THI HSG 9 toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (77.33 KB, 2 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THCS HIỆP THUẬN. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - Năm học: 2008-2009 Môn : Toán Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề). Đề bài: Bài 1: (2 điểm): Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12. x 2 Bài 2: (2 điểm): a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có : x 1 a2 b2 b) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = b 1 a 1 Bài 3 (2 điểm) : Tìm các giá trị nguyên x , y thõa mãm đẳng thức : ( y + 2 ) . x2 + 1 = y2 . Bài 4:(2 điểm) :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E 1 1 1 2 AF 2 AB 2 và F . Chứng minh rằng : AE Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau xác định một điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất. -----------------------------------ĐÁP ÁN Bài 1: (2 đ) Số chính phương là n2 ( với n Z ) số đứng trước nó là n2 - 1 Ta có: ( n2 - 1)n2 = ( n - 1 )(n+1)n2 = (n - 1).n .n (n+ 1) (1đ) Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 , mặc khác (n-1)n là 2 số nguyên liên tiếp nên Chia hết cho 2 và n(n+1) chia hết cho 2 nên ( n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4 Mà(3,4)=1 nên (n-1) .n.n .(n+1) chia hết cho 12 (1đ) 2 2 Vậy (n -1)n chia hết cho 12 x 2 x 2 x 1 x 2 4( x 1) Bài 2 ( 2 đ) a) x > 1 nên x 1 0 Ta có: x 1 x 2 4 x 4 0 ( x 2)2 0 Bất đẳng thức đúng nên suy ra điều phải chứng minh (1 đ) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm: 2 2 a2 b 2 2 a . b 2 a . b b 1 a 1 a 1 b 1 E = b 1 a 1 a b 2, 2 a 1 b 1 Theo câu a ta có : Nên E 8 Vậy Min E = 8 khi x=y =2 ( 1đ) y2 1 3 y 2 y 2 x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) (1đ) Bài 3:(2đ) ( y + 2 ) . x2 + 1 = y2 x2 = y 2 y + 2 = 1 ; 3;-1;-3 Nên y = -1 ;1;-3 ;5.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> do x2 0 nên (y2 -1)(y+2) 0 , y 2 2 y 1 hoặc y 1. (0, 1);(0,1) (1đ) do đó : y = -1 hoặc y = 1 suy ra x=0 Vậy nghiệm nguyên : (x,y)= Bài 4:(2đ)Trên tia đối của tia BC Lấy điểm M sao cho BM=DF A B ABM ADF Suy ra: góc MAB = góc FAD và AM=AF (1đ) Từ đó suy ra MAF vuông tại A có đường cao AB F Và hai cạnh góc vuông AF và AE 1 1 1 2 2 M AE AF AB 2 Nên (1đ) D C Bài 5:(2đ) Gọi a , b, c là các cạnh đối diện với góc A, B, C và ha , hb , hc Là các đường cao tương ứng. Giả sử a b c, khi đó : ha hb hc A Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB ( 1đ) 2 S = a. PH + b . PK + c. PI a ( PH + PK + PI) K I 2S PH + PK + PI a = ha P PH + PK + PI nhỏ nhất khi P trùng với A B (1 đ). H. E. C.
<span class='text_page_counter'>(3)</span>
