PHÂN TÍCH NỘI LỰC HỆ KẾT CẤU VỊM 3 KHỚP DÙNG MATHCAD
Võ Thị Hoài Thu, Huỳnh Trung Minh
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Cơng nghệ TP.Hồ Chí Minh
GVHD: TS Nguyễn Sơn Lâm

TĨM TẮT
Kết cấu dạng vịm thường được dùng trong xây dựng với chủng loại vật liệu đa dạng như: gỗ, thép,
bê tông... Chúng thường dùng đối với các công trình mang tính biểu trưng cần khơng gian kiến trúc
thống, rộng rãi như: nhà triển lãm, nhà thi đấu, sân vận động, hội chợ, bể bơi... do có tính thẩm
mĩ cao. Kết cấu vòm chủ yếu dùng cho bao che các cơng trình vượt nhịp lớn vì tải trọng mà chúng
chịu chủ yếu là là phân bố (trọng lượng bản thân, tấm lợp bao che mái, xà gồ, hoạt tải gió...). Đồng
thời chúng cũng mang đến cho chủ đầu tư cơng trình một hiệu quả năng lượng bền vững. Đối với
những cơng trình có khơng gian lớn thì mái vịm là một lớp cách nhiệt lý tưởng, có khả năng thơng
gió và thốt nhiệt tốt. Do diện tích bề mặt của kết cấu vòm nhỏ nên năng lượng nhiệt chuyển giao
tốt hơn rất nhiều, giúp cơng trình xây dựng khơng bị hầm bí.

Hình 1: Mơ hình kết cấu vịm

Trong thực tế, kết cấu vòm thường thấy là dạng cung tròn, parabol, ellipse... tận dụng tối đa khả
năng làm việc của vật liệu hơn so với kết cấu hệ dầm khung. Mặc dù, việc thi cơng kết cấu vịm
phức tạp, do đ i hỏi độ chính xác cao và nhiều trang thiết bị nặng hỗ trợ trong quá trình lắp dựng,
đối với vòm thép chủ đầu tư cần xét thêm chi phí bảo trì do rỉ sét trong q trình khai thác, thế
nhưng kết cấu vòm thép vẫn là sự lựa chọn hồn hảo đối kiến trúc sư nhờ tính thẩm mĩ. Do đó,
nhiệm vụ của các kỹ sư kết cấu cơng trình cần phải giải quyết được bài tốn bền, ổn định của kết
cấu trong suốt quá trình sử dụng.
Từ khóa: Kết cấu vịm, kiến trúc vượt nhịp lớn, kết cấu vòm trong xây dựng.

1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Về mặt lý thuyết, việc tính tốn xác định nội lực trong các thanh vòm phẳng còn nhiều hạn chế do
nhiều nguyên nhân khác nhau. Nhiều phương pháp được đề xuất như: hương pháp sai phân
469

hữu hạn, phần tử hữu hạn… Nhìn chung, ý tưởng của các phương pháp này chia các đoạn cong
này thành các đoạn thẳng nối với nhau. Về nguyên tắc, số lượng phần tử xem xét đưa vào tính
tốn càng lớn thì độ chính xác càng cao. Hiển nhiên, vấn đề này đ i hỏi tài ngun tính tốn và
thời gian.
Trong bài báo này, nhóm tác giả dùng phương pháp mặt cắt giải quyết bài tốn vịm 3 khớp thơng
qua dầm tham chiếu tương đương. Ý tưởng của phương pháp này là xác định nội lực của dầm
tham chiếu tương đương[1] (về chiều dài, đặc trưng hình học, tải trọng và các liên kết). Sau đó, dùng
phương pháp hình chiếu để xác định được các thành phần nội lực trên hệ vịm 3 khớp, Ngồi ra,
nhóm tác giả sử dụng cơng cụ lập trình Mathcad nhằm thiết lập các hàm nội lực trong vòm 3 khớp,
kết quả bài báo tạo ra công cụ cho các bạn sinh viên, các kỹ sư có cơ sở so sánh kiểm chứng với
cách phần mềm như SAP2000 hay
Robot structural analysis, tài liệu
tham khảo cho các bạn sinh viên
nắm được kỹ thuật lập trình với
cơng cụ lập trình Mathcad nói
riêng và các ngơn ngữ lập trình
khác nói chung.

2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1 Thiết lập cơng thức xác
định nội lực
Từ Hình 2, xét nội lực tại điểm K
bất kỳ, ta xác định được các thành

Hình 2: Vịm 3 khớp chịu tải trọng đứng

phần nội lực N0, Q0, M0 trên dầm tham chiếu. Dùng phương pháp hình chiếu, ta xác định thành
phần nội lực NK, QK, MK tại điểm K trên hệ vịm:

{

(1)

trong đó:
y: Hàm số được xác định từ phương trình hình học của cơ hệ, có thể tham khảo Bảng 1.
φ: Góc hợp bởi tiếp tuyến tại điểm K và phương nằm ngang.
(

470

)


Bảng 1: Một số hàm dạng vòm 3 khớp

Dạng

Hàm tiếp tuyến

Phương trình hàm số

(

Đường
trịn

(

)


)

√(

)

Parabol

Elipse
(

Hàm sin

√

)

(

)

2.2 Thí dụ tính tốn
Phân tích nội lực của hệ vịm cung trịn, ba khớp có sơ đồ tính như Hình 3a. (chia 12 khoảng khảo
sát theo phương ngang, ∆z =1.5 m).

Hình 3a: Sơ đồ tính hệ vịm ba khớp

Hình 3b: Cân bằng phần trái


Hình 3c: Cân bằng phần phải

471


Bài giải
+ Xác định các thành phần phản lực.
Xét cân bằng toàn hệ:
∑

∑ ⁄
Xét riêng từng hệ

(

)

∑ ⁄

(

)

∑ ⁄

(

)

(


(

)(

)

(

)

Xác định các thành phần lực cắt Q0, moment uốn M0 của dầm tham chiếu

Hình 4a: Sơ đồ dầm tham chiếu

Hình 4b: Biểu đồ lực Q0 cắt dầm tham chiếu (kN)

Hình 4c: Biểu đồ moment uốn M0 dầm tham chiếu (kN.m)

472

)(

)


Bảng 2: Kết quả giá trị lực cắt, moment tại các điểm

Nút


z(m)

Q0 (kN)

M0 (kN.m)

A

0.00

34.264

0.000

1

1.50

19.264

-51.396

2

3.00

15.045

-77.057


3

4.50

11.389

-96.813

4

6.00

8.295

-111.505

5

7.50

-3.236

-121.979

B

9.00

-3.236


-117.125

6

10.50

-3.236

-112.271

7

12.00

-3.236

-107.417

8

13.50

-3.236

-102.563

D

14.00


-19.236

-100.944

9

15.00

-22.236

-80.208

10

16.50

-26.736

-43.479

C

18.00

-31.233

0.000

+ Xác định các thành phần lực dọc NK, lực cắt QK, moment uốn MK của vòm 3 khớp
hương trình hình học

√

với

(

)

(

Thành phần nội lực hệ vịm, xác định bởi công thức:

với

√

)

{

473


Bảng 3: Kết quả giá trị lực dọc, lực cắt, moment tại các điểm trên vòm

z

y

φ


(m)

(m)

(rad)

A

0.00

0.000

1

1.50

2

NK

QK

MK

(kN)

(kN)

(kN.m)


0.385

-39.136

-4.841

0.000

0.769

0.639

-27.292

-2.707

-2.984

0.663

0.615

0.788

-24.646

-0.154

-0.238


4.899

0.480

0.462

0.887

-22.574

1.094

-1.171

6.00

5.527

0.313

0.308

0.951

-21.126

1.886

-3.613


5

7.50

5.884

0.154

0.154

0.988

-18.791

-6.201

-7.119

B

9.00

6.000

0.000

0.000

1.000


-19.521

-3.236

0.000

6

10.50

5.884

-0.154

-0.154

0.988

-19.786

-0.194

2.589

7

12.00

5.527


-0.313

-0.308

0.951

-19.570

2.927

0.476

8

13.50

4.899

-0.480

-0.462

0.887

-18.811

6.139

-6.921


D

14.00

4.620

-0.538

-0.513

0.858

-26.623

-6.503

-10.751

9

15.00

3.935

-0.663

-0.615

0.788


-29.071

-5.514

-3.389

10

16.50

2.480

-0.878

-0.769

0.639

-33.040

-2.067

4.932

C

18.00

0.000


-1.176

-0.923

0.385

-36.340

5.997

0.000

sin(φ)

cos(φ)

1.176

0.923

2.480

0.878

3.00

3.935

3


4.50

4

Nút

3 KHAI BÁO TRONG MATHCAD
+ Khai báo dữ liệu đầu vào

ORIGIN : 1
P1 : 15 kN
P2 : 9 kN
P3 : 16 kN

f : 6 m
L : 18 m

474

q1 : 3

kN
m

q2 : 1.5

kN
m


z : 0,k..L
nq : rows(zq )

q4 : 3

kN
m

q3 : 3

k :

kN
m

L
1000

nF : rows(zF )

0 
 
18 
 
zF : 1.5  .m
 
7.5 
 
14 


 Ay 


By 



F(A y ,By ) : P1 




 P2 


P
 3 

 q1  q2 
qy : 

 q3  q3 

1.5 7.5
zq : 
 .m
14 18 


+ Thiết lập hệ phương trình cân bằng:

nF

nq

1
f1(A y ,By ) : F(A y ,By )i   (qyi,1  qyi,2 ).(zqi,2  zqi,1 )
i1
i1 2
nF

nM

i1

i1

f2 (A y ,By ) : F(A y ,By )i.zFi  Mi 
(qy  2.qyi,2 ).(zqi,2  zqi,1 ) 
1

   (qyi,1  qyi,2 ).(zqi,2  zqi,1 ) .  zqi,1  i,1


3.(qyi,1  qyi,2 )
 
i1  2

nq

Ay : 34.264 kN


By : 31.236 kN

+ Thiết lập nội lực: Lực cắt Q0 và moment uốn M0 dầm tham chiếu:
nF

Q0 (z,A y ,By ) : F(A y ,By )i.(z  zFi ) 
i1

nq
 nq

(z  zqi,1 )
(qyi,2  qyi,1 ) (z  zqi,1 )2
.(z  zqi,1 )  
.
.(z  zqi,2 )  
   qyi,1 .
 i1

1!
2!
i1 (zqi,2  zqi,1 )



nq
 nq

(z  zqi,2 )

(qy  qyi,1 ) (z  zqi,2 )2
   qyi,2 .
.(z  zqi,2 )   i,2
.
.(z  zqi,2 ) 
 i1

1!
2!
i1 (zqi,2  zqi,1 )



nr
 nM

M0 (z,A y ,By ) :   Mi.(z  zMi )  F(A y ,By )i.(z  zFi ).(z  zFi )  
i1
 i1

nq
 nq

(z  zqi,1 )2
(qyi,2  qyi,1 ) (z  zqi,1 )3
.(z  zqi,1 )  
.
.(z  zqi,1 )  
   qyi,1 .
 i1


2!
3!
i1 (zqi,2  zqi,1 )


nq
 nq

(z  zqi,2 )2
(qyi,2  qyi,1 ) (z  zqi,2 )3
.(z  zqi,2 )  
.
.(z  zqi,2 )  
   qyi,2 .


2!
3!
i1 (zqi,2  zqi,1 )
 i1


475


+ Thiết lập nội lực:lực dọc NK, lực cắt QK và moment uốn MK trên hệ vòm 3 khớp:

R :


4f  L
8f
2

2

L

M0  ,A y ,By 
2
2
L

 d

2


H:=
y  z  : R    z   R  f (z):=atan  y(z) 
f
2

 dz


NK (z,Ay ,By ) : Q0 (z,A y,By ).sin((z))  H.cos((z))
QK (z,Ay ,By ) : Q0 (z,A y,By ).cos((z))  H.sin((z))
MK (z,Ay ,By ) : M0 (z,A y ,By )  H.y(z)


Hình 5a: Biểu đồ lực dọc NK của hệ vịm

Hình 5b: Biểu đồ lực cắt QK của hệ vịm

Hình 5c: Biểu đồ moment MK của hệ vòm

476


4 PHÂN TÍCH HỆ VỊM 3 KHỚP DÙNG SAP2000
Với kết quả thu được, nhóm tác giả cũng đã có sự so sánh đối chiếu với phần mềm phần tử hữu
hạn SAP2000. Kết quả đối chiếu xem Hình 6.

Hình 6a: Biểu đồ lực dọc NK dùng SAP2000

Hình 6b: Biểu đồ lực cắt QK dùng SAP2000

Hình 6c: Biểu đồ moment MK dùng SAP2000

477


5 KẾT LUẬN
Dựa trên kết quả thu được, ta dễ dàng nhận thấy kết quả tính tốn dùng SAP2000 và lập trình dùng
ngơn ngữ Mathcad cho kết quả như nhau. Xét về độ chính xác thì cơng cụ lập trình Mathcad với
phương pháp dầm tham chiếu cho kết quả chính xác hơn. Nguyên nhân là do SAP2000 mặcdù đã
hỗ trợ phần tử cong, tuy nhiên việc nhập liệu tải trọng tính tốn vẫn cịn khó dẫn đến sai số đầu
vào, ngoài ra kết quả thu được phụ thuộc vào số lượng phần tử - đặc trưng của các phần mềm xây
dựng dự trên phương pháp phần tử hữu hạn. Qua bài bài nhóm tác giả mong muốn giới thiệu
thêm một phương pháp, đồng thời cho thấy tính tiện dụng của Mathcad trong việc giải quyết các

vấn đề cơ học phức tạp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

IGOR A. KARNOVSKY, Theory of Arched Structures. Strength, Stability, Vibration. London:
Springer, 2012. pp. 19-26.

[2]

BRENT MAXFIELD, Essential Mathcad for Engineering, Science and Math, Second editor,
Elsevier, California, USA, 2009.

478