GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO

Sinh viên thực hiện: Lương Thị Hường
Lớp: 09 ST
Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng, tháng 5/2013

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 1


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

MỞ ĐẦU
Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con
giao hoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm

thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của Định lý Schur nói
chung là khơng đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số
nguyên tố lẻ. Năm 1951, B. H. Neumann [4] đã chứng minh được: Nếu nhóm G
hữu hạn sinh và Z2(G) hữu hạn thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Trong những năm gần
đây, việc nghiên cứu phần đảo của Định lý Schur đã được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học, chẳng hạn năm 2010, P. Niroomand [5] đã chứng minh: Nếu [ G, G ]
hữu hạn và G/Z(G) hữu hạn sinh thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Kết quả này của P.
Niroomand đã được tổng quát hơn bởi B. Sury [7] ( năm 2010 ) và bởi M. K. Yadav
[11] ( năm 2011 ).
Nhằm tìm hiểu Định lý Schur và các phần đảo của nó, tơi chọn đề tài khóa
l ̣n tớ t nghiê ̣p của mình là: “ Định lý Schur và các phần đảo ”.
Xin cám ơn các Thầy, Cô giáo và Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại
học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng, đã giảng dạy và tạo nhiều điều kiện thuận lợi để
tơi hồn thành được đề tài này. Đặc biệt Thầy Nguyễn Ngọc Châu, người đã ln
nhắc nhở và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình tơi thực hiện luận văn này.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 2


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

CHƯƠNG I: NHĨM VÀ p - NHĨM
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về cấu trúc nhóm nhằm làm
tiền đề cho chương sau.


1.1 CẤU TRÚC NHĨM
1.1.1 Nhóm, nhóm con
1.1.1.1 Định nghĩa: Cho một tập khơng rỗng G và một phép tốn hai ngơi trên G
được kí hiệu bởi ·, (G, ·)được gọi là một nhóm nếu:
(i)

Với mọi x, y, z ∈ 𝐺, (x·y)·z = x·(y·z)

(ii)

Tồn tại một phần tử đơn vị ( thường được kí hiệu bởi ) 1 ∈ 𝐺, tức là

x·1 = 1·x với mọi x ∈ 𝐺
(iii)

Mỗi x ∈ 𝐺 có một phần tử nghịch đảo trong G, nghĩa là có một phần tử

x-1 ∈ 𝐺 sao cho x·x-1 = x-1·x = 1
Nếu G là một tập hợp vơ hạn, ta nói G là nhóm vơ hạn, nếu G là tập hợp hữu
hạn, ta nói G là nhóm hữu hạn. Số phần tử của G kí hiệu là |𝐺 | và gọi là cấp của
nhóm G.
Nếu phép tốn hai ngơi của nhóm G có tính giao hốn thì ta nói G là một nhóm
giao hốn hay nhóm aben.
1.1.1.2 Định nghĩa: Cho (G,·)là một nhóm với phép tốn hai ngơi · và cho H là
một tập con khơng rỗng của G. Khi đó ta nói H là một nhóm con của G nếu H cùng
với phép tốn trên G làm thành một nhóm.
Ký hiệu: H ≤ G

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST


Trang 3


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

1.1.1.3 Mệnh đề: Cho (G,·)là một nhóm. Khi đó tập con H của G là một nhóm
con của G nếu và chỉ nếu:
(i)

H ≠ ∅,

(ii)

Với mọi x, y ∈ 𝐻, 𝑥𝑦 ∈ 𝐻,

(iii)

Với mọi x ∈ 𝐻, x-1 ∈ 𝐻.

1.1.1.4 Mệnh đề: Cho (G,·)là một nhóm. Khi đó tập con H của G là một nhóm
con của G nếu và chỉ nếu:
(i)

H ≠ ∅,

(ii)

Với mọi x, y ∈ 𝐻, xy-1 ∈ 𝐻.


1.1.1.5 Mệnh đề: Giao của một họ các nhóm con của một nhóm G là một nhóm
con của nhóm G.
1.1.1.6 Định nghĩa: Cho (G,·)là một nhóm và X là một tập con khác rỗng của G.
Nhóm con của G sinh bởi tập X là giao của tất cả các nhóm con của G có chứa X.
Ký hiệu: < X >
𝜀
𝜀 𝜀
Mô tả: < X > = { 𝑥1 1 𝑥22 … 𝑥𝑛𝑛 | 𝑥𝑖 𝜖 𝑋, 𝜀𝑖 = ± 1, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ }.

1.1.1.7 Nhận xét:

< X > là nhóm con nhỏ nhất của nhóm G có chứa X.

Nếu < X > = G thì ta nói G là một nhóm được sinh bởi X và X là tập sinh của G.
1.1.1.8 Định nghĩa: Cho (G, ·)là một nhóm và một phần tử a ∈ 𝐺. Nhóm con
cyclic của G sinh bởi phần tử a là nhóm con của G sinh bởi bộ phận X = {a}.
Ký hiệu: < a >.
Mô tả: < a > = { am / m ∈ 𝑍 }.
1.1.1.9 Định nghĩa: Cấp của phần tử a của nhóm G là cấp của nhóm con cyclic
< a > và bằng số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho am = 1.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 4


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo


Ký hiệu: |a|.
1.1.1.10 Định nghĩa: Một nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu và chỉ nếu G được
sinh ra bởi một phần tử a ∈ 𝐺. Phần tử a được gọi là phần tử sinh bởi G.
Nhận xét: Nếu G = < x > và G là một nhóm con hữu hạn cấp r, s là số
nguyên tố cùng nhau với r, thì < xr > = G.
1.1.2 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương
1.1.2.1 Định nghĩa: Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó, lớp
trái của H trong G là một tập con có dạng xH = { y | y = xh, h ∈ 𝐻 } với x ∈ 𝐺.
Chúng ta cũng định nghĩa lớp phải của H trong G là một tập con có dạng
Hx = { y | y = hx, h ∈ 𝐻 }
1.1.2.2 Nhận xét: Hai lớp ghép trái (phải) thì trùng nhau hoặc giao nhau bằng rỗng.
1.1.2.3 Định lý: Cấp của một nhóm con H của một nhóm hữu hạn G chia hết cấp
của G.
Mơ tả : |𝐻 | | |𝐺 |
1.1.2.4 Hệ quả: Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là ước của
cấp của G
1.1.2.5 Định nghĩa: Số các lớp ghép trái (phải) của H trong G được gọi là chỉ số
của H trong G.
Ký hiệu: [ G : H ].
1.1.2.6 Nhận xét: Nếu G là một nhóm hữu hạn thì | G | = | H | . [ G : H ].
1.1.2.7 Định nghĩa: Cho (G,·)là một nhóm nhân, một nhóm con H của G được
gọi là một nhóm con chuẩn tắc nếu xH = Hx với mọi x ∈ 𝐺.
Ký hiệu: H  G.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 5



GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

1.1.2.8 Mệnh đề: Ắt có và đủ để một nhóm con H của G là nhóm con chuẩn tắc
của G là xhx-1 ∈ 𝐻 với mọi x ∈ 𝐺 và h ∈ 𝐺.
1.1.2.9 Định nghĩa: Cho G là một nhóm và H  G. Tập thương của G trên H là
một tập hợp của tất cả các lớp kề trái của H trong G.
Ký hiệu: G/H.
Mô tả: G/H = { xH , h ∈ 𝐺 }
1.1.2.10 Định lý: Nếu H  G thì
(i)

Quy tắc cho tương ứng cặp ( xH, yH ) với lớp trái xyH

là một ánh xạ từ : G/H × G/H đến G/H;
(ii)

G/H cùng với phép tốn hai ngơi
( xH, yH ) ↦ xyH

là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên H.
1.1.2.11 Định nghĩa: Tâm của một nhóm G được định nghĩa bởi
Z(G) = { z ∈ 𝐺 | zg = gz, ∀𝑔 ∈ 𝐺 }.
1.1.2.12 Tính chất: Ta có Z(G)  G .
1.1.2.13 Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm. Hai phần tử a và b của G được gọi là
liên hợp với nhau nếu tồn tại g của G sao cho:
gag-1 = b
1.1.2.14 Định nghĩa: Cho a là một phần tử của nhóm G. Tâm hóa của a (trong G)
được định nghĩa bởi

CG(a) = { c ∈ 𝐺 / ca = ac }.
1.1.2.15 Định nghĩa: Cho A là một tập con của nhóm G. Tâm hóa của A (trong G)
được định nghĩa bởi
CG(A) = { g ∈ 𝐺 / ga = ag,∀ 𝑎 ∈ 𝐴 }.
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 6


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

1.1.2.16 Tính chất: Ta có CG(A) là một nhóm con của G.
1.1.2.17 Định nghĩa: Cho A là một tập con của nhóm G. Chuẩn hóa của A (trong
G) được định nghĩa bởi
NA(G) = { g ∈ 𝐺 / gA = Ag }.
1.1.2.18 Tính chất: NA(G) là một nhóm con của G.
1.1.2.19 Định nghĩa: Một nhóm G được gọi là meta cyclic nếu G có một nhóm con
chuẩn tắc N sao cho N và G/N đều cyclic.
1.1.2.20 Định nghĩa: Một nhóm G được gọi là meta abel nếu G có một nhóm con
chuẩn tắc N sao cho N và G/N đều abel.
1.1.2.21 Nhận xét: G là metal abel nếu và chỉ nếu nhóm con giao hốn tử [G, G] là
abel.
1.1.2.22 Định nghĩa: ( Tích trực tiếp ngồi )
Ta đã biết, tích đề các H×K của hai tập hợp H và K là tập tất cả các cặp
(h,k), h ∈ 𝐻, k ∈ K.
Cho H, K là các nhóm; ta biết rằng H×K = { (h,k) | h ∈ 𝐻, k ∈ K }
cùng với phép toán :
(h1 ,k1) ·( h2 ,k2) = (h1k1, h2k2), (h1,k1), (h2,k2) ∈ H×K

là một nhóm, nhóm H×K được gọi là tích trực tiếp ngồi (hay tích trực tiếp) của các
nhóm H và K.
1.1.2.23 Nhận xét: Ta suy ra từ định nghĩa rằng nếu H và K là các nhóm hữu hạn
thì

| H×K | = |H|.|K|.

1.1.2.24 Định nghĩa: ( Tích trực tiếp trong )

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 7


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

Cho H và K là các nhóm con của nhóm G. G được gọi là tích trực tiếp của H
và K nếu:
i)

hk = kh với mọi h ∈ 𝐻, k ∈ K

ii)

Mọi phần tử g ∈ 𝐺 là một tích duy nhất của một phần tử thuộc H và một
phần tử thuộc K. Nghĩa là g = hk, h ∈ 𝐻, k ∈ K ; và nếu g = h1k1, h1 ∈ 𝐻,
k1 ∈ K thì h1 = h và k1 = k.
Kí hiệu: G = H  K


1.1.2.25 Nhận xét: H  K ≅ H×K
Chứng minh:
Giả sử g ∈ H ∩ K , thì g = h·1 = 1·k với h ∈ 𝐻, k ∈ K nào đó. Nhưng theo
định nghĩa 1.2.24 ii), thì h=1, k=1. Do đó g =1 và H ∩ K = {1}. Từ đây nhận xét
trên được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1.2.24.
1.1.2.26 Định lý: Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho
A ∩ B = {e} và G là nhóm con sinh bởi A ∪ B . Khi đó G ≅ A  B
1.1.2.27 Bổ đề: Cho G là một nhóm, cl(g) và CG(g) lần lượt là lớp liên hợp và tâm
hóa của phần tử g trong G. Khi đó: |𝑐𝑙(𝑔𝑖 )| = |𝐺: 𝐶𝐺 (𝑔𝑖 )|.
Chứng minh:
Xét ánh xạ 𝜑: G|𝐶𝐺 (𝑎) → 𝑐𝑙(𝑎)
Ta sẽ chứng minh 𝜑 là một song ánh.
Cho g1CG(a) = g2CG(a) ta sẽ chứng minh 𝑔1 𝑎𝑔1−1 = 𝑔2 𝑎𝑔2−1
Ta có: g1CG(a) = g2CG(a)
⇒ 𝑔2−1 g1CG(a) = CG(a)
⇒ 𝑔2−1 g1h ∈ CG(a) ( h ∈ CG(a) )

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 8


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

⇒ g1ha = a𝑔2−1 g1h
⇒ 𝑔2−1 g1ah = a𝑔2−1 g1h
⇒ 𝑔2−1 g1a = a𝑔2−1 g1

⇒ g1a𝑔1−1 = g2a𝑔2−1
Cho g1a𝑔1−1 = g2a𝑔2−1 , phải chứng minh g1CG(a) = g2CG(a)
Ta có: g1a𝑔1−1 = g2a𝑔2−1
⇒

𝑔2−1g1a = a𝑔2−1 g1

⇒

𝑔2−1g1 ∈ CG(a)

⇒

g1 ∈ g2CG(a)

⇒

g1CG(a) ⊂ g2CG(a)

Chứng minh tương tự ta có g2CG(a) ⊂ g1CG(a)
Do đó g1CG(a)= g2CG(a)
Từ đó ta có 𝜑 là một song ánh. Và vì vậy |𝑐𝑙(𝑔𝑖 )| = |𝐺: 𝐶𝐺 (𝑔𝑖 )|.
1.1.3 Nhóm dihedral, nhóm quaternion
1.1.3.1 Định nghĩa
Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung
quanh tâm của Pn một góc ( có hướng ) bằng 2𝜋/𝑛, cịn b là phép đối xứng qua một
đường thẳng đi qua tâm của Pn và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứng
của Pn tức là các biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó được liệt
kê như sau:
e, a, a2,…,an-1, ab, a2b,…, an-1b.


SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 9


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

Tập các phép đối xứng của Pn lập thành một nhóm, cấp 2n, với phép hợp
thành hai phép đối xứng ký hiệu là Dn và được gọi là nhóm dihedral.
Nhóm Dn có biểu diễn như sau
Dn = < a, b | 𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏2 = 𝑒, (𝑎𝑏)2 = 𝑒 >
1.1.3.2 Định nghĩa
Nhóm quaternion là nhóm được sinh bởi hai phần tử và thỏa mãn 3 quan hệ
như sau:
Q8 = < a, b | 𝑎4 = 𝑒, 𝑎2 = 𝑏2 , 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏 > = { asbt | 0 ≤ 𝑠 ≤ 3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1}
Nhóm Q8 là nhóm khơng giao hốn cấp 8.
1.1.4 Đồng cấu
1.1.4.1 Định nghĩa: Cho 2 nhóm (G, ·), (H, ·). Một tương ứng
f:GH
x ↦ f(x)
được gọi là một đồng cấu nhóm nếu:
(i)

f là một ánh xạ

(ii)


f (x·y) = f (x) · f(y) với mọi x, y ∈ 𝐺.

Nếu H = G thì đồng cấu f được gọi là một tự đồng cấu của G.
1.1.4.2 Tính chất: Nếu f : G  H là một đồng cấu nhóm thì
i)

f(1G) = 1H.

ii)

f(x-1) = (f(x))-1.

Một đồng cấu nhóm f : G  H với f là một đơn ánh, toàn ánh hay song ánh lần
lượt được gọi là một đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 10


Định lý Schur và các phần đảo

GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

1.1.4.3 Mệnh đề: Giả sử G  G’ là một đồng cấu nhóm

i)

Nếu có một đồng cấu 𝜃: G  G’ sao cho 𝜃𝜑 = idG ( khi đó 𝜃 được gọi là
một nghịch đảo trái của 𝜑 ) thì 𝜑 được gọi là một đơn cấu.


i)

Nếu có một đồng cấu 𝜃: G  G’ sao cho 𝜑𝜃 = idG ( khi đó 𝜃 được gọi là
một nghịch đảo phải của 𝜑) thì 𝜑 được gọi là một tồn cấu.

ii)

𝜑 được gọi là một đẳng cấu nếu và chỉ nếu có một đồng cấu : G’  G
sao cho 𝜑𝜃 = idG’ và 𝜃𝜑 = idG. Khi đó 𝜃 = 𝜑-1 là một đẳng câú.

Nếu có một đẳng cấu từ nhóm G vào nhóm H thì ta nói G và H là đẳng cấu với
nhau, hay G đẳng cấu với H, và viết G ≅ H
Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu.
1.1.4.4 Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất của một nhóm G là một đồng cấu, gọi là đẳng cấu
đồng nhất của G.
1.1.4.5 Ví dụ: Cho(G,·) là một nhóm và H  G . Ánh xạ:
𝜌: G  G/H
x ↦ 𝜌(x) = xH
là một đẳng cấu, 𝜌 được gọi là phép chiếu tự nhiên hoặc tồn cấu chính tắc.
1.1.4.6 Bổ đề: Cho f: H → 𝐾 là một đơn ánh thì |𝐻 | ≤ |𝐾|
1.1.4.7 Đinh
̣ lý: Nế u θ : G  H là đồ ng cấ u của nhóm G vào nhóm H, thì N = Ker
θ là mô ̣t nhóm con của G và η : θ(g)  Ng đươ ̣c đinh
̣ nghiã là mô ̣t đẳ ng cấ u của
θ(G) lên G/N.
1.1.4.8 Đinh
̣ lý
(i)


Nếu A aben chứng tỏ A / A’ ≅ A

(ii)

Chứng tỏ G / G’ aben

(iii)

Chứng tỏ G / N aben, N ⊇ G’

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 11


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

1.1.4.9 Đinh
̣ lý: Cho N ⪦ G và H là nhóm con của G. Khi đó H ∩ N ⪦ H, HN là
nhóm con của G, và H / ( H ∩ N ) ≅ HN / N.
1.2 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ
Ta ký hiệu vy = y-1vy với bất kỳ phần tử y và v nào.
1.2.1 Nhóm con giao hốn tử của hai nhóm con
1.2.1.1 Định nghĩa: Cho H và K là các nhóm con của nhóm G. Nhóm con giao
hoán tử của H và K được định nghĩa như là nhóm con được sinh bởi tất cả các hoán
tử [ h, k ] với mọi h ∈ 𝐻, k ∈ K. Chúng ta kí hiệu nó bởi [ H, K ], với
[ H, K ] = < [ h, k ]| h ∈ 𝐻, k ∈ K >
Nếu H = K = G, thì nhóm con [ H, K ] trùng với nhóm con giao hốn tử của G.

1.2.1.2 Định lý: Cho H và K là hai nhóm con của một nhóm G. Khi đó ta có:
(i)

[ H, K ] = [ K, H ]

(ii)

Với bất kì đồng cấu 𝜎 nào của G, ta có:
[ H, K ] 𝜎 = [ 𝐻 𝜎 , 𝐾 𝜎 ]
Đặc biệt, nếu H  G và K  G thì [ H, K ]  G

(iii)

[ H, K ] ⊂ H  K ⊂ NG(H).

(iv)

Nếu H1 và K1 là các nhóm con sao cho H1 ⊂ H và K1 ⊂ K, thì ta có
[ H1, K1 ] ⊂ [ H, K ].

(v)

[ H, K ] = {1} nếu và chỉ nếu H giao hoán theo từng phần tử với K.

Chứng minh:
(i)

Với mọi h ∈ 𝐻, k ∈ K , ta có:

[ h, k ] = h-1k-1hk = (h-1k-1hk)-1 ∈ [ K, H ] do [ K, H ] là nhóm con của G.

Vì vậy [ H, K ]  [ K, H ]. Do sự đối xứng nên [ K, H ]  [ H, K ].
Và (i) được chứng minh.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 12


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu
(ii)

Định lý Schur và các phần đảo

Với mọi h ∈ 𝐻, k ∈ K, ta có [ h, k ] 𝜎 = [ ℎ𝜎 , 𝑘 𝜎 ], với bất kỳ tự đồng cấu

nào của G. Do đó (ii) được chứng minh.
Bây giờ lấy 𝜎 là một tự đẳng cấu trong nhóm G ứng với phần tử x thuộc G,
thì 𝑔𝜎 = gxg-1, ∀ 𝑔 ∈ 𝐺. Do đó nếu H  G, K  G thì 𝐻 𝜎 = H, 𝐾 𝜎 = K.
Vì vậy [ H, K ]  G
(iii)

Ta có [ H, K ] ⊂ H nếu và chỉ nếu h-1k-1hk ∈ 𝐻 với mọi h ∈ 𝐻,

k ∈ K tức là nếu và chỉ nếu k-1hk ∈ 𝐻 với mọi h ∈ 𝐻, k ∈ K, tương ứng với
K ⊂ NG(H). Vậy (iii) được chứng minh.
(iv) và (v) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của nhóm con giao hốn tử.
1.2.1.3 Bổ đề: Cho G là một nhóm và G’ là nhóm con giao hốn tử của G, thì G/G’
là abel.
Chứng minh:
Gọi xG, yG là hai phần tử bất kì của G/G’ . Khi đó xGyG = xyG, yGxG = yxG.

Ta có xy = yxx-1y-1xy = yx[ x, y ] ∈ yxG’. Do đó xyG = yxG.
Vì vậy xGyG = yGxG và G/G’ là abel.
1.2.1.4 Định nghĩa: Cho G là một nhóm. Với x,y ∈ 𝐺, thì x-1y-1xy được gọi là hốn
tử của x và y hay nói gọn là hốn tử. Ký hiệu [x,y] để chỉ hốn tử. Một nhóm con
của G được sinh bởi tập hợp tất cả các hốn tử của G được gọi là nhóm con giao
hốn tử (hay nhóm con dẫn xuất) của G và được ký hiệu bởi G’.
Ta có G’ = [ G, G ].
1.2.1.5 Tính chất: G’ là nhóm con chuẩn tắc của G.
1.2.1.6 Bổ đề: Cho G là một nhóm.∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺
(i)

[𝑥𝑦, 𝑧] = [𝑥, 𝑧]y[𝑦, 𝑧]

(ii)

[𝑦 −1 , 𝑥] = [𝑥, 𝑦]𝑦

−1

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 13


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu
(iii)

Định lý Schur và các phần đảo

[𝑥, 𝑦] = [𝑦, 𝑥]−1


Chứng minh:
(i)

[𝑥𝑦, 𝑧] = (𝑥𝑦)−1 𝑧 −1 (𝑥𝑦)𝑧
= 𝑦 −1 𝑥 −1 𝑧 −1 𝑥𝑦𝑧
= 𝑦 −1 𝑥 −1 𝑧 −1 𝑥𝑧𝑦𝑦 −1 𝑧 −1 𝑦𝑧
= 𝑦 −1 (𝑥 −1 𝑧 −1 𝑥𝑧)𝑦(𝑦 −1 𝑧 −1 𝑦𝑧)
= 𝑦 −1 [𝑥, 𝑧]𝑦[𝑦, 𝑧]
= [𝑥, 𝑧]y[𝑦, 𝑧]

(ii)

[𝑦 −1 , 𝑥] = 𝑦𝑥 −1 𝑦 −1 𝑥 = 𝑦𝑥 −1 𝑦 −1 𝑥𝑦𝑦 −1 = 𝑦[𝑥, 𝑦]𝑦 −1 = [𝑥, 𝑦]𝑦

(iii)

[𝑦, 𝑥]−1 = (𝑦 −1 𝑥 −1 𝑦𝑥)−1 = 𝑥 −1 𝑦 −1 𝑥𝑦 = [𝑥, 𝑦]

−1

1.2.2 Nhóm con giao hoán tử cấp cao
1.2.2.1 Định nghĩa: Cho x1, x2, x3,….. xn ( n ≥ 3 ) là các phần tử của nhóm G, ta
định nghĩa hốn tử cấp cao của n phần tử trên bởi công thức
[ x1, x2, x3,….. xn ] = [ [ x1, x2, x3,….. xn-1 ], xn ]
Ta thường gọi đơn giản là hoán tử của n phần tử x1, x2, x3,….. xn ( n ≥ 3 )
Tương tự, một nhóm con giao hốn tử cấp cao của n nhóm con H1, H2, H3,….. Hn
( n ≥ 3 ) được định nghĩa bởi
[ H1, H2, H3,….. Hn ] = [ [ H1, H2, H3,….. Hn-1 ], Hn ]
Nhóm con giao hốn tử [ H1, H2, H3,….. Hn ] chứa tất cả các giao hoán tử cấp cao

[ h1, h2, h3,….. hn ] của các phần tử h1, h2, h3,….. hn ( n ≥ 3 ) với hi ∈ Hi, ∀𝑖.
Chúng ta chứng minh rằng nếu n ≥ 3 thì nhóm con sinh bởi những hốn tử cấp cao
của những phần tử này không nhất thiết bằng với nhóm con giao hốn tử cấp cao.
Và [ x, y, z ] ≠ [ x, [ y, z ] ].

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 14


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

1.2.2.2 Bổ đề: Cho x, y, z là ba phần tử của nhóm G và H, K, L là ba nhóm con của
G. Khi đó ta có:
(i)

[ x, y-1, z ]y [ y, z-1, x]z [ z, x-1, y ]x = 1

(ii)

Nếu [ H, K, L] = [ K, L, H] = 1 thì [ L, K, H] = 1

Chứng minh:
(i)

[ x, y-1, z ]y = y-1( ( x-1yxy-1)-1 z-1 (x-1yxy-1)z )y

= y-1((y x-1y-1x)-1. z-1((x-1yxy-1)zy

=( x-1y-1xz-1x-1)(yxy-1zy
=( xzx-1yz)-1(yxy-1zy)
Đặt : u = xzx-1yz , v= yxy-1yz , w= zyz-1xz, thì ta có
[ x, y-1, z ]y= u-1v , [ y, z-1, x ]z= v-1w , [ z, x-1, y ]x= w-1u
Vì (u-1v)( v-1w)( w-1u)=1 nên đúng.
(ii)

Gọi x, y, z lần lượt là ba phần tử của nhóm H, K, L theo giả thiết ta có

[ x, y-1, z ] = [ y, z-1, x ] = 1
Do đó sử dụng (i) ta được [ z, x-1, y ]x = 1 = [ z, x-1, y ].
Sử dụng định nghĩa, ta có nhóm con giao hoán tử [ L, K ] được sinh ra bởi tất
cả các hoán tử dạng [ z, x-1 ]. Đồng nhất thức ở trên chỉ ra rằng bất kì phần tử y nào
đó của K đều giao hốn với bất kì phần tử nào có dạng [ z, x-1 ] với z ∈ 𝐿, x ∈ H.
Theo ( Chương I, Định lý 1.2.1.2 (v) ), ta có [ L, K, H ] = 1.
1.2.2.3 Bổ đề: Cho G là một nhóm. H1, H2,…,Hn là các nhóm con của G thì:
[𝐺: ⋂𝑛𝑖=1 𝐻𝑖 ] ≤ ∏𝑛𝑖=1[𝐺: 𝐻𝑖 ]
Chứng minh: Ta chứng minh trong trường hợp n = 2, còn trong trường hợp tổng
quát, ta sẽ áp dụng nguyên lý quy nạp.
Với n = 2, H1, H2 là nhóm con của G. Ta phải chứng minh

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 15


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu
2

Định lý Schur và các phần đảo

2

[𝐺: ⋂ 𝐻𝑖 ] ≤ ∏[𝐺: 𝐻𝑖 ]
𝑖=1

𝑖=1

Đặt H1 ∩ H2 = K.
Gọi R là tập các lớp kề trái của K, Ri là tập các lớp kề trái của Hi.
Cho tương ứng:
𝜑: 𝑅 → R1×R2
xK ↦ (xH1, xH2), trong đó x ∈ G.
Ta có: xK = yK
⇒ y-1x = K
⇒ y-1x ∈ K
⇒ y-1x ∈ H1 và y-1x ∈ H2
⇒ xH1 = yH1 và xH2 = yH2
⇒ (xH1, xH2) = (yH1, yH2)
Do đó 𝜑 là đơn ánh, vì thế |𝑅| ≤ |𝑅1 × 𝑅2 | = |𝑅1 ||𝑅2 |
Vậy [𝐺: ⋂2𝑖=1 𝐻𝑖 ] ≤ ∏2𝑖=1[𝐺: 𝐻𝑖 ]
Tổng quát ta có: [𝐺: ⋂𝑛𝑖=1 𝐻𝑖 ] ≤ ∏𝑛𝑖=1[𝐺: 𝐻𝑖 ]
1.3 p - NHĨM
1.3.1 Định nghĩa
i) p-nhóm là một nhóm có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p.
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 16


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu


Định lý Schur và các phần đảo

ii) H được gọi là p-nhóm con của G nếu H là nhóm con của G và H là một p-nhóm.
iii) H được gọi là p-nhóm con sylow của G nếu H là một p-nhóm con và có cấp là
lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G.
1.3.2 Một số tính chất của p-nhóm
1.3.2.1 Định lý: ( Các Định lý Sylow)
Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Khi đó:
i) G có một nguyên cấp pr , với pr là lũy thừa cao nhất của p chia hết |G| ( G có
chứa một p-nhóm con sylow)
ii) Mọi p-nhóm con của G đều chứa trong một p-nhóm con sylow của G.
iii) Bất kì hai nhóm con sylow nào của G đều liên hợp với nhau. Số sp các p-nhóm
con sylow rời nhau của G có dạng sp = 1 + kp ( k  N) và sp chia hết |G|
1.3.2.2 Định lý: ( Các tính chất cơ bản của một p-nhóm )
i)

G  1 và G là một p-nhóm hữu hạn, thì Z(G) có cấp khác 1.

ii)

Nếu H là nhóm con thực sự của G thì H  N G ( H).

iii)

G là một nhóm có cấp là pr , r  1, thì G có một nhóm con chuẩn tắc cấp là

pr-1.
iv)


Bất kỳ nhóm con nào có cấp p2 là abel

1.3.2.3 Định lý: Một p-nhóm abel G là tích trực tiếp của các nhóm con cyclic Hi,
i = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛. Hơn nữa số nguyên n và |Hi| là được xác định duy nhất.
Đặc biệt, nhóm G được gọi là abel cơ bản nếu G là tích trực tiếp của n nhóm con
cyclic cấp p (với n được xác định như trên)
Nếu Hi = < xi >, i = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 thì xi được gọi là cơ sở của G. với mọi x ∈ 𝐺 ta có thể viết
duy nhất dưới dạng x = 𝑥1 𝑎1 𝑥2 𝑎2 … 𝑥𝑛 𝑎𝑛 với 0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ | xi | , i = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
1.3.2.4 Định lý: Mọi p-nhóm G abel cơ bản có cấp pn thì đẳng cấu với một khơng
gian vecto n chiều trường Zp với p phần tử.
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 17


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

1.3.3 Nhóm lũy linh
1.3.3.1 Định nghĩa: ( Dãy tâm dưới )
Các nhóm con giao hốn tử cấp cao Ci = Ci(G) của nhóm G được định nghĩa
quy nạp bởi G = C1(G) và Ci+1(G) = [ Ci(G), G ] ∀i = 1,2….
Một dãy giảm dần các nhóm con Ci(G) này:
C1 = G  C2 …..
được gọi là dãy tâm dưới của G.
1.3.3.2 Định lý: Ci(G)  G với mọi i

Chứng minh:
Ta chứng minh bằng qui nạp theo i
Với i = 1, G = C1(G) suy ra C1  G
Giả sử định lý đúng với i = k tức là Ck(G)  G, ta chứng minh Ck+1(G)  G.
Ta có Ck+1(G)  G = [ Ck(G), G ] mà Ck(G)  G , C1(G)  G
nên theo ( Chương I, Định lý 1.3.2.1 (ii) ), suy ra: Ck+1(G)  G.
Vậy định lý đúng với mọi i nguyên dương.
1.3.3.3 Bổ đề:
(i)

Nếu H là nhóm con của G thì Ci(H) ≤ Ci(G) ∀𝑖 = 1,2, …

(ii)

Nếu 𝜑: 𝐺 → 𝐾 là một toàn cấu thì 𝜑(Ci(G)) = Ci(K)

(iii)

Ci(G) là nhóm con chuẩn tắc của G, ∀𝑖 = 1,2, …

(iv)

Ci(G) ≤ Ci-1(G), ∀𝑖 = 1,2, …

Chứng minh:
(i)

Ta chứng minh quy nạp theo i

Với i = 1 ta có C1(H) = H ≤ G = C1(G) đúng.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 18


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

Giả sử (i) đúng với i = k ( k ∈ 𝑁 ∗ 𝑣à 𝑘 > 1 ) , tức là giả sử Ck(H) ≤ Ck(G)
Ta chứng minh (i) đúng với i = k+1.
Ta có: Ck+1(H) = [ Ck(H), H ]. Do Ck(H) ≤ Ck(G) và H ≤ G nên:
Ck+1(H) = [ Ck(H), H ] ≤ [ Ck(G), G ] = Ck+1(G)
Suy ra (i) đúng với i = k+1.
Vậy (i) đúng.

(ii)

Ta chứng minh quy nạp theo i

Với i = 1 ta có 𝜑 ( C1(G) ) = 𝜑(G) = K = C1(K)
Giả sử 𝜑 (Ci(G)) = Ci(K)
Nếu x ∈ Ci(G), y ∈ G thì
𝜑 ( [ x, y ] ) = [ 𝜑 (𝑥), 𝜑 (𝑦) ] ∈ [ (Ci(G)), 𝜑(G) ] = [ Ci(K), K ] = Ci+1(K)
Do đó: 𝜑 (Ci+1(G)) = 𝜑 ( [ Ci(G), G ] ) ≤ Ci+1(K)
Ngược lại nếu a ∈ Ci(K), b ∈ K, do 𝜑 toàn cấu nên ∃𝑥 ∈ Ci(G), y ∈ G sao cho
a = 𝜑(x), b = 𝜑 (y)
và [a,b] = [ 𝜑(𝑥), 𝜑(𝑦)] = 𝜑( [ x,y ] ) ∈ 𝜑 ([ Ci(G), G ]) = 𝜑 (Ci+1(G)).
Do đó Ci+1(K) = [ Ci(K), K ] ≤ 𝜑(Ci+1(G)).
Vậy Ci+1(K) = 𝜑(Ci+1(G)).

(iii)

Kết quả này đã được chứng minh ở định lý 1.3.3.2

(iv)

Theo (iii) ta có Ci(G) là nhóm con chuẩn tắc của G, ∀𝑖 = 1,2, …

Do đó nếu x ∈ Ci(G), y ∈ G thì [ x, y ] = x-1xy ∈ Ci(G).
Vậy Ci+1(G) = [ Ci(G), G ] ≤ Ci(G) với mọi i.
1.3.3.4 Định nghĩa: ( Dãy tâm trên )
Ta định nghĩa một dãy tâm bởi:
Z0 = 1, Z1(G) = Z(G) và Zi(G) là ảnh ngược trong G của Z(G/ Zi-1(G)) với i = 1,2…

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 19


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

Một dãy tăng dần các nhóm con của Zi(G) này:
1= Z0 ⊂ Z1 ⊂…..
được gọi là dãy tâm trên của G
1.3.3.5 Định lý: Zi(G)  G, với mọi i
Chứng minh: ( Tương tự như ở định lý trước )
1.3.3.6 Định lý [2]: Cho G là một nhóm sao cho [ G, G ] hữu hạn. Khi đó nhóm
thương G/Z2(G) hữu hạn.

1.3.3.7 Định nghĩa: ( Nhóm lũy linh và lớp lũy linh )
Một nhóm G được gọi là lũy linh nếu Cm(G) = 1 với m nào đó. Nếu n+1 là
giá trị nhỏ nhất của m thỏa mãn điều kiện này thì n được gọi là lớp của G.
1.3.3.8 Mệnh đề: Một nhóm G được gọi là lũy linh nếu Zm(G) = 1 với m nào đó.
1.3.3.9 Định lý: Mọi p - nhóm đều lũy linh
Chứng minh: Nếu G = 1 định lý ln ln đúng. G  1, thì Z(G)  1 bởi định lý
1.3.2.2(i). Nếu: G/Z1  1 thì Z(G/Z1) = Z2/Z1  Z1/Z1, cũng do định lý 1.3.2.2 để ý
rằng Z1  G thì Z2  G
Tương tự Z2  G thì Z3  Z2, bằng qui nạp ta có thể chứng minh Zi  G thì Zi  Zi+1
và do đó:
{1} = Z0 ⊂ Z1 ⊂….. Zi ⊂ Zi+1
Do G hữu hạn. ∃ 𝑘 ∈ {1, 2, 3 … , 𝑖 + 1} / Zk(G) = G.
Vậy G là lũy linh.
1.3.3.10 Bổ đề: Nhóm con và ảnh đồng cấu của nhóm lũy linh là lũy linh.
Chứng minh:

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 20


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

Cho G là lũy linh, suy ra tồn tại n ∈ N sao cho Cn+1(G) = 1.
Giả sử H ≤ G, theo bổ đề 1.3.3.3 ta có Cn+1(H) ≤ Cn+1(G) = 1.
Suy ra Cn+1(H) = 1.
Vậy H là nhóm lũy linh.
Cho 𝜑 là một đồng cấu, gọi K là ảnh của G qua đồng cấu 𝜑.

Khi đó:
𝜑: 𝐺 → 𝐾 là tồn cấu
Theo bổ đề 1.3.3.3 thì Cn+1(K) = 𝜑(Cn+1(G)) = 𝜑(1) = 1.
Vậy K là lũy linh.
1.3.3.11 Mệnh đề: Nếu G là lũy linh thì G/Z(G) là lũy linh.
1.3.3.12 Mệnh đề: Nếu G là nhóm lũy linh thì mọi nhóm con thực sự của G đều
chứa trong nhóm con chuẩn hóa của nó.
1.3.3.13 Bổ đề: Cho G là một nhóm lũy linh và P là p-nhóm con Sylow của G ( p là
số nguyên tố) thì NG(NG(P)) = NG(P).
Chứng minh: Cho H = NG(P) thì P là nhóm con chuẩn tắc của H.
Do P là nhóm con Sylow của G, P ≤ H nên P là nhóm con Sylow duy nhất của H.
Cho g ∈ NG(H) Pg ≤ Hg = H
Lại do Pg là nhóm con Sylow của H kéo theo Pg = P, ta có g ∈ NG(P) = H, nên
NG(H) ≤ H
Vậy NG(H) = H hay NG(NG(P)) = NG(P).
1.3.3.14 Định lý: Cho G là một nhóm hữu hạn. Các mệnh đề sau đây tương đương
(i)

G là nhóm lũy linh

(ii)

Mọi nhóm con Sylow của G là chuẩn tắc

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 21


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

(iii)

Định lý Schur và các phần đảo

G là tích trực tiếp của các p-nhóm

Chứng minh:
(i)

⇒ (ii): Cho G là nhóm lũy linh và P là p-nhóm con Sylow của G.

Cho H = NG(P) , theo ( Chương I, Bổ đề 1.3.3.13 ) thì H = NG(H).
Do đó theo ( Chương I, Mệnh đề 1.3.3.12 ) thì H = G, vì vậy G = NG(P) hay P là
nhóm con chuẩn tắc của G.
(ii)

⇒ (iii): Cho p1,…, pk là những thừa số nguyên tố khác nhau của |𝐺 |

Ta có: |𝐺 | = 𝑝1 𝑛1 … 𝑝𝑘 𝑛𝑘 và giả sử G có các Pi nhóm con Sylow, Pi là chuẩn tắc,
với mọi i = 1, 𝑘
Ta chứng minh P1P2…Pi ≅ 𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑖 với mọi i (*)
(*) đúng với i = 1.
Do N = P1P2…Pi là nhóm con chuẩn tắc của G và Pi+1 cũng là nhóm con chuẩn tắc
của G nên: |𝑁| = |𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑖 | = |𝑃1 ||𝑃2 | … |𝑃𝑖 | = 𝑝1 𝑛1 𝑝2 𝑛2 … 𝑝𝑖 𝑛𝑖 nguyên tố
cùng nhau với |Pi+1 |.
Do đó N ∩ 𝑃𝑖+1 = 1.
Mặt khác N𝑃𝑖+1 biểu diễn các phần tử của nó nên:
N𝑃𝑖+1 ≅ 𝑁 × 𝑃𝑖+1 ≅ 𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑖 × 𝑃𝑖+1
Vậy (*) đúng.
Hay P1P2…Pi ≅ 𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑖 với mọi i

Chú ý rằng |𝑃1 𝑃2 … 𝑃𝑘 | = |𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑘 | = |𝑃1 ||𝑃2 | … |𝑃𝑘 | = |𝐺 |
Vậy G = P1P2…Pk ≅ 𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑘
(iii) ⇒ (i) Giả sử G = 𝑃1 × 𝑃2 × … × 𝑃𝑘 là tích các p-nhóm khơng tầm thường.
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 22


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

Thì Z(G) = Z(𝑃1 )× Z(𝑃2 )×…× Z(𝑃𝑘 ) ≠ 1
Do đó G/Z(G) = 𝑃1 /Z(𝑃1 ) × 𝑃2 /Z(𝑃2 ) × … × 𝑃𝑘 /Z(𝑃𝑘 ) là tích trực tiếp của p-nhóm
cấp nhỏ hơn.
Theo phương pháp quy nạp thì G/Z(G) là lũy linh, Cn(G/Z(G)) = 1.
Áp dụng bổ đề 1.2.1.6 (ii) với toàn cấu chiếu tự nhiên 𝜇: 𝐺 → G/Z(G) thì ta thấy
𝜇(Cn(G)) = Cn(G/Z(G)) = 1.
Vì thế Cn(G) ≤ ker 𝜇 = Z(G)
Và do đó Cn+1(G) = [ Cn(G), G ] ≤ [ Z(G), G ] = 1.Vậy G là lũy linh.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 23


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo


Chương II: ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO
Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày Định lý Schur và các
phần đảo của nó.

2.1 Transversal phải
2.1.1 Đinh
̣ nghiã
Giả sử G là một nhóm và H là nhóm con của G. Khi đó các lớp kề phải của
H trong G là
Hx1, Hx2,…
Trong mỗi lớp kề Hg, ta chọn ra một phần tử đại diện cho lớp kề đó, với 1 là đại
diện của H. Tập tất cả các phần tử đại diện của các lớp kề phải của H được gọi là
một transversal phải của H trong G.
Giả sử X là một transversal phải của H trong G. Ta kí hiệu phần tử đại diện
của lớp kề Hg là g , như vậy g ∈ X.
Ta lưu ý rằng hai lớp kề phải hoặc là trùng nhau hoặc là rời nhau. Do đó
Hg  H g vì g  Hg . Và nếu h ∈ H thì hg  g vì Hg  H g  Hhg  Hhg .

2.1.2 Ví dụ
Xét G là nhóm cyclic cấp 4 sinh bởi phần tử a, nghĩa là G  1, a, a 2 , a3 và
H  1, a 2  là nhóm con cấp 2 của G thì 1, a là một transversal phải của H trong G.

Khi đó ta có
2

3

1  1, a  a, a  1, a  a

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST


Trang 24


GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Định lý Schur và các phần đảo

2.1.3 Bổ đề
Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G, X là một transversal phải của
H trong G. Khi đó
g1 , g2  G, g1 g2  g1 g2

Chứng minh:
g1 g2 là đại diện của lớp Hg1 g2

g1 g 2 là đại diện của lớp H g1 g2

Theo lưu ý trên ta có Hg1  H g1 và H g1 g2  H g1 g2  Hg1 g2  H g1g2 .
Do đó g1 g2  g1 g2 , g1 , g2  G
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
2.1.4 Mệnh đề
Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G, X là một transversal phải của
H trong G. Với mỗi phần tử bất kì g ∈ G, xét ánh xạ

g : X  X
x a xg, x  X

Khi đó,  g là một phép thế của X.
Chứng minh:

Ta chứng minh  g là đơn ánh.
Giả sử  g  x    g  y  x, y  X  .
Theo định nghĩa ánh xạ  g ở trên, ta có xg  yg , do đó xgg 1  ygg 1 .
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST

Trang 25