hsg lam son 3

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 150’ C©u I (2®): 1) Cho biÕt a = x.y + √ (1+ x 2)(1+ y 2 ) b = x √ 1+ y 2 + y √ 1+ x 2 Gi¶ thiÕt r»ng: xy d¬ng, h·y tÝnh b theo a. 2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình: x2 - (a-1)x - a2 + a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. C©u II (2®): 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:. 2x2 - y2 = 1 xy + x2 = 2 2) Cho hàm số y = x2 với x  -1 (1). Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1) và tìm b để đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lợt có hoành độ trái dấu. C©u III (2®): 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 - 3x + 2) (x2 + 15x + 56) + 8 = 0 2) Cho n sè thùc a1, a2,, …., an sao cho a13 + a23 +…+ an3 = 0 n Chøng minh: a1 + a2 + ….+ an . 3 BiÕt r»ng - 1  ai  1 víi i =1,2, …,n C©u IV (3®): Cho h×nh vu«ng ABCD 1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đờng thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đờng thẳng d’ chứa cạnh DC sao cho  E0F vu«ng ë 0 vµ cã diÖn tÝch nhá nhÊt. 2) Trªn c¹nh BC vµ CD lÊy hai ®iÓm t¬ng øng M vµ N sao cho 0 MAN = 45 . BD c¾t AM, AN lÇn lît t¹i I vµ K. Chøng minh SCIK = SNMIK. Câu V(1đ): Cho đờng tròn (0; R), dựng đờng tròn (0’; R’) sao cho 0 nằm trên đờng tròn (0’, R’). Dây AB của đờng tròn (0; R) di động và tiếp xúc với đờng tròn (0’; R’) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC 2 + BC2 đạt giá trị lớn nhất. *****.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10 chuyªn Lam s¬n Néi dung. C©u. §iÓm. I. 2.0® 1.0® 0,25® 0,25®. I1 Ta cã: a2 = 1 + x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy √(1+ x 2)(1+ y 2 ) (1) b2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy √ (1+ x 2)(1+ y 2 ) (2) So s¸nh (1) vµ (2) suy ra b2 = a2 - 1 Do xy > 0 nªn ta xÐt hai trêng hîp sau: + Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b = √ a2 − 1 + Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = - √ a2 − 1. 0,5® 1.0®. I2 Ta cã a2- a + 2 = (a -. 12 ) + 2. 7 7  Þ - [(a4 4. 12 ) + 7] < 0 2 4. 0,25®. Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, Ta cã: víi mäi a x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (a-1)2 + 2(a2 - a + 2) 2. 11. 2. 11. 0,25® 0,25® 11. = 3[( a - 3)2 + 9 ] = 3(a- 3 )2 + 3 3 2. DÊu b»ng x¶y ra khi a = 3 . VËy GTNN cña x12 + x22 b»ng. 0,25® 11 3. II. 2,0® 1,0®. II1 1. + Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành. x2 = 2 hÖ nµy v« nghiÖm. x2 = 2 + Nếu y ạ 0 hệ đã cho suy ra xy + x2 = 4x2 - 2y2 Û 3x2 - xy -2y2 (* )= 0 Chia hai vế của (*) cho y ạ 0 Ta đợc 3(. Û. x y= 1 x y= -. 2 3. Û. x. )y - 2 = 0. x=y −2y x= 3. + Từ x = y hệ đã cho viết thành. + Tõ x = -. x2 y) - (. x=y 2x2 - y2 = 1. 2y 2y 3 hệ đã cho viết thành: x = - 3. 0,25®. 0,25®. Û. x= 1 y= 1 x=-1 y = -1 0,25®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2x2 - y2 =1 HÖ nµy v« nghiÖm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x = - 1 vµ x = 1 y=-1 y=1 II2. 0,25®. 1,0® y. B y = x 2 ( x 1 ). 0,25®. 2 (c). A -1. 0. x. Đờng thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đờng phân giác góc phÇn tö thø nhÊt: y = x. 0,25® + Thay toạ độ điểm A (-1, 1) vào y = x + b ta đợc b = 2 Vậy đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B thoả mãn đề bµi th× ph¶i cã: 0 < b  2. 0,5® III III1. 2,0® 1,0®. III2. Vế trái của phơng trình đã cho bằng: x4 + 12x3 + 13x2 - 138x + 120 = (x4 + 6x3 - 15x2) + (6x3 + 36x2 - 90x)- (8x2 + 48x - 120) = x2 (x2 + 6x - 15) + 6x (x2+ 6x - 15) - 8(x2+6x-15) 0,5® = (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8). Vậy phơng trình đã cho viết thành: (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8) = 0 *Giải các phơng trình: x2 + 6x - 15 = 0 và x2 + 6x - 8 = 0 ta đợc phơng trình đã cho có bốn nghiệm: 0,5® x1 = -3 + 2 √ 6 ; x2 = -3 - 2 √ 6 ; x3 = - 3 + √ 17 ; x4 = - 3 - √ 17 . 1,0® + Ta cã: 4a3 - 3a + 1 = 4 (a + 1) (a-. 12 2)  0 víi mäi a tho¶ m·n -1  a1 1. 4a13 - 3a1 + 1 = 4(a1 + 1) (a1 - )2  0 1 22 4a23 - 3a2 + 1 = 4(a2 + 1) (a1 ) 0 2 ……………………………………….. 1 4an3 - 3an + 1 = 4(an + 1) (an - )2  0 2 VËy ta cã : 4(a13 + a23 +….+ an3) - 3(a1 + a2 +….+an) + n  0 =0 n Û - 3(a1 + a2 +…+ an)  - n Û (a1 + a2 + ….+an)  3 ®. p. c/m. + Từ đó. 0,25®. 0,5® 0,25®.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Néi dung. C©u. IV IV1 A. D. E. P a a 0. a. b. F. Q. §iÓm. Gäi P,Q lÇn lît lµ h×nh d chiÕu cña 0 trªn d vµ d’ §Æt diÖn tÝch  0EF = S Ta cã P0E = 0FQ = a (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) 0,25® §Æt 0P = a, 0Q = b. B. d’ C. a. b. Ta cã 0E = cos α , 0F = sin α ab. Do đó: S = 2 sin α cos α vì a,b không đổi nªn S nhá nhÊt khi 2sin a cos a lín nhÊt. 0,25® V× sin a, cos a d¬ng nªn 2sina cosa  sin2a + cos2a = 1 (B§Tc«sy) do đó Max (2sina cosa) = 1 khi sina = cosa. VËy S nhá nhÊt khi sina = cosa Û a = 450 .VËy E vµ F cÇn dùng tho¶ m·n P0E = 0FQ = 450. 0,25® * Bµi to¸n cã hai nghiÖm h×nh (v× E, F lµ hai ®iÓm trªn d vµ d’). 0,25® VI2. 2® A. Vì C đối xứng với A qua DB nªn ®iÒu ph¶i chøng minh Û S AIK = SNMIK. B I. 450. ÛS AIK=. 1 2. S AMN. 0,5®. do IAN = IDN = 450 nªn tø gi¸c IADN néi tiÕp. D C N Suy ra AI ^ IN Tơng tự ta có AK^ KM do đó MIKN là tứ giác nội tiếp.. 0,5®. M. K. Suy ra AIK = ANM; AKI = AMN suy ra  AKI AK. AI. AMN. 1. Do đó : AM = AN = cos 450 = 2 (tỷ số đồng dạng) √ VËy:. AK . AI 1 SΔ AIK == AM . AN 2 SΔ AMN. Suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.. 0,5® 0,5®.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Néi dung. C©u. V. H. Gäi H, K lÇn lît lµ trung ®iÓm của AB và chân đờng vuông góc h¹ tõ 0 xuèng 0’C. Ta cã: 0H ^ AB vµ h×nh ch÷ nhËt 0HCK. B Do đó AC2 + BC2 = ( AB +HC)2. C. A O. §iÓm. K O’. 2. +. AB − HC = 2. 2. AB 2 + 2 HC2 2. = 2[(R2 - 0H2) + (00’2 - 0’K)2] = (R2 - 0H2) + 2[R’2 - (R’ - 0H)2] = 2R2 - 40H2 + 4R’0H = = 2R2 + R’2 - (R’ - 20H)2  2R2 + R’2 Vậy giá trị lớn nhất của AC2 + BC2 = 2R2 + R’2 đạt đợc khi (R’- 20H)2 = 0 hay 0H =. 0,25®. 0,5®. R' 2 . Suy ra cã hai vÞ trÝ cña AB lµ: khi nã lµ. tiếp tuyến chung ngoài của các đờng tròn (0’; R’) và (0;. *******. R' ). 2. 0,25®.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>