De thi chon HSG lop 8 nam hoc 1213

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót. (7). Bµi 1: a/ Cho x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx= 0 vµ x + y +z= -1 xy zx yz   TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= z y x 5 5 3 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x  y 2 x y .. 1. 1 xy lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû.. Chøng minh H = Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 x 2  y 2 4 . b/ T×m x, y tho¶ m·n. 1 1  2 2 x y. 2 2 Bµi 3: a/ Cm biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y M= x  5 y  2 xy  6 x  18 y  50. x b/Gi¶i ph¬ng tr×nh . 2. 3. 3.  4   7 x  10   x 2  7 x  6. . . . 3. Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N. Qua E vẽ đờng th¼ng song song víi AM c¾t BC vµ BA t¹i K vµ H. NB BC  1 b/ Chøng minh NE BA. a/ Chøng minh KE + KH = 2AM. c/ Ph©n gi¸c AD cña ABC c¾t BE tai I, gäi G lµ träng t©m ABC . Chøng minh nÕu AB+ AC= 2BC th× IG//BC. Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Bµi 1: a/ Cho x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx=0 vµ x + y +z = - 1 xy zx yz   z y x TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= 5 5 3 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x  y 2 x y .. 1. 1 xy lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû.. Chøng minh H = Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 x 2  y 2 4 . b/ T×m x, y tho¶ m·n. 1 1  2 2 x y. 2 2 Bµi 3: a/ Cm biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y M= x  5 y  2 xy  6 x  18 y  50. x b/Gi¶i ph¬ng tr×nh . 2. 3. 3.  4   7 x  10   x 2  7 x  6. . . . 3. Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N. Qua E vẽ đờng th¼ng song song víi AM c¾t BC vµ BA t¹i K vµ H. a/ Chøng minh KE + KH = 2AM. NB BC  1 b/ Chøng minh NE BA. c/ Ph©n gi¸c AD cña ABC c¾t BE tai I, gäi G lµ träng t©m ABC . Chøng minh nÕu AB + AC= 2BC th× IG//BC.. Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010. (7).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Híng dÉn chÊm To¸n líp 8 Bµi 1: (2,5 ®iÓm) C©u a=1,5 ® ; c©u b=1 ® 1 1 1   0 x y z  a/ V× x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx=0 (0,25 ®)  1 1 1  xy zx yz    2 2 2 Nªn M= z y x = xyz  x y z  (0,25 ®)   1 1 1 2 2  xyz        x  y  z  x y z  xyz  =  (0,5 ®)   2 2  0  xyz ( 1)   xyz. xyz 2  =xyz  (0,5 ®) 5 5 3 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x  y 2 x y. 1. nªn ta cã. x5  y 5 ( x5  y 5 ) 2  1  2 x3 y3 4 x 6 y 6 (0,25 ®). . x5  y 5 1 1 6 6 vËy H = xy = 4 x y. . 2.  x5  y 5  1  ...  3 3  xy  2x y . 2. lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû. Bµi 2: (2 ®iÓm) mçi c©u 1 ®iÓm a/Ta cã G(x)= x2010 + x3 + ax2 + x + b= (x2010 - 1)+(x3- 1)+ ax2 + x + b+ 2 V× x2010 - 1 = (x- 1) (x2+ x +1)Q(x) vµ x3- 1=(x- 1) (x2+ x + 1) chia hÕt cho x2+ x + 1 nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x2 + x + 1 Th× ax2 + x + b+ 2 chia hÕt cho ®a thøc H(x)= x2+ x +1 (0,25 ®) Ta có ax2 + x + b+ 2 chia cho H(x)=x2+ x + 1 đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a Vậy để ax2 + x + b chia hết cho H(x)=x2+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= 0 với mọi x Nªn 1- a= 0 vµ b+ 2- a= 0  a 1 vµ b= -1 (0,5 ®) 1 1 1 1 2 2 x  y 4  2  2  ( x  2  2 )  ( y  2  2 ) 0  x y x y b/ Ta cã   x 1    y 1 2   x 1  1 1   x   0  x  0  2 x   y  1 x    x 1   2   2  y 1   x  1 1   y  1 0 y   0  y     y 1  y     x  1   y  1   2. 2. nªn ta cã. 2. 2. 1  1   x     y   0 x  y  (0,5 ®). (0,5 ®). Bµi 3: (2,5 ®iÓm) C©u a =1 ®; c©u b =1,5 ® a/ Chøng minh biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y 2 2 2 2 2 Ta cã M= x  5 y  2 xy  6 x  18 y  50 = x  2 xy  6 x  y  6 y  9  4 y  12 y  9  32 (0,25 ®).  x 2  2 x  y  3   y  3 2    2 y  3 2  32  = (0,5 ®). = x . x. 2. 2. 2. y  2    2 y  3  32  0 3. 3. víi mäi gi¸ trÞ cña x, y v×... (0,25 ®) 3. 3. 3. 3.  4   7 x  10   x 2  7 x  6  x 2  7 x  6   7 x  10    4  x  0. . . . . . b/Ta cã (0,25 ®) đặt x2 -7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x2=c ta có a+b+c=0 và a3 + b3 +c3=0 Ta chứng minh đợc a3 + b3 +c3=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 hoặc b=0; c=0 (0,5 đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 10 ; x 2 xét các khả năng ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x= 7 (0,75 ®). Bài 4: (3 điểm) mỗi câu đúng cho 1 điểm. KE KC KC KH BK KE KH   ;    ... 2  KE  KH 2 AM a/v× KH//AM nªn ta cã AM MC MB AM MB AM MA b/ Trªn tia AM lÊy F sao cho MA=MF ta cã tø gi¸c ACFB lµ h×nh b×nh hµnh nªn BF AC. NB BF AC BC EC NB BC      ... 1 Nªn ta cã NE AE AE . Ta cã BE lµ ph©n gi¸c nªn ta cã BA EA NE BA NB MB MC AC BC EC NB BC       ... 1 HoÆc chøng minh c¸ch kh¸c: Ta cã NE MK MK AE ; BA EA NE BA BC AB BC AB AB   2 BC 2 ( v× AB+AC=2BC ). Ta cã BI lµ ph©n gi¸c nªn ta c/ Ta tính đợc BD= AB  AC BA GM 1 ID GM ID BD 1   2      IG // BC cã IA BA BA 2 . V× G lµ träng t©m ABC nªn GA 2 IA GA. M¤N : TO¸N 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) §Ò CHÝNH THøC: (§Ò nµy gåm cã 1 trang). Bµi 1:(2,0 ®iÓm). K× THI HäC SINH GIáI LíP 8 N¨m häc: 2011 - 2012. 1. T×m hai sè tù nhiªn a, b sao cho a  b 128 vµ ¦CLN(a,b)=16..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. T×m sè nguyªn tè p sao cho p  10; p  14 còng lµ nguyªn tè. Bµi 2:(2,0 ®iÓm) 2 2 2 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a. 6.x  12 xy  54z  6 y. 20 b. x  x  1. 3 2 f ( x )  x  a . x  b.x  c . Xác định các hệ số a, b, c biết rằng f ( x ) 2. Cho ®a thøc bËc 3 , 2 chia hÕt cho x  2 , f ( x ) chia cho x  1 th× d 2x .. Bµi 3: (2,0 ®iÓm)  x x 3  8 x 2  2 x  4  1 x 2  3.x  2 P   3 . . : x  2 x 8 x2  4  x  2 x2  x 1  1. Cho biÓu thøc tìm x để p  0 .. 2.. Cho. a, b  0 và a  b 1 , chøng minh r»ng. a 4  b4 . 1 8. Bµi 4: (4,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB=8cm, AD=6cm kÎ BH  AC, H  AC , gäi M, N, E, F lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña AD, BC, AH vµ BH. a. TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABHD. b. Chøng minh CF  EB ..    DC c. Trên tia đối của tia lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m QNM MNP .. §Ò CHÝNH THøC: (§Ò nµy gåm cã 1 trang). Bµi 1:(2,0 ®iÓm). 3. T×m hai sè tù nhiªn a, b sao cho a  b 128 vµ ¦CLN(a,b)=16.. 4. T×m sè nguyªn tè p sao cho p  10; p  14 còng lµ nguyªn tè. Bµi 2:(2,0 ®iÓm). 2 2 2 20 6. x  12 xy  54z  6 y 3. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a. b. x  x  1 3 2 f ( x )  x  a . x  b.x  c . Xác định các hệ số a, b, c biết rằng f ( x ) 4. Cho ®a thøc bËc 3 , 2 chia hÕt cho x  2 , f ( x ) chia cho x  1 th× d 2x .. Bµi 3: (2,0 ®iÓm).  x x 3  8 x 2  2 x  4  1 x 2  3.x  2 P   3 . . : x  2 x 8 x2  4  x  2 x2  x 1  3. Cho biÓu thøc tìm x để p  0 .. 4.. Cho. a, b  0 và a  b 1 , chøng minh r»ng. a 4  b4 . 1 8. Bµi 4: (4,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB=8cm, AD=6cm kÎ BH  AC, H  AC , gäi M, N, E, F lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña AD, BC, AH vµ BH. a. TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABHD. b. Chøng minh CF  EB ..    c. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m QNM MNP .. Bµi 1. (2.0®) 1. (1.0®). H¦íNG DÉN V¾N T¾T §¸P ¸N Vµ BIÓU §IÓM M¤N TO¸N HSG LíP 8  a1; b1   1 a 16a1 và b 16b1 a  b  a1 , b1  N gi¶ sö. ;. a  b 8 Thay vào a  b 128 ta đợc 1 1 Suy ra. a1 1; b1 7 hoÆc a1 3; b1 5. , ¦C. để. 0.25® 0.25® 0.25®.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> VËy a 16; b 112 hoÆc a 48; b 80 nÕu p 2 (p nguyªn tè) p  10 12 kh«ng ngtè (lo¹i). 2.(1,0®). Bµi 2. ( 2.0®). 0.25®. NÕu p 3 (nguyªn tè)  p  10 13; P  14 17 nguyªn tè NÕu p  3; k  N suy ra p cã d¹ng p 3k  1; p 3k  2. 0.25®. Khi p 3k  1  p  14 3k  15 3(k  5) chia hÕt cho 3 (lo¹i). 0.5®. Khi p 3k  2  p  10 3k  12 3(k  5) chia hÕt cho 3 (lo¹i) VËy p=3. 0.25®. 2. 2. 2. 1. (1.0®) a. 6.x  12 xy  54z  6 y ....... 6( x  y  3z)( x  y  3z) b.. 0.5®. x 20  x 1 x 20  x 2  x 2  x  1 ......... ( x 2  x  1)  x 2 ( x9  1)( x  1)( x 6  x 3  1)  1. 2.(1.0®) v× f ( x)  ( x  2) nªn f (2) 0  8  4a  2b  c 0(1). 0.5® 0.25®. f ( x ) chia cho x 2  1 d 2x nªn f ( x)  2 x  ( x 2  1) f (1)  2 0  a  b  c 1 (2). 0.25®. f ( 1)  2 0  a  b  c  1 (3)  10 10 a ; b 1 và c  3 3 ; Kết luận đúng Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra. 0.5®. Bµi 3. (2.0®).  x x3  8 x 2  2 x  4  1 x 2  3.x  2  4( x  1) P   3 . : . 2 ...  2  2 x  4  x  2 x  x 1 x  x 1  x  2 x 8 1. 1.(1.0®) (§K x 2 ). 0.5®. 2. 1 3  x  x  1  x    0 2 4  NhËn xÐt víi mäi x Đề p >0   4( x  1)  0  x  1 ; Kết luận đúng. x  1 và x 2 2. 0.5®. 2. (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần. a 2  b2  2. 2. a 2b 2  a 2  b2  2ab  2  a 2  b2    a  b   a 2  b2 . 1 2. 0.5®. 2. 4. a b Bµi 4. (4.0®). 4. a . 2.  b2  2. 2. 1   1 2 4 4  a  b     a 4  b4  2 8. Vễ hình đúng a. (1.25đ) chứng minh đợc ABH. CAB. 24 32 cm; AH  cm 5 5 Tính đợc kÎ DK  AC, K  AC BH . Chứng minh đợc DK BH. 1 1 24 32 768 SABHD SABH  SADH  AH.BH  DK.AH AH.BH  .  (cm 2 ) 2 2 5 5 25 Tính đợc. 0.5® 0.5® 0,25® 0,25® 0.25®. 0.5®. Kết luận đúng b. (0.75đ) Chứng minh đợc EF  BC Chỉ ra đợc F là trực tâm của BEC Kết luận đợc CF  BE c. (1.5đ) gọi O là giao điểm của MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN t¹i I.. QM QO  Chỉ ra đợc Vì MO song song với PC nên PM OC QO QI  T¬ng tù IO song song víi NC nªn OC IN. 0.75®. 0.25® 0.25®.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> QM QI  Nêu đợc PM IN suy ra MI song song với PN   NMI MNP Chỉ ra đợc. (so le trong). 0.25®.   Chứng minh đợc MIN cân tại I; suy ra NMI INM. 0.25®.   Kết luận đợc QNM MNP. 0.25®. Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó. Điểm số đợc làm tròn theo quy định. (h×nh vÏ). 0.25®.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>