CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
A. Khái niệm hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương
ứng bằng nhau.
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C".

B. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vng
*Hai cạnh góc vng
Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này lần lượt bằng hai cạnh góc vng của tam
giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh )

*Cạnh góc vng và góc nhọn kề cạnh đó
Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một
cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng kia thì hai tam giác vng
đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc )

-1-


*Cạnh huyền – góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc
nhọn của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc)

*Cạnh huyền – cạnh góc vng
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng này bằng cạnh huyền và một
cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.

-2-


I. Lý thuyết:

Câu 1: Phát biều các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi
trường hợp?
Câu 2: Phát biều các trường hợp bằng nhau của tam giác vng? Vẽ hình minh họa cho mỗi
trường hợp?
Câu 3: Phát biều định lí một đường thẳng vng góc với mọt trong hai đường thẳng song
song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 4: Phát biều định lí hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng? Ghi giả
thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 5: Phát biều định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh?
Câu 6: Các em tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liêu quan đến các trường hợp bằng
nhau của tam giác? Kể tên?
II. Bài tập

  40 0 , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính
Bài 1. Cho tam giác ABC có A
các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết
AD = AE.

  DAC
.
a) Chứng minh EAB
.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của DAE
  60 0 . Tính các góc cịn lại của tam giác DAE.
c) Giả sử DAE
  90 0 . Vẽ AD  AB (D, C nằm khác phía đối với AB) và
Bài 3. Cho tam giác ABC có A
AD = AB. Vẽ AE  AC (E, B nằm khác phía đối với AC) và AE = AC. Biết DE = BC.



Tính BAC

-3-


 (E thuộc BC). Chứng
Bài 4. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC
minh rằng:
a) ABE = ACE
b) AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

 ( D thuộc BC). Trên cạnh
Bài 5. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của BAC
AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh
rằng:
a) BDF = EDC.
b) BF = EC.
c) F, D, E thẳng hàng.
d) AD  FC
Bài 6. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D
sao cho OA = OB ; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).
a) Chứng minh OAD = OBC

 và CBD
.
b) So sánh 2 góc CAD
Bài 7. Cho ABC vng ở A. TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh ABC = ABD
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh MBD =  MBC.

Bài 8. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy
điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a)  AOI =  BOI.
b) AB  OI.
Bài 9. Cho ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho
ME = MA.
a) Chứng minh AC // BE.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh
3 điểm I, M, K thẳng hàng.

-4-


Bài 10. Cho ABC vng tại A, có  530


a) Tính C
b) Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD  BA . Tia phân giác của góc B cắt cạnh
AC tại E. Chứng minh BEA  BED
c) Qua c, vẽ đường thẳng vng góc với BE tại H, CH cắt AB tại F. Chứng minh

BHF  BHC
d) Chứng minh BAC  BDF và ba điểm D, E, F thẳng hàng
Bài 11. Cho ABC , có AB = AC và M là trung điểm của BC
a) Chứng minh AMB  AMC
b) Qua A vẽ a  AM . Chứng minh AM  BC và a//BC
c) Qua C, vẽ b//AM. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng a và b. Chứng minh

AMC  CNA
d) Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn MN

Bài 12. Cho ABC , gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao
cho MD = MA. Chứng minh rằng:
a) MAB  MDC
b) AB = AC và AB//CD

  CDB

c) BAC
d) Trên các đoạn thẳng AB, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = AF. Chứng
minh E, M, F thẳng hàng

 cắt AC tại D. Trên
Bài 12. Cho ABC vuông tại A (AB  AC) . Tia phân giác của B
cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Vẽ AH  BC tại H. Chứng minh rằng:
a) ABD  EBD và AD = ED
b) AH//DE
c) Trên tia DE lấy điểm K sao cho DK = AH. Gọi M là trung điểm của đoạn DH.
Chứng minh A, M, K thẳng hàng

 cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy
Bài 13. Cho ABC  AB  AC  . Tia phân giác của A
điểm E sao cho AE = AB
-5-


a) Chứng minh ABD  AED
b) Hai tia AB và CD cắt nhau tại F. Chứng minh DBF  DEC
c) Đường thẳng qua E song song với AD cắt BC tại M. Gọi N là trung điểm của đoạn
thẳng FC. Chứng minh DN//EM
Bài 14. Cho ABC , Gọi D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với

BC cắt AC tại E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
a) AD = EF

b) AE = EC

Bài 15. Cho ABC . Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P sao cho N là
trung điểm của MP. Chứng minh rằng:
a) CP//AB; CP 

1
AB
2

b) BMC  PCM , Từ đó suy ra MN//BC; MN 

1
BC
2

 nhọn. Lấy A trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB. Qua A kẻ đt vuông
Bài 16. Cho xOy
góc với Ox cắt Oy tại M, qua B kẻ đt vng góc Oy cắt Ox tại N. Gọi H là giao điểm của
AM và BN, I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:
a) ON = OM
b) Ba điểm O, H, I thẳng hàng

 C

  60 0 , kẻ BD, CE là các tia phân giác của B,
Bài 17. Cho ABC có A


 D  AC;

E  AB  . BD cắt CE tại I


a) Tính BIC
  F  BC  . Chứng minh rằng:
b) Kẻ IF là các tia phân giác của BIC
+) BEI  BFI
+) BE  CD  BC
+) ID  IE  IF

-6-


Bài 18. Cho ABC nhọn. Vẽ về phía ngồi ABC các đoạn thẳng BD = BA và CE = CA.
Kẻ DH, EK vng góc với đường thẳng BC  H, K  BC  . Chứng minh rằng:

DH  EK  BC
Bài 19. Cho ABC . Trên cạnh AB lấy M và N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đt
song song với BC, cắt AC thứ tự tại D và E. Cmr: MD  NE  BC
BÀI 20 :
Vẽ góc nhọn xAy. Trên tia Ax lấy hai điểm B và C (B nằm giữa A và C). Trên tia Ay lấy
hai điểm D và E sao cho AD = AB; AE = AC
a)

Chứng minh BE = DC

b)


Gọi O là giao điểm BE và DC. Chứng minh tam giác OBC bằng tam giác ODE.

c)

Vẽ trung điểm M của CE. Chứng minh AM là đường trung trực của CE.

Bài 21.
Cho tam giác ABC ( AB< AC ) . Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy
điểm D, sao cho IB = ID. Chứng minh :
a) Tam giác AIB bằng tam giác CID.
b) AD = BC v à AD // BC.
BÀI 22.
Cho tam giác ABC có góc A =350 . Đường thẳng AH vng góc với BC tại H. Trên đường
vng góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho
AH = BD.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.
b) Chứng minh AB//HD.
c) Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.
d) Tính góc ACB , biết góc BDH= 350 .
Bài 23 :
Cho tam giác ABC cân tại A và có

.

1.

Tính

và


2.

Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho AD = AE. Chứng minh : DE // BC.

Bài 24 :
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy D thuộc AC, E thuộc AB sao cho AD = AE.
1.

Chứng minh : DB = EC.

2.

Gọi O là giao điểm của BD và EC. Chứng minh : OBC và ODE là cân.
-7-


3.

Chứng minh rằng : DE // BC.

Bài 25:
Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc C cắt AB tại D. trên tia đối của tia CA lấy điểm E
sao cho CE = CB.
1.

Chứng minh : CD // EB.

2.


Tia phân giác của góc E cắt CD tại F. vẽ CK vng góc EF tại K. chứng minh : CK
Tia phân giác của góc ECF.

Bài 26 :
Cho tam giác ABC vng tại A có

. Vẽ Cx vng góc BC, trên tia Cx lấy điểm E

sao cho CE = CA (CE , CA nằm cùng phía đối BC). trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao
cho BF = BA. Chứng minh :
1.

Tam giác ACE đều.

2.

A, E, F thẳng hàng.

Bài 27 :
Cho tam giác ABC vng góc tại A có góc B = 75º; BC = 10 cm .
a) Tính góc C.
b) Trên cạnh BA kéo dài về phía A đoạn AD = AB, Tính diện tích  ABD
(Gợi ý: Hạ đường cao sẽ có  vng với góc nhọn = 30º )

-8-