc abc → ≥1(3) ( b+c −a)(c + a− b)(a+ b− c ). Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: ¿ 0< a≤ b ≤ c 2 x y z ( a+ c ) 0< x , y , z ( + by+cz ) + + ≤ ( x+ y + z )2 Cho . Chứng minh rằng: a b c 4 ac ¿{ ¿ Giải: Đặt f (x)=x 2 −( a+c ) x +ac=0 có 2 nghiệm a,c Mà: a ≤ b ≤ c ⇒ f (b)≤0 ⇔ b2 −(a+c )b+ ac ≤ 0 ac y ⇔ b+ ≤ a+ c ⇔ yb+ac ≤ ( a+ c ) y b b x y z ⇒ xa +ac +( yb+ac )+(zc+ ac )≤ ( a+ c ) x + ( a+ c ) y +(a+c )z a b c x y z ⇒ xa+ yb+ zc+ac + + ≤ ( a+ c )( x + y + z ) a b c. (. (. ). (. ). Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:. ).

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x y z + + ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) ( a b c) √ x y z ⇔4 ( xa +yb+ zc ) ac ( + + ) ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) a b c x y z ( a+c ) ( x + y + z ) ( đpcm) ⇔ ( xa+ yb+ zc ) ac ( + + )≤ a b c 4 ac ⇒2 ( xa + yb+zc ) ac. 2. 2. 2. 2. Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n ≥2 ): a1 , a2 ,. . . an ,b 1 , b2 , .. . , bn . Ta luôn có: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. a1 b1 +a 2 b2 +. ..+ an bn ¿ ≤(a1 +a2 +. ..+ an )(b1 +b2 +. ..+ bn ) ¿ a1 a2 an Dấu “=” xảy ra khi ⇔ b = b =. .. .= b 1 2 n b1 b 2 bn Hay a = a =.. ..= a (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) 1 2 n. Chứng minh: Đặt. a= √ a 21+ a22 +.. .+a 2n. {. b= √ b 21+ b22 +.. .+b2n.  Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.  Nếu a,b > 0: a a. b b. Đặt: α i= i , β i= i ( i=1,2, .. . n ) , Thế thì: α 21+α 22 +. ..+α 2n=β 21 +β 22+.. .+ β 2n 1. 2. 2. Mặt khác: |α i β i|≤ 2 ( αi + β i ) 1. 1. |α 1 β 1|+|α 2 β 2|+. ..+|α n β n|≤ 2 (α 12+ α22 +.. . .+ α 2n)+ 2 (β 21 + β 22+ .. .+ β 2n) ≤1 Suy ra: ⇒ |a1 b1|+|a2 b2|+. ..+|an bn|≤ a. b Lại có: |a1 b1 +a 2 b 2+. . .+ an bn|≤|a1 b1|+|a2 b2|+. ..+|an bn| 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: a1 b1 +a 2 b2 +. ..+ an bn ¿ ≤(a1 +a2 +. ..+ an )(b1 +b2 +. ..+ bn ). Dấu”=” xảy ra. ¿ a a a α i=β i ( ∀ i=1,2,. . . ,n ) ⇔ ⇔ 1 = 2 =. .. .= n bn α 1 β 1 . .. . α n β n cùng dáu b1 b2. {. Ví dụ 1 :. 1 8 8 Chứng minh rằng: ∀ x ∈ R , ta có: sin x+ cos x ≥ 8. Giải: Ta có: sin2 x+cos 2 x =1, ∀ x ∈ R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 1  sin 2 x.1  cos 2 x.1  sin 4 x  cos 4 x 12 12. . .  . . 1 1 sin 4 x  cos4 x   sin 4 x  cos 4 x 2 4. . . . 2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: . 2 1 1 1  sin 4 x.1  cos 4 x.1   sin 8 x  cos8 x 12 12  sin 4 x  cos 4 x  4 4 8. . . . .  . . Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: P=√ 1+ tan A . tan B+ √ 1+ tan B . tan C + √ 1+ tan C . tan A Giải:.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi , .. . ,c i )(i=1,2,. . .. , m) Thế thì: a1 a2 .. . am +b 1 b2 .. . bm +. ..+ c1 c 2 . .. c m ¿2 ≤(am1 + bm1 +. ..+c m1 )(a m2 + bm2 +. ..+ cm2 )(amm +bmm +. . .+ c mm) ¿ Dấu”=” xảy ra ⇔ ∃ bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì ∃ t i sao cho: a=t i ai , b=t i bi , .. . ,c =t i c i , Hay a1 :b1 :.. .: c1 =a2 :b2 :.. .: c2 =an :bn :.. . c n 2. 2. 2. a1 +a2 +. ..+ an=3 Ví dụ 1: Cho n∈ Z , n ≥2 a1 a 2 a + +. .. .+ n < √2 Chứng minh rằng: 2 3 n+ 1. {. |. Giải: ∀ k ∈N . 1 1 1 < = 2 1 2 1 1 k k − k− k+ 4 2 2. ta có:. ❑. |. ( )( ). 1 1 1   2 1 1 k k k 2 2.        1 1 1 1 1   1 1  1 1  1 1 2  2  2  ...  2       ...      3  3 5 5 7 1 1 1 2 3 n  3     n n   2 2  2 2 2 n 2 2 2 . Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:. |. a1 a 2 a 1 1 1 2 + +. .. .+ n ≤ √ a21 +a22 +. ..+ a2n 2 + 2 +. ..+ 2 < √ 3 < √2 (đpcm) 2 3 n+ 1 3 2 3 n. |. Ví dụ 2:. √. √. Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó. 2 2 2 2 ac+bd  a  b . c  d. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mà  a  c    b  d  a  b  2 ac  bd   c  d  a  b   2 a  b . c  d  c  d. (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. . 2. 2. 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a  b  c ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và. 1. 2. (a,b,c). ta. có.  1  1 (a  b  c ) 1.a  1.b  1.c  2 2 2 2 2 2  3 a  b  c a  b  c  2 ab  bc  ac  2. 2. 2. . 2. 2. 2. .  a 2  b 2  c 2 ab  bc  ac. Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c. Mét sè bµi tËp: Bµi 1: Chøng minh víi mäi x,y ta cã: A = 2x2 + 4y2 + 4xy - 2x + 1 0. 5 1 1 1 1 + − < Bµi 2: Cho 3 sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n : a2 + b2 + c2 = .CMR : 3 a b c abc Bµi 3: Chøng minh: x8 - x5 + x2 - x + 1 > 0 víi mäi x. a2 b2  Bµi 4: Cho a > 1; b > 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = a  1 b  1 3 3 3 Bµi 5: Cho a > 0, b > 0. Chøng minh r»ng: a +b ≥ a+b 2 2. ( ).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> a, b, c 0 8   Bµi 6: Cho a  b  c 1 CMR: abc (a + b)( b+ c) (c + a) 729. Chủ đề 8: HÌNH HỌC Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. x Chứng minh M là trung điểm HK. 2 1 1   4. Chứng minh HK AB CD. D. BÀI GIẢI. M E. H. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp. 1  EAC  2 sđ AC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE Ta có :. C. K O. A. và dây AC của đường tròn (O)) xDB  1  2 sđ DB Tương tự: (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)   Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên AC BD   EAC xDB. B. Hình 01. Do đó Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM.   EMD Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD (cùng chắn cung ED) EAD  ABD Mà (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AD)   ABD . Do đó EM // AB. Suy ra: EMD 3. Chứng minh M là trung điểm HK.. HM DH  AB DA DAB có HM // AB MK CK   CAB có MK // AB AB CB DH CK  Mà DA CB (định lí Ta let cho hình thang ABCD) HM MK  Nên AB AB . Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK. 2 1 1   4. Chứng minh HK AB CD . . Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được:.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> HM DM  AB DB (1). Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta được: KM BM  CD BD (2). Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: HM KM DM BM DM  BM BD      1 AB CD DB BD BD BD 2 HM 2 KM  2 CD Suy ra: AB , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK HK HK 2 1 1  2   Do đó: AB CD . Suy ra: HK AB CD (đpcm). Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H. 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. 4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R. BÀI GIẢI 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)  AM  MB 0  Mà CD // BM (gt) nên AM  CD . Vậy MKC 90 . 0 AM CM   (gt)  OM  AC  MHC 90 . D 0 MKC  MHC  180 nên nội tiếp được Tứ giác CKMH có K C trong một đường tròn. // M 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. = 0  H Ta có: ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A O Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành. Suy ra: CD = MB và DM = CB. Hình 2 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)  AD  AB . ADC có AK  CD và DH  AC nên M là trực tâm tam giác . Suy ra: CM  AD   Vậy AD  AB  CM // AB  AM BC . D AM MC  AM BC   AM MC  BC  0 Mà nên = 60 . K 4. Tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài (O) theo R: // C M Gọi S là diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O). =. B. H A. O. B.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> S1 là diện tích tứ giác AOCD. S2 là diện tích hình quạt góc ở tâm AOC. Ta có: S = S1 – S2 hình 3  Tính S1: 0 0     AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)  AM MC BC 60  AOD 60 . 1 1 R2 3 AD. AO  .R 3.R  2 2 Do đó: AD = AO. tg 600 = R 3  SADO = 2 R2 3 2 AOD COD (c.g.c)  SAOD = SCOD  SAOCD = 2 SADO = 2. 2 = R 3 .  Tính S2:.  R 2 .1200  R 2 0 AC 1200  S quạt AOC = 360 = 3  Tính S: 2.  R 2 3R 2 3   R 2 R2 3 3  3 – 3 = 3 = 3 (đvdt). . . S = S1 – S2 = R Bài 3. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở E và F. 0  1. Chứng minh: EOF 90 2. Chứng minh : Tứ giác AEMO nội tiếp ; hai tam giác MAB và OEF đồng x dạng. M 3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK  AB . E 4. Khi MB = 3 .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. K BÀI GIẢI 0  A N 1. Chứng minh: EOF 90 O EA, EM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau ở E  nên OE là phân giác của AOM .  Tương tự: OF là phân giác của BOM 0    Mà AOM và BOM kề bù nên: EOF 90 (đpcm) hình 4 2. Chứng minh : Tứ giác AEMO nội tiếp ; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng. 0   Ta có: EAO EMO 90 (tính chất tiếp tuyến) 0   Tứ giác AEMO có EAO  EMO 180 nên nội tiếp được trong một đường tròn.  Tam giác AMB và tam giác EOF có: AMB EOF    900 , MAB MEO (cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO. Vậy Tam giác AMB và tam giác EOF đồng dạng (g.g) 3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK  AB . AK AE  Tam giác AEK có AE // FB nên: KF BF. y F. B.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Mà : AE = ME và BF = MF (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AK ME  Nên : KF MF . Do đó MK // AE (định lí đảo của định lí Ta- let) Lại có: AE  AB (gt) nên MK  AB.. 4. Khi MB = 3 .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. Gọi N là giao điểm của MK và AB, suy ra MN  AB. MK FK   FEA có: MK // AE nên: AE FA (1) NK BK   BEA có: NK // AE nên: AE BE (2) FK BK FK BK FK BK    Mà KA KE ( do BF // AE) nên KA  FK BK  KE hay FA BE (3) MK KN  Từ (1) , ( 2) , (3) suy ra: AE AE . Vậy MK = NK. S AKB KN 1   S MN 2 AMB Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên: 1 S AKB  S AMB 2 Do đó: . MB  3   MAB 600 . Tam giác AMB vuông ở M nên tg A = MA a a 3 1 1 a a 3 1 2  S AKB  . . . a 3 2 2 2 2 = 16 Vậy AM = 2 và MB = 2  (đvdt). Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB , đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao Điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp.   b) AQI  ACO . c) CN = NH.. (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh). BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường tròn (O)) 0  Do đó: MO  AC  MIA 90 0 AQB 900  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  MQA 90. Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới một góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp được trong một đường tròn. . . b) Chứng minh: AQI  ACO .. x. M x Q. C. K I. N. A. M. O. H. Hình 5 Q I. A. B. C N. O. H. B.

<span class='text_page_counter'>(31)</span>   Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI  AMI (cùng chắn cung AI). (1) AMI CAO   (cùng phụ MAC ) (2)  AOC có OA = Oc nên cân ở O  CAO  ACO (3) . . Từ (1), (2), (3) suy ra: AQI  ACO c) Chứng minh CN = NH. Gọi K là giao điểm của BC và tia Ax. 0  Ta có: ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) AC  BK , AC  OM  OM // BK. Tam giác ABK có: OA = OB , OM // BK  MA = MK. Hình 6  ABM  Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho có NH // AM (cùng AB) ta được: NH BN  AM BM. (4) Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho BKM có CN // KM (cùng  AB) ta được: CN BN  KM BM NH CN  Từ (4) và (5) suy ra: AM KM. (5). Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm) Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D. 1. Chứng minh OD // BC. 2. Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF x 3. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. 4. Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện F tích hình thoi AOCD theo R. BÀI GIẢI 1. Chứng minh OD // BC.   C // BOD cân ở O (vì OD = OB = R)  OBD ODB E D     = Mà OBD CBD (gt) nên ODB CBD . Do đó: OD // BC. 2. Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF. B A O ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)  AD  BE ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)  AC  BF EAB vuông ở A (do Ax là tiếp tuyến ), có AD  BE nên: AB2 = BD.BE (1) FAB vuông ở A (do Ax là tiếp tuyến ), có AC  BF nên: AB2 = BC.BF (2) hình 7 Từ (1) và (2) suy ra: BD.BE = BC.BF 3. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp:   CDB CAB    CFA  CAB Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)     CDB CFA ( cùng phụ FAC ) Do đó tứ giác CDEF nội tiếp. Cách khác:   DBC và FBE có : B chung BD BC  và BF BE (suy từ BD.BE = BC.BF) nên chúng đồng dạng (c.g.c)   Suy ra: CDB EFB . Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp. 4.  Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi : x ABD CBD  ABC  AD CD . Ta có: (do BD là phân giác )  Tứ giác AOCD là hình thoi OA = AD = DC = OC F 0    AD = DC = R  AD  DC 60  AC 1200  ABC 600 . 0. Vậy ABC 60 thì tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:. E. AC 1200  AC R 3 1 1 R2 3 OD. AC  .R.R 3  2 2 (đvdt) Sthoi AOCD = 2. A. D. C. B. O. . Bài 6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F ; BF cắt EC tại H. Tia AH cắt đường thẳng BC tại N . A a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp .  b) Chứng minh FB là phân giác của EFN .  c) Giả sử AH = BC . Tính số đo góc BAC của ABC. E BÀIGIẢI CHI TIẾT H a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: 0   B N Ta có : BFC BEC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) HFC  HNC  1800 nên nội tiếp được trong Tứ giác HFCN có một đường tròn đường kính HC) (đpcm) b) Chứng minh FB là tia phân giác của góc EFN:    Ta có: EFB ECB ( hai góc nội tiếp cùng chắn BE của đường tròn đường kính BC)    ECB BFN ( hai góc nội tiếp cùng chắn HN của đường tròn đường kính HC)   Suy ra: EFB BFN . Vậy FB là tia phân giác của góc EFN (đpcm) c) Giả sử AH = BC. Tính số đo góc BAC của tam giác ABC :  FAH và  FBC có:   AFH BFC 900. AH = BC (gt). F. C.

<span class='text_page_counter'>(33)</span>    FAH FBC (cùng phụ ACB ) Vậy  FAH =  FBC (cạnh huyền- góc nhọn). Suy ra: FA = FB.  BAC 450 . AFB vuông tại F; FA = FB nên vuông cân. Do đó Bài 7: (Các em tự giải) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cát nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. b) Chứng minh AD. AC = AE. AB. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA  DE. 0  d) Cho biết OA = R , BAC 60 . Tính BH. BD + CH. CE theo R Bài 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB và kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm ). Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường thẳng CD và F là Echân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC. Chứng minh: C a) Tứ giác EFDA nội tiếp .  b) AF là phân giác của EAD . = // c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng . A O B d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích . ( Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: 0   Ta có: AED AFD 90 (gt) Hai đỉnh E và F cùng nhìn AD dưới góc 900 nên tứ giác EFDA nội tiếp được trong một đường tròn.  b) Chứng minh AF là phân giác của EAD : Ta có :  AE  CD  AE // OC    OC  CD . Vậy EAC CAD ( so le trong)   Tam giác AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên CAO OCA   EAC CAD. Do đó: . Vậy AF là phân giác của góc EAD (đpcm) c) Chứng minh tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng:  EFA và  BDC có :   EFA CDB (hai góc nội tiếp cùng chắn AE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA)    EAC CAB    EAF BCD    CAB DCB . Vậy  EFA và  BDC đồng dạng (góc- góc). d) Chứng minh các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích: 1 1 DF . AC BC.AF SACD = 2 và SABF = 2 . (1) BC AC  BC // DF (cùng  AF) nên : DF AF hay DF. AC = BC.AF (2). Từ (1) và (2) suy ra : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: có thể giải 2 cách khác nữa). F. D.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> . 0. Bài 9. Cho tam giác ABC ( BAC  45 ) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M ( M  A) . Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P. a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp . b) Chứng minh MAP cân . c) Tìm điều kiện của ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng. H BÀI GIẢI M a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: 0 0   Ta có : MHC 90 (gt), MKC 90 (gt) K Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối nhau bằng 1800 nên nội tiếp được trong một đường tròn. A O P b) Chứng minh tam giác MAP cân:   AH // OC (cùng vuông góc CH) nên MAC  ACO (so le trong)   AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên ACO CAO    Do đó: MAC CAO . Vậy AC là phân giác của MAB . Tam giác MAP có AK là đường cao (do AC  MP), đồng thời là đường phân giác nên tam giác MAP cân ở A (đpcm).    Cách 2: Tứ giác MKCH nội tiếp nên AMP HCK (cùng bù HMK ). C. B. 1 HCA CBA     (cùng bằng 2 sđ AC ), CBA MPA (hai góc đồng vị của MP//. CB) Suy ra: AMP  APM . Vậy tam giác AMP cân tại A. c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng: Ta có M; K; P thẳng hàng. Do đó M; K;O thẳng hàng nếu P  O hay AP = PM Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A suy ra tam giác MAP đều. 0  Do đó CAB 30 . 0  Đảo lại: CAB 30 ta chứng minh P  O : 0 0    Khi CAB 30  MAB 60 (do AC là phân giác của MAB ) MAO 600 Tam giác MAO cân tại O có nên  MAO đều. Do đó: AO = AM. Mà AM = AP(do  MAP cân ở A) nên AO = AP. Vậy P  O. 0  Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB 30 thì ba điểm M; K; O thẳng. hàng. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N ( A M&N). Gọi I, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OH, BH, và CH. A Chứng minh:   O a) AHN  ACB M B. /. N. I P. /. H. //. Q. //. C.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> b) Tứ giác BMNC nội tiếp . c) Điểm I là trực tâm tam giác APQ. BÀI GIẢI AHN  ACB a) Chứng minh : ANH 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). Nên Tam giác ANH vuông tại N AHC 900 (do AH là đường cao của  ABC) nên tam giác AHC vuông ở H.    Do đó: AHN  ACB (cùng phụ HAC ) b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp:   Ta có : AMN  AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) AHN  ACB (câu a)   Vậy: AMN  ACB . Do đó tứ giác BMNC là một tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh I là trực tâm tam giác APQ: OA = OH và QH = QC (gt) nên QO là đường trung bình của tam giác AHC. Suy ra: OQ//AC, mà AC  AB nên QO  AB. Tam giác ABQ có AH  BQ và QO  AB nên O là trực tâm của tam giác . Vậy BO  AQ. Mặt khác PI là đường trung bình của tam giác BHO nên PI // BO Kết hợp với BO  AQ ta được PI  AQ. Tam giác APQ có AH  PQ và PI  AQ nên I là trực tâm tam giác APQ(đpcm) Bài 11.Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó ( C A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. Chứng minh: a)Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b)KN là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). c)Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN I luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định . BÀI GIẢI K a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn / C N ngoại tiếp = H M tứ giác đó: P ACB  ANB 900 = Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) A 0   O Do đó: ICP INP 90 0   Tứ giác ICPN có ICP  INP 180 nên nội tiếp được trong một đường tròn . Tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICPN là trung điểm của đoạn thẳng IP. b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O). 1 KN KI  IP 2 Tam giác INP vuông tại N , K là trung điểm IP nên   Vậy tam giác IKN cân ở K . Do đó KIN KNI (1). /. B.

<span class='text_page_counter'>(36)</span>   Mặt khác NKP NCP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN đường tròn (K)). (2) . . N là trung điểm cung CB nên CN BN  CN NB . Vậy  NCB cân tại N   Do đó : NCB NBC (3)   Từ (1) , (2), (3) suy ra: INK IBC , hai góc này ở vị trí đồng vị nên KN // BC Mặt khác ON  BC nên KN  ON. Vậy KN là tiếp tuyến của đường tròn (O). 0 0    Chú ý: * Có thể chứng minh KNI  ONB 90  KNO 90 0 0    * hoặc chứng minh KNA  ANO 90  KNO 90 c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định:      Ta có AM MC (gt) nên AOM MOC . Vậy OM là phân giác của AOC . 0     Tương tự ON là phân giác của COB , mà AOC và COB kề bù nên MON 90 Vậy tam giác MON vuông cân ở O 2 R 2 Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R. 2 = 2 không đổi.. Vậy khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một R 2 đường tròn cố định (O; 2 ). Bài 12. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E , dây DE không qua tâm O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K . a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn .  B b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC 2 1 1   c) Chứng minh : AK AD AE .. //. O. A. BÀI GIẢI // D / a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: K ABO  ACO 900 (tính chất tiếp tuyến) C ABO  ACO 1800 Tứ giác ABOC có nên nội tiếp được trong một đường tròn . b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC:   AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra AB  AC . Do đó AHB  AHC. H. /. E. B. Vậy HA là tia phân giác của góc BHC. 2 1 1   c)Chứng minh AK AD AE :. = A. _ O =. D. /. K. C. H. /. E.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>  ABD và  AEB có: 1 BAE ABD  AEB  chung, (cùng bằng 2 sđ BD )   Suy ra : ABD ~ AEB AB AD   AB 2  AD. AE Do đó: AE AB (1)  ABK và  AHB có: AB  AC  ABK  AHB BAH. chung,. (do. AK AB   AB 2  AK . AH Suy ra: AB AH. ) nên chúng đồng dạng.. (2). Từ (1) và (2) suy ra: AE.AD = AK. AH . . 1 AH  AK AE. AD. 2  AD  DH  2 AD  2 DH AD  AD  ED AE  AD 2 2 AH 1 1    AK AE. AD = AE. AD = AE. AD AE. AD = AE. AD = AD AE. (do AD + DE = AE và DE = 2DH) 2 1 1   Vậy: AK AD AE (đpcm). Bài 13. Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên đường tròn (O;R) lấy điểm 0  M sao cho MAB 60 . Vẽ đường tròn (B;BM) cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là N . a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B;BM) . b) Kẻ các đường kính MOI của đường tròn (O;R) và MBJ của đường tròn (B;BM) . Chứng minh N , I , J thẳng hàng và JI . JN = 6R2 c) Tính phần diện tích của hình tròn (B;BM) nằm bên ngoài đường tròn (O;R) theo R BÀI GẢI a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của M đường tròn (B;BM). 0   Ta có : AMB  ANB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))60 B A Điểm M và N thuộc (B;BM) ; AM  MB và AN  NB O Nên AM ; AN là các tiếp tuyến của (B;BM) b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng và JI .JN = 6R2. N I   MNI MNJ 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O và tâm B ) Nên IN  MN và JN  MN . Vậy ba điểm N ; I ; J thẳng hàng. * Tam giác MJI BO là đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R 0  Tam giác AMO cân ở O (vì OM = OA), MAO 60 nên tam giác MAO đều. AB  MN tai H(tính chất dây chung của hai đường tròn (O) và (B)cắt nhau) 1 1 OA  R 2 . Vậy HB = HO + OB = Nên OH = 2. R 3R 3R R   NJ 2. 3R 2 2 2. Vậy JI . JN = 2R . 3R = 6R2 c)Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngoài đường tròn (O; R) theo R:. J.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Gọi S là diện tích phần hình tròn nằm (B;BM) nằm bên ngoài hình tròn (O;R). S1 là diện tích hình tròn tâm (B; BM) S2 là diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 là diện tích hai viên phân cung MB và NB của đường tròn (O;R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4).  Tính S1:. .  R 3   1200  MB R 3 MAB 600  MB . Vậy: S1 =. . 2. 3 R 2. ..  Tính S2 :. . . 2.  R 3 600  MBN 600  S2 =  Tính S3 :. 3600.  R2 = 2. S3 = Squạt MOB – SMOB .  R 2 .1200  R 2   MOB 1200  Squạt MOB = 3600 3 . 1 1 1 1 R2 3 . . AM .MB R.R 3 OA = OB  SMOB = 2 SAMB = 2 2 =4 = 4 2 2 R 3 R  4 = S4 (do tính chất đối xứng) Vậy S3 = 3. Từ đó: S = S1 – (S2 + 2S3)   R 2 2 R 2 R 2 3      2 2 3 2  = 3 R –  11 R 2  3R 2 3 6 = (đvdt). Bài 14: Cho đường tròn (O;R) , đường kính AB . Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O;R) , với D là tiếp điểm. a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp . b)Gọi H là giao điểm của AD và OC .Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH ; AD 0  c)Đường thẳng BC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai M.Chứng minh MHD 45 d)Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB. Tính diện tích phần củaChình tròn này nằm ngoài đường tròn (O;R) . // BÀI GIẢI M a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp: = D 0   CAO CDO 90 (tính chất tiếp tuyến) I _ 0   CAO  CDO  180 H Tứ giác ACDO có nên nội tiếp được trong / / A O một đường tròn. b) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH; AD: CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R  OC  AD và AH = HD 1 1 1   2 2 AO AC 2 Tam giác ACO vuông ở A, AH  OC nên AH. B.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> =. 1 1  2 R  2R  2. 5 2 = 4R. 2R 5 4R 5 Vậy : AH = 5 và AD = 2AH = 5  MHD 450. c) Chứng minh : 0 AMB 900  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  CMA 90 Hai đỉnh H và M cùng nhìn AC dưới góc 900 nên ACMH là tứ giác nội tiếp.   Suy ra : ACM MHD 0  Tam giác ACB vuông tại A, AC = AB(gt) nên vuông cân . Vậy ACB 45 0  Do đó : MHD 45 . d) Tính diện tích hình tròn (I) nằm ngoài đường tròn (O) theo R : 0 0 0 0     Từ CHD 90 và MHD 45  CHM 45 mà CBA 45 (do  CAB vuông cân ở B) . . . . 0. Nên CHM CBA  Tứ giác HMBO nội tiếp . Do đó MHB MOB 90 . Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB là trung điểm MB. Gọi S là diên tích phần hình tròn ( I ) ở ngoài đường tròn (O). S1 là diện tích nửa hình tròn đường kính MB. S2 là diện tích viên phân MDB Ta có : S = S1 – S2 2.  900  MB R 2  Tính S1 : MB . Vậy S1 =  Tính S2: S2 = SquạtMOB – S  MOB. 1  R 2   R2 .    2  2  4.  R 2 .900 R 2  R 2 R 2   0 2 = 4 2 = 360 2 2 2 2 R R R R   2 )= 2  S= 4 ( 4. Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm . Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm . Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D . Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M . Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB ) . a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp .  b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg ABC . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E . ChứngM minh đường thẳng EB K đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. C BÀI GIẢI E a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp: I 0 ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) N 0 0 A O    H Suy ra MCA 90 . Tứ giác MNAC có N  C 180 nên nội tiếp được trong một đường tròn. D. B.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> b) Tính CH và tg ABC. AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm)  HB = 5 (cm) Tam giác ACB vuông ở C, CH  AB  CH2 = AH . BH = 1 . 5 = 5  CH  5 (cm) CH 5  * tg ABC = BH 5. c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O):   Ta có : NCA NMA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNAC).  NMA  ADC (so le trong của MN // CD) và ADC  ABC (cùng chắn AC ) 1 ABC  1   NCA    2 sđ AC 2 sđ AC Nên : NCA  ABC . Do. Suy ra CN là tiếp tuyến của đường tròn (O). (xem lại bài tập 30 trang 79 SGK toán 9 tập 2) d) Chứng minh EB đi qua trung điểm của CH: Gọi K là giao điểm của AE và BC; I là giao điểm của CH và EB.   KE // CD (cùng  với AB)  AKB DCB (đồng vị)   DAB DCB ( cùng chắn cung BD) DAB MAN     (đối đỉnh) và MAN MCN (cùng chắn MN )   Suy ra: EKC ECK  KEC cân ở E. Do đó EK = EC Mà EC = EA( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA. CI BI IH BI   KBE có CI // KE  KE BE và ABE có IH // AE  AE BE CI IH  Vậy KE AE mà KE = AE nên IC = IH (đpcm). Bài 16 Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K (K nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. a) Chứng minh tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. b) Chứng minh AD2 = AH. AE. c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tính chu vi hình tròn (O).  d) Cho BCD  . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân tại M. Tính góc MBC theo  để M thuộc đường tròn (O). Hướng dẫn: c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng tính được CA = 25 cm  R = 12,5 cm Từ đó tính được C = 25  d) M  (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp.. H. B. _. ? /. M /. A. K. O. . C. H E D.

<span class='text_page_counter'>(41)</span>  ABM  ACM 1800    900  2 MBC  1800 2 0 MBC 180   4 Từ đó tính được. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 17. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. a) Chứng minh ABE cân. b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F . Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. 0  c) Cho CAB 30 . Chứng minh AK = 2CK. Bài 18. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN không đi qua tâm O . Gọi I là trung điểm MN. a) Chứng minh AB2 = AM. AN b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp . IB DB  c) Gọi D là giao điểm của BC và AI. Chứng minh IC DC . Bài 19. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác trong của BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại M. Phân giác ngoài tại Acắt đường thẳng BC tại E và cắt đường tròn tại N. Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh: a) MN vuông góc với BC tại trung điểm của BC.   b) ABN  EAK c) AK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 20. Cho ba điểm A, B,C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN. a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB. AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh IN // AB c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Điểm C nằm trên (O) mà AC > BC. Kẻ CD  AB ( D  AB ) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AE tại M. OM cắt AC tại I . MB cắt CD tại K. a) Chứng minh M là trung điểm AE. b) Chứng minh IK // AB. c) Cho OM = AB . Tính diện tích tam giác MIK theo R. Bài 22 : Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý . Gọi là giao điểm của AP và BC Chứng minh BC2= AP . AQ . a) Trên AP lấy điểm M sao cho PM = PB . Chứng minh BP+PC= AP..

<span class='text_page_counter'>(42)</span> 1 1 1   b) Chứng minh PQ PB PC .. Bài 23 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn . CA cắt nửa đường tròn ở M , CB cắt nửa đường tròn ở N . Gọi H là giao điểm của AN và BM . a) Chứng minh CH  AB . b) Gọi I là trung điểm của CH . Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)  c) Giả sử CH =2R . Tính số đo cung MN . Bài 24: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và dây MN có độ dài bằng bán kính .(M thuộc cung AN ) . Các tia AM và BN cắt nhau ở I . Các dây AN và BM cắt nhau ở K .  a)Tính MIN và AKB . b)Tìm quỹ tích điểm I và quỹ tích điểm K khi dây MN thay đổi vị trí . c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KAB . d)AB và IK cắt nhau tại H . Chứng minh HA.HB = HI.HK . e)Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB có diện tích lớn nhất ? Tính giá trị diện tích lớn nhất đó theo R . Bài 25: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B và C . Gọi M,N và P theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB,BC và AC. BP cắt AN tại I ,NM cắt AB tại E Gọi D là giao điểm của AN và BC . Chứng minh rằng : a) BNI cân . b) AE.BN = EB.AN . AN AB  d) BN BD. c)EI  BC Bài 26 : Cho hai đường tròn (O) và (O1) ở ngoài nhau . Đường nối tâm OO1 cắt các đường tròn (O) và (O1) tại các điểm A , B , C , D theo thứ tự trên đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung ngoài EF ( E  (O) , F  (O1) ) . Gọi M là giao điểm của AE và DF , N là giao điểm của EB và FC . Chứng minh rằng : a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật . b) MN  AD c)ME . MA = MF . MD -----HẾT----.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> D. Một số đề tham khảo 1. §Ò sè 1: Bµi 1 (1,5®): Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x + m (1) víi m lµ tham sè. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 3 2. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm. Bµi 2 (1,5®): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ 2 x+ y=5 x+ 2 y =4 ¿{ ¿. Bµi 3 (2,5®): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 vào điểm A(0;1). 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(0;1) và có hệ số góc k. 2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M vµ N víi mäi k. 3. Gọi hoành độ của hai điểm M và N lần lợt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông. Bµi 4 (3,5®): Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E ( E khác với điểm A). Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O).TiÕp tuyÕn kÎ tõ E c¾t c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®iÓm A vµ B lÇn lît t¹i C vµ D. 1. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đờng tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đợc trong một đờng tròn. 2. Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác BED, từ đó suy ra: DM CM = DE CE.  3. Đặt AOC = α . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và  . Chứng tỏ r»ng tÝch AC.BD chØ phô thuéc vµ R, kh«ng phô thuéc vµ  . Bµi 5 (1®): 2 Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n: y2 + yz + z2 = 1 - 3 x .. 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + y + z §¸p ¸n 2 Bµi 1: khi m = 3 ph¬ng tr×nh trë thành: x − 4 x +3=0 1. Ph¬ng tr×nh này cã d¹ng a + b + c = 0, nªn cã hai nghiÖm là: x=1 ; x2 = 3. 2. Δ' =4 −m §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×: Δ ' ≥ 0 hay m 4 Bài 2:. ⇔. ¿ 2 x+ y=5 x+ 2 y =4 ¿{ ¿ ¿ 2 x+ y=5 2 x + 4 y=8 ¿{ ¿. ⇔ y =1 x=4 −2 .1 ¿{. ⇔ x=2 y=1 ¿{. Bài 3 a) Phơng trình đờng thẳng d đi qua A(0;1) và có hệ số góc k là: y=kx+1 b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình: x2 = kx + 1  k 2  4 ⇔ x2- kx-1= 0 (1).

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Vì k2 + 4 > 0 với mọi k nên phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó đờng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M và N víi mäi k. c) Áp dông hÖ thøc Vi-et vào ph¬ng tr×nh (1) ta cã : x1.x2 = -1 Ta cã : Δ > 0 víi mäi k nªn ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Do đó đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt M(x1 ; x12); N(x22). Phơng trình đờng thẳng OM là: y = x1.x Phơng trình đờng thẳng ON là: y = x2.x Tích hai hệ số góc của hai đờng thẳng trên là: x1.x2 = -1 Vậy hai đờng thẳng OM và ON vuông góc với nhau, do đó tam giác OMN là tam giác vu«ng t¹i O. Bµi 4: . . 0. 1. tø gi¸c ACMO cã : CAO  CMO 180 => tø gi¸c ACMO néi tiÕp trong đờng tròn đờng kính OC. 2. Tam gi¸c AEC và tam gi¸c BED cã : gãc E chung   EAC EBD 900 ⇒ Δ AEC Δ BED (g-g) => CE = DE CA DB. D. M C. E. A. O. mà CA = CM ; DB = DM VËy CE =DE hay DM =CM CM. DM. DE. CE. 3. Tam gi¸c vu«ng AOC cã : AC = R.tg α R. Tam gi¸c vu«ng OBD cã : BD = tg α R Từ đó ta có: AC . BD = Rtg α . = R2 tg α. VËy , tÝch AC . BD chỉ phô thuéc vào R, kh«ng phô thuéc vào α 3x 2 Bài 5: Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n: z2 + yz + y2 = 1 - 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + y + z §¸p ¸n: Tõ z 2+ yz+ y 2=1− 3 x. 2. , biến đổi thành: 2 z 2 +2 yz +2 y 2 =2− 3 x 2. 2 ⇔ x + y + z +2 yz +2 xz+ 2 xy+ z 2 −2 xz + x 2+ y2 −2 xy+ x 2=2 2 x − y ¿ =2 x − z ¿2 2 x − z ¿ +¿ x − y ¿2 −¿ ⇔ 2 x+ y+ z ¿ +¿ x+ y+ z ¿2=2− ¿ ⇔¿ ¿ 2 x −z¿ ≤2 2 V× x − y ¿ 2 −¿ víi mäi x, y, z nªn : x+ y+ z ¿ ≤2  |x + y + z|≤ √ 2 ¿ 2 −¿   2  x  y  z  2 . (DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z) 2. 2. 2. VËy Dmin= √ 2 khi x = y = z = √ 2 ; 3. Dmax = - √ 2 khi x = y = z = - √2 3. §Ò sè 2: C©u 1: Cho biÓu thøc.. B.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> 2 2 (x + x  2013)( y  y  2013) 2013 H·y tÝnh tæng: S = x + y 2 2 C©u 2: Trong c¸c cÆp sè thùc (x;y) tho¶ m·n: x −2 x+ 2y − y ≤ 0. x + y −1. H·y t×m cÆp sè cã tæng x+2y lín nhÊt. C©u 3: Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những sè chÝnh ph¬ng. Câu 4: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đờng tròn này nằm trong đờng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tơng ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đờng tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đờng tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN c¾t (C2) t¹i ®iÓm thø hai C. a. Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy. C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh. x2 + 3x + 1 = (x+3). √ x2 +1. ĐỀ SỐ 2 C©u 1: (2 ®iÓm) Ta cã: (x. x 2  2013)( y . y 2  2013)( x  x 2  2013)( y  y 2  2013). 2013( x . x 2  2013)( y . y 2  2013).  2013 ( x . x 2  2013)( y . y 2  2013). 2 2 VËy ( x  x  2013)( y  y  2013) ( x . x 2  2013)( y . y 2  2013). x y 2  2013  y x 2  2013 (*). NÕu x = 0 => y = 0 => S = 0 x 2  2013 2. NÕu x  0 => y  0 tõ (*) => 2. y  2013. . x 0 y. => xy < 0. 2. x  2013 x  2 2 VËy y  2013 y. => 2013x2 = 2013y2 => x 2 = y2 => (x-y)(x+y) = 0 => S = x + y = 0 mµ xy < 0 => x - y  0 C©u 2: (2 ®iÓm ) §Æt S = x +2y => x = S - 2y XÐt 2 trêng hîp: a. x2+y2 > 1 tõ gi¶ thiÕt => x2 + y2 < x + y <=> (S - 2y)2 + y2 < S - y => 5y2 - (4S - 1)y + S2 - S < 0 (1) Xem (1) là bất phơng trình bậc 2 đối với ẩn y.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> =>  = (4S -1)2 - 20 (S2 - S) > 0 => 4S2 - 12S - 1 < 0 => S <. 3+ √ 10 2. §¼ng thøc x¶y ra khi x = 5+ √ 10 tho¶ m·n x2 + y2 > 1 2. VËy S max = 3+ √ 10 2. b. NÕu x + y < 1 th× x + y < x2 + y2. 2. 2. => S = x + 2y < x2 + y2 + y < 1 + 1 = 2 => S < 3+ √ 10 2. VËy S lín nhÊt lµ 3+ √ 10 khi x = 5+ 2 √ 10 vµ y = 2. 5+ 2 √ 10 10. 10. C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶ sö 2n + 2003 = a2 vµ 3n + 2005 = b2 (a, b nguyªn d¬ng). Khi đó 3a2 - 2b2 = 1999 (1) => a lẻ. §Æt a = 2a1 + 1(a1  Z) => 2b2 = 3.4a1 (a1+1) - 1996 = 3.4a1 (a1+1) - 2000 + 4 2 => b  2 ( mod 4) v« lý. VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n. C©u 4: (2 ®iÓm) E a. Gäi O1, O2, O3 t¬ng øng lµ t©m c¸c N C đờng tròn (C1), (C2), (C3) ta có M, O1, O3 B th¼ng hµng => BO1 // NO3 O B O A = > MB = 1 . T¬ng tù: MA = 1. =>. MN O 3 N MP MA MB = => AB//NP MP MN. O3 P. T. M. D. O1. T¬ng tù CD// PM => AEDP lµ h×nh b×nh hµnh (víi E = AB  CD). Do PAT ~ PTM => PT2 = PA.PM t¬ng tù PT2 = PD.PN. O3 A. VËy PA. PM = PD.DN => EB =PN = PA =ED EC. PM. PD. O2. EA. P. => EBC ~  EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 1800 => ABCD néi tiÕp. b. Nèi E O2 c¾t (C2) t¹i C' vµ D' = >ECC' ~  ED'D => ED.EC = ED'.EC' => EC.ED = (EO2 - R2)(EO2+R2) => EC.ED = EO22 - O2T2. T¬ng tù EB.EA = EO12 - O1T2 Mµ EB =ED => EB . EA=EC . ED => EO1 − EO 2 =O1 T 2 − OT 2 2. EC. EA. 2. Hạ ET'  0102 theo định lý Pitago ta có: EO12 - EO22 = (O1T' 2 + T' E2) - (02T' 2 + T' E2) = O1T' 2 - O2T' 2. => O1T 2 - O2T 2 = 01T' 2 - 02T' 2 v× O1T + O2T = 0102 = O1T' + O2T' => O1T = O1T => T  T' tøc PI ®i qua E . C©u 5: (2 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng ( √ x2 +1 −3 ¿( √ x 2 +1− x)=O.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> ¿ √ x + 1= 3 √ x 2 + 1= x ⇔ x = 2√ 2 ¿{ ¿ 2. . 4. ĐỀ SỐ 3. C©u1 : (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc A=. √ x+ √ y ¿2 ¿ ¿ ¿. 1, Rót gän biÓu thøc A 2, So s¸nh A vµ √A C©u 2: ( 5 §iÓm) 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + 5 = 2 √ 2 x +3 2, Cho 1 a 2 vµ 1 b 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:. P=. a+b ¿ ¿ ¿ ¿. 2. C©u 3, (6 ®iÓm) 1, Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0 Hãy xác định giá trị m để số đo của đờng cao ứng với cạnh huyền của 2 tam gi¸c lµ: √5 2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đờng thẳng ( Δ ) . Đờng tròn (o) tiếp xúc với đờng thẳng ( Δ ) tại A. Hãy dựng đờng tròn (o’) tiếp xúc với đờng tròn (o) và tiếp xúc với đờng thẳng ( Δ ) tại B. Câu 4: Cho hai đờng tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Các đờng thẳng BC và BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P và Q . Các đờng thẳng CM và DN cắt nhau t¹i E . Chøng minh r»ng: 1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD 2, Tam gi¸c EPQ lµ tam gi¸c c©n..

<span class='text_page_counter'>(48)</span> C©u I. ý. Néi dung. §iÓm 4,0 2,0. I,1 Điều kiện để A có nghã là x Khi đố: √ x +√ y ¿ 2. 0, y. 0;x. y. ¿ y √ x − √¿ ¿ (x+ √ xy+ y) ¿ y √ x − √¿ ¿ y x + √ √¿ ¿ ¿ ¿ √ x+ √ y ¿2 −(x + √ xy + y ) ¿ ¿ ( √ x − √ y )( √ x + √ y ) −¿ √ x−√ y ¿ ¿ A=¿ ¿. 0,5 0,5 0,5. √ xy x − √ xy + y. I.2. 2,0 V× x. 0; y. vµ xy nªn. ⇒ x − √ xy + y > √ xy ≥0. √ x − √ y ¿2 >0 ¿. √ xy < √ xy =1 . hay 0  A<1 x − √ xy + y √ xy Ta cã : A - √ A=√ A( √ A −1)≤0 VËy A √ A Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0  x=0 hoặc y = 0 Do đó : 0. II. 0,5. A=. 0,5 0.5 0,5 0,5 5,0. II.1/ 3. §iÒu kiÖn : x  (*) 2 Ph¬ng tr×nh ⇔ x2 +6x + 9 = ( 2x + 3) +2 √ 2 x +3 +1. 0,5. 0,5. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> √2 x +3+1 ¿2 ⇔. ¿ x+ 3=−( √ 2 x +3+1) ¿ x+3=√ 2 x +3+1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x +3 ¿2=¿ ¿ ⇔¿. Ph¬ng tr×nh x+3 = -( √ 2 x +3+1 ¿ v« nghiÖm do (*) Vậy phơng trình đã cho : ⇔ x +2= √2 x+3 ⇔ x2 + 4 x+ 4=2 x+3 ⇔ (x+1)2 = 0 ⇔ x=- 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. x =-1.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> C©u. ý II.2/. Néi dung. §Óm 0,5. Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ta cã: a+b ¿2 ¿ a+b ¿2 ¿ 2 P = a2 −ab+ b¿ ¿ (a+b)¿ ¿ ¿ ¿ 2 a −b + ab ¿ P= hay P ¿ a+ b ¿. 2. Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 đạt đợc khi a = b =1 Ta l¹i cã 1 a 2 vµ 1 b 2 nªn: (a-1)(a-2) (b-1)(b-2) (a-2)(b-2). 0 0 0. a2. . 3a-2 b 3b-2 -ab 4-2a-2b 2. Céng ba b®t trªn vÕ víi vÕ => a2 - ab + b2 Do : a2 –ab +b2 = (a-b)2+ab  0 Nªn P=. a+ b ≥ a − ab+b 2 2. a+b =1 a+b. Dấu đẳng thức xảy ra <->. hay P (. a+b 1. ( a-1)(a-2) = 0 (b-1)(b-2) =0 ( a-2)(b-2) =0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 đạt đợc khi (a,b). <->. a=1;b=2 a=2;b=1 a=2;b=2. (1;2),(2;1),(2;2). III. III.1. 2.5 V× sè ®o c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: (m-2)x2 –2(m-1)x +m = 0 nªn ph¬ng tr×nh nµy ph¶i cã 2 nghiÖm d¬ng m 2 Δ ’ <-> 0 m 0 ( *) S= x1 + x2  0 Giải đợc m2 P = x1.x2  0 m Khi đó ta có : x1+ x2 = 2( m−1) ; x1.x2 = m− 2. Bài toán đợc thoả mãn <->. 1 x 21. +. Giải đợc m=4 thoả mãn đk (*) Vây bài toán đợc thoả mãn với m=4. 1 x 22. m−2 2 2 ¿ √5 = ¿ 1 ¿. III,2. 0,5. 0,5. 0,5 0,5 0,5 3,5. Phân tích : Giả sử đờng tròn(o’) đã đợc thoả mãn bài toán.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> Gọi R là bán kính đờng tròn (o) Trên đờng thẳng ( Δ ’)  ( Δ ) t¹i B lÊy điểm B’ : BB’ =R ( B’ khác phía với O đối với ( Δ ) . Ta có: O’O = O’B’ = R +R’ ( R’ là bán kính đờng tròn (O’) VËy : (O’) thuéc trung trùc cña ®o¹n OB’ Cách dựng - Dựng đờng thẳn( Δ ’) vuông góc ( Δ ) tại B. - Trên ( Δ ’) lấy điểm B’ sao cho BB’ = R ( (B’ khác giá với O đối với ( Δ )) - Dùng trung trùc cña OB’, c¾t ( Δ ’) t¹i O. 1,5 - Dựng đờng tròn tâm O’ bán kính R’ = O’B . - Đờng tròn (O’) là đờng tròn cần dựng Chøng minh Tõ c¸ch dùng ta thÊy (O’) tiÕp xóc víi ( Δ ) t¹i B L¹i cã O’O = O’B’ = R + R’ -> (O’) tiÕp xóc víi (O). BiÖn luËn Tõ gi¶ thiÕt vµ c¸ch dùng ta thÊy : 1,0 Điểm B’ luôn dựng đợc và duy nhất . Điểm O’ cũng dựng đợc và duy nhất. VËy bµi to¸n lu«n cã mét vµ chØ mét nghiÖm h×nh 0,5 0,5 5,0. IV. IV.1. 2,0. Do MN // CD nªn gãc EDC = gãc ENA MÆt kh¸c gãc CDA= gãc DNA ( Cïng ch¾n cung DA) -> gãc EDC= gãc CDA hay DC lµ ph©n gi¸c gãc ADE. L©p luËn t¬ng tù -> CD còng lµ ph©n gi¸c gãc ACE -> A và E đối xứng nhau qua CD -> AE  CD. IV.2. 0,5 0,5 0,5 0,5. 3,0 Do PQ song song víi CD nªn AE  PQ ( *) Gọi I là giao điểm của AB và CD . Ta có Δ AID đồng dạng với Δ DIB ( Do chung gãc BID vµ gãc IAD = gãc IDB (cïng ch¾n cung BD)). -> ID = IB -> ID 2 = IA.IB. (1) IA ID LËp lu©n t¬ng tù -> IC2 = IA.IB (2) Tõ (1) vµ (2) -> IC = ID Mµ IC = ID ( cïng b»ng BI ) => AP = AQ AP AQ BA KÕt hîp víi (*) -> Δ EPQ c©n t¹i E. §Ò thi thö vµo líp 10 n¨m häc 2010 - 2011(§Ò A) Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề). 0,5 0,5 0,5. 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc : A =. a+2 −√ ( √ a−1 1 − √1a ) :( √√aa+1 − 2 √ a −1 ). 1.Rót gän A 2.Tìm giá trị của a để A = 1 6 Bµi 2: (1.5®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m +1)x + 2m + 10 = 0 (1) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = -3 2. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm tho¶ m·n : x12 + x22 = 2. 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x12 + x22 + 10x1x2 Bài 3:(1.5điểm) Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5 x 2. Trên đồ thị hàm số lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Hãy viết phơng trình đờng thẳng AB. Bài 4 (1điểm) Cho nửa hình tròn tâm O đờng kính AB = 6cm quay một vòng quanh AB . TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch cña h×nh t¹o thµnh. Bài 5: (3điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD c¾t nhau t¹i E. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F . §êng th¼ng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N Chøng minh : 1) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . 3) EB . DN = EN . DB 4) Các đờng thẳng: AB; DC; EF đồng quy. Bµi 6: (1®iÓm) Cho 2 sè a, b tho¶ m·n a + b. 3 3 0. Chøng minh: a +b ≥ a+b. 2. 3. (2). .. 3. §Ò sè 3: C©u1: (2 ®iÓm) 2 a9  Cho A = a  5 a  6. a  3 2 a 1  a  2 3 a. a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa. b) Chøng minh: A = √ a+1 . √a − 3 c) Tìm các giá trị nguyên của a để A có giá trị nguyên. C©u 2: (1,5 ®iÓm) 2 x  y 3  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 5  y 4 x. b) Tìm m để đờng thẳng: y = (m - 1)x + 5 đi qua điểm A có tọa độ là nghiệm của hệ ph¬ng tr×nh ë c©u a. C©u 3: (2®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m - 1)x - m2 + 2m - 2 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 0. b) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m. c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x12 + x22. C©u 4: (1®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã c¹nh AC = 4cm; c¹nh BC = 5cm. TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch h×nh nãn t¹o thµnh khi quay tam gi¸c ABC xung quanh c¹nh AB Câu 5: (2,5 điểm) Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trªn cung lín BC sao cho AC > AB vµ AC > BC. Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D, C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn lît lµ giao ®iÓm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD với CE. a) Chøng minh: DE // BC. b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đợc. 1 1 1   c) Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F. Chøng minh hÖ thøc: CE CQ CF .. Câu 6: : (1 điểm) Cho x; y là hai số dơng thay đổi sao cho x + y = 2..

<span class='text_page_counter'>(53)</span> T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = x2y2(x2 + y2).

<span class='text_page_counter'>(54)</span>