Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

BỘ 15 ĐỀ
Kiểm tra giữa kì 1 toán 9
ĐỀ 31
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I
Năm học 2018 – 2019
Lớp 9
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. (2 điểm) Tính giá trị biểu thức:

�1
�
A  � 28  12  7 � 7  2 21
�2
�
1.

B
2.





2

3 1  2



32



2

1 �
� 1
 4�

�
3 1�
� 3 1

� x 3
x  1 4 x  4 ��
5 �
P�


:
1

�
�

�
� x 2
4 x �
x 2
x 2�
�
��
Câu 2. (2,5 điểm) Cho biểu thức:
với x �0; x �4

1. Với x thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh rằng
2. Tìm x để
Q
3. Cho

P


4

3

P

4
x 3

1
2



x  1
. Tìm x để P.Q nguyên.

x 3

Câu 3. (2 điểm) Tìm x biết:
1.

4  1  3 x   9  1  3 x   10

3.

2x  1  x  1  0

2.







x  1 2 x  3  2 x  4

Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
1. Cho

cos �
ABC 


3
5 và BC  10 cm

a) Tính độ dài của AC , HC và tính giá trị của biểu thức

M

2cosB 3sinB
1  tan B .

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AH tại D . Tính CD và diện tích tứ giác
ABDC .
Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 1


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

2. Từ H kẻ HE vng góc với AB , HF vng góc với AC ( E thuộc AB và F thuộc AC
).
2
Chứng minh rằng: AE.EB  AF .FC  AH

Câu 5. (0,5 điểm) Tính giá trị của x và y để biểu thức:
A  x 2  6 x  2 y 2  4 y  11  x 2  2 x  3 y 2  6 y  4

Ngô Nguyễn Thanh Duy


đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang 2


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (2 điểm) Tính giá trị biểu thức:

�1
�
�1
�
A  � 28  12  7 � 7  2 21  � 4.7  4.3  7 � 7  2 21
�2
�
�2
�
1.
1
 .2 7. 7  2 3. 7  7. 7  2 21
 7  2 21  7  2 21  0
2
Vậy A  0

B
2.






2

3 1  2



32



1 �
� 1
 4�

�
3  1�
� 3 1

2



 


�
�

� 8  4 3  1 

� 3 1  3 1
 3  2 3 1  2 2  3  4�
� 3 1 3 1
�



 







�
�

�
�

3 1�
� 8  4  4
3 1
�

Vậy B  4 .
Câu 2. (2,5 điểm)

1. Ta có:
� x 3
x  1 4 x  4 ��
P�


:�
1
�
� x 2
�
4

x
x

2
�
�
�
� x 3
x  1 4 x  4 ��
�


:�
1
�
� x 2
�

x

4
x

2
�
�
�











x 3



 

x 2 






x 1

x 2





Vậy



4 x 8
x 2

4



x 2



x 2
P




x 2

x 2





x 2

x 2

x 2







�

x 2
x 3



�

x 2

x 3 

5 �
�
x 2�



x 2 4 x 4

x5 x 6 x3 x  24 x  4



5 �
�
x 2�
. với x �0; x �4

:

:

x 25
x 2

x 3
x 2

4

x 3

4
x 3

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 3


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

2. Để

P

1
2 thì

4
1

x 3 2

8 x 3
5 x
4
1
�
0 �

0
 0
2
x

3
2
x

3
x 3 2



�



x �۳�
0 ��
x 0�

Ta thấy:



x 3 0

2






x 3



P

1
2

(1)
0

Suy ra: (1) � 5  x  0 � x  5 � x  25
Kết hợp với ĐKXĐ ta có: 0 �x  25; x �4 thì
P.Q 
3. Ta có:
Ta có
Mà

x �0  x  1  0 �

Từ 1,2 =>

Nếu
Nếu



x  1

x 3

x�
��
0 
x 1 1

0

Nếu




3
4
�
x 3 4



3
x 1

3
3
x 1

(1)
3
0
x 1
(2)

3
�3
PQ � 1; 2;3
x 1
. Mà PQ có giá trị nguyên nên

PQ  1 �

3
 1 � x  2 � x  4(tm)
x 1

PQ  2 �

3
1
1
 2 � x  � x  (tm)
2
4
x 1

PQ  3 �


3
 3 � x  0 � x  0(tm)
x 1

Câu 3. (2 điểm) Tìm x biết:
4  1  3 x   9  1  3 x   10

1.

� 1�
�x � �
� 3�

� 2 1  3x  3 1  3x  10 � 5 1  3 x  10 � 1  3 x  2 � 1  3 x  4 � x  1  tm 
Vậy phương trình có nghiệm là x  1 .
2.







x  1 2 x  3  2 x  4

 x �0 

� 2 x  3 x  2 x  3  2 x  4 �  x  1 � x  1 (tm)
Ngô Nguyễn Thanh Duy


Trang 4


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Vậy nghiệm phương trình là x  1
3.

2x 1  x 1  0

 x �1

x  0 (ktm)
�
� 2x  1  x  1 � 2x  1  x2  2 x  1 � x2  4x  0 � �
x  4 (tm)
�
Vậy nghiệm phương trình là x  4
Câu 4. (3 điểm)
�  3 ; BC  10cm
cosABC
5
2
sin B  cos 2B  1
1)

� sin B  1 cos2B  1

9 4


25 5

�  3  AB
cosABC
5 BC
3
3
� AB  BC  .10  6  cm
5
5
+) Áp dụng định lý Pytago vào ABC vng tại A, ta có :
2
2
AC  BC 2  AB2  10  6  64  8 cm
AC 2 64
HC 

 6,4 cm
BC 10
(hệ thức lượng trong ABC vng tại A, đường cao AH)
*) Ta có:

sin2 B  cos 2B  1� sinB  1 cos 2B  1

9 4

25 5

sinB 4 3 4
 : 

cosB 5 5 3
2cosB  3sin B � 3
4 �� 4 � 6 3
18
M
�
2.  3. ��
: 1 �
. 
1 tan B
5 �� 3 � 5 7
35
�5
b) Cm được CD  AC ACD vuông tại C
AB.AC 6.8
AH 

 4,8 cm
BC
10
+)
Áp dụng hệ thức lượng vào ACD vuông tại C, đường cao CH:
AC 2 64
AD 

�13,3 cm
AH 4,8
;
tan B 




SABDC  AD.BC  13,3.10  133 cm2



2) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật
 HE = AF

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 5


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

AE.EB = HE 2 �
�
� AE.EB + AF.FC = HE 2  HF2  AF 2  HF2  AH2
2 �
AF.FC = HF �

Bài 5. (0,5 điểm)
A  x 2  6 x  2 y 2  4 y  11  x 2  2 x  3 y 2  6 y  4


x




 x  3

2

 6 x  9   2  y 2  2 y  1 
2

 2  y  1 

�  x  3 
2

2

 x  1

 x  1

2

2

x

2

 2 x  1  3  y 2  2 y  1

 3  y  1


2

vi  y  1 �0 y
2

�x  3  x  1 �3  x  x  1  4

Amin  4
Vậy

Ngô Nguyễn Thanh Duy

2
�
 y  1  0
�y  1
�
��
��
 x  3  x  1 �0 �1 �x �3
�

Trang 6


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN TÂY HỒ


ĐỀ 32
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I
Năm học: 2019 – 2020

MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài: 90 phút)
Câu 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) 5 12  27  2 75  48

b)

2
5

 52
13  11 4  11
c)

6  2 5  9  4 5  20

Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 3 x  16 x  5

b)

4 x  8  9 x  18  4

x2
 3
25


c) x  5 x  4  2

Câu 3. (2,0 điểm) Cho biểu thức

A

x 2
;B 
x 1

x
x 4

x 1 1 x

 x �0, x �1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  25
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để

A: B 

1
2

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , AB  6cm , BC 10cm
a) Giải tam giác vuông ABC . (kết quả làm trịn đến phút)
b) Kẻ tia phân giác góc A cắt BC tại E . Tính BE ; AE .

c) Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu của E trên AB và AC . Tính diện tích tứ giác
AMEN
Câu 5. (1,0 điểm)
a) Giải bài tốn sau: (Kết quả làm trịn đến số thập phân thứ hai)
Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 7


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Để đo chiều rộng của một khúc sông AH , người ta chọn hai vị trí B, C cùng một bờ.
0 �
0
�
Biết BC  60 m, ACB  38 , ABC  30 .

Hãy tính chiều rộng AH của khúc sơng đó.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  ( x  2019) 2  ( x  2020) 2

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) 5 12  27  2 75  48

b)

2
5


 52
13  11 4  11
c)

6  2 5  9  4 5  20

Lời giải
a) 5 12  27  2 75  48  5.2 3  3 3  2.5 3  4 3  3



b)

 



2 13  11 5 4  11
2
5

 52 

 2 13
13  11
16  11
13  11 4  11

 13  11  4  11  2 13  4  13
c)



6  2 5  9  4 5  20 





2

5 1 



5 2



2

2 5

5  1  5  2  2 5  5  1  5  2  2 5  1

(vì

5  1  0 và

520)


Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 3 x  16 x  5

b)

4 x  8  9 x  18  4

x2
 3
25

c) x  5 x  4  2
Lời giải
a) 3 x  16 x  5 � 3 x  4 x  5 � 4 x  3 x  5 � x  5 � x  25
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 8


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

x2
4 x2
 3 � 4  x  2   9  x  2  
 3
25
5

4 x  8  9 x  18  4


b)

� 2 x2 3 x2 

4 x2
1
 3 �
x  2  3 � x  2  15
5
5

� x  2  225 � x  227.
c) x  5 x  4  2 � 5 x  4  x  2
(Điều kiện: x �2 )
� 5x  4  x2  4 x  4 � x2  9 x  0 � x  x  9   0
x  0  ktm 
�
��
.
x  9  tm 
�
Vậy x  9.

Câu 3. (2,0 điểm) Cho biểu thức

A

x 2
;B 
x 1


x
x 4

x 1 1 x

 x �0, x �1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  25
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để

A: B 

1
2

Lời giải
a) Tại
Khi đó
Vậy

x  25  TMDK  � x  5
A

A

B
b)
Vậy


1
2 tại x  25

x
x 4


x 1 1 x

B

A: B 
c)

52 1

5 1 2


 x  1 

x



x 1  x  4




x 1



x4
x 1

x4
x  1 với x �0, x �1

x 2 x4
:

x 1 x 1

Ngô Nguyễn Thanh Duy

x 2
.
x 1





x  2 
x 1


x  2

x 1

x 1
x 2

Trang 9


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

A: B 
�

2



1
x 1 1
�

2
x 2 2
x 3
x 2



0


� x 3 0 � x  9
Kết hợp ĐKXĐ: x �0,x�1� 0
Vậy 0 �x  9, x �1 thì

A: B 

x 9, x 1

1
2

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , AB  6cm , BC 10cm
a) Giải tam giác vuông ABC . (kết quả làm tròn đến phút)
b) Kẻ tia phân giác góc A cắt BC tại E . Tính BE ; AE .
c) Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu của E trên AB và AC . Tính diện tích tứ giác
AMEN
Lời giải

a) Xét tam giác ABC vng tại A .
Áp dụng định lí Pitago ta có:

AB 2  AC 2  BC 2
� AC 2  BC 2  AB 2
� AC  BC 2  AB 2
� AC  102  62  8  cm 
Ta có
�  AC  8
sinB
BC 10
� 530 7 '

B

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 10


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

�
sin C

AB 6

BC 10

� 36052 '
C

b) Vì AE là tia phân giác góc A . Áp dụng tính chất của tia phân giác trong góc A của tam
giác ABC ta có
BE AB 6 3

 
EC AC 8 4 (1).

Vì

BE  EC  BC  10  2 


Giài

 1

và

 2

ta được

40
7

BE 

 cm  ; EC=

30
7

 cm 

Xét tam giác ABC vuông tại A . Áp dụng hệ thức lượng về cạnh và đường cao ta có

1
1
1


2

2
AH
AB
AC 2
� AH  4,8  cm 
0
�
�
Vì AE là phân giác của góc A nên BAE  EAC  45

Xét tam giác BAE ta có:

�
� �
ABE  BAE
AEB  1800





�
��
AEB  1800  �
ABE  BAE
�81,30

Xét tam giác vuông AHE , ta có
 4,8.sin 81.30 �4, 74 cm


sin �
AEH 

AH
� AE  AH .sin �
AEH
AE

�  900
�
A
�
��
0
�AME  90  GT 
��
ANE  900  GT  �
�
�
AMEN
c) Xét tứ giác
có
tứ giác AMEN là hình chữ nhật

Xét tam giác AME và tam giác ANE ta có:

�  AEN
�  900
�AME
�

�AE chung
��
0
�
�MAE  NAE  45 � AME  ANE



g.c.g  � AM = AN

Hình chữ nhật AMEN có hai cạnh bên bằng nhau suy ra AMEN là hình vng

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

Trang 11


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

AE 4, 47

2
2

AM =
Ta có

2

S AMEN


�4, 47 �
2
 AM  �
��10  cm 
� 2 �
2

Câu 5. (1,0 điểm)
a) Giải bài tốn sau: (Kết quả làm trịn đến
số thập phân thứ hai)
Để đo chiều rộng của một khúc sông AH ,
người ta chọn hai vị trí B, C cùng một bờ.
0 �
0
�
Biết BC  60 m, ACB  38 , ABC  30 .
Hãy tính chiều rộng AH của khúc sơng đó.

2
2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  ( x  2019)  ( x  2020)

Lời giải
a) Ta có:
AH  BH tan B  CH tan C
BH tan C

CH tan B
BH tan 380

�

�1,35
CH tan 300
� BH  1,35.CH
�

Mà BH  CH  BC  60m
60
 25,53m
2,35
� BH  34, 47m
� CH 

2
2
b) A  ( x  2019)  ( x  2020)

A | x  2019 |  | x  2020 |
A | x  2019 |  | 2020  x |�
| x  2019  2020  x | 1
Suy ra A �1 .
Dấu “=” xảy ra � (x  2019)(2020  x)  0 � 2019  x  2020
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 2019  x  2020

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 12



Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐỀ 33
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ 1
Năm học 2019 – 2020
Mơn: TỐN 9
Thời gian làm bài: 60 phút

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN HÀ ĐƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính và rút gọn các biểu thức sau:
1 �
� 1
A�

�: 5
3

5
3

5
�
�
a)

1
1

B  48  5  2 75  5 1
3
3
b)

Câu 2. (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 1  x  4  4 x  12  0

b)

4x2  4 x  1  3

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

A

2x 1
1
x 3

B
x x 1
x  1 và
x  x 1

 x �0; x �1

a) Tính giá trị của B khi x  16

b) Đặt P  A : B . Rút gọn biểu thức P .
c) Tìm x để

P

1
2

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vng góc với BC
tại F .
a) Cho BC  20 cm , sin C  0, 6 . Giải tam giác ABC .
2
b) Chứng minh rằng AC  2CF .CB .

c) Chứng minh AF  BE.cos C .
Câu 5. (0,5 điểm) Giải phương trình sau

Ngơ Nguyễn Thanh Duy

3

x  2  x  1  3.

Trang 13


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Ngô Nguyễn Thanh Duy


Trang 14


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính và rút gọn các biểu thức sau:
1 �
� 1
A�

�: 5
�3  5 3  5 �
a)

1
1
B  48  5  2 75  5 1
3
3
b)

Lời giải
a)

1 �
� 1
A�


�: 5
�3  5 3  5 �

�
�
3 5
3 5
�: 5
A�

�3  5 3  5
3 5 3 5 �
�
�



A

A




:
5  3 5

3 5  3 5

 3


3 5 3 5
32 

 

A

2 5
: 5
95

A

2 5 1
.
4
5

A

1
2

Vậy
b)

 

A


5

2





5

: 5

1
2.

1
1
B  48  5  2 75  5 1
3
3

B  42.3 

16
4
 2 52.3  5
3
3


42.3
2 2.3
2

2
5
.3

5
32
32
4
2
B4 3
3  2.5 3  5. 3
3
3
10 �
� 4
B�
4   10  � 3
3�
� 3
B  12 3
B  42.3 

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 15



Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Vậy B  12 3 .
Câu 2. (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 1  x  4  4 x  12  0

b)

4x2  4x  1  3

Lời giải
a) 1  x  4  4 x  12  0

(ĐK: x �1 )

� 1  x  4  1  x   12
� 1  x  2 1  x  12
� 3 1  x  12
� 1 x  4

� 1  x  16

� x  15 (tm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  15
b)

4x2  4x  1  3

�


 2 x  1

2

3

� 2x 1  3
TH1:

2 x �۳
1 0

1
1
x�
2 , phương trình trở thành: 2 x  1  3 � 2 x  4 � x  2 (tm đk
2)

x

2x 1  0 � x 

TH2:
1
x
2 ).

1
2 , phương trình trở thành: 2 x  1  3 � 2 x  2 � x  1 (tm đk


Vậy phương trình có tập nghiệm

S   2; 1

Câu 3. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

A

2x 1
1
x 3

B
x x 1
x  1 và
x  x 1

 x �0; x �1

a) Tính giá trị của B khi x  16
b) Đặt P  A : B . Rút gọn biểu thức P .
c) Tìm x để

P

Ngơ Nguyễn Thanh Duy


1
2
Trang 16


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Lời giải
a) Thay x  16 (thỏa mãn đk) vào biểu thức B ta có:
B

x 3
16  3
43
7 1




x  x  1 16  16  1 16  4  1 21 3

A

b)

2x  1
1
2x  1 x  x 1




x x 1
x 1
x 1 x  x  1



P  A: B 


c) Để

P



 

x x





x 1 x  x 1



x
x  x 1


x
x 3
:
x  x 1 x  x 1
x
x  x 1
.

x  x 1
x 3

1
�
2

Vậy x  9 để

x
x 3

x
1
 �2 x  x 3�
x 3 2

P

x  3 � x  9  TM 


1
2

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vng góc
với BC tại F .
a) Cho BC  20 cm , sin C  0, 6 . Giải tam giác ABC .
2
b) Chứng minh rằng AC  2CF .CB .

c) Chứng minh AF  BE.cos C .
Lời giải

a) Cho BC  20 cm , sin C  0, 6 . Giải tam giác ABC .

ABC vng tại A nên ta có
AB  BC sin C  20.0, 6  12 cm .
AB 2  AC 2  BC 2 � AC 2  BC 2  AC 2  202  122  256 � AC  16 cm .
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 17


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

sin C  0, 6 �C


36,87

Có B  C  90�� B  90� C �90� 36,87� 53,13�.

2
b) Chứng minh rằng AC  2CF .CB .

Kẻ đường cao AH của ABC ( H �BC ).
AH  BC �
�� EF // AH
EF

BC
�
Ta có
.
Xét CAH có E là trung điểm của AC (gt); EF // AH suy ra F là trung điểm của CH
� CH  2CF .

ABC vuông tại A có đường cao AH ta có AC 2  CH .CB  2CF .CB .
c) Chứng minh AF  BE.cos C .

ABC vng tại A có
CEF vng tại F có

cos C 

AC
BC .

cos C 

CF
CE .


AC CF

Vậy ta có BC CE .
AC CF

Xét ACF và BCE có C chung; BC CE � ACF ∽ BCE (cạnh – góc – cạnh)

�

AF AC CF


BE BC CE (tỷ lệ các cạnh tương ứng).

AC CF
AF

 cos C
 cos C
� AF  BE.cos C .
Mà BC CE
(chứng minh trên). Do đó ta có BE

Câu 5. (0,5 điểm) Giải phương trình sau

3

x  2  x  1  3.
Lời giải


Đk: x �1
Đặt

3

x  2  t � x  t 3  2 , phương trình trở thành :

t  t3  3  3

� t3  3  3  t
2
�
�
�
 t  1  t 2  6   0
t 3  t 2  6t  6  0
t3  3   3  t 
t 2  t  1  6  t  1  0
�
�
�
��
��
��
��
t �3
3  t �0
t �3
t �3

�
�
�
�

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 18


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

�
t  1 (do t 2 �0,  t)
��
t �3
�
� t  1 � x  13  2 � x  3 (tmđk)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3 .

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 19


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐỀ 34
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI –AMSTERDAM
Tổ: Toán – Tin học


KIỂM TRA GIỮA KỲ 1
Năm học 2019 – 2020
Môn: TỐN – LỚP 9
Thời gian làm bài: 45 phút

ĐỀ CHÍNH
Câu 1. (4,0 điểm)
A

x  10

v�B 

1



2x  x  2
v�
i x  0; x �4
x 4
x2
x



x
x2
Cho hai biểu thức

1. Tính giá trị của A khi x  16.
2. Rút gọn biểu thức B .
3. Tìm các giá trị của x để P  A.B nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

1. x2  6x  9  2x  1
Câu 3. (3,5 điểm)

2.

2x  3  x  1  0

 AB  AC  đường cao AH . Các đường phân giác của
Cho tam giác ABC vuông tại A
�
�
BAH
và CAH tương ứng cắt cạnh BC tại M , N . Gọi K là trung điểm AM .
1) Chứng minh tam giác AMC là tam giác cân.
2
2
2) Dựng IK  BC tại I . Chứng minh MK  MI .MC và MA  2 MH .MC

1
1
1


2
2

AM
4CK 2 .
3) Chứng minh: AH
Câu 4. (0,5 điểm)
1) (Dành cho lớp 9A).
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  a 4  b 4  c 4  3abc .
2) (Dành cho lớp 9B,9C,9D,9E).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  1  3  x

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 20


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 21


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1. (4,0 điểm)
x  10
1
x
2x  x  2

v�B 


v�
i x  0; x �4
x 4
x
x2
x2
Cho hai biểu thức
4. Tính giá trị của A khi x  16.
5. Rút gọn biểu thức B .
6. Tìm các giá trị của x để P  A.B nhận giá trị nguyên.
A

Lời giải
Với x  16 thì

1.

B 






3.

1

x2

2x  x  2
x 4
x2
x



x2



x2





 

x2

x



v�
i x  0; x �4




x2



x2

2x  x  2



 

x2



x2



x2

x  2  x  2 x  2x  x  2




7

2

x  16 th�
A

Vậy
2.

16  10 4  10 14 7



4
4 2
16

A





x 2 x



x2
x










x2



x2



x2



x2

x2



x2

x
x2
Điều kiện x  0; x �4


Ta có

P  A.B 

x  10
x

.

x
x2



V�x  0 � x  0 � x  2  2 �
� 1

8
 1 4 � P  5
x2

Ngô Nguyễn Thanh Duy

x  10
x2

 1

8

x2

1
1
 �
x2 2

8
8

x2 2

(1)

Trang 22


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

8
Mặt khác

x2

 0 � 1

8
x2

 1� A  1


(2)

P ��n�
n P � 2;3;4
Từ (1) và (2) ta có 1 P  5 mà
P  2�

P  3�

x  10
 2 � x  36 (TM)
x2
x  10
x2


P  4�


 3 � x  4 (KTM)

x  10
4
 4 � x  (TM)
9
x2

� 4�
V�

y x��
36; �th�P ��
� 9
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

1.

x2  6x  9  2x  1

2.

2x  3  x  1  0

Lời giải
1. x  6x  9  2x  1
2

�

 x  3

2

 2x  1

� x  3  2x  1
TH1: x �3 ph�
�
ng tr�
nh tr�th�

nh: x  3  2x  1� x  4
TH2: x  3 ph�
�
ng tr�
nh tr�th�
nh:  x  3  2x  1 � 3x  2 � x 

2
3

� 2�
V�
y t�
p nghi�
m c�
a ph�
�
ng tr�
nh l�S=�4; �
� 3
2. 2x  3  x  1  0
� 2x  3  x  1
� 3
2x  3 �0
�
�x �
��
� � 2 � x 4
2x  3  x  1 �
�

�x  4

V�
y t�
p nghi�
m c�
a ph�
�
ng tr�
nh l�S= 4
Câu 3. (3,5 điểm)

 AB  AC  đường cao AH . Các đường phân giác của
Cho tam giác ABC vuông tại A
�
�
BAH
và CAH tương ứng cắt cạnh BC tại M , N . Gọi K là trung điểm AM .
4) Chứng minh tam giác AMC là tam giác cân.
Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 23


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy
2
2
5) Dựng IK  BC tại I . Chứng minh MK  MI .MC và MA  2 MH .MC

1

1
1


2
2
AM
4CK 2 .
6) Chứng minh: AH
Lời giải

1.

�
�
�
Vì AM là tia phân giác của BAH nên BAM  MAH .

0
�
�
Ta có ABC  BCA  90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
0
�
�
Mà HAC  BCA  90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vng)

�
�
��

ABC=HAC
(cùng phụ với BCA )
�
�
�
AMC=ABC+BAM
Ta có:
(tính chất góc ngồi của tam giác)
�
�
�
AMC=HAC+MAH
�
�
AMC=MAC

� ABC cân tại C.
2.

2
CM: MK =MI.MC

Xét KMI và CMK có:

�  MKC
� ( 900 )
MIK

�
Chung AMH

� KMI : CMK (góc - góc)
�

MK MI
=
MC MK (tỉ lệ các cạnh tương ứng)

� MK 2 =MI.MC (điều phải chứng minh)
2
CM: MA =2MH.MC

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 24


Fanpage: www.facebook.com/thayngonguyenthanhduy

Ta có: K là trung điểm của đoạn thẳng MA .
� 2MK=MA � MA2 =4MK 2 � MA2 =4MI.MC

Xét MAH có: K là trung điểm của đoạn thẳng MA .
� KI // AH (  BC )

� KI là đường trung bình của MAH .
� I là trung điểm của đoạn thẳng MH .
1
� MI=IH= MH
2
1

� MA2 =4 MI.MC=4. MH.MC=2MH.MC
2
(điều phải chứng minh)
3. Xét KMC vng tại K, có KI  MC

1
1
1


(1)
2
2
KI
KM
CK 2
AH 2
AH=2 KI � AH  4 KI � KI 
4
Mà
2

2

2

AM=2 KM � AM 2  4 KM 2 � KM 2 

(1) �


AM 2
4

1
1
1


2
2
KI
KM
CK 2

4
4
1


2
2
AH
AM
CK 2
1
1
1
�



2
2
AH
AM
4CK 2 (điều phải chứng minh).
Câu 4. (0,5 điểm)
1) (Dành cho lớp 9A).
�

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  a 4  b 4  c 4  3abc .
2) (Dành cho lớp 9B,9C,9D,9E).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  1  3  x
Lời giải
1) Tìm GTNN của P .

Ngô Nguyễn Thanh Duy

Trang 25