tieu luan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 12 mà học sinh cần phải nắm vững. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là dạng toán thường được đưa vào trong các đề thi tuyển sinh đại cao đẳng đại học. Đa số học sinh chưa hệ thống được các dạng đồ thị của hàm số cũng như chưa thực hiện đầy đủ các bước giải trong bài toán khảo sát hàm số. II. Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm vững lại những kiến thức về khảo sát hàm số mà các em đã được học trong chương trình lớp 12 nhằm tạo nền tảng kiến thức vững chắc để các em bước vào kỳ thi tuyển sinh cao đẳng đại học sau này. Hệ thống lại kiến thức cũng như các bước giải một cách đầy đủ để giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc giải bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hảm số. Cung cấp thêm một số dạng đồ thị mà ở chương trình phổ thông ít đề cập đến để học sinh có điều kiện mở rộng kiến thức cũng như hoàn thiện hơn kỹ năng giải các bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của mình. Tập hợp lại các dạng toán thường được cho kèm theo trong các bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, qua đó cung cấp cho học sinh các phương pháp để giải các dạng toán này. III. Phạm vi nghiên cứu - Chương I trong sách giáo khoa Giải Tích 12. - Các kiến thức về đạo hàm trong chương trình 11. IV. Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. - Tham khảo các tài liệu có liên quan..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHẦN NỘI DUNG I. Tóm tắt lý thuyết 1. Đạo hàm a) Các định nghĩa * Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( a; b) và x o ∈ ( a ; b ) . Nếu tồn tại giới hạn ( hữu hạn) lim. x → xo. f ( x)− f (x o ) x − xo. thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x o và ký hiệu là f’(xo) ( hoặc y’(xo)), tức là f ' ( x o)=lim. x → xo. f (x)− f (x o) x − xo. Chú ý: - Đại lượng Δx=x − x 0 được gọi là số gia của đối số tại xo - Đại lượng Δy=f (x) −f ( x o)=f ( x o + Δx) − f (x o ) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy Δy Δx → 0 Δx. y ' ( x o )= lim. * Định nghĩa đạo hàm trên một khoảng Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f’: ( a; b) R x ↦ f ' (x ). là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng ( a; b) ký hiệu là y’ hay f’(x) * Định nghĩa đạo hàm một bên Nếu tồn tại giới hạn ( hữu hạn) bên phải. lim. x  xo. f ( x )  f ( xo ) x  xo. ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x o và ký hiệu là +¿¿ xo . f '¿. Tương tự, giới ( hạn hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) lim x → x −o. f (x) −f ( x o) x − xo. được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại x = xo và ký hiệu là f ' ( x−o ). Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên. Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x o khi và chỉ khi nhau. Khi đó, ta có + ¿¿ x o = f ' (x−o ) = f ' ( x o) f '¿. + ¿¿ x o , f ' (x−o ) f '¿. tồn tại và bằng.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> * Định nghĩa đạo hàm trên đoạn Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau: - Có đạo hàm tại mọi x ∈ ( a ; b ) ; - Có đạo hàm bên phải tại x = a - Có đạo hàm bên trái tại x = b; b) Các quy tắc tính đạo hàm * Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x o bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây Quy tắc: - Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo, tính Δy =f ( x o+ Δx )− f (x o ) Δy - Bước 2: Lập tỉ số Δx Δy - Bước 3: Tìm lim Δx →0 Δx. * Cách tính đạo hàm theo bảng công thức - Công thức tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp ( u+ v − w ) '=u' +v ' − w ' (ku)'=ku ' (uv)'=u' v +uv ' u ' u' v − uv ' = v v2 ( k là hằng số) 1 ' −v' = 2 v v ( √ x ) '= 1 2 √x n ( x ) ' =nxn −1. () (). - Công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác ( sin x )'=cos x (cos x )'=− sin x 1 (tan x)' = 2 cos x 1 (cot x) '=− 2 sin x. * Cách tính đạo hàm của hàm hợp - Định nghĩa: hàm số y = f(g(x)) được gọi là hàm hợp của hàm y = f(u) với u = g(x). - Công thức tính đạo hàm của hàm hợp: nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y 'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là '. '. '. y x = y u . ux. c) Đạo hàm cấp hai * Định nghĩa.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ ( a ; b ) . Khi đó, hệ thức xác định một hàm số mới trên khoảng ( a ; b). Nếu hàm số y ' =f '( x ) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x và ký hiệu y’’ hoặc f’’(x) Chú ý : cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1, ký hiệu là f n-1 (x) (n ∈ N ) . Nếu n− 1 f ( x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của y = f(x), ký hiệu là y(n) hoặc f (n) ( x ) . y ' =f '( x ). f (n) (x )=(f (n− 1) (x))'. 2. Miền xác định, miền giá trị của hàm số Cho X và Y là hai tập hợp con của R. Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là một hàm số. Ký hiệu : f : X Y x y = f(x) x là biến số và y = f(x) là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập X được gọi là miền xác định của hàm số f. Nếu hàm số f được cho bởi công thức y = f(x) mà không nói rõ miền xác định thì miền xác định của hàm số là tập hợp mọi số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. Cho hàm số f định bởi y = f(x) có miền xác định D. Miền giá trị của hàm số f là tập hợp các giá trị f(x) với x D. 3. Đổi trục. Hàm số chẵn, lẻ. Trục đối xứng, tâm đối xứng a) Đổi trục tọa độ bằng tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I ( x o; yo) và điểm M (x; y). Phép tịnh tiến ⃗ OI biến trục Oxy thành trục IXY và gọi ( X; Y) là tọa độ của điểm M trong hệ trục này, ta có công thức đổi trục ¿ x =x o+ X y= y o +Y ¿{ ¿ y. Y. M. yo. X. I. x 0. xo. b) Hàm số chẵn, lẻ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¿ ∀ x ∈D⇒ ¿−x∈ D f (− x)=f ( x) { ⇔ ¿. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D. ¿ ∀ x ∈D⇒ ¿−x ∈D f (− x)=− f (x) { ⇔ ¿. c) Tâm đối xứng, trục đối xứng * Trục đối xứng Trong mặt phẳng Oxy, đồ thị (C) của một hàm chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. y. f(x). M’. M. x -x. x. 0. Tổng quát Xét đồ thị (C) : y = f(x) có miền xác định là D và thỏa : ∀ ( x o ± x )∈ D, f (x o +x)=f (x o − x ). Lấy M( xo + x, f( xo +x)) (C) M’( xo – x , f( xo – x )) (C) Gọi A là trung điểm MM’ thì:. xo: ¿. hằng số). ¿ ( x o + x )+( x o − x) xA= =x o 2 f (x o + x)+ f ( x o − x) y A= =f ( x o + x)= y M = y M ' 2 ¿{ ¿ Do đó A thuộc đường thẳng ( Δ ): x = xo. Như vậy ( Δ ) là trục đối xứng của (C) y. ( Δ) (C).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> M’. A. M. x 0. xo – x. xo. xo + x. Đặc biệt đối với hàm đa thức Xét hàm đa thức: f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + ao (C) Ta đã biết: (C) nhận trục tung Oy làm trục đối xứng khi và chỉ khi: - f(x) là hàm chẵn - a1 = a3 = 0. Giả sử (C) nhận đường thẳng ( Δ ): x = xo làm trục đối xứng. Khai triển f(x) theo ( x – xo) ta được: f(x) = b4(x – xo)4 + b3(x – xo)3 + b2(x – xo)2 + b1(x – xo) + bo Lúc đó: bo = f(xo); b1 =. f ' (x o ) ; b2 = 1!. f ''(x o) ; b3 = 2!. f '''( x o) ; b4 = 3!. f ''''(x o) 4!. ( Δ ): x = xo là trục đối xứng của (C) ⇔ b1 = b3 = 0 ⇔ f ' (x o)=0 f '''(x o )=0 ¿{. Vậy đồ thị hàm đa thức bậc chẵn có trục đối xứng khi và chỉ khi tất cả các đạo hàm bậc lẻ của nó có nghiệm chung. * Tâm đối xứng Trong mặt phẳng Oxy, đồ thị (C) của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.. y (C) M’. f(-x) x. x -x. 0 f(x). M.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tổng quát Xét đồ thị (C) : y = f(x) có miền xác định là D và thỏa : ∀ ( x o ± x )∈ D, f (x o + x)+ f (x o − x)=2 y o. Lấy M( xo + x, f( xo +x)) (C) M’( xo – x , f( xo – x )) (C) Gọi I là trung điểm của MM’ thì:. xo , yo : hằng số) ¿. ¿ ( x o + x)+(x o − x) xI = =x o 2 f (x o + x )+ f ( x o − x ) 2 y o yI = = = yo 2 2 ¿{ ¿. Do đó: I (xo, yo) cố định. Như vậy I chính là tâm đối xứng của (C) y. M. f(x+xo) yo f(x – xo). I M’. x 0. x – xo. xo. x + xo. Đặc biệt đối với hàm đa thức Thực hiện tương tự như ở phần đa thức, ta được kết quả: đồ thị hàm đa thức bậc lẻ có tâm đối xứng khi và chỉ khi tất cả các đạo hàm bậc chẵn của nó có nghiệm chung. 4. Tính đơn điệu, cực trị của hàm số a) Tính đơn điệu của hàm số * Định nghĩa Hàm số y = f(x) đồng biến ( tăng) trên K nếu với mọi cặp x 1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x 1< x 2 ⇒f (x1 )<f ( x2 ). Hàm số y = f(x) nghịch biến ( giảm) trên K nếu với mọi cặp x 1, x2 thuộc K mà x1 lớn hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x 1> x 2 ⇒f (x1 )>f ( x2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Nhận xét: từ định nghĩa trên ta thấy.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> f ( x2 )− f ( x1 ) >0, ∀ x 1 , x 2 ∈ K x 2 − x1 f ( x2 )− f ( x1 ) <0, ∀ x 1 , x 2 ∈ K f(x) nghịch biến trên K ⇔ x 2 − x1. - f(x) đồng biến trên K ⇔. ( x 1 ≠ x 2) ; ( x 1 ≠ x 2) .. - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. * Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng ( a; b) - Hàm số y = f(x) là hàm hằng trong khoảng ( a; b) ⇔ f ' (x)=0, ∀ x ∈ ( a ; b ). - Hàm số y = f(x) đồng biến trong khoảng ( a; b) ⇔ f ' (x) ≥ 0, ∀ x ∈ ( a ; b ). - Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng ( a; b) ⇔ f ' (x) ≤ 0, ∀ x ∈ ( a ; b ). ( f ' (x) ≤ 0 ) , Chú ý: giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ' (x) ≥0 ∀ x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K. * Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. - Bước 1: Tìm tập xác định. ( i=1,2,. . .. , n ) mà tại đó đạo hàm - Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). tìm các điểm x i bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. b) Cực trị của hàm số * Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b) (có thể b là +∞ , a là − ∞ ) và điểm xo ( a; b). - Nếu tồn tại số h>0 sao cho f (x)<f ( x o) với mọi x ∈ ( x o − h ; x o + h ) và x ≠ x o thì ta noi hàm số f(x) đạt cực đại tại xo. - Nếu tồn tại số h>0 sao cho f (x)>f ( x o) với mọi x ∈ ( x o − h ; x o + h ) và x ≠ x o thì ta noi hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo. * Điều kiện cần để có cực trị Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo Nếu hàm y = f(x) đạt cực trị tại xo thì f’(xo) = 0 Ghi chú: Đối với hàm số bất kỳ, những điểm mà tại đó hàm số có khả năng đạt cực trị là: - Đạo hàm tại đó triệt tiêu - Đạo hàm tại đó không xác định Mệnh đề đảo của định lý trên không đúng, có nghĩa là, nếu f’(x) = 0 thì chưa chắc x o là hoành độ cực trị. * Điều kiện đủ để có cực trị Điều kiện đủ thứ nhất: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ( a; b). Nếu khi x đi qua x o mà f’(x) đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại xo.. f’(x) f(x). +. 0 CĐ. xo. x. xo. x. -. f’(x). -. 0. +.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> f(x) CT. Điều kiện thứ hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên ( a; b),. xo ∈ ( a ; b). và f’(xo) =. 0 - Nếu f’’(xo) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xo. - Nếu f’’(xo) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xo. * Quy tắc tìm cực trị Quy tắc I: - Bước 1: Tìm tập xác định. - Bước 2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. - Bước 3: Lập bảng biến thiên. - Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc II: - Bước 1: Tìm tập xác định. - Bước 2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và ký hiệu là x i (I = 1, 2, …) là các nghiệm của nó. - Bước 3: Tính f’’(x) và f’’(xi). - Bước 4: Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi. 5. Tính lồi, lõm. Điểm uốn của đồ thị hàm số * Định nghĩa y. y. y. M0. M0 M0. 0. a. b x. 0. a. b. x. 0. a. b. x. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) - (C) gọi là lồi trên khoảng (a; b) nếu ∀ x o ∈(a ,;b) tiếp tuyến tại Mo (xo, f(xo)) với (C) luôn với phía trên của (C). - (C) gọi là lồi trên khoảng (a; b) nếu ∀ x o ∈(a ,;b) tiếp tuyến tại Mo (xo, f(xo)) với (C) luôn với phía dưới của (C). - Điểm uốn là điểm ngăn cách phần lồi và lõm của (C). * Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f’’(x) trên khoảng ( a; b), f(x) có đồ thị là (C) và xo (a ; b) . Dấu hiệu Kết luận ∀ x ∈(a ; b) :f ''(x)< 0 (C) lồi trong khoảng (a ; b) ∀ x ∈(a ; b) :f ''(x)> 0 (C) lõm trong khoảng (a ; b) f’’(x) đổi dấu khi x vượt qua xo Mo(xo,yo) là điểm uốn của (C) 6. Tiệm cận của hàm số a). Định nghĩa Cho điểm M ( x; y) y (c).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> M. y. H. x. x. 0. Δ. → ∞⇔ x →∞ ¿ y→∞ - OM ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. - Đồ thị (C): y = f(x), M. (C), MH = d(M, Δ ). Khi đó Δ là tiệm cận của (C) ⇔ lim MH=0 M →∞. Δ. y. b). Các dấu hiệu của tiệm cận Cho đồ thị (C): y = f(x) * Tiệm cận đứng : ¿ lim f (x )=∞ x→x ⇔ có tiệm cận đứng ( x ≠ ∞) (C) Δ : x=x o ¿ ¿{ ¿. M. y. H. o. x 0. x. * Tiệm cận ngang: lim f ( x )= y o ⇔. x→∞. (C ) Δ: y= y o ¿{. có tiệm cận ngang ( x ≠ ∞). y. y yo. M H. Δ x. xo.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> x. 0. * Tiệm cận xiên lim [f (x )−(ax +b)]=0 ⇔. có tiệm cận xiên. x→∞. (C ) Δ: y=ax+b (a ≠ 0 , a ≠ ∞ ,b ≠ ∞ ) ¿ {{ y M. y=f(x). H. y=ax+b. K x. 0. x. Δ. c) Phương pháp xác định tiệm cận * Phương pháp chung Để tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị (C): y = f(x) ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: tiềm miền xác định của hàm số. - Bước 2: tìm giới hạn của f (x) khi x tiến đến các biên của miền xác định. - Bước 3: nhận dạng các loại tiệm cận dựa vào bảng dấu hiệu sau: Dấu hiệu giới hạn lim f (x )=∞. Kết luận về tiệm cận Tiệm cận đứng x = xo. lim f ( x )= y o. Tiệm cận ngang y = yo. lim f ( x )=∞. Có thể có tiệm cận xiên. x → xo x→∞ x→∞. f ( x) x→∞ x - Nếu a ≠ 0 và b=lim [ f (x )− ax]. - Tìm lim. a ≠ ∞ thì ta tìm. x→∞. - Nếu b ≠ ∞ thì (C) có tiệm cận xiên y=ax +b - Nếu b=∞ thì (C) có phương tiệm cận y=ax. * Phương pháp đặc biệt (để tìm tiệm cận xiên) Cho đồ thị (C) : y = f(x) - Phân tích f ( x)=ax+b +ε( x ) ε ( x)=0 thì (C) có tiệm cận xiên Δ : y =ax+ b - Nếu xlim →∞ Hai loại hàm số thường gặp là : Loại 1 : Hàm số hữu tỉ có bậc tử hơn bậc mẫu một bậc.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> f ( x)=. P ( x) Q( x ). - Ta chia đa thức : P(x) Q(x) r(x) ax+b - Phân tích f ( x)=ax+b +. r ( x) Q( x ). r ( x) =0 x → ∞ Q( x). - lim. - Kết luận : (C) có tiệm cận xiên Δ : y =ax+ b Loại 2 : f ( x)= √ ax 2 + bx+c  ( a>0) - Ta phân tích :. | 2ba|+√ ax + bx+ c − √ a|x+ 2ba| b ε (x )=√ ax + bx +c − √ a|x + | 2a 2. f ( x)= √a x +. - Đặt. 2. ε ( x)=0 - xlim →∞ - Kết luận : + Khi x →+∞ :(C ) có tiệm cận xiên bên phải. (. Δ 1 : y= √ a x+. b 2a. ). + Khi x → −∞ :(C ) có tiệm cận xiên bên trái. (. Δ 2 : y=− √ a x +. b 2a. ). Chú ý : Nếu phân tích được f (x)=g (x)+ε ( x) trong đó g(x) là đa thức có bậc lớn ε ( x)=0 thì ta nói (C) có tiệm cận cong y = g(x) hơn 1 và xlim →∞ y y=g(x) y=f(x) x 0. II. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1. Phương pháp chung để khảo sát hàm số - Tìm miền xác định của hàm số. - Tính đạo hàm cấp một và xét dấu f’(x) để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị (nếu có) của hàm số. - Tính đạo hàm cấp hai và xét dấu f’’(x) để tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn (nếu có) của đồ thị. - Tìm giới hạn của f(x) khi x tiến đến các biên của miền xác định để tìm phương trình các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. - Tìm các giá trị đặc biệt của f(x): + Cho x = 0 tính y..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> + Cho y = 0 tính x. - Lập bảng tổng kết các kết quả trên (bảng biến thiên). Chú ý: Để phần khảo sát được gọn ta quy ước: - Nếu việc xét dấu của f’(x) là đơn giản (dấu của nhị thức bậc hai hay tam thức bậc hai) thì có thể ghi dấu của f’(x) trên bảng biến thiên. - Đối với các hàm số mà việc tính và xét dấu đạo hàm cấp hai quá phức tạp thì ta bỏ qua mục 3 (như đối với các hàm số hữu tỉ). - Đối với các hàm số đa thức (hàm số bậc 2, bậc 3 và hàm số trùng phương) thì ta bỏ qua mục 4. - Lập bảng biến thiên, ta lập ba hàng. x y’ y Hàng 1: giới thiệu miền xác định và ghi các giá trị đặc biệt của biến số. Hàng 2: ghi dấu của đạo hàm cấp 1. Hàng 3:ghi chiều biến thiên, các giá trị cực trị (nếu có) và các giới hạn của hàm số. 2. Vẽ đồ thị của hàm số - Xác định các điểm đặc biệt (điểm cực trị, điểm uốn, điểm đặc biệt…). - Vẽ các đường tiệm cận (nếu có). - Dựa theo bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số. Chú ý: Nếu cần ta dời hệ trục tọa độ (bằng phép tịnh tiến) và tìm phương trình của đồ thị đối với hệ trục tọa độ mới (để tìm hiểu tính đối xứng của đồ thị) Hệ trục (Oxy). OMo ⃗¿ ⃗ ¿ xo , yo ) OMTo=(. Công thức dời hệ trục là:. hệ trục (MoXY). ¿ x =X + x o y=Y + y o trong đó : ¿{ ¿. + (xo,yo) là tọa độ của Mo đối với hệ trục (Oxy). + (x,y); (X,Y) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục (Oxy) và (M oXY) theo thứ tự. Đối với đồ thị của 1 1. Hàm số bậc 2 y = f(x). Chọn Mo trong phép Phương trình của dời trục bằng phép đồ thị đối với hệ Kết quả tịnh tiến trục (MoXY) b −Δ Y = aX2 Đồ thị hàm số Mo S − , 2a 4 a bậc 2 có trục. (. ).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> = ax2 + bx + c (a 0). ( Δ=b 2 − 4 ac ). 2. Hàm số bậc 3 y= f(x) 2 = 3. đối xứng là đường thẳng. Mo. I (điểm uốn). [. I −. 2. ax + bx +cx+ d. (a 0) 3. Hàm số hữu tỉ. ax+ b cx+ d ¿ c≠0 ad − bc ≠ 0 3 ¿{ ¿ 2 ax + bx +c y = a' x +b '. x=−. b b ,f − 3a 3a. ( )]. Y = aX3+f’(xo)X ( x o=−. b ) 3a. b 2a. Đồ thị hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn. y=. Mo I, giao điểm của hai đường tiệm cận. Y ¿−. (. ad − bc 1 2 X c. Y = AX+. ). B X. (2). Đồ thị hàm số này có tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận. (1) Chú ý : Đối với hàm số (1) thì hai 2 điều kiện phải có là ¿ aa ' ≠ 0 b' b' a − +b +c≠0 a' a' ¿{ ¿. ( ) ( ). III. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm số sơ cấp 1. Hàm Số Bậc Hai: y = f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Các bước tiến hành để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai - Miền xác định: D = R. - Đạo hàm cấp 1: y’ = 2ax + b y’ = 0 ⇔ x = −. b 2a. - Đạo hàm cấp 2: y’’= 2a. - Nếu a > 0 thì đồ thị lõm trên R. - Nếu a < 0 thì đồ thị lồi trên R. lim. x→∞. - Giới hạn:. y=. +∞ nếu a > 0 ¿ nếu a < 0 −∞ ¿ ¿ ¿ ¿. - Bảng biến thiên - Tìm giao điểm của đồ thị với trục Ox, Oy - Đổi trục và tìm phương trình thu gọn của đồ thị (nếu đề có yêu cầu) a>0. a<0.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x. - ∞. -. b 2a. +. ∞. y’. y’ y. +. +. . −. b 2a. b 2a. -.  4a. (−. b Δ ,− ) 2a 4 a. b 2a −. -. y. - Vẽ đồ thị: đồ thị là parabol có đỉnh S thẳng x = −. Δ 4a + ∞ - −. x. ∞. ∞. và có trục đối xứng là đường y. b 2a. . b 2a. 0 0. x a<0. y a>0. Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x2 – 4x + 3 Giải Miền xác định: D = R x Đạo hàm: y’ = 2x – 4 y’ = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = f(2) = -1 y’’= 2> 0, ∀ x , x ∈ R ⇒ đồ thị lõm trên toàn miền xác định R của hàm số. 4. (. 3. ). x 2 1 − + 2 =+ ∞ Giới hạn: xlim x x →∞ Bảng biến thiên: x. - ∞ ∞. 2. +. y’ y. +. + ∞. ∞ −1. (cực tiểu) Tìm giao điểm của đồ thị với Ox, Oy y=x 2 − 4 x +3. - Cho x = 0 ta có y = 3, vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0 ; 3).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> - Cho y = 0 ta có. x 2 − 4 x +3=0 ⇔ x=1 ¿ x=3 (hai nghiệm đơn), vậy đồ thị cắt trục ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. Ox tại hai điểm có tọa độ (1 ; 0) và (3 ; 0) Vẽ đồ thị: y 3. x 0. 1. 3. Đồ thị hàm số này là một parabol có đỉnh S (2 ; -1) ¿ x= X +2 y=Y −1 ¿{ ¿. Đổi trục (Oxy) thành (SXY) bằng T( ⃗ OS ):. (S là điểm cực tiểu. của đồ thị). Lúc đó : y = x2 – 4x + 3 trở thành: Y - 1 = (X + 2)2 – 4(X + 2) + 3 ⇔ Y = X2: đây là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục SY tức đường thẳng x = 2. Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = -x2 – 4x – 4 Giải Miền xác định: D = R Đạo hàm: y’ = -2x – 4 y’ = 0 ⇔ -2x – 4 = 0 ⇔ x = -2 ⇒ y = f(-2) = 0 y’’= -2< 0, ∀ x , x ∈ R ⇒ đồ thị lồi trên toàn miền xác định R của hàm số.. (. 4. 4. ). 2 x −1 − − 2 =− ∞ Giới hạn: xlim x x →∞ Bảng biến thiên:. x. - ∞ ∞. -2. y’ y. 0 (cực đại). +.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> -. ∞. ∞. Tìm giao điểm của đồ thị với Ox, Oy 2. y=− x − 4 x − 4. - Cho x = 0 ta có y = -4, vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; -4) - Cho y = 0 ⇔ - x 2 − 4 x − 4=0 ⇔ − ( x +2 )2=0 ⇔ x=− 2 (nghiệm kép), vậy đồ thị tiếp xúc trục Ox tại. điểm có tọa độ (-2 ; 0) Đổi trục (Oxy) thành (SXY) bằng T ⃗ ( OS) với S (-2; 0) ¿ x=X −2 y=Y ¿{ ¿. Phương trình của đồ thị đối với hệ trục (SXY) là Y = - X2 Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S (-2; 0) và trục đối xứng là x = -2 Vẽ đồ thị: y. x -2. 0. 1. -4. Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x2 – 2x Giải Miền xác định: D = R Đạo hàm: y’ = 2x – 2 y’ = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = f(1) = -1 y’’= 2> 0, ∀ x , x ∈ R ⇒ đồ thị lõm trên toàn miền xác định R của hàm số.. ( 2x )=+ ∞. 2 Giới hạn: lim x 1 − x→∞. Bảng biến thiên: x y’ y. - ∞ ∞. 1. +.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> +. +. ∞. ∞. -1 (cực tiểu) Tìm giao điểm của đồ thị với Ox, Oy 2. y=x − 2 x. - Cho x = 0 ta có y = 0, vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0 ; 0) - Cho y = 0 ⇔ x 2 −2 x=0. có tọa độ (2 ; 0) và (0; 0) Vẽ đồ thị:. ⇔ x ( x − 2 )=0 ⇔ x=2 ¿ x=0 (2 nghiệm đơn), vậy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. y. x 0. 2. * Nhận xét và tổng kết hàm số bậc hai Đặc điểm chung - Hàm số bậc hai luôn có duy nhất một cực trị và cực trị này là + Cực tiểu nếu a > 0 + Cực đại nếu a < 0 - Đồ thị hàm số bặc hai là một parabol (P) có + Đỉnh S. (− 2ba ,− 4Δa ).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> + Trục đối xứng là đường thẳng x = − y’ và −. Δ b =f − 4a 2a. ( ). b 2a. ( với −. với Δ=b2 − 4 ac ) ¿. b 2a (SXY) y=Y − Δ 4a ¿{ ¿ x= X −. T (⃗ OS ). - Đổi trục (Oxy). Phương trình của đồ thị đối với hệ trục (SXY) là Y= aX2 Giao điểm của parabol (P) với Ox: Phương trình ax 2+ bx +c=0 (P) và Ox. Có hai nghiêm đơn Có nghiệm kép Vô nghiệm. Cắt nhau tại hai điểm Tiếp xúc nhau Không có giao điểm. 2. Hàm số bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Các bước tiến hành để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị - Miền xác định: D = R. - Đạo hàm: y’ = 3ax2 + 2bx + c Δ ’ = b’2 – ac Nếu Δ ’ >0 thì hàm số có hai cực trị. Nếu Δ ’ 0 thì hàm số đơn điệu trên R. y’’ = 6ax + 2b = 0 ⇔ x = − - Điểm uốn có hoành độ x =. - Giới hạn:. ±∞ ¿ ∓∞ ¿ ¿ ¿ lim y=¿. −. b 3a. b 3a. nếu a > 0 nếu a < 0. x → ±∞. - Bảng biến thiên. a > 0, Δ'>0. a > 0, Δ' ≤ 0. b 2a. là nghiệm của.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> x. - ∞ ∞. x1. x2. +. CĐ. + ∞. -. + ∞. ∞. a < 0, Δ'>0. a < 0, Δ' ≤ 0. - ∞ ∞. x1. x2. +. x. - −. Δ 4a. +. y’. y’. CĐ. +. y. Δ 4a. y. CT. ∞. x. - −. y’. y’ y. x. y. ∞. + ∞. -. CT. - Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I. -. ∞. ∞. y. y. 0. 0 a > 0, Δ' > 0. x a > 0, Δ' ≤ 0. x. y. y. 0. 0. x a < 0, Δ' > 0. Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = (1 – x)(x + 2)2 Giải Miền xác định: D = R. x a < 0, Δ' ≤ 0.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> y = f(x) = (1 – x)(x + 2)2 = -x3 – 3x2 + 4 Đạo hàm: y’ = -3x2 – 6x y’ = 0 ⇔. x=0 ¿ x=−2 ¿ ¿ ¿ ¿. y’’= -6x – 6 y’’= 0 ⇔ x=− 1 Bảng biến thiên: x. - ∞ +. -2. 0. y’ y. 4. + ∞. -. 0. ∞. f(-1) = 2. Điểm uốn U (-1; 2) Vẽ đồ thị: y. 4. x -2. 0. 1.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = -x3 + 3x2 – 5x + 2 Giải Miền xác định: D = R y = f(x) = -x3 – 3x2 – 5x + 4 Đạo hàm: y’ = -3x2 – 6x – 5 ¿. y’ < 0 ∀ x ∈ D ¿. y’’= -6x - 6 y’’= 0 ⇔ x=1 Bảng biến thiên: x. - ∞ +. y’ y. + ∞. ∞. f(1) = -1. Điểm uốn U (1; -1) Vẽ đồ thị: y. 2. 12 0. x.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 5 Giải Miền xác định: D = R y = f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 5 Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 1) 0 Hàm số luôn tăng trên R y’’= 6x + 6 y’’= 0 ⇔ x=− 1 Bảng biến thiên: x. - ∞ +. y’. +. y. ∞. f(-1) = 4. Điểm∞uốn U (-1; 4) f(x) = 0 ⇔ x=5 , đồ thị cắt trục Oy tai điểm S (0; 5) lim y=± ∞. x → ±∞. Vẽ đồ thị:. y. 5. x -3. -2. 0. Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x3 + 3x2 – 4.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Giải Miền xác định: D = R y = f(x) = x3 + 3x2 – 4 Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) = 0 ⇔ Cực trị N (0; -4) và M (-2; 0) y’’= 6x + 6 y’’= 0 ⇔ x=− 1 Bảng biến thiên: x. - ∞. -2. x=−2 ¿ x=0 ¿ ¿ ¿ ¿. 0. +. y’. +. 0. y. ∞. -4. ∞ f(-1) = -2. Điểm uốn U (-1; -2). f(x) = 0. ⇔ x=−2 ¿ x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. (nghiệm kép). f(-3) = -4, L (-3; -4) lim y=± ∞. x → ±∞. Vẽ đồ thị:. y. x -2. 0. 1.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> -4. * Nhận xét và tổng kết hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) - Đặc điểm chung: + Đồ thị hàm số bậc ba luôn có một phần lồi, một phần lõm và một điểm uốn, điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị. + Đổi trục (Oxy) thành (UXY). U là điểm uốn ( phép tịnh tiến τ ⃗ ( OU) ) ¿. b 3a b y=Y + f (− ) 3a ¿{ ¿ x=X −. + Công thức đổi trục:. + Đối với hệ trục (UXY) thì phương trình của đồ thị hàm số là y = aX3 + f’. (− 3ba ) X. - Tùy theo f’(x) ta có bảng tóm tắt sau: f’(x) = 0. Có hai ngiệm phân biệt x1 và x2. Có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Phương trình Đồ thị và bậc ba ax3 + bx2 Ox + cx + d = 0. Hàm số. Nếu. Có một cực đại và một cực tiểu. Cực đại và cực Cắt nhau tiểu trái tại 3 điểm dấu Tiếp xúc nhau tại 1 Cực đại điểm và hoặc cực cắt nhau tiểu bằng tại một không điểm khác Cực đại Cắt nhau và cực duy nhất tiểu cùng tại một dấu điểm. Luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến và do đó hàm số không có cực trị. Có 3 ngiệm đơn. Có: - 1 nghiệm kép - 1 nghiệm đơn. Có duy nhất một nghiệm đơn. Cắt nhau Có duy nhất một tại một nghiệm đơn điểm.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> - Chú ý: Nếu f’(x) = 0 có 2 nghiệm đơn x 1, x2 thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu, lúc đó điểm uốn U của đồ thị có tọa độ 1 1 x U = (x 1 + x 2); y U = ( y max+ y min ) 2 2. - Ghi chú: nói về phương trình bậc ba thông qua việc khảo sát chiều biến thiên của hàm số bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 0) ▪ Phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm ( tối đa ba nghiệm) ▪ Đặt f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (vế trái của phương trình trên) ▪ Định lý Viet về phương trình bậc ba: Giả sử phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 0) có 3 nghiệm là x1, x2, x3. - Tổng 3 nghiệm x1 + x2 + x3 = −. b a. - Tổng của tích các cặp nghiệm x 1 x 2+ x 2 x3 + x 3 x1 =. c a. - Tích của 3 nghiệm: x1x2x3 = −. d a. 3. Hàm số bậc bốn dạng trùng phương: y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a Các bước tiến hành để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị - Miền xác định: D = R. - Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) ⇔ x=0 ¿. y’ = 0. ab. x 2=−. b 2a. ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. 0: hàm số có một cực trị x0 = 0. ab < 0: hàm số có 3 cực trị x0 = 0, x1,2 = ± y’’ = 12ax2 + 2b y’ = 0 ⇔ x2 = −. √. −b 2a. b 6a. ab 0: hàm số không có điểm uốn ab < 0: hàm số có 2 điểm uốn   nếu a > 0 lim y  nếu a < 0 - Giới hạn: x     . - Bảng biến thiên a > 0, b<0. a > 0, b≥0. 0).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> - ∞ ∞. x. x1. 0. x2. +. +. +. CĐ. ∞. ∞. CT. +. +. +. y. ∞. ∞. CT. a > 0, b≤0. - ∞ ∞. x1. 0. x2. x. +. - −. CĐ. CĐ. 0. -. -. -. ∞. ∞. ∞. ∞. - Đồ thị luôn luôn nhận Oy làm trục đối xứng ab < 0. ab 0. y. y. a>0. 0 y. 0. x x. y. x. a<0. 0 Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = -x4 + 2x2 Giải Miền xác định: D = R. +. CĐ. y. CT. -. Δ 4a. ∞. y’. y’ y. 0. CT. a < 0, b>0. x. Δ 4a. ∞. y’. y’ y. - −. x. 0.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> y = f(x) = -x4 + 2x2 Đạo hàm: y’ = -4x3 + 4x. y’ = 0. ⇔ x=0 ¿ x=± 1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. y’’= -12x2 + 4. 3 3. √ y’’= 0 ⇔ x=± x. - ∞. y’’. + ∞. 3 −√ 3. √3 3. Vậy đồ thị. (− √33 , √33 ) 3 3 - lõm trong khoảng (− ∞, − √ ) và ( √ ,+∞ ) 3 3 √3 5 √3 5 Điểm uốn U (− , ) và U ( , ) 3 9 3 9 - lồi trong khoảng. 1. 2. y =−∞ Giới hạn xlim →∞ Bảng biến thiên:. x. - ∞ +. -1. 0. 1. y’. 1. y. -. y=0. ⇔ ∞ x=0 ¿ x=± √ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. 1 0. ∞. Vậy đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm M ( 0,0 ) , N ( √ 2 ,0 ) , L (− √ 2 , 0) Đồ thị: hàm số trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy Vẽ đồ thị:.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> y. x −√2. √2. 0. Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x4 + x2 - 2 Giải Miền xác định: D = R y = f(x) = x4 + x2 – 2 Đạo hàm: y’ = 4x3 + 2x y’ = 0 ⇔ x=0 Bảng biến thiên: x. - ∞. 0. +. y’ y. +. + ∞. ∞. -2 y = 0 ⇔ x=± 1 Vậy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm M ( 0,1 ) , N ( 0, −1 ) Đồ thị: hàm số trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy Vẽ đồ thị: y.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> x 0. -1. 1. -2. Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x4 - 2x2 - 3 Giải Miền xác định: D = R y = f(x) = x4 – 2x2 -3 Đạo hàm: y’ = 4x3 - 4x = 4x(x2 – 1). y’ = 0. ⇔ x=0 ¿ x=± 1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. ⇒ y=−3 ⇒ y=− 4. y’’= 12x2 – 4 = 4(3x2 – 1) 3 3. √ y’’= 0 ⇔ x=± - ∞. x y’’. + ∞. ⇒ y=− 3 −√ 3. 32 9. √3 3. Vậy đồ thị. (− √33 , √33 ) 3 3 - lõm trong khoảng (− ∞, − √ ) và ( √ ,+∞ ) 3 3 √ 3 32 √ 3 32 Điểm uốn U (− , − ) và U ( , − ) 3 9 3 9 - lồi trong khoảng. 1. 2.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> y =+ ∞ Giới hạn xlim →∞ Bảng biến thiên. x. - ∞ +. -1. 0. 1. y’ + y. -3. +. ∞. ∞. -4. -4. Giao điểm của đồ thị với Ox, Oy ⇔ x =−1 ¿ 2 x =3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2. - f(x) = 0. (loại) ⇒ x=± √ 3. , vậy đồ thị cắt Ox tại 2 điểm. ( − √ 3 , 0 ) và ( √ 3 , 0 ) - x = 0 ta có y = -3, vậy đồ thị cắt Oy tại điểm ( 0, −3 ) Đồ thị: hàm số trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy Vẽ đồ thị y. - 3. 0. -3. 3. x.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = -x4 - x2 - 1 Giải Miền xác định: D = R y = f(x) = - x4 – x2 – 1 Đạo hàm: y’ = -4x3 – 2x = -2x(2x2 + 1) y’ = 0 ⇔ x=0 Bảng biến thiên: x. - ∞. 0. +. y’. -1. y. -. -. ∞ x = 0 ⇔ y =−1 ∞ Vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm N ( 0, −1 ) và không cắt Ox Đồ thị: hàm số trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy. Vẽ đồ thị: y. x 0 -1.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> * Nhận xét và tổng kết hàm số bậc bốn dạng trùng phương: y = f(x) = ax4 + bx2 + cx + d (a 0 ) - Đặc điểm chung: hàm số trùng phương là một hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là trục Oy. - Tùy theo dấu của a và b ta có: ▫ Trường hợp 1: a và b cùng dấu ( hoặc b = 0) a). Hàm số có duy nhất một cực trị khi x = 0 và cực trị này là: ● Cực tiểu nếu a > 0. ● Cực đại nếu a < 0. b). Đồ thị không có điểm uốn và luôn luôn ● Lõm nếu a > 0. ● Lồi nếu a < 0. Khi a và b cùng dấu ( hoặc b = 0) thì hàm số trùng phương có các đặc điểm giống hàm số bậc hai. ▫ Trường hợp 2: a và b khác dấu a). Hàm số có ba cực trị ( 1 cực đại và 2 cực tiểu hoặc ngược lại). b). Đồ thị có hai khoảng lồi và một khoảng lõm ( hoặc ngược lại) và có thể có hai điểm uốn đối xứng nhau qua Oy. - Cần nhớ: + Đối với hàm số đa thức bậc chẵn ( chẳng hạn như hàm số bậc hai, hàm số trùng phương,...) và giả sử a là hệ số của số hạng có bậc cao nhất thì +∞ ¿ −∞ ¿ ¿ ¿ lim f (x )=¿. nếu a > 0 nếu a < 0. x →∞. + Điều này giúp ta kiểm tra chiều biến thiên của hàm số và từ đó kiểm tra lại dấu của f’(x) a>0 a<0 x. ∞. y’ y. +. x. + ∞. +. ∞. y’ y. +. -. ∞. -. ∞ ∞ ∞ + Nếu đa thức P(x) có các nghiệm đơn x 1, x2, ..., xn và giả sử xn là∞nghiệm lớn nhất trong các nghiệm nói trên thì trong khoảng (x n, +∞ ) dấu của y’ là dấu của hệ. số của số hạng có bậc cao nhất. - Ghi chú: khi xét dấu của y’ ta lưu ý * Nếu y’ = 0 có các nghiệm đơn thì y’ đổi dấu khi x vượt qua mỗi nghiệm đơn nói trên do đó để tìm dấu của y’ ta chỉ cần tìm dấu của y’ khi x ( x n ,+ ∞) (với xn là nghiệm lớn nhất trong các nghiệm đơn của y’) sau đó cho y’ đổi dấu khi x vượt qua các nghiệm còn lại. * Nếu y’ = 0 có nghiệm đơn và nghiệm kép thì y’ chỉ đổi dấu khi x vượt qua nghiệm đơn và giữ nguyên dấu khi x vượt qua nghiệm kép. 4. Hàm số phân thức có dạng: y = f(x) =. ax+ b cx+ d. (a , c ≠ 0, ad − bc ≠0).

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Các bước tiến hành để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ¿. - Miền xác định: ¿ D=R {−. d c. ¿ ad − bc y '= ( cx +d )2. - Đạo hàm:. - Đặt D = ad – bc + D > 0: hàm số tăng trong từng khoảng xác định. + D < 0: hàm số giảm trong từng khoảng xác định. - Giới hạn và tiệm cận: +. lim y=∞⇒. x →−. d c. + lim y = x→∞. a c. tiệm cận đứng : x = − ⇒ tiệm cận ngang: y =. d c a c. - Bảng biến thiên D<0. D>0. x y ’ y. x y’ a c. +∞. a y c. +∞. a c - Đồ thị: đồ thị là một hyperbol vuông góc có 1 trong 2 dạng sau a c. . +∞. D>0. y. a c 0. D<0. y. 0. x. - Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm I. (− dc , ac ). a c x. của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.. - Ghi chú: nếu ad – bc = 0 thì y’ = 0, ∀ x ∈ D . Lúc này hàm số trở thành hàm hằng trên D. Ta nói: đồ thị hàm số suy biến thành đường thẳng. y a c −. d c.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> x −1 x+ 1. Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:y = f(x) = Giải Miền xác định: D = R\{-1} y = f(x) =. x −1 x+ 1. Tiệm cận: y =∞ ⇒ tiệm cận đứng: x=−1 * xlim →− 1 y =1 * xlim →∞. ⇒ tiệm cận ngang: y = 1. Đạo hàm: y’ =. 2 > 0, ∀ x , x ∈ D ( x +1 )2. Vậy hàm số luôn luôn đồng biến và do đó hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên:. x. - ∞. -1. +. y’ +∞. 1. y. -. 1. ∞. x −1 =0 y=0 ⇔ x +1 ⇔ x −1=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị cắt trục Ox tại x = 1 x = 0 ⇒ y=− 1 Vậy đồ thị cắt trục Oy tại y = -1 Vẽ đồ thị: y.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 1 x -1. τ (⃗ OI ). Đổi trục (Oxy) đổi trục:. 0 -1. 1. (IXY), I (-1, 1 ) là giao điểm hai tiệm cận. Công thức. ¿ x=X −1 y =Y +1 ¿{ ¿ x−1 Hàm số y= trở thành x +1 (X −1)− 1 X − 2 2 = =1− Y+1= ( X − 1)+1 X X. hay Y = −. 2 X. Đây là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là I (-1, 1) Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:y = f(x) =. x+ 1 x −1. Giải Miền xác định: D = R\{-1} y = f(x) =. x+ 1 x −1. Tiệm cận: y=∞ ⇒ tiệm cận đứng: x=1 * lim x→ 1 y =1 * xlim →∞. ⇒ tiệm cận ngang: y = 1. Đạo hàm: y’ =. 2 > 0, ∀ x , x ∈ D ( x +1 )2. Vậy hàm số luôn luôn đồng biến và do đó hàm số không có cực trị Bảng biến thiên:.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> x. - ∞. 1. +. y’ y. +∞. 1 -. y=0 ⇔. 1. ∞. x +1 =0 x −1. ⇔ x +1=0 ⇔ x=−1. Vậy đồ thị cắt trục Ox tại x = -1 x = 0 ⇒ y=− 1 Vậy đồ thị cắt trục Oy tại y = -1. Vẽ đồ thị: y. 1 x -1. 0 -1. 1.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> τ (⃗ OI ). Đổi trục (Oxy) đổi trục:. (IXY), I (1, 1 ) là giao điểm hai tiệm cận. Công thức. ¿ x=X +1 y=Y +1 ¿{ ¿. Hàm số. y=. x−1 x +1. Y+1=. trở thành. ( X +1)+1 X+ 2 2 = =1+ ( X +1)− 1 X X. 2 X. 2. ax + bx +c , ad ≠ 0 dx+ e. 5. Hàm số phân thức có dạng: y = f(x) = ax 2 + bx+ c ( ad ≠ 0 , y= dx +e C y=Ax+ B+ ( ACd ≠ 0 ) dx+ e ¿ e - Miền xác định: ¿ D=R {− d ¿ dx+ e ¿2 −Cd ¿ 2 - Đạo hàm: dx+ e ¿¿ A¿ y ' =¿ Cd dx+ e ¿2 = ≠0 A dx+ e ¿2 −Cd=0 ⇔¿ y ' =0 ⇔ A ¿. hay Y =. tử. không. chia. hết. cho. mẫu). + ACd < 0: hàm số không có cực trị + ACd > 0: hàm số có hai cực trị tại x1, x2 - Giới hạn và tiệm cận: +. lim y=∞ ⇒. e x →− d. tiệm cận đứng x=−. e d. y =∞ + xlim →∞ C =0⇒ tiệm cận xiên: y = Ax + B x → ∞ dx+e. + lim. - Bảng biến thiên : A > 0, ACd > 0 A < 0, ACd >0 − ∞ CĐ − ∞ +∞ CT. +∞. xy’. A > 0, ACd < 0 − e −∞ d A < 0, ACd > 0 − +∞ − ∞ ∞∞. + +∞. hay.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> x. x1 +. x2. x1 +. x2. y ’ y. x. x. y ’ y. y ’ y. +∞. CĐ. +∞. +∞. +∞. −∞. CT. −∞. −∞. −∞. A > 0, ACd > 0. A > 0, ACd > 0 y. y. I. I. x. x. 0. 0. A < 0, ACd > 0 0 y. +. A < 0, ACd > 0 I. x. 0 y. I. x.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Ghi Chú : nếu hàm hữu tỉ bậc 2 / bậc 1 có tử chia hết cho mẫu ( lúc này hay tử có nghiệm là. nó suy biến thành đường thẳng. y. x 0. −. e d. x2 Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:y = f(x) = x  1. Giải Tập xác định : D = R\{-1} x2  2 x ( x  1)2  x 0 f '( x ) 0    x  2 f '( x ) . lim f ( x)  x . C=0. e − ) thì nó trở thành hàm bậc 1 :y = Ax + B. Ta nói đồ thị của d. và ta có. y x  1 . 1 x 1. 1 0 x  x 1. lim. Đồ thị có tiệm cận xiên y = x – 1 lim f ( x) . : tiệm cận đứng x = -1 Bảng biến thiên x  1. x. . -2. -1. 0. . f f’. . -4.   . 0. .

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Vẽ đồ thị y. 0 x -1. -1. 1. x2  x  2 Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:y = f(x) = x  1. Giải Tập xác định : D = R\{-1} x2  2 x  3 ( x  1) 2 f '( x)  0 x  D. f '( x) . lim f ( x)  x . và ta có. y x . 2 x 1. 2 0 x  x 1. lim. Đồ thị có tiệm cận xiên y = x lim f ( x) . : tiệm cận đứng x = -1 Bảng biến thiên x  1. x. . ff’. . -1. . .

<span class='text_page_counter'>(42)</span> . . Vẽ đồ thị y. x -1. -2. 0. 1. -2.  2 x 2  3x  9 2x  2 Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:y = f(x) =. Giải Tập xác định : D = R\{-1}  4 x 2  8 x  12 (2 x  2) 2  x 1 f '( x) 0    x  3 f '( x) . lim f ( x)  x . lim. x . và ta có. y  x . 1 4  2 x 1. 4 0 x 1. Đồ thị có tiệm cận xiên. y  x . 1 2.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> lim f ( x) . : tiệm cận đứng x = -1 Bảng biến thiên x  1. x. -3. . -1. 1. . f’ f. . . 9 2. Vẽ đồ thị. . . 7 2. . y 9 2. x -1. 0. 7 2. Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:y = f(x) = Giải Tập xác định : D = R\{1} f '( x)  2  lim f ( x)  x . 1  0, ( x  1)2. và ta có. với x 1. y  2 x  1 . 1 x 1. lim ( 2 x) . x  . Đồ thị có tiệm cận xiên y  2 x  1 lim f ( x) . : tiệm cận đứng x = 1 Bảng biến thiên x 1. x f. . 1. .  2 x 1 . 1 x 1.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> . . . . Vẽ đồ thị y. x 0. 1. IV. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị a). Để biện luận số nghiệm của phương trình P(x) = Q(x) bằng đồ thị (C) của hàm số y= f(x) thông thường ta thực hiện các bước sau: - Biến đổi tương đương: P(x) = Q(x) ⇔ f(x) = g(x,m) - Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị (C): y = f(x) Δ : y = g(x,m) - Cho Δ chuyển động theo sự biến thiên của tham số m, biện luận theo m số giao điểm của Δ và (C) từ đó ta được số nghiệm của phương trình. b). Các dạng của đồ thị g(x,m) thường gặp Dạng 1 : g(x,m) = m : Δ vuông góc với Oy tại điểm M(0, m) y.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> (C). m.  x. 0. Dạng 2: g(x,m) = kx + m : Δ M(0,m) y. cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt Oy tại điểm  (C). m x 0. Dạng 3: g ( x, m) m( x  xo )  yo :  quay quanh điểm cố định Mo(xo, yo) và có hệ số góc m y.  yo. Mo M. x xo. 0. Ví dụ 1: a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x(x + 3)2 + 4 b. Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình: x3  6 x 2  9 x  4  m 0. Giải a. Miền xác định: D = R y = f(x) = x(x + 3)2 + 4 = x3 + 6x2 + 9x + 4 Đạo hàm: y’ = 3x2 + 12x + 9 y’ = 0.  x  1 ⇔   x  3.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> y’’= 6x + 12 y’’= 0  x  2 Bảng biến thiên: x. - ∞. -3. -1. +. y’. 4. y. + ∞. 0. f(-2) = 2. Điểm∞uốn U (-2; 2) Vẽ đồ thị:. y. 4. m. (d). x -4. -1. b. Phương trình:. x3  6 x 2  9 x  4  m 0. 0.  x( x 2  6 x  9)  4 m  x( x  3) 2  4 m. Đây là phương trình hoành độ giao điểm của: 2. * Đồ thị (C) của hàm số y  x( x  3)  4 * Đường thẳng (d): y = m (đường thẳng (d) nằm ngang và hệ số góc bằng 0) Căn cứ đồ thị ta có bảng biện luận sau: m Đồ thị (C) và đường thẳng (d) Nghiệm của phương trình đã cho m=4 - Cắt nhau tại điểm (0 , 4)  x 0  - Tiếp xúc nhau tại điểm (-3, 4) (nghiệm kép) Có nghiệm  x  3.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> 0<m<4 m=0 m<0 m>4. - Có 3 giao điểm - Cắt nhau tại điểm (-4, 0) - Tiếp xúc nhau tại điểm (-1, 0). Có 3 nghiệm đơn. - Có 1 giao điểm - Có 1 giao điểm. Có 1 nghiệm đơn Có 1 nghiệm đơn.  x  4  (nghiệm kép) Có nghiệm  x  1. Ví dụ 2: a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số: y = f(x) = x2 – 4x + 3 b. Bằng cách sử dụng đồ thị (P) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2  6 x  m  3 0. Giải a. Miền xác định: D = R Đạo hàm: y’ = 2x – 4 y’ = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = f(2) = -1 y’’= 2> 0, ∀ x , x ∈ R ⇒ đồ thị lõm trên toàn miền xác định R của hàm số. 4. (. 3. ). x 2 1 − + 2 =+ ∞ Giới hạn: xlim x x →∞ Bảng biến thiên: x. - ∞ ∞. 2. +. y’ y. +. + ∞. ∞ −1. (cực tiểu) Tìm giao điểm của đồ thị với Ox, Oy y=x 2 − 4 x +3. - Cho x = 0 ta có y = 3, vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0 ; 3). - Cho y = 0 ta có. x 2 − 4 x +3=0 ⇔ x=1 ¿ x=3 (hai nghiệm đơn), vậy đồ thị cắt trục ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. Ox tại hai điểm có tọa độ (1 ; 0) và (3 ; 0) Vẽ đồ thị: y 3. (d).

<span class='text_page_counter'>(48)</span> 0. m 2 1. x 3. 2 2 b. Phương trình x  6 x  m  3 0 được viết lại: x  4 x  3 2 x  m , đây là phương trình hoành độ giao điểm của. ( P ) : y  x 2  4 x  3  (d ) : y 2 x  m. Nhận xét về (d): y = 2x – m Có hệ số góc bằng 2.. -. Cắt trục hoành Ox tại. x. m 2. Ta có bảng biện luận sau m 2 m 2 >3 m 2 =3 m 2 <3. m. (P) và (d). Phương trình đã cho. m>6. Không có giao điểm. Vô nghiệm. m=6. Tiếp xúc nhau tại (3, 0). Có nghiệm kép x = 3. m<6. Có hai giao điểm. Có ai nghiệm đơn. V. Tiếp tuyến của đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) * f’(x) : hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo * Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (xo, yo) : y  yo  f '( xo )( x  xo ). (1) * Điều kiện để đường thẳng y = kx + b tiếp xúc (C) là phương trình f(x) = kx + b có nghiệm kép Các dạng toán : Dạng 1 : lập phương trình tiếp tuyến của (C) khi biết hệ số góc k - Cách giải 1 : Tìm tiếp điểm (xo, yo) bằng cách giải phương trình f’(x o) = k rồi áp dụng công thức (1) + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b  f '( xo ) a. + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b  f '( xo ).a  1. - Cách giải 2 : Gọi phương trình tiếp tuyến là y = kx + b. Tính b bằng cách cho phương trình f(x) = kx + b có nghiệm kép Dạng 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA, yA).

<span class='text_page_counter'>(49)</span> - Cách giải 1 : Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k : y k ( x  x A )  y A. Tính k bằng cách cho phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) : f ( x) k ( x  x A )  y A có nghiệm kép hoặc giải hệ phương trình  f ( x ) k ( x  x A )  y A   f '( x ) k. - Cách giải 2 : Gọi Mo(xo, yo) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến tại Mo : y  yo  f '( xo )( x  xo ) Tính xo bằng điều kiện tiếp tuyến này đi qua A y A  yo  f '( xo )( x A  xo ). Dạng 3 : Lập phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị (C) tại hai điểm - Cách giải : * Gọi (d) là đường thẳng y = ax + b * Tính a và b bằng cách cho phương trình hoành độ giao điểm f(x) = ax + b có hai nghiệm kép y. (3m  1) x  m 2  m xm với m 0 .. Ví dụ 1 : Cho hàm số Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 10 ? Viết phương trình tiếp tuyến ấy. Giải Giao điểm của đồ thị với trục hoành (3m  1) x  m 2  m 0 y 0    x  m  m2  m x  (m 0)  o 3 m  1   x  m và m  1  3. Tiếp tuyến tại điểm này song song với đường thẳng y = x – 10  y '( xo ) 1 Ta có : 2. y '( xo ) 1 . 4m 2  m2  m  m   3m  1 . 2. 1. 4m ( x  m)2 nên  (3m  1) 2 4m 2  (3m  1  2m)(3m  1  2m) 0 1  m  1 hay m  5 y' . Do đó ta có giao điểm của đồ thị với trục hoành là m  1  A( 1, 0) và m . 1 3   B  ,0 5 5 . Phương trình tiếp tuyến tại A là : y=x+1 Phương trình tiếp tuyến tại B là:.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> 3 y=x– 5 3 Ví dụ 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y x  3 x  1 biết. 2   ,  1 rằng tiếp tuyến này qua A  3 . Giải Phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k : 2  y k  x    1 3 . (d) tiếp xúc (C) khi k là nghiệm của hệ  3 2   x  3x  1 k  x    1 3   3 x 2  3 k ( f '( x) k )  2   x 3  3x 1 3( x 2  1)  x    1 3   x 0  2 x 3  2 x 2 0    x 1 Do đó : x 0  k  3 và x 1  k 0. Vậy có 2 tiếp tuyến với (C) qua A : y = -3x + 1 và y = -1 y  x 4  2 x3  2 x 2 . 5 4 có đồ thị (C).. Ví dụ 3 : Cho hàm số Lập phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc (C) tại hai điểm phân biệt Giải Gọi (d) là đường thẳng y = ax + b Phương trình cho có hoành độ giao điểm của (d) và (C) 5 ax  b 4 5  x 4  2 x 3  2 x 2  ax   b 0 4 x 4  2 x3  2 x 2 . (d) tiếp xúc (C) tại hai điểm phân biệt khi phương trình này có hai nghiệm kép phân biệt 5  x 4  2 x3  2 x 2  ax   b ( x  x1 )2 ( x  x2 ) 2 4  x1  x2 1  x1  x2 1   2  x1 x2  3 ( x1  x2 )  2 x1 x2  2  2  2 x x ( x  x ) a  1 2 1 2  a  3 5 2 2 x x   b  5 9 1 2 b    1 4   4 4. Vậy đường thẳng y = -3x – 1 tiếp xúc (C) tại 2 điểm phân biệt VI. Các phép biến đổi đồ thị.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> Các phép biến đổi chủ yếu trong phần này là các phép lấy đối xứng qua các trục tọa độ. Cơ sở của nó là dựa vào các nhận xét sau : - Hai điểm M (x ; y) và M’ (x ; -y) đối xứng với nhau qua trục hoành. - Hai điểm M (x ; y) và M’ (-x ; y) đối xứng nhau qua trục tung. - Hai điểm M (x ; y) và M’ (-x ; -y) đối xứng nhau qua gốc tọa độ. - Hai đồ thị (C) : y = f(x) và (C’) : y = -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành. - Hai đồ thị (C) : y = f(x) và (C’) : y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung. Để suy ra đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối từ một đồ thị đã biết, ta chia thành các trường hợp sau : Dạng 1 : từ (C): y = f(x) suy ra (C’): y =. f ( x).  f ( x ) nếu f(x)  0  f ( x) nếu f(x) < 0 Ta có y = =  f ( x ). Đồ thị (C’) bao gồm : - Phần nằm phía trên Ox ( y 0) của (C). - Lấy đối xứng phần nằm dưới Ox của (C) qua Ox.. y. y (C’). (C) x. x. 0. 0. Dạng 2 : từ (C): y = f(x) suy ra (C’): y = f( x). f (x). :. f(x). Ta có : = , x  D Khi x  0 thì (C) và (  ) trùng nhau (D là miền xác định của f(x)) Đồ thị của (C’) bao gồm : - Phần bên phải trục Oy ( x 0) của (C). - Lấy đối xứng phần vừa lấy qua trục tung.. y. y (C’). (C). x. x 0. 0.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> Dạng 3 : từ (C): y = f(x) suy ra (C’) :. y  f ( x).  f ( x) 0  y  f ( x)  y f ( x ) Ta có. Đồ thị của (C’) bao gồm : - Phần đồ thị của (C) nằm trên Ox. - Lấy đối xứng phần vừa lấy qua Ox. y. y. (C). (C’) x. x 0. 0. Ví dụ 1 : a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của y. x2  x  2 x 1 y. x2  x  2 x 1. y . x2  x  2 x 1. b. Suy ra cách vẽ đồ thị (C2) của. c. Suy ra cách vẽ đồ thị (C3) của d. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 2  x  2 m( x  1). Giải a. Ta có. y' . x2  2 x  1 , x 1 ( x  1) 2. y ' 0  x 2  2 x  1 0  x  2 x y y’. . . 1 2 2. . 1.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> 1 2 2. 2 Ta có y = x + x  1 nên : x = 1 là tiệm cận đứng, y = x là tiệm cận xiên.. Tâm đối xứng là (1,1) (C1) đi qua điểm (0, -2) Vẽ đồ thị. y. x 0. -2. b. . Ta có (C2) : y2 y  y2  1  y1. x2  x  2 x 1. nếu y1 0 nếu y1 < 0. 1.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> Do đó (C2) trùng với (C1) khi (C1) ở phía trên trục hoành (C2) đối xứng với (C1) qua trục hoành khi (C1) ở phía dưới trục Ox. y. 2. x 0. -1. c. x 2  x  2   y1 0 y   y3 y1 x 1 Ta có :. Do đó (C3) bao gồm : phần trùng với (C1) khi (C1) nằm trên Ox và thêm phần đối xứng với phần (C1) vừa lấy qua Ox.. y.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> x 0. 1. d. Phương trình : x 2  x  2 m( x  1). được viết lại thành: x2  x  2 x1. =m. 2. x  x 2 x1. Xét (C4) : y4 = Ta thấy rằng y4 là hàm số chẵn nên (C4) nhận trục tung làm trục đối xứng. Với x  0 thì y4 = y1 nên lúc đó (C4) trùng với (C1) Nhìn đồ thị ta có : m < -2 : 2 nghiệm m = -2 : 1 nghiệm  2  m  2 2 1. :. vô nghiệm. m = 2 2 1. :. 2 nghiệm. m > 2 2 1. :. 1 nghiệm y.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> x -1. 0. 1. -2 y=m. * Chú ý : từ các dạng cơ bản trên ta có thể suy ra các đồ thị phức tạp hơn. Chẳng hạn để vẽ đồ thị (C’) : y = ta làm như sau : Từ đồ thị đường cong (C): y = f(x) x. - Vẽ đồ thị (C1): y = f( ) bao gồm : phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung và thêm phần lấy đối xứng của phần vừa lấy qua Oy f(x). - Vẽ đồ thị (C’): y = bao gồm phần đồ thị của (C1) nằm trên Ox và thêm phần lấy đối xứng của (C1) nằm dưới Ox qua Ox Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x – 1 (D). Từ đó suy ra đồ thị (D’): Giải Đồ thị (D) có: - x = 0  y = -1 -y=0  x=1. y. y x 1.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> x 0. 1. -1. Từ đồ thị (D): y = x – 1 x1. - Vẽ đồ thị (D1) : y = bao gồm : phần đồ thị của (D) nằm bên phải trục tung và thêm phần lấy đối xứng của phần vừa lấy qua Oy. yx 1. - Vẽ đồ thị (D’) : bao gồm: phần đồ thị của (D1) nằm trên Ox và thêm phần lấy đối xứng của (D1) nằm dưới Ox qua Ox. y. 1 x -1. 0. 1. PHẦN KẾT LUẬN.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> Khảo sát hàm số là một dạng toán khá phổ biến và thường được chọn làm một trong những câu hỏi của các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng như các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc dù vậy, khảo sát hàm số có rất nhiều dạng khác nhau nên cũng gây không ít khó khăn cho các học sinh trong việc tìm hiểu về dạng toán này. Thông qua tiểu luận ‘‘ Một số vấn đề về bài toán khảo sát hàm số ’’, tôi hy vọng sẽ phần nào giúp được việc tìm hiểu về dạng toán khảo sát hàm số của các học sinh trung học phổ thông và từ đó hy vọng các em sẽ đạt được kết quả cao nhất ttrong các kỳ thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh sau này. Nhưng vì thời gian chuẩn bị tài liệu hạn hẹp nên trong tiểu luận này tôi chỉ có thể giới thiệu một số dạng cơ bản của khảo sát hàm số. Trong quá trình soạn bài tiểu luận này mặc dù đã được sự chỉ dẫn của GVHD và sự giúp đỡ của các bạn cùng lớp nhưng có thể vẫn không tránh khỏi một số sai sót nhất định rất mong các thầy cô và bạn đọc cảm thông và đóng góp ý kiến để tôi có thể hoàn thiện hơn trong những lần làm việc sau này.

<span class='text_page_counter'>(59)</span>