Tich phan day du

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x +. 5. f(x) =. x −1 2 x. 2. f(x) =. 6. f(x) =. 10.f(x) = tan2x. 2. 2 x +3 2 x. √ x+ √3 x + √4 x. √ x −1 ¿2. 1 2 −3 √x √ x. 11. f(x) = cos2x. 3. f(x) =. 4. f(x) =. ¿ ¿ ¿. 8. f(x) =. x −1 √3 x. 12. f(x) = (tanx – cotx)2. 13. f(x) =. 1 2 sin x . cos x. 7. f(x) =. 2. x −1 ¿ ¿ ¿ ¿. 4. 1 x. 2 9. f(x) = 2 sin. x 2. 2. cos 2 x 15.f(x) = sin3x f(x) = 2sin3xcos2x 17. f(x) = ex(ex – 1) 2 2 sin x . cos x e− x ¿ 18. f(x) = ex(2 + 19. f(x) = 2ax + 3x 20. f(x) = e3x+1 2 cos x 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/ 3. f’(x) = 4 √ x − x và f(4) = 0 1 + 2 và f(1) = 2 4. f’(x) = x 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 2 x b x2 1 5 , f ' (1)=0 , f (1)=4 , f (−1)=2 6.f’(x) = ax + ĐS. f(x) = + + x2 2 x 2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u(x)]. u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒dt=u ' (x )dx  I = ∫ f [u( x)]. u' ( x)dx=∫ f (t) dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 −2 x ¿5 ¿ ¿ dx 15 12 (5 x  1) dx x( x  2) dx dx 1. ∫ 2. ∫ 3. 4. ∫ √ 5 −2 x dx 5. ∫ √ 2 x − 1 ¿ ∫¿ xdx 2 x 2 +1 ¿7 xdx x 3+5 ¿ 4 x2 dx x 5 ∫ 2 ¿ ¿ dx x  2  x +1 . xdx ∫ √ ∫ 2 6. 7. 8. 9. 10. 11. x +5 ∫¿ ∫¿ 14. f(x) =. 3 ∫ lnx x dx. 1+ √ x ¿2 ¿ √x ¿ 12. dx ¿ ∫¿. cot xdx 16. ∫ sin x 17. ∫ 5 dx cos x √x e ∫ √ x dx. 18.. 3 x2 dx 13. ∫ √5+ 2 x 3. tgxdx. ∫ cos 2 x. 19.. 14.. ∫ cos 3 x sin2 xdx. 2. ∫ x . e x +1 dx. 20.. 15.. dx. ∫ cos x. ∫ sin 4 x cos xdx. 21.. ∫ tgxdx. 22.. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN e x dx e tgx 23. ∫ x 24. ∫ 2 dx 25. ∫ √ 1− x 2 . dx cos x √e − 3 2 dx dx x dx 28. ∫ 29. ∫ 30. ∫ 2 31. 2 2 1+ x x + x +1 √1 − x dx 34. ∫ x 3 √ x 2 +1. dx ∫ e x +1 dx dx dx 3 3 3 cos3 xdx ∫ ∫ ∫ 35. sin x 36. cos x 37. tan x 38. ∫ dx 2 ∫ x  2x  2 41.. 42.. dx 2 ∫ 47. 3 x  1. ∫cos 3x sin xdx. 46.. 3x. ∫ 1 3. 52.. x. dx. 33. 53.. ∫. dx ∫(1  x 2 )3 48.. x 2 dx 2x 1. 54.. ∫x. 49. dx. dx. √4 − x. dx. ∫ sin x. 39.. 27.. 2. ∫x. 3. (s inx+ cos x) dx s inx  cos x 40.. ∫ sin x cos xdx. dx x x2  1. 50. 3x. 55.. 3. 45.. ∫. 1  x dx. ∫ 1 3. x. 33.. ∫. 3 ∫sin xdx. 2. x4 1. ∫ x 2 √1 − x 2 . dx. ∫ x √ x −1. dx. 32.. xe x  1 dx ∫ x 44. x(e  ln x). sin x dx 3 ∫ 43. cos x. ∫sin 4 x sin xdx. ∫. 26.. xdx. ∫(2 x 1). 2. 51. dx ∫ 2 56. x x  1. dx. 2. x 1  x dx 57. ∫ 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.. Hay. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x ). v ' ( x)dx=u(x ). v (x )−∫ v (x) . u' ( x)dx ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx). ∫ udv=uv −∫ vdu. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x . sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ x ln xdx 4. ∫ ln xdx 5. ∫ x sin2 xdx 6. x 2 2 7. ∫ x cos 2 xdx 8. ∫ ( x +2 x+ 3)cos xdx 9. ∫ (x +5) sin xdx 10. ∫ x . e dx 2 11. ∫ e √ x dx 12. ∫ sin √ x dx ∫ ln x dx x ln(1+ x) ln xdx 2 x dx 13. ∫ 2 dx 14. ∫ 15. ∫ 6. ∫ ln ( x +1)dx 17. ∫ e . cos xdx 2 cos x x √x 2 x 3 x 18. ∫ x e dx 19. ∫ x ln (1+ x )dx 20. ∫ 2 xdx 21. ∫ x lg xdx 22. ∫ 2 x ln (1+ x) dx 2 2 23. ∫ xtg xdx 24. ∫ x cos 2 xdx TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 1 e 3 2 1 1 3 2 ( x  x  1) dx (e x  x) dx ( x    x ) dx x  2 dx x  1 dx ∫ ∫ 2 ∫ ∫ ∫ x x 1. 0 2. 1 2. 1 3. 1 4. 0 2.  2. 5.. 9.. 1. ∫(2sin x  3cosx  x)dx . 6.. 3 1. 10.. 0. x.dx 2 ∫ 13. -1 x  2. 18.. 2.  x x ) dx. 1. x  1)dx 8.. 3 ∫(x  1).dx. 2 3 ∫( x  x x  x )dx. 11.  1. 1. e x  e x dx ∫ ex  e x 0. x  1)( x . 3. 1. ∫(3sin x  2cosx  x )dx  3. 2. 12.. ∫(. x  1)( x  x  1)dx. 1.  2. 5. 7x  2 x  5 dx ∫ x 1 14.. 19.. ∫(. 7. 1. 0. e2.  4. tgx .dx ∫ cos2 x 0. ∫( x. 3. 2. x 2 ∫(e  x 1)dx. 2.  2. 15. 1. ∫. ∫ 2. e x .dx. x x 20. 0 e  e. cos3 x.dx ∫ 3 sin x . 2. ( x  1).dx 2 ∫ 16. 1 x  x ln x. dx x 2  x  2 2. ∫. 6  2. ln 3. dx. 2 21. 1 4x  8x. 17.. 22.. .dx x ∫ e  e x 0. 22.. dx. ∫1  sin x 0. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2. ∫. 23.. 1. (. 1. 1 1 + dx x2 x3. ). 2. ∫ (2 x 2+ x+1) dx. 24.. 2. ∫ (2 x 3 − x − 23 )dx 0. 25.. −1. 26.. ∫ x ( x − 3) dx. 27.. −2. 4. ∫ (x 2 −4 )dx −3. 1 2. √e. 2. x 29. ∫ x −2 dx 3 x 1. 2. 16. 30. ∫ dx 1 x. e. ∫ √ x . dx. 31.. ∫ 2 √ x +5x −7 x dx. 32.. 1. 33.. 1. e 8. (. 1. 1. 4x−. ). dx 2 3 √x II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:. ∫.  2. ∫sin . 3. 3.  2. xcos 2 xdx. 1. 3 7.. ∫sin . 2.. 2. xcos 3 xdx. 1. 2 ∫x 1  x dx. 3 2 ∫x x 1dx. 8.. 1. 1. 1. 1 dx 2 ∫ 13.  1 x  2 x  2 1. 18.. ∫e. 35.. 19.. ∫sin . 2. ∫sin . 25.. e. e. 1. x dx ∫ 1  x  1 41. 1 3. ∫ 1. x 1 dx x. 55. 1. ∫ 0. ∫.  2. xcos 2 xdx 20.. x dx 2x  1. 56.. cosxdx 21.. 0. 3. x 1. ∫ 1. ∫x 1  xdx 0. 66.. 1. sin xdx 22.. e. 38.. ∫. 44.. 0. 0. e2. 51.. ∫xcos e. 2. ∫sin . e. ∫ 1. x. x2 2. 58.. 4 x  11 dx 2 ∫ x  5 x  6 0. 63..  2. 4sin 3 x dx ∫ 1  cos x 0. 68.. xdx. 1. ∫x. x3 1. 1. 39. 45.  2. ∫ sin. 5. xdx. 0. dx. 53.. ∫ 0. 4. 1 x 1 . x. dx. x  1 cos xdx. 0. x. ∫(2x  1) dx 3. 0. 60.. 3. 64.. x3 dx ∫ x 2  2x  1 0.  4.  2. ∫ cos. ∫cos. 1  sin 2 x dx 2 x 0. ∫sin. 1  ln 2 x dx ∫ x ln x e 1. 1. 2x  5 dx 2 ∫ x  4x  4 0. xcos 2 xdx. 23.. dx. 1. 59.. dx. e2. 1 dx (1  ln x ). 0. 2. 0. . 2. 34.. 1. ∫1  x. 3. 1 dx x 1  x. ∫ e − x dx. −1. 3. 2ln x 1. 1. ∫ e 2 x+3 dx. 12.. 0. 0. ∫x x 1dx. 67.. ∫e. 3 2 ∫x 1  x dx. 1.  6. 0. cosxdx. 4. 1. dx.  2. 17.. cosx. 1  3ln x ln x dx x. 0. 6 6 ∫(sin x  cos x)dx. ∫e . 33.. e 2ln x 1 dx ∫ x 49. 1. 62.. 11. 1. 4. dx. e. 57.. sin x. x3 1. 1. x2. 1. π 2. x dx ∫ cos 0 5− 2 sin x. 32.. ∫. 43.. 1. 61.. 16.. 4. 37.. 1. dx ∫ 1  x2 0. sin x. ∫e .  2. e. sin(ln x) dx ∫ x 47. 1. 0. ∫e  1. sin x dx ∫ 1  3cosx 0. e. 4  x 2 dx.  2. 1 dx 2 2 ∫ (1  3 x ) 0. 15.. sin(ln x ) dx ∫ x 36. 1 1 x dx ∫ 2 x  1 0 42.. 4. 10.. 0. 0. 1. 1. ∫x. x 2  1dx. ∫x. 6.. 6. 2. 3 2 ∫x 1  x dx. 1. ∫cot gxdx . 5.. 0. 1.  2. xcos xdx. 1  ln x dx x. 3. dx. x3  1. 0. dx. 3. 3. ∫. x 2 1. 0. 3. 2. 46.. ∫. 14.. xdx. 0.  2. 24.. 1.  2 x2 2. 9.. 0. 4.. ∫tgxdx. 1. x2. ∫.  4.  4. sin x dx ∫ 1  3cosx 0. 3.. 3. 1. 0.  2. 69.. 0. 4. 65.. 2xdx 70.. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2. 1  sin 2 x  cos 2 x dx ∫ sin x  cos x . π 4. 2x dx ∫ cos 1+ 2sin 2 x. 71. 6. 0.  2. ∫cos. 5. 0. xdx. 77.. 1 dx x ∫ e  1 0. −1. 73.. 78.. π 2. 1 dx ∫ cos x 0.  4. dx 2 x +2 x+5. ∫. 2. −2. 76.. 0. 72.. 1. 2 x +2 dx x +2 x − 3. ∫.  4. 1. 74.. 4. 0. x. dx . 79.. 75.. 0.  4. 1. ∫cos. 3x dx ∫ sin 2 cos 3 x +1. sin 4 x. ∫1  cos. 2. x. 0. dx 80.. 1 3. ∫x. 1  x 2 dx. 0.  2. 81.. cos 4 x −sin 4 x (¿)dx.  2. ∫sin 2 x(1  sin. 2. 3. x) dx 82.. 0. 3 2 ∫cos x sin xdx. 1. π 4. ∫¿. 84.. 0. ∫x (1  x ) dx 5. 3 6. 86. 0. 0. 2.  6. 87..  4. π 2. cos x. ∫6  5sin x  sin 0. 2. x. cos x  sin x dx 3  sin 2 x 0 89.. dx ∫ sin 2 x2 2 0 √ cos x+4 sin x. dx 88.. 2+sin x ¿ ¿ ¿ sin 2 x ¿. ∫. π 2. 90.. ∫¿ 0. 3. π 3. ln (tgx ) 91. ∫ sin 2 x dx π. 92.. 4. tg x. ∫cos 2 xdx 0. π 4. ln 5. dx 93. ∫ e x + 2e − x − 3 ln 3. ∫ (1− tg8 x)dx. 94.. 95.. 0. 4 π 2. x − cos x dx ∫ sin √ 1+sin 2 x π 4. π 2. π 2. 96. ∫ sin 2 x+ sin x dx 0 √ 1+3 cos x 1. π 4. 97. ∫ sin 2 x cos x dx 1+ cos x 0. ∫ 1  x dx. e. ∫ (e. 101.. 0. sin x. +cos x) cos xdx. 102.. 0. 1. ∫ 0. 1 4  x2. 1. dx 2. 109. 2 3. ∫x. 1. 110. 115.. 1 x4 dx ∫ 1 x6 0. 1. 2. ∫ 1+ √xx −1 dx. ∫. √ 1+3 ln x ln x dx. 106.. x dx 4 ∫ x  x2  1 0. 1. ∫1  x 0. 1 dx ∫ 1  cos x  sin x 0. 107.. 2. dx. 2 2.  2. 1. 1 dx 2 ∫ x  x 1 0. 103.. x. 1. 100.. 1. 108.. ∫ 0. 104. x2 1  x2. dx. 4  x 2 dx. 1. ∫x 2. 105.. 99.. 1. π 2. 2. 2. 2. 98. ∫ 1− 2sin x dx 0 1+ sin 2 x. x2  1. 3. dx 101. . 116.. ∫ 1. 9  3x dx x2 2. cos x. ∫ 1  cos 0. 2. x. 1. 2. 1 x. ∫ (1  x ). 5. 112. 0. dx 113.. ∫x 2 3. 1 x2  1. 0. dx 117.. ∫ dx 2 − 1 x +2 x+2.  2. dx 114.. ∫ 0. cos x dx 7  cos 2 x. 1. upload.123doc.net.. ∫ dx 1+ √1+3 x 0. 119.. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 8. 2. x −1 dx ∫ x √x −5 1 7 3. 120.. 1. ∫x. x 1 2. 3. 7. dx. ∫. 121.. 0. x3 3. 1 x. 2. 3. dx 122.. ∫x. ln2. 1  x dx. 5. 2. 123.. 0. ∫ 0. 1 e 2 x. dx 124.. x 1. ∫ 3x  1 dx 0. 3. 2. 2 3 ∫x x  1dx. 125.. 0. 2 √3. ∫ dx 2 √5 x √ x +4. 126.. II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b. ∫u( x)v'(x)dx u ( x)v( x). Công thức tích phân từng phần : Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv  sin ax     f ( x )  cosax  dx ∫   e ax  @ Dạng 1. b a. a. u  f ( x)   sin ax       dv  cos ax  dx   e ax  . b.  ∫v( x)u '( x)dx a. . @ Dạng 2:. ln 3 x dx 3 ∫ x 1. 1.  du  f '( x)dx   sin ax      v ∫ cosax  dx   e ax  . e. 1. ∫x ln xdx. ∫x ln( x. 2. 1. 1. ax  sin ax  e .  dx ∫ cosax   @ Dạng 3: . . ∫x ln( x 1)dx 0.  3. ∫x tan 0. 2. ∫x ln xdx. 8. 1. 12. 13. Tính các tích phân sau. ∫ln( x 1. 4.. ∫x. 2. 1. e. 1 ( x  ) ln xdx ∫ x 10. 1. 9. 0.  x)dx 14.. e. ln 3 x dx x ln xdx 3 ∫ ∫ x 5. 1 6. 1. ln xdx. ∫( x  cosx)s inxdx. 2. xdx.  1)dx. e. 2.  2 2. u  x 5   x 3dx dv   ( x 4  1)3 . e. 0. e. 2. 7.. 3.. 2. . Đặt dx  u ln(ax)  du  x    dv  f ( x )dx v  f ( x )dx  ∫. Ví dụ 1: tính các tích phân sau u x 2 e x  1 3 x 2e x dx  x8 dx dx dv  ∫( x 1)2  ∫ 4 3 ( x  1)2 a/ 0 đặt  b/ 2 ( x  1) đặt 1 1 1 1 dx 1  x2  x2 dx x 2 dx  dx   I 1  I 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ (1  x ) (1  x ) 1  x (1  x ) 0 0 0 c/ 0 1 dx ∫ 1  x2 Tính I1 0 bằng phương pháp đổi biến số u  x  1 2 x dx x  dv  dx 2 2 ∫  (1  x ) (1  x 2 )2  0 Tính I2 = bằng phương pháp từng phần : đặt Bài tập e. ∫f ( x) ln(ax)dx.  2. 1. ∫x cos xdx. ∫xe dx. 0.  2. x. 15.. 0. 16.. ∫e. x. 2. 11.. ln x. ∫x. 5. dx. 1. cos xdx. 0. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN π 2. 1. ∫ x . e 3 x dx. 1). 2). 3). ∫ ( x −1)cos xdx. 0. π 6. 4). ∫ (2− x)sin 3 xdx. 0. π 2. ∫ x . sin 2 xdx. 0. 0. 1. e. 5.. e. ∫ x ln xdx. 6.. 1. ∫ (1− x ). ln x . dx. ∫ x . cos x .dx. 16). ∫( x. 14..  1)e x dx. 9. 1. 1. xdx. 0. 15.. ∫e. 10. x. sin xdx. 0.  2 x )sin xdx. ∫x ln. 2.  3. xdx. 1. 1. 22.. 0. ∫x cos. 2. 2. 0. e. 17.. 2. ∫ x . cos x .dx. 11.. 0.  2. 2. ln x sin xdx dx ∫ 5 ∫ x 0 1 12. 13.. 2. ∫( x. 8. 0. 1. 2. π 2. 2. 2 ∫x ln(3  x ).dx. ∫ 4 x . ln x . dx. 7.. 1. π.  2. 3 2. 18.. ∫(x  1) e dx 2. x  sin x dx ∫ cos2 x 0. 0. ∫x sin x cos. 2. xdx e. ∫ (x −2)e 24.. 0. 25). 28.. ∫cos x.ln(1  cos x)dx. 2. 1 e. x  1)dx. 29.. ∫ (x+ cos3 x) sin xdx 0. 21. 1. dx 26.. ∫x tan. 2. xdx. 0. 27.. 2. ln(1  x) dx 2 30. 1 x. e. 0. 2. ln x. ∫( x  1). dx.  /3. 0. 2. π 2. 20. 0 2x. 2. 23. 1. ∫ x ln (1+ x 2)dx. ∫x(2 cos. 19. 0. ∫(x ln x) dx. 1.  4. 1. e. 2x. . ∫ ln√ xx dx 1. ∫. 31.. 3. ∫ (2 x +7)ln ( x +1)dx 0. 32.. ∫ ln (x 2 − x )dx 2. III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2 x −1 1 dx 2. ∫ dx 1. ∫ 2 3 x −3 x +2 a (x +a)( x +b) 3 x+1 ¿3 ¿ ¿ x2 ¿. 1. 1. x3 + x +1 dx 3. ∫ x +1 0. 4.. 3. x +1 dx ∫ x x+2 +1. 5.. 0. 1. ∫¿ 0. 6.. x +3 ¿2 ¿ x+ 2¿ 2 ¿ ¿ 1 ¿. x 2 −1 ¿2 ¿ ¿ x4 ¿. 2. 1− x 2008 dx 7. ∫ 2008 ) 1 x (1+ x. 8.. 3. 1. ∫¿. ∫¿. 2. 0. 2. 11.. 1. 0. 2. ∫ x (x 4x+3−x32 +2) dx. 12.. 3. 1+x 2 ¿n ¿ ¿ 2n−3 x 9. ¿. 10.. ∫ x (1+1 x 4) dx 1. 1. ∫¿ 0. 2. 2. 9 x +9 dx ∫ 2 x x−2 6−3x x++2 −1. 2. 13.. ∫ 4 +1 x 2 dx 0. 1. 14.. ∫ 1+xx 4 dx 0. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1+ x 2 ¿3 ¿ ¿ x 16. 17. ¿. 2. 1 dx 15. ∫ 2 0 x −2 x+ 2. 1. 4. 3. 3 x 2 +3 x+ 3 dx 18. ∫ 3 2 x − 3 x+2. ∫ x3 −21x 2+ x dx 2. 19.. ∫¿ 0. 2. 2. x dx ∫ 1− 1+ x 4 1. 1. 1. 1. ∫x 0. 2− x 4 dx ∫ 22. 0 1+ x 2. 23.. ∫x 0. 2. dx  x 1. 24.. 4 x  11 dx  5x  6. 2. 2. ∫(. 25.. 0. 3. 3 x−1 − x −1 dx x+2. ). 0. x2 +2 x+ 3 ∫ x+ 3 dx 0. ∫(. 30.. −1. 1. 1. x +2 dx ∫ 26. 2 x −1. 1. 1. 1. 1. x6 + x 5 + x 4 +2 ∫ x6 +1 dx 21. 0. 1 dx ∫ 20. 0 1+ x3. ∫(. 27.. 0. 2 x−2 −3 dx x+1. ). 0. x−2 −2 x+1 dx 2 x −1. ). 31.. ∫ −1. (. 28.. 1 x4 dx 6 ∫ 0 1 x. x 2+ x+1 − 2 x +1 dx x−1. ). 29.. 32.. 1. 2 x −2 33. ∫ dx2 − x+1 dx ∫ 2 x x++1 0 0 x + 4 x+ 3 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:. (. ). π 2. 1.. π 2. 2.. ∫ sin2 x cos 4 xdx. ∫ sin2 x cos 3 xdx. 0. 3.. 0. π 2. 4.. ∫ sin 4 x cos5 x dx 0. π 2. ∫ (sin3 x +cos 3) dx 0. π 2. 5.. ∫ cos 2 x (sin 4 x +cos 4 x)dx. 6.. 0. π 2. 7.. ∫ (2sin 2 x − sin x cos x −cos 2 x )dx 0. π 2. ∫ (sin10 x +cos 10 x − cos 4 x sin4 x )dx 0. π 2. π 2. ∫ dx 0 2− cos x. 8.. 9.. ∫ sin1 x dx. 10.. π 3. π 2. 1 dx ∫ 2+sin x 0. 11.. π 3. π 2. sin3 x ∫ 1+ cos2 x dx 0. ∫ dx sin 4 x . cos x. 12.. 13.. π 6. π 2. x dx ∫ cos 1+ cos x 0. 14.. 18.. π 4. ∫ dx 2 2 0 sin x+ 2sin x cos x − cos x π 2. 1 dx ∫ sin x +cos x +1 0. π 2. x dx ∫ cos 0 2− cos x 1− cos x ¿ 2 ¿ ¿ cos xdx ¿ 19.. 15.. π 2. ∫¿. 16.. π 2. x dx ∫ sin 0 2+sin x. π 2. 20.. 17.. π 2. x − cos x +1 dx 21. ∫ sin π sin x +2 cos x+ 3. −. 2. 3. x dx ∫ cos 0 1+ cos x. π 4. ∫ tg 3 xdx 0. π 3. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN π 4. 22.. π 3. ∫ cot g3 x dx. 23.. π 6. ∫ tg4 xdx. 24.. π 4. π 4. π 4. ∫ 1+1tgx dx. 25.. ∫ dx 0. 0. π cos x cos( x+ ) 4. 26.. 2π. ∫ √1+sin x dx 0. 27.. π 2. x +7 cos x +6 dx ∫ sin 4 sin x +5 cos x +5. 28.. 0. π 4. ∫ dx 2sin x +3 cos x + √ 13. 29.. 0. π 4. 3. x dx ∫ 1+4 sin 4 cos x. 30.. 0. π 2. 1+cos 2 x+sin 2 x dx ∫ sin x +cos x 0. 2. 31.. π 2. π 2. 3x dx ∫ sin 1+ cos x 0. dx 32. ∫ π sin 2 x − sin x. 33.. π 4. 3. x dx ∫ sin 2 cos x. π 2. 34.. ∫¿. 0. 4. 3. 1+sin x ¿ dx sin 2 x ¿. 0. π 3 3. π. 35.. ∫|cos x|√ sin x dx. 36.. sin3 x −sin x √ dx ∫ π 4. 0. π 2. ∫ dx 1+ sin x+cos x. 37.. sin3 xtgx. 38.. 0. π 2. ∫ dx 2sin x +1 0. π 2. 39.. ∫ cos 3 x sin5 xdx. 40.. π 4 π 3. 43.. π 4. 4 xdx ∫ sin 1+cos 2 x. 41.. 0. π 6. π 2. ∫ dx 5 sin x +3. π sin x sin( x+ ) 6 π tgxtg (x+ ¿ )dx 6. 44.. π 6. π 3. ∫ dx π 4. ∫ dx sin 4 x cos x π 6. 0. π 3. ∫ dx. 2.. 45.. π sin x cos( x + ) 4. sin2 xdx ∫ cos 6 x π. 46.. 4. π 3. ∫¿ π 6. sin x+ cos x ¿3 ¿ ¿ 4 sin xdx 47. ¿ π 3. 2+sin x ¿2 ¿ ¿ sin 2 x 48. ¿ −. 0. 51.. ∫ sin 2 x . e 2 x+1 dx. π 2. ∫ x 2 cos xdx 0. π 2. 52.. 0. 50.. ∫ sin √3 x dx 0. ∫¿. ∫¿ π 2. 49.. 0. π 2. π 4. π 2. 1+sin x x e dx ∫ 1+ cos x. 3 x sin 4 x dx ∫ sin tgx+cot g 2 x. 53.. 54.. π 6. 0. π 2. 2 xdx ∫ sin 2 sin x − 5 sin x +6 0. 2. 55.. ∫ cos (ln x)dx 1. π3. ln(sin x ) dx 57. 56. ∫ 2 π 6 cos x. π 2. ∫ (2 x −1)cos 0. π 2. x dx. 58.. ∫ x sin x cos2 xdx 0. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2. π 4. 59.. ∫ xtg 2 xdx. 60.. 0. 4 4 ∫cos x(sin x  cos x)dx 0. π 2. 61.. 2. ∫ e sin x sin x cos3 xdx. 62.. 0. π 4. ∫ ln (1+ tgx ) dx 0. sin x+ 2cos x ¿2 ¿ ¿ dx 63. 64. ¿.  2. π 2. π 4.  2. ∫sin 2 x sin 7 xdx. (1− sin x)cos x ∫ (1+sin x )( 2− cos2 x) dx 0. 65.. π 2. π 2. .  2. 66.. 4sin 3 x dx ∫ 1  cos x 0. ∫¿ 0. π. 67.. ∫e. 2x. 2. sin xdx. 68.. 0. 71.. ∫ cos 5 x .cos 3 xdx. π 4. ∫ sin 7 x . sin 2 xdx. 69.. π − 2. 70.. π − 2. ∫ sin 2x cos xdx 0. π 4. ∫ sin2 xdx 0. /2. 72.. sin x dx ∫ 3  cos2x 0. 5π/4. 73.. ∫ π. sin x −cos x dx √ 1+ sin2 x.  /3. 74..  /4. 2 ∫sin x.tan x.dx 0. 75.. dx I∫ 4 cos x 0.  /4. 76.. dx I∫ 4 sin x 0. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b. ∫ R(x , f ( x ))dx. Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:. a. a − x ) §Æt x = a cos2t, t [0; π ] 2 a+ x +) R(x, √ a2 − x 2 ) §Æt x = |a|sin t hoÆc x = |a|cos t +) R(x, n ax+ b ) §Æt t = n ax+ b cx+ d cx+ d 1 +) R(x, f(x)) = Víi ( αx2 + βx +γ )’ = k(ax+b) (ax +b) √ αx 2+ βx+ γ 1 Khi đó đặt t = √ αx 2 + βx+ γ , hoặc đặt t = ax+ b π π +) R(x, √ a2 + x 2 ) §Æt x = |a| tgt , t [− ; ] 2 2 ¿ | a| 2 2 +) R(x, √ x −a ) §Æt x = , t [0; π ]{ π 2 cos x ¿. +) R(x,.  +) R. n1. √ √. √. n. n. x ; 2 x ;...; i x §Æt x = tk.  Gäi k = BCNH(n ; n ; ...; n ) 1. 2. i. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1.. 1 2. √2. 2 √3. ∫ dx 2 √5 x √ x +4. 2.. ∫ dx 2 2 x √ x −1. 3.. ∫ dx 1 − 2. √3. 4.. (2 x+ 3) √ 4 x 2 +12 x +5. 2. ∫ dx 3 1 x √ x +1 2. 2. 5.. ∫ √ x 2+2008 dx. 6.. 1. ∫ dx 2 1 √ x +2008. 1− x 2 ¿3 ¿ ¿ 8. √¿. 1. 7.. ∫ x 2 √1+ x 2 dx. 1. 0. ∫¿ 0. 2 3. 1− x ¿ ¿ ¿ √¿ dx 12. ¿. 2 3. √2. √3. 2 9. ∫ x +1 dx 2 2 1 x √ x +1. 10.. 2. ∫ 0. √. 1+ x dx 1−x. 1+ x ¿ ¿ ¿ √¿ 11. dx ¿. √2. 1. 2. ∫¿. ∫¿. 0. √2. 1. 13.. ∫ √ 1+ x 2 dx. 14.. 0. 2. ∫ 0. π 2. x 2 dx √1 − x 2. 15.. 0. π 2. xdx ∫ cos √7 +cos 2 x. 16.. 0. ∫ sin x √cos x −cos 2 x dx 0. 17.. π 2. ∫ 0. 3. cos xdx. 18.. √ 2+ cos. 2. x. π 2. √7. 2 x+sin x dx ∫ sin 0 √ 1+3 cos x. 19.. x 3 dx ∫3 2 0 √ 1+ x. 20.. ∫ x 3 √10 − x 2 dx 0. 1. 1. 21.. 7. x3 dx 22. ∫ 2 0 x+ √ x +1. ∫ xdx 0 √ 2 x +1. 1. 23.. ∫ dx √ 2 x +1+1. 24.. 2. ∫ x 15 √ 1+3 x 8 dx 0. 25.. π 2. 26.. 6. ∫ √ 1− cos3 x sin x cos5 xdx 0. ln 2. ∫ 0. ln 3. ∫ dx x 0 √ e +1. 27.. 1. ∫ dx −1. 28. 2. 1+ x + √ x +1. 2x. e dx √e x +1 1. ∫ √ 12 x − 4 x 2 −8 dx. 29.. 5 4. e. 30.. ∫ 1. 0. 33.. 2x. 3. ∫ x (e + √ x +1)dx −1. √1+3 ln x ln x dx x. ln 3. 2. 34. ∫ ln x dx ln 2 x √ ln x+1. √3. 31.. x5 + x 3 dx ∫ 2 0 √ 1+ x. 4. 32.. ∫ √ x 3 − 2 x 2 + x dx 0. cos 2 x +2 √ 3 tgx 35. cos2 x dx ∫ cos 2 x 0 π 3. √. 36.. e x +1 ¿3 ¿ ¿ √¿ e x dx ¿ ln 2. ∫¿ 0. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 37.. π 3. xdx ∫ cos 0 √ 2+ cos 2 x. 38.. π 2. 7. ∫ cos xdx 2 0 √ 1+ cos x. 2a. ∫ 3x+2 dx 0 √ x +3. 39.. 40.. ∫ √ x 2+ a2 dx 0. VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a. Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:. a. ∫ f (x) dx=∫[ f (x)+ f (− x )]dx −a. 0. 3 π 3π VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [] tháa m·n f(x) + f(-x) = ; 2 2 3π 2. TÝnh:. ∫. √ 2− 2cos 2 x ,. 1. f ( x)dx. x 4 + sin x ∫ 1+ x 2 dx −1. +) TÝnh. 3π − 2. a. ∫ f ( x)dx. Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: 1. ∫ ln( x +√ 1+ x 2)dx. VÝ dô: TÝnh:. = 0.. −a π 2. ∫ cos x ln(x +√ 1+ x 2)dx. −1. −. π 2. a. Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:. a. ∫ f ( x)dx. =2. −a.  2 1. 0. x  cos x dx 4  sin 2 x. ∫. |x|dx. ∫ x 4 − x 2 +1 −1. . VÝ dô: TÝnh.  2. a. a. f (x). ∫ 1+ b x dx=∫ f ( x ) dx. Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:. −a 3. VÝ dô: TÝnh:. dx ∫ x1++1 2x. VÝ dô: TÝnh. b>0, ∀ a). x cos 5 x dx ∫ sin x sin3 1+e x. −3. π 2. (1. 0. π 2. 2. Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;. ∫ f ( x)dx. −. π 2. π 2. π ], th× 2. π 2. ∫ f (sin x)=∫ f ( cos x)dx 0. 0. π 2. 2009. x dx ∫ sin 2009 sin x +cos 2009 x. x dx ∫ √ sin√xsin + √ cos x. 0. 0. π. π. Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫ xf (sin x)dx= π ∫ f ( sin x ) dx 2 0 0 π. b. Bµi to¸n 6:. π. x dx ∫ 1+ sin x 0. VÝ dô: TÝnh. x sin x dx ∫ 2+cos x. b. ∫ f (a+ b − x) dx=∫ f ( x) dx a. ⇒. a. π. VÝ dô: TÝnh. 0 b. b. x dx ∫ 1+x sin cos2 x 0. ∫ f (b − x )dx=∫ f ( x )dx 0. 0. π 4. ∫ sin 4 x ln (1+ tgx ) dx 0. Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a+T. T. ∫ f ( x) dx=∫ f ( x)dx a. VÝ dô: TÝnh. 0 2008π. nT. ⇒. T. ∫ f ( x )dx=n∫ f ( x)dx 0. 0. ∫ √ 1− cos 2 x dx 0. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN C¸c bµi tËp ¸p dông: 1. 1.. ∫ √1 − x −1. x. 1+2. π 4. 2. 1. 7 5 3 2. ∫ x −4 x + x − x+1 dx π cos x −. dx. 3.. ∫ dx (1+e x )(1+ x2 ). 4.. −1. 4. π 2. x dx ∫ 4x+− cos 2 sin x. −. π 2. tga. sin x+nx sin(¿)dx. 1 2. 5.. x )dx ∫ cos 2 x ln( 1− 1+ x. π2. 2π. 1 − 2. ∫¿. 6.. 7.. ∫. 5. x dx ∫ sin √1+ cos x. −π2. cot ga. xdx  1  x2. 1 e. 8.. dx x (1  x 2 ). ∫ 1 e. (tga>0). 0. VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3. 1.. 2. ∫|x 2 − 1| dx. ∫|x 2 − 4 x +3|dx. 2.. −3. 5.. ∫ √1 −sin x dx. 6.. ∫ (|x+2|−|x − 2|)dx −2. 13. 17.. ∫( x  2  x  2 )dx. 3. 2. ∫ 0. π 4. ∫ √1+cos x dx 0. 4. 11.. 3. ∫ cos x √ cos x − cos −. ∫x 14.. − 4| dx. 0. 2. 5. x. 2. . 1 2. x dx. 12.. π 2. 1  2dx x2. 3. 15.. x ∫2  4dx 0. π 2. 2π. 8.. π 3. ∫|2. 10.. −. ∫ |sin 2 x|dx. 7.. π 6. 3. ∫ |sin x|dx. 4.. 3π 4. ∫ √ tg2 x+ cot g 2 x − 2 dx. 5. ∫ x| x − m|dx 0. π 3. −π. 9.. 3.. 0. π. π 2. 1. ∫x. 2.  3x  2dx. 1. . 16.. ∫ 1  cos2xdx 0. 2. 1  sin xdx 18.. ∫|x 2 − x|dx 0. VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG VAØ THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY 1. Tính dieän tích hình phaúng: Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x; 2 2 c) y = x - 2x + 2, y = -x - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x; e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2; g) y = x3 - 12x, y = x2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6. 2x 2  10x  12 x 2 Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 0.  x2  x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x  1 và trục hoành. Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 + 3x2, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thị hàm số y = x 3 - 3x + 1 và đường thaúng x = -1. 2x  1 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị của hàm số y = x  1 .. 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e x, y = 2 và đường thẳng x = 1. Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin2x với x  [0; ]. Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2 ], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2. Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x; 1 c) y = , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1. e− 2 x Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 1 tại điểm (-1; -2). b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tieáp tuyeán taïi ñænh cuûa parabol (P) vaø truïc tung. 1 c) y = x3 - 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = . 2 2. Theå tích vaät theå troøn xoay: Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh truïc Ox. a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1. Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox: a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = 0. Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox: a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = 8 vaø x = 3. Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x 2 + 1, x = 0 và tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) khi quay quanh truïc Ox. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2. 2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2. 3) y = -x2 + 4x, y = 0. 4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4. 5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3. 1 2 1 2 x ,y= x + 3x. 6) y = 4 2 7) y = x, y = 0, y = 4 - x. 1 2 8 x ,y= 8) y = x2, y = . 8 x 9) y = |x 2 − 3 x +2| , y = 2. 10) y = |x 2 − 4 x +3| , y = x + 3. 11) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1. 13) (P): y = -x2 + 4x - 3 vaø caùc tieáp tuyeán cuûa (P) taïi caùc ñieåm M1(0; -3), M2(3; 0). 5 14) (P): y = -x2 + 4x vaø caùc tieáp tuyeán cuûa (P) ñi qua ñieåm A( ; 6). 2 π 15) y = tgx, y = 0, x = 0, x = . 4 1 16) y = lnx, y = 0, x = , x = e. e 2 1 x 17) y = ,y= 2 . 2 1+ x 18) y = - √ 4 − x2 , x2 + 3y = 0.. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN x2 x2 ,y= . 4 √2 4 20) y = x √ 1+ x 2 , x = 0, x = 1. 1 x 21) y = − 2 x , y = e , x = 1. e 22) y2 = 2x, y = x, y = 0, y = 3. 23) y2 = 2x + 1, y = x - 1. 24) y = √ x , x + y - 2 = 0. Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh truïc Ox. π 2) y = tgx, y = 0, x = 0, x = , quay xung quanh truïc Ox. 4 4 3) y = , y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh truïc Ox. x 4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh truïc Ox. x3 5) y = , y = x2, quay xung quanh truïc Ox. 3 6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh truïc Ox. 7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh truïc Ox. 8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh truïc Ox. 9) y = x √ ln (1+ x 3) , y = 0, x = 1, quay xung quanh truïc Ox. 19) y =. √. 4−. x. 1. 10) y = e 2 x 2 , y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh truïc Ox. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trờn có diện tích nhỏ nhất. Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau. ¿ x − x3 o≤ x≤1 Bài 3: Xác định m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi có hai phần diện tích bằng nhau. y=0 ¿ y ={ { ¿ Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới hạn bởi x2+y2 = 8 Thành hai phần. Tính diện tích mỗi phần. ¿ 2 x +2 ax +3 a2 y= 1+ a4 Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Tìm a để diện tích là lớn nhất a2 − ax y= 4 1+ a ¿{ ¿ Bài 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:. 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  3x  1  y 2   x x 1 y  4    4  y 0 2   2 y  x  4x  3  x 0  y  x    y x  3  4 2  1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3):  2 y 2  x  5 0 y x  y  x    2 x  y 2 x  y  3 0 4) (H4):  5) (H5):  y 2  x 6) (H6):  ln x  y  2 x  3 3  y 0 2 y x  x  x e  y x 2  2x 2 2    2  y x y  x  4x 7) (H7): x 1 8) (H8) :  9) (H9):  ¿ ¿ (C): y= x (C): y=e x √ 2 y  2y  x 0 (d ): y =2− x (d): y=2  x  y 0 (Ox) 10) (H10):  11) 12) ( Δ): x =1 ¿{{ ¿{{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ y= √x y 2=2 x+1 y=− √ 4 − x 2 x+ y − 2=0 13) 14) 15) y=x − 1 x 2+3 y =0 y=0 ¿{ ¿{ ¿{{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x2 ¿ y= y=ln x , y=0 2 y 2=2 x 1 x= , x =e 1 16 17 y=x , y=0 , y=3 18) y= e ¿{ 1+ x 2 ¿{ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ 1 1 y= 2 ; y= 2 sin x cos x 19. 20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6) π π x= ; x= 6 3 ¿{ ¿ ¿ y =x ¿ ¿ 1 y =− x 2+ 6 x −5 y=x 2 − 4 x +5 y= 2 x y=−2 x+ 4 21) 22) y=− x + 4 x − 3 23) y=0 y=4 x −11 y=3 x − 15 x =e ¿{{ ¿{{ ¿ ¿{{{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ y=x 2 − 1/❑ y=− 3 x 2 − x /+ 2 y=− 3 x 2 − x /+ 2 24) 25) 26) y=x /+5 y =0 y =0 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿. 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 27). 30). 33). 36). 38). 41). 44). ¿ y=x 2 +2 y =4 − x ¿{ ¿ ¿ y=x 3 y=0 x=−2 ; x=1 ¿{{ ¿ ¿ y=x 2 +2 x y =x+ 2 ¿{ ¿ ¿ y=2 x 2 y=x 2 − 2 x −1 y=2 ¿{{ ¿ ¿ 2 y=x − 5 x+6 /❑ y=x +1 ¿{ ¿ ¿ y=e Ï y=e− x x=1 ¿{{ ¿ ¿ y =2 x 2 y=x 2 − 4 x − 4 y=8 ¿{{ ¿. 28). 31). 34). 37). 39). 42). 45). 2. 47). x+ 1¿ ¿ x=sin πy ¿ ¿ y =¿ ¿. √. y= 4 −. x2 4. x2 4 √2 ¿{ ¿. y=. 34). 48). ¿ y=x 2 − 2 x +2 y=x 2 +4 x +5 y =1 ¿{{ ¿ ¿ y=sin x −2 cos x y =3 x=0 ; x=π ¿ {{ ¿ ¿ y=2 x 2 −2 x y=x 2 +3 x −6 x=0 ; x=4 ¿{{ ¿ ¿ y=x 2 − 3 x+2 /❑ y =2 ¿{ ¿ ¿ 2 y=x − 3 x+2 /❑ y=− x 2 ¿{ ¿ ¿ x2 y= 2 6 √x −x x=0 ; x=1 ¿{ ¿ ¿ y 2 =2 x 2 x +2 y +1=0 y=0 ¿{{ ¿ ¿ 2 y =x − 1/❑ x=2 ¿{ ¿. 29). 32). 35). ¿ y=x 2 − 1/❑ y=− x 2+7 ¿{ ¿ ¿ 2 y=x +3+ x y=0 ¿{ ¿ ¿ y=x 2 − 5 x+6 /❑ y =6 ¿{ ¿. 40). ¿ y=x − 4 x +3 /❑ y=3 ¿{ ¿. 43). ¿ y=sin/ x /❑ y=x /− π ¿{ ¿. 2.  y 2  x 2 (a 2  x 2 )  a 0 46) . 49). ¿ 2 x= y − 1/❑ x=2 ¿{ ¿. 32). y +1 ¿2 ¿ y=sin x 33) ¿ x=0 ¿ x=¿. ¿ x =0 ; 1 x= √2 x y= ; y=0 √ 1− x 4 ¿{{ ¿. 1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ¿ 2 ¿ y=x 3 ¿ 4 − x ¿ y=/log x /❑ ¿ x− 2 x2 y=5 2 ¿ y=0 y =6 x y= 2 y=0 27 35) 36) x 2+ y 2 =16 37) 38) y =4 x 39) 1 x= , x=10 x=0 ; y=3 − x ¿ 27 10 y= ¿ { ¿ ¿{{ x 2 ¿ ¿{{ y =¿ ¿ ¿{{ ¿ ¿ 2 ¿ y =2 x ¿ y=x x −1 ¿2 ax= y 2 2 ¿ 40) ay=x 2 (a>0) 41) y=sin x + x 42) ¿ 0≤x ≤π ¿{ ¿{ ¿ { { ¿ 27 y 2=8 ¿ ¿ 43) x2/25+y2/9 = 1 với hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất ¿ y=x 3 − 2 x 2 + 4 x −3 45) y =0 ¿{ ¿. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức:. y x a. O. a. x b (C ) : y  f ( x ). y 0. b. b. x. y b x 0. y b (C ) : x  f ( y ) y a. a. x. O. 2. V =π ∫ [ f (x ) ] dx a. b. 2. V =π ∫ [ f ( y) ] dy a. Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x; y 2  x; y 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy 2 Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x  2) và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy 2 2 Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4  x ; y  x  2 . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1 x2 y  2 ;y  x 1 2 Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox. 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y =. 1 2. x 2. x . e ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x √ ln (1+ x 3) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 2 x − 2¿ ¿ 1) y=4 quay quanh trục a) 0x; b) 0y ¿ ¿ y=¿ ¿ y=x 2 , y =4 x 2 2) quay quanh trục a) 0x; b) 0y y=4 ¿{ ¿ ¿ 1 y= 2 x +1 3) quay quanh trục a) 0x; b) 0y y=0 , x=0 , x=1 ¿{ ¿ ¿ y=2 x − x2 4) quay quanh trục a) 0x; b) 0y y=0 ¿{ ¿ ¿ y=x . ln x y =0 5) quay quanh trục a) 0x; x=1 ; x =e ¿ {{ ¿ ¿ y=x 2 (x> 0) 6) (D) y=− 3 x +10 quay quanh trục a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2 y=1 ¿{{ ¿ ¿ y =x2 7) y=√ x quay quanh trục a) 0x; ¿{ ¿ 8) Miền trong hình tròn (x - 4)2 + y2 = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y x2 y2 9) Miền trong (E): quay quanh trục a) 0x; b) 0y + =1 9 4 ¿ y=xe Ï y=0 10) quay quanh trục 0x; x=1 ,;0 ≤ x ≤1 ¿{{ ¿. 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ¿ y=√ cos 4 x+ sin4 x y =0 11) quay quanh trục 0x; π x= ; x=π 2 ¿ {{ ¿ ¿ y =x 2 12) y=10 −3 x quay quanh trục 0x; ¿{ ¿ 13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kình R = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y 4 x−4 14) x=0 ; x=2 quay quanh trục 0x; y= ❑ ❑ { ¿ y =√ x −1 y=2 15) quay quanh trục a) 0x; b) 0y x=0 ; y=0 ¿{{ ¿. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>