ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
TÊN KHÓA LUẬN: LÝ THUYẾT GALOIS

GVHD

: Th.s Nguyễn Viết Đức

Sinh viên

: Nguyễn Đắc Lấn

Lớp

: 16CTUDE

Đà Nẵng – Năm 2020


MỤC LỤC
PHẦN GIỚI THIỆU ......................................................................................................1
1. Tiểu sử Evariste Galois ...........................................................................................1
2. Lý thuyết Galois như một lời tổng kết ...................................................................1
3. Mục đích của khóa luận ..........................................................................................1
4. Lời cảm ơn ...............................................................................................................3
PHẦN NỘI DUNG ..........................................................................................................3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................4
1.1. Nhóm ..................................................................................................................4

1.2. Đồng cấu nhóm ..................................................................................................4
1.3. Nhóm con ...........................................................................................................4
1.4. Liên hợp và nhóm con chuẩn tắc .....................................................................5
1.5. Nhóm thương .....................................................................................................5
1.6. Vành đa thức ...................................................................................................5
1.7. Nhóm đối xứng ..................................................................................................6
1.8. Đa thức đối xứng ...............................................................................................7
1.9. Nhóm giải được và nhóm đơn ..........................................................................7
CHƯƠNG 2. MỞ RỘNG TRƯỜNG ...................................................................10
2.1. Mở rộng trường và bậc của mở rộng trường ...............................................10
2.2. Trường con nguyên tố và trường nguyên tố ................................................12
2.3. Mở rộng đơn ....................................................................................................14
CHƯƠNG 3. LÝ THUYẾT GALOIS ......................................................................21
3.1. Tự đẳng cấu trường ........................................................................................21
3.2. Nhóm Galois ...................................................................................................23
3.3. Đa thức tách được, mở rộng tách được .......................................................24
3.4 Các tính chất của nhóm Galois .......................................................................26
3.5. Sự tương ứng giữa nhóm con và trường con ................................................31
3.6. Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức của phương trình đại số ...................32
CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS TRONG PHÉP DỰNG HÌNH
4.1. Khái niệm và tính chất về điểm và số dựng được ...........................................38
4.2. Một số bài toán áp dụng.....................................................................................40
4.2.1. Bài toán 1: Chia ba một góc ........................................................................40
4.2.2. Bài tốn 2 : Gấp đơi khối lập phương ........................................................41


4.2.3. Cầu phương đường trịn ..............................................................................41
4.2.4. Bài tốn 4: Chia đường tròn thành n phần bằng nhau ...........................41
4.3. Một vài phép dựng hình cụ thể .........................................................................43
4.3.1. Dựng đa giác đều 5 cạnh..............................................................................43

4.3.2. Dựng đa giác đều 15 cạnh ..........................................................................45
KẾT LUẬN ....................................................................................................................46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................47


1

PHẦN GIỚI THIỆU

1. Tiểu sử Evariste Galois
Evariste Galois ( 25 tháng 10 năm 1811 – 31 tháng 5 năm 1832) là một thiên tài
toán học người Pháp đoản mệnh, nhưng các cơng trình tốn học của ơng để lại là một
đề tài rất quan trọng cho việc tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc cao hơn 4
thơng qua việc xây dựng lý thuyết nhóm trừu tượng mà ngày nay gọi là lý thuyết nhóm
Galois, một nhánh quan trọng của đại số trừu tượng. Galois là người đầu tiên dùng từ
groupe (nhóm) như là một thuật ngữ tốn học để biểu thị cho nhóm hốn vị. Ơng chết
trong cuộc đấu súng khi mới 21 tuổi. (Trích Wikipedia)
2. Lý thuyết Galois như một lời tổng kết
Đại số cổ điển đã tìm cách giải những phương trình “đại số”
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 = 0, có hệ số thực hoặc phức, bằng những cơng thức
tường minh. Trường hợp phương trình bậc hai, các cơng thức quen thuộc cho nghiệm
của phương trình nhờ những căn số bậc hai. Đối với phương trình bậc ba và bậc 4, cũng
có những cơng thức tương tự dùng đến những căn số bậc cao hơn, phần giải chi tiết các
phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn sẽ có ở phần sau. Cịn những cố gắng
thử giải phương trình bậc năm tổng quát bằng căn thức được xác nhận là khơng có kết
quả và lý thuyết Galois đã chỉ ra điều đó.
Lý thuyết Galois là một lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số, tập hợp nhiều kiến thức
và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải quyết các bài toán cổ
điển và những vấn đề quan trọng nhất của đại số hiện đại.
Một trong những ứng dụng chủ yếu của lý thuyết Galois là giải quyết bài tốn

tìm nghiệm căn thức của phương trình đa thức, đặc biệt chỉ ra rằng phương trình bậc
lớn hơn hoặc bằng năm không thể giải bằng căn thức và còn chỉ ra những điều thú vị
khác như bài tốn dựng hình bằng thước kẻ và compa.
3. Mục đích của khóa luận
Giải phương trình đại số ( phương trình đa thức)
Hệ số trong ℕ,

được gọi là phương trình Diophantine. Hệ số trong ℚ ( thực

chất không liên quan đến bậc của phương trình
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n = 0 (*) ,

(𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) ϵ

, 𝑎𝑛 ≠ 0


2

→ Quy đồng mẫu số chung (𝑎, 𝑎0 , 𝑎1 , … 𝑎𝑛 ϵ
𝛼=

𝑝

).

∈ ℚ, (𝑝. 𝑞) = 1, 𝑝. 𝑞 ∈

𝑞


q | an
𝛼 là nghiệm của phương trình (*)  
trong
p
|
a
0

+) Việc giải phương trình: 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 0 trong

( )

bằng các

công thức tường minh đã thu hút rất nhiều nhà toán học trên thế giới, và chúng ta đã
biết phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba, bậc bốn thì nghiệm của nó sẽ được biểu
diễn dưới dạng cộng, trừ, nhân, chia và căn thức. Cách giải sẽ được trình bày tóm tắt
như sau:
+) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a  0 (1)  x =

−b
a

+) Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0, a  0 ( 2 )

 = b 2 − 4ac  x1,2 =

−b  
2a


+) Phương trình bậc ba: ax3 + bx 2 + cx + d = 0, a  0 ( 3)
Đặt y = x +

b
3a

(3)⇔ y3 + py + q = 0 ( ẩn y ) (3.1)
⇔ ( u + v ) + p ( u + v ) + q = 0, y = u + v
3

⇔ ( u3 + v3 + q ) + ( u + v )( p + 3uv ) = 0.

u 3 + v3 = −q


Chọn u , v thỏa mãn: 
−p
u
.
v
=

3


u 3 + v3 = −q

 3 3 − p3
u v =
27



⇒ u 3 , v3 là nghiệm của phương trình: T 2 + qT −

p3
= 0 có hai nghiệm là:
27

4 p3
−q  q +
2
3
27 = − q  q + p . Theo Cardano một nghiệm của phương trình bậc
2
2
4 27
2

ba là:

3

−

q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
+
+
+ − −

+
2
4 27
2
4 27

+) Phương trình bậc bốn: ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = 0, a  0 (4)


3

Đặt y = x +

b
 y 4 + Ay 2 + By + C = 0
4a

 y 4 = − ( Ay 2 + By + C ) ,

Chọn u: y 4 + 2uy 2 + u 2 = ( A + 2u ) y 2 + By + C + u 2 sao cho vế phải là bình phương.
 B2 = 4 ( A + 2u ) ( C + u 2 )

↑ (phương trình bậc ba ẩn u  u (thể hiện cộng, trừ, nhân,
chia, căn thức).
Còn những cố gắn thử giải phương trình bậc 5 tổng quát bằng nhân, chia, cộng,
trừ và căn thức được xác định là khơng có kết quả. Các lý do đã được E.Galois phát
hiện thơng qua việc xây dựng lý thuyết nhóm trừu tượng mà ngày nay gọi là lí thuyết
Galois, một nhánh quan trọng của đại số trừu tượng.
4. Lời cảm ơn
Nhân đây em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Viết Đức, người đã giới

thiệu em về lý thuyết này và hổ trợ nhiệt tình trong những buổi sermina để em hồn
thành được khóa luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình
giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán – Trường Đại Học Sư
Phạm, Đại Học Đà Nẵng.
Khóa luận này chắc sẽ khơng thể tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng
như là cách trình bày. Em mong muốn được quý thầy cơ và người đọc đóng góp ý kiến
để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020
Sinh Viên
Nguyễn Đắc Lấn

PHẦN NỘI DUNG


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm là một cặp (G, ) trong đó G là một tập hợp không rỗng
và là một luật hợp thành trên G ,thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
i.

Luật hợp thành là kết hợp, tức là
( x y) z = x ( y z ) , với mọi x, y, z  G .

ii.


Có một phần tử e  G , được gọi là phần tử trung lập, có tính chất
x e = e x = x, với mọi x  G .

iii.

Với mọi x  G , có một phần tử x '  G, được gọi là nghịch đảo của x,
sao cho:

x x' = x' x = e .

Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, ) được gọi là giao hốn (hay abel ) nếu
x y = y x, với mọi x, y  G

Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số ngun

cùng với phép tốn cộng thơng thường là một

nhóm giao hốn mà ta gọi là nhóm cộng các số ngun. Cũng như vậy ta có nhóm cộng
các số hữu tỉ, nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức.
Ví dụ 1.1.2 Tập hợp S n các phép thế của {1,2,…,n} cùng với tích các phép thế là một
nhóm hữu hạn, khơng giao hốn với mọi n  3 .
1.2. Đồng cấu nhóm
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử G và G ' là các nhóm (với luật hợp thành theo lối nhân). Một
ánh xạ 𝜑: G → G ' được gọi là đồng cấu nhóm nếu
𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦), với mọi x, y  G .
Ví dụ 1.2.2. Các phép bao hàm








đều là các đồng cấu của các nhóm

cộng.
1.3. Nhóm con
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử G là một nhóm. Một tập con khơng rỗng S  G được gọi là một
nhóm con của G nếu S khép kín với luật hợp thành trong G (tức là xy  S với mọi x, y  S
) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là x −1  S với mọi x  S ). Kí hiệu

S G.
Ví dụ 1.3.2. a) Mỗi nhóm cộng sau đây đều là nhóm con của các nhóm đứng sau:


5







b) Nhóm đối xứng S n là một nhóm con của nhóm S m với n  m
1.4. Liên hợp và nhóm con chuẩn tắc
Định nghĩa 1.4.1. Ánh xạ ca : G → G cho bởi công thức 𝑐𝑎 (𝑥) = 𝑎𝑥𝑎−1 được gọi là
phép liên hợp xác định bởi a. Phần tử 𝑎𝑥𝑎−1 được gọi là liên hợp với 𝑥 bởi a.
Định nghĩa 1.4.2. Nhóm con S của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G
nếu nó bất biến đối với mọi tự đẳng cấu trong của G, tức là 𝑐𝑎 (𝑆) = 𝑆. ∀𝑎 ∈ 𝐺 và được
kí hiệu là: S G .

1.5. Nhóm thương
Định nghĩa 1.5.1. Nếu K là một nhóm con chuẩn tắc của G thì G / K cùng với phép
nhân lập thành một nhóm. Nhóm G / K được gọi là nhóm thương của G theo nhóm
con chuẩn tắc K .
1.6. Vành đa thức
Cho A là một vành giao hốn có đơn vị 1  0 . Kí hiệu A[ x] là vành các đa thức biến

x

siêu việt có hệ tử trong A . Một đa thức f = a0 + a1 x + ... + an x  A [ x], an  0 gọi là có bậc
n, kí hiệu deg( f ) . Khi đó vành A chứa trong A [ x] như một vành con.

Mệnh đề 1.6.1. Cho vành đa thức A [ x] và R là một vành giao hoán chứa A như một
vành con, cho   R . Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành  từ A[ x] vào R thỏa:

 ( x) =  và  (a) = a, a  A .
Mệnh đề 1.6.2. Cho f , g  D [x] với D là một miền nguyên và g  0 có hệ tử dẫn đầu
khả nghịch. Tồn tại duy nhất q, r  D [x] sao cho

f = gq + r với r = 0 hay

deg(r )  deg( g ). Đa thức q (tương ứng r ) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia

(Euclid) f cho g .
Vành đa thức trên trường đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong Lý thuyết
mở rộng trường và Galois, nên trong suốt bài viết này tơi kí hiệu F là một trường và
khơng giải thích gì thêm.
Hệ quả 1.6.3. Mọi ideal của F[ x] đều là ideal chính. Hơn thế ideal ( f )  F[ x] là tối
đại khi và chỉ khi f bất khả quy.
Hệ quả 1.6.4. Cho f , g  F[ x] . Ký hiệu d = ( f , g ) . Khi đó tồn tại các đa thức

s, t  F[ x] sao cho sf + tg = d .

Mệnh đề 1.6.5. Cho f  [x] bất khả quy trên

. Khi đó f bất khả quy trên

.


6

Định nghĩa 1.6.6. Cho D là một miền nguyên Gauss. Một đa thức thuộc vành D[x] gọi
là chuẩn tắc nếu hệ tử dẫn đầu của f bằng 1.
Mệnh đề 1.6.7. Cho f  [x] là một đa thức chuẩn tắc. Nếu g  [x] là một ước chuẩn
[x] thì g  [x] .

tắc của f trong

Mệnh đề 1.6.8. Cho f = axnn + ... + a0  [x] . Nếu tồn tại một số nguyên tố 𝑝 sao cho: 𝑝 ∤
𝑎𝑛 , 𝑝|𝑎𝑖 , ∀ 𝑖 = 0, … , 𝑛 − 1 và 𝑝2 ∤ 𝑎0 thì f bất khả quy trong

[x] . (Tiêu chuẩn bất

khả quy của Eisenstein).
Mệnh đề 1.6.9. Cho f = a0 + ... + an xn  [x] . Nếu phần tử

r

s


là nghiệm của f thì

r | a0 và s | an .

Xét vành thương
vành [x] →

m

. Tồn cấu chính tắc →

m

mở rộng tầm thường thành toàn cấu

[x] biến f = a n x + ... + a0 thành f := an x n + ... + a0 .
n

m

Mệnh đề 1.6.10. Cho f  [x] . Nếu tồn tại một số nguyên tố p không chia hết hệ tử
cao nhất của f và f bất khả quy trong

p

[x] thì f bất khả quy trong

[x] .

1.7. Nhóm đối xứng

Định nghĩa 1.7.1. Nhóm đối xứng S n .
- Nhóm đối xứng S n là nhóm các hốn vị n phần tử của tập  = {1,..., n} , có cấp
bằng n! . Mỗi phần tử của S n gọi là một phép thế. Nhóm đối xứng S n với n  3 là một
nhóm khơng giao hốn.
- Một vịng xích  = (a1a2 ...am ) gồm các số tự nhiên phân biệt của  biểu diễn
một phép thế của S n được xác định bởi  (ai ) = ai +1 với 1  i  m − 1,  (am ) = a1 và giữ
nguyên các phần tử cịn lại của  .
- Vịng xích  gọi là có độ dài

m

nếu nó chứa

m phần

tử. Hai vịng xích được

gọi là độc lập nếu chúng khơng có phần tử chung. Tích của hai vịng xích độc lập có
tính giao hốn.
Mệnh đề 1.7.2. Mọi phép thế đều có thể biểu diễn một cách duy nhất (sai khác thứ tự)
dưới dạng tích của các vịng xích độc lập. Biểu diễn này được gọi là biểu diễn vịng
xích của phép thế.
Ví dụ 1.7.3. Phép thế (14

2 3 4 5 6
)
1 6 2 5 3

 S6 có thể viết thành tích của 3 xích


𝛼 = (5) (3,6) (1,4,2).


7

Chú ý: Để cho gọn, khi viết mỗi phép thế thành tích của các xích ta có thể bỏ qua các
xích có độ dài bằng 1.
Như vậy ví dụ 1.6.1 có thể viết thành 𝛼 = (3,6) (1,4,2).
1.8. Đa thức đối xứng
Định nghĩa 1.8.1. Đa thức f  R [X1 ,..., X n ] được gọi là đối xứng nếu
f ( X1 ,..., X n ) = f ( X  (1) ,..., X  ( n) ), với mọi   S n . Trong đó S n là nhóm đối xứng trên n

phần tử.
Định lí 1.8.2. (Định lí cơ bản về đa thức đối xứng).
Giả sử R là một miền nguyên, và f  R[X 1 ,..., X n ] là một đa thức đối xứng. Khi đó, tồn
tại duy nhất
f ( X 1 ,..., X n ) = g ( s1 ( X 1 ,..., X n ),..., sn ( X 1 ,..., X n )).

Ta thừa nhận khơng chứng minh định lí này.
1.9. Nhóm giải được và nhóm đơn
1.9.1. Nhóm giải được
Định nghĩa 1.9.1.1. Cho G là một nhóm nhân. Dãy chuẩn tắc của G là một dãy hữu
hạn các nhóm con phân biệt.
1 = G0

G1 ... G n = G ,

(*)

nghĩa là G i là nhóm con chuẩn tắc của G i+1 , với mọi i = 0,..., n − 1.

Các nhóm thương G i +1 / G i , với i = 0,..., n − 1, gọi là thành phần của dãy chuẩn tắc (*).
Dãy (*) gọi là dãy hợp thành của G nếu G i là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G i+1 ,
nghĩa là nếu có N G i+1 và N chứa G i thì G i = N hay N = G i+1 , với mọi i = 0,..., n − 1
Định nghĩa 1.9.1.2. Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại dãy chuẩn tắc (*)
sao cho G i +1 / G i , là nhóm aben, với mọi i = 0,..., n − 1.
Nhận xét 1.9.1.3. Mọi nhóm aben đều giải được
Ví dụ 1.9.1.4. S 3 là nhóm giải được. Vì S3 = G 0  A3  {e} là một dãy aben
S 4 là nhóm giải được. Vì S 4 = G 0  A 4  {e} là một dãy aben

Mệnh đề 1.9.1.5. Cho G là một nhóm.
i)

Nếu G giải được thì mọi nhóm con H của G giải được.

ii)

Nếu N G và G giải được thì G / N giải được.

iii)

Nếu tồn tại nhóm con chuẩn tắc N G sao cho N và G / N giải được thì G giải

được.


8

Chứng minh.
Cho dãy chuẩn tắc 1 = G 0


i)

G1 ... G n = G sao cho G i +1 / G i , là aben, với mọi

i = 0,..., n − 1. Đặt H i = G i  H. Khi đó ta có dãy chuẩn tắc :

1 = H0

H1 ... H n = H.

Ta sẽ chứng minh thành phần H i +1 / H i là aben. Ta có
H i +1 G i +1  H
G i +1  H
G  (G i +1  H )
=
=
 i
.
Hi
G i  H G i  (G i +1  H )
Gi

Nhóm cuối cùng là nhóm aben vì nó là nhóm con của nhóm aben G i +1 / G i ,
Vì vậy H là nhóm giải được.
Từ dãy hợp thành của G như trên, nhóm thương G / N có dãy các nhóm con sau

ii)

1 = G 0 N / N  G1N / N  ...  G n N / N.


Ta có

G i +1N / N G i +1N
theo định lí đẳng cấu. Mặt khác ta lại có

Gi N / N
Gi N

Nhóm cuối cùng là nhóm thương của G i +1 / G i nên là nhóm aben. Vậy G / N giải được.
iii)

Tồn tại hai dãy chuẩn tắc

1 = N0

N1 ... N r = N

1 = G 0 / N G1 / N .... G s / N = G / N với các thành phần aben, xét dãy
1 = N0

N1 ... N r = N = G 0

G1 ... G s = G / N có các thành phần đằng cấu với

Ni +1 / Ni hay đẳng cấu với G i +1 / G i  (G i +1 / N) / (G i / N), chúng đều là nhóm aben.

Vậy G giải được.
1.9.2. Nhóm đơn
Định nghĩa 1.9.2.1. Một nhóm G  1 gọi là nhóm đơn nếu G khơng có nhóm con
chuẩn tắc nào khác 1 và chính nó.

Như thế dãy (*) là dãy hợp thành của G khi và chỉ khi mọi thành phần G i +1 / G i là
các nhóm đơn.
Nhận xét 1.9.2.2. Nếu G là nhóm hữu hạn thì trong G = G1 có nhóm con chuẩn tắc tối
đại G 2 , nhóm G 2 chứa một nhóm con chuẩn tắc tối đại G 3 ,... Tiếp tục quá trình này ta
thấy rằng mọi nhóm hữu hạn đều có dãy hợp thành.
Mệnh đề 1.9.2.3. Mọi nhóm đơn giải được đều là nhóm cyclic có cấp nguyên tố.
Chứng minh. Gọi G là nhóm đơn giải được. Khi đó có dãy chuẩn tắc
1 = G0

... G r = G


9

Với các thành phần aben. Vì G đơn nên r = 1 và G = G / G 0 aben.
Trong nhóm aben, mọi nhóm con đều là nhóm con chuẩn tắc, do đó để G đơn, nó trùng
với nhóm con cyclic sinh ra bởi một phần tử bất kì khác 1 của G . Do đó G là nhóm
con cyclic cấp nguyên tố.
Hệ quả 1.9.2.4. Mọi nhóm hữu hạn G là giải được khi và chỉ khi tồn tại dãy hợp thành
1 = G0

G1 ... G n = G sao cho với mọi 1  i  n, ta có G i / G i−1 cyclic có cấp nguyên

tố.
Chứng minh. Gọi 1 = G 0

G1 ... G n = G là dãy hợp thành của nhóm giải được G. Khi

đó nhóm con G i+1 giải được nên nhóm thương G i +1 / G i giải được, với mọi i = 0,..., n − 1.
Do dãy trên là dãy hợp thành nên G i +1 / G i là nhóm đơn. Từ (mệnh đề 3.1.2.1 ), ta có

các thành phần G i +1 / G i là các nhóm cyclic cấp ngun tố. Chiều ngược là hiển nhiên vì
mọi nhóm cyclic đều aben.
Bổ đề 1.9.2.5. Cho G là nhóm nhân và H G sao cho G/H aben. Khi đó a, b G, ta
có a −1b−1ab  H.
Chứng minh. Với mọi a, b G, ta có
̅̅̅
𝑎𝑏 = 𝑎̅𝑏̅ = 𝑏̅𝑎̅ = ̅̅̅
𝑏𝑎.
Suy ra (𝑏𝑎)−1 (𝑎𝑏) = 𝑎−1 𝑏−1 𝑎𝑏 ∈ H.


10

CHƯƠNG 2
MỞ RỘNG TRƯỜNG
2.1. Mở rộng trường và bậc của mở rộng trường
2.1.1. Mở rộng trường
Định nghĩa 2.1.1.1 Cho hai trường F và K . F là trường con của K thì K được gọi là
một mở rộng của F ( có lúc ta hiểu F là đẳng cấu với một trường con của K thì cũng
nói K là một mở rộng của F ), kí hiệu là K : F hay K / F
Nhận xét 2.1.1.2.
-

Mọi trường đều là mở rộng của trường con nguyên tố của nó.

-

Cho K : F là một mở rộng trường. Khi đó trường con nguyên tố của chúng trùng
nhau.


Ví dụ 2.1.1.3. a)
b)

 ,

 ,



là các mở rộng trường.

 (i, 2)

Định nghĩa 2.1.1.4. Cho K : F và L : F là các mở rộng trường của F . Một đồng cấu
(đẳng cấu) trường  : K → L thỏa  (a) = a, a  F gọi là F - đồng cấu ( F - đẳng cấu).
Mở rộng K : F được gọi là F - đẳng cấu với mở rộng L : F nếu tồn tại F - đẳng cấu từ
K vào L , kí hiệu K  F L. Nếu K = L thì các F - đồng cấu ( F - đẳng cấu) gọi là F - tự

đồng cấu ( F - tự đẳng cấu).
Một cách tổng quát hơn ta có:
Định nghĩa 2.1.1.5. Cho F  K và E  L là các mở rộng trường, cho  : F → E là một
đồng cấu (đẳng cấu) trường. Đồng cấu (đẳng cấu)  : K → L gọi là mở rộng của  nếu

 (a) =  (a), a  F .
Định nghĩa 2.1.1.6. Mở rộng F  K gọi là đẳng cấu với mở rộng E  L nếu tồn tại các
đẳng cấu i : F → E và một mở rộng của nó j : K → L , nghĩa là j (a) = i(a), a  F .
Nhận xét 2.1.1.7. Quan hệ đẳng cấu của của các mở rộng trường là một quan hệ tương
đương. Đặc biệt, quan hệ “  F ” là một quan hệ tương đương.
Mệnh đề 2.1.1.8. Cho K : F và L : F là các mở rộng trường, cho  : K → L là một F đồng cấu. Cho   K là một nghiệm của f  F [ x] . Khi đó  ( )  L là một nghiệm của
f.



11

Chứng minh. Gọi f = an xn + ... + a0 . Ta có
f ( ) = an n + ... + a0 = 0 .

Suy ra
0 =  ( f ( )) = an ( )n + ... + a0 = f ( ( )).

Nghĩa là  ( ) là một nghiệm của f .
2.1.2. Bậc của mở rộng trường
Định nghĩa 2.1.2.1 Bậc của mở rộng trường K : F là chiều của F − không gian vecto
K , kí hiệu [K:F]. Nếu [K : F ] hữu hạn thì ta gọi K : F là một mở rộng hữu hạn. Nếu

mở rộng của K : F không hữu hạn thì gọi là mở rộng vơ hạn.
Ví dụ 2.1.2.2. Xét mở rộng trường

: . Ta biết mọi phần tử của

được viết một

cách duy nhất dưới dạng a + bi với a, b  . Do đó {1, i} là một cơ sở của

: . Suy ra

[ : ] = 2.

Ví dụ 2.1.2.3. Các mở rộng


:

,

: , K ( x) : K là các mở rộng vô hạn.

Nhận xét 2.1.2.4. Bậc của mở rộng F  K bằng 1 khi và chỉ khi F = K . Nói cách khác
bậc của mở rộng trường bằng 1 khi và chỉ khi mở rộng là tầm thường. Thật vậy, nếu

K = F. thì 1 = a , kéo theo  = a −1  F . Do đó F = K
Định lí 2.1.2.5. Cho K : F và L : K là các mở rộng trường. Khi đó L : F là một mở
rộng trường và
[L : F ] = [L : K ] [K : F ] .

Hơn thế nữa nếu {ei }iI và {f j } jJ lần lượt là các cơ sở của K : F và L : K thì {ei f j }iI , jJ
là một cơ sở của L : F.
Chứng minh. Kí hiệu E = {ei }iI , S = {f j } jJ và ES = {ei f j }iI , jJ . Cho u  L . Khi đó
u =  a j f j với a j biểu thị tuyến tính qua E nên thay a j trong biểu diễn của u bởi các

tổ hợp tuyến tính của S , ta có biểu diễn tuyến tính của

u

qua ES . Do đó ES là hệ sinh

của không gian vecto L trên F . Ta chứng minh rằng ES độc lập tuyến tính. Xét một tổ
hợp tuyến tính trong L cho bởi i,j aijei f j = 0 với aij  F . Ta viết  j (i aijei ) f j = 0 như
một quan hệ tuyến tính tầm thường của S . Do S độc lập tuyến tính, ta có i aijei = 0
với mọi j. Mặt khác, do E độc lập tuyến tính, ta có aij = 0 với mọi i, j . Vậy ES độc
lập tuyến tính.



12

Nhận xét 2.1.2.6. Định lí trên cho thấy rằng L : F là mở rộng hữu hạn khi và chỉ khi

L : K và K : F là các mở rộng hữu hạn.
Ví dụ 2.1.2.7 Tính bậc của mở rộng trường [ ( 2 + 3) : ]
Ta sẽ chứng minh

( 2 + 3) = ( 2, 3)

•

( 2, 3)  ( 2 + 3) ( hiển nhiên)

•

( 2 + 3)  ( 2, 3)

Thật vậy: Đặt

2+ 3=a

 2 =a− 3
 2 = (a − 3) 2
 2 = a 2 − 2a 3 + 3
a2 + 1
 (a)
2a

a2 + 1 a2 −1
2 =a− 3 =a−
=
 (a )
2a
2a
 ( 2, 3)  (a) = ( 2 + 3)

 3=

 2 + 3  ( 2 + 3)
 ( 2 + 3)  ( 2, 3)
 ( 2, 3) = ( 2 + 3) , Đa thức X 2 − 2 là đa thức tối tiểu của

[ ( 2) : ] = 2 , Đa thức X 2 − 3 là đa thức tối tiểu của

3 trên

2 trên

nên

( 2)

[ ( 2, 3) : ( 2) = 2 .

Vậy theo định lí 1.2.1 ta có [ ( 2, 3) : ] = [ ( 2, 3) : ( 2)].[ ( 2) : ] = 2.2 = 4
2.2. Trường con nguyên tố và trường nguyên tố
Nếu K là một trường, ta nhắc lại rằng đặc số của trường K là cấp chung của các phần
tử khác 0 K của K , nói riêng là cấp của phần tử đơn vị 1K , trong nhóm cộng của trường

K , tức là số nguyên dương s bé nhất sao cho s1k = 0k . Trường K gọi là có đặc số 0 khi

tồn tại số nguyên s  0 sao cho s1k = 0k . Và có thể kiểm chứng được rằng mọi trường
K hoặc có đặc số 0 hoặc có đặc số nguyên tố .

Ví dụ 2.2.1. Trường

các số hữu tỉ, trường

đều có đặc số 0. Còn mỗi trường

p

các số thực hay trường

các số phức

các số nguyên mod. p ( p là số nguyên tố ) có đặc

số p .
Bây giờ giả sử K là một trường cho trước, ta hãy xét các trường con của K . Tập
hợp tất cả các trường con của K là một tập hợp khác rỗng, vì K cũng là một trường


13

con của chính nó. Nếu ta gọi P là giao của tất cả các trường con của K , thì P là một
trường con của K không chứa trường con nào của K ngồi chính P ,và mọi trường con
của K đều chứa P .
Trường con P với tính chất như thế gọi là trường con nguyên tố của trường K

vậy mọi trường K đều có chứa một trường con nguyên tố P . Nếu xảy ra K = P , thì K
được gọi là trường ngun tố.
Định lí 2.2.2. Cho K là một trường và P là trường con nguyên tố của K . Nếu K có
đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường
P đẳng cấu với trường

p

các số hữu tỷ. Nếu K có đặc số nguyên tố p thì

các số nguyên mod. p.

Chứng minh. Đơn vị 1K của trường K , thuộc trường con P.
Xét đồng cấu vành h : → K định bởi h(m) = m1K m  . Vì 1K  P nên Im h  P. Cịn
nên có dạng s , với một số nguyên s  0 bé nhất

vì Kerh là một ideal của vành

thuộc Kerh , sao cho h( s) = s1K = 0, nên s chính là đặc số của trường K : Ta có hoặc
s = 0 hoặc

s là một số nguyên tố p . Vậy nếu K có đặc số

cấu miền nguyên h :

s = 0 ta có Kerh =0, và đẳng

 Im h  P. Do đó trường các thương

của


đẳng cấu với

trường các thương FD của miền nguyên D = Im h  P. Nhưng vì FD là một trường con
của K , chứa trong trường nguyên tố P  K nên FD = P . Vậy trong trường hợp K có
đặc số 0 này,

 P. Nếu K có đặc số s = p , Kerh = p , và định lý cơ bản về đồng cấu

vành cho đẳng cấu vành
/ Kerh =

Nhưng vì

/ p  Im h  P.

/ p = p là một trường, nên Im h cũng là một trường chứa trong trường

con nguyên tố P  K . Do đó

p

 Im h = P.

Định lí 2.2.3. Nếu K là một trường có đặc số nguyên tố p thì 𝑎 ⟼ 𝑎𝑝 là một tự đơn
cấu (−)𝑝 : 𝐾 ⟶ 𝐾 của trường 𝐾.
Chứng minh. Ta cần chứng minh
(𝑎 + 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 và (𝑎𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 𝑏𝑝 .
Với mọi a, b  K . Đẳng thức thứ hai là hiển nhiên theo quy tắc lũy thừa.
Ta còn phải chứng minh đẳng thức thứ nhất.

T có cơng thức khai triển nhị thức Newton:
𝑝

(a + b)𝑝 = ∑

(𝑝𝑘)𝑎𝑝−𝑘 𝑏𝑘 ,

𝑘=0


14

Trong đó
(𝑝0) = (𝑝𝑝) = 1 ,
Hơn nữa, với 1  k  p − 1, vì
𝑘! (𝑝𝑘) = 𝑝(𝑝 − 1) … (𝑝 − 𝑘 + 1) ,
Và do p là số nguyên tố, k! không phải là bội số của p , suy ra (𝑝𝑘) là bội số của p và
vì thế ta có (𝑝𝑘) 1K = 0 K . Do đó cơng thức khai triển nhị thức trên trở thành (𝑎 + 𝑏)𝑝 =
𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 đây là đẳng thức cần phải chứng minh.
Cuối cùng vì 1Kp = 1K , tự đồng cấu (−) p : K → K khơng tầm thường nên là đơn cấu.
Định lí trên cho thấy mọi trường K có thể xem như một mở rộng của trường con
nguyên tố P của nó.
2.3. Mở rộng đơn
2.3.1. Vành con và trường con sinh bởi một tập
Định nghĩa 2.3.1.1. Cho K là một trường và S là một tập con của K . Giao của tất cả
các vành con (trường con) của K chứa S là một vành con (trường con) của K , gọi là
vành con (trường con) sinh ra bởi S . Vành con (trường con) sinh ra bởi S là vành con
(trường con) nhỏ nhất của K chứa S .
Định nghĩa 2.3.1.2. Cho F  K là một mở rộng trường, cho S là một tập con của K .
Vành con (trường con) sinh ra bởi F  S trong K được gọi là vành con (trường con)

sinh ra bởi S trên F , kí hiệu F [ S ] (tương ứng F ( S )).
Nếu S = {s1 ,..., sn } thì ta kí hiệu F [ s1 ,..., sn ] cho F[S ]. Tương tự kí hiệu F ( s1 ,..., sn ) cho
F (S ) .

Nhận xét 2.3.1.3.
-

Ta có F ( s1 ,..., sn ) = F (s1 ,..., sn−1 )(sn ), n  2.

-

Nếu S  F , đặc biệt khi S =  thì F[ S ] = F ( S ) = F . Trong trường hợp S   ta
có kết quả ở mệnh đề 2.1.1.8

Mệnh đề 2.3.1.4. Cho mở rộng trường F  K và S   là một tập con của K . Khi đó
a)

F [ S ] = { ai1 ...in s1i1 ...snn | ai1 ...in  F , s j  S , n  } với quy ước s 0 = 1, s  S ;
hh

b)

f

F ( S ) =  := fg −1 | f , g  F [ S ], g  0  . Nói cách khác,tập F ( S ) là trường các
g


thương của F [ S ] .



15

Chứng minh.
a) Đặt
E = { ai1 ...in s1i1 ...snn | ai1 ...in  F , s j  S , n  }
hh

Ta chứng minh rằng E là vành con nhỏ nhất chứa F  S . Rõ ràng F  E do quy ước
trên. Tập E là một vành con vì nó là một nhóm con và đóng kín với phép nhân. Cuối
cùng mọi vành con của K chứa F  S đều chứa các phần tử của E .
b ) Hiển nhiên do tính chất của trường các thương.
Ví dụ 2.3.1.5.

= [i] = (i) . Tương tự, ta có

[ 2] = ( 2).

2.3.2. Cấu trúc của mở rộng đơn
Định nghĩa 2.3.2.1. Mở rộng trường F  K gọi là mở rộng đơn nếu tồn tại   K sao
cho K = F ( ). Phần tử  được gọi là phần tử nguyên thủy của mở rộng đơn. Chú ý
rằng một mở rộng đơn có thể có nhiều phần tử nguyên thủy khác nhau.
Ví dụ 2.3.2.2. Các mở rộng

 ,

 ( ),

 (i), F  F ( x) là các mở rộng đơn.


Định nghĩa 2.3.2.3. Cho K : F là mở rộng trường. Phần tử u  K được gọi là đại số
trên F nếu nó là nghiệm của một đa thức f khác 0 trong F[ x] . Một phần tử u  K
không đại số trên F được gọi là siêu việt trên F .
Định nghĩa 2.3.2.4. Mở rộng K : F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của K
đều đại số trên F.
3

Ví dụ 2.3.2.5. Các phần tử 𝑖, √2, √2 + √5 đều đại số trên

.

Mệnh đề 2.3.2.6. Cho K : F là mở rộng trường và u  K
i) Nếu u siêu việt trên F thì F (u )  F F ( x), trường các phân thức hữu tỉ trên F .
ii) Nếu u đại số trên F thì F (u ) = F [u ]  F F [ x] / ( f ) với f  0 là một đa thức có bậc
nhỏ nhất nhận u làm nghiệm.
Nhận xét 2.3.2.7. Cho K : F là mở rộng trường và u  K đại số trên F . Khi đó :
i)

Đa thức 0  f  F[ x] có bậc nhỏ nhất nhận u làm nghiệm khi và chỉ khi f bất

khả quy nhận u làm nghiệm. Điều đó tương đương với f (u) = 0 và f chia hết cho mọi
đa thức nhận u làm nghiệm.
ii)

Nếu f và g là hai đa thức của F[ x] có bậc nhỏ nhất nhận u làm nghiệm thì

deg( f ) = deg( g ) và hơn thế f

g . Trong các đa thức có bậc nhỏ nhất nhận u làm


nghiệm, tồn tại duy nhất một đa thức có hệ tử dẫn đầu bằng 1, đa thức đó gọi là đa thức
tối tiểu của u . Bậc của f được gọi là bậc của u ( trên F ) .


16

Hệ quả 2.3.2.8. Cho K : F là mở rộng trường và u  K đại số trên F có bậc n . Khi đó
mọi phần tử của F (u ) được viết duy nhất dưới dạng a0 + a1u + ... + an−1u n−1 , ai  F , với
mọi i = 0,..., n − 1. Nói cách khác tập {1, u,..., u n −1} là một cơ sở của F (u) : F . Suy ra mở
rộng đơn F (u) : F là một mở rộng hữu hạn.
Chứng minh. Gọi f là đa thức tối tiểu của u . Cho   F (u) . Gọi  = b0 + b1u + ... + bmu m .
Xét g = b0 + b1 x + ... + bm x m .
Tồn tại q, r  F[ x] sao cho g = fq + r với r = a0 + a1 x + ... + at xt , với t  n.
Rõ ràng  = g (u) = r (u) = a0 + a1u + ... + at u t .
Hơn nữa, nếu có hai biểu diễn
a0 + a1u + ... + an−1u n−1 = c0 + c1u + ... + cn−1u n−1 , thì chúng trùng nhau, nghĩa là

ai = ci , i = 0,..., n − 1. Thật vậy, nếu khơng thì 0 = (a0 − c0 ) + ... + (an−1 − cn−1 )u n−1 trái với

giả thiết u có bậc n .
Mọi mở rộng đơn đều là mở rộng hữu hạn. Điều ngược lại nói chung không đúng.
Hệ quả 2.3.2.9. Cho K : F là mở rộng trường và u, v  K đại số trên F . Nếu u và v có
cùng một đa thức tối tiểu thì tồn tại duy nhất một F − đẳng cấu trường  : F (u) → F (v)
sao cho  (u ) = v .
Chứng minh. Thật vậy các mở rộng đơn F (u ) và F (v) đều đẳng cấu với F[ x] / ( f ) với
f là đa thức tối tiểu của u và v .

Ta thấy rằng, ứng với một mở rộng đơn đại số trên F có một lớp các đa thức bất
khả quy liên kết với nhau trên F nhận u làm nghiệm.
Mệnh đề 2.3.2.10. Cho F là một mở rộng trường và f  F [ x] là một đa thức bất khả

quy. Khi đó tồn tại một mở rộng đơn đại số F ( ) : F sao cho  là một nghiệm của f .
Chứng minh. Ta có K := F[ x] / ( f ) là một trường. Đồng nhất a  F với a  K , ta có

K : F là một mở rộng trường. Đặt  = x . Rõ ràng f ( ) = f = 0 và K = F ( ).
2.4 Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số
2.4.1. Tính chất của mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số
Mệnh đề 2.4.1.1. Cho K : F là một mở rộng trường và u1 ,..., un  K sao cho u1 đại số
trên F và u j đại số trên F(u1 ,..., u j −1 ), j = 2,..., n. Khi đó F(u1 ,..., un ) là một mở rộng hữu
hạn trên F.


17

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp trên n . Với n = 1 ta có mở rộng đơn đại số
nên là mở rộng hữu hạn. Giả thiết kết quả đúng cho k . Đặt E = F(u1 ,..., uk ). Ta có
[F(u1 ,..., uk +1 ) : F] = [F(u1 ,..., uk +1 ) : E][E : F].

Theo giả thiết quy nạp, ta có [E : F ] hữu hạn. Mặt khác, ta có mở rộng
F(u1 ,..., uk +1 ) : E = E(uk +1 ) : E có uk +1 đại số trên E nên là mở rộng hữu hạn. Suy ra
F(u1 ,..., uk +1 ) : F là mở rộng hữu hạn.

Mệnh đề 2.4.1.2. Mọi phần tử của mở rộng hữu hạn bậc n đều đại số và có bậc là một
ước của n
Chứng minh. Cho K : F là một mở rộng hữu hạn và đặt n = [K:F]. Xét u K . Tập hợp
{1, u,..., u n } là một tập gồm n + 1 phần tử trong K nên phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn

tại quan hệ tuyến tính khơng tầm thường a0 + a1u + ... + anu n = 0. Nói cách khác u là
nghiệm của đa thức f = a0 + a1 x + ... + an xn F[ x] khác 0. Do đó u đại số trên F . Mặt
khác, ta có:
[K : F] = [K : F(u)][F(u) : F] = n. Do đó [F(u ) : F] | n. Vậy bậc của u là ước của n .


Hệ quả 2.4.1.3. Một mở rộng K : F là một mở rộng hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại
u1 ,..., un  K đại số trên F sao cho K = F(u1 ,..., un ).

Chứng minh. Giả sử [K : F] = n. Gọi { {u1 ,..., un } là một cơ sở của mở rộng K : F . Theo
mệnh đề trên thì u1 ,..., un đại số trên F . Rõ ràng K = F(u1 ,..., un ).
Mệnh đề 2.4.1.4. Cho F  K  L là các mở rộng trường. Khi đó L : F là mở rộng đại
số khi và chỉ khi L : K và K : F là các mở rộng đại số.
Chứng minh. Nếu L : F đại số thì rõ ràng các mở rộng L : K và K : F đại số. Ngược lại,
giả sử L : K và K : F đại số. Xét u L. Do u đại số trên K nên ta có
b0 + b1u + ... + bnu n = 0 với bi K không đồng thời bằng 0. Xét mở rộng F(b0 ,..., bn , u ) : F,

theo mệnh đề 2.3.1.1, đó là một mở rộng hữu hạn. Do đó u đại số trên F .
2.4.2. Trường con các phần tử đại số.
Mệnh đề 2.4.2.1. Cho K : F là một mở rộng trường. Tập hợp
E = {u  K | u đại số trên F}

là một trường con của K chứa F , gọi là trường con các phần tử đại số của K trên F .
Suy ra E : F là một mở rộng đại số.


18

Chứng minh. Vì mọi phần tử thuộc F đều đại số trên F nên F  E . Cho u, v E . Xét
mở rộng F(u, v) : F. Theo mệnh đề 2.3.1.1 và mệnh đề 2.3.1.2, ta có F(u, v) là đại số
trên F . Suy ra F(u, v)  E . Suy ra u − v, uv  F(u, v)  E và nếu u  0 ta có
u −1  F(u, v)  E. Vậy E là một trường.

Định nghĩa 2.4.2.2. Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức bậc lớn
hơn 0 đều có ít nhất một nghiệm trong K .

Ví dụ 2.4.2.3. Trường các số phức

là một trường đóng đại số. Đây là một kết quả cổ

điển thường được gọi là Định lí cơ bản của đại số.
Nhận xét 2.4.2.4. Cho K là một trường. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
i)

K đóng đại số ;

ii)

Mọi đa thức thuộc K[ x] có bậc lớn hơn khơng đều phân tích thành tích các nhân

tử bậc nhất ;
iii)

Mọi đa thức bất khả quy trong K[ x] đều là đa thức bậc nhất ;

iv)

Mọi mở rộng đại số của K đều trùng với K .

Định nghĩa 2.4.2.5. Cho K : F là một mở rộng trường. Trường K được gọi là bao đóng
đại số của F nếu K đóng đại số và K : F là mở rộng đại số.
Ví dụ 2.4.2.6. Trường
số của

là bao đóng đại số của


nhưng khơng phải là bao đóng đại

.

Mệnh đề 2.4.2.7. Cho K : F là một mở rộng trường, trong đó K đóng đại số. Kí hiệu
E là trường con các phần tử đại số của K : F . Khi đó E là một bao đóng đại số của F .

Chứng minh. Ta đã biết F  E là mở rộng đại số. Cho
f = a0 + a1 x + ... + an x n E[ x]

là một đa thức bậc lớn hơn 0. Do K đóng đại số, đa thức f có nghiệm u K . Rõ ràng
F(a0 ,..., an , u ) : F là mở rộng đại số trên F . Suy ra u E . Vậy E đóng đại số.

Nhận xét 2.4.2.8. Mọi trường con của

đều tồn tại một bao đóng đại số.

2.4.3. Mở rộng đại số lặp
Các mở rộng hữu hạn của một trường K có thể xây dựng bằng cách lặp lại nhiều
mở rộng đơn. Nếu trường K có đặc số 0 người ta có thể chứng minh rằng một mở rộng
nhiều lần lặp như thế có thể được sinh bởi một phần tử độc nhất chọn thích hợp. Ở đây
ta khơng nói đến chứng minh này, mà chỉ nói trực tiếp đến các tính chất của những mở
rộng nhiều lần lặp. Tổng quát, nếu E là một mở rộng bất kì của trường K chứa những
phần tử u1 , u2 ,...ur , thì kí hiệu K (u1 ,..., ur ) chỉ trường con của E sinh bởi K và các phần


19

tử u1 , u2 ,...ur E (trường con K (u1 ,..., ur ) ) này gồm tất cả các phần tử biểu thị được dưới
dạng một phân thức hữa tỉ theo u1 , u2 ,...ur với hệ tử thuộc K ). Một mở rộng bội như thế

cịn có thể thu được nhờ những mở rộng đơn lặp; chẳng hạn như K (u1 , u2 ) là mở rộng
đơn L(u2 ) của mở rộng đơn L = K (u1 ) của K .
Những mở rộng đại số lặp có thể xuất hiện trong việc giải phương trình và để giải
người ta thường đưa vào những phương trình phụ thích hợp.
Ví dụ 2.4.3.1 : Giải phương trình x 4 − 2 x 2 + 9 = 0 mà vế trái như là một đa thức của
[x] . Vì x 4 − 2 x 2 + 9 = ( x 4 − 6 x 2 + 9) + 4 x 2 = ( x 2 − 3) 2 + 4 x 2

Nên phương trình đã cho có thể viết thành:
2

 x2 − 3 

 = −1
2



Công thức này cho thấy bất kỳ trường nào có chứa nghiệm u của phương trình đã cho,
cũng chứa nghiệm i =
trường

u2 − 3
của phương trình y 2 = −1 . Nếu ta kết nối phần tử i này vào
2u

, thì trên trường mở rộng

(i ), phương trình ban đầu trở thành khả quy, vì:

x 4 − 2 x 2 + 9 = ( x 2 − 3 + 2ix)( x 2 − 3 − 2ix)


Theo công thức quen thuộc, dễ thấy nhân tử x2 − 3 − 2ix với hệ số trong

(i ), có thể viết

thành :
x 2 − 3 − 2ix = ( x 2 − 2ix + i 2 ) − 2 = ( x − i) 2 − 2.

Nếu ta kết nối vào

(i ) phần tử

2 , nghiệm của phương trình

z2 = 2

Thì x2 − 3 − 2ix có một nghiệm u = i + 2.
Do đó phương trình đã cho ban đầu có một nghiệm trong trường E = (i, 2) .
Trường E này có thể thu được bằng cách kết nối vào
ảo i . Trường trung gian

số thực

2 trước, rồi đến số

( 2) chỉ gồm tồn những số thực, cho nên khơng chứa i . Đa

thức bậc hai y 2 + 1 nhận i làm nghiệm do đó vẫn là bất khả quy trên trường thực
( 2) , cho nên mở rộng E = ( 2, i) có bậc trên


hai phần tử 1 và i . Đa thức z 2 − 2 có nghiệm
( 2) có bậc 2 trên
E = (i, 2) =

( 2) bằng 2 và có một cơ sở gồm

2 , là bất khả quy trên

nên mở rộng

và có một cơ sở 1, 2 . Do đó mọi phần tử w của trường

( 2, i) có thể biểu thị dưới dạng :


20

w = (a + b 2) + (c + d 2)i = a + b 2 + ci + d 2i

Với các hệ số hữu tỉ a, b, c, d có tính duy nhất. Vậy 4 phần tử 1, 2, i, 2i tạo thành một
cơ sở của mở rộng E = ( 2, i) của

.


21

CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT GALOIS
3.1. Tự đẳng cấu trường

Cho E là một trường, một tự đồng cấu của trường E là một ánh xạ T : E → E , sao
cho T (u + v) = Tu + Tv và T (uv) = (Tu )(Tv) (1)
Với mọi u, v  E . Nếu tự đồng cấu T không tầm thường, nghĩa là T (u ) = 0 kéo theo
u = 0 với mọi u  E , thì ta phải có T (1) = 1 , và khi đó T là đơn ánh. Đặc biệt, tự đồng

cấu T : E → E là tồn ánh thì cũng là song ánh, tức là một tự đẳng cấu của trường E .
Nếu T là một tự đẳng cấu của trường E , thì T cũng là một tự đẳng cấu của nhóm
cộng, đồng thời cũng là một tự đẳng cấu của nhóm nhân các phần tử khác 0 của E . Khi
đó, ngồi T (0) = 0 và T (1) = 1 , ta có T (−u ) = −Tu với mọi u  E và T (u −1 ) = (Tu )−1 với
mọi u  0  E. Vì tích TS của hai tự đẳng cấu T và S của trường E là một tự đẳng
cấu, ánh xạ nghịch T −1 của mỗi tự đẳng cấu T của E là một tự đẳng cấu và ánh xạ
đồng nhất I của E là một tự đẳng cấu.
Định lý 3.1.1. Tất cả các tự đẳng cấu của một trường E lập thành một nhóm.
Ta kí hiệu nhóm này là Aut ( E ).
Cho K là một trường và E là một mở rộng của K . Ta biết rằng E cũng là một không
gian vecto trên trường K , nói cách khác E có một cấu trúc K − không gian vecto. Một
tự đồng cấu của K − không gian vecto là một ánh xạ T : E → E sao cho :
T (u + v) = Tu + Tv và T (av) = a(Tv) (2)

Với bất kỳ u, v  E và mọi a  K . Một tự đồng cấu thỏa mãn (2) và song ánh được
gọi là một tự đẳng cấu của K − không gian vecto E .
Để ý, khi E là một mở rộng trường của K , một tự đồng cấu của K − không gian vecto
E không nhất thiết là một tự đồng cấu của trường E , vì điều kiện thứ hai của (1)

khơng thỏa mãn. Ngược lại một tự đồng cấu của trường E cũng là một tự đồng cấu của
K − không gian vecto nếu và chỉ nếu
Ta = a với mọi a  K

(3)


Tức là T giữ cố định mọi phần tử của trường K .


22

Định nghĩa 3.1.2. Cho E là một mở rộng trường của K , một tự đồng cấu T của
trường E thỏa mãn (3) (tức là giữ cố định mỗi phần tử của K ) được gọi là một K − tự
đồng cấu của E .
Tự đẳng cấu đồng nhất của trường E là một K − tự đẳng cấu tích TS của hai K −
tự đẳng cấu là một K − tự đẳng cấu, và đẳng cấu nghịch của một K − tự đẳng cấu cũng
là một K − tự đẳng cấu. Vì thế ta có
Định lý 3.1.3. Nếu E là một mở rộng trường của K , các K − tự đẳng cấu của trường
E tạo thành một nhóm, kí hiệu là AutK ( E ) nhóm con của nhóm Aut ( E ).

Định lý 3.1.4. Cho một trường E và một tự đồng cấu T  0 của E . Khi đó tập hợp
KT = {a  E | Ta = a}

là một trường con của trường E và T là một KT − tự đồng cấu của trường E.
Chứng minh.

Vì T  0, ta có T 1 = 1 nên 1  KT . Với bất kỳ a, b  KT , ta có

T (a − b) = Ta − Tb = a − b và T (ab) = (Ta)(Tb) = ab, cho nên a − b  KT và

ab  KT . Với mọi 0  a  KT , ta có Ta −1 = (Ta)−1 = a −1 nên a −1  KT . Vậy KT là một

trường con của trường E và T là một KT − tự đồng cấu của E.
Hệ quả 3.1.5. Cho E là một trường và I là một tập hợp những tự đẳng cấu của trường
E . Khi đó, tập hợp K I các phần tử a  E sao cho Ta = a với mọi T  I là một trường


con của E và I là một tập hợp những K I − tự đằng cấu của trường E .
Chứng minh. Với mỗi T  I , theo định lý 3.1.4, Tập hợp KT = {a  E | Ta = a} là một
trường con của E. Do đó giao K I = KT , (T  I ) là một trường con của E, và mỗi T  I
hiển nhiên thành một K I − tự đẳng cấu của E.
Trường con K I thường được gọi là trường các phần tử bất biến đối với tập hợp I
những tự đẳng cấu của trường E . Đặc biệt, với I = Aut ( E ), ta có trường con K I của E
gồm các phần tử bất biến qua mọi tự đẳng cấu của E , chính là trường con nguyên tố P
của E.
Định lý 3.1.6. Nếu ℋ là một nhóm hữu hạn gồm những tự đẳng cấu của trường E và
𝐾 = 𝐾ℋ là trường con của E tạo thành bởi các phần tử bất biến đối với ℋ, thì bậc
[E : K ] của E trên K khơng vượt q cấp của nhóm ℋ.