Đề 6

ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC TỐT NGHIỆP THPT
BÀI THI: TỐN
Thời gian: 90 phút

Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đơi một khác nhau?
B. 310 .

A. C103 .
Câu 2:

Cho cấp số cộng  un  , biết u1  6 và u3  2 . Giá trị của u8 bằng
A. 8 .

Câu 3:

D. 9.A92 .

C. A103 .

D. 22 .

C. 34 .

B. 22 .

Cho hàmsố y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  ;   , có bảng biến thiên như hình
sau:

x



f ' x
f  x

1



0

0



0

+





1

0

+




4

1

1

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;0  .

B.  0;1 .

.

C.  1; 4  .
Câu 4:

D. 1;  .

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

x



f ' x

0

+

0

f  x



3
-

0

+



2

5



Hàmsố f  x  đạt cực đại tại điểm
A. x  2 .
Câu 5:

B. x  5 .

Cho hàmsố y  f  x  liên tục trên


x

f ' x





3
0

C. x  3 .

D. x  0 .

và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

1





4



0


0



.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 1 .
B. 0 .
Câu 6:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

C. 2 .

D. 3 .

5x  3
là
2x 1

Trang 1


Câu 7:

Đồ thị của hàm số y 
A. 2 .

Câu 9:


D. 1 .

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên:

A. y = - x3 + 3x + 2 .
Câu 8:

C. 2 .

B. 0 .

A. 3 .

B. y = x 4 - x 2 + 2 .

C. y = - x 2 + x - 2 .

D. y = x3 - 3x + 2 .

x 3
cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng
2x 1
1
B. .
C. 3 .
D. 3 .
2

 125 
Với a là số thực dương tùy ý, log 5 

 bằng
 a 

A. 3  log5 a .

C.  log5 a  .

D. 3  log5 a .

C. x.ln 2 .

D. 2 x.ln 2 .

3

B. 3log 5 a .

Câu 10: Với x  0 , đạo hàm của hàm số y  log 2 x là
A.

x
.
ln 2

B.

1
.
x.ln 2


Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý ,

4

a 7 bằng

4

A. a 28 .

1

7

B. a 7 .

D. a 28 .

C. a 4 .

Câu 12: Nghiệm dương của phương trình 7 x 1  16807 là
A. x  2 .
B. x  2; x  2 .
C. x  2 .
2

D. x  4 .

Câu 13: Nghiệm của phương trình log 2  x  3  3 là:
A. x  11 .


C. x  3  3 .

B. x  12 .

D. x  3  3 2 .

Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f ( x)  5 x 4  2 là:

 f  x  dx  x
C.  f  x  dx  x
A.

3

 x C .

5

 2x  C .

 f  x  dx  x
D.  f  x  dx  x
B.

5

 xC .

5


 2x  C .

Câu 15: Cho hàm số f  x   sin 2 x . Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

1

 f  x  dx  2 cos 2 x  C .

B.

1

 f  x  dx   2 cos 2 x  C .

D.  f  x  dx  2cos 2 x  C .
 f  x  dx  2cos 2x  C .
Nếu  f  x  dx  3 và  f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng
C.

Câu 16:

2

1

A. 4 .

3


1

B. 4 .

3

2

C. 2 .

D. 3 .
Trang 2


Câu 17: Tích phân
A.

 x  x  2  dx
2

1

15
.
3

bằng
B.


16
.
3

C.

7
.
4

D.

15
.
4

Câu 18: Số phức liên hợp của số phức z  2  3i là:
A. z  3  2i .

B. z  2  3i .
C. z  3  2i .
Câu 19: Cho hai số phức z  2  3i và w  5  i . Số phức z  iw bằng

D. z  2  3i .

A. 3  8i
B. 1  8i
C. 8  i
D. 7  4i
Câu 20: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9  5i có tọa độ là

A.  5; 9  .

B.  5;9  .

C.  9; 5 .

D.  9;5 .

Câu 21: Một khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5. Chiều cao của khối chóp đó bằng
A. 54 .
B. 18 .
C. 15 .
Câu 22: Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng
A. 35 .

B. 280 .

D. 450 .

C. 40 .

D. 56 .

Câu 23: Một khối nón trịn xoay có chiều cao h  6 cm và bán kính đáy r  5 cm . Khi đó thể tích khối
nón là:
325
 cm3 .
A. V  300 cm3 .
B. V  20 cm3 .
C. V 

D. V  50 cm3 .
3
Câu 24: Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l  6 cm và bán kính đường trịn đáy là r  5 cm .
Diện tích tồn phần của khối trụ là
B. 85 cm2 .

A. 110 cm 2

C. 55 cm 2

D. 30 cm 2

Câu 25: Trong không gian Oxyz cho điểm A thỏa mãn OA  2i  j với i, j là hai vectơ đơn vị trên hai
trục Ox , Oy . Tọa độ điểm A là
A. A  2;1;0  .

B. A  0; 2;1 .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ

C. A  0;1;1 .
Oxyz , cho mặt cầu

D. A 1;1;1 .

S 

có phương trình:

x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  7  0 . Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  .

A. I 1;2; 2  ; R  4 .

B. I 1;2; 2  ; R  2 .

C. I  1; 2; 2  ; R  4 .

D. I  1; 2; 2  ; R  3 .

Câu 27: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  3 y  z  3  0 . Mặt phẳng  P  đi
qua điểm nào dưới đây?
A. 1;1;0 .
B.  0;1; 2 .

C.  2; 1;3 .

D. 1;1;1 .

Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  2  0 và đường thẳng d vng góc
với mặt phẳng  P  . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?
A. u2  1; 2; 2  .
Câu 29: Hàm số y 

B. u4  1; 2;3  .

C. u3   0; 2;3 .

D. u2  1; 2;3 .

C. 1; 4  .


D.  5;1 .

x7
đồng biến trên khoảng
x4

A.  ;   .

B.  6;0  .

Câu 30: Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học
sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?

Trang 3


A.

219
.
323

B.

219
.
323

C.


442
.
506

D.

443
.
506

Câu 31: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  2 x3  3x 2  12 x  2 trên đoạn  1; 2.
A. M  10 .

B. M  6 .



Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình 7  4 3
B.  ;1 .

A.  ;0  .
4

Câu 33: Cho





a1


 7  4 3 là
C.  0;   .

D. 1;  .

4

f  x  dx  10

và

2

D. M  15 .

C. M  11 .

 g  x  dx  5
2

4

. Tính I   3 f  x   5 g  x   2 x  dx
2

A. I  17.

B. I  15.


C. I  5.

D. I  10.

Câu 34: Cho số phức z  2  3i. Môđun của số phức 1  i  z bằng
A. 26.

B. 25.

C. 5.

26.

D.

Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  AD  2 2 và AA '  4 3 (tham khảo hình
bên). Góc giữa đường thẳng CA ' và mặt phẳng  ABCD  bằng

A. 60 0 .

B. 90 0 .

C. 30 0 .

D. 450 .

Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 6
(tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  bằng

A. 2 5 .


B. 2 7 .

C. 2 .

D.

7

Câu 37: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm là điểm I (2; 3;1) và đi qua điểm M  0; 1; 2  có
phương trình là:
A.  x  2    y  3   z  1  3.

B. x 2   y  1   z  2   3.

C. x 2   y  1   z  2   9.

D.  x  2    y  3   z  1  9.

2

2

2

2

2

2


2

2

2

2

Câu 38: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A  4;1; 3 và B  0; 1;1 có phương trình
tham số là:

Trang 4


 x  4  2t

A.  y  1  t .
 z  3  2t


 x  4t

B.  y  1  2t .
 z  1  4t


 x  2t

C.  y  1  t .

 z  1  2t


 x  4  4t

D.  y  1  2t .
 z  3  4t


Câu 39: Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f   x  là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của
x
hàm số g  x   f   trên đoạn  5;3 bằng
2
y

2

1

-2

x

O

A. f  2  .

B. f 1 .

C. f  4  .


D. f  2  .

Câu 40: Có bao nhiêu số tự nhiên y sao cho ứng với mỗi y có khơng q 148 số ngun x thỏa mãn

1
3  0?
y  ln x
A. 4

3x  2 

B. 5

C. 6

 x2  4x 1 , x  5
Câu 41: Cho hàm số f  x   
. Tích phân
2
x

6
,
x

5


A.


77
.
3

B.

77
.
9

C.

D. 7

ln 2

 f  3e

x

 1 .e xdx bằng

0

68
.
3

D.


77
.
6

Câu 42: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  1 ?
A. 0 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 , tam giác
SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết hai mặt phẳng  SAB  ,  SAC  tạo
với nhau góc  thỏa mãn tan  
A.

4
.
3

B.

8
.
3

3

và cạnh SC  3 . Thể tích khối S.ABCD bằng:
4
5 3
C. 3 3 .
D.
.
3

Câu 44: Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 1m2 và cạnh BC  x  m  để làm
một thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD
thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM , trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gị
thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM ; phần hình chữ nhật BCNM được cắt
ra một hình trịn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị
x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

Trang 5


A. 0,97m .

B. 1,37m .

C. 1,12m .

D. 1, 02m .

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  3;3;1 , B  0; 2;1 và mặt phẳng

 P  : x  y  z  7  0. Đường thẳng


d nằm trong  P  sao cho mọi điểm của d cách đều hai

điểm A, B có phương trình làcác mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
x  t

A.  y  7  3t .
 z  2t


 x  2t

B.  y  7  3t .
z  t


x  t

C.  y  7  3t .
 z  2t


 x  t

D.  y  7  3t .
 z  2t


Câu 46: Cho hàm số y  f  x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f  0   0. Hàm số y  f '  x  có bảng biến
thiên như sau:


Hàm số g  x   f  x 2   x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 7

Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m  1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:

m

log5 x

3



log5 m

 x  3 1 .

A. 4 .

B. 3 .
C. 5 .
D. 8 .
3
2

Câu 48: Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d và đường thẳng d : g  x   mx  n có đồ thị như
hình vẽ. Gọi S1 , S 2 , S3 lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu S1  4 thì
tỷ số

S2
bằng.
S3

Trang 6


3
1
.
B. 1 .
C. 2 .
D. .
2
2
Câu 49: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, 1  i  z2  6 và z1  z2  5 . Giá trị lớn nhất

A.

2 z1  z2  2021 bằng

B.  23  2021 .

A. 2044 .

C.


23  2021 .

D. 2 23  2021.

Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm C  1; 2;11 , H (1; 2; 1) , hình nón  N  có đường cao

CH  h và bán kính đáy là R  3 2 . Gọi M là điểm trên đoạn CH ,  C  là thiết diện của mặt
phẳng  P  vng góc với trục CH tại M của hình nón  N  . Gọi  N   là khối nón có đỉnh H
đáy là  C  . Khi thể tích khối nón  N   lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón  N   có tọa độ tâm

I  a; b, c  , bán kính là d . Giá trị a  b  c  d bằng
A. 1 .

1.D
11.C
21.A
31.D
41.B

B. 3 .

2.D
12.A
22.B
32.A
42.C

3.B
13.A

23.D
33.A
43.B

4.D
14.C
24.A
34.D
44.D

D. 6 .

C. 6 .
BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.C
15.B
16.A
25.A
26.A
35.A
36.B
45.C
46.C

7.D
17.B
27.D
37.D
47.B


8.C
18.B
28.D
38.C
48.B

9.D
19.B
29.C
39.A
49.C

10.B
20.D
30.D
40.C
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đơi một khác nhau?
A. C103 .

B. 310 .

C. A103 .

D. 9.A92 .


Lờigiải
Chọn D
Giả sử số tự nhiên cần tìm có dạng abc .
Do a  0 nên có 9 cách chọn chữ số a . Hai chữ số b và c có A92 cách chọn.
Vậy có 9.A92 số tự nhiên có ba chữ số đơi một khác nhau.
Câu 2:

Cho cấp số cộng  un  , biết u1  6 và u3  2 . Giá trị của u8 bằng

Trang 7


A. 8 .

B. 22 .

D. 22 .

C. 34 .
Lờigiải

Chọn D
Từ giả thiết u1  6 và u3  2 suy ra ta có: u2 

u1  u3
 2  d  u2  u1  2  6  4 .
2

Vậy u8  u1  7d  22 .

Câu 3:

Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  ;   , có bảng biến thiên như hình
sau:
x

f ' x
f  x

1





0

0



0

+





1

0

+



4

1

1

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;0  .

B.  0;1 .

.

C.  1; 4  .

D. 1;  .
Lờigiải

ChọnB
Từ bảng biến thiên ta thấy hàmsố nghịch biến trên khoảng  0;1 .
Câu 4:

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau


x



f ' x

0
+

0

f  x



3
-

0

+



2

5




Hàmsố f  x  đạt cực đại tại điểm
A. x  2 .

B. x  5 .

C. x  3 .
Lờigiải

D. x  0 .

Chọn D
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có
f   x   0 , x   0;3 và f   x   0 , x   3;   suy ra hàmsốđạtcựctiểutại x  3 .

f   x   0 , x    ;0  và f   x   0 , x   0;3 suy ra hàmsốđạtcựcđạitại x  0 .
Câu 5:

Cho hàmsố y  f  x  liên tục trên

x

f ' x





3
0


Số điểm cực trị của hàm số là
A. 1 .
B. 0 .

và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

1



0
C. 2 .



4



0



D. 3 .
Trang 8


Lờigiải
ChọnC
Hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 6:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
B. 0 .

A. 3 .

5x  3
là
2x 1
C. 2 .
Lờigiải

D. 1 .

ChọnC
Ta có :
3
5x  3
x  5 nên đường thẳng y  5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vì lim
 lim
x  2 x  1
x 
1 2
2
2
x
5x  3
5x  3

1
  , lim
  nên đườngthẳng x  là tiệm cân đứng của đồ thị hàm
Vì lim
1 2x 1
1 2x 1
2
x
x
5

2

2

số.
Vậy độ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận.
Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên:

A. y = - x3 + 3x + 2 .

B. y = x 4 - x 2 + 2 .

C. y = - x 2 + x - 2 .

D. y = x3 - 3x + 2 .

Lời giải

Chọn D
Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d nên loại phương án
B và C.
Dựa vào đồ thị, ta có lim y    a  0 nên loại phương án A.
x 

Câu 8:

Đồ thị của hàm số y 
A. 2 .

x 3
cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng
2x 1
1
B. .
C. 3 .
D. 3 .
2

Trang 9


Lời giải
Chọn C
Để tìm tọa độ của giao điểm với trục hoành, ta cho y  0 
Câu 9:

x 3
 0  x 3  0  x  3.

2x 1

 125 
Với a là số thực dương tùy ý, log 5 
 bằng
 a 

A. 3  log5 a .

C.  log5 a  .
3

B. 3log 5 a .

D. 3  log5 a .

Lời giải
Chọn D
 125 
Ta có: log 5 
  log 5 125  log 5 a  3  log 5 a .
 a 

Câu 10: Với x  0 , đạo hàm của hàm số y  log 2 x là
A.

x
.
ln 2


B.

1
.
x.ln 2

D. 2 x.ln 2 .

C. x.ln 2 .
Lời giải

Chọn B
Ta có: y   log 2 x  

1
.
x.ln 2

Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý ,

4

a 7 bằng

4

A. a 28 .

1


7

B. a 7 .

D. a 28 .

C. a 4 .
Lời giải

Chọn C
n

Ta có

m

a n  a m với mọi a  0 và m, n 



.

Câu 12: Nghiệm dương của phương trình 7 x 1  16807 là
A. x  2 .
B. x  2; x  2 .
C. x  2 .
Lời giải
Chọn A
2
2

x  2
Ta có 7 x 1  16807  7 x 1  75  x 2  4  0  
.
 x  2
2

D. x  4 .

Câu 13: Nghiệm của phương trình log 2  x  3  3 là:
A. x  11 .

C. x  3  3 .

B. x  12 .

D. x  3  3 2 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: log 2  x  3  3  log 2  x  3  log 2 23  x  3  23  x  11 .
Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f ( x)  5 x 4  2 là:

 f  x  dx  x
C.  f  x  dx  x
A.

3

 x C .


5

 2x  C .

 f  x  dx  x
D.  f  x  dx  x
B.

5

 xC .

5

 2x  C .

Lời giải
Chọn C
Ta có:

 f  x  dx   5x

4



 2 dx  x5  2 x  C .

Trang 10



Câu 15: Cho hàm số f  x   sin 2 x . Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?
1

1

A.

 f  x  dx  2 cos 2 x  C .

B.

 f  x  dx   2 cos 2 x  C .

C.

 f  x  dx  2cos 2x  C .

D.

 f  x  dx  2cos 2x  C .

Lời giải
Chọn C
1
Áp dụng công thức:  sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C .
a
1

 f  x  dx   sin 2 x dx   2 cos 2 x  C .


Ta có:
Câu 16: Nếu

 f  x  dx  3 và  f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng
2

3

1

3

1

2

B. 4 .

A. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có:




3

1

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
2

3

1

2



 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx



 f  x  dx  1   3  4 .

3

3

2

1


1

3

2

Câu 17: Tích phân
A.

2

 x  x  2  dx
2

1

15
.
3

bằng
B.

16
.
3

C.

7

.
4

D.

15
.
4

Lời giải
Chọn B
Ta có:



2

1

2
 x3
 2 16
x  x  2  dx   x 2  2 x dx    x 2   .
1
 3
1 3






Câu 18: Số phức liên hợp của số phức z  2  3i là:
A. z  3  2i .

B. z  2  3i .
C. z  3  2i .
Lời giải

D. z  2  3i .

Chọn B
Phương pháp: Cho số phức z  a  bi  a, b 

 . Số phức liên hợp của số phức

z là z  a  bi .

Ta có: Số phức liên hợp z của số phức z  2  3i là z  2  3i .
Câu 19: Cho hai số phức z  2  3i và w  5  i . Số phức z  iw bằng
A. 3  8i

B. 1  8i

C. 8  i

D. 7  4i

Lời giải
Chọn B
Ta có z  iw   2  3i   i  5  i   1  8i .

Câu 20: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9  5i có tọa độ là

Trang 11


A.  5; 9  .

C.  9; 5 .

B.  5;9  .

D.  9;5 .

Lời giải
Chọn D
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9  5i có tọa độ là  9;5 .
Câu 21:

Một khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5. Chiều cao của khối chóp đó
bằng
A. 54 .

B. 18 .

C. 15 .

D. 450 .

Lời giải
Chọn A.

Chiều cao đáy của khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5 là h 
Câu 22:

3V
 54 .
B

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng
A. 35 .

B. 280 .

C. 40 .

D. 56 .

Lời giải
Chọn B
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng V  a.b.c  280 .
Câu 23:

Một khối nón trịn xoay có chiều cao h  6 cm và bán kính đáy r  5 cm . Khi đó thể tích
khối nón là:
325
 cm3 .
A. V  300 cm3 .
B. V  20 cm3 .
C. V 
D. V  50 cm3 .
3

Lời giải
Chọn D
1
Thể tích khối nón: V   .52.6  50 cm3 .
3

Câu 24: Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l  6 cm và bán kính đường trịn đáy là r  5 cm .
Diện tích tồn phần của khối trụ là
A. 110 cm 2

B. 85 cm2 .

C. 55 cm 2
Lời giải

D. 30 cm 2

Chọn A

Stp  2SĐáy + SXq  2 r 2  2 rl  2 r  r  l   110 cm2
Stp  2SĐáy + SXq  2 r 2  2 rl  2 r  r  l   30 cm2
Câu 25: Trong không gian Oxyz cho điểm A thỏa mãn OA  2i  j với i, j là hai vectơ đơn vị trên hai
trục Ox , Oy . Tọa độ điểm A là
A. A  2;1;0  .

B. A  0; 2;1 .

C. A  0;1;1 .

D. A 1;1;1 .


Lời giải
Chọn A
Vì OA=2i+ j  OA=  2;1;0   A  2;1;0  .
Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho mặt cầu

S 

có phương trình:

x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  7  0 . Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  .
A. I 1;2; 2  ; R  4 .

B. I 1;2; 2  ; R  2 .

C. I  1; 2; 2  ; R  4 .

D. I  1; 2; 2  ; R  3 .
Trang 12


Lời giải
Chọn A
 S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  7  0  a  1; b  2 ; c  2 ; d  7 .

 Mặt cầu  S  có bán kính R  a 2  b2  c 2  d  4 và có tâm I 1;2; 2  .
Câu 27: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  3 y  z  3  0 . Mặt phẳng  P  đi
qua điểm nào dưới đây?

A. 1;1;0 .
B.  0;1; 2 .

C.  2; 1;3 .
Lời giải

D. 1;1;1 .

Chọn D
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy chỉ 1;1;1 thỏa mãn
Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  2  0 và đường thẳng d vng góc
với mặt phẳng  P  . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?
A. u2  1; 2; 2  .

B. u4  1; 2;3  .

C. u3   0; 2;3 .

D. u2  1; 2;3 .

Lời giải
Chọn D
Vì d   P  nên  ud cùng phương n P hay n P   1; 2;3 là một vectơ chỉ phương của d
Câu 29: Hàm số y 

x7
đồng biến trên khoảng
x4

A.  ;   .


B.  6;0  .

C. 1; 4  .

D.  5;1 .

Lời giải
Chọn C
Tập xác định D 
Ta có y 

\ 4 .

11

 x  4

2

 0 , x  D .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 4  và  4;   .

 Hàm số đồng biến trên 1; 4  .
Câu 30: Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học
sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?
443
219
219

442
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
506
323
323
506
Lời giải
Chọn D
Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra A là biến cố “4 học sinh được
gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”
4
 12650 .
Số phần tử của không gian mẫu là n     C25

 

 

4
4
Ta có n A  C15  C10  1575  P A 

 


n A

n  

 

63
.
506

Vậy xác suất của biến cố A là P  A   1  P A  1 

63 443
.

506 506

Câu 31: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  2 x3  3x 2  12 x  2 trên đoạn  1; 2.
Trang 13


A. M  10 .

B. M  6 .

D. M  15 .

C. M  11 .
Lời giải


Chọn D

Ta có y  6 x2  6 x  12  6  x2  x  2 

 x  1  1; 2
y  0  
 x  2   1; 2
Ngoài ra y  1  15; y 1  5; y  2   6 nên M  15.



Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình 7  4 3



a1

 7  4 3 là

B.  ;1 .

A.  ;0  .

C.  0;   .

D. 1;  .

Lời giải
Chọn A










Ta có: 7  4 3 7  4 3  1 nên 7  4 3



a 1



 74 3  74 3



a 1



 74 3



1


 a 1  1  a  0 (do 7  4 3  1 ).
4

Câu 33: Cho



4

 g  x  dx  5

f  x  dx  10

và

2

2

4

. Tính I   3 f  x   5 g  x   2 x  dx
2

A. I  17.

B. I  15.

C. I  5.

Lời giải

D. I  10.

Chọn A
4

4

4

2

2

2

I  3 f  x  dx  5 g  x  dx   2 xdx  3.10  5.5  12  17 .

Câu 34: Cho số phức z  2  3i. Môđun của số phức 1  i  z bằng
A. 26.

B. 25.

C. 5.

D.

26.


Lời giải
Chọn D
Ta có 1  i  z  1  i  2  3i   1  5i
Do đó 1  i  z 

 1

2

 52  26.

Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  AD  2 2 và AA '  4 3 (tham khảo hình
bên). Góc giữa đường thẳng CA ' và mặt phẳng  ABCD  bằng

A. 60 0 .

B. 90 0 .

C. 30 0 .
Lời giải

D. 450 .

Chọn A

Trang 14


Vì ABCD.A ' B ' C ' D ' là hình hộp chữ nhật nên AA '  ( ABCD) . Do đó góc giữa đường thẳng


CA ' và mặt phẳng  ABCD  là ACA ' .

Vì AB  AD  2 2 nên ABCD là hình vng có đường chéo AC  AB 2  2 2. 2  4 .
Tam giác ACA ' vuông tại A và có AA '  4 3 , AC  4 nên tan ACA ' 

AA ' 4 3

 3.
AC
4

Suy ra ACA '  600 . Vậy góc giữa đường thẳng CA ' và mặt phẳng  ABCD  bằng 60 0 .
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 6
(tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  bằng

A. 2 5 .

B. 2 7 .

C. 2 .
Lời giải

D.

7

Chọn B
Gọi I  AC  BD .
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 4 nên đáy ABCD là hình vng
cạnh AB  4 và hình chiếu vng góc của S trên  ABCD  là tâm I của hình vng ABCD .

Do đó, khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  bằng SI

1
AC  2 2
2
Cạnh bên SA  6 và tam giác SAI vng tại I nên

Ta có AC  AB 2  4 2  IA 

SI  SA2  AI 2  62  (2 2)2  36  8  28  2 7

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  bằng 2 7 .

Trang 15


Câu 37: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm là điểm I (2; 3;1) và đi qua điểm M  0; 1; 2  có
phương trình là:
A.  x  2    y  3   z  1  3.

B. x 2   y  1   z  2   3.

C. x 2   y  1   z  2   9.

D.  x  2    y  3   z  1  9.

2

2


2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn D
Mặt cầu tâm là điểm I (2; 3;1) và đi qua điểm M  0; 1; 2  có bán kính là IM .
Ta có IM   2; 2;1  r  IM  (2)2  22  12  9  3
Phương trình mặt cầu là:  x  2    y  3   z  1  9.
2

2

2

Câu 38: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A  4;1; 3 và B  0; 1;1 có phương trình
tham số là:
 x  4  2t


A.  y  1  t .
 z  3  2t


 x  4t

B.  y  1  2t .
 z  1  4t


 x  2t

C.  y  1  t .
 z  1  2t

Lời giải

 x  4  4t

D.  y  1  2t .
 z  3  4t


Chọn C
Đường thẳng đi qua điểm A  4;1; 3 và B  0; 1;1 có vectơ chỉ phương là
AB   4; 2; 4   2  2; 1; 2 

Phương trình tham số của đường thẳng ( AB ) đi qua điểm B  0; 1;1 và có vectơ chỉ phương
 x  2t

1
1

u  AB   4; 2; 4    2; 1; 2  là  y  1  t .
2
2
 z  1  2t


Câu 39: Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f   x  là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của
x
hàm số g  x   f   trên đoạn  5;3 bằng
2
y

2

1

-2

x

O

A. f  2  .

B. f 1 .

C. f  4  .


D. f  2  .

Lời giải
Chọn A

Trang 16


x
 2  2
 x  4
1 x
.
g x  0  f     0  

2 2
x  2
 x 1
 2
x
x
g   x   0  f     0   2  x  4 .
2
2
Bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  trên  5;3 bằng g  4   f  2  .
Câu 40: Có bao nhiêu số tự nhiên y sao cho ứng với mỗi y có khơng q 148 số nguyên x thỏa mãn


1
3  0?
y  ln x
A. 4

3x  2 

B. 5

C. 6

D. 7

Lời giải
Chọn C
x  0

Điều kiện:  x  e y
y  0


 x 1 1

3   0
 x  3
+ Trường hợp 1: 

 x 
3
y

0

x  e  e  1
 y  ln x  0

 x 1 1
 x  3
3   0

+ Trường hợp 2: 

3
y

x  e
 y  ln x  0


Kết hợp điều kiện x  0; ey  e0  1 . Ta có 0  x  ey
Để có khơng q 148 số nguyên x thì 1  ey  149  0  y  ln149  5,004
 y 0;1;2;3;4;5 . Có 6 số nguyên y.
 x2  4x 1 , x  5
Câu 41: Cho hàm số f  x   
. Tích phân
,x 5
2 x  6

A.

77

.
3

B.

77
.
9

ln 2

 f  3e

C.

x

 1 .e xdx bằng

0

68
.
3

D.

77
.
6


Lời giải
Chọn B
Ta có lim f  x   lim f  x   f  5  4 nên hàm số liên tục tại x  5 .
x 5

x 5

Vậy hàm số f  x  liên tục trên

.
Trang 17


1
Đặt t  3e x  1  e x dx  dt
3
Đổi cận : x  0  t  4 ; x  ln 2  t  7
7
7
5
7
 77
1
1
1
Khi đó I   f  t dt   f  x dx     2 x  6 dx    x 2  4 x  1dx  
.
34
34

3 4
9
5


Câu 42: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z  1 ?
A. 0 .

B. 1 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn C
Ta có Giả sử z  x  yi

 x, y    z  x  yi  z  z  2 x .

D. 3 .

 x2  y 2  1
2
2


z

1
x


y

1



Bài ra ta có 


1

 2x  1
x  
 z  z 1 

2
1
1
3
Với x     y 2  1  y  
.
2
4
2
1
3
1
3
1
3

1
3
Do đó có 4 số phức thỏa mãn là z1  
i , z2  
i , z3   
i , z4   
i.
2 2
2 2
2 2
2 2
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 , tam giác
SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết hai mặt phẳng  SAB  ,  SAC  tạo

với nhau góc  thỏa mãn tan  
A.

4
.
3

B.

8
.
3

3
và cạnh SC  3 . Thể tích khối S.ABCD bằng:
4

5 3
C. 3 3 .
D.
.
3
Lời giải

Chọn B

VS . ABCD  2VS . ABC  2VB.SAC . Kẻ BH vng góc với AC tại H .
Ta có: AC  3 , BH  2 , HC  1 .
tan   tan BKH 
sin SAC 

BH
4 2
 KH 
.
3
KH

1
KH 2 2
 cos SAC  .

HA
3
3

SC 2  SA2  AC 2  2 AS . AC.cos SAC  SA  2 .


Trang 18


1
1
2 2
SA. AC.sin SAC  .2.3.
2 2.
2
3
2
1
8
Vậy VS . ABCD  2. .2 2. 2  .
3
3
S SAC 

Câu 44: Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 1m2 và cạnh BC  x  m  để làm
một thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD
thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM , trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gị
thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM ; phần hình chữ nhật BCNM được cắt
ra một hình trịn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị
x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

A. 0,97m .

B. 1,37m .


C. 1,12m .

D. 1, 02m .

Lời giải
Chọn D
Ta có AB.BC  1  AB 

1
1
 m .
BC x

Gọi r  m  là bán kính đáy hình trụ inox gị được, ta có chu vi hình trịn đáy bằng BC  x  m  .
x
 m .
2
x
1 x
Như vậy BM  2r   AM  AB  BM    m  .

x 

Do đó 2 r  x  r 

2

1
 x  1 x
2

Thể tích khối trụ inox gò được là V   r h   . 
 .     2 x   x  .
2

x

4


 

2

Xét hàm số f  x   x   x 2  với x  0 .

f   x     3x 2 ; f   x   0  x 


3

;


 


f   x   0  x   0;
;   .
 và f   x   0  x  
3


 3



Bởi vậy f  x  đồng biến trên khoảng  0;
 và nghịch biến trên khoảng
3



 

;   .

 3


   2 3

 Vmax  f  x max  x 
 1, 02  m  .
Suy ra max f  x   f 



 0; 
3
9
 3


Trang 19


Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  3;3;1 , B  0; 2;1 và mặt phẳng

 P  : x  y  z  7  0. Đường thẳng

d nằm trong  P  sao cho mọi điểm của d cách đều hai

điểm A, B có phương trình làcác mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
x  t

A.  y  7  3t .
 z  2t


 x  2t

B.  y  7  3t .
z  t


x  t

C.  y  7  3t .
 z  2t

Lời giải


 x  t

D.  y  7  3t .
 z  2t


Chọn C
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là   : 3x  y  7  0.
Đường thẳng cần tìm d cách đều hai điểm A, B nên d thuộc mặt phẳng   .
x  y  z  7  0
. Chọn x  t, ta được
Lại có d   P  , suy ra d   P     hay d : 
3 x  y  7  0
 z  2t
.

 y  7  3t

Câu 46: Cho hàm số y  f  x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f  0   0. Hàm số y  f '  x  có bảng biến
thiên như sau:

Hàm số g  x   f  x 2   x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .

B. 3 .

C. 5 .
Lời giải

D. 7


Chọn C
Đặt h  x   f  x 2   x 2  h  0   0.
x  0
Ta có h '  x   2 xf '  x 2   2 x  0  
.
2
 f '  x   1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số t  f '  x  ta có phương trình f '  x   1 có duy nhất một

nghiệm và nghiệm đó dương. Gọi x0 là nghiệm của phương trình f '  x   1 .
Suy ra f '  x 2   1  x 2  x0  x   x0 .
Ta có y  f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  e  f '  x   4ax3  3bx 2  2cx  d
lim f '  x     a  0.

x 

Khi đó h  x   f  x 2   x 2 là hàm bậc 8 và lim h  x   lim h  x   
Lập bảng biến thiên của h  x  ta có

x 

x 

Trang 20


Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số g  x   h  x  có 5 điểm cực trị.
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m  1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:


m

log5 x

3



log5 m

 x  3 1 .

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn B
Điều kiện: x  0
Đặt mlog5 x  3  u thay vào phương trình 1 ta được: u log5 m  x  3  x  u log5 m  3 .
u  mlog x  3
Vì u log5 m  m log5 u . Từ đó ta có hệ Phương trình 
.
log m
3
x  u

Xét hàm đặc trưng f  t   mt  3 trên .
5

5

Do m  1. Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên

.

Do đó, f  log5 x   f  log5 u   x  u .
Vì thế, ta đưa về xét phương trình: x  mlog5 x  3  x  x log5 m  3  x  3  x log5 m
log 5  x  3
 log 5  x  3  log 5  x log5 m   log 5  x  3  log 5 x.log 5 m  log 5 m 
log 5 x
Do x  0 nên x  3  x nên log 5 m 

log 5  x  3
log 5 x

1 m  5.

 m
 m  2,3, 4 .
Suy ra 
1  m  5
Vậy, có 3 giá trị tham số m thỏa mãn.

Câu 48: Cho hàm số bậc ba f  x   ax3  bx 2  cx  d và đường thẳng d : g  x   mx  n có đồ thị như
hình vẽ. Gọi S1 , S 2 , S3 lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu S1  4 thì
tỷ số


S2
bằng.
S3

Trang 21


A.

3
.
2

B. 1 .

C. 2 .

D.

1
.
2

Lời giải:
Chọn B
 Dựa vào đồ thị như hình vẽ, ta có: f  x   g  x   k.x  x  2  x  2  .

g  x  x  3
0


S1  S 2   kx  x  2  x  2  dx  4k
2

S 2  S3 

Vì S1  4  S2  4  S3  8  4  4 . Vậy

 g  0  g  2  .2  3  5 .2  8
2

2

S2
1.
S3

Câu 49: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, 1  i  z2  6 và z1  z2  5 . Giá trị lớn nhất
2 z1  z2  2021 bằng

B.  23  2021 .

A. 2044 .

C. 23  2021 .
Lời giải

D. 2 23  2021.

Chọn C

Đặt z1  a  bi, z2  c  di với a, b, c, d  . Theo giả thiết thì

z1  1  a 2  b 2  4

1  i  z2

 6  z2 

6
 3  c2  d 2  3
1 i

z1  z2  5   a  c    b  d   5
2

2

Do đó a 2  2ac  c 2  b 2  2bd  d 2  5  ac  bd  1
Ta có 2 z1  z2   2a  c    2b  d  i nên
2 z1  z2   2a  c    2b  d   4  a 2  b 2    c 2  d 2   4  ac  bd   23
2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức z  z  z  z  , ta có
2 z1  z2  2021  2 z1  z2  2021  23  2021.

Trang 22



Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm C  1; 2;11 , H (1; 2; 1) , hình nón  N  có đường cao

CH  h và bán kính đáy là R  3 2 . Gọi M là điểm trên đoạn CH ,  C  là thiết diện của mặt
phẳng  P  vuông góc với trục CH tại M của hình nón  N  . Gọi  N   là khối nón có đỉnh H
đáy là  C  . Khi thể tích khối nón  N   lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón  N   có tọa độ tâm

I  a; b, c  , bán kính là d . Giá trị a  b  c  d bằng
A. 1 .

B. 3 .

C. 6 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn C

Đặt HM  x , 0  x  h . Gọi I , R, r lần lượt là tâm và bán kính đường trịn đáy của nón ( N ) ,
bán kính đường trịn  C  . Khi đó ta có CH  h  12 là chiều cao của ( N ), R  3 2 .
Khi đó C , I , H thẳng hàng ( I nằm giữa C , H ).
Do tam giác CEM ∽ CQH nên
 r  EM  FM 

R h  x
h

EM CM

QH .CM
 EM 

CH
QH CH

.

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là  C  là
1
1 R2
1  R h  x 
2
V   EM 2 .HM   

 2 h  x x .
x

3
3 h
3 
h

2

1 R2
2
Ta có Xét hàm số f  x    2  h  x  x ,  0  x  h 
3 h
1 R2

1 R2
h


f  x    2  h  x  h  3x  ; f  x   0   2  h  x  h  3x   x  .
3 h
3 h
3
Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là  C  lớn nhất khi x 

h
3

Trang 23


Chú ý: Có thể đánh giá dựa vào

1
1 h  x  h  x  2x 3
(h  x)(h  x)2 x  (
) với 0  x  h .Dấu "="
2
2
3
h
xảy ra khi ba số (h  x)  (h  x)  2 x  x  .
3

h
R.CM R.(h  x)

 2 2  MF
Khi đó HM  x   4 , r 
3
h
h
Gọi P là giao điểm của HM với mặt cầu ngoại tiếp nón  N   . Ta có HFP vng tại F

 h  x 2 x  (h  x)(h  x) x 

 HF 2  HM .HP



 HM 2  MF 2  HM .HP  16  2 2



2

 4.HP  HP  6

1
1
HC  HI  HC  I (1; 2; 2) .
4
4
Vậy a  b  c  d  6 .

 d  HI  3 

Trang 24


Đề 7

ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC TỐT NGHIỆP THPT
BÀI THI: TỐN
Thời gian: 90 phút

Câu 1:

Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
A. 480.

Câu 2:

C. 48.

D. 60.

Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng qt là un  3n  2 . Tìm cơng sai d của cấp số cộng.
A. d  3 .

Câu 3:

B. 24.


B. d  2 .

C. d  2 .

D. d  3 .

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau đây?
x
y'




1
0

0





1
0






y


A.  1; 0  .
Câu 4:

B.  1; 1 .

C.  ;  1 .

D.  0;    .

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
A. 1.
B. 3.
Câu 5:



C. 0 .

D. 2.

Cho hàm số y  x 4  x3  3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có 3 điểm cực trị.
B. Hàm số chỉ có đúng 2 cực trị.
C. Hàm số khơng có cực trị
D. Hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị.


Câu 6:

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Trang 25