9 đề ôn tập giữa học kỳ 2 Toán 11 năm học 2020 - 2021 - Đặng Việt Đông - TOANMATH.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẶNG VIỆT ĐÔNG. TUYỂN TẬP 9 ĐỀ ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II MÔN TOÁN – LỚP 11. NĂM HỌC 2020 - 2021.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 1. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận). PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n2  1 n 1 A. . B. n  2n 2 . C. . 2n  3 2n  1 Câu 2. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? n 2n  1 1 3 A. . B. . C.   . n5 n 1 4 2n  1 Câu 3. [NB] lim 3 bằng n 5 A. 0 . B.  . C.  . n 1 5 Câu 4. [NB] lim n n1 bằng 4 5 A.  . Câu 5. Câu 6.. 1 . 2n  1. D.. 2n  1 . n2  1. D. 2 .. 1 D.  . 5. C. 0 .. B.  .. D.. [NB] Cho dãy số  un  thỏa mãn lim  un  3  0 . Tìm lim un  0 A. lim un  2 . B. lim un  3 . [NB] Dãy số nào có giới hạn khác 0 1 1 A. un  . B. un  2 . n n. C. lim un  0 .. D. lim un  3 .. 1 C. un  1  . n. 1 D. un    . 2. n. n. Câu 8.. 1 [NB] Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng tổng quát un    . Tính tổng của cấp số nhân đó 2 1 1 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 4 2 [NB] Có bao nhiêugiá trị của a để giới hạn lim  x  3 x  2   0. Câu 9.. A. 1. B. 0 . 2 [ NB] Tính I  lim  x  x  3 .. Câu 7.. x a. C. 2 .. D. 3 .. C. 6 .. D.  5 .. x 0. A. 0 . B. 3 . 3 Câu 10. [ NB] lim  x  x  3 bằng x . B.  . C.  . 6x  2 Câu 11. [ NB] Tính N  lim . x  x  1 A. 6 . B. 2 . C. 1 . 3x  2 Câu 12. [ NB] lim bằng x 3 x  3 A.  . B.  . C. 2 . Câu 13. [NB] Nếu lim f  x   5 thì lim 3x  4 f  x   bằng bao nhiêu? x0 x0 A.  17 . B. 1 . C. 1 . A. 3 .. D.  3 .. D. 1 .. D.  3 . D. 20 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 14. [NB] Cho các hàm số y  cos x  I  , y  sin x  II  và y  tan x  III  . Hàm số nào liên tục trên  ? A.  I  ,  II  . B.  I  . C.  I  ,  II  ,  III  . D.  III  . Câu 15.. Câu 16. Câu 17. Câu 18..  x2  1 khi x  1  [NB] Tìm m để hàm số f  x    x  1 liên tục tại điểm x0  1 . m  2 khi x  1  A. m  3 . B. m  0 . C. m  4 . D. m  1 . [NB] Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi.     [NB] Cho hình hộp ABCD. A B C D . Các vec tơ nào sau đây đồng phẳng?             A. AB , AD , AA . B. BA , BC , B D  . C. BC , BB , BD  . D. DA , AD , AC . [NB] Cho tứ diện ABCD có I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đẳng thức nào sau đây là đúng?  1    1    1    1   A. IJ  AD  CB . B. IJ  AC  DB . C. IJ  AD  BC . D. IJ  CA  DB . 2 2 2 2 [NB] Trong không gian cho 3 đường thẳng a; b; c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu a  b và c  b thì a / / c . B. Nếu a / / b và c  a thì c  b . C. Nếu a  c và b  c thì a  b . D. Nếu a  b và b  c thì a  c .   [NB] Trong không gian cho 2 vectơ a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng?        A. a  b  a.b  0 . B. a  b  a.b  0 .         C. a  b  a  b . D. a  b  a, b  900 .. . Câu 19.. Câu 20.. . . . . . . .  . 2n  n 2  5 . Tính lim un . n.4n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 1  2  3  ...  n Câu 22. [TH] Cho dãy số  un  với un  . Khi đó lim  un  1 bằng 1010n 2  1011 2020 2019 2021 2021 A. . B. . C. . D. . 2021 2020 2020 2022 Câu 23. [TH] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? 3n 2  n 2  n3  n 2 4n  5n 2 2n  4n 2 A. lim 2 . B. lim . C. lim 2 . D. lim . n 7 n2  4 n 4 3n3  5 x2  2x  3 Câu 24. [TH] lim bằng x 3 x3 A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Câu 21. [TH] Cho dãy số  un  với un . Câu 25. [TH] Cho hàm số f ( x )  2 x 2  4 x  5 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. lim f ( x)   . B. lim f ( x )   . C. lim f ( x)  2 . D. lim f ( x)  2 . x . x . x . x . 2. Câu 26. [TH] lim x2. A.  .. x  x 1 bằng x2  4 B. 3 .. C. 0 .. D.  .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  x3  8 khi x  2  Câu 27. [TH] Cho hàm số f  x    x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm  mx  1 khi x  2  số liên tục tại x  2 . 17 15 13 11 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 2 2  x 1 khi x  1  Câu 28. [TH] Cho hàm số f  x    x  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 khi x  1 . Câu 29.. Câu 30.. Câu 31.. Câu 32. Câu 33.. Câu 34.. A. f 1 không tính được.. B. lim f  x   0 .. C. f  x  gián đoạn tại x  1 .. D. f  x  liên tục tại x  1 .. x 1.  x 1 khi x  1  x  1 [TH] Giá trị của tham số a để hàm số f  x    liên tục tại điểm x  1 là ax  1 khi x  1  2 1 1 A. 1 . B.  . C. 1. D. . 2 2  x 1 1 khi 1  x  2  [TH] Tìm m để hàm số f  x    x  2 liên tục tại điểm x  2 .  1 m khi x2  3 1 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 2 2 I , J [TH] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Gọi lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng đây đúng  định  nào sau   ?      A. GA  GB  GC  GD  2IJ B. GA  GB  GC  GD  0 .          C. GA  GB  GC  GD  GI  GJ . D. AB  DC  2IJ .   [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B'C ' D ' có cạnh 2a . Tích vô hướng AC. AD' bằng: A. 4a . B. 2a 2 . C. a 2 . D. 4a 2 . [TH] Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' cạnh a . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng: A. 30  . B. 90  . C. 45 . D. 60  . [TH] Cho tứ diện ABCD có AC  6; BD  8 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC .. Biết AC  BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN . A. MN  10 . B. MN  7 . C. MN  10 . D. MN  5 . Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD có AB  AC ; AB  BD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD . Chọn khẳng định đúng: A. AB  PQ . B. AB  CD . C. BD  AC . D. AC  PQ . PHẦN II. TỰ LUẬN 1 1 1   ...  n 2 2 . Bài 1. [ VD] Tính giới hạn sau: lim n  1 1 1   ...  n 3 3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP . Bài 3 . Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim. x . Bài 4.. . 3. . 8x3  5 x2  1  9 x2  3x  5  mx .. cos 2 x.sin 2 x  m cos x  3m  1 Chứng minh phương trình  m luôn có nghiệm với mọi m  1 . sin 2 x  cos x  3 HẾT. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. 1D 16A 31D. Ôn tập BKII Toán 11. ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM 2A 3A 4D 5D 6C 7A 8C 9B 10C 11A 12A 13D 14B 15B 17B 18C 19B 20D 21D 22C 23D 24D 25B 26D 27D 28D 29C 30D 32D 33D 34D 35A. LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n2  1 n 1 A. . B. n  2n 2 . C. . 2n  3 2n  1 Lời giải 1 1 0 Ta có lim  lim n   0 1 2 2n  1 2 n Câu 2. [NB] Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? 2n  1 A. . n5. Câu 3.. 1 B. . n 1. 1 2 2n  1 n  22 Ta có lim  lim 5 1 n5 1 n 2n  1 [NB] lim 3 bằng n 5 A. 0 . B.  .. D.. 1 . 2n  1. D.. 2n  1 . n2  1. n. 3 C.   . 4 Lời giải. C.  . Lời giải. D. 2 .. 2 1  3 2 2n  1 n n 00 Ta có lim 3  lim 5 n 5 1 1 3 n Câu 4.. [NB] lim. 1  5n bằng 4n  5n1. A.  .. B.  .. C. 0 .. 1 D.  . 5. Lời giải n. 1   1 1 1 5 1 5   Ta có lim n n1  lim  n 4 5 5 5 4  5  5   [NB] Cho dãy số  un  thỏa mãn lim  un  3  0 . Tìm lim un  0 n. Câu 5.. A. lim un  2 .. B. lim un  3 .. C. lim un  0 . D. lim un  3 . Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số ta có lim  un  3  0  lim un  3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6.. [NB] Dãy số nào có giới hạn khác 0 1 A. un  . n 1 C. un  1  . n. Ôn tập BKII Toán 11. 1 . n2 n 1 D. un    . 2 Lời giải. B. un . n. 1 1 1 lim  lim 2  lim    0 . n n 2  1 lim  1    1  0 .  n n. Câu 7.. 1 [NB] Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng tổng quát un    . Tính tổng của cấp số nhân đó 2 1 1 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 4 Lời giải Gọi công bội của cấp số nhân là q n. 1 1 1 1 un     u1  ; u2   q  2 4 2 2 u Tính tổng của cấp số nhân là S  1  1 1 q. Câu 8.. [NB] Có bao nhiêugiá trị của a để giới hạn lim  x 2  3 x  2   0 x a. B. 0 .. C. 2 . Lời giải a   1 . lim  x 2  3 x  2   0  a 2  3a  2  0   x a  a  2 Vậy có hai giá trị của a . [ NB] Tính I  lim  x 2  x  3 .. D. 3 .. A. 0 .. D.  5 .. A. 1.. Câu 9.. x 0. B. 3 .. C. 6 . Lời giải. Ta có I  lim  x 2  x  3  02  0  3  3 x0. Câu 10. [ NB] lim  x 3  x  3 bằng x . C.  . Lời giải 1 3  Ta có lim  x 3  x  3  lim x 3 1  2  3    . x  x  x   x 1 3  (Vì lim x3   và lim  1  2  3   1  0 ). x x  x   x 6x  2 Câu 11. [ NB] Tính N  lim . x  x  1 A. 6 . B. 2 . C. 1 . Lời giải A. 3 .. B.  .. D.  3 .. D. 1 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 6 6x  2 x 6 Ta có N  lim  lim x  x  1 x  1 1 x 3x  2 Câu 12. [ NB] lim bằng x 3 x  3 A.  . B.  .. Ôn tập BKII Toán 11. C. 2 . Lời giải. D.  3 .. 3x  2   (vì lim  3x  2  3.3  2  11  0 và lim  x  3  0 ; x  3  0 ). x 3 x  3 x 3 x 3 Câu 13. [NB] Nếu lim f  x   5 thì lim 3x  4 f  x   bằng bao nhiêu? x0 x0 A.  17 . B. 1 . C. 1 . D. 20 . Lời giải Ta có: lim f  x   5 nên lim 3 x  4 f  x    lim(3 x)  4 lim f  x   3.0  4.5  20 .. Ta có lim. x0. x 0. x 0. x 0. Câu 14. [NB] Cho các hàm số y  cos x  I  , y  sin x  II  và y  tan x  III  . Hàm số nào liên tục trên  ? A.  I  ,  II  . B.  I  . C.  I  ,  II  ,  III  . D.  III  . Lời giải Ta có: Hàm số y  cos x có tập xác định là  nên liên tục trên  . Hàm số y  sin x có tập xác định là  0;    nên không liên tục trên  ..   Hàm số y  tan x có tập xác định là  \   k , k    nên không liên tục trên  . 2  2  x 1 khi x  1  Câu 15. [NB] Tìm m để hàm số f  x    x  1 liên tục tại điểm x0  1 . m  2 khi x  1  A. m  3 . B. m  0 . C. m  4 . D. m  1 . Lời giải TXĐ: D    x0  1  D . Ta có : f 1  m  2 ..  x  1 x  1  lim x  1  2 . x2  1  lim   x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 Hàm số f  x  liên tục tại điểm x0  1 khi và chỉ khi lim f  x   f 1  m  2  2  m  0 . lim. x 1. Câu 16. [NB] Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Lời giải Do phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên không thể có đáp án A. Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. ABC D . Các vectơ nào sau đây đồng phẳng?       A. AB , AD , AA . B. BA , BC , B D  .       C. BC , BB , BD  . D. DA , AD , AC . Lời giải. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.     Ta có BA , BC chứa trong mp ( ABCD ) và B D  song song với mp ( ABCD ) nên các vectơ BA   , BC và B D  đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho tứ diện ABCD có I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đẳng thức nào sau đây là đúng?  1    1   A. IJ  AD  CB . B. IJ  AC  DB . 2 2  1    1   C. IJ  AD  BC . D. IJ  CA  DB . 2 2 Lời giải     Ta có: IJ  IA  AD  DJ .     IJ  IB  BC  CJ .              Suy ra: 2 IJ  IA  IB  AD  BC  DJ  JC  0  AD  BC  0  AD  BC .  1   Vậy: IJ  AD  BC . 2 Câu 19. [NB] Trong không gian cho 3 đường thẳng a; b; c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu a  b và c  b thì a / / c . B. Nếu a / / b và c  a thì c  b . C. Nếu a  c và b  c thì a  b . D. Nếu a  b và b  c thì a  c . Lời giải Cho 2 đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng thứ 3 vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng đó thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. Vậy: Nếu a / / b và c  a thì c  b là khẳng định đúng.   Câu 20. [NB] Trong không gian cho 2 vectơ a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng?        A. a  b  a.b  0 . B. a  b  a.b  0 .         C. a  b  a  b . D. a  b  a, b  900 ..  .  . . .  .  . .  . .  . Lời giải     Phương án A sai nếu a  0 hoặc b  0 . Phương án B sai vì tích của 2 vec tơ là 1 số. Phương án C sai. Theo định nghĩa, 2 đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 nên D đúng. 2n  n 2  5 Câu 21. [TH] Cho dãy số  un  với un  . Tính lim un . n.4n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải 2 5 2n  n  5 2  1 2 2n  n 2  5 n = 1  2  1 5  . n Ta có: un  = =   n n n n.4 n.4 4 4 n  n 2  n  5  5 1 Vì lim 2  0 nên lim  2  1  2   3 và lim n  0 . Do đó lim un  0 . n n  4  Vậy lim un  0 . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 1  2  3  ...  n . Khi đó lim  un  1 bằng 1010n 2  1011 2020 2019 2021 2021 A. . B. . C. . D. . 2021 2020 2020 2022 Lời giải n  n  1 n2  n 1  2  3  ...  n Ta có: un  = = . 1010n 2  1011 2 1010n 2  1011 2020n 2  2022. Câu 22. [TH] Cho dãy số  un  với un . Do đó.   n2  n lim  un  1 = lim   1 2  2020n  2022  1   1   1 2021 n = lim  1 = .  1 = 2020 2020  2020  2022  n2   2021 Vậy lim  un  1  . 2020 Câu 23. [TH] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? 3n 2  n 2  n3  n 2 A. lim 2 . B. lim . n 7 n2  4 4n  5n 2 2n  4n 2 C. lim 2 . D. lim . n 4 3n3  5 Lời giải Ta có: 1 3 3n 2  n n = 3. +) lim 2 = lim 7 n 7 1 2 n 2 1 1 3 2  n3  n 2 n =  . +) lim = lim n 1 4 n2  4  n n3 4 5 4n  5n 2 n +) lim 2 = lim = 5 . 4 n 4 1 2 n 2 4  2 2n  4n 2 n n = 0. +) lim = lim 5 3n3  5 3 3 n 2 2n  4n Vậy lim  0. 3n3  5 3n 2  n 4n  5n 2 2  n3  n 2 Nhận xét: Các dãy số trong các giới hạn lim 2 , lim 2 , lim đều có số n 7 n 4 n2  4 mũ của n cao nhất ở tử lớn hơn hoặc bằng số mũ cao nhất ở mẫu nên các giới hạn đó đều khác 0. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. x2  2x  3 bằng x 3 x3 A. 4 . C. 2 .. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 24 . [TH] lim. B. 0 . D. 4 .. Lời giải  x  1 x  3  lim x  1  4 x  2x  3  lim Ta có lim .   x 3 x 3 x 3 x3 x3 2. Câu 25. [TH] Cho hàm số f ( x )  2 x 2  4 x  5 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. lim f ( x)   . B. lim f ( x )   . x . x . C. lim f ( x)  2 .. D. lim f ( x)  2 .. x . x . Lời giải Hàm số f ( x )  2 x 2  4 x  5 xác định trên  .. 4 5 4 5  f ( x)  2 x2  4 x  5  x 2  2   2   x 2   2 . x x  x x  Vì lim x   và lim 2  x . Câu 26. [TH] lim x2. x . 4 5  2  2  0 nên lim 2 x2  4 x  5   . x  x x. x2  x  1 bằng: x2  4 B. 3 . D.  . Lời giải. A.  . C. 0 ..   lim  x  4   0 và x  4  0 khi x  2. Ta có: lim x 2  x  1  5  0 . x2. 2. 2. x  2. . .. x2  x 1   . x2 x2  4  x3  8 khi x  2  Câu 27. [TH] Cho hàm số f  x    x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm  mx  1 khi x  2  số liên tục tại x  2 . 17 15 13 11 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 2 Lời giải Ta có: Hàm số f  x  xác định trên  . Suy ra lim. x3  8 Ta có f  2   2m  1 và lim f  x   lim  lim  x 2  2 x  4   12 . x2 x2 x  2 x 2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) Để f  x  liên tục tại x  2 thì lim f  x   f  2   2m  1  12  m  x2. 11 . 2. 2.  x 1 khi x  1  Câu 28. [TH] Cho hàm số f  x    x  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 khi x  1 . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A. f 1 không tính được.. B. lim f  x   0 .. C. f  x  gián đoạn tại x  1 .. D. f  x  liên tục tại x  1 .. x 1. Lời giải Ta có: Hàm số f  x  xác định trên . x2  1  lim  x  1  2 và f 1  2 . x 1 x 1 x  1 x 1 Suy ra hàm số đã cho liên tục tại x  1 .  x 1 khi x  1  Câu 29. [TH] Giá trị của tham số a để hàm số f  x    x  1 liên tục tại điểm x  1 là 1 ax  khi x  1  2 1 1 A. 1 . B.  . C. 1. D. . 2 2 Lời giải Ta có: Hàm số f  x  có tập xác định 0;  lim f  x   lim. Ta có: lim f  x   lim x 1. x 1. x 1  lim x  1 x 1. x 1. . . x 1. . x 1.  lim x 1. 1 1  x 1 2. 1 1 1  lim f  x   lim  ax    a  và f 1  a  x 1 x 1  2 2 2 1 1 Hàm số liên tục điểm x  1  a    a  1. 2 2  x 1 1 khi 1  x  2  Câu 30. [TH] Tìm m để hàm số f  x    x  2 liên tục tại điểm x  2 .  1 m khi x2  3 1 A. B. 2 C. 1 D. 2 2 Lời giải Ta có: x  1 1 x2 1 1 lim  lim  lim  x 2 x 2 x2  x  2  x  1  1 x 2 x  1  1 2. . . . . 1 1  1 m  m  x2 2 2 Câu 31. [TH] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào    sau  đây đúng ?      A. GA  GB  GC  GD  2IJ B. GA  GB  GC  GD  0 .          C. GA  GB  GC  GD  GI  GJ . D. AB  DC  2IJ . Lời giải Ta có:                  AB  DC  AI  IJ  JB  DI  IJ  JC  AI  DI  JB  JC  2IJ  0  0  2IJ  2IJ   Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B'C ' D ' có cạnh 2a . Tích vô hướng AC. AD' bằng: A. 4a. . B. 2a 2 . C. a 2 . D. 4a 2 .. Hàm số liên tục tại điểm x  2 khi và chỉ khi lim f ( x)  f (2) . .  .  .  . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải Ta có:.  ' Tam giác ACD là tam giác đều cạnh 2 2a nên AC. AD  2a 2.2a 2.cos600  4a 2 Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' cạnh a . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng: '. A. 30  .. B. 90  .. C. 45 . Lời giải. D. 60  ..  AD  60 (Vì tam giác C AD là tam giác đều + Có AC  AC  nên  AC; DA   AC ; DA  C. .  . . cạnh bằng a 2 ). Câu 34. [TH] Cho tứ diện ABCD có AC  6; BD  8 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Biết AC  BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN . A. MN  10 .. B. MN  7 .. C. MN  10 . Lời giải. D. MN  5 .. + Gọi P là trung điểm của CD . Dễ thấy MP  AC và NP  BD ( Tính chất đường trung bình); mà AC  BD  MP  NP hay tam giác MNP vuông tại P . 1 1 + Lại có MP  AC  3; NP  BD  4  MN  MP 2  NP 2  32  42  5 . 2 2 Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD có AB  AC ; AB  BD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD . Chọn khẳng định đúng: ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. B. AB  CD . D. AC  PQ . Lời giải. A. AB  PQ . C. BD  AC ..      1  PQ  PA  AC  CQ + Có      PQ  2  PQ  PB  BD  DQ   1    1 + Vậy PQ. AB  AC  BD . AB  . 2 2 (Vì AB  AC ; AB  BD ).. . .  .  AC  BD  .. .     AB. AC  BD. AB  0  AB  PQ .. . PHẦN II. TỰ LUẬN 1 1 1   ...  n 2 2 Bài 1. [ VD] Tính giới hạn sau: lim n  1 1 1   ...  n 3 3 Lời giải Tử và mẫu là tổng các số hạng của cấp số nhân nên ta có: 1 1   1 1 2 1   ...  n    1 2 2 1 2. n 1.   1 n 1   2 1     .   2  . n 1. 1 1   n 1 1 1 3  1  3  1   ...  n   1     . 1 3 3 2   3   1 3 n 1   1  n1  1 1 1 2 1      1   1   ...  n   2   4 4 2  2 2  lim  lim  lim  n1  . n  1 n  n  n  1 1 3 3  1  3 1 1   ...  n 1  1        3 3 2   3    3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 1 1  ...  n 4 2 2  . Vậy: lim n  1 1 1   ...  n 3 3 3 Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP . 1. Lời giải.   Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và MN //AC nên: MN , AP  AC, AP .. .  . . 2. a 5 a Vì ADP vuông tại D nên AP  AD  DP  a     . 2 2 2. 2. 2. 2. a 5 3a AAP vuông tại A nên AP  AA  AP  a   .   2  2  2. 2. 2. a2 a 5  . 4 2 Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC  a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:  CP 2  AC 2  AP 2  2 AC . AP.cos CAP  1  cos CAP 2   45  90  CAP. CC P vuông tại C  nên CP  CC2  C P 2  a 2 .   45 hay MN;  Vậy  AC; AP  CAP AP  45 .. . . . . Bài 3 . Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim. x . . 3. . 8x3  5 x2  1  9 x2  3x  5  mx .. Lời giải Tính giới hạn lim. x . . 3. . 8x3  5 x2  1  9 x2  3x  5  mx .. .  Nếu m  5 thì lim. x .  lim  x   . . 3. . 3. 8x3  5 x2  1  9 x 2  3x  5  5 x.  . 8 x3  5 x 2  1  2 x . . . 9 x 2  3 x  5  3 x  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 3 2 2  3 3 2 3 2 8 x  5 x  1  (2 x ) 9 x  3 x  5  3x     lim   2  x  3 3 2 3 3 2 2 9 x 2  3x  5  3x   8x  5 x  1  2 x  8x  5 x  1  4 x     3 2 3 2 2   8x  5x  1  8x 9 x  3x  5  9 x   lim   2 x  3 5  3 8 x 3  5 x 2  1  2 x  3 8 x3  5 x 2  1  4 x 2  x  9   2  3x   x x       1  5  2 x 5 2  x3    x  x     lim   2 x       3 5  1 1 1 1  x 2  3 8  5   3   2 3 8  5   3  4   x  9  x  x 2  3   x x  x x       5 3   2 4 4 33 1.. . . . . . . . Nếu m  5 thì lim. x . . 3.  lim   x     . . Nếu m  5 thì lim. x . . 3. . 8 x 3  5 x 2  1  9 x 2  3 x  5  mx. . 3.  . 8x3  5x 2  1  2 x . . . 9 x2  3x  5  3x  (m  5) x  . 8 x 3  5 x 2  1  9 x 2  3 x  5  mx. .  . . Bài 4.. . .  lim  3 8 x3  5 x 2  1  2 x  9 x 2  3 x  5  3 x  ( m  5) x   x      . cos 2 x.sin 2 x  m cos x  3m  1 Chứng minh phương trình  m luôn có nghiệm với mọi m  1 . sin 2 x  cos x  3 Lời giải 2 2 4 cos x.sin x  m cos x  3m  1 cos x  cos 2 x  m cos x  3m  1  m  m sin 2 x  cos x  1 cos2 x  cos x  2 Điều kiện: cos x  1 . Với điều kiện trên ta có Phương trình  cos4 x  cos2 x  m cos x  3m  1  m cos2 x  cos x  2. . .  cos4 x   m  1 cos 2 x  2m cos x  m  1  0 . Xét hàm số f  x   cos4 x   m  1 cos 2 x  2m cos x  m  1 là hàm liên tục trên  nên cũng liên.     tục trên  0;  . Mặt khác f    1  m  0 (vì m  1 ) và  2 2 f  0   1   m  1  2m  m  1  1  0 .   Suy ra: f  0  . f    0 . 2   Do đó phương trình f  x   0 luôn có ít nhất một nghiệm x0   0;  (thỏa mãn điều kiện).  2 ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy phương trình. Ôn tập BKII Toán 11. cos 2 x.sin 2 x  m cos x  3m  1  m luôn có nghiệm với mọi m  1 . sin 2 x  cos x  3. (đpcm) HẾT.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 2. Câu 1.. Câu 2.. B. lim q n  0. 1  0. n. D. lim. [NB] Tính giới hạn lim A.. Câu 3.. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 5 câu tự luận). [NB] Phát biểu nào sau đây là sai ? A. lim un  c ( un  c là hằng số ). C. lim. Ôn tập BKII Toán 11. 2 . 3. [NB] Cho hai dãy số. 2n  1 . 3n  2 3 B. . 2.  un . C..  q  1 .. 1  0 , với k   * . k n. 1 . 2. D. 0 .. và  vn  có số hạng tổng quát un . 2n  1 2  3n và vn  với n  1. n 1 n. Tính lim  un  vn  . A. 5 . Câu 4.. B.. C. 1 .. D.. n2  1 ; vn  n , với n  1 . Tính lim  vn  un  . n C.  . D.  . n 1 3n   với un  n ; vn    ; wn  n 1 , với n  1 . 2 4 3. B. 0 .. [NB] Cho ba dãy số:  un  ;  vn  ;  wn . Trong ba dãy số đã cho, có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0? A. 1. B. 2. C. 0. n. Câu 6.. 5 . 2. [NB] Hai dãy số  un  và  vn  cho bởi un  A. 1 .. Câu 5.. 1 . 2. [NB] Hai dãy số  un  và  vn  cho bởi un  A.. 8 . 15. B.   .. D. 3.. n. 2 4 ; vn  n n  1 . Tính lim  un .vn  . n 5 3 C. 0 .. D.  .. Câu 7. [NB] Cho hai dãy  un  ;  vn  biết u n  4 n , n  * , vn  2.3n  4 n , n   * . Giới hạn lim. un vn. bằng A. 1 .. B.. 1 . 2 x2  2 x  1 Câu 8. [NB] Giới hạn lim bằng x1 2 x3  2. C.. 4 . 3. D.. A.   .. B. 0 .. C.. 1 . 2. D.   .. C. 0 .. D.   .. C. 14 .. D. 6 .. x3 bằng x 3 5 x  15 1 1 A. . B. . 5 5 Câu 10. [ NB] Giới hạn lim  x 2  3 x  4  bằng. 1 . 3. Câu 9. [NB] Giới hạn lim. x 2. A. 6 .. B. 2 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x2  x  1 Câu 11. [ TH] Giới hạn lim bằng x 1 x2  1 A.  . B. 1 .. Câu 12. [ TH] Giới hạn lim. x . A. 1 .. Ôn tập BKII Toán 11. C. 1 .. D.  .. C.  .. 1 D.  . 2. x2  2 x  3  x bằng 2x 1. B. 0 .. Câu 13. [NB] Cho lim f  x   2, lim g  x   3 . Tính lim  f  x   2 g  x   . x 1 x 1 x 1 A. 4 . B. 8 . C. 1 . D. 5 . Câu 14. [NB] Hàm số nào dưới đây liên tục tại x  1 ? x2  1 x2 x2 A. y  . B. y  . C. y  x  2 . D. y  . x 1 x 1 x 1 1 Câu 15. [NB] Số điểm gián đoạn của hàm số y  4 là x  3x2  2 A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 16. [NB] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của BB '. Ảnh của đoạn thẳng A ' M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng  ABCD  là đoạn thẳng A. AM . B. AB . C. A ' B . D. A ' B ' . Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào dưới đây đúng?       A. Ba vectơ AD , A ' C ', DD ' đồng phẳng. B. Ba vectơ AB, BC , DD ' đồng phẳng.       C. Ba vectơ AB, AD , AA ' đồng phẳng. D. Ba vectơ B ' C ', AD, DC đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AB  AD  AA '  AC ' . B. AB  AD  AA '  0 .       C. AC '  A ' C . D. AD  DC  DD '  DB ' .   Câu 19. [NB] Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ – không. Tìm mệnh đề đúng.        A. u.v  u.v.cos (u , v ) . B. u.v  u . v .         C. u.v  u . v .cos (u, v) . D. u.v  cos (u , v ) . Câu 20. [NB] Cho hình hộp ABCD. ABCD . Tìm mệnh đề đúng.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A.     A. ( AA ', BC )  ( BD , BC ) .     C. ( AA ', BC )  ( AB , BC ) . 4 n  2021 Câu 21. [TH] Tính giới hạn lim . 2n  1. A. 4 .. B. 2 .. Ôn tập BKII Toán 11.     B. ( AA ', BC )  ( AC , BC ) .     D. ( AA ', BC )  ( BB ', BC ) .. C.. 1 . 2. D. 2021 .. 2 4 2n Câu 22. [ TH] Tính tổng S  1    ...  n  ... 3 9 3 A. S  3 . B. S  4 . C. S  6 . D. S  5 . n 3 1 a a Câu 23. [ TH] Cho lim n là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a  b  ( a , b  Z và n 2  2.3  1 b b A. 1. B. 3 . C. 1. D. 0 . 3 Câu 24. [ TH] Giá trị của giới hạn lim  x  x  1 là x . B.  . C. 0 . D. 1 . 2 x  x 1 Câu 25. [TH] Tìm giới hạn A  lim . x 1 x 1 1 A.  B. . C. 1 . D.  . 2 4x  1  1 Câu 26. [TH] Tính giới hạn K  lim . x 0 x 2  3x 2 2 4 A. K  0 . B. K   . C. K  . D. K  . 3 3 3 2 x 1 Câu 27. [TH] Cho hàm số f ( x)  2 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng nào sau x  5x  6 đây? A.  ;3 . B.  4;7  . C.  3;2  . D.  2;   . A.  ..  x 1  2 khi x  5  Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x)   x  5 .Để hàm số f  x  liên tục tại x  5 thì a thuộc a  1 khi x  5  khoảng nào dưới đây?  3  1 1  3  A. 1;  . B.  0;  C.  ;1 D.  ; 2  .  2  2 2  2  x4 Câu 29. [TH] Cho hàm số f ( x)  2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x  x6 ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A. Hàm số liên tục trên   ;  2  ,  2;3  và  3;    . B. Hàm số liên tục trên   ;  3  ,  3;2  và  2;    . C. Hàm số liên tục trên  4;  3 ,  3;2  và  2;    . D. Hàm số liên tục trên  4;  2  ,  2;3  và  3;    . Câu 30. [TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ? 3 2x  5 A. y  sin x  2 tan x . B. y  . C. y  2 . D. y  9  x 2 . cos x  1 x  x 1   Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. AB C D  . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DD ' ? A. 450 . B. 600 . C. 1200 . D. 900 . Câu 32. [TH] Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:.     C. AB '.CD '  0 ..  . A. AD '.CC '  a2 .. B. AD '.AB '  a2 .  D. AC '  a 3 .       Câu 34. [ TH] Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích (biểu     diễn) véc tơ BC  qua các véc tơ a, b, c .                 A. BC    a  b  c . B. BC    a  b  c . C. BC   a  b  c . D. BC   a  b  c . Câu 35. [ TH] Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Biết luôn tồn tại số thực k.   . . thỏa mãn đẳng thức vecto AB  AC  AD  k.AG . Hỏi số thực đó bằng bao nhiêu ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . II. TỰ LUẬN Câu 1 [TH] Tính giới hạn của các dãy số sau: a. un  n n  1  n .. . b. un . Câu 2.. Câu 3. Câu 4.. . 4n 2  n  1  n. . 9n 2  3n [ VD] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh A’B’ và BC . a) Chứng minh rằng MN  AC ' . b) Chứng minh rằng AC '   A ' BD  . 2 1  ax 2  bx  1 c. x 1 x3  3x  2  x3  8x  m khi x  1  [VD] Cho hàm số f  x    x  1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm n khi x  1 . [VDC] Tìm a , b , c   để lim. số f  x  liên tục tại x  1 , khi đó hãy tính giá trị của biểu thức P  m  n ? Câu 5.. [VD] Chứng minh phương trình  m 2  1 x 3  2m 2 x 2  4 x  m 2  1  0 có đúng ba nghiệm phân biệt.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. LỜI GIẢI CHI TIẾT I. TRẮC NGHIỆM 1.B 11.D 21.B 31.D Câu 1.. 2.A 12.A 22.A 32.C. 3.C 13.A 23.D 33.A. 4.B 14.B 24.A 34.C. BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.C 7.A 15.B 16.B 17.D 25.B 26.B 27.D 35.D. [NB] Phát biểu nào sau đây là sai ? A. lim un  c ( un  c là hằng số ). C. lim. 1  0. n. B. lim q n  0 D. lim. 8.B 18.A 28.A. 9.B 19.C 29.D. 10.D 20.D 30.C.  q  1 .. 1  0 , với k   * . k n. Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim q n  0  q  1 . Câu 2.. [NB] Tính giới hạn lim A.. 2 . 3. 2n  1 . 3n  2 3 B. . 2. C.. 1 . 2. D. 0 .. Lời giải. 1 2 2n  1 n  2. Ta có: lim  lim 2 3 3n  2 3 n Câu 3.. [NB] Cho hai dãy số.  un . và  vn  có số hạng tổng quát un . 2n  1 2  3n và vn  với n  1. n 1 n. Tính lim  un  vn  . A. 5 .. B.. 1 . 2. C. 1 .. D.. 5 . 2. Lời giải Ta có: 1  n 2   2n  1 n lim un  lim  lim   2. n 1  1 n 1    n 2  n  3 2  3n n   3 . lim vn  lim  lim  n n Theo định lý: Nếu lim un  a ; lim vn  b (với a , b   ) thì lim  un  vn   a  b . Vậy lim  un  vn   2   3  1 . Câu 4.. [NB] Hai dãy số  un  A. 1 .. n2  1 và  vn  cho bởi un  ; vn  n , với n  1 . Tính lim  vn  un  . n B. 0 . C.  . D.  . Lời giải. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. . Ta có lim  vn  un   lim  n . . Câu 5.. Ôn tập BKII Toán 11. n2  1  1   lim  0. n  n. [NB] Cho ba dãy số:  un  ;  vn  ;  wn  với un . n 1 3n   ; ; w  , với n  1 . v  n   n 2n 4n 1 3. Trong ba dãy số đã cho, có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0? A. 1. B. 2. C. 0. Lời giải Ta thấy: lim q n  0 nếu q  1 ; lim q n    nếu q  1 . Do đó:. D. 3.. n. Câu 6.. 1 1  lim un  lim    0 vì 0   1 2  2 n     lim vn  lim      vì  1 3 3  1  3 n  3n 3  lim wn  lim n1  lim  .    0 vì 0   1 . 4 4  4  4   2n 4n [NB] Hai dãy số  un  và  vn  cho bởi un  n ; vn  n n  1 . Tính lim  un .vn  . 5 3 A.. 8 . 15. B.   .. D.  .. C. 0 . Lời giải. n. n. 2 4 Ta có lim  un .vn   lim  n . n 5 3. n.  8 8   lim    0 vì 0   1 . 15  15  . Câu 7. [NB] Cho hai dãy  un  ;  vn  biết u n  4 n , n  * , vn  2.3n  4 n , n   * . Giới hạn lim. un vn. bằng A. 1 .. B.. 1 . 2. C.. 4 . 3. D.. 1 . 3. 1 . 2. D.   .. Lời giải u 4 1  lim  1. Ta có: lim n  lim n n n vn 2.3  4 3 2.    1 4 2 x  2x 1 Câu 8. [NB] Giới hạn lim bằng x1 2 x3  2 n. B. 0 .. A.   .. C. Lời giải. 2. Ta có: lim x1. x  2x 1 3. 2x  2. Câu 9. [NB] Giới hạn lim x 3. 2 x  1   lim x1 2  x  1 x 2  x  1  .  lim x 1 2. x 1. x. 2. .  0..  x 1. x3 bằng 5 x  15. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.. 1 . 5. B.. 1 . 5. C. 0 .. Ôn tập BKII Toán 11 D.   .. Lời giải Với x  3 thì x  3  3  x . x 3  x  3 1 .  lim  x3 5 x  15 x 3 5 x  15 5 Câu 10. [ NB] Giới hạn lim  x 2  3 x  4  bằng. Ta có: lim. x 2. B. 2 .. A. 6 .. C. 14 . Lời giải. D. 6 .. Ta có: lim  x 2  3x  4   4  6  4  6 . x 2. Câu 11. [ TH] Giới hạn lim x 1. A.  .. x2  x  1 bằng x2  1 B. 1 .. C. 1 . Lời giải Vì lim  x 2  x  1  1  0 và lim  x 2  1  0 ; x2  1  0, x  1 . x 1. D.  .. x 1. 2. nên lim x 1. x  x 1   . x2  1. Câu 12. [ TH] Giới hạn lim. x . x2  2 x  3  x bằng 2x 1. B. 0 .. A. 1 .. C.  .. 1 D.  . 2. Lời giải 2 3  1  2 1 2 x  2x  3  x x x Ta có: lim  lim  1 . x  x  1 2x 1 2 x Câu 13. [NB] Cho lim f  x   2, lim g  x   3 . Tính lim  f  x   2 g  x   . x 1. A. 4 .. x 1. x 1. B. 8 .. C. 1 . Lời giải Ta có lim  f  x   2 g  x    lim f  x   2 lim g  x   2  2.3  4 . x 1 x 1 x 1 Câu 14. [NB] Hàm số nào dưới đây liên tục tại x  1 ? x2 x2 A. y  . B. y  . C. y  x  2 . x 1 x 1 Lời giải. D. 5 .. D. y . x2  1 . x 1. x2  1 x2 và y  có tập xác định là  \ 1 nên loại đáp án A, D. x 1 x 1 Hàm số y  x  2 có tập xác định là  2;   mà 1   2;   . Loại đáp án C.. Hàm số y . x2 có tập xác định là  \ 1 x 1 nên liên tục trên các khoảng  ; 1 và  1;    do đó hàm số liên tục tại x  1 .. Hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nó. Hàm số y . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 15. [NB] Số điểm gián đoạn của hàm số y  A. 1 .. B. 4 .. 1 là x  3x2  2 C. 2 . Lời giải. Ôn tập BKII Toán 11. 4. D. 3 ..  x2  1  x  1 Ta có x 4  3x 2  2  0   2 .  x   2 x  2  . . . Khi đó hàm số xác định trên  \ 1;  2 . Vậy hàm số có bốn điểm gián đoạn. Câu 16. [NB] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của BB '. Ảnh của đoạn thẳng A ' M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng  ABCD  là đoạn thẳng A. AM . B. AB . C. A ' B . D. A ' B ' . Lời giải Ảnh của điểm A  qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng  ABCD  là điểm A . Ta có MB // A ' A và MB   ABCD    B nên ảnh của điểm M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng  ABCD  là điểm B . Vậy ảnh của đoạn thẳng A ' M qua phép chiếu song song theo phương chiếu A ' A lên mặt phẳng  ABCD  là đoạn thẳng AB . Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào dưới đây đúng?       A. Ba vectơ AD , A ' C ', DD ' đồng phẳng. B. Ba vectơ AB, BC , DD ' đồng phẳng.       C. Ba vectơ AB, AD , AA ' đồng phẳng. D. Ba vectơ B ' C ', AD, DC đồng phẳng. Lời giải. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Ta có B ' C ' // BC  B ' C ' //  ABCD  ..    Vậy mặt phẳng  ABCD  chứa hai vectơ AD , DC và song song với vectơ B ' C ' nên ba vectơ    B ' C ', AD, DC đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AB  AD  AA '  AC ' . B. AB  AD  AA '  0 .       C. AC '  A ' C . D. AD  DC  DD '  DB ' . Lời giải.     Theo quy tắc hình hộp ta có: AB  AD  AA '  AC ' .   Câu 19. [NB] Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ – không. Tìm mệnh đề đúng.        A. u.v  u.v.cos (u , v ) . B. u.v  u . v .         C. u.v  u . v .cos (u, v) . D. u.v  cos (u , v ) .      Ta có u.v  u . v .cos (u, v) .. Lời giải. Câu 20. [NB] Cho hình hộp ABCD. ABCD . Tìm mệnh đề đúng..     A. ( AA ', BC )  ( BD , BC ) .     C. ( AA ', BC )  ( AB , BC ) ..     B. ( AA ', BC )  ( AC , BC ) .     D. ( AA ', BC )  ( BB ', BC ) . Lời giải. D là hình hộp  ABA ' B ' là hình bình hành  AA '/ / BB ' Do ABCD . ABC     ( AA ', BC )  ( BB ', BC ) 4 n  2021 Câu 21. [TH] Tính giới hạn lim . 2n  1 1 A. 4 . B. 2 . C. . D. 2021 . 2 ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải. 2021 4 4n  2021 n  2. Ta có lim  lim 1 2n  1 2 n 2 4 2n Câu 22. [ TH] Tính tổng S  1    ...  n  ... 3 9 3 A. S  3 . B. S  4 .. C. S  6 . D. S  5 . Lời giải 2 Ta có S là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u1  1, q  . 3 1 S  3 . 2 1 3 3n  1 a a Câu 23. [ TH] Cho lim n là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a  b  ( a , b  Z và n 2  2.3  1 b b A. 1. B. 3 . C. 1. D. 0 . Lời giải n 1 1   n 3 1 1 3 Ta có lim n  lim  . n n n 2  2.3  1 2 2 1   2  3  3 a  1   2a  b  0 . b  2 Câu 24. [ TH] Giá trị của giới hạn lim  x  x 3  1 là x . B.  .. A.  .. C. 0 . Lời giải   1 1  Ta có lim  x  x 3  1  lim  x 3  1  2  3   . x  x  x x    1 1   Vì lim x 3   và lim  1  2  3   1  0 nên x  x  x x   lim  x  x 3  1   .. D. 1 .. x . x2  x  1 . x 1 x 1 1 B. . 2. Câu 25. [TH] Tìm giới hạn A  lim A. . C. 1 .. D.  .. Lời giải 2. x  x  1 1 1  1 1   . x 1 x 1 11 2 4x  1  1 Câu 26. [TH] Tính giới hạn K  lim . x 0 x 2  3x 2 A. K  0 . B. K   . 3. Ta có: A  lim. C. K . 2 . 3. D. K . 4 . 3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ta có K  lim x 0. Lời giải 4x. 4x  1  1  lim x 0 x 2  3x x  x  3. . . Ôn tập BKII Toán 11.  lim x 0. 4x  1  1. 4.  x  3 . . 4x  1  1. . 2 . 3. 2. Câu 27. [TH] Cho hàm số f ( x)  đây? A.  ;3 .. x 1 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng nào sau x  5x  6 2. B.  4;7  .. C.  3;2  .. D.  2;   .. Lời giải  x  3 Hàm số có nghĩa khi x 2  5 x  6  0   .  x  2 x2 1 Vậy theo định lí ta có hàm số f  x   2 liên tục trên khoảng  ; 3 ;  3; 2  và x  5x  6  2;   ..  x 1  2 khi x  5  Câu 28. [TH] Cho hàm số f ( x)   x  5 .Để hàm số f  x  liên tục tại x  5 thì a thuộc a  1 khi x  5  khoảng nào dưới đây?  3  1 1  3  A. 1;  . B.  0;  C.  ;1 D.  ; 2  .  2  2 2  2  Lời giải Tập xác định D   . x 1  2 x 5 1 1 Ta có: lim f ( x)  lim  lim  lim  , f  5  a  1 . x 5 x 5 x  5 x  5 x5 x 1  2 4  x  5 x 1  2. . Để hàm số liên tục tại x  5 thì lim f ( x )  f  5   x 5. Vậy với a . . 1 5  a 1  a  . 4 4. 5  3  1;  thì hàm số liên tục tại x  5 . 4  2. x4 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x  x6 A. Hàm số liên tục trên   ;  2  ,  2;3  và  3;    .. Câu 29. [TH] Cho hàm số f ( x) . 2. B. Hàm số liên tục trên   ;  3  ,  3;2  và  2;    . C. Hàm số liên tục trên  4;  3 ,  3;2  và  2;    . D. Hàm số liên tục trên  4;  2  ,  2;3  và  3;    . Lời giải Tập xác định của hàm số D   4 ;    \ 2 ;3 . Hàm số liên tục trên  4;  2  ,  2;3  và  3;    . Câu 30. [TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ? 3 2x  5 A. y  sin x  2 tan x . B. y  . C. y  2 . cos x  1 x  x 1 Lời giải. D. y  9  x 2 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.   Hàm số y  sin x  2 tan x có tập xác định là  \   k , k    . 2  3 Hàm số y  có tập xác định là  \ k 2 , k   . cos x  1. Hàm số y  9  x 2 có tập xác định là  3;3 . 2x  5 có tập xác định là  . x  x 1 2x  5 Do đó hàm y  2 liên tục trên  . x  x 1   Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. AB C D  . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DD ' ? A. 450 . B. 600 . C. 1200 . D. 900 . Lời giải. Hàm số y . 2.     Ta có : AB; DD '  DC ; DD '  900 .. .  . . Câu 32. [TH] Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng A. 30 .. B. 45 .. C. 60 . Lời giải. D. 90 .. S. I A D. B O. J C. Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của SBC ). Lại có AB / / CD (do ABCD là hình thoi)   IJ , CD    SB, AB  .   60   SB, AB   SBA   60   IJ , CD   60 . Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó SBA Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' , có cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:.  . A. AD '.CC '  a2 ..  . B. AD '.AB '  a2 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A.  . Ôn tập BKII Toán 11.  D. AC '  a 3 .. C. AB '.CD '  0 .. Lời giải.       Ta có: AD '.CC '  AD '.AA '  AD ' . AA ' cos450  a 2 .     AD '. AB '  AD ' . AB' cos600  a 2 .     AB '.CD '  AB '.BA'  0 .  AC '  AC '  AC 2  CC '2  AB 2  BC 2  CC '2  a 3 .       Câu 34. [ TH] Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích (biểu     diễn) véc tơ BC  qua các véc tơ a, b, c .                 A. BC    a  b  c . B. BC    a  b  c . C. BC   a  b  c . D. BC   a  b  c . Lời giải B. b C. A c. a B'. A'. C'.          Vì mặt bên  BCC B  là hình bình hành nên BC   BB   BC  AA  AC  AB  a  b  c nên     BC   a  b  c . Câu 35. [ TH] Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Biết luôn tồn tại số thực k.   . . thỏa mãn đẳng thức vecto AB  AC  AD  k.AG . Hỏi số thực đó bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . Lời giải. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.             Ta có AB  AC  AD  3AG  GB  GC  GD  3 AG . Vì G là trọng tâm BCD nên GB  GC  GD  0 . Vậy k  3 . II. TỰ LUẬN Câu 1 [TH] Tính giới hạn của các dãy số sau: c. un  n n  1  n .. . d. un . . 4n 2  n  1  n 9n 2  3n. . Lời giải. a. Ta có:. lim un  lim n. . . n  1  n  lim. n  lim n 1  n. n  1  n  1   1 n  .  lim. 1 1  . 2 1 1  1 n. b. Ta có.   1 1 1 1 n  4   2  1 4   2 1 n n 4n  n  1  n 2 1 1 n n   lim lim un  lim  lim    . 2 3 3 3 3 9n  3n n 9 9 n n [ VD] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh A’B’ và BC . a) Chứng minh rằng MN  AC ' . b) Chứng minh rằng AC '   A ' BD  . Lời giải 2. Câu 2.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A'. D'. M B' C'. A. B. D. N. C. a) Chứng minh rằng MN  AC ' .     Ta có AC '  AB  AD  AA ' .     1   1  MN  MB '  B ' B  BN  AB  AA '  AD . 2 2       1   1   AC '.MN  AB  AD  AA '  AB  AA '  AD  2 2            1 1 1 1    AB 2  AB. AA '  AB. AD  AD. AA '  AD 2  AB. AA '  AA '2  AA '. AD 2 2 2 2           1 1 Vì AB. AA '  AB. AD  AD. AA '  AB. AA '  AA '. AD  0 và AB 2  AD 2  AA '2  0 . 2 2   Suy ra AC '.MN  0 . Vậy MN  AC ' . b) Chứng minh rằng AC '   A ' BD  .. . .  A ' B  AB '  A ' B  B 'C '   A ' B   AB ' C '   A ' B  AC ' (1). Ta có   AB ', B ' C '   AB ' C '  AB ' B ' C '  B '  Chứng minh tương tự ta được BD  AC ' (2). Từ (1) và (2) suy ra AC '   A ' BD  . Câu 3.. 2 1  ax 2  bx  1 [VDC] Tìm a , b , c   để lim c. x 1 x3  3x  2 Lời giải 2 3 Ta có: x  3 x  2   x  1  x  2  . 2. Do đó phương trình 2 1  ax 2  bx  1  0  4 1  ax 2    bx  1  0 phải có nghiệm kép x 1   4 a  b 2  x 2  2bx  3  0 có nghiệm kép x  1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.   4a  b 2  0  4a  b 2  0    1      b 2  3  4 a  b 2   0   a  b2  a  b  3. 3   2 2  4a  b  .1  2.b.1  3  0 1 2  3 b  2b  3  0. 3  x  1. 2. 3 1 2 1  3x 2  3 x  1 2 1  3x 2  3 x  1  lim  lim  2 3 x 1 x 1 x  3x  2  x  1  x  2  x 1 2 1  3x 2  3x  1  x  2  8. Khi đó lim. . . 1 Suy ra c  . 8. 1 Vậy a  b  3 , c  . 8. Câu 4..  x3  8x  m khi x  1  [VD] Cho hàm số f  x    x  1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm n khi x  1  số f  x  liên tục tại x  1 , khi đó hãy tính giá trị của biểu thức P  m  n ?. Lời giải Tập xác định D   . x3  8 x  m m9 Với x  1 ta có f  x   .  x2  x  9  x 1 x 1 f  x  liên tục tại x  1 khi và chỉ khi lim f  x   f 1 x 1. Nếu m  9  0  m  9 thì không tồn tại lim f  x  vì lim x 1. x 1. 1 f  x   lim f  x  . x 1 . Do đó m  9  0  m  9 . Suy ra lim f  x   lim  x  x  9   11 . 2. x 1. x 1. Vậy 1  n  11 suy ra P  m  n  9  11  2 . Câu 5.. [VD] Chứng minh phương trình  m 2  1 x 3  2m 2 x 2  4 x  m 2  1  0 có đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải Xét hàm số f  x    m  1 x  2m x  4 x  m 2  1 . Ta có 2. 3. 2. 2. f  3  44m 2  14  0 f  0   m2  1  0 f 1  2  0 f  2   m2  1  0 Do đó f  3 f  0   0 , f  0  f 1  0 và f 1 f  2   0 . Hàm số y  f  x  là hàm số đa thức nên liên tục trên  , do đó liên tục trên các đoạn  3;0 ,.  0;1 và 1;2 . Từ đó suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng  3;0 ,  0;1 và 1;2 , tức là có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Hơn nữa, f  x  là đa thức bậc ba nên có tối đa ba nghiệm. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Vậy phương trình  m 2  1 x 3  2m 2 x 2  4 x  m 2  1  0 có đúng ba nghiệm phân biệt.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 3. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận). I. TRẮC NGHIỆM Câu 1.. Câu 2.. Câu 3..  1 . n. 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n n a a A. lim n   . B. Không tồn tại lim n . bn bn a a C. lim n  1 . D. lim n  0 . bn bn Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với giới hạn còn lại? 3n  1 1 n 1 n 1  5n A. lim B. lim C. lim D. lim 3n  3 n 1 n2 6  5n Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? u A. Nếu lim un  a  0 ; lim vn  0 và vn  0,  n thì lim n   . vn. Cho 2 dãy số (an ), (bn ) với an. , bn . B. lim q n   ( với q  1 ).. Câu 4.. C. lim n k   với k là một số nguyên dương. D. lim q n  0 với q  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số  un  có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n   , nếu lim  un  a   0 . n . Câu 5.. Câu 6.. Câu 7. Câu 8.. B. Dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? 1 A. lim  0 . B. lim q n  0 nếu q  1 . n C. lim n k   với k nguyên dương. D. lim q n   nếu q  1 u Cho 2 dãy số  un  và  vn  thỏa mãn lim un  2 , lim vn  5 . Giá trị của lim n bằng: vn 5 2 A. . B. . C. 7 . D. 3 . 2 5 Cho lim  un   2, lim  vn   3 . Khi đó giá trị của giới hạn lim  un .vn  bằng? A. 1. B. 6 . C. 5 . D. 1 Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim g ( x )  lim f ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. B. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim f ( x )  lim g ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. C. lim[ f ( x)  g ( x )]  lim f ( x )  lim g ( x ) . x  x0. x  x0. x  x0. D. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim f ( x )  lim g ( x) . x  x0. Câu 9.. x  x0. x  x0. Giới hạn lim f ( x)  L khi và chỉ khi : x  x0. A. lim f ( x )  L .. B. lim f ( x)  lim f ( x )  L .. C. lim f ( x)  L .. D. lim f ( x)  lim f ( x).. x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. lim f  x   2 lim g  x   3 lim  f  x   g  x   Câu 10. Cho x1 , x 1 . Tính x1  ? A. 5 . B. 5 . C. 1 . D. 1. Câu 11. Giả sử ta có lim f  x   a và lim g  x   b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x . x . A. lim  f  x   g  x   a  b . x  C. lim. x . f  x g  x. . B. lim  f  x  .g  x    a. b . x . a . b. D. lim  f  x   g  x    a  b . x . 1 là xk A. 0 . B.  . C.  . D. 1 . k Câu 13. Với k là số nguyên dương và k là số lẻ, kết quả của giới hạn lim x là. Câu 12. Với k là số nguyên dương , kết quả của giới hạn lim. x . x . B. 0 . x 2  2x  1  Câu 14. Cho hàm số f (x )   2 m  2 . C.  .. A.  .. khi. x 2. khi. x 2. . Giá trị của m để f x  liên tục tại x  2 là:. A. 3 . B.  3 . C.  3 . Câu 15. Trong các hàm sau, hàm nào không liên tục trên khoảng 1;1 : A. f x   x 4  x 2  2 .. D. 1.. D. 3.. B. f x   sin x .. 1 . D. f x   2x  1 . x2  1 Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng.    Câu 17. Trong không gian cho 3 vectơ u ,v,w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?     A. Các vectơ u  v,v,w đồng phẳng.     B. Các vectơ u  v, u,2 w đồng phẳng.     C. Các vectơ u  v,v,2w không đồng phẳng.     D. Các vectơ 2 u  v  u, v không đồng phẳng. C. f x  . . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  1   2  Câu 18. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA   MD , NA '   NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN   AC ' B  . B. MN   BC ' D  .. C. MN   A ' C ' D  .. Câu 19.. Câu 20.. Câu 21. Câu 22.. D. MN   BC ' B  .   Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng AB.CD bằng? a2 a2 A. a 2 B. C. 0 D.  2 2 0   ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  60 . Hãy xác định góc giữa cặp Cho tứ diện   vectơ AB và CD . A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 90 0 . a.n 2  4n 3 lim  . 8n 2  3 4 Tìm a để A. a  6 . B. a  3 . C. a  27 . D. a  9 . 2 a.n  4n 3 a 3 1 1 1 1 lim     a  6. Tính tổng: S  1     ...   ... 2 n 1 8n  3 4 8 4 2 4 8  2 . 3 2 . B. S  . C. S  2 . 2 3 2n3  n 2  4  L . Khi đó 1  L2 bằng Câu 23. Biết lim 2  n  4n3 3 A. 1. B. . C. 0 . 4 5x  3 lim x  x2  5 . Câu 24. Tính 3 3 A. . B.  . C. 5 . 5 5 2x  1 lim Câu 25. Tính x  0 x bằng A. 2 . B.  . C.  .. A. S . Câu 26. Cho lim. x . . D. S . D.. 1 . 2. 1 . 4. D. 5 .. D. 1 .. . x 2  ax  5  x  5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ?. A. 6 .. B. 10 . C. 10 . D. 6 . x 4 khi x  2  Câu 27. Cho hàm số f ( x)   x  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?  4 khi x  2  A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x  2 và gián đoạn tại các điểm x  2 . B. Hàm số không liên tục trên  . C. Hàm số liên tục trên  . D. Hàm số không liên tục tại điểm x  2 .  x 3  27 , x3  Câu 28. Cho hàm số: f  x    x  3 , tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  27 x3  2. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. I. f  x  liên tục tại x  3 . II. f  x  gián đoạn tại x  3 . III. f  x  liên tục trên R . A. I. và II.. B. I. và III.. C. Chỉ I.. D. II. và III.. 2. x  x  2 khi x  2  Câu 29. Cho hàm số f  x    . Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục x2 mx  2 khi x  2  tại x0  2 . 5 5 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 2 2 2x2  x  6 neáu x  2  Câu 30. Tìm tham số m để hàm số f  x    x  2 liên tục trên  . mx  3 neáu x  2  A. m  1 . B. m  1 . C. m  2 . D. m  4 . Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CC ' bằng: A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 .   Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. ABCD . Góc giữa hai vectơ B D  và CD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Câu 33. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  1 , BC  2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 45 . Câu 34. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF . Khẳng định nào dưới đây là đúng?       A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng.       C. BD, EK , GF đồng phẳng. D. BD, IK , GC đồng phẳng. Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?           A. GA  GB  GC  GD  0 . B. GA  GB  GC  GD  2 IJ .           C. GA  GB  GC  GD  JI . D. GA  GB  GC  GD  2 JI . II. TỰ LUẬN Câu 36. Tìm giới hạn: lim. 2n  4n 2  n. . n  n 2  2n Câu 37. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD sao cho. BM 1 NC 3  ,  BC 4 ND 2. . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng.. Câu 38. Tìm giới hạn của B  lim x ( x 2  2 x  2 x 2  x  x ) ? x . 3 Câu 39. Với m  2 tìm số nghiệm của phương trình x  2mx 2  2  0 , với m  2. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. 1.B 11.C 21.A 31.B. Câu 1.. 2.B 3.B 12.A 13.A 22.B 23.B 32.C 33.A I. TRẮC NGHIỆM. 4.A 14.C 24.D 34.B. Cho 2 dãy số (an ), (bn ) với an. an   . bn a C. lim n  1 . bn A. lim. Câu 2.. Câu 3.. BẢNG ĐÁP ÁN 5.B 6.B 15.D 16.B 25.C 26.C 35.A.  1  n. n. Ôn tập BKII Toán 11. 7.B 17.C 27.C. 8.C 18.B 28.B. 9.B 19.C 29.A. 10.C 20.D 30.C. 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n a B. Không tồn tại lim n . bn a D. lim n  0 . bn Lời giải. , bn . Chọn B a a n Ta có: n   1 . Do đó không tồn tại lim n . bn bn Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với giới hạn còn lại? 3n  1 1 n 1 n 1  5n A. lim B. lim C. lim D. lim 3n  3 n 1 n2 6  5n Lời giải Chọn B 3n  1 1 n 1  5n Vì lim  lim  lim  1 3n  3 n2 6  5n 1 n Còn lim 1 n 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? u A. Nếu lim un  a  0 ; lim vn  0 và vn  0,  n thì lim n   . vn B. lim q n   ( với q  1 ).. Câu 4.. C. lim n k   với k là một số nguyên dương. D. lim q n  0 với q  1 . Lời giải Chọn B Mệnh đề A đúng theo định lí về giới hạn vô cực. Mệnh đề B chỉ đúng với q thỏa mãn q  1 còn với q  1 thì không tồn tại giới hạn dãy số q n . Mệnh đề C và D đúng theo kết quả của giới hạn đặc biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số  un  có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n   , nếu lim  un  a   0 . n . B. Dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải. Câu 5.. Câu 6.. Chọn A Theo định nghĩa giới hạn ta chọn đáp án đúng là A Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? 1 A. lim  0 . B. lim q n  0 nếu q  1 . n C. lim n k   với k nguyên dương. D. lim q n   nếu q  1 Lời giải Chọn B lim q n  0 nếu q  1 . Cho 2 dãy số  un  và  vn  thỏa mãn lim un  2 , lim vn  5 . Giá trị của lim 5 . 2. A.. B.. 2 . 5. C. 7 .. un bằng: vn. D. 3 .. Lời giải u 2 Áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn, ta có lim n  . vn 5 Câu 7.. Cho lim  un   2, lim  vn   3 . Khi đó giá trị của giới hạn lim  un .vn  bằng? B. 6 .. A. 1.. D. 1. C. 5 . Lời giải.. Chọn B Ta có: lim  un .vn   lim  un  .lim  vn   2.  3  6 Câu 8.. Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim g ( x )  lim f ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. B. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim f ( x )  lim g ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. C. lim[ f ( x)  g ( x )]  lim f ( x )  lim g ( x ) . x  x0. x  x0. x  x0. D. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim f ( x )  lim g ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. Lời giải Theo định lý nếu f ( x ) và g ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 thì lim[ f ( x)  g ( x )]  lim f ( x )  lim g ( x ) . x  x0. Câu 9.. x  x0. x  x0. Giới hạn lim f ( x)  L khi và chỉ khi : x  x0. A. lim f ( x )  L .. B. lim f ( x)  lim f ( x )  L .. C. lim f ( x)  L .. D. lim f ( x)  lim f ( x).. x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. Lời giải Chọn B lim f ( x)  L khi và chỉ khi lim f ( x)  lim f ( x )  L x  x0. x  x0. x  x0. lim f  x   2 lim g  x   3 lim  f  x   g  x   Câu 10. Cho x1 , x 1 . Tính x1  ? A. 5 . B. 5 . C. 1 . Lời giải. D. 1.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Chọn C Có lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x   2   3  1 . x 1. x 1. x 1. Câu 11. Giả sử ta có lim f  x   a và lim g  x   b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x . x . A. lim  f  x   g  x   a  b . x  C. lim. x . f  x g  x. . B. lim  f  x  .g  x    a. b . x . a . b. D. lim  f  x   g  x    a  b . x  Lời giải. Chọn C 1 là xk C.  . Lời giải. Câu 12. Với k là số nguyên dương , kết quả của giới hạn lim. x . B.  .. A. 0 .. D. 1 .. Chọn A Câu 13. Với k là số nguyên dương và k là số lẻ, kết quả của giới hạn lim x k là x . C.  . Lời giải. B. 0 .. A.  .. D. 1.. Chọn A. x 2  2x  1  Câu 14. Cho hàm số f (x )   2 m  2  A.. B.  3 .. 3.. khi. x 2. khi. x 2. . Giá trị của m để f x  liên tục tại x  2 là:. C.  3 . Lời giải. D. 3.. Chọn C Hàm số liên tục tại x  2  lim f x   f 2 . x 2. 2. Ta có lim(x  2x  1)  1 . x 2. m  3  Vậy m  2  1   . m   3  Câu 15. Trong các hàm sau, hàm nào không liên tục trên khoảng 1;1 : 2. A. f x   x 4  x 2  2 . C. f x  . 1 . x 1 2. B. f x   sin x . D. f x   2x  1 . Lời giải. Chọn D Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng. Lời giải Chọn B    Câu 17. Trong không gian cho 3 vectơ u ,v,w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng? ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.     A. Các vectơ u  v,v,w đồng phẳng.     B. Các vectơ u  v, u,2 w đồng phẳng.     C. Các vectơ u  v,v,2w không đồng phẳng.     D. Các vectơ 2 u  v  u, v không đồng phẳng.. . . Lời giải Chọn C    Vì u ,v,w không đồng phẳng nên :     u  v,v,w không đồng phẳng,     u  v,v,2w không đồng phẳng.     u  v, u,2 w không đồng phẳng.     Các vectơ 2 u  v  u, v hiển nhiên là đồng phẳng.. . .  1   2  Câu 18. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , M , N là các điểm thỏa MA   MD , NA '   NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN   AC ' B  . B. MN   BC ' D  .. C. MN   A ' C ' D  .. D. MN   BC ' B  . Lời giải. Chọn B A. M. D. B. C N A'. D'. B'. C'.          Đặt BA  a, BB '  b, BC  c thì a, b, c là ba vec tơ không đồng phẳng và        BD  BA  AD  BA  BC  a  c       BC '  b  c, BA '  a  b .  1    1   5   1  Ta có MA   MD  BA  BM   BD  BM  BM  BA  BD 4 4 4 4         4 BA  BD 4a  a  c 5a  c  BM    . 5 5 5 Tương tự        3a  3b  2c    2a  3b  c 2   3   2  3  BN  , MN  BN  BM    a  c  (b  c)   BD  BC ' 5 5 5 5 5 5    Suy ra MN , DB, BC ' đồng phẳng mà N   BC ' D   MN   BC ' D  .   Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD . Tích vô hướng AB.CD bằng? a2 a2 A. a 2 B. C. 0 D.  2 2 Lời giải Chọn C. . . . . . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. D. C. A. B          . .cos 600  0 . AB.CD  CB  CA .CD  CB.CD  CA.CD  CB.CD.cos 600  CACD. . .   BAD   600 ABCD có AB  AC  AD và BAC Câu 20. Cho tứ diện . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ AB và CD . A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 90 0 . Lời giải Chọn D.          Ta có: AB.CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC          AB . AD cos AB, AD  AB . AC cos AB, AC      AB . AD cos 600  AB . AC cos 600     Mà AC  AD  AB.CD  0  AB , CD  900. . . . . . . . . 2. a.n  4n 3 a 3     a  6. 2 8n  3 4 8 4 2 a.n  4n 3 lim  . 8n 2  3 4 Câu 21. Tìm a để A. a  6 . B. a  3 . lim. C. a  27 . Lời giải. D. a  9 .. Chọn A 4  4 lim  a   a.n  4n n a  n  Ta có: lim  lim  . 2 3 3  8 8n  3  8  2 lim  8  2  n n   2. a. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 22. lim. Ôn tập BKII Toán 11. a.n 2  4n 3 a 3 1 1 1 1     a  6. Tính tổng: S  1     ...   ... 2 n 1 8n  3 4 8 4 2 4 8  2 . A. S . 3 . 2. B. S . 2 . 3. C. S  2 .. D. S . 1 . 2. Lời giải Chọn B 1 S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1; q   . 2 u1 1 2 Do đó ta có: S    . 1 q  1 3 1     2 3 2 2n  n  4  L . Khi đó 1  L2 bằng Câu 23. Biết lim 2  n  4n3 3 A. 1. B. . C. 0 . 4 Lời giải Chọn B 1 4   n3  2   3  3 2 2n  n  4 n n  2 1 Ta có lim  lim    . 3 1 2  n  4n  4 2 3 2 n  3  2  4 n n . D.. 1 . 4. 2. 3 1 1 Suy ra L  . Khi đó 1  L2  1     . 2 4  2 5x  3 lim x  x2  5 . Câu 24. Tính 3 3 A. . B.  . C. 5 . D. 5 . 5 5 Lời giải Chọn D Ta có: 3 3   3 x 5   x5  5 5x  3 x x   lim    lim x  5 lim  lim  2 x  x  x  x  5 5 5 x 5 .  1 2 x 1 2 x 1 2 x x x 2x  1 lim Câu 25. Tính x  0 x bằng A. 2 . B.  . C.  . D. 1 . Lời giải Chọn C 2x  1 Vì lim  2x  1  1 ; x  0 nên lim   x 0  x  0 x. Câu 26. Cho lim. x . A. 6 .. . . x 2  ax  5  x  5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ? B. 10 .. C. 10 . Lời giải. D. 6 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Chọn C Cách 1: xlim . . . x 2  ax  5  x  lim. x . a.x  5 2. . a 2. x  ax  5  x a Mà lim x 2  ax  5  x  5    5  a  10. x  2 Cách 2: Bấm máy tính như sau x2  Ax  5  x + CACL + x  1010 .. . .  x2  4 khi x  2  Câu 27. Cho hàm số f ( x)   x  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?  4 khi x  2  A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x  2 và gián đoạn tại các điểm x  2 . B. Hàm số không liên tục trên  . C. Hàm số liên tục trên  . D. Hàm số không liên tục tại điểm x  2 . Lời giải Chọn C x2  4 + Với x  2 : f ( x )  . x2 Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên ( ; 2), ( 2;  ) .. x2  4 ( x  2)( x  2)  lim  lim ( x  2)  4 . x 2 x  2 x 2 x 2 x2 Hàm số đã cho liên tục tại x  2 Vậy hàm số liên tục trên  .  x 3  27 , x3  Câu 28. Cho hàm số: f  x    x  3 , tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  27 x3  + Tại x  2 : f ( 2)  4 ; lim. I. f  x  liên tục tại x  3 . II. f  x  gián đoạn tại x  3 . III. f  x  liên tục trên R . A. I. và II.. B. I. và III.. C. Chỉ I. Lời giải. D. II. và III.. Chọn B Ta có:.  x  3  x 2  3x  9  x3  27 lim f  x   lim  lim  lim  x 2  3 x  9   27 . x 3 x 3 x  3 x 3 x 3 x3 f  3  27 . Ta lại thấy lim f  x   f  3  27 . x 3. Vậy hàm số liên tục tại x  3 hay hàm số liên tục trên R ..   x2  x  2 khi x  2  Câu 29. Cho hàm số f  x    . Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục x2 mx  2 khi x  2  tại x0  2 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.. 5 . 2. B.. 5 . 2. Ôn tập BKII Toán 11 D. 2 .. C. 2 . Lời giải. Chọn A TXĐ: D  .  x2  x  2  x  2   x  1  lim  x  1  3 . lim f  x   lim  lim   x 2 x2 x 2 x2 x2 x2 f  2   2m  2 . Hàm số liên tục tại x0  2 khi và chỉ khi lim f  x   f  2   3  2m  2  m  x 2. 5 . 2. 2x2  x  6 neáu x  2  Câu 30. Tìm tham số m để hàm số f  x    x  2 liên tục trên  . mx  3 neáu x  2  A. m  1 . B. m  1 . C. m  2 . D. m  4 . Lời giải Chọn C Tập xác định D   . 2x2  x  6 + Nếu x  2 thì hàm số f  x   liên tục trên các khoảng  ; 2  và  2;   . x2 + Tại x  2 : Ta có f  2   2m  3 ..  2 x  3 x  2  lim 2 x  3  7 . 2 x2  x  6 lim f  x   lim  lim   x2 x2 x2 x2 x2 x2 Hàm số f  x  liên tục trên   f  x  liên tục tại điểm x  2  lim f  x   f  2  x2.  2m  3  7  m  2 . Vậy m  2 . Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CC ' bằng: A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Lời giải Chọn B. A ' BB '  45 . Ta có CC ' //BB '   BA, CC '    BA, BB '  .   Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. ABCD . Góc giữa hai vectơ B D  và CD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn C. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. A'. Ôn tập BKII Toán 11. D'. B'. C' A. D. B. C.        BD  45 . Ta có CD  BA  B D, CD  BD, BA  A. .  . . Câu 33. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC  1 , BC  2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn A S. B. H. C. A. Tam giác ABC vuông tại A vì AB  AC  1 , BC  2 . Tam giác SBC vuông tại S vì SB  SC  1 , BC  2 .          1 Ta có SC . AB  SC SB  SA  SC .SB  SC.SA  0  SC.SB.cos 60   . 2   SC . AB 1   Suy ra cos  SC , AB   cos SC , AB   . SC . AB 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60 . Câu 34. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF . Khẳng định nào dưới đây là đúng?       A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng.       C. BD, EK , GF đồng phẳng. D. BD, IK , GC đồng phẳng. Lời giải Chọn B. . . . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. D. C B. A. K. I. G. H E. F. Vì I , K lần lượt là trung điểm của AF và CF . Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC  IK // AC  IK //  ABCD  .    Mà GF //  ABCD  và BD   ABCD  suy ra ba vectơ BD, IK , GF đồng phẳng. Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?           A. GA  GB  GC  GD  0 . B. GA  GB  GC  GD  2 IJ .           C. GA  GB  GC  GD  JI . D. GA  GB  GC  GD  2 JI . Lời giải Chọn A    Ta có G là trung điểm của đoạn thẳng IJ nên GI  GJ  0 .    Lại có I là trung điểm của cạnh AB nên IA  IB  0    và J là trung điểm của cạnh CD nên JC  JD  0 . Từ tacó          đó GA  GB  GC  GD  GI  IA  GI  IB  GJ  JC  GJ  JD         2 GI  GJ  IA  IB  JC  JD  0 .. .  .  . . II. TỰ LUẬN Câu 36. Tìm giới hạn: lim. 2n  4n 2  n. .. n  n 2  2n. Lời giải Ta có:. . 2. lim 2n  4n  n. 1.  lim. 2 4. 1 n. . . . 2. 2 2 1 1 n. 2.   lim. 2n  4n  n. n 2n  4n 2  n. . n 2  2n n  n 2  2n n  n  2n.  lim. . 4n 2  n 2n  4n 2  n. 1 4. lim n  n 2  2n. n   lim. .  2n   lim.   lim n  n  2n  lim 2. 2. 2n. 2. n  n 2  2n. n  n  2n. 1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 2n  4n 2  n. 1  . 4 n  n 2  2n Câu 37. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD Suy ra lim. sao cho. BM 1 NC 3  ,  BC 4 ND 2. . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. Lời giải.      BM 1 Ta có:   MC  3MB  4AM  AC  3AB BC 4        NC 3   2NC  3ND  5AN  2AC  3AD (2). ND 2. Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:      4AM  5AN AB  AC  AD  3. D M. . A. B. (3). G. N. C 1    AB  AC  AD (4). 3  4  5     AG  AM  AN , từ hệ thức này chứng tỏ ba véc tơ AG, AM, AN 9 9. . Vì G trọng tâm BCD nên AG  Thay (3) vào (4) được:. (1).. . đồng. phẳng. Suy ra bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. Câu 38. Tìm giới hạn của. B  lim x ( x 2  2 x  2 x 2  x  x ) x . ?. Lờigiải Ta có:.  2x . x 2  2 x  2 x2  x  x . 2 x2  2 x  2 x x2  2 x  4 x2  4 x x2  2 x  2 x2  x  x. x2  2x  x 1 x 2  2 x  2 x2  x  x 2 x. . ( x 2  2 x  2 x 2  x  x )( x 2  2 x  x  1) Nên 2 x 2 B  lim x  ( x 2  2 x  2 x 2  x  x )( x 2  2 x  x  1) 2 1  lim  . x  4 2 1 2 1 ( 1   2 1   1)( 1   1  ) x x x x 3 Câu 39. Với m  2 tìm số nghiệm của phương trình x  2mx 2  2  0 , với m  2 Lời giải Xét hàm số f  x   x  2mx  2 là hàm số liên tục trên  3. 2. Với m  2 , ta có: f  1  1  2m  2  1  2m  0 1. f  0   2  0  2 f 1  1  2m  2  3  2m  0  3 lim f  x     4  .. x . Từ 1 ,  2  ,  3 và  4   f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1  x1  0  x2  1  x3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 3. Do đó suy ra phương trình x  2mx 2  2  0 có 4 nghiệm phân biệt.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 4. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận). I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. lim vn  0 nếu lim  vn  a   0 . B. lim vn  a nếu lim  vn  a   0 . C. lim vn  0 nếu lim  vn  a   0 . Câu 2. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. D. lim vn  a nếu lim  vn  a   0 .. [ NB] Cho lim un  4 , lim vn  1 . Khi đó lim  un  vn  bằng A. 3 . B. 4 . C. 5 . [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? Nếu lim un  a và lim vn  b thì u a A. lim  un  vn   a  b . B. lim n  . vn b. D. 5 .. C. lim  un  vn   a  b . D. lim  un .vn   a.b [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? A. lim q n  0, q  R . B. lim c  c với c là hằng số. n. Câu 6.. 1  1  0 . C. lim k  0 với k nguyên dương . D. lim n n [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ?. A. Nếu lim un  a và lim vn   thì lim. vn 0. un. B. Nếu lim un  a , lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim. un   . vn. C. Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a . D. Nếu lim un   và lim vn  a thì lim un vn   . Câu 7.. [ NB] Cho lim un  2 , lim vn  0 và vn  0 . Khi đó lim A. 2 .. Câu 8.. B.  .. [NB] Tính lim x 1. A.. 2019 . 2020. un bằng vn. C. 0 .. D.  .. x  2019 . x  2020 B.. 2021 . 2022. C.. 2018 . 2019. D.. 2020 . 2021. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. [NB] Cho lim g  x   3 , lim h  x   10 . Tính lim  h  x   g  x   . x 2 x 2 x2 A. 7 . B. 7 . C. 13 . D. 13 . 3 x  8 khi x  2 Câu 10. [NB] Cho hàm số f  x    2 . Tìm lim f  x  . x2  x  2 x khi x  2 A. 0 . B. 2 . C. 8 . D. 14 . Câu 11. [NB] Cho lim f  x   L; lim g  x   M , với L, M   . Chọn khẳng định sai. Câu 9.. x  x0. x  x0. A. lim  f  x   g  x    L  M . x  x0 C. lim. x  x0. f  x g  x. . L . M. B. lim  f  x  .g  x    L.M . x  x0. D. lim  f  x   g  x    L  M . x  x0. Câu 12. [NB] Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai.. 8 0. D. lim 8x k   . k x x x  x x Câu 13. [NB] Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y  f  x  . Hãy quan sát đồ thị và cho biết A. lim x 2k   .. B. lim x k   .. C. lim. lim  f  x  , lim  f  x  , lim f  x  , lim f  x  lần lượt có giá trị bằng:. x  1. x . x  1. A. 1; ; ;1 .. x . B. ; ;1;1. C. 1;1; ; . D. ; ;1;1 .. Câu 14. [NB] Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f  x  liên tục tại x  a nếu A. f  x  có giới hạn hữu hạn khi x  a .. B. lim f  x   lim f  x    .. C. lim f  x   f  a  .. D. lim f  x   lim f  x   a .. x a. x a. x a. x a. xa. 2. Câu 15. [NB] Hàm số f  x   A.  6;1 .. x 1 liên tục trên khoảng nào sau đây? x  5x  6 B.  1;6  . C.  1;   . 2. D.  ;6  .. Câu 16. [NB] Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu  P  tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là A. Điểm A . B. Trùng với phương chiếu. C. Đường thẳng đi qua A . D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A . Câu 17. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.     B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.    C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. ABC D . Chọn đẳng thức đúng.         A. DB  DA  DD  DC . B. AC  AC  AB  AD .         C. DB  DA  DD  DC . D. AC  AB  AB  AD .   Câu 19. [NB] Cho hai đường thẳng a, b lần lượt có véc tơ chỉ phương là u , v . Mệnh đề nào sau đây sai?   A. Nếu a  b thì u.v  0 . B. Nếu u.v  0 thì a  b .   u.v u.v C. cos(a, b)    . D. cos(a, b)    . u .v u .v Câu 20. [NB] Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. 5u  7 Câu 21. [TH] Cho dãy số un  có lim un  7 . Tính giới hạn lim n . 7u n  5 5 14 7 A. 7 . B. . C. . D. . 7 15 11 Câu 22. [TH] Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1  1 1 1  A    ...  n  ......  1     ...  n  ......  . 3 2  3 9 27  2 4 8  4 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 6. 2n3 1 2n  310 4. Câu 23. [TH] Giới hạn của dãy số un  với un . 2n 22  2. là:. 15 . C. 213 . 4  3x 2 2 x3  Câu 24. [TH] Tính giới hạn sau: lim   2 . x  4 x  1 2x 1  . A. 2 .. B.. A.  .. B.  .. Câu 25. [TH] Kết quả của lim x 2. A.. 9 . 8 x . . 1 C.  . 4. D.. 3 . 4. C.  .. D.. 1 . 8.  x3  2 x  5 bằng: x2  2 x B.  .. Câu 26. [TH] Cho lim. D. 218 .. . x 2  ax  6  x  5 với a   . Giá trị của a là:. A. 6 B. 10 C. 10 Câu 27. [TH] Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực  ?. D. 6. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. y . x 1 . x 1. B. y . x 1 . x 1 khi x  1. C. y . Ôn tập BKII Toán 11 x 1 . x2  1. D. y . x 1 . x2  1. 3  4 x  x Câu 28. [TH] Hàm số f  x    2 khi x  1; x  0 liên tục tại x  x khi x  0 1 A. x  0; x  1 . B. Mọi điểm x   . C. Mọi điểm trừ x  1 . D. Mọi điểm trừ x  0 . 2 x 4 khi x  2  Câu 29. [TH] Cho hàm số y  f  x    x  2 .  5 khi x  2  Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho? A. Hàm số liên tục trên  . B. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;2  và  2;   , gián đoạn tại x  2 .. C. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;4  và  4;   , gián đoạn tại x  4 . D. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;5  và  5;   , gián đoạn tại x  5 ..  x 2  a khi x  1 Câu 30. [TH] Cho hàm số y  f  x    . khi x  1  3 Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên  ? A. a  2 . B. a  1 . C. a  4 . D. a  3 . Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . M , N lần lượt là trung điểm của AB và BB ' .   Góc giữa hai vectơ MN và A ' C ' bằng. A. 0o . B. 60o . C. 90o . D. 30o . Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C là. A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 . 0   90 , AB  DC . Gọi M , N , E , F lần lượt là trung Câu 33. [TH] Cho tứ giác ABCD có  ABC  CDA điểm của AB, CD, AD, BC . Biết AC  BD . Góc giữa MN và EF bằng A. 900. B. 300. C. 600. D. 450. Câu 34. [TH] Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD , AK , GF đồng phẳng. B. BD , IK , GF đồng phẳng.       C. BD , EK , GF đồng phẳng. D. BD , IK , GC đồng phẳng.   Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB  b ,     AC  c , AD  d .Khẳng định nào sau đây đúng?  1     1    A. MP  c  d  b . B. MP  d  b  c . 2 2  1     1    C. MP  c  b  d . D. MP  c  d  b . 2 2 II. PHẦN TỰ LUẬN  1  Câu 1. [VD] Tính lim  9 n  2.3n  3n   2021  .  .  .  .  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 2.. [VD] Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB, CD lấy điểm P, Q sao cho AP  4 PB, CD  5CQ .    Chứng minh AD, BC , PQ đồng phẳng.. Câu 3.. [VD] Tính lim x 1. 4x  3  3 6x  5 . x3  x 2  x  1. Câu 4. [VDC] 1. Cho phương trình: x 3 cos 3 x  m  x cos x  1 x cos x  2   0 . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 2. Cho phương trình: m 2  m  2021 x 3  2 m 2  2m  4040 x 2  4 x  m 2  m  2021  0 .. . . . . Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m . ---------------------Hết---------------------. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. 1B 16D 31B. 2D 17A 32D. 3B 18A 33A. 4C 19D 34B. 5A 20D 35A. 6C 21D. 7B 22B. 8D 23C. 9A 24A. Ôn tập BKII Toán 11. 10A 25B. 11C 26C. 12B 27C. 13B 28B. 14C 29B. 15B 30A. LỜI GIẢI I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. lim vn  0 nếu lim  vn  a   0 . B. lim vn  a nếu lim  vn  a   0 . C. lim vn  0 nếu lim  vn  a   0 .. D. lim vn  a nếu lim  vn  a   0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số : lim vn  a nếu lim  vn  a   0 Câu 2.. [ NB] Cho lim un  4 , lim vn  1 . Khi đó lim  un  vn  bằng C. 5 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn hữu hạn. Ta có: lim  un  vn   4   1  5 . [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? Nếu lim un  a và lim vn  b thì u a A. lim  un  vn   a  b . B. lim n  . vn b A. 3 .. Câu 3.. B. 4 .. D. 5 .. C. lim  un  vn   a  b .. Câu 4.. Câu 5.. D. lim  un .vn   a.b Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lí về giới hạn hữu hạn u a Theo định lý về giới hạn hữu hạn, ta có: lim n  (nếu b  0 ). vn b [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định nghĩa dãy số dẫn tới vô cực. Theo định nghĩa giới hạn vô cực: Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? A. lim q n  0, q  R . B. lim c  c với c là hằng số.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. lim. Câu 6.. 1  0 với k nguyên dương . nk. D. lim. Ôn tập BKII Toán 11.  1 n. n. 0 .. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được một số giới hạn đặc biệt. Ta có lim q n  0 nếu q  1 [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ? v A. Nếu lim un  a và lim vn   thì lim n  0 . un B. Nếu lim un  a , lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim. un   . vn. C. Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a .. Câu 7.. D. Nếu lim un   và lim vn  a thì lim un vn   . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực và giới hạn hữu hạn. u Nếu lim un  a và lim vn   thì lim n  0 . vn u Nếu lim un  a  0 , lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim n   . vn Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim un vn   . u [ NB] Cho lim un  2 , lim vn  0 và vn  0 . Khi đó lim n bằng vn A.  . B.  . C. 0 . D.  . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vô cực. Ta có lim un  2  0 , lim vn  0 và vn  0 nên theo định lý về giới hạn vô cực ta có lim. Câu 8.. [NB] Tính lim x 1. A.. Câu 9.. 2019 . 2020. un   . vn. x  2019 . x  2020 B.. 2021 . 2022. C.. 2018 . 2019. D.. 2020 . 2021. Lời giải Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. x  2019 1  2019 2020   Ta có: lim . x 1 x  2020 1  2020 2021 [NB] Cho lim g  x   3 , lim h  x   10 . Tính lim  h  x   g  x   . x 2. A. 7 .. x 2. x2. C. 13 . D. 13 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: nhận biết được hiệu của hai giới hạn (định lý về giới hạn hữu hạn) Có lim  h  x   g  x    lim h  x   lim g  x   10  3  7 . x2. B. 7 .. x2. x 2. 3 x  8 khi x  2 Câu 10. [NB] Cho hàm số f  x    2 . Tìm lim f  x  . x2  x  2 x khi x  2 A. 0 . B. 2 . C. 8 . Lời giải. D. 14 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn trái của hàm số. Ta có: lim f  x   lim  x 2  2 x   22  2.2  8 . x 2. x2. Câu 11. [NB] Cho lim f  x   L; lim g  x   M , với L, M   . Chọn khẳng định sai. x  x0. x  x0. A. lim  f  x   g  x    L  M . x  x0 C. lim. x  x0. f  x g  x. . B. lim  f  x  .g  x    L.M . x  x0. L . M. D. lim  f  x   g  x    L  M . x  x0. Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các quy tắc tính giới hạn Khẳng định C chỉ đúng khi M  0 . Câu 12. [NB] Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai. A. lim x 2k   . x . B. lim x k   . x. C. lim. x. 8 0. xk. D. lim 8x k   . x. Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các giới hạn vô cực và giới hạn 0 Khi k là số chẵn tức là k có dạng k  2m thì lim x k  lim x 2 m   . x. x. Câu 13. [NB] Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y  f  x  . Hãy quan sát đồ thị và cho biết. lim  f  x  , lim  f  x  , lim f  x  , lim f  x  lần lượt có giá trị bằng:. x  1. x  1. A. 1; ; ;1 .. x . x . B. ; ;1;1. C. 1;1; ;  D. ; ;1;1 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc kiến thức về giới hạn 1 bên và giới hạn tại vô cực Chọn B Câu 14. [NB] Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f  x  liên tục tại x  a nếu A. f  x  có giới hạn hữu hạn khi x  a .. B. lim f  x   lim f  x    .. C. lim f  x   f  a  .. D. lim f  x   lim f  x   a .. x a. x a. x a. x a. xa. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(59)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f  x  liên tục tại x  a nếu. lim f  x   f  a  . x a. x2  1 Câu 15. [NB] Hàm số f  x   2 liên tục trên khoảng nào sau đây? x  5x  6 A.  6;1 . B.  1;6  . C.  1;   . D.  ;6  . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng TXĐ : D   \ 1; 6 . Hàm số liên tục trên các khoảng:  ; 1 ;  1;6  ;  6;   . Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng  1;6  . Câu 16. [NB] Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu  P  tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là A. Điểm A . C. Đường thẳng đi qua A .. B. Trùng với phương chiếu. D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm phép chiếu song song. Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A . Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A . Câu 17. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.     B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.    C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Lời giải Tác giả: Hồ Hữu Tình Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm ba vectơ trong không gian đồng phẳng Dựa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD. ABC D . Chọn đẳng thức đúng.         A. DB  DA  DD  DC . B. AC  AC  AB  AD .         C. DB  DA  DD  DC . D. AC  AB  AB  AD . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Chỉ ra được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian B' C' D'. A'. C. B A. D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.     Theo quy tắc hình hộp ta có DB  DA  DD  DC .   Câu 19. [NB] Cho hai đường thẳng a, b lần lượt có véc tơ chỉ phương là u , v . Mệnh đề nào sau đây sai?   A. Nếu a  b thì u.v  0 . B. Nếu u.v  0 thì a  b .   u.v u.v C. cos(a, b)    . D. cos(a, b)    . u .v u .v Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian.  u.v Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian luôn là góc nhọn hoặc vuông nên cos(a, b)    . u .v. Câu 20. [NB] Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm và điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng  Đường thẳng 1 có véc tơ chỉ phương u1  Đường thẳng  2 có véc tơ chỉ phương u 2  Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương v       1 // 2  u1 , u 2 cuøng phöông      v.u 2  0  d   2  d  1  v.u1  0 5u  7 Câu 21. [TH] Cho dãy số un  có lim un  7 . Tính giới hạn lim n . 7u n  5 5 14 7 A. 7 . B. . C. . D. . 7 15 11 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản. 5u  7 5.7  7 7 Ta có lim n   . 7un  5 7.7  5 11 Câu 22 . [TH] Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1  1 1 1  A    ...  n  ......  1     ...  n  ......  . 3 2  3 9 27  2 4 8  4 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 6 Lời giải Yêu cầu cần đat: Học sinh tính được tổng một cấp số nhân lùi vô hạn đơn giản. u Áp dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn: S  1 ta có: 1 q. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 1 1 1 1 1 1 Xét S1     ...  n  ......  3  . 1 2 3 9 27 3 1 3 1 1 1 1 1 Xét S 2  1     ...  n  ......   2. 1 2 4 8 2 1 2 1 1 1 1 1 1  1 1 1  Khi đó: A      ...  n  ......  1     ...  n  ......   S1.S 2  .2  1 . 3 2 2  3 9 27  2 4 8 . 2n3 1 2n  310 4. Câu 23. [TH] Giới hạn của dãy số un  với un . 2n 22  2. là:. 15 . C. 213 . 4 Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản. Ta có:. A. 2 .. D. 218 .. B.. 2n3 1 2n  310 4. lim un  lim. 2n 22  2.       1 3  2  13  . 2  3  n 2  3  .n10 2      n  n n   n   lim  lim  213.   2 2 2  22 n 22 2  22  n  n  4. 10. 4. 10. 12.  3x 2 2 x3  Câu 24 . [TH] Tính giới hạn sau: lim   2 . x  4 x  1 2x 1  . 3 1 C.  . D. . 4 4 Lời giải Yêu cầu cần đat: Học sinh biết cách tính giới hạn đến vô cực 3 x 2  2 x 2  1  2 x 3  4 x  1  3x 2 2 x3  2 x 4  2 x 3  3 x 2 Ta có: lim   2   lim  lim x  4 x  1 x  4 x  1 2 x 2  1 2 x  1  x   4 x  1  2 x 2  1     A.  .. B.  .. 2 3 2 3   x 4  2   2  x  2   2  x x  x x    lim  lim    . x  1  1  x  1  1 3 x  4   2  2   4   2  2  x  x  x  x    3  x  2x  5 Câu 25. [TH] Kết quả của lim bằng: x 2 x2  2 x A.. 9 . 8. B.  .. C.  .. D.. 1 . 8. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Học sinh hiểu được giới hạn một bên để từ đó biết được khi nào ra  hay  .  x3  2 x  5   Ta có : lim x 2 x2  2 x. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  lim   x3  2 x  5   1  x2  Vì  lim  x 2  2 x   0  x2   x  2  x  2  x 2  2 x  x  x  2   0 Câu 26. [TH] Cho lim. x . . . x 2  ax  6  x  5 với a   . Giá trị của a là: B. 10. A. 6. C. 10 D. 6 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Học sinh nhận biết được thế nào là dạng    và cách khử dạng vô định đó..  Ta có: lim  x  ax  6  x   lim. x 2  ax  6  x. 2. x . x .  lim. . x 2  ax  6  x. . x2  ax  6  x x 2  ax  6  x 2. x 2  ax  6  x 6  x  a   x   lim x    a 6  x  1   2  1 x x   x . 6 a x  lim  x    2 a 6   1   2  1 x x   a . Theo đề bài, ta lại có:. a  5  a  10 2. Câu 27. [TH] Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực  ? x 1 x 1 x 1 x 1 A. y  . B. y  . C. y  2 . D. y  2 . x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. x 1 Phương án A hàm số y  có tập xác định là  \ 1 nên hàm số gián đoạn tại x  1 . x 1 x 1 Phương án B hàm số y  có tập xác định là  \ 1 nên hàm số gián đoạn tại x  1 . x 1 x 1 Phương án D hàm số y  2 có tập xác định là  \ 1 nên hàm số gián đoạn tại x  1 . x 1 x 1 Phương án C hàm số y  2 là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là  nên nó liên tục x 1 trên  . khi x  1 3  4 x  x Câu 28. [TH] Hàm số f  x    2 khi x  1; x  0 liên tục tại x  x khi x  0 1 ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. B. Mọi điểm x   . D. Mọi điểm trừ x  0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Giải thích được tính liên tục tại một điểm của hàm số. Hàm số y  f  x  có TXĐ: D   A. x  0; x  1 . C. Mọi điểm trừ x  1 .. Dễ thấy hàm số y  f  x  liên tục trên mỗi khoảng  ; 1 ,  1; 0  và  0;   . . Xét tại x  1, ta có:. x  x  1  x2  x  1 x4  x lim f  x   lim 2  lim  lim  x2  x  1  3  f  1 . x 1 x 1 x  x x 1 x 1 x  x  1  hàm số y  f  x  liên tục tại x  1.. . Xét tại x  0 , ta có:. x  x  1  x2  x  1 x4  x lim f  x   lim 2  lim  lim  x2  x  1  1  f  0  . x0 x0 x  x x 0 x 0 x  x  1  hàm số y  f  x  liên tục tại x  0 ..  x2  4 khi x  2  Câu 29. [TH] Cho hàm số y  f  x    x  2 .  5 khi x  2  Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho? A. Hàm số liên tục trên  . B. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;2  và  2;   , gián đoạn tại x  2 .. C. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;4  và  4;   , gián đoạn tại x  4 . D. Hàm số liên tục trên các khoảng  ;5  và  5;   , gián đoạn tại x  5 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. x2  4 Trên các khoảng  ;2  và  2;   , hàm số y  là hàm phân thức hữu tỉ xác định nên x2 liên tục. Xét hàm số tại x  2 : x2  4  x  2  x  2   lim x  2  4 lim f  x   lim  lim   x 2 x 2 x  2 x 2 x 2 x2 f  2  5 Vì lim f  x   f  2 nên hàm số gián đoạn tại x  2 . x2.  x 2  a khi x  1 Câu 30. [TH] Cho hàm số y  f  x    . khi x  1  3 Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên  ? A. a  2 . B. a  1 . C. a  4 . D. a  3 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. Trên khoảng  ;1 , hàm số y  x 2  a là hàm đa thức nên liên tục. Trên khoảng 1;   , hàm số y  3 là hàm đa thức nên liên tục. Xét hàm số tại x  1 : ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(64)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. lim f  x   lim  x 2  a   1  a x 1. x 1. lim f  x   lim  3  3 x1. x1. f 1  3 Hàm số liên tục trên  khi hàm số liên tục tại x  1  lim f  x   lim f  x   f 1  a  2 . x1. x1. Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . M , N lần lượt là trung điểm của AB và BB ' .   Góc giữa hai vectơ MN và A ' C ' bằng. A. 0o . B. 60o . C. 90o . D. 30o . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian.  1     1    MN  AB ' ' . 2 Ta có   MN , A ' C '   AB ', AC   CAB   2    A ' C '  AC  '  60 . Tam giác AB ' C là tam giác đều nên CAB   Vậy MN , A ' C '  60 .. . . . . Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C là. A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xác định được góc giữa hai đường thẳng trong không gian. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(65)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Ta có MN //CD '  góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C bằng góc giữa hai đường thẳng CD ' và B ' C . Tam giác B ' CD ' là tam giác đều nên suy ra góc giữ hai đường thẳng CD ' và B ' C bằng 60 . Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và B ' C bằng 60 .   900 , AB  DC . Gọi M , N , E , F lần lượt là trung Câu 33. [TH] Cho tứ giác ABCD có  ABC  CDA điểm của AB, CD, AD, BC . Biết AC  BD . Góc giữa MN và EF bằng A. 900. B. 300. C. 600. D. 450. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Sử dụng tích vô hướng. Ta có:  1     1     MN  2 AD  BC  MN .EF  AD  BC . AB  DC    4  EF  1 AB  DC  2   1          MN .EF  AD. AB  AD.DC  BC. AB  BC .DC 4    AB.BC  0   900 Mà   Do  ABC  CDA  AD.DC  0   1      MN .EF  AD. AB  BC .DC 4   1       BC . DC .cos BCD   MN .EF  AD . AB .cos BAD 4   1       BC . DC .cos 180  BAD   MN .EF  AD . AB .cos BAD 4. . . . . . . . . . . .  . . .  .  .  . . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(66)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Do AC  BD nên dễ chứng minh AB  AD; DC  CB bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông   1       BC . DC .cos BAD  0  MN .EF  AD . AB .cos BAD 4  MN  EF . Chọn A. Câu 34. [TH] Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD , AK , GF đồng phẳng. B. BD , IK , GF đồng phẳng.       C. BD , EK , GF đồng phẳng. D. BD , IK , GC đồng phẳng. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Giải thích được sự đồng phẳng của ba vectơ cho trước.. . . . . .  IK //( ABCD )     + Vì GF //( ABCD)  IK , GF , BD đồng phẳng. BD  (ABCD)  + Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng. Do đó chúng không thể đồng phẳng.   Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB  b ,     AC  c , AD  d .Khẳng định nào sau đây đúng?  1     1    A. MP  c  d  b . B. MP  d  b  c . 2 2  1     1    C. MP  c  b  d . D. MP  c  d  b . 2 2 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Thực hiện được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian.  .  .  .  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(67)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  1   Ta có: MP  MC  MD 2 1     1     AC  AM  AD  AM  c  d  2 AM 2 2 1    1     c  d  AB  c  d  b . 2 2 II. PHẦN TỰ LUẬN  1  Câu 1. [VD] Tính lim  9 n  2.3n  3n   2021   Lời giải Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được các khái niệm giới hạn, định lý, giới hạn đặc biệt vào tình huống cụ thể.  1  1 n n n lim  9n  2.3n  3n    lim 9  2.3  3  lim 2021  2021 . .  . .   .  . . .  lim. . 9 n  2.3n  9 n. . 1 2021. 9 n  2.3n  3n 2.3n 1  lim    2021 2 3n  1  n  1    3   2 1  lim  2021 2 1 n 1 3 1  1  2021 Câu 2. [VD] Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB, CD lấy điểm P, Q sao cho AP  4 PB, CD  5CQ .    Chứng minh AD, BC , PQ đồng phẳng. Lời giải     AD  AP  PQ  QD (1)     BC  BP  PQ  QC      4 BC  4 BP  4 PQ  4QC (2)    (1), (2)  AD  4 BC  5 PQ       (do AP  4 BP  0; QD  4QC  0 )  1  4   PQ  AD  BC 5 5. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(68)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.     AD, BC , PQ đồng phẳng.. Câu 3a. [VD] Tính lim x 1. 4x  3  3 6x  5 . x3  x 2  x  1. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nắm vững kỹ thuật tính giới hạn hàm số cùng với kỹ năng biến đổi. 4x  3  3 6x  5 4x  3  3 6 x  5 Ta có lim  lim . x 1 x 1 x3  x 2  x  1  x  12  x  1 Đặt t  x  1  x  t  1 . Khi đó. lim x 1. 4x  3  3 6 x  5 2.  x  1  x  1.  lim t 0. 4t  1   2t  1. * lim. 2. t t  2. t 0. 3. * lim. 6t  1   2t  1. t 0. Vậy lim x 1. 2. t t  2.  4t  1  (2t  1) 3 6t  1  (2t  1)  4t  1  3 6t  1  lim    . t 0  t 2  t  2 t 2 (t  2) t 2 (t  2)    lim t 0.  lim t 0. 4.  t  2  . 4t  1   2t  1 .  1.. 8t  12 2 2  t  2  3  6t  1   2t  1 3 6t  1   2t  1   .  2.. 4x  3  3 6x  5  1  2  1 . x3  x2  x  1. Câu 3b. [ VDC] 1. Cho phương trình: x 3 cos 3 x  m  x cos x  1 x cos x  2   0 . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nắm vững được tính chất liên tục của hàm số để chứng minh phương có nghiệm. * Xét f  x   x cos x  1 có tập xác định là  và liên tục trên  . Có f  0   1  0 và f       1  0 . Vậy x1    ;0  : f  x1   0 . Tức là x1 cos x1  1 * Xét g  x   x cos x  2 có tập xác định là  và liên tục trên  . Có g  0   2  0 và g      2  0 . Vậy x2   0;   : g  x2   0 . Tức là x2 cos x2  2 * Xét F  x   x 3 cos3 x  m  x cos x  1 x cos x  2  có tập xác định là  và liên tục trên  . 3. Có F  x1   13  m.0  1  0 và F  x2    2   0 m  8  0 nên x0   x1; x2  : F  x0   0 . Vậy phương trình F  x   0 luôn có nghiệm với mọi giá trị m .. . . . . 2. Cho phương trình: m 2  m  2021 x 3  2 m 2  2m  4040 x 2  4 x  m 2  m  2021  0 . Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được định lí giá trị trung gian và kết hợp với tính năng bảng giá trị của máy tính Casio để tìm các khoảng mà phương trình có nghiệm. * Xét f ( x)  m 2  m  2021 x3  2m 2  2m  4040 x 2  4 x  m 2  m  2021 có tập xác. . . . . định là  và liên tục trên  . Ta có: ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(69)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 2. 1  8069   0, m f  1  2m 2  2m  4035  2  m    2 2  2. 1  8083   0, m f  0   m  m  2021   m    2 4  f 1  2  0, m 2. 2. 1  8083   0, m f  2   m  m  2021   m    2 4  Do đó: * f  1 . f (0)  0 nên x1   1;0  : f  x1   0 2. Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc  1;0  * f  0  . f (1)  0 nên x2   0;1 : f  x2   0 Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc  0;1 * f 1 . f (2)  0 nên x3  1; 2  : f  x3   0 Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 2  Vì ba khoảng  1;0  ,  0;1 và 1; 2  rởi nhau đôi một nên phương trình f  x   0 có ít nhất ba nghiệm trên  . Mặt khác, vì m 2  m  2021  0, m nên. f  x  là một đa thức bậc ba nên phương trình. f  x   0 chỉ có tối đa ba nghiệm trên  . Kết luận: Phương trình f  x   0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m . ---------------------------Hết---------------------------. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(70)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. ĐỀ SỐ 5. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận). Câu 1. [ TH] Tính giới hạn lim. 5n  3n. 5n  4 A. 3 . B. 0 . C. 5 . D. 1 . Câu 2. [ NB]Cho hai đường thẳng a, b phân biệt và mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào sau đây sai?. A. Nếu  P  //  Q  và b   P  thì b   Q  .. B. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .. C. Nếu a //  P  và b   P  thì b  a .. D. Nếu a   P  và b   P  thì a // b .. Câu 3. [ TH]Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  ; tam giác ABC đều cạnh a và SA  a . Tìm góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  . A. 600 . B. 900 . C. 300 . Câu 4. [ NB]Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 ?. D. 450 .. n.  2019   . B. lim   2020 . n3 A. lim . n 2. C. lim 2n .. D. lim n 4 ..   Câu 5. [ TH] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính tích vô hướng AB.AC theo a .. 1 2 3 2 a . B. a 2 . C. a 2 . D. a . 2 2 Câu 6. [ VD] Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là trực tâm tam A.. giác ABC . Khẳng định nào sau đây sai? A. AB  OC . B. OH  ABC  .. C. OH  BC .. D. OH  OA .. 2x  3 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x 2 A. Hàm số liên tục trên khoảng 1;5 . B. Hàm số gián đoạn tại x  2020. Câu 7. [ NB] Cho hàm số f x  . C. Hàm số liên tục tại x  2 . D. Hàm số gián đoạn tại x  2 . Câu8 . [ NB] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 5.  C. lim 3x  2. A. lim x 2  3x  7 x 2. . B. lim. x . . x 2  10  x. . D. lim x  3. x 2. x 3. [ NB] Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? 4x  5 3x  2   A. lim 5 B. lim x 1 2  x x 2 x 2 3x  2   C. lim x 2  2x  5  x  1 D. lim x  x  1 x  Câu 10. [ NB] Biết ba số x 2 ; 8; x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng A. x  4 . B. x  5 . C. x  2 . D. x  1 . Câu 11. [ NB] Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' . Chọn mệnh đề đúng? Câu 9.. . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(71)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.       A. AC  C ' A ' . B. AB  AD  AC  AA ' .      C. AB  CD . D. AB  C ' D '  0 . x 2  3x  2 lim Câu 12. [ NB] Giá trị bằng x 1 x2 1 1 1 1 1 A.  . B. . C. . D. . 2 5 3 4 Câu 13. [ TH] Cho cấp số cộng  un  có u2  8; u5  17 . Công sai d bằng A. d  3 . B. d  5 . C. d  3 . D. d  5 . Câu 14. [ NB] Hàm số nào sau đây không liên tục tại x  2 ? x2 A. y  x  2 . B. y  sin x . C. y  . D. y  x 2  3x  2 . x2 Câu 15. [ NB] Cho cấp số nhân  un  với u1  81 và u2  27 . Tìm công bội q .. 1 A. q   . 3. 1 B. q  . C. q  3 . D. q  3 . 3 4x 2  3x  2 Câu 16. [ NB] Cho giới hạn I  lim . Khẳng định nào sau đây đúng x  x 2  x  2 A. I  3; 5 B. I  2; 3 C. I  5;6 D. I  1;2 Câu 17. [ NB] Cho cấp số cộng un  có u1  19 và d  2 . Tìm số hạng tổng quát u n . A. u n  2n 2  33 .. B. u n   3n  24. C. un  2n  21. D. un  12  2n. B. I   .. C. I  2 .. D. I  5 .. Câu 18. [ NB] Giới hạn I  lim 2x 3  4x  5 bằng x . A. I   .. Câu 19. [ TH] Hàm số f  x   3  x  4  x liên tục trên B.  3; 4  . C.   3;   . D.  ; 4 . 2n  3 Câu 20. [ NB] Giới hạn J  lim bằng n 1 A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 .  n  1 2n  3 bằng Câu 21. [ NB] Tính giới hạn J  lim n3  2 A. J  0 . B. J  2 . C. J  1 . D. J  3 . Câu 22. [ NB] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai?     A. AB,CD là hai đường thẳng chéo nhau. B. AB  AC  AD  4AG .         C. AB, AC , AD đồng phẳng. D. AB  BC  CD  DA  0 . A.   3;10  .. Câu 23. [ NB] Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1;  1; 1;  1 . B. 1;  3; 9;10 . C. 1;0;0;0 . D. 32; 16; 8; 4 . Câu 24. [ NB] Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng   mà   //c thì a // b . B. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b . C. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(72)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. D. Nếu a // b và c  a thì c  b . Câu 25. [ NB] Tính giới hạn I  lim ( x 2  3 x  5) . x 1. A. I  3.. C. I  . D. I  5. 2 x 1 Câu 26. [ TH] Cho các hàm số y  x 2 ; y  sin x; y  tan x; y  2 . Có bao nhiêu hàm số liên tục x  x 1 trên  . A. 4. B. 3 . C. 1. D. 2. Câu 27. [ TH] Chọn mệnh đề sai. 1 3  0. A. lim n  0. B. lim 2 n 1 C. lim. . B. I  1.. . n 2  2n  3  n  1.. D. lim(2)n  .. Câu 28. [ TH] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và AB  BC . Hình chóp S. ABC có bao nhiêu mặt là tam giác vuông? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 29. [ TH] Chọn mệnh đề đúng A. lim 2n 2  3   .. B. lim n 2  n  1   .. 2n  5 D. lim2n  0 .  1. 2n  3 [ TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' A. 300 . B. 900 . C. 600 . D. 00 . [ TH] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a và SC  ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của AB và  là góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABC ) . Biết SC  a , tính tan  . 21 3 2 7 2 3 A. . B. . C. . D. . 7 2 7 3 [ VD] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD , SA  ( ABCD ) và SA  AB . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC , SC . Góc giữa EF và mặt phẳng (SAD) bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . [ TH] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để I  12 biết I  lim x 4  2mx  m2  3 .. C. lim. Câu 30. Câu 31.. Câu 32.. Câu 33.. x 1. . . A. 6. B. 5. C. 8. D. 7. 3 2 Câu 34. [ TH] Cho phương trình x  3x  3  0 Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Phương trình vô nghiệm. B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình có đúng hai nghiệm x  1; x  2 . D. Phương trình có đúng một nghiệm. Câu 35. [ TH] Cho hình chóp S .ABC có SA  SB  SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. I là trực tâm của ABC . B. I là trung điểm của AB . C. I là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC . D. I là trọng tâm của ABC . 1 1 1 a a Câu 36. [ TH] Biết tổng S  2    ...  n  ...  ( với a, b  ; là phân số tối giản). 3 9 b b 3 Tính tích a .b ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(73)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 9 .. B. 60 .. Câu 37. [ VD] Cho cấp số cộng un . Ôn tập BKII Toán 11. D. 10 . 1 1 1 với u1  11; u2  13 . Tính tổng S    ....  . u1u2 u2u3 u99u100 C. 7 .. 9 10 10 9 . B. S  . C. S  . D. S  . 209 211 209 200 Câu 38. [ TH] Cho cấp số nhân un  có u 2   2 và u 5  54 . Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của. A. S . cấp số nhân đã cho. 31000  1 1  31000 1  31000 31000  1 A. S1000  . B. S1000  . C. S1000  . D. S1000  . 2 4 6 6 Câu 39. [ TH] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM . A.. 3 . 6. B.. Câu 40. [ TH] Hàm số f  x   A.  0; 4  .. 1 . 2. C.. 3 . 2. D.. 2x  3 liên tục trên khoảng nào sau đây? x2 B.  2;   . C.  0;   .. 2 . 2. D.  .. sin x ? x  3x2  2 x  2 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 42. [ TH] Cho tứ diện ABCD có AC  6a; BD  8a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Biết AC  BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. MN  a 10 . B. MN  7a . C. MN  5a . D. MN  10a . Câu 43. [ TH] Cho giới hạn lim  x 2  2ax  3  a 2   3 thì a bằng bao nhiêu? Câu 41. [ NB] Số điểm gián đoạn của hàm số f  x  . 3. x 2. A. a  2 . B. a  0 C. a  2 . D. a  1 . Câu 44. [ NB] Cho hàm số f  x  xác định trên  và thỏa mãn lim f ( x )  7 thì lim 10  2 f ( x) bằng x 3. bao nhiêu? A. 4 .. B. 4. C. 10 .. x 3. D. 14 .. x 2  3x khi x  1  Câu 45. [ TH] Gọi S là tập các giá trị của tham số thực m để hàm số f x    2 m  m  8 khi x  1  liên tục tại x  1. Tích các phần tử của tập S bằng. A. 2 . B. 8 . C. 6 . D. 1 . Câu 46. [ VD] Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Người ta dựng hình vuông A1B1C 1D1 có cạnh 1 1 đường chéo của hình vuông ABCD ; dựng hình vuông A2B2C 2D2 có cạnh bằng 2 2 đường chéo của hình vuông A1B1C 1D1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến. bằng. ra vô hạn. Nếu tổng diện tích S của tất cả các hình vuông ABCD, A1 B1C1 D1 , A2 B2C2 D 2 ... bằng 8 thì a bằng: A. 2 .. B.. 2.. C.. 3.. D. 2 2 .. ax 2  bx  5  20 . Tính P  a 2  b 2  a  b x 1 x 1. Câu 47. [ VD] Cho a, b là các số nguyên và lim. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(74)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A. 400 B. 225 C. 325 D. 320 Câu 48. [ VDC] Cho tứ diện ABCD có AB  x (x  0) , các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 4. Mặt phẳng P  chứa cạnh AB và vuông góc với cạnh CD tại I . Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng: A. 12.. B. 6.. Câu 49. [ VD] Cho hàm số f  x  lim. 2 f  x   16  4 x2  x  6. x 2. 1 . 5. D. 4 3 . f  x   16 xác định trên  thỏa mãn lim  12 . Giới hạn x2 x2. bằng:. 3 . 5  4x 1 1  2 Câu 50. [ VD] Cho hàm số f  x    ax   2a  1 x  3 A.. C. 8 3 .. B.. C. 20 . khi x  0. D. . 1 . 20. . Biết a là giá trị để hàm số liên. khi x  0. tục tại điểm x0  0 . Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình x 2  x  36a  0. A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . ---------------------Hết---------------------. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(75)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. 1.D 11.D 21.A 31.D 41.D. 2.B 12.D 22.C 32.A 42.C. 3.D 13.C 23.B 33.B 43.C. ĐÁP ÁN 5.A 6.D 15.B 16.A 25.B 26.B 35.C 36.D 45.C 46.A. 4.B 14.C 24.D 34.B 44.A. Ôn tập BKII Toán 11. 7.D 17.C 27.D 37.A 47.D. 8.A 18.A 28.A 38.C 48.B. 9.D 19.B 29.C 39.A 49.B. 10. A 20.C 30.C 40.B 50.A. LỜI GIẢI CHI TIẾT n. Câu 1.. [ TH] Tính giới hạn lim A. 3 .. n. 5 3 5n  4 B. 0 .. C. 5 . Lời giải. D. 1 .. n. Câu 2..  3 1   n n 5 3  5   1 0  1. Ta có lim n  lim n 5 4 1  4.0 1 1  4.   5 [ NB] Cho hai đường thẳng a, b phân biệt và mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào sau đây sai?. A. Nếu  P  //  Q  và b   P  thì b   Q  . C. Nếu a //  P  và b   P  thì b  a .. Câu 3.. B. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  . D. Nếu a   P  và b   P  thì a // b . Lời giải. Theo tính chất mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng thì đáp án A, C , D đúng. Trong đáp án B nếu a, b nằm trong mặt phẳng song song với  P  thì b //  P  . Vậy kết luận ở câu B sai. [ TH] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  ; tam giác ABC đều cạnh a và SA  a . Tìm góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  . A. 600 .. B. 900 .. C. 300 . Lời giải. D. 450 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(76)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. . Ôn tập BKII Toán 11. Ta có C  SC   ABC  1. Hơn nữa, theo giả thiết SA   ABC  nên A là hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC   2  Từ 1 và  2  suy ra AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng  ABC  .. . Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  là góc giữa SC và AC hay góc SCA   Tính góc SCA Ta có SA   ABC  mà AC   ABC  nên SA  AC . Mặt khác, SA  AC  a ( theo giả thiết)..   450 . Suy ra tam giác SAC vuông cân tại A , suy ra SCA Câu 4. [ NB] Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 ? n. n3 A. lim . n2. Câu 5..  2019  B. lim  C. lim 2n . D. lim n4 .  .  2020  Lời giải 1 1  3. n3 n  1  3.0  1 . Xét đáp án A, lim  lim 1 1  2.0 n2 1  2. n n 2019  2019  Xét đáp án B, lim   1.   0 vì 2020  2020  Xét đáp án C, lim 2n   . Xét đáp án D, lim n 4   .   [ TH] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính tích vô hướng AB.AC theo a .. A.. 1 2 a . 2. B. a 2 .. C. a 2 .. D.. 3 2 a . 2. Lời giải. Tứ diện ABCD là tứ diện đều cạnh a nên suy ra tam giác ABC đều cạnh a .         a .a . cos 60   1 a 2 . Do đó AB.AC  AB . AC . cos AB, AC  AB.AC . cos BAC 2. . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(77)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Câu 6.. Ôn tập BKII Toán 11. [ VD] Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây sai? A. AB  OC . B. OH  ABC  .. C. OH  BC .. D. OH  OA .. Lời giải. Kẻ CE  AB  E  AB  , AF  AC  F  AC  , CE  AF  H . Tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau do đó OA   OBC  , OB   OAC  , OC   OAB  .. . Ta có OC   OAB   OC  AB. Do đó đáp án A đúng..  BC  AF Ta có   BC   OAF   BC  OH . Do đó đáp án C đúng.  BC  OA  vì OA   OBC    AB  CE  Ta có   AB   COE   AB  OH .  AB  OC  vì OC   OAB   OH  BC Do đó   OH   ABC  . Do đó đáp án B đúng. OH  AB . . Ta có OA   OBC   OA  OF  AOF vuông tại O .. Suy ra OH không vuông góc với OA . Do đó đáp án D sai. 2x  3 Câu 7. [ NB] Cho hàm số f x   . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x 2 A. Hàm số liên tục trên khoảng 1;5 .. B. Hàm số gián đoạn tại x  2020. C. Hàm số liên tục tại x  2. D. Hàm số gián đoạn tại x  2 Lời giải. TXĐ : D   \ 2 Nên hàm số sẽ gián đoạn tại x  2 ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(78)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 8. [ NB] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 5.  C. lim 3x  2. A. lim x 2  3x  7 x 2. . B. lim. x . . x 2  10  x. . D. lim x  3. x 2. x 3. Lời giải Vì lim x  3x  7  2  3. 2  7  4  6  7  5 2. 2. x 2. [ NB] Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai ? 3x  2 4x  5 5   A. lim B. lim x 1 2  x x 2 x  2 3x  2   C. lim x2  2x  5  x  1 D. lim x  x  x  1 Lời giải 2 3 3x  2 x  3 3 Vì lim  lim x  x  1 x  1 1 1 x 2 Câu 10.[ NB] Biết ba số x ;8; x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng A. x  4 . B. x  5 . C. x  2 . D. x  1 . Lời giải Theo tính chất cấp số nhân ta có: 82  x 2 .x  x  4 Câu 11.[ NB] Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Chọn mệnh đề đúng?       A. AC  C A . B. AB  AD  AC  AA .      C. AB  CD . D. AB  C D  0 . Lời giải Câu 9.. . . A'. D' C'. B'. D. A B. C.      Ta có : AB và C D là hai vectơ đối nhau nên AB  C D  0 x 2  3x  2 Câu 12.[ NB] Giá trị lim bằng x 1 x2 1 1 1 1 A.  . B. . C. . 2 5 3 Lời giải 2 x  1 . x  2     lim x  2   1 x  3x  2 lim  lim 2 x 1 x  1 x 1  x  1 . x  1 x 1 x  1 2. D.. 1 . 4. Câu 13. [ TH] Cho cấp số cộng  un  có u2  8; u5  17 . Công sai d bằng A. d  3 .. B. d  5 .. C. d  3 .. D. d  5 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(79)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải. u2  8 u1  d  8 u  5 Ta có:    1 . u1  4d  17 d  3 u5  17 Vậy d  3 . Câu 14. [ NB] Hàm số nào sau đây không liên tục tại x  2 ? A. y  x  2 .. B. y  sin x .. C. y . x2 . x2. D. y  x 2  3x  2 .. Lời giải 2. x có tập xác định D   \ 2 nên không liên tục tại x  2 . x2 Câu 15. [ NB] Cho cấp số nhân  un  với u1  81 và u2  27 . Tìm công bội q .. Hàm số y . 1 A. q   . 3. 1 B. q  . 3. C. q  3 .. D. q  3 .. Lời giải. u1  81 u1  81 u1  81  Ta có:    1 . u2  27 u1q  27 q  3 1 Vậy q  . 3 4x 2  3x  2 Câu 16. [ NB] Cho giới hạn I  lim . Khẳng định nào sau đây đúng x  x 2  x  2 A. I  3; 5 . B. I  2; 3 . C. I  5;6 . D. I  1;2 . Lời giải 3 2 4  2 2 4x  3x  2 x x  4  0  0  4. I  lim  lim 2 x  x  x  2 x  1 2 1 00 1  2 x x Câu 17. [NB] Cho cấp số cộng un  có u1  19 và d  2 . Tìm số hạng tổng quát un . A. u n  2n 2  33. B. un  3n  24. C. un  2n  21. D. un  12  2n. Lời giải un  u1  n  1d  19  n  12  2n  21. Câu 18. [NB] Giới hạn I  lim 2x 3  4x  5 bằng x . B. I  . A. I  . C. I  2 Lời giải. D. I  5.  4 5 I  lim 2x 3  4x  5  lim x 3 2  2  3 . x  x   x x . . . lim x 3  .. x .  4 5 lim 2  2  3   2  0  0  2 . x   x x  ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(80)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  4 5  I  lim x 3 2  2  3   . x   x x  Câu 19. [TH]Hàm số f  x   3  x  4  x liên tục trên B.  3; 4 .. A.   3;10  .. C.   3;   .. D.  ; 4 .. Lời giải 3  x  0 Đkxđ:   3  x  4 . TXĐ: D   3; 4 . 4  x  0 + Lấy x0 bất kì thuộc khoảng  3; 4  thì. lim f  x   lim. x  x0. x x0. . . 3  x  4  x  3  x0  4  x0  f  x0   hàm số liên tục trên khoảng.  3; 4  . + lim  f  x   lim  x  3. x   3 . + lim f  x   lim x 4. x4. . . . 3  x  4  x  7  f  3  .. . 3  x  4  x  7  f  4 .. Vậy hàm số f  x   3  x  4  x liên tục trên đoạn  3; 4 . Câu 20. [NB] Giới hạn J  lim A. 3 .. 2n  3 bằng n 1 B. 1 .. C. 2 .. D. 0 .. Lời giải 3 2 2n  3 n  20  2. J  lim  lim 1 1 0 n 1 1 n  n  1 2n  3 bằng Câu 21. .[NB] Tính giới hạn J  lim n3  2 A. J  0 . B. J  2 . C. J  1 . D. J  3 . Lời giải 2 1 3  2 3 2  n  1 2n  3  lim 2n  n  3  lim n n n  0  0  0  0 J  lim 2 1 0 n3  2 n3  2 1 3 n Câu 22. .[NB] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai?     A. AB,CD là hai đường thẳng chéo nhau. B. AB  AC  AD  4AG .         C. AB, AC , AD đồng phẳng. D. AB  BC  CD  DA  0 .. Lời giải    Vì ABCD là tứ diện thì AB, AC , AD không đồng phẳng. Câu 23. [NB] Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1;  1; 1;  1 . B. 1;  3; 9;10 . C. 1;0;0;0 . Lời giải Xét đáp án A là cấp số nhân với u1  1, q  1.. D. 32; 16; 8; 4 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(81)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 3 9 10   , suy ra không phải cấp số nhân. 1 3 9 Xét đáp án C là cấp số nhân với u1  1, q  0 . 1 Xét đáp án D là cấp số nhân với u1  32, q  . 2 Câu 24. [NB] Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng   mà   //c thì a // b . Xét đáp án B có. B. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b . C. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b . D. Nếu a // b và c  a thì c  b . Lời giải Đáp án B: chỉ đúng trong mặt phẳng. Đáp án C: a và b có thể chéo nhau. Đáp án D: đúng. Câu 25.[NB] Tính giới hạn I  lim ( x 2  3 x  5) . x 1. A. I  3.. B. I  1.. C. I  .. D. I  5.. Lời giải 2. 2. Ta có lim ( x  3x  5)  1  3.1  5  1. x 1. Câu 26.[TH] Cho các hàm số y  x 2 ; y  sin x; y  tan x; y  hàm số đã cho liên tục trên  ? A. 4. B. 3.. x2 1 . Có bao nhiêu hàm số trong các x2  x  1. C. 1.. D. 2.. Lời giải x 1 Vì các hàm số y  x 2 ; y  sin x; y  2 có tập xác định trên  nên chúng liên tục trên x  x 1 .     Hàm số y  tanx liên tục trên từng khoảng xác định   k ;  k  . 2  2  Vậy có 3 hàm số đã cho liên tục trên  . Câu 27.[TH] Chọn mệnh đề sai. 1 3  0. A. lim n  0. B. lim C. lim n 2  2n  3  n  1. D. lim(2)n  . 2 n 1 2. . . Lời giải Ta có n. 1 1 + lim n  lim    0. Đáp án A đúng. 2 2. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(82)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 3 3 0 + lim  lim n   0. Đáp B đúng. 1 1 n 1 1 n n 2  2n  3  n 2 + lim n 2  2n  3  n  lim n 2  2n  3  n 3 2 2n  3 2 n  lim  lim   1. 2 3 1 1 n 2  2n  3  n 1  2 1 n n Đáp án C đúng. Vậy đáp án D sai. Câu 28. [TH] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và AB  BC . Hình chóp S. ABC có bao nhiêu. . . mặt là tam giác vuông? A. 4 . B. 3 .. C. 2 . Lời giải. D. 1.. Ta có SAC vuông tại A ( Do SA  AC ) SAB vuông tại A ( Do SA  AB ) ABC vuông tại B ( Do BC  AB ).  BC  SA Lại có   BC   SAB  mà SB   SAB  suy ra BC  SB nên SBC vuông tại B .  BC  AB Vậy Hình chóp S. ABC có 4 mặt là tam giác vuông. Câu 29. [ TH] Chọn mệnh đề đúng A. lim  2 n 2  3    . C. lim. 2n  5  1. 2n  3. B. lim n2  n  1   . D. lim 2 n  0 .. Lời giải 5 5   n2   2   2n  5 n n 2 Ta có lim  lim   lim    1. 3 3 2 2n  3   n2   2  n n   Câu 30. [ TH] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(83)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. A. 300 .. B. 900 .. Ôn tập BKII Toán 11. C. 600 . Lời giải. D. 00 .. Ta có A ' D / / B ' C suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' là  AC , B ' C  Ta thấy AC , AB ', B ' C lần lượt là đường chéo của các hình vuông ABCD , AA ' B ' B , BB ' C ' C nên tam giác ACB ' đều. Suy ra  ACB '  600 . Vậy  AC , B ' C    ACB '  600 . Câu 31. [ TH] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a và SC  ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của AB và  là góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABC ) . Biết SC  a , tính tan  . 21 3 2 7 2 3 A. . B. . C. . D. . 7 2 7 3 Lời giải. Ta có SC  ( ABC ) nên C là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ( ABC ) . Khi đó, CM là hình chiếu vuông góc của SM xuống mặt phẳng ( ABC ) .  Do đó góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABC ) là   ( SM , MC ) ..  và tan   Tam giác SMC vuông tại C nên   SMC. SC a 2 3   . MC a 3 3 2. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(84)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 32. [ VD] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD , SA  ( ABCD ) và SA  AB . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC , SC . Góc giữa EF và mặt phẳng (SAD) bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải. Ta có EF là đường trung bình trong ABC nên EF  SB . Khi đó góc giữa EF và mặt phẳng (SAD) là góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) . Mặt khác, do SA  BA , AD  BA nên BA  (SAD) . Do đó A là hình chiếu vuông góc của B lên (SAD) . Suy ra, SA là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAD) .  Khi đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAD) là   (SB , SA) . Do ABC vuông cân tại A nên    ASB  45 . Câu 33. [ TH] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực I  lim x4  2mx  m2  3 . x 1. . A. 6 .. m. để. I  12. biết. . B. 5 .. C. 8 . Lời giải. D. 7 .. Ta có I  lim  x 4  2mx  m 2  3 x 1.  lim  (1) 4  2m(1)  m 2  3 x 1.  lim  m 2  2m  4  x 1.  m 2  2m  4.. Do đó, I  12  m 2  2m  8  0  4  m  2 . m    m  3,  2,  1, 0,1 . Do đó, có tất cả 5 giá trị m thoả mãn yêu cầu đề bài. Câu 34. [ TH] Cho phương trình x 3  3x 2  3  0 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình vô nghiệm. B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình có đúng hai nghiệm x  1; x  2 . D. Phương trình có đúng một nghiệm. Lời giải 3 2 Đặt f ( x)  x  3 x  3 , hàm số liên tục trên  . Ta có  f (1)  1  f (1). f (0)  0  phương trình f ( x )  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1; 0    f (0)  3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(85)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  f (1)  1  f (1). f (2)  0  phương trình f ( x )  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1; 2    f (2)  1  f  2   1  f (2). f (3)  0  phương trình f ( x )  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc  2;3  f (3)  3  Do  1; 0   1; 2    2;3   nên ta sẽ có 3 nghiệm trên phân biệt và x 3  3x 2  3  0 là phương trình bậc ba nên sẽ có tối đa 3 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt. Câu 35. [ TH] Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC . Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. B. C. D.. I I I I. là trực tâm của ABC . là trung điểm của AB . là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC . là trọng tâm của ABC . Lời giải. Ta có SIA, SIB, SIC là các tam giác vuông tại I vì SI  ( ABC ) . Xét SIA vuông tại I và SIB vuông tại I có: SI là cạnh chung, cạnh huyền SA  SB  SIA  SIB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)  IA  IB (1). Tương tự ta có SIB  SIC  IB  IC (2). Từ (1), (2) ta có IA  IB  IC . Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC . 1 1 1 a a Câu 36. [ TH] Biết tổng S  2    ...  n  ...  ( với a, b  ; là phân số tối giản). Tính tích 3 9 3 b b a.b A. 9 . B. 60 . C. 7 . D. 10 . Lời giải 1 1 1 Đặt S1    ...  n  ... 3 9 3 1 1 1 1 Ta có S1 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1  và công bội q   S1  3  1 2 3 3 1 3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(86)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 1 1 1 1 5 Nên S  2    ...  n  ...  2  S1  2   từ đó ta có a  5, b  2  a.b  10 . 3 9 3 2 2 1 1 1 Câu 37: [VD] Cho cấp số cộng un  với u1  11; u2  13 . Tính tổng S    ....  . u1u2 u2u3 u99u100 A. S . 9 . 209. B. S . 10 . 211. C. S . 10 . 209. D. S . 9 . 200. Lời giải Ta có u1  11; u2  13  d  u2  u1  2 . 1 1 1 Lại có S  .   ...  u1u2 u2 u3 u99u100 2 2 2 u u u u u u  2S    ...   2 1  3 2  ...  100 99 u1u2 u2 u3 u99u100 u1u2 u2 u3 u100  u99. 1 1 1 1 1 1 1        ...     u99 u99 u100   u1 u2 u2 u3 1  1 1  1 1 1  18   .       u1 u100   u1 u1  99d   11 11  99.2  209. 9 . 209 Câu 38: [TH] Cho cấp số nhân un  có u 2   2 và u 5  54 . Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp S . số nhân đã cho. 31000  1 A. S1000  . 2. B. S1000 . 1  31000 . 4. C. S1000 . 1  31000 . 6. D. S1000 . 31000  1 . 6. Lời giải Ta có u5  u2 .q3  q  Và u1 . 3. u5 3 54   3 . u2 2. u2 2 2   . q 3 3. 2 (3)1000  1 u1 (q1000  1) 3  1  31000  S1000    . q 1 3  1 6 Câu 39. [TH] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM . A.. 3 . 6. B.. 1 . 2. C.. 3 . 2. D.. 2 . 2. Lời giải. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(87)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.    AB, DM  MN , DM  Gọi N là trung điểm AC  MN // AB   . a  MN   2 Ta có ABCD là hình chóp đều.  DM  BC a 3 .   DM  DN  DN  AC 2 . .  . . MN 2  MD 2  ND 2    Ta có cos AB, DM  cos MN , DM  cos NMD  2.MN .MD. . . . 2. . 2. 2 a a 3 a 3        2  2   2  3   . 6 a a 3 2. . 2 2. Câu 40.. 2x  3 liên tục trên khoảng nào sau đây? x2 B.  2;   C.  0;  . [TH] Hàm số f  x   A.  0; 4  .. D. . Lời giải Hàm số đã cho xác định trên tập  2;   . Với mọi x0  (2; ) ta có lim f ( x )  lim. x  x0. x  x0. 2 x  3 2 x0  3   f ( x0 ) x2 x0  2. Do đó hàm số liên tục trên khoảng  2;   .. sin x ? x  3x 2  2 x  2 A. 0 B. 2 C. 1 Lời giải Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \{1; -2  2} .. Câu 41.[ NB] Số điểm gián đoạn của hàm số f  x  . 3. D. 3. Do đó f ( x ) gián đoạn tại 3 điểm là 1; 2  2 và 2  2 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(88)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 42.[ TH] Cho tứ diện ABCD có AC  6 a; BD  8a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Biết AC  BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN . A. MN  a 10 . B. MN  7 a . C. MN  5a . D. MN  10a . Lời giải. Gọi P là trung điểm của đoạn AB . Theo tính chất đường trung bình trong các tam giác ABD 1 ta có PM song song với BD và PM  BD  4a. 2 1 Tương tự, trong tam giác ABC ta có PN song song với AC và PN  AC  3a . 2 Theo giả thiết AC  BD nên PM  PN . Trong tam giác vuông MPN , ta có MN  PM 2  PN 2  5a . Câu 43 . [ TH] Cho giới hạn lim  x 2  2ax  3  a 2   3 thì a bằng bao nhiêu? x 2. A. a  2 .. B. a  0. C. a  2 . Lời giải. D. a  1 .. 2. Ta có, lim  x 2  2ax  3  a 2    2   2 a ( 2)  3  a 2  a 2  4 a  7 . x 2. lim  x 2  2ax  3  a 2   3 .. x 2.  a 2  4a  7  3 .  a 2  4a  4  0 .  a  2 . Câu 44. [ NB] Cho hàm số f  x  xác định trên  và thỏa mãn lim f ( x )  7 thì lim 10  2 f ( x) bằng x 3. bao nhiêu? A. 4 .. B. 4. C. 10 . Lời giải Ta có lim 10  2 f ( x)  10  2lim f  x   10  2.7  4 . x 3. x 3. D. 14 .. x 3. Vậy lim 10  2 f ( x )  4 . x 3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(89)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. x 2  3x khi x  1  Câu 45. [ TH] Gọi S là tập các giá trị của tham số thực m để hàm số f x    2 m  m  8 khi x  1  liên tục tại x  1. Tích các phần tử của tập S bằng. A.  2 . B. 8 . C.  6 . D.  1 . Lời giải Tập xác định của hàm số: D   . Ta có: f (1)  m 2  m  8 . Mặt khác, lim f (x )  lim(x 2  3x )  2 x 1. x 1. Khi đó, để hàm số liện tục lại x 0  1 thì lim f (x )  f (1) x 1. m  3 Hay m 2  m  8  2   m  2 Vậy tích các phần tử của tập S bằng 6 . Câu 46. [ VD] Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Người ta dựng hình vuông A1B1C1D1 có cạnh 1 1 bằng đường chéo của hình vuông ABCD ; dựng hình vuông A2 B2C2 D2 có cạnh bằng 2 2 đường chéo của hình vuông A1B1C1D1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích S của tất cả các hình vuông ABCD, A1B1C1D1 , A2 B2C2 D2 ... bằng 8 thì a bằng: A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 2 2 . Lời giải - Diện tích của hình vuông ABCD là S1  a 2 . 2.  2  a2 - Diện tích của hình vuông A1B1C1D1 là S 2   a   . 2  2  a 2 a2 - Tương tự diện tích S3 , S4 .... lần lượt là , ….. 4 8 Các diện tích này lập thành một CSN lùi vô hạn có u1  a 2 và công bội q . 1 và 2. Sn  S1  S2  .... a2  2a 2 . 1 2 S  8  a  2(a  0) .. Khi đó S  lim Sn . ax 2  bx  5  20 . Tính P  a 2  b 2  a  b x 1 x 1 A. 400 B. 225 C. 325 D. 320 Lời giải a  x 2  1  b  x  1  a  b  5 ax 2  bx  5 Ta có : lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1. Câu 47.[ VD] Cho a, b là các số nguyên và lim. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(90)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. = lim  a  x  1  b   lim x 1. x 1. Ôn tập BKII Toán 11. ab5 x 1. a b 5 . x 1 x 1 2a  b  20 a  15 ax 2  bx  5 Suy ra lim  20   .  x 1 x 1 a  b  5  0 b  10 Vậy P  152  (10)2  15  (10)  320 .. = 2a + b + lim. Câu 48.[ VDC] Cho tứ diện ABCD có AB  x ( x  0) , các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 4. Mặt phẳng  P  chứa cạnh AB và vuông góc với cạnh CD tại I . Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng: A. 12 B. 6 C. 8 3 D. 4 3 Lời giải. - Các ACD và BCD đều vì có các cạnh đều bằng 4. - Gọi I là trung điểm của CD thì AI  CD , BI  CD  ( ABI )  CD . Mặt phẳng  P  chính là mặt phẳng ( ABI ) . - Mặt khác ta có AI và BI là các đường cao trong tam giác đều cạnh bằng 4 nên AI  BI  2 3 . - Gọi H là trung điểm của AB thì IH là đường cao trong tam giác cân ABI  IH  12   S IAB . x2 . 4. 1 x2 x x2 x. 12  = . 12  . 2 4 2 4. Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có : S IAB. x2  x2    12   4  4   6. 2. x x2  12   x2 6 . 2 4 Vậy diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 6. Dấu bằng xảy ra khi. Câu 49. [VD] lim x 2. Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn lim x2. 2 f  x   16  4 x2  x  6. f  x   16 x2.  12 . Giới hạn. bằng. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(91)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. A.. 1 . 5. B.. 3 . 5. Ôn tập BKII Toán 11. D. . C. 20 .. 1 . 20. Lời giải Vì lim. f  x   16. x2 f  x   16. x2.  12 nên lim  f  x   16   0 do nếu giới hạn này khác 0 thì giới hạn x 2. sẽ bằng vô cùng. Ta suy ra được lim f  x   16 . x2 x2 Biến đổi 2 f  x   16  4 2 f  x   32 lim  lim 2 x2 x 2 x  x6  x  2  x  3 2 f  x   16  4 lim x 2. .  f  x   16  lim  . x2   x  2   x  3 . .   2 f  x   16  4     2   1 . Do lim f  x   16 nên suy ra lim x2   20 x2   x  3 2 f  x   16  4    2 f  x   16  4 f  x   16 2    12. 1  3 .  lim . Vậy lim 2 x2 x  2  x  x6 20 5  x  2  x  3 2 f  x   16  4     4x 1 1 khi x  0  2 Câu 50. [VD] Cho hàm số f  x    ax   2a  1 x . Biết a là giá trị để hàm số  khi x  0 3 liên tục tại điểm x0  0 . Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình x 2  x  36a  0. A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải 4 x  1 1 Hàm số liên tục tại điểm x0  0  lim f  x   f  0   lim 2  3 . Ta biến đổi x 0 x  0 ax   2a  1 x 2. . . . . . 4x  1 1 4x  lim x  0 ax   2a  1 x x0  ax 2   2a  1 x . lim. 2. +) Nếu a  . . . . 4x 1 1.  lim x0. 4.  ax  2a  1 . . 4x 1 1. 1. 1 thì giới hạn (1) không tồn tại, hàm số không liên tục tại điểm 0 nên loại trường 2. hợp này.. 1 2 giới hạn (1) bằng . Vậy để hàm số liên tục tại điểm 0 khi và chỉ khi 2 2a  1 2 1  3  a   . Như vậy ta cần tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2a  1 6 x 2  x  6  0. Giải ra ta được 2  x  3 . Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên là 1;0;1; 2 .. +) Nếu a  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(92)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 6. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 20 câu TN, 5 câu tự luận). PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (5,0 ĐIỂM) Câu 1.. [NB] lim. 4n  2019 bằng 2n  1. A. 4 .. B. 2 .. C. 2019 .. D.. 1 . 2. Câu 2.. [NB] Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm. Khẳng định nào sau đây đúng?      A. GA  GB  GC  GD . B. GA  GB  GC  GD  0 .     C. GA  GB  GC  GD . D. GA  GB  GC  GD  0 .. Câu 3.. [NB] lim  x 3  2019 x  2020  bằng x . B. 1.. A. 0 .. 5n 2  3n  7 bằng n2 B. 5.. D.  .. C.  .. Câu 4.. [NB] lim un , với un . Câu 5.. D. 7.       [ TH] Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , biết AB  a , AC  b và AD  c . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 0..  1    A. DM  a  c  2b . 2.  1    B. DM  b  c  2a . 2.  1    C. DM  a  b  2c . 2.  1    D. DM  a  b  c . 2.  . Câu 6.. . . . . C. 0 .. D. 1.. [ TH] Cho hàm số f  x   x 3  3x 2  1 . Tính lim f  x  . x . C. 3 .. D.  .. B.  .. C. 3 .. D. 3 .. B. 4 .. C. 3 .. D.  .. B.  .. 3 x2  2 bằng x  x. [ VD] lim A.  .. Câu 9.. . B.  .. A. 3 . Câu 8.. . 3n  4.2n 1  3 [ TH] lim bằng 3.2 n  4n. A.  . Câu 7.. C. 3.. [ TH] lim x 1. A.  .. 3x  4 bằng x 1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(93)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 10. [ NB]Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x  1 ? A. y . 2x 1 . x2 1. B. y  x3  x  1 .. C. y . x . x 1 2. D. y  sin x .. Câu 11. [ TH]Cho hình hộp ABCD. A1B1C1 D1 . Khẳng định nào sau đây sai ?        A. AC1  A1C  2 AC . B. AC1  CA1  2C1C  0 .       C. CA1  AC  CC1 . D. AC1  CD  A1 D1 . Câu 12. [ TH] lim  2n3  2n  1 bằng C. 2 .. B. 2 .. A.  .. D.  ..   BAD   60 . Tính góc giữa hai đường Câu 13. [TH] Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC thẳng AB và CD . A. 30 . Câu 14. [TH] Tính lim. B. 45 .. . C. 60 .. D. 90 .. C. I  0.. D. I  .. . n 2  2n  3  n .. A. I  1.. B. I  1.. Câu 15. [TH] Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác cân tại A, SA vuông góc với đáy, M là trung điểm của BC, J là trung điểm của BM . Khẳng định nào sau đây đúng? A. BC   SAM  . Câu 16. [TH] Hàm số f  x   A. (;4) .. B. BC   SAC  .. C. BC   SAB  .. D. BC   SAJ  .. x 1 liên tục trên khoảng nào sau đây? x  5x  4 2. B. (1;2) .. C. 1;   .. D. (2;3) .. Câu 17. [VD] Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SB . Mệnh đề nào sau đây sai? A. CM  SB .. B. NC  AB .. C. AN  BC .. D. MN  MC ..  1 x  1 x khi x  0  x Câu 18. [VD] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f  x    liên 1  x m  khi x  0 1 x . tục tại x  0. A. m  1.. B. m  2 .. C. m  1 .. D. m  0. Câu 19. [VDC] Cho hai dãy u n  , vn  thỏa mãn vn  un1  un , n  1 , trong đó u1  1 và vn  là cấp số cộng có v1  3 , công sai là 3 . Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tính lim A.  .. B.. 3 . 4. C. 1.. Sn . n3. D.. 1 2. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(94)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2019. Câu 20. [VDC] Biết rằng lim x0. Ôn tập BKII Toán 11. 1  2020 x  1 a a  với a , b  , b  0 và là phân số tối giản. Tính x b b. a b.. A. 2019.. C. 1 .. B. 2020.. D.1.. PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 ĐIỂM).  x2  1  Câu 21. [TH] Xét tính liên tục của hàm số f  x    x  1 2 . khi x  1. trên tập xác định của nó.. khi x  1.  1  1 1 1 Câu 22. [TH] Tính lim     ...  .  2n  1 2n  1   1.3 3.5 5.7. 2 x  4  3 5 x  8  3x  1  3 . x0 x2  3x Câu 24. [TH] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA  ( ABCD) , AD  2a , AB  BC  a . Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông. Câu 23. [VD] Tính lim. Câu 25. [VDC] Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC , CD, DA sao    1   2   1  cho AM  AB , BN  BC , AQ  AD và DP  kDC . Tìm k để bốn điểm M , N , P, Q 3 3 2 cùng nằm trên một mặt phẳng. ----- Hết -----. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(95)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. 1.B 11.D. 2.B 12.D. 3.D 13.D. 4.B 14.B. BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.C 15.A 16.D. Ôn tập BKII Toán 11. 7.D 17.C. 8.D 18.B. 9.D 19.D. 10.C 20.D. LỜI GIẢI Câu 1.. [NB] lim. 4n  2019 bằng 2n  1. A. 4 .. B. 2 .. C. 2019 .. 1 . 2. D.. Lời giải 2018 4 4n  2018 n  2. Ta có lim  lim 1 2n  1 2 n Câu 2.. [NB] Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm. Khẳng định nào sau đây đúng? . A. GA  GB  GC  GD .     C. GA  GB  GC  GD .. . . . . B. GA  GB  GC  GD  0 . D. GA  GB  GC  GD  0 . Lời giải A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Khi đó ta có G là trung điểm của MN và:    GA  GB  2GM    GC  GD  2GN. M. B. Cộng hai vế tương ứng ta được      .  GA  GB  GC  GD  2GM  2GN  0 .. G. D N C. Câu 3.. [NB] lim  x 3  2019 x  2020  bằng x . B. 1.. A. 0 .. C.  .. D.  .. Lời giải.  2019 2020  Ta có: lim  x 3  2019 x  2020   lim x 3 1  2  3  . x  x  x x    2019 2020  Vì lim x 3   và lim 1  2  3   1  0 x  x  x x   nên theo quy tắc 2, lim  x 3  2 x  1   . x . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(96)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 5n 2  3n  7 Câu 4. [NB] lim un , với un  bằng n2 A. 0. B. 5.. Ôn tập BKII Toán 11. D. 7.. C. 3. Lời giải.  5n 2 3n 7  3 7   Ta có lim un  lim  2  2  2   lim  5   2   5 . n n  n n    n. Câu 5..       [ TH] Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , biết AB  a , AC  b và AD  c . Đẳng thức nào sau đây đúng?  1    A. DM  a  c  2b . 2.  1    B. DM  b  c  2a . 2.  1    C. DM  a  b  2c . 2.  1    D. DM  a  b  c . 2.  . . . . . . . Lời giải Ta có  1   1     1    1    DM  DB  DC  DA  AB  DA  AC  AB  AC  2 AD  a  b  2c . 2 2 2 2. . Câu 6.. [ TH] lim A.  ..  .  .  . . 3n  4.2n 1  3 bằng 3.2 n  4n. B.  .. D. 1.. C. 0 . Lời giải. Ta có n. n. n. 3 2 1  2.    3.     n n 1 n n 3  4.2  3 3  2.2  3 4 4  4 0. lim  lim  lim   n n n n n 3.2  4 3.2  4 2 3.    1 4 Câu 7.. [ TH] Cho hàm số f  x   x 3  3x 2  1 . Giá trị lim f  x  bằng x . A. 3 .. B.  .. C. 3 .. D.  .. Lời giải.  3 1 Ta có: lim f  x   lim  x 3  3 x 2  1  lim x 3 1   3  . x  x  x   x x   3 1 Do lim x 3   và lim 1   3   1 nên lim f  x    . x  x  x   x x  Câu 8.. 3 x2  2 bằng x  x. [ VD] lim. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(97)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  .. B.  .. Ôn tập BKII Toán 11. C. 3 .. D. 3 .. Lời giải. 2. Ta có: lim. x . Câu 9.. [ TH] lim x 1. 3 x 2  lim x  x. 3 x 1 x. 2 2 3 x 1  2 2 x  lim x  lim  3 1  2   3 .   x  x  x x2  . 3x  4 bằng x 1. B. 4 .. A.  .. D.  .. C. 3 . Lời giải. Ta có: lim  3 x  4   1, lim  x  1  0 và x  1  0, x  1 (do x  1 ) x 1. Do đó lim x 1. x 1. 3x  4   . x 1. Câu 10. [ NB]Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x  1 ? A. y . 2x 1 . x2 1. B. y  x3  x  1 .. C. y . x . x 1 2. D. y  sin x .. Lời giải Xét hàm số y . x , hàm số này không xác định tại x  1 . Do đó hàm số gián đoạn tại x  1 . x 1 2. Câu 11. [ TH]Cho hình hộp ABCD. A1B1C1 D1 . Đẳng thức nào sau đây sai ?         2 AC AC1  CA1  2C1C  0 . A. AC1  AC . B. 1       C. CA1  AC  CC1 . D. AC1  CD  A1D1 . Lời giải.         AC  CC  A A  AC  2 AC . + AC1  AC 1 1 1           + AC1  CA1  2C1C  AC1  C1C  CA1  C1C  AC  C1 A1  0 .     + CA1  AC  AA1  CC1 . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(98)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.      + AC1  CD  AC1  C1D1  AD1 . Câu 12. [ TH]Tính lim  2n3  2n  1 . C. 2 .. B. 2 .. A.  .. D.  .. Lời giải. 2 1  lim  2n3  2n  1  lim n 3  2  2  3  . n n   2 1  Vì lim n3   và lim  2  2  3   2 nên lim  2n3  2n  1   . n n  .   BAD   60 . Tính góc giữa hai đường Câu 13. [TH] Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC thẳng AB và CD . A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải. A. B. D. C        AB. AC.cos BAC  0. Ta có AB.CD  AB. AD  AC  AB. AD.cos BAD. . .   Do đó AB  CD , tức AB  CD . Vậy  AB , CD   900 . Câu 14. [TH] Tính I  lim A. I  1.. . . n 2  2n  3  n . B. I  1.. C. I  0.. D. I  .. Lời giải Ta có. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(99)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. I  lim. .  n  2n  3  n   lim 2. n 2  2n  3  n. . Ôn tập BKII Toán 11. n 2  2n  3  n. n 2  2n  3  n.   lim  n  2n  3  n 2. 2. n 2  2n  3  n. 3 2 n  lim   1.  lim 2 3 1 1 n 2  2n  3  n 1  2 1 n n 2 . 2 n  3. Câu 15. [TH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, SA vuông góc với đáy, M là trung điểm của BC, J là trung điểm của BM . Khẳng định nào sau đây đúng? A. BC   SAM  . B. BC   SAC  . C. BC   SAB  . D. BC   SAJ  . Lời giải S. C A M J B. Ta có SA   ABC   SA  BC. 1 .. ABC cân tại A  AM  BC  2 . Từ 1 và  2  suy ra BC   SAM  . Câu 16. [TH] Hàm số f  x   A. (; 4) .. x 1 liên tục trên khoảng nào sau đây? x  5x  4 B. ( 1; 2) . C. 1;  . 2. D. (2;3) .. Lời giải Ta có f  x  là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là D   \ 1; 4 nên f  x  liên tục trên các khoảng  ;1 , 1; 4 ,  4;   . Do đó f  x  liên tục trên (2;3) . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(100)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 17. [VD] Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SB . Mệnh đề nào sau đây sai? A. CM  SB .. B. NC  AB .. C. AN  BC .. D. MN  MC .. Lời giải. S. N C. A M B Ta có: SA   ABC   SA  CM 1. ABC đều  AB  CM. 2. Từ 1 và  2  ta có CM   SAB  . Tức CM  SB , CM  MN . Lại có: MN // SA  MN   ABC   MN  AB  3  Từ  2  và  3  ta có AB   CMN  . Tức AB  NC . Giả sử AN  BC . Do SA   ABC   AS  BC nên BC   SAB  , dẫn đến BC  AB , vô lý. Do đó điều giả sử là sai. Câu 18. [VD] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  1 x  1 x khi x  0  x liên tục tại x  0. f  x   m  1  x khi x  0  1 x. A. m  1.. B. m  2 .. C. m  1 .. D. m  0. Lời giải. 1 x   Ta có: lim f  x   lim  m    m 1 x 0 x 0  1 x . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(101)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   1 x  1 x  lim f  x   lim   = lim  x 0 x0 x   x 0  x. Ôn tập BKII Toán 11.    = lim   1  x  1  x  x 0    2 x. . .   = 1 1 x  1 x   2. . . f 0  m 1 f  x  liên tục tại x  0 khi và chỉ khi lim f  x   lim f  x   f  0   m  1  1  m  2 . x 0. x 0. Câu 19. [VDC] Cho hai dãy  un  ,  vn  thỏa mãn vn  un1  un , n  1 , trong đó u1  1 và  vn  là cấp số cộng có v1  3 , công sai là 3 . Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tính lim A.  .. B.. 3 . 4. C. 1 .. Sn . n3. D.. 1 2. Lời giải Ta có: vn  v1   n  1 d  3  3  n  1  3n Do u n   un  u n 1    un 1  u n  2   ...   u 2  u1   u1 = vn1  vn2  ...  v1  1 . Nên u n  3  n  1   n  2   ...  1  1 . 3n  n  1 3n 2  3n  2 3 2 3  n  n 1 1  2 2 2 2. Từ đó ta có: u1  u2  u3  ...  un . 3 2 3 1  22  ...  n 2   1  2  ...  n   n.1  2 2. . 3 n  n  1 2n  1 3 n  n  1 n3  n  n  2 6 2 2 2.  lim. Sn 1 1  1  lim   2   . 3 n  2 2n  2 2019. Câu 20. [VDC] Biết rằng lim x0. 1  2020 x  1 a a  với a , b   , b  0 và là phân số tối giản. Tính x b b. a b.. A. 2019 .. C. 1 .. B. 2020 .. D. 1.. Lời giải Đặt y  2019 1  2020x . Do x  0 nên y  1 . 2019. Ta có lim x0.  2020.lim y 1. 1  2020 x  1 y 1 y 1 = 2020.lim 2019  2020.lim y 1 y y 1 y  1 x 1    y 2018  y 2017  ...  y  1 1. y. 2018. y. 2017.  ...  y  1. . 2020 . 2019. Tức a  2020 , b  2019 . Vậy a  b  2020  2019  1 . PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 ĐIỂM) ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(102)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x2  1  Câu 21. [TH] Xét tính liên tục của hàm số f  x    x  1 2 . khi x  1. Ôn tập BKII Toán 11. trên tập xác định của nó.. khi x  1. Lờigiải 2.  x 1  Hàm số f  x    x  1 2 . khi x  1. có tập xác định là  .. khi x  1. + Với mọi x    ;1 thì f  x  . x2 1 x 1. x 2  1 x02  1   f ( x0 ) Ta có: x0    ;1 , lim f  x   lim x  x0 x x0 x  1 x0  1 Nên hàm số f liên tục trên   ;1 (1) + Với mọi x  1;    thì f  x  . x2 1 x 1. x 2  1 x02  1   f ( x0 ) x x0 x  1 x0  1. Ta có: x0  1;    , lim f  x   lim x  x0. Nên hàm số f liên tục trên 1;   (2) + Tại x  1 : Ta có f 1  2 và lim f  x   lim x1. x 1. x2  1  lim  x  1  2 x  1 x1.  lim f  x   f (1) x1. Tức hàm số f liên tục tại x  1 (3) Từ (1), (2) và (3). Suy ra, hàm số f liên tục trên  . Kết luận: Hàm số f liên tục trên  ..  1  1 1 1    ...  Câu 22. [TH] Tính lim  .  2n  1 2n  1   1.3 3.5 5.7 Lờigiải Ta có: Do đó:. * 1 1 1 1      , k   (2k  1).(2k  1) 2  2k  1 2k  1 . 1 1 1 1    ...  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1. 1 1 1 1 1 1 1 1   1       ...    2 3 3 5 5 7 2n  1 2 n  1  1 1  n  1  .  2  2n  1  2n  1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(103)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  1  1 1 1 Nên lim     ...    2n  1 2n  1   1.3 3.5 5.7  lim.  lim. n n  lim 1  2n  1 n 2   n  1 1  2  n . . 1 1  . 20 2.  1  1 1 1 1    ...  Kết luận: lim   .  2n  1 2n  1  2  1.3 3.5 5.7 Câu 23. [VD] Tính lim x0. 2 x  4  3 5 x  8  3x  1  3 . x2  3x Lờigiải. Ta có:. 2 x  4  3 5x  8  3x  1  3 x 2  3x.   . .  . 2x  4  2 . 3.  . . 2 x  4  2  x  3 x 2. . 3x  1  1.  x  3 x 2x. . . 5x  8  2 . . 2 x  4  2  x  3. Do đó lim x0.    lim  x 0  . . . 5x. . . 5x  8  2 3 5 x  8  22.   x  3 x. 5. . 3. 5x  8. . 2. . .  2 3 5 x  8  4  x  3. . 3x. . . 3x  1  1  x  3  x 3. . . 3x  1  1  x  3. 2 x  4  3 5 x  8  3x  1  3 x2  3x 2. . 3. 2. . 2 x  4  2  x  3. . 5. . 3. 5x  8. . 2 5 3    2  2  3  4  4  4 3 1  1 3. . 1 5 1 7    . 6 36 2 36. Kết luận: lim x 0. . 2. .  2 3 5 x  8  4  x  3. .    3 x  1  1  x  3   3. . . 2 x  4  3 5 x  8  3x  1  3 7  . 2 x  3x 36. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(104)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 24. [TH] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA  ( ABCD ) , AD  2a , AB  BC  a . Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông. Lời giải NỘI DUNG. ĐIỂM. S. I. D. A. 0,5. C. B. Ta có : SA  ( ABCD )    SA  CD (1) . CD  ( ABCD ) . + Gọi I là trung điểm của AD , khi đó ABCI là hình vuông. Do đó CI . 1 AD nên tam 2. 0,5. giác ACD vuông tại C. Tức AC  CD (2). Từ (1) và (2) ta có CD  SC . Tức SCD vuông tại C .. Câu 25. [VDC] Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC , CD, DA sao    1   2   1  cho AM  AB , BN  BC , AQ  AD và DP  kDC . Tìm k để bốn điểm M , N , P, Q 3 3 2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Lời giải NỘI DUNG  1  Ta có Cách 1: AM  AB 3  2    2  2   1  2  BN  BC  AN  AB  AC  AB  AN  AB  AC 3 3 3 3 3  1  AQ  AD 2          DP  k DC  AP  AD  k AC  AD  AP  k AC  1  k  AD. . ĐIỂM. 0,5. . Điều kiện 4 điểm P,Q, M, N đồng phẳng là tồn tại các số thực x , y , z thỏa mãn. x  y  z  1  x  y  z  1        x     1  2   z  A P  AB  y AP  x AM  y AN  z AQ   AB  AC   AD  3 3 3  2 . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. 0,5. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(105)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  x  y  z  1 1   1 x  1 y  0  2 3 3  Tức  2  yk 3 1  2 z  1  k Từ phương (1) và phương trình (2) ta có z  1 . Tức k . 1 (nhận) 2. Cách 2: Giả sử M, N, P, Q đồng phẳng: Ta có: (MNPQ)  (BAC) = MN, (MNPQ)  (DAC) = PQ, (BAC)  (DAC) = AC. Do MN, PQ, AC đôi một không trùng nhau và MN//AC nên PQ//AC. Từ đây có k  Thử lại, thấy k . 1 . 2. 1 thỏa mãn. 2. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(106)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ SỐ 7. Câu 1:. Câu 2:. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận)  x 3 khi x  3  Tìm m để hàm số f  x    x  1  2 liên tục trên tập xác định. m khi x  3  A. m  2 B. m  4 C. m  0 D. m  1 2 3 n Tính tổng S  0, 3   0,3   0,3  ....   0,3  ... 3 5 11 7 B. C. D. 7 7 7 3 5 4 2 Cho phương trình x  7 x  3 x  2  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình không có nghiệm thuộc khoảng  0; 2 . A. Câu 3:. B. Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng  1;3 C. Phương trình không có nghiệm thuộc khoảng  1;1 D. Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng  1; 2  Câu 4:. Tìm khẳng định đúng: A. lim x 4   x . Câu 5:. B. lim x3  . C. lim q n  0  q  1. x . D. lim x  x0. x . x  x0. 3x  a   thì giá trị của a thỏa mãn: x 1 x 1 A. a  3 B. a  3 C. a  3. Biết lim. D. a  5. 2. Câu 6:. 8n  1  4  3n  a 2  b . Mệnh đề nào đúng? n3 A. a  3b . B. a  b  3  3 . C. 2a  b  0 .. Cho lim. . D. a  b  2 .. . n 2  an  3  n 2  bn  1  1 .. Câu 7:. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để lim. Câu 8:. A. a  b  2 . B. a  b  1 . C. a  b  2 . D. a  b  1 .   Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB . Khi đó góc giữa hai vec tơ AB, CM .. A. 900 . B. 450 . C. 1200 . D. 600 . Câu 9: Chọn mệnh đề đúng? Trong không gian: A. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ phải nằm trong một mặt phẳng. B. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó có giá cùng song song với nhau. C. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng hướng. D. Ba vec tơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vec tơ đó cùng song song với một mặt phẳng. Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và AB  BC . H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AH  SC . B. AH  AC . C. AH  AB . D. AH   SAC  . Câu 11: Tính giới hạn của dãy số un  A.. 4 . 5. B.. 1 2 1 2. 2 . 3. . 1 3 22 3 C. 1..  ... . 1.  n  1. n  n n 1 3 D. . 2. :. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(107)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 12: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n 2  3n 2 A. n  4n . B. . C. n 1 Câu 13: Cho các khẳng định: (I): Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b . Ôn tập BKII Toán 11. n. n. 6   . 5.  2 D.    .  3. và f  a  . f  b   0 . Khi đó phương trình. f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  a; b  . (II): Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 . Khi đó phương trình. f  x   0 không có nghiệm trên khoảng  a; b  . Trong các khẳng định trên: A. Chỉ (I) đúng. B. Cả (I), (II) đúng. C. Cả (I), (II) sai. Câu 14: Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ. Chọn đáp án đúng: A. Hàm số f  x  gián đoạn tại x  1 .. D. Chỉ (II) đúng.. B. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 .. C. Hàm số f  x  liên tục trên khoảng  3;1 . D. Hàm số f  x  liên tục trên  . Câu 15: Cho hình hộp ABCD. AB C D . Một đường thẳng  cắt các đường thẳng AA, BC , C D  lần   MA lượt tại M , N , P sao cho NM  3NP . Tính k  ? MA 2 3 A. k  . B. k  2 . C. k  3 . D. k  3 2   Câu 16: Cho u, v bất kì, chọn mệnh đề đúng?        u.v   A. cos u , v    . B. u.v  u . v cos u , v . u.v  u.v        C. u.v  u .v.cos u, v . D. cos u, v    . u.v.  .  .  .  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(108)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 17: lim  4  n 2018  n 2019  bằng: A. 0 . B.  . C. 2019 . D.  . Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên đều bằng a 2 . Góc giữa cạnh bên SB và  ABCD  bằng: A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Câu 19: Rút gọn S  1  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  ...  sin 2 n x  ... với sin x  1 . 1 A. S  cos 2 x . B. S  tan 2 x . C. S  . D. S  1  tan 2 x . 1  sin 2 x   a Câu 20: lim  x  3 x  5 x  7 x  ...  2019 x  x   (với a, b nguyên dương nhỏ nhất). x    b   Tính a  b . A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 2  x  3x  2 khi x < 2  Câu 21: Tìm a để hàm số f  x    x  2 liên tục trên   ax  a  5 khi x  2  A. a  1 . B. a  3 . C. a  0 . D. a  2 .  x  1 1 khi x  0  x Câu 22: Cho hàm số f  x    . Chọn khẳng định đúng? 1  khi x = 0  2 A. Hàm số gián đoạn tại x  0 . B. Hàm số liên tục trên  . C. Hàm số liên tục trên  1;   . D. Hàm số liên tục trên  3; 2  . Câu 23: Cho hình chóp S .ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a 2 và BC  2a . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và SB . A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  . Một mặt phẳng   qua A vuông góc với SC cắt hình chóp với thiệt diện là:. Câu 25:. A. Hình thoi có một góc có số đo 120 . B. Hình vuông. C. Hình bình hành. D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , G lần lượt là trung điểm của AB, CD và MN . Chọn khẳng định đúng:       1   A. GA  GB  GC  GD  2MN . B. MN  AD  CB . 2  1    1   C. MN  AC  BD . D. MN  AB  CD . 2 2 3 5x  3  x  3 5 1 lim   (với m, n là các số nguyên dương). Tính m  n ? x 1 m n x2  1 A. 15 . B. 14 . C. 12 . D. .  16  Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AC và DE ? A. 1200 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . x5 lim bằng x 3 x  3. . Câu 26: Câu 27: Câu 28:. .  .  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(109)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 15 . B.  . C. 1 . D.  . 2 Câu 29: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Góc giữa AB và CD bằng. A. 600 . B. 300 . C. 900 . D. 450 . khi x  0  x  2m Câu 30: Tìm m để hàm số: y   2 liên tục tại x  0 . x  x  1 khi x  0  1 1 A. m  . B. m  1 . C. m  . D. m  0 . 4 2. A. . Câu 31:. lim x. x . . . x 2  3  x bằng. 3 . C. 3 . D. 0 . 2 Câu 32: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định  sau:    A. G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0 .    B. I là trung điểm của AB  MA  MB  2 MI , M .     C. G là trọng tâm tam giác ABC  MA  MB  MC  3MG , M .     D. ABCD. AB C D là hình hộp. Khi đó ta có: AB  AD  AA  AC . Câu 33: lim  x 2  4  bằng. A.  .. B.. x 3. Câu 34:. Câu 35:. Câu 36:. Câu 37: Câu 38:. A. 2. B. 1. - 4. D. -1.   C.     Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C  có AA  a , AB  b , AC  c . Hãy biểu diễn vectơ B C    theo các vectơ a , b , c .                 A. B C  a  b  c . B. B C  a  b  c . C. B C  a  b  c . D. B C  a  b  c . 1  x 1  2 x 1  3 x  ... 1  2019 x   1 lim x0 x bằng A. 2018.2019 . B. 1009.2019 . C. 1010.2019 . D. 0 . 2  x  ax  b khi x  1  2 Biết hàm số f  x    x  1  a; b    liên tục tại x  1 . Hãy tính S  2a  5b .  1  khi x  1  2 A. S  10 . B. S  7 . C. S  4 . D. S  2 . 2 x  3x  2 lim bằng : x 1 x 1 A. 1 . B. 2 . C. 2 . D. 1 . Cho f  x  liên tục trên  1;5 thỏa mãn f  1  1; f  5   6 . Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm trong khoảng  1;5 ? A. f  x   8 .. Câu 39: Giá trị của lim. B. f  x   3 .. . lim  5  3x 2  2019 x 4 . x . A.  .. D. f  x   1 .. B.. C.  .. D.. B. 3 .. C. 2019 .. D.  .. . 4n2  5n  1  2n bằng :. A.  . Câu 40:. C. f  x   5  0 .. 5 . 2 bằng :. 5 . 4. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(110)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 41: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hinh thoi tâm O . Biết SA  SC , SB  SD . Khẳng định nào sau đây sai? A. SO  ( ABCD ) . B. AC  ( SBD) . C. BD  ( SAC ) . D. AB  ( SAD) . Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Biết SO   ABC  , SO  2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AH của. a 3 . Xác 3 định vị trí điểm M để thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P  có điện tích lớn nhất. tam giác ABC . Xét mặt phẳng  P  đi qua M và vuông góc với AH , AM  x, x . AM bằng: AH AM 5 AM 3 AM 4   . A. B. C.  . AH 5 AH 6 AH 4 5x  3  3 a Câu 43: lim   a, c, c    . Tính a  b  c . x0 x b c A. 0. B. 6. C. 8. 3 Câu 44: lim  2018 x  2 x  5  bằng. Khi đó. D.. AM 2  . AH 3. D. 4.. x . B. 0. C.  . D. -2018. x  4x  3 Hàm số f  x   không liên tục tại x2 A. x  3 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  0 . 1  3x lim bằng x  2 x  5 3 1 1 3 A.  . B. . C. . D.  . 2 5 2 5 2  3n Giá trị của lim 2 bằng: 3n  n  2 2 A. 1 . B. . C.  . D. 0 . 3 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và điểm O không thuộc mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng  P  thì chúng song song với A.  .. 2. Câu 45:. Câu 46:. Câu 47:. Câu 48:. nhau. B. Nếu a / / b và a vuông góc với mặt phẳng  P  thì b cũng vuông góc với mặt phẳng  P  . C. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và song song với mặt phẳng  P  . D. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng  P  .. 10n  30n  2 Câu 49: lim bằng: 5.30n  4.20n A.  . B.  . C. 900 . D. 180 . Câu 50: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a , SA  a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  . Gọi  là góc giữa SB và mặt phẳng  SAC  . Tính tan  ? A. tan  . 1 . 5. B. tan  . 1 . 3. C. tan   2 .. D. tan  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. 1 . 2 Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(111)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(112)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Câu 1:. Ôn tập BKII Toán 11. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT  x 3 khi x  3  Tìm m để hàm số f  x    x  1  2 liên tục trên tập xác định. m khi x  3  A. m  2 B. m  4 C. m  0 D. m  1 Lời giải Chọn B Để hàm số y  f  x  liên tục trên tập xác định thì hàm số phải liên tục tại x  3 . Ta có: lim f  x   lim x 3. x 3. . .  x  3 x  1  2 x 3  lim  lim x 3 x3 x  1  2 x 3. . . x 1  2  4 .. f  3  m Để hàm số đã cho liên tục tại x  3 thì lim f  x   f  3  m  4 . x 3. Câu 2:. 2. 3. n. Tính tổng S  0, 3   0,3   0,3  ....   0,3  ... A.. 3 7. B.. 5 7. 11 7 Lời giải. C.. D.. 7 3. Chọn A. 0, 3 3  . 1  0,3 7 5 4 2 Cho phương trình x  7 x  3 x  2  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình không có nghiệm thuộc khoảng  0; 2  2. 3. n. Ta có S  0, 3   0,3   0,3  ....   0,3  ...  Câu 3:. B. Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng  1;3 C. Phương trình không có nghiệm thuộc khoảng  1;1 D. Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng  1; 2  Lời giải Chọn B Vì y  f  x   x 5  7 x 4  3 x 2  2 là hàm đa thức nên liên tục trên  . Lại có: f  1  1; f  0   2; f 1  1  f  1 . f  0   2  0   f  0  . f 1  2  0  Phương trình f  x   0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng  1; 2   phương trình Câu 4:. f  x   0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng  1;3 .. Tìm khẳng định đúng: A. lim x 4   B. lim x3   C. lim q n  0  q  1 x . x . x . D. lim x  x0 x  x0. Lời giải Chọn D Câu 5:. 3x  a   thì giá trị của a thỏa mãn: x 1 A. a  3 B. a  3 C. a  3 Lời giải Chọn C. Biết lim x 1. D. a  5. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(113)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Ta có: lim  x  1  0 và x  1 thì x  1  0 . x 1. Để lim x 1. Câu 6:. 3x  a   thì lim  3 x  a   3  a  0  a  3 . x 1 x 1. 8n 2  1  4  3n  a 2  b . Mệnh đề nào đúng? n3 A. a  3b . B. a  b  3  3 . C. 2a  b  0 . D. a  b  2 . Lời giải Chọn B 1 1 4 n 8  2  4  3n 8 2  3 8n 2  1  4  3n 8 3 n n n lim  lim  lim  3 n3 n3 1 1 n. Cho lim.  2 2  3  a  2; b  3  a  b  3  3. Câu 7:. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để lim A. a  b  2 .. . B. a  b  1 .. . n 2  an  3  n 2  bn  1  1 . C. a  b  2 . Lời giải. D. a  b  1 .. Chọn C lim. . 2. n  an  3  n  bn  1  1  lim.  lim. Câu 8:. . 2. n 2  an  3  n 2  bn  1. . n 2  an  3  n 2  bn  1.  a  b .  a  b n  4. . 1. 4 n.  1  lim 1   a 3 b 1  a 3 b 1   n 1  2  n 1  2   1  2  1  2  n n n n  n n n n    a b   1  a  b  2. 2   Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB . Khi đó góc giữa hai vec tơ AB, CM .. A. 900 .. B. 450 .. D. 600 .. C. 1200 . Lời giải. Chọn A. D. C. A x. M B. Gọi Mx là tia đối của tia MC .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(114)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  . Ôn tập BKII Toán 11.   90 .  AB, CM   BMx 0. Chọn mệnh đề đúng? Trong không gian: A. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ phải nằm trong một mặt phẳng. B. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó có giá cùng song song với nhau. C. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng hướng. D. Ba vec tơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vec tơ đó cùng song song với một mặt phẳng. Lời giải Chọn D Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và AB  BC . H là hình chiếu vuông góc của A lên Câu 9:. SB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AH  SC . B. AH  AC .. D. AH   SAC  .. C. AH  AB . Lời giải. Chọn A. S H C. A B Ta có AH  SB . Mặt khác AH  BC vì BC  AB; BC  SA  BC   ABC  . Do đs AH   SBC   AH  SC . Câu 11: Tính giới hạn của dãy số un  A.. 4 . 5. B.. 1 2 1 2. . 2 . 3. 1 3 22 3.  ... . 1.  n  1. n  n n 1 3 D. . 2. C. 1.. :. Lời giải Chọn C Có:. 1.  n  1. n  n n 1. Từ đây suy ra un  1 . . 1 n  n  1. . n 1  n. . . n 1  n n  n  1. . 1 n. . 1 n 1. 1.  lim un  1 n 1 Câu 12: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n 2  3n 2 A. n  4n . B. . n 1. n. 6 C.   . 5 Lời giải. n.  2 D.    .  3. Chọn D ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(115)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. lim q n  0 nếu q  1 Câu 13: Cho các khẳng định: (I): Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 . Khi đó phương trình. f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  a; b  . (II): Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 . Khi đó phương trình. f  x   0 không có nghiệm trên khoảng  a; b  . Trong các khẳng định trên: A. Chỉ (I) đúng. B. Cả (I), (II) đúng. C. Cả (I), (II) sai. Lời giải Chọn A Câu 14: Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ. D. Chỉ (II) đúng.. Chọn đáp án đúng: A. Hàm số f  x  gián đoạn tại x  1 .. B. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 .. C. Hàm số f  x  liên tục trên khoảng  3;1 .. D. Hàm số f  x  liên tục trên  .. Lời giải Chọn A Từ hình vẽ dễ dàng suy ra hàm số f  x  gián đoạn tại x  1 Câu 15: Cho hình hộp ABCD. AB C D . Một đường thẳng  cắt các đường thẳng AA, BC , C D  lần   MA lượt tại M , N , P sao cho NM  3NP . Tính k  ? MA 2 3 A. k  . B. k  2 . C. k  3 . D. k  3 2 Lời giải Chọn D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(116)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. B. N. C D. A B'. C' P A'. D'. M.   NM  3NP suy ra N , M , P thẳng hàng. Do  ABCD  //  AB C D    AN và AP không có điểm chung mà AN , AP cùng nằm trong mặt phẳng  MAN   AN //AP MA MP 2 3 Trong tam giác MAN có: AN //AP    k MA MN 3 2   Câu 16: Cho u, v bất kì, chọn mệnh đề đúng?        u.v   A. cos u , v    . B. u.v  u . v cos u , v . u.v  u.v        C. u.v  u .v.cos u, v . D. cos u, v    . u.v.  .  .  .  . Lời giải Chọn B. Câu 17: lim  4  n 2018  n 2019  bằng: A. 0 .. B.  .. C. 2019 . Lời giải. D.  .. Chọn B.. 1   4 Ta có: lim  4  n 2018  n 2019   lim n 2019  2019   1 . n  n 2019 lim n    Do   4 nên lim  4  n 2018  n 2019    . 1  lim  n 2019  n  1  1    Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên đều bằng a 2 . Góc giữa cạnh bên SB và  ABCD  bằng: A. 30 .. B. 60 .. C. 90 . Lời giải. D. 45 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(117)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Chọn B. S. A. D O. B. C. Gọi O là tâm của đáy. Ta có: SAC cân tại S , SO là trung tuyến nên SO  AC . Tương tự SO  BD . Vậy SO   ABCD  , do đó OB là hình chiếu của SB trên  ABCD  .  (do SBO vuông tại O ). Suy ra góc giữa cạnh bên SB và  ABCD  bằng SBO Ta có OB . 1 a 2 BD  . 2 2.  Xét tam giác SBO vuông tại O có cos SBO. OB 1   60 .   SBO SB 2. Vậy góc giữa cạnh bên SB và  ABCD  là 60 . Câu 19: Rút gọn S  1  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  ...  sin 2 n x  ... với sin x  1 . 1 A. S  cos 2 x . B. S  tan 2 x . C. S  . D. S  1  tan 2 x . 2 1  sin x Lời giải Chọn D. Ta có: 1;sin 2 x;sin 4 x;sin 6 x;...;sin 2 n x;... là một cấp số nhân có u1  1 , công bội q  sin 2 x   1;1 (do sin x  1 ).. Do đó S  Câu 20:. 1 1   1  tan 2 x . 2 2 1  sin x cos x.   a lim  x  3 x  5 x  7 x  ...  2019 x  x   (với a, b nguyên dương nhỏ nhất). x    b   Tính a  b . A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B. Ta có:   lim  x  3 x  5 x  7 x  ...  2019 x  x  x     . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(118)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 3 x  5 x  7 x  ...  2019 x.  lim. x . x  3 x  5 x  7 x  ...  2019 x  x. 3  lim. 5 7 2019  3  ...  x x x 2017. x . 3 5 2019  3  ...  1 x x x 2019 Vậy a  3, b  2  a  b  5 .. . 3 . 2. 1.  x2  3x  2 khi x < 2  Câu 21: Tìm a để hàm số f  x    x  2 liên tục trên   ax  a  5 khi x  2  A. a  1 . B. a  3 . C. a  0 . Lời giải Chọn D x 2  3x  2 Xét x   ; 2  hàm số f  x   liên tục x2 Xét x   2;   hàm số f  x   ax  a  5 liên tục. D. a  2 .. Xét tại x  2 Ta có: x 2  3x  2  lim  x  1  1 x 2 x2 x 2 x2 lim f  x   lim  ax  a  5  3a  5  f  2  lim f  x   lim. x 2. x2. Hàm số liện tục trên  khi 3a  5  1  a  2 .  x  1 1 khi x  0  x Câu 22: Cho hàm số f  x    . Chọn khẳng định đúng? 1 khi x = 0  2 A. Hàm số gián đoạn tại x  0 . B. Hàm số liên tục trên  . C. Hàm số liên tục trên  1;   . D. Hàm số liên tục trên  3; 2  . Lời giải Chọn C Tập xác định:  1;   x  1 1 1 1  lim   f  0 x  0 x x 1 1 2 Vậy hàm số liên tục trên  1;   . lim f  x   lim x 0. x 0. Câu 23: Cho hình chóp S .ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a 2 và BC  2a . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và SB . A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 Lời giải Chọn D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(119)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Nhận xét: Tam giác ABC vuông cân tại A SA  SB  SC  SO   ABC  tại O là trung điểm của BC Dựng hình bình vuông ABDC , suy ra: S . ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a 2 Vậy: góc giữa hai đường thẳng AC và AB bằng góc giữa hai đường thẳng BD và SB bằng 60 . Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  . Một mặt phẳng   qua A vuông góc với SC cắt hình chóp với thiệt diện là: A. Hình thoi có một góc có số đo 120 . B. Hình vuông. C. Hình bình hành. D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Lời giải Chọn D. Dựng AH vuông góc với SC tại H BD  SA    BD  SC mà  P   SC nên BD //  P  BD  AC  Gọi O là tâm hình vuông, nối SO cắt AH tại I I   P    SBD   Ta có:   d   P    SBD  , d qua I và song song với BD , cắt SB , SD lần BD //  P   lượt tại K , P Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi   là tứ giác AKHP có KP  AH . Câu 25: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , G lần lượt là trung điểm của AB, CD và MN . Chọn khẳng định đúng:       1   A. GA  GB  GC  GD  2MN . B. MN  AD  CB . 2. . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(120)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  1   C. MN  AC  BD . 2. . Ôn tập BKII Toán 11.  1   D. MN  AB  CD . 2 Lời giải. . . . Chọn C.  1            AC  BD  AM  MC  BM  MD  MC  MD  2MN  MN  AC  BD 2 3 5x  3  x  3 5 1 Câu 26: lim   (với m, n là các số nguyên dương). Tính m  n ? x 1 m n x2  1 A. 15 . B. 14 . C. 12 . D. 16 . Lời giải Chọn D. 3 3 5x  3  x  3 5x  3  2 x32 Ta có lim  lim  lim 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2  1 5  x  1 x 1 5 1  lim  lim   . 2 x 1 x  1 2  x  1 x  3  2 24 8 x 2  1 3 5x  3  2 3 5x  3  4. . .  . . . . . . m  24 .  n  8   Câu 27: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AC và DE ? A. 1200 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Lời giải Chọn A.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(121)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A. D. B. C. F. E H. G.          Ta có AC.DE  AC AE  AD  AC . AE  AC. AD  0  a.a 2.cos 450   a 2     AC .DE a 2 1  cos AC , DE    . AC .DE 2 a 2.a 2 x5 Câu 28: lim bằng x 3 x  3 15 A.  . B.  . C. 1 . D.  . 2 Lời giải Chọn B.  lim  x  3  0  x 3 x5 Ta có lim   vì  lim  x  5   8 . x 3 x  3  x 3  x  3  0, x  3 Câu 29: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Góc giữa AB và CD bằng. A. 600 . B. 300 . C. 900 . D. 450 . Lời giải Chọn C. Ta có AB và CD là hai cạnh đối diện của tứ diện đều nên vuông góc với nhau. khi x  0  x  2m Câu 30: Tìm m để hàm số: y   2 liên tục tại x  0 .  x  x  1 khi x  0 1 1 A. m  . B. m  1 . C. m  . D. m  0 . 4 2 Lời giải Chọn C. Ta có lim f  x   lim  x 2  x  1  1 .. . . x 0. . . x0. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(122)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. lim f  x   lim  x  2m   2m .. x 0 . x 0. Nên để hàm số liên tục tại x  0 thì 2m  1  m  Câu 31:. lim x. x . . 1 . 2. . x 2  3  x bằng. A.  .. B.. 3 . 2. C. 3 .. D. 0 .. Lời giải Chọn B Ta có lim x x . . . x 2  3  x  lim. x . 3x x2  3  x. 3.  lim. x . 1. 3 1 x2. . 3 . 2. Câu 32: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định  sau:    A. G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0 .    B. I là trung điểm của AB  MA  MB  2 MI , M .     C. G là trọng tâm tam giác ABC  MA  MB  MC  3MG , M .     D. ABCD. AB C D là hình hộp. Khi đó ta có: AB  AD  AA  AC . Lời giải Chọn D.       Xét hình hộp ABCD. AB C D ta có AB  AD  AA  AC  AA  AC  .     Vậy khẳng định sai là AB  AD  AA  AC . Câu 33: lim  x 2  4  bằng x 3. A. 2.. B. 1.. C. - 4. Lời giải. D. -1.. Chọn D Ta có lim  x 2  4   3  4  1 . x 3.        Câu 34: Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C  có AA  a , AB  b , AC  c . Hãy biểu diễn vectơ B C    theo các vectơ a , b , c .                 A. B C  a  b  c . B. B C  a  b  c . C. B C  a  b  c . D. B C  a  b  c . Lời giải Chọn C. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(123)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.          Ta có B C  B ' B  BC   AA '  AC  AB  a  b  c . 1  x 1  2 x 1  3 x  ... 1  2019 x   1 Câu 35: lim x0 x bằng A. 2018.2019 . B. 1009.2019 . C. 1010.2019 . D. 0 . Lời giải Chọn C 1  x 1  2 x 1  3 x  ... 1  2019 x   1 Ta có lim x0 x x 1  2 x 1  3x  ... 1  2019 x  11  2 x 1  3x  ... 1  2019 x   1  lim  lim x0 x x x 0.  1  lim x0.  1  lim. 1  2 x 1  3x  ... 1  2019 x   1 x 2 x 1  3x  ... 1  2019 x .  lim. 1  3x  ... 1  2019 x   1. x0 x x 2019 1  2019  1  3 x  ... 1  2019 x   1  1  2  lim  ... .  1  2  ...  2019   1010.2019 . x 0 x 2  x 2  ax  b khi x  1  2 Câu 36: Biết hàm số f  x    x  1  a; b    liên tục tại x  1 . Hãy tính S  2a  5b .  1  khi x  1  2 A. S  10 . B. S  7 . C. S  4 . D. S  2 . Lời giải Chọn C 1 Hàm số liên tục tại x  1 nên lim f  x   f 1   12  a.1  b  0  a  b  1 ( 1) x 1 2  x  1 x  b   lim x  b  1  b  1  b  2 ( 2) x 2  ax  b lim f  x   lim  lim 2 x 1 x 1 x 1  x  1 x  1 x 1 x  1 x 1 2 2 x0. Câu 37:. Từ (1) và (2) suy ra a  3; b  2  S  2a  5b  4 x 2  3x  2 lim bằng : x 1 x 1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(124)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 .. B. 2 .. Ôn tập BKII Toán 11. C. 2 .. D. 1 .. Lời giải Chọn A x 2  3x  2  x  1 x  2  lim x  2  1 lim  lim   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 38: Cho f  x  liên tục trên  1;5 thỏa mãn f  1  1; f  5   6 . Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm trong khoảng  1;5 ? A. f  x   8 .. B. f  x   3 .. C. f  x   5  0 .. D. f  x   1 .. Lời giải Chọn B Đặt g  x   f  x   3 * Vì f  x  liên tục trên  1;5 nên g  x  liên tục trên  1;5 . * g  1  f  1  3  1  3  2; g  5   f  5   3  6  3  3  g  1 g  5   0 Do đó phương trình g  x   0 hay f  x   3 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  1;5 . Câu 39: Giá trị của lim. . . 4n2  5n  1  2n bằng :. A.  .. B.. 5 . 2. C.  .. D.. 5 . 4. Lời giải Chọn D. 1 5 n lim 4n2  5n  1  2n  lim  lim  4 5 1 4n2  5n  1  2n 4  2 2 n n 2 4 Câu 40: lim  5  3x  2019 x  bằng :. . 5. 5n  1. . x . A.  .. B. 3 .. C. 2019 .. D.  .. Lời giải Chọn A.  5 3  lim  5  3 x 2  2019 x 4   lim x 4  4  2  2019    x  x  x x  5 3   Vì lim x 4   và lim  4  2  2019   2019  0 x  x  x x   Câu 41: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hinh thoi tâm O . Biết SA  SC , SB  SD . Khẳng định nào sau đây sai? A. SO  ( ABCD ) . B. AC  ( SBD) . C. BD  ( SAC ) . D. AB  ( SAD) . Lời giải Chọn D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(125)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  SO   ABCD  SO  AC   Có SO  BD   AC   SBD  nên D sai.  AC  BD    BD   SAC  Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Biết SO   ABC  , SO  2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AH của. a 3 . Xác 3 định vị trí điểm M để thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P  có điện tích lớn nhất. tam giác ABC . Xét mặt phẳng  P  đi qua M và vuông góc với AH , AM  x, x . AM bằng: AH AM 4 A.  . AH 5. Khi đó. B.. AM 5  AH 6. C.. AM 3  . AH 4. D.. AM 2  . AH 3. Lời giải Chọn C. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(126)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  AM  BC  P   BC Do   nên thiết diện là hình thang cân IJKL có đường cao  AM  SO  P   SO MN , IJ  BC , MN  SO . Do AM  x, x . a 3 nên M nằm giữa O, H . 3. a 3   x  .2a  a 3  a 3 a 3 MH .SO  2 6  AH   MH   x, MN      x  .2a. 2 2 OH a 3 a 3  2  6  a 3 a x   3  KL SN OM AM .BC x.a 2x   6a  4 3x . IJ    .    KL  AH BC SH OH a 3 3 a 3 2 6  2 3x  2a . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(127)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 1 3a 2  2x  khi 6a  4 3x   2 3x  2a   2 3a  4 x 4 x  a 3  2 4  3  3 3a AM 3 x   . 8 AH 4 5x  3  3 a Câu 43: lim   a, c, c    . Tính a  b  c . x0 x b c A. 0. B. 6. C. 8. D. 4. Lời giải Chọn D 5x  3  3 5x 5 lim  lim   abc  523 4 x0 x 0 x 2 3 x 5x  3  3 S IJKL . . . . . Câu 44:. . . . lim  2018 x 3  2 x  5  bằng. x . A.  .. B. 0.. C.  . Lời giải. D. -2018.. Chọn A   2 5  2 5  lim  2018 x 3  2 x  5   lim  x 3  2018  2  3   , lim x 3  , lim  2018  2  3   2018 x  x  x  x x  x x      lim  2018 x3  2 x  5    . x . x . x2  4 x  3 Câu 45: Hàm số f  x   không liên tục tại x2 A. x  3 . B. x  2 . C. x  1 . Lời giải Chọn B. Hàm số không xác định tại x  2 nên không liên tục tại x  2 . 1  3x Câu 46: lim bằng x  2 x  5 3 1 1 A.  . B. . C. . 2 5 2 Lời giải Chọn A 1 3 1  3x 3 lim  .  lim x x  2 x  5 x  5 2 2 x 2  3n Câu 47: Giá trị của lim 2 bằng: 3n  n  2 2 A. 1 . B. . C.  . 3 Lời giải Chọn D 2 3  2 2  3n n n  0. lim 2  lim 1 2 3n  n  2 3  2 n n. D. x  0 .. 3 D.  . 5. D. 0 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(128)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Câu 48: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và điểm O không thuộc mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng  P  thì chúng song song với nhau. B. Nếu a / / b và a vuông góc với mặt phẳng  P  thì b cũng vuông góc với mặt phẳng  P  . C. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và song song với mặt phẳng  P  . D. có duy nhất một đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng  P  . Lời giải Chọn C 10n  30n  2 Câu 49: lim bằng: 5.30n  4.20n A.  . B.  . C. 900 . D. 180 . Lời giải Chọn D n 1  302   n n2 n 2 n 10  30 10  30 .30 900 3 lim  lim  lim     180 . n n n n n 5.30  4.20 5.30  4.20 5 2 5  3 Câu 50: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a , SA  a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  . Gọi  là góc giữa SB và mặt phẳng  SAC  . Tính tan  ? A. tan  . 1 . 5. B. tan  . 1 . 3. C. tan   2 .. D. tan  . 1 . 2. Lời giải Chọn A. Trong  ABCD  , giả sử AB  CD  O.  BO  AC Ta có   BO   SAC  .  BO  SA  SA   ABCD   Hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng  SAC  là SO    SB;  SAC     SB; SO   BSO. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(129)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11 2. a 2 10a Xét tam giác vuông SAO có SO  SA  AO  2a   .   2  2  2. 2. 2. a 2 1 BO  Xét tam giác vuông SBO có tan BSO  2  . SO 10a 5 2 ---HẾT---. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(130)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 8. Câu 1.. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 50 câu TN, 0 câu tự luận). Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a . Người ta dựng tam giác đều A1 B1C1 có cạnh bằng đường cao của tam giác ABC ; dựng tam giác đều A2 B2 C2 có cạnh bằng đường cao của tam giác A1 B1C1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều ABC , A1 B1C1 , A2 B2 C2 ,… bằng 24 3 thì a bằng:. Câu 2.. A. 4 3 . B. 3 . Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0? A. lim. Câu 3.. n. 3 B. lim   . 2. 1 n . 2n  1. Biết lim. 1  2n 3 3. an  2. B. 6 .. D. 3 3 . n.   C. lim   . 4. D. lim n 2 .. C. 2 .. D. 0 .. Cho hình tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD , I là trung điểm của đoạn MN . Mệnh đề nào sau đây sai?  1    1   A. MN  AD  CB . B. AN  AC  AD . 2 2         C. MA  MB  0 . D. IA  IB  IC  ID  0 .. . Câu 5.. 6..  4 với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng. A. 4 . Câu 4.. C.. . . . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. lim. x . . 1 x2  x  1  x   . 2. .  x2  x  1  2  1  . B. lim  x    2 2x  3  . 3x  2 3x  2   .  3 . D. lim x  2  x x 1 x  1 Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Khẳng định nào sau đây sai? A. Góc giữa 2 đường thẳng BD và AA bằng 60o . B. Góc giữa 2 đường thẳng AC và BD bằng 90o . C. Góc giữa 2 đường thẳng AB và DC bằng 45o . D. Góc giữa 2 đường thẳng DC và AC  bằng 60o . 2017 n  2019 n 2 Tính giới hạn lim là 3.2018n  2019 n1 1 1 A. . B. . C. 2019 . D. 0. 2019 2019  n  1 2n  3 là Tính giới hạn J  lim n3  2 A. J  3 . B. J  1 . C. J  0 . D. J  2 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn  20; 20 để lim  mx  2   m  3x 2    ? C. lim. Câu 6.. Câu 7.. Câu 8.. Câu 9.. x . A. 21.. B. 22.. C. 20.. D. 41.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(131)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10. Hàm số nào sau đây không liên tục tại x  2 ? 2x  6 1 A. y  2 . B. y  . x 2 x2 Câu 11. Dãy số nào sau đây không phải cấp số nhân? A. 1; 1;1; 1;1; 1 . B. 1;0;0;0;0;0 . Câu 12. Cho a , b là các số dương. Biết lim. x . ab . 49 A. . 18. B.. . Ôn tập BKII Toán 11. x . x2. C. y . D. y . C. 1;2;4;8;16 .. D. 1;3;9;27;80 .. . 9 x 2  ax  3 27 x 3  bx 2  5 . 59 . 34. C.. 3x 1 . x  22. 7 . Tìm giá trị lớn nhất của 27. 43 . 58. D.. 75 . 68.  x2  4 x  7  Câu 13. Tính giới hạn I  lim  x 1 x  1   A. I  4 . B. I  5 . C. I  4 . D. I  2 . Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a . SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a . Gọi  là góc giữa SB và  SAC  . Tính  . A.   30 . Câu 15. Chọn mệnh đề sai 3 A. lim  0. n 1 C. lim. . B.   60 .. C.   45 .. D.   90 .. n. B. lim  2    .. . n 2  2n  3  n  1 .. D. lim. 1  0. 2n. Câu 16. Xét các mệnh đề sau  I  . lim nk   với k là số nguyên dương tuỳ ý. 1  0 với k là số nguyên dương tuỳ ý. x  x k  III  . lim x k   với k là số nguyên dương tuỳ ý..  II  .. lim. x . Trong ba mệnh đề trên thì A. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.. B. Chỉ  I  đúng.. C. Chỉ  I  ,  II  đúng.. D. Chỉ  III  đúng.. 1  4 x2  x  5 2  . Giá trị của a bằng x  a x 2 3. Câu 17. Cho biết lim A. 3 .. 2 B.  . 3. C. 3. D.. 4 . 3. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để B  2 với B  lim  x 3  2 x  2m 2  5m  5  . x 1. A. m  0;3 . C.. B. m . 1  m  2. 2. 1 hoặc m  2 . 2. D. 2  m  3 .. Câu 19. Kết quả của giới hạn I  lim  3n 2  2n  4  là A.  .. B.  .. C. I  1 .. D. I  0 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(132)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.  x 2  x  2  3 2 x3  5 x  1  a a Câu 20. Cho lim    ( là phân số tối giản và a , b nguyên). Tính tổng x 1   b b x2 1   L  a 2  b2 . A. 150 . B. 143 . C. 140 . D. 145 .   Câu 21. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tích AC .EF. a2 2 A. 2a . B. a 2 . C. . D. a 2 . 2 Câu 22. Trong không gian cho điểm O và đường thẳng d . Qua điểm O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d ? A. Ba. B. Hai. C. Một. D. Vô số. Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB và AC  CB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. BC   SAC  . B. SB  AB . C. SA   ABC  . D. AB  SC . 2. Câu 24. Tính giới hạn L  lim. x . 2x  3 . 4 x  2. 1 1 3 . C. L   . D. L   . 2 2 4 Câu 25. Cho hai đường thẳng a, b phân biệt và mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào sau đây đúng?. B. L . A. L  1 .. A. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .. B. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  .. C. Nếu a //  P  và b   P  thì b  a .. D. Nếu a //  P  và b //  P  thì b //a .. 1 1 1 1   Câu 26. Tính giới hạn lim  2     ...  n  ...  . 2 4 8 2   A. 4 .. B. 3 .. Câu 27. Tính giới hạn I  lim. . C. 5 .. D.. 8 . 3. . n 2  4n  8  n .. A.  . B. 0 . C. 2 . D. 1 . Câu 28. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sai ? A. BC  SA . B. BC   SAB  . C. BC  SB . D. BC   SAC  . Câu 29. Giá trị lim. x . A.. 1 . 2. x2  3x  6  2 x bằng 2x  3 9 B. . 17. C.. 3 . 2. 2n 2  3n  5 . 2n  n 2 3 B. I  . C. I  0 . 2 với un  3n  2 . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. D. 1 .. Câu 30. Tính giới hạn I  lim A. I  1 . Câu 31. Cho dãy số  un  A. 7 .. B. 15 .. C. 17 .. D. I  2 .. D. 5 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(133)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 32.. Tính giới hạn I  lim A. I  2 .. Ôn tập BKII Toán 11. 2n  3  n   1 . 1  3  5  ...   2n  1. B. I  1 .. C. I  2 .. D. I  3 .. Câu 33.. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi O , SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy. . . . A.   SDA B.   SDO C.   SAD D.    ASD .. Câu 34.. Cho các hàm số y  sin x  I  , y  cos x  II  , y  tan x  III  . Hàm số nào liên tục trên  . A.  I  ,  II  .. Câu 35.. B.  I  .. C.  I  ,  II  ,  III  .. D.  III  .. Nếu lim f  x   5 thì lim 3  4 f  x   bằng bao nhêu? x2 x2 A. 18 .. B. 1 .. C. 1 . D. 17 .        Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.ABC  . Đặt AA  a , AB  b , AC  c . Phân tích véc tơ BC ' qua các    véc tơ a, b, c                 A. BC '  a  b  c . B. BC '  a  b  c . C. BC '  a  b  c . D. BC '  a  b  c . Câu 37. Cho điểm O ở ngoài mặt phẳng   . Trong mặt phẳng   có đường thẳng d di động qua điểm A cố định . Gọi H , M lần lượt là hình chiếu của O trên mặt phẳng   và đường thẳng d . Độ. dài đoạn OM lớn nhất khi A. Đường thẳng d trùng với HA . B. Đường thẳng d tạo với HA một góc 45o C. Đường thẳng d tạo với HA một góc 60 o . D. Đường thẳng d vuông góc với HA .  1 2x 1  Câu 38. Cho hàm số f ( x )   x 1  3 x. khi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? khi x  0. A. Hàm số liên tục trên  . B. Hàm số gián đoạn tại x  3 . C. Hàm số gián đoạn tại x  0 . D. Hàm số gián đoạn tại x  1 . Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông tại A và D. AB  AD  a , CD  2 a ,. SD vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Có bao nhiêu mặt bên của hình chóp là tam giác vuông. A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 40. Biết bốn số 6; x; 2; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức x  2 y bằng. A. -10. B. 12. C. 14. D. -2. Câu 41: Chọn mệnh đề đúng 2n 2  n  1 2 3 A. lim   . B. lim 3n  n  1   . 3  2n 1  3n 1  . C. lim D. lim 2n  0 . 2n  5 2 Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại C . Gọi H là hình. . . chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. H trùng với trọng tâm của tam giác ABC . B. H trùng với trung điểm của AB . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(134)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. C. H trùng với trực tâm của tam giác ABC . D. H trùng với trung điểm của BC .. . . Câu 43: Cho tứ diện đều ABCD . Tính góc giữa các véc tơ DA và BD A. 600 . B. 900 . C. 300 . 1  cos x khi sin x  0 Câu 44: Cho hàm số f  x    3  cos x khi sin x  0. D. 1200 .. Hàm số có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng  0; 2019  ? A. Vô số.. B. 320 .. C. 321 .. D. 319 .. 2.  2 x  3x  2 khi x  2  Câu 45: Cho hàm số f  x    x2 m 2 +mx  8 khi x =  2  Tìm tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x  2 . A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 5 . Câu 46: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;5 và f 1  2 , f  5   10 . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG? A. Phương trình f  x   6 vô nghiệm. B. Phương trình f  x   7 có ít nhất một nghiệm trên 1;5 . C. Phương trình f  x   2 có hai nghiệm x  1 và x  5 . D. Phương trình f  x   7 vô nghiệm. Câu 47: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh đáy bằng a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA  a 3 . Gọi   là mặt phẳng chứa B và vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp trên và   . A.. a 2 15 . 10. B.. a 2 15 . 5. C.. . a 2 15 . 20. x 2. A.. D. I  5 .. 2x 2  x  3  3 . 4 x2. 2 . 7. Câu 50: Hàm số y  A.  3; 4  .. a2 5 . 10. . x2  x f  x   2 f  x 1 Câu 48: Cho lim .  1 . Tính I  lim x 1 x 1 x 1 x 1 A. I  5 . B. I  4 . C. I  4 . Câu 49: Tính lim. D.. B.. 7 . 24. C.. 9 . 31. D. 0 .. x 1 liên tục trên khoảng nào sau đây? x  7 x  12 2. B.  ; 4  .. C.  4;3 .. D.  4;   .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(135)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a . Người ta dựng tam giác đều A1 B1C1 có cạnh bằng đường cao của tam giác ABC ; dựng tam giác đều A2 B2 C2 có cạnh bằng đường cao của tam giác A1 B1C1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều ABC , A1 B1C1 , A2 B2 C2 ,… bằng 24 3 thì a bằng: A. 4 3 .. B. 3 .. C. 6 . Lời giải. D. 3 3 .. Chọn C Ta có độ dài đường cao của tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a là 2a. 3  a 3 nên tam 2. giác A1 B1C1 có cạnh bằng a 3 . Do đó hai tam giác ABC và A1 B1C1 dồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là k  Suy ra. S A1B1C1 S ABC.  k2 . 3 . 2 3 3  S A1B1C1  S ABC . 4 4. Tương tự ta có S A2 B2C2 . 3 3 S A1 B1C1 , S A3 B3C3  S A2 B2C2 ,… 4 4. Nên dãy số S ABC , S A1B1C1 , S A2 B2 C2 , S A3 B3C3 ,… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q . 3 4. 3  a2 3 . 4 Suy ra tổng diện tích của tất cả các tam giác đều ABC , A1 B1C1 , A2 B2 C2 ,… bằng và số hạng đầu S ABC   2a . S. 2. S ABC a 2 3   4a 2 3 . 3 1 q 1 4. Ta có 4a 2 3  24 3  a  6 . Câu 2.. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0? A. lim. 1 n . 2n  1. n. 3 B. lim   . 2. n.   C. lim   . 4 Lời giải. D. lim n 2 .. Chọn C n.    Ta có  1  lim    0 . 4 4 Câu 3.. Biết lim A. 4 .. 1  2n 3 3. an  2.  4 với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng. B. 6 .. C. 2 . Lời giải. D. 0 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(136)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Chọn B 3. 1   2 3  1  2n  n   8 . Theo giả thiết ta có 8  4  a  2 . Ta có lim  lim  3 2 a a an  2 a 3 n. Suy ra a  a 2  6 . Câu 4.. Cho hình tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD , I là trung điểm của đoạn MN . Mệnh đề nào sau đây sai?  1    1   A. MN  AD  CB . B. AN  AC  AD . 2 2         C. MA  MB  0 . D. IA  IB  IC  ID  0 . Lời giải Chọn A. . . . .  1   1     1   1   Ta có MN  MC  MD  MB  BC  MA  AD  BC  AD  AD  CB 2 2 2 2. . Câu 5..  . . .  . . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. lim. x . . C. lim x 1. 1 x  x 1  x   . 2. . 2. 3x  2   . x 1.  x2  x  1  2  1  . B. lim  x    2 2x  3  . 3x  2  3 . x  2  x. D. lim Lời giải. Chọn A Ta có lim. x . .   1 1 x 2  x  1  x  lim x   1   2  1  x   x x  . .   1 1 Vì lim x   và lim   1   2  1  2  0 nên lim  x   x  x  x x  . . . x 2  x  1  x   .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(137)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6.. Ôn tập BKII Toán 11. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Khẳng định nào sau đây sai? A. Góc giữa 2 đường thẳng BD và AA bằng 60o . B. Góc giữa 2 đường thẳng AC và BD bằng 90o . C. Góc giữa 2 đường thẳng AB và DC bằng 45o . D. Góc giữa 2 đường thẳng DC và AC  bằng 60o . Lời giải Chọn A. A sai vì AA   AB C D   AA  BD Câu 7.. Tính giới hạn lim A.. 1 . 2019. 2017 n  2019 n 2 là 3.2018n  2019 n1 1 B. . 2019. C. 2019 .. D. 0.. Lời giải Chọn B n2.  2017  2017 .   1 n n 2 2017  2019 1 2019   . lim  lim  n n 1 n 2 3.2018  2019 2019 2  2018  3.2018 .    2019  2019   n  1 2n  3 là Tính giới hạn J  lim n3  2 A. J  3 . B. J  1 . C. J  0 . Lời giải Chọn C 1  1  3 1   2     n  1 2n  3   lim n  n  n   0 . J  lim 2 n3  2 1 3 n 2. Câu 8.. Câu 9.. D. J  2 .. . . Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn  20; 20 để lim  mx  2  m  3x 2   ? x . A. 21.. B. 22.. C. 20. Lời giải. D. 41.. Chọn C +) Nếu m  0 thì lim  mx  2  m  3x 2  lim  2  3x 2 lim 6 x 2   x . . . x . . . x .  m  0 không thỏa mãn. +) Nếu m  0 thì. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(138)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.   1 1 1  lim  mx  2  m  3x 2  lim 3mx 3  6 x 2  m 2 x  2m  lim  x3  3m  6.  m 2 2  2m 3   x  x  x  x x x   . . . . . . . Vậy để lim  mx  2  m  3x 2   thì m  0 , do đó có 20 số nguyên thỏa mãn. x . Câu 10. Hàm số nào sau đây không liên tục tại x  2 ? 2x  6 1 x 3x 1 A. y  2 . B. y  . C. y  . D. y  . x 2 x2 x2 x  22 Lời giải Chọn B Các hàm số ở phương án A, C, D là các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng nên đều liên tục tại x  2 . Câu 11. Dãy số nào sau đây không phải cấp số nhân? A. 1; 1;1; 1;1; 1 . B. 1;0;0;0;0;0 . C. 1;2;4;8;16 . Lời giải Chọn D 80 27 Dãy 1;3;9;27;80 không phải cấp số nhân vì  . 27 9 Câu 12. Cho a , b là các số dương. Biết lim. x . ab . 49 A. . 18. B.. 59 . 34. . D. 1;3;9;27;80 .. . 9 x 2  ax  3 27 x 3  bx 2  5 . 7 . Tìm giá trị lớn nhất của 27. 43 . 58. C.. D.. 75 . 68. Lời giải Chọn A Ta. có. lim. x . . . 9 x 2  ax  3 27 x 3  bx 2  5  lim. x . . 9 x 2  ax  3x  3x  3 27 x 3  bx 2  5.    ax  bx 2  5  lim   2 x  9 x  ax  3 x 9 x 2  3x 3 27 x 3  bx 2  5  3 27 x 3  bx 2  5  . . .   2   .   5   b  2    ax x  lim   2  x    x 9  a  3 x 9  3 3 27  b  5   3 27  b  5     x  x x3  x x 3      5   b  2   a b a x  lim     . 2  x  6 27 a   b 5 b 5  9   3 9  3 3 27     3 27   3   3 x  x x x x    . Theo đề ta có. 7 a b a b 49   2 .  ab  . 27 6 27 6 27 18. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9. .

<span class='text_page_counter'>(139)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 7  a  a b 7  9 Dấu đẳng thức xảy ra khi  .   6 27 54 7 b   2.  x2  4 x  7  Câu 13. Tính giới hạn I  lim  x 1 x  1   A. I  4 . B. I  5 .. C. I  4 . Lời giải. D. I  2 .. Chọn D.  x2  4 x  7  4 I  lim   2. x 1 x  1  2  Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a . SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a . Gọi  là góc giữa SB và  SAC  . Tính  . A.   30 .. B.   60 .. C.   45 . Lời giải. D.   90 .. Chọn B. S. A. C. I. B Từ B kẻ đường thẳng BI  AC . Lại có BI  SA nên BI   SAC  . Do đó hình chiếu của SB lên  SAC  là SI , góc giữa SB và  SAC  là góc giữa SB và SI . Xét tam giác SBI vuông tại I , có SB  SA2  AB 2  2 , BI  Suy ra sin BSI . BI 1  . Vậy   60 . SB 2. Câu 15. Chọn mệnh đề sai 3 A. lim  0. n 1 C. lim. . 1 a 2 AC  . 2 2. n. B. lim  2    .. . n 2  2n  3  n  1 .. D. lim. 1  0. 2n. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(140)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải Chọn B n. lim  2  không tồn tại.. Câu 16. Xét các mệnh đề sau  I  . lim nk   với k là số nguyên dương tuỳ ý. 1  0 với k là số nguyên dương tuỳ ý. x  x k  III  . lim x k   với k là số nguyên dương tuỳ ý..  II  .. lim. x . Trong ba mệnh đề trên thì A. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.. B. Chỉ  I  đúng.. C. Chỉ  I  ,  II  đúng.. D. Chỉ  III  đúng. Lời giải. Chọn C Ta có:  I  ,  II  đúng (các giới hạn đặc biệt: SGK trang 114 và trang 130 ). Với k là số nguyên dương lẻ tuỳ ý ta có lim x k   (các giới hạn đặc biệt: SGK trang 130 ) x . nên  III  sai .. 1  4 x2  x  5 2 Câu 17. Cho biết lim  . Giá trị của a bằng x  a x 2 3 2 B.  . 3. A. 3 .. C. 3. D.. 4 . 3. Lời giải Chọn C 2. lim. x . 1  4x  x  5  lim x  a x 2. Theo giả thiết, ta có: . 1 5 1 1 5  2  4  2 x x  lim x x x  4 2. x  2 ax  2 a a a  x. 1 x 4 . 2 2   a  3 . a 3. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để B  2 với B  lim  x 3  2 x  2m 2  5m  5  . x 1. A. m  0;3 . C.. 1  m  2. 2. B. m . 1 hoặc m  2 . 2. D. 2  m  3 . Lời giải. Chọn B Ta có: B  lim  x 3  2 x  2m 2  5m  5   13  2  2m2  5m  5  2m2  5m  4 . x 1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(141)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. m  2 Theo giả thiết: B  2  2m  5m  4  2  2m  5m  2  0   1. m   2 2. 2. Câu 19. Kết quả của giới hạn I  lim  3n 2  2n  4  là C. I  1 . Lời giải. B.  .. A.  .. D. I  0 .. Chọn B   2 4  Ta có: I  lim  3n 2  2n  4   lim  n 2  3   2     . n n    lim n 2    Vì   . 2 4  lim  3  n  n 2   3  0   .  x 2  x  2  3 2 x3  5 x  1  a a Câu 20. Cho lim    ( là phân số tối giản và a , b nguyên). Tính tổng 2 x 1   b b x  1  . L  a 2  b2 . A. 150 .. B. 143 .. C. 140 . Lời giải. D. 145 .. Chọn D  x2  x  2  3 2 x3  5x  1   x 2  x  2  2 2  3 2 x3  5 x  1  Ta có: lim   lim     2 2 2 x 1   x1   x  1 x  1 x  1       2 3   x  x2 2 x  5 x  7  lim   2  x 1 2 2   x  1 x  x  2  2  x 2  1  4  2 3 2 x3  5 x  1  3 2 x 3  5 x  1       . . . . .   2    x  1  2 x  2 x  7   x  1 x  2   lim   2  x 1 2   x  1 x  1 x  x  2  2  x  1 x  1  4  2 3 2 x 3  5 x  1  3 2 x 3  5 x  1       . . . . .   2   x2 2 x  2 x  7  lim   2  x 1 2   x  1 x  x  2  2  x  1  4  2 3 2 x 3  5 x  1  3 2 x 3  5 x  1        3 11 1    . 2.4 2.12 12 a  1 1 a Theo giả thiết ta có      L  a 2  b 2  145 . 12 b b  12   Câu 21. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tích AC .EF. . . . . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(142)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 2a 2 .. B. a 2 .. C.. a2 2 . 2. Ôn tập BKII Toán 11 D. a 2 .. Lời giải Chọn D.      2 Ta có AC.EF  AC. AB  AB  AB 2  a 2 . Câu 22. Trong không gian cho điểm O và đường thẳng d . Qua điểm O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d ? A. Ba. B. Hai. C. Một. D. Vô số. Lời giải Chọn C Theo lý thuyết, chỉ có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước. Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB và AC  CB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. BC   SAC  . B. SB  AB . C. SA   ABC  . D. AB  SC .. Lời giải Chọn D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(143)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Gọi M là trung điểm AB , do hai tam giác SAB và CAB cân có chung đáy AB nên  AB  SM  AB   SMC   AB  SC .   AB  CM 2x  3 . x  4 x  2. Câu 24. Tính giới hạn L  lim. B. L . A. L  1 .. 1 . 2. 1 C. L   . 2 Lời giải. 3 D. L   . 4. Chọn C 3 2 2x  3 x 1. Ta có L  lim  lim x  4 x  2 x  2 2 4  x Câu 25. Cho hai đường thẳng a, b phân biệt và mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .. B. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  .. C. Nếu a //  P  và b   P  thì b  a .. D. Nếu a //  P  và b //  P  thì b //a . Lời giải. Chọn C. 1 1 1 1   Câu 26. Tính giới hạn lim  2     ...  n  ...  . 2 4 8 2   A. 4 .. B. 3 .. C. 5 .. D.. 8 . 3. Lời giải Chọn B. 1 1 1 1 1 1 Ta có    ...  n  ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1  , q  nên 2 4 8 2 2 2 1 1 1 1 1 S n     ...  n  ...  2  1. 1 2 4 8 2 1 2 1 1 1 1 1   1 1 1  Nên lim  2     ...  n  ...   lim 2  lim     ...  n  ...   2  1  3. 2 4 8 2 2   2 4 8  Câu 27. Tính giới hạn I  lim. . . n 2  4n  8  n .. A.  .. C. 2 .. B. 0 .. D. 1 .. Lời giải Chọn C. Ta có.  I  lim  n  4n  8  n   lim 2. n 2  4n  8  n. . n 2  4n  8  n. n 2  4n  8  n.   lim. 4n  8 n 2  4n  8  n. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. .. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(144)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 8  8 n  4   4  4 n  n  lim  lim   2. 2 4 8 4 8 n 1  2  n 1  2 1 n n n n Câu 28. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sai ? A. BC  SA . B. BC   SAB  . C. BC  SB . D. BC   SAC  . Lời giải Chọn D S. C. A. B.  BC  AB ( gt) Ta có   BC   SAB   BC  SB .  BC  SA ( gt) Mệnh đề ở câu D sai. Câu 29. Giá trị lim. x . A.. 1 . 2. x2  3x  6  2 x bằng 2x  3 9 B. . 17. C.. 3 . 2. D. 1 .. Lời giải Chọn A. lim. x . x 2  3x  6  2 x  lim x  2x  3. Câu 30. Tính giới hạn I  lim A. I  1 .. 3 6 3 6 x 1   2  2x  1  2  2 1 x x x x  lim  . x  3 2x  3 2 2 x. 2n 2  3n  5 . 2n  n 2 3 B. I  . 2. C. I  0 .. D. I  2 .. Lời giải Chọn D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(145)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. 3 5 2  2 n n  2. 2 1 n với un  3n  2 . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. 2n 2  3n  5 I  lim  lim 2n  n 2 Câu 31. Cho dãy số  un  A. 7 .. B. 15 .. C. 17 . Lời giải. D. 5 .. Chọn C Ta có  un  là cấp số cộng có công sai d  3, u1  5 nên u5  u1  4d  5  4.3  17 . Câu 32.. Tính giới hạn I  lim A. I  2 .. 2n  3  n   1 . 1  3  5  ...   2n  1. B. I  1 .. C. I  2 . Lời giải. D. I  3 .. Chọn C Ta có 1  3  5  ...   2n  1  n 2 , n  *. I  lim. Câu 33.. 2n  3  n   1 6 1  2n 2  6 n  1   lim  lim  2   2   2 . 2 1  3  5  ...   2n  1 n n n  . Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi O , SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy. . . . A.   SDA B.   SDO C.   SAD D.    ASD . Lời giải Chọn B S. D. A. O. B. C. Ta có OD là hình chiếu của SD lên mặt phẳng  ABCD  Góc giữa SD và mặt đáy  ABCD  là góc giữa hai đường thẳng SD và OD .   SDO vuông tại O   SD, OD   SDO .   . Vậy góc   SDO. Câu 34.. Cho các hàm số y  sin x  I  , y  cos x  II  , y  tan x  III  . Hàm số nào liên tục trên  .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(146)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  I  ,  II  .. B.  I  .. Ôn tập BKII Toán 11. C.  I  ,  II  ,  III  .. D.  III  .. Lời giải Chọn B Hàm số y  sin x có tập xác định là D   nên liên tục trên  . Hàm số y  cos x có tập xác định D   0;   , liên tục trên  0;    . Hàm số y  tan x liên tục tại mọi điểm x  Câu 35..   k , k   . 2. Nếu lim f  x   5 thì lim 3  4 f  x   bằng bao nhêu? x2 x2 A. 18 .. B. 1 .. C. 1 . Lời giải. D. 17 .. Chọn D Ta có Vì lim f  x   5 hữu hạn nên lim 3  4 f  x    lim 3  4.lim f  x   3  4.5  17. x2 x2 x 2 x2        Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.ABC  . Đặt AA  a , AB  b , AC  c . Phân tích véc tơ BC ' qua các    véc tơ a, b, c                 A. BC '  a  b  c . B. BC '  a  b  c . C. BC '  a  b  c . D. BC '  a  b  c . Lời giải Chọn A.          Có BC   BC  BB  AA  BA  AC  a  b  c . Câu 37. Cho điểm O ở ngoài mặt phẳng   . Trong mặt phẳng   có đường thẳng d di động qua điểm A cố định . Gọi H , M lần lượt là hình chiếu của O trên mặt phẳng   và đường thẳng d . Độ. dài đoạn OM lớn nhất khi A. Đường thẳng d trùng với HA . B. Đường thẳng d tạo với HA một góc 45o C. Đường thẳng d tạo với HA một góc 60 o . D. Đường thẳng d vuông góc với HA . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(147)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải Chọn D. Có OM  OA nên OM max  OA khi M  A  OA  d  d  HA .  1 2x 1  Câu 38. Cho hàm số f ( x )   x 1  3 x. khi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? khi x  0. A. Hàm số liên tục trên  . C. Hàm số gián đoạn tại x  0 .. B. Hàm số gián đoạn tại x  3 . D. Hàm số gián đoạn tại x  1 . Lời giải. Chọn B Xét tính liên tục của hàm số tại x  0 . f  0   1. lim f  x   lim. x 0. x0. 1  2 x 1  lim x0 x x. 2x. . .  1.. 1  2x 1. lim f  x   lim 1  3x   1 nên hàm số liên tục tại x  0 .. x 0. x 0. Vậy hàm số liên tục trên  . Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông tại A và D. AB  AD  a , CD  2 a ,. SD vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Có bao nhiêu mặt bên của hình chóp là tam giác vuông. A. 1.. B. 3.. C. 2. Lời giải. D. 4.. Chọn D. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(148)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. SDC , SDA là các tam giác vuông. AB  AD, AB  SD  AB   SAD   SAB vuông.. Gọi M là trung điểm CD  BC  BD  BC   SBD   SBC vuông. Câu 40. Biết bốn số 6; x; 2; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức x  2 y bằng. A. -10. B. 12. C. 14. D. -2. Lời giải Chọn C. Do. bốn. số. theo. 6; x; 2; y. thứ. tự. lập. thành. cấp. số. cộng. suy. ra. 6  2  2 x x  2   x  2 y  14 .   x  y  4 y  6 Câu 41: Chọn mệnh đề đúng. 2n 2  n  1 2 3   . B. lim 3n  n  1   . 3  2n 1  3n 1  . C. lim D. lim 2n  0 . 2n  5 2 Lời giải. A. lim. . . Chọn A 1 1   2  n  n2 2n 2  n  1 Ta có: lim  lim n  3  2n  3 2  n.      .  . Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại C . Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. H trùng với trọng tâm của tam giác ABC . B. H trùng với trung điểm của AB . C. H trùng với trực tâm của tam giác ABC . D. H trùng với trung điểm của BC . Lời giải Chọn B. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(149)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. S. B. A. H. C. Do SA  SB  SC và H là hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  nên HA  HB  HC . Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông tại C . Khi đó H trùng với trung điểm của AB .. . . Câu 43: Cho tứ diện đều ABCD . Tính góc giữa các véc tơ DA và BD A. 600 . B. 900 . C. 300 .. D. 1200 .. Lời giải Chọn D A. E. B. D. C.            Vẽ DE  BD khi đó DA; BD  DA; DE   ADE  DA; BD  1200 .. .  . . . . 1  cos x khi sin x  0 Câu 44: Cho hàm số f  x    3  cos x khi sin x  0 Hàm số có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng  0; 2019  ?. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(150)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. Vô số.. B. 320 .. C. 321 .. Ôn tập BKII Toán 11 D. 319 .. Lời giải Chọn C Xét hàm số f  x  trên đoạn  0; 2  , khi đó 1  cos x khi x   0;   f  x   3  cos x khi x    ; 2  Ta có lim f  x   2  f  0  , lim  f  x   2  f  2  x  2 . x 0. lim f  x   lim 1  cos x   0 , lim f  x   lim  3  cos x   4. x  . x . x . x . do lim f  x   lim f  x  nên hàm số gián đoạn tại x   . Hàm số y  cos x tuần hoàn x . x . với chu kỳ 2 . Suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm x    k 2 với k   . 1 Ta có x   0; 2019   0    k 2  2019    k  320,833 với k   2 nên k  0;1; 2;....;320 . Vậy hàm số có 321 điểm gián đoạn.  2 x 2  3x  2 khi x  2  Câu 45: Cho hàm số f  x    x2 m 2 +mx  8 khi x =  2  Tìm tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x  2 . A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 5 . Chọn A Lời giải 2. 2 x  3x  2  lim  2 x  1  5 , f  2   m 2  2m  8 . Để hàm số liên tục x 2 x 2 x2 m  3 tại x  2  lim f  x   f  2   m2  2m  8  5   x2  m  1 Ta có lim. Suy ra tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x  2 là: 2 . Câu 46: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;5 và f 1  2 , f  5   10 . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG? A. Phương trình f  x   6 vô nghiệm. B. Phương trình f  x   7 có ít nhất một nghiệm trên 1;5 . C. Phương trình f  x   2 có hai nghiệm x  1 và x  5 . D. Phương trình f  x   7 vô nghiệm. Lời giải Chọn B.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(151)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Hàm số liên tục trên đoạn 1;5 và f 1  2 , f  5   10 , 7   2;10  nên theo định lý giá trị trung bình ta có x0  1;5 : f  x0   7 hay phương trình f  x   7 có ít nhất một nghiệm trên. 1;5 . Câu 47: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh đáy bằng a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA  a 3 . Gọi   là mặt phẳng chứa B và vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp trên và   . A.. a 2 15 . 10. B.. a 2 15 . 5. C.. a 2 15 . 20. D.. a2 5 . 10. Lời giải Chọn A. S. H A. D O. B. C. Do SC    và dễ dàng chứng minh BD  SC , nên suy ra BD    . Kẻ BH  SC thì BH    . Vậy thiết diện là BDH . Với tam giác SBC vuông tại B ta có BH . Có BO . BC.BS  SC. BC .BS BC 2  BS 2. . 2a . 5. 3 a 2  HO  a 2 10. Mà tam giác BDH cân tại H  S BDH  BO.HO  a 2. . 3 15  a2 . 20 10. . x2  x f  x   2 f  x 1 Câu 48: Cho lim .  1 . Tính I  lim x 1 x 1 x 1 x 1 A. I  5 . B. I  4 . C. I  4 . Lời giải Chọn D.. D. I  5 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(152)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. x I  lim. 2.  x f  x  2 x 1. x 1. Mà lim x 1. Ôn tập BKII Toán 11.  f  x 1 2  x2  x  2   lim  x  x    x 1 x 1   x 1. f  x 1  1 , lim x 2  x  2 , x 1 x 1. . . x2  x  2   x  2  x  1  lim  x  2  3  lim   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. lim. nên I  1.2  3  5 . Câu 49: Tính lim. x 2. A.. 2x 2  x  3  3 . 4 x2. 2 . 7. B.. 7 . 24. C.. 9 . 31. D. 0 .. Lời giải Chọn B.. lim. x 2. 2x 2  x  3  3  x  2 2 x  3  2 x  3 7  lim  lim  2 x  2 x  2 2 2 4 x  2  x  2  x  2 x  x  3  3  2  x  2 x  x  3  3 24. Câu 50: Hàm số y  A.  3; 4  .. . . . . x 1 liên tục trên khoảng nào sau đây? x  7 x  12 2. B.  ; 4  .. C.  4;3 .. D.  4;   .. Lời giải Chọn A. Tập xác định của hàm số là D   ; 4    3;    D   3;4  Vậy hàm số liên tục trên  3; 4  . --------------- Hết ---------------. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(153)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐỀ SỐ 9. Ôn tập BKII Toán 11. ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Môn: Toán 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 40 câu TN, 02 câu tự luận). I – TRẮC NGHIỆM Câu 1. Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 1 ? x2  4 x  3 x 2  3x  2 A. lim . B. lim . x 1 x 1 x 1 x 1. x 2  3x  2 . x 2 x2. C. lim. x 2  3x  2 . x 1 1 x. D. lim. n 1. Câu 2.. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. Câu 6.. 1 1  1 ;... có giá trị bằng bao nhiêu ? Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ;  ;...; 2 4 2n 2 1 1 A. . B. 1 . C.  . D.  . 3 3 3 2 x 1 có giá trị bằng bao nhiêu ? lim x 1 x  1 A.  . B. 2 . C. 1 . D.  . 2018 lim có giá trị bằng bao nhiêu ? n3 1 1 A. 0 . B. 1 . C.  . D.  . 3 4 lim3x có giá trị bằng bao nhiêu ? x 1. A. 0 . B. 2 . 2 x 1 có giá trị bằng bao nhiêu? lim x 1 x  1 B. . A.  Câu 7. Câu 8.. C. 3 .. C.. 1 2. D. 1.. D. . 1 2. lim  x 2  2 x  3 có giá trị bằng bao nhiêu?. x 1. A. 4 B. 0 C. 2 D. 6 3 Cho phương trình 4 x  4 x  1  0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? A. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm trong khoảng  0;1 . B. Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng  2;0  .  1 1 D. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng   ;  .  2 2. Câu 9.. lim. x . . . x  3  x  5 có giá trị bằng bao nhiêu?. A.  B. 0 4 3x  2 x  3 Câu 10. lim 4 có giá tị bằng bao nhiêu? x  5 x  3 x  1 A. 0 Câu 11.. lim. x 1. B. . C.. C.. 3 5. 3 5. D. . D.. 4 9. x 4  4 x 2  3x có giá trị là bao nhiêu? x 2  16 x  1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(154)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 . 8. A. Câu 12. lim x 0. B.. 1 . 8. C.. Ôn tập BKII Toán 11. 3 . 8. D.  .. x  1  x2  x  1 có giá trị là bao nhiêu? x 1 . 2 dưới đây, dãy nào có giới hạn khác 0 ? B. 1.. A.  . Câu 13. Trong các dãy số  un . C. . 1 n2  2018 1 . B. un  . C. un  . 3 n  2019 n n Câu 14. Trong các dãy số  un  dưới đây, dãy nào có giới hạn bằng  ? A. un . A. un . 9n 2  7 n . n  n2. B. un  n 2  1 .. Câu 15. Dãy số  un  nào sau đây có giới hạn bằng. 1  2n 2 A. un  . 5n  5. C. un . D. 0 .. D. un . n 1 . n. 2007  2008n . D. un  2008  2007 n 2 . n 1. 1 ? 5. n 2  2n 1  2n C. un  . D. un  . 2 5n  5n 5n  5  x3  4 x 2  3 khi x  1  2 x  1 Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f  x    liên tục tại x  1 .  ax  5 khi x  1  2 A. a  5 . B. a  5 . C. a  3 . D. a  3 . Câu 17. Trong các dãy số  un  dưới đây, dãy số nào có giới hạn bằng 0 ? n. 1  2n B. un  . 5n  5n 2. n.  5 4 A. un     . B. un    .  3 3 4 x 1 Câu 18. lim có giá trị bằng bao nhiêu ? x 1 x  1 A. 4 . B.  .. n. 1 C. un    .  3. n.  4 D. un     .  3. C. 2 . D.  . 2 2 a x khi x  2 Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f  x    liên tục trên  . 1  a  x khi x  2 1 1 1 A. a  1 . B. a  . C. a  1; a  . D. a  1; a   . 2 2 2 3 3 2 27n  4n  5 Câu 20. lim có giá trị bằng bao nhiêu? n6 A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 3 . Câu 21. Cho đường thẳng d và mặt phẳng  α  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với một đường thẳng a nằm trong  α  .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(155)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. B. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong  α  . C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong  α  . D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với một đường thẳng b song song với  α  . Câu 22. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng.  P. thì a song song với b . B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng b với b vuông góc với mặt phẳng đã cho. D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng. Q. thì mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  .. Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC  a 2 . Gọi α là góc giữa BD và mặt phẳng  SAD  . Chọn khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? 3 15 A. α  60 o . B. α  30 o . C. cos α  . D. tan α  . 5 2 2 Câu 24. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.    B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ-không thì ba vectơ đó đồng phẳng.    C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C 'D' . Khẳng định nào sau đây đúng?         A. AB'  AB  AD  AA' . B. BD'  BA  BC  BB' .         C. AC'  AB  AC  AA' . D. AC'  AB  AD  A'A . Câu 26. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. C. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Câu 27. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  , trong đó a   P  . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu b //  P  thì a  b . B. Nếu b //a thì b   P  . C. Nếu a  b thì b //  P  . Câu 28. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:. D. Nếu b   P  thì b //a .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(156)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. Nếu a //  P  và b  a thì b //  P  .. Ôn tập BKII Toán 11 B. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .. C. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  . D. Nếu a //  P  và b   P  thì a  b . Câu 29. Cho lăng trụ ABC. ABC  có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA và BC. 3 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 45. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC). Mệnh đề nào sau đây đúng? 30 A.   60. B.   45. C. cos   . D. tan   5. 6 Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  , SA  a 2 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  α  đi qua A và vuông góc với. SC . a2 2 a2 2 a2 3 . B. S  . C. S  . 3 2 3 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 tính góc giữa AC và DA1. A. S . D. S . 4a 2 2 . 2. A. 60 o . B. 120o . C. 45o . D. 90o . Câu 33. Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi      GA  GB  GC  GD  0 ”. Khẳng định nào sau đây sai? A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AD và BC . B. GA  GB  GC  GD . C. G là trung điểm của IJ ( I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ). D. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AC và BD . Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  . Gọi AH , AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. SC   AHC  . B. SC   AHD  . C. SC  HK . D. SC  BK . Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA  SC; SB  SD . Chọn khẳngđịnh đúng. A. AC  SB . B. BD  CD . C. SC  AB . D. AD  SC . Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. ABC D. Gọi  là góc giữa AC  và  ABCD  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 2 3 A. cos   . B. tan   . C.   450 . D.   300 . 3 3 Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của S lên a 15 mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB, biết SH  . Tính góc giữa đường thẳng SC và 2  ABCD  .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(157)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A. 450 . B. 300 . C. 600 . D. 750 . Câu 38. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ SH   ABC  , H   ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H trùng với trung điểm AC . B. H trùng với trung điểm BC . C. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . D. H trùng với trực tâm tam giác ABC .     Câu 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm AB và CD. Đặt AB  b, AC  c,   AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng?  1     1    A. MP  c  b  d . B. MP  b  c  d . 2 2  1     1    C. MP  c  d  b . D. MP  d  b  c . 2 2 Câu 40. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. II – TỰ LUẬN  x 3  3x 2  2 x ( x( x - 2)  0)  x ( x  2)  Câu 1: Tìm a , b để hàm số y  a khi x  2 liên tục trên  ? b khi x  0   Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm BC , cạnh AB  a a) Chứng minh AB  CD . b) Tính góc giữa AB và DM ..  .  .  .  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(158)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I – TRẮC NGHIỆM Câu 1. Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 1 ? x2  4 x  3 x 2  3x  2 x 2  3x  2 A. lim . B. lim . C. lim . x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x2 Lời giải Chọn B. x 2  3x  2  x  1 x  2   lim x  2  1 . lim  lim   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. x 2  3x  2 . x 1 1 x. D. lim. n 1. Câu 2.. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. 1 1  1 ;... có giá trị bằng bao nhiêu ? Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ;  ;...; 2 4 2n 2 1 1 A. . B. 1 . C.  . D.  . 3 3 3 Lời giải Chọn A. 1 1 Cấp số nhân có công bội q   và u1  . 2 2 n  1  1   n n 1 q 1 1   1   2 Vậy S n  u1  .    1     . 1 q 2 1 1 3   2   2 1 Vậy tổng là lim Sn  . 3 2 x 1 có giá trị bằng bao nhiêu ? lim x 1 x  1 A.  . B. 2 . C. 1 . D.  . Lời giải Chọn D. x2 1 Do lim  x  1  0 và x  1  0 khi x  1 ; lim  x 2  1  2 nên lim   . x 1 x 1 x 1 x  1 2018 lim có giá trị bằng bao nhiêu ? n3 1 1 A. 0 . B. 1 . C.  . D.  . 3 4 Lời giải Chọn A. 2018 2018 lim  lim n  0 . 3 n3 1 n lim3x có giá trị bằng bao nhiêu ? x 1. A. 0 .. B. 2 .. C. 3 .. D. 1.. Lời giải Chọn C. lim3 x  3.1  3 . x 1. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(159)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6.. Ôn tập BKII Toán 11. x2 1 có giá trị bằng bao nhiêu? lim x 1 x  1. B. . A. . C.. 1 2. D. . 1 2. Lời giải Chọn B. x2  1 Ta có lim x  1  2  0 và lim  x  1  0; x  1  x  1  0 nên lim   x 1 x 1 x 1 x  1 lim x 2  2 x  3 có giá trị bằng bao nhiêu?. . Câu 7.. x 1. . . 2. . A. 4. C. 2 Lời giải. B. 0. D. 6. Chọn D. 2 lim  x 2  2 x  3   1  2.  1  3  6 x 1. Câu 8.. Cho phương trình 4 x 3  4 x  1  0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? A. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm trong khoảng  0;1 . B. Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng  2;0  .  1 1 D. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng   ;  .  2 2 Lời giải Chọn A. Xét hàm số f  x   4 x 3  4 x  1. Hàm số f  x  liên tục trên  1 1 Mà f  2   23; f  0   1; f    ; f 1  1. 2 2 Do f  2  . f  0   23  0 nên phương trình f  x   0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng.  2;0  1 1  1 f  0  . f      0 nên phương trình f  x   0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  0;  2 2  2 1 1 1  f   . f 1    0 nên phương trình f  x   0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  ;1 2 2 2 . Câu 9.. lim. x . . . x  3  x  5 có giá trị bằng bao nhiêu?. A. . B. 0. C. 3  5 Lời giải. D. . Chọn B. lim. x . Câu 10.. . . x  3  x  5  lim. x . 2 0 x3  x5. 3x 4  2 x  3 có giá tị bằng bao nhiêu? x  5 x 4  3 x  1 lim. A. 0. B. . C.. 3 5. D.. 4 9. Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(160)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Chọn C.. 2 3 3 3  4 3x4  2 x  3 x x 3 lim 4  lim x  5 x  3 x  1 x  3 1 5 3  4 5 x x Câu 11.. lim. x 1. A.. x 4  4 x 2  3x có giá trị là bao nhiêu? x 2  16 x  1 3 . 8. B.. 1 . 8. 3 . 8. C.. D.  .. Bài giải Chọn A.. lim. x 1. x 4  4 x 2  3x 3  . 2 x  16 x  1 8. x  1  x2  x  1 Câu 12. lim có giá trị là bao nhiêu? x 0 x B. 1.. A.  .. 1 . 2. C. . D. 0 .. Bài giải Chọn A. x 1  x2  x 1 Ta có lim  lim x 0 x 0 x. .  . x 1 1 .   x  1 1 x2  x  1 1    lim     lim  x 0  x  0  x x x   . . x2  x  1  1. x. x. .    2 x  x 1 1   x2  x. .  x. x  1 1. .   1 x 1    1  1  0.  lim    x0 x2  x 1 1  2 2  x 1 1   Câu 13. Trong các dãy số  un  dưới đây, dãy nào có giới hạn khác 0 ?. . A. un . n2  2018 . n3  2019. . B. un . 1 . n. C. un . 1 . n. D. un . n 1 . n. Bài giải Chọn D. n 1 Vì lim  1. n Câu 14. Trong các dãy số  un  dưới đây, dãy nào có giới hạn bằng  ? A. un . 9n 2  7 n . n  n2. B. un  n 2  1 .. C. un . 2007  2008n . D. un  2008  2007 n 2 . n 1. Bài giải Chọn B.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(161)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. . Ôn tập BKII Toán 11. . Vì lim n 2  1   . Câu 15. Dãy số  un  nào sau đây có giới hạn bằng. 1  2n 2 A. un  . 5n  5. B. un . 1  2n . 5n  5n 2. 1 ? 5 C. un . n 2  2n . 5n  5n 2. D. un . 1  2n . 5n  5. Bài giải Chọn C.  2 n2 1   n  2n n 1 Vì lim  lim   . 2 5n  5n  5 2 5 n   5 n  2.  x3  4 x 2  3 khi x  1  2 Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f  x    x  1 liên tục tại x  1 . 5  ax  khi x  1  2 A. a  5 . B. a  5 . C. a  3 . D. a  3 . Lời giải Chọn B 5 Có f 1  a  . 2  x  1 x 2  3x  3 x3  4 x 2  3 x 2  3x  3 5 lim f  x   lim  lim  lim  2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2  x  1 x  1 5 5 Để hàm số liên tục tại x  1 thì a     a  5. 2 2 Câu 17. Trong các dãy số  un  dưới đây, dãy số nào có giới hạn bằng 0 ?. . n.  5 A. un     .  3. n. 4 B. un    . 3. . n. n. 1 C. un    .  3 Lời giải.  4 D. un     .  3. Chọn C n. 1 1 Có 0   1 nên lim    0 . 3  3 4 x 1 Câu 18. lim có giá trị bằng bao nhiêu ? x 1 x  1 A. 4 . B.  .. C. 2 . Lời giải. D.  .. Chọn A.  x  1 x  1  x2  1 x4  1  lim  lim  x  1  x 2  1  4 . Ta có lim x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 a 2 x 2 khi x  2 Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số f  x    liên tục trên  . 1  a  x khi x  2 1 1 1 A. a  1 . B. a  . C. a  1; a  . D. a  1; a   . 2 2 2 ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(162)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Lời giải Chọn C Ta có TXĐ D   . Với x   ; 2  ta có f  x   a 2 x 2 là hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục trên khoảng.  ; 2  . Với x   2;   ta có f  x   1  a  x là hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục trên khoảng  2;  . Xét lim f  x   lim 1  a  x  2 1  a  . x 2 x2 lim f  x   lim a 2 x 2  4a 2  f  2  . x 2 x2 . . . .  a  1 Để hàm số liên tục trên   4a  2 1  a   2a  a  1  0   a  1  2 2. 2. 3. 27n3  4n 2  5 có giá trị bằng bao nhiêu? n6 A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn D 1 1 3 27  4.  5. 3 3 27n 3  4n 2  5 n n 3. Ta có lim  lim 1 n6 1  6. n Câu 21. Cho đường thẳng d và mặt phẳng  α  . Khẳng định nào sau đây đúng?. Câu 20. lim. A. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với một đường thẳng a nằm trong  α  . B. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong  α  . C. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong  α  . D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  nếu d vuông góc với một đường thẳng b song song với  α  . Lời giải Chọn B. Câu 22. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng.  P. thì a song song với b . B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng b với b vuông góc với mặt phẳng đã cho.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(163)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng. Q. thì mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  .. Lời giải Chọn B. Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC  a 2 . Gọi α là góc giữa BD và mặt phẳng  SAD  . Chọn khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? 3 15 A. α  60 o . B. α  30 o . C. cos α  . D. tan α  . 5 2 2 Lời giải Chọn D.. Gọi E là trung điểm của AB và F là trung điểm của SA suy ra SE   ABCD  và. BF   SAD  . Do đó hình chiếu của BD lên mặt phẳng  SAD  dẫn đến góc giữa BD và mặt  phẳng  SAD  là α  BDF . Giả sử đáy ABCD có cạnh là x , khi đó CE . x 5 x 3 và SE  suy ra SC  x 2 mà 2 2. SC  a 2 do đó x  a .  BF BF a 3 2 15     Vậy tan BDF  . DF 2 a 5 5 BD 2  BF 2 Câu 24. Trong các khẳng định sau, định nào sai?   khẳng  A. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(164)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.    B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ-không thì ba vectơ đó đồng phẳng.    C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. Lời giải Chọn D. Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C 'D' . Khẳng định nào sau đây đúng?         A. AB'  AB  AD  AA' . B. BD'  BA  BC  BB' .         C. AC'  AB  AC  AA' . D. AC'  AB  AD  A'A . Lời giải Chọn B..       Ta có BD'  BD  BB'  BA  BC  BB' . Câu 26. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. C. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ có một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Lời giải: Chọn D. D sai vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(165)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. b. P O. c. a. Câu 27. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  , trong đó a   P  . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu b //  P  thì a  b . B. Nếu b //a thì b   P  . C. Nếu a  b thì b //  P  .. D. Nếu b   P  thì b //a . Lời giải:. Chọn C. C sai vì b có thể nằm trong mặt phẳng  P  . a. P b. Câu 28. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu a //  P  và b  a thì b //  P  .. B. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .. C. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  .. D. Nếu a //  P  và b   P  thì a  b . Lời giải:. Chọn D. A sai vì b có thể nằm trong  P  . a. P b. B sai vì b có thể nằm trong  P . a P b. C sai vì b có thể cắt  P  hoặc b nằm trong  P  .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(166)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. a. Ôn tập BKII Toán 11. a b P. P. b. D đúng vì a //  P   a   P  sao cho a //a , b   P   b  a . Khi đó  a  b . Câu 29. Cho lăng trụ ABC. ABC  có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA và BC. 3 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Lời giải Chọn B.. Ta có AA  BB nên giữa hai đường thẳng AA và BC  bằng góc giữa hai đường thẳng BB và BC.. BC  AB 2  AC 2  2a  BB nên tứ giác BCC B là hình thoi. Gọi H là trung điểm BC, theo đề ra ta có AH   ABC   AH  BC , AH  AH . Do đó AH  AA2  AH 2  4a 2  a 2  a 3. Lại có: AH  AB  BH  AB2  AH 2  a 2  3a 2  2a . 1  BH  . Xét tam giác BBH cân tại B ta có ngay cos B 4 1 Vậy cos( AA, BC )  . 4 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 45. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC). Mệnh đề nào sau đây đúng? 30 A.   60. B.   45. C. cos   . D. tan   5. 6 Lời giải Chọn C.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(167)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. . Suy ra SCA   45o. Do SA  ( ABCD) nên góc giữa SC và đáy (ABCD) là SCA .  , suy ra   DSO Lại có BD  ( SAC ) nên góc giữa SD và (SAC) là DSO. Ta có SAC vuông cân nên SA  AC  a 2. a 2 a 10 SO  SA2  AO2  2a 2   . 2 2 DO a 2 a 10 5 tan    :  . SO 2 2 5 1 1 6 5 30  1  tan 2   1    cos    . Suy ra cos  5 5 6 6 (Lưu ý là các giá trị lượng giác của  đều dương do nó là góc nhọn). Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  , SA  a 2 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  α  đi qua A và vuông góc với. SC . a2 2 A. S  . 3. a2 2 B. S  . 2 Lời giải. a2 3 C. S  . 3. 4a 2 2 D. S  . 2. Chọn A.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(168)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. S. K. N. I M. A. B. D. C. AM  SD.   AM  SC . AM  DC  DC   SAD    Tương tự AN  SC . Vậy SC   AMN  hay mặt phẳng  AMN  là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Ta có. Gọi SO  MN  I  , AI  SC  K  . Thiết diện tạo thành là tứ giác AMKN .. 1 MN .AK . 2 1 1 1 a 2 Xét tam giác vuông SAD có    AM  . 2 2 2 AM AD AS 3 1 Tương tự AK  SC  a . 2 2a 2 2a 3 2  Mặt khác : SD  a 3 , SA  SM .SD  SM  . 3 a 3 MN SM BD.SM Tam giác SMN đồng dạng với tam giác SBD ta có   MN  BD SD SD 2a 3 a 2. 3  2a 2 .  MN  3 a 3 1 2a 2 2 a2 2 Vậy S AMKN  = S AMKN  . 2 3 3 Ta có MN  AK vậy S AMKN . Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 tính góc giữa AC và DA1 A. 60 o .. C. 45o .. B. 120o .. D. 90o .. Lời giải Chọn A.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(169)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A1. B1 C1. D1. B. A D. C. Ta có AC //A1C1 vậy góc giữa AC và DA1 bằng góc giữa A1C1 và DA1 và bằng 60 o do tam giác DA1C1 là tam giác đều. Câu 33. Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi      GA  GB  GC  GD  0 ”. Khẳng định nào sau đây sai? A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AD và BC . B. GA  GB  GC  GD . C. G là trung điểm của IJ ( I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ). D. G là trung điểm của đoạn thẳng nối AC và BD . Lời giải Chọn B.. D. M. J P G. A. C. Q I. N B. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC ta có. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(170)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.      1   0  GA  GB  GC  GD  GM  GN . 2 Vậy A đúng. Tương tự có C, D đúng. Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  . Gọi AH , AK lần lượt. . . là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. SC   AHC  . B. SC   AHD  . C. SC  HK .. D. SC  BK . Lời giải. Chọn C. S. H K. B. A. C. D. AK  SD.   AK  SC . AK  DC  DC   SAD    Tương tự AH  SC . Vậy SC   AHK   SC  HK . Ta có. Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA  SC; SB  SD . Chọn khẳngđịnh đúng. A. AC  SB . B. BD  CD . C. SC  AB . D. AD  SC . Lời giải Chọn A.. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(171)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. S. D C O. B. A. Do tam giác SAC cân nên SO  AC mặt khác AC  BD vậy AC   SBD   AC  SB . Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. ABC D. Gọi  là góc giữa AC  và  ABCD  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 2 3 A. cos   . B. tan   . C.   450 . D.   300 . 3 3 Lời giải Chọn A. A'. D'. B'. C'. M. N. I. D. A. B. C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CD. Suy ra hình chiếu của AC  lên mặt phẳng  ABCD  là đường thẳng MN . Gọi I  AC   MN . Ta có  AC ,  ABCD     AC , MN  Xét tam giác vuông AMI có a a2  a2  a2 a 3 MI 3 , AI   , cos  AIM   . 2 2 2 AI 3 Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của S lên a 15 mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB, biết SH  . Tính góc giữa đường thẳng SC và 2  ABCD  . MI . A. 450 .. B. 300 .. C. 600 . Lời giải. D. 750 .. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(172)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. Chọn C. S. A. D a. H a. B. C. hcSC /  ABCD   HC.. .   SC ,  ABCD     SC , HC   SCH a2 a 5  . Xét tam giác vuông BHC có HC  a  4 2 Xét tam giác vuông SHC có a 15 . SH    600   SC ,  ABCD    600. tan SCH  2  3  SCH HC a 5 2 Câu 38. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ SH   ABC  , H   ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H trùng với trung điểm AC . B. H trùng với trung điểm BC . C. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . D. H trùng với trực tâm tam giác ABC . Lời giải Chọn A. SA  SB  SC  S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC . Suy ra hình chiếu H của S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm AC .     Câu 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm AB và CD. Đặt AB  b, AC  c,   AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng?  1     1    A. MP  c  b  d . B. MP  b  c  d . 2 2  1     1    C. MP  c  d  b . D. MP  d  b  c . 2 2 Lời giải Chọn C. 2.  .  .  .  . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(173)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11. A. M. B. D P C.               1    MP  MA  AD  DP  2 MP  AD  BC  AD  AC  AB  d  c  b  MP  d  c  b .        2 MP  MB  BC  CP Câu 40. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Lời giải Chọn D. II – TỰ LUẬN  x 3  3x 2  2 x ( x( x - 2)  0)   x( x  2) Câu 1: Tìm a , b để hàm số y  a khi x  2 liên tục trên  ? b khi x  0   Lời giải Hàm số liên tục tại x  0 và x  2 . x 3  3x 2  2 x x 2  3x  2 lim f ( x )  lim  lim  1 x 0 x 0 x 0 x( x  2) x2 x3  3 x 2  2 x x ( x  1) lim f ( x )  lim  lim 1 x 2 x 2 x 0 x ( x  2) x Hàm số liên tục trên   a  1, b  1 Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm BC , cạnh AB  a a) Chứng minh AB  CD . b) Tính góc giữa AB và DM . Lời giải. . ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. . Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(174)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Ôn tập BKII Toán 11.         AB.CD  AB.( AD  AC )  AB. AD AB. AC  a.a.cos600  a.a.cos60 0  0  AB  CD MN // AB   AB, DM    MN , DM . DM  DN . a 3 a   a:a 3  1 , MN   cos NMD 2 2 4 2 2 3. ĐT: 0978064165 - Email: Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(175)</span>