ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

PHAN THỊ NHƯ THỦY

LUẬT SỐ LỚN VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH CỬ NHÂN TOÁN - TIN

Giáo viên hướng dẫn: TS.LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng - 2014



LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian làm khóa luận , dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn
tơi đã hoàn thành đúng thời gian qui định. Kết quả có được khơng chỉ do nỗ lực của bản
thân mà cịn có sự giúp đỡ của q thầy cơ, gia đình, bạn bè.Tơi xin chân thành cảm ơn
đến :
- Các thầy cơ giáo trong khoa Tốn đã truyền đạt cho tôi những kiến thức chuyên
môn làm cơ sở và tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khố học.
- Đặc biệt, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Lê Văn Dũng đã tận tình
hướng dẫn trong suốt q trình làm khóa luận tốt nghiệp.
- Tơi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể gia đình, bạn bè những người
ln bên cạnh, cổ vũ tinh thần lớn lao và ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.
Trong quá trình thực hiện và trình bày khóa luận khơng thể tránh khỏi những sai sót
và hạn chế.Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ và các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Đà Nẵng, tháng 06 năm 2014
Sinh viên

Phan Thị Như Thủy.


MỤC LỤC

Những kí hiệu dùng trong khóa luận

6

1 Kiến Thức Cơ Sở

7

1.1

Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3


Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Một số khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Hội tụ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6

Phân phối tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7

Tổng và cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8

Monment và đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Luật số lớn và ứng dụng

17

2.1


Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của Toán học, nghiên cứu các hiện tượng
ngẫu nhiên và ứng dụng chúng trong thực tế. Là hiện tượng ngẫu nhiên nên không thể nói
trước nó xảy ra hay khơng xảy ra khi thực hiện các quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành
quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có
thể rút ra những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê - môn học nghiên cứu các
phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu , xử lý thông tin,nhằm rút ra các kết luận hoặc
đưa ra các kết luận cần thiết. Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính và cơng nghệ
thơng tin, Lý thuyết xác suất - thống kê được giảng dạy hầu hết các nhóm ngành ở bậc
cao đẳng, đại học.
Luật số lớn là một phần của Lý thuyết xác suất và thống kê. Trong thực tế, những
hiện tượng ngẫu nhiên do rất nhiều nguyên nhân ngẫu nhiên gây ra. Việc tìm điều kiện
để những hiện tượng như vậy xảy ra theo quy luật nào đó là ý nghĩa của nội dung “Luật

số lớn”.
Việc tìm hiểu “Luật số lớn” là nhu cầu cần thiết để phục vụ cho việc giảng dạy sau này
nên tôi chọn đề tài “Luật số lớn và ứng dụng” làm đề tài khóa luận của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm tổng quát của luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, hội tụ của chuỗi.
Tìm hiểu ứng dụng của luật số lớn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là nghiên cứu dãy biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của chúng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu trong khóa luận này là tập trung chính ở luật số lớn và ứng dụng
của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu về xác suất có liên quan đến đề tài.
Sử dụng kiến thức thuộc các lĩnh vực: Đại số,Giải tích, Lý thuyết xác suất và thống
kê.


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

6. Ý nghĩa khoa học
Tìm hiểu về luật số lớn nhằm phục vụ tốt cho việc nghiên cứu này.
Là một tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy và học môn lý thuyết xác suất thống
kê trong trường cao đẳng , đại học.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận. Bố cục bao gồm 2
chương :
• Chương 1 Kiến thức cơ sở.
• Chương 2 Luật số lớn và ứng dụng.


Mặc dù đã cố gắng nỗ lực và nghiêm túc trong công việc nghiên cứu và học hỏi các
vấn đề liên quan trong khóa luận tuy nhiên do hạn chế về mặt thời gian cũng kiến thức
và luận văn cũng là bước đầu cho vệc nghiên cứu khoa học đối với bản thân nên khi làm
khóa luận khơng tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tơi mong nhận được sự góp ý và
những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, tháng 06 năm 2014
Sinh viên

Phan Thị Như Thủy.

5


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN

N
R

An i.o
log(x)
log+ (x)
O
o
Ω
ω
F
R
∼

Ac
P (A)

Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số thực
lim supn→∞ An
logarit cơ số e của x
max{log(x), 0}

Vô cùng lớn.
Vô cùng bé
Không gian mẫu.
Tập con sơ cấp.
σ−đại số của tập con.
σ−đại số Borel trên R.
Tỉ lượng hai vế có xu hướng đến 1.
Phần bù.
Xác suất của A.
X, Y,...
Biến ngẫu nhiên
h.c.c
Xn → X Xn hội tụ hầu chắc chắn đến X
p
Xn → X
Xn hội tụ trong xác suất đến X
Lr
Xn → X
Xn hội tụ trong r- trung bình(Lr ) đến X
d
Xn → X

Xn hội tụ trong phân phối đến X.
h.c.c , a.s Hội tụ hầu chắc chắn
c.c
Hội tụ đầy đủ

6


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1

Khơng gian xác suất

1.1.1

Phép thử

Trong tốn học có những khái niệm khơng có định nghĩa mà chỉ có thể mơ tả chúng
bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực quan. Chẳng hạn trong hình học các khái niệm
điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm khơng có định nghĩa. Trong xác suất,
khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa. Ta có thể hiểu phép thử là
việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát một hiện tượng có xảy
ra hay khơng. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chính xác
kết quả nào sẽ xảy ra khi ta thực hiện phép thử đó.

1.1.2


Khơng gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên. Ta thường kí
hiệu là Ω.
Cho khơng gian mẫu Ω. Ta chỉ xét 1 lớp F các tập con của Ω thỏa mãn 3 điều kiện:
+∅∈F
+ Nếu A ∈ F thì Ac ∈ F
+ Nếu A1 , A2 , ... , An , ... ∈ F thì

∞
n=1 An

∈F

Lớp F như vậy được gọi là σ -đại số các tập con của Ω

1.1.3

Độ đo xác suất

Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:
+ Với mọi A ∈ F , 0 ≤ P(A) ≤ 1
+ P(Ω) = 1
+ Nếu A1 ,A2 ,... ,An ,... đôi một không giao nhau(Ai ∩ Ai = ∅ với mọi i = j) thì
∞

P(

∞
n=1 An )


=

P (An )
n=1

7


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Khi đó mỗi phần tử của F được gọi là biến cố và P(A) được gọi là xác suất xảy ra biến
cố A. Bộ ba (Ω, F, P ) gọi là không gian xác suất.

1.2

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P ). Ánh xạ X : Ω → R được gọi là Biến
ngẫu nhiên nếu X là hàm đo được, tức là với mọi a ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F .

1.2.1

Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2. Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R được gọi là
hàm phân phối xác suất của X .


1.2.2

Biến ngẫu nhiên độc lập

Cho n biến ngẫu nhiên X1 , ..., Xn xác định trên cùng một khơng gian mẫu có các hàm
phân phối xác suất lần lượt là F1 (x), ..., Fn (x). Ta nói các biến ngẫu nhiênX1 , ..., Xn độc lập
nếu với mọi x1 , ..., xn ∈ R ta có
P (X1 < x1 , ..., Xn < xn ) = F1 (x1 )...Fn (xn )

1.2.3

Biến ngẫu nhiên đối xứng

Định nghĩa 1.3. Cho X và X là hai biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất.
Khi đó ta gọi X s = X − X là biến ngẫu nhiên đối xứng.

1.2.4

Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục

Ta gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc, nếu nó có miền giá trị hữu hạn hoặc vơ hạn đếm
được. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1 , x2 , . . . , xn thì bảng số
X
P

x1
X = x1

x2
X = x2


...
xn
...
... X = xn ...

được gọi là bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu tồn tại một hàm số
f : R → R khả tích khơng âm sao cho với mọi y ∈ R,
y

F (y) =

f (x)dx,
−∞

trong đó : F (y) là hàm phân phối của X .
Khi đó, f (x) được gọi là hàm mật độ của X .
8


Luật số lớn và ứng dụng

1.3

SV: Phan Thị Như Thủy

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.3.1


Kỳ vọng toán

Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω; F; P ), khả tích Lebesgue.
Kì vọng của X , kí hiệu là E(X), được xác định bởi
E(X) =

XdP.
Ω

+ Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X
P

thì E(X) =

x1
p1

... xn ...
... pn ...

x2
p2

xk p k .
k

+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì:
+∞


E(X) =

xf (x)dx.
−∞

1.3.2

Phương sai

Cho biến ngẫu nhiên X , số V ar(X) = E(X − E(X))2 được gọi là phương sai của biến
ngẫu nhiên X.
+ Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X
P

x1
p1

x2
p2

... xn ... ...
... pn ... ...
2

x2 k p k −

thì V ar(X) =
k


xk p k

.

k

+ Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì :
+∞

x2 f (x)dx − 

V ar(X) =
−∞

1.3.3

 +∞

2

xf (x)dx .

−∞

Độ lệch tiêu chuẩn

Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ (X) được xác định bởi công thức:
σ (X) =


V ar(X).
9


Luật số lớn và ứng dụng

1.3.4

SV: Phan Thị Như Thủy

Trung vị

Số thực m được gọi là trung vị của biến ngẫu nhiên X nếu thỏa mãn P (X < m) ≤ 0.5
và P (X > m) ≤ 0.5
Kí hiệu med(X) = m.
Mệnh đề 1.4. (Bất đẳng thức đối xứng yếu)
Với mọi x và a,
1
P (X − med(X) ≥ x) ≤ P (X s ≥ x),
2
1
P (|X − med(X)| ≥ x) ≤ P (|X s | ≥ x) ≤ 2P (|X − a| ≥ x/2).
2

Đặc biệt,
1
P (|X − med(X)| ≥ x) ≤ P (|X s | ≥ x) ≤ 2P (|X − med(X)| ≥ x/2).
2

1.4


Một số khái niệm hội tụ

Trong lý thuyết xác suất có một vài khái niệm hội tụ. Ở đây chúng ta sẽ thảo luận 5
khái niệm trong số các khái niệm đó. Đặt X1 ,X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.5. Xn hội tụ hầu chắc chắn (a.s) đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞
nếu
P ({ω : Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞}) = 1
h.c.c

Kí hiệu: Xn −−−→ X khi n → ∞
Để định nghĩa trên có nghĩa ta cần phải chứng tỏ tập hội tụ
{ω : Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞}

là tập đo được.
Tập hợp này có thể được viết lại :
∞

∞

{|Xi − X| ≤ ε}

A=

(1.1)

ε>0 m=1 i=m

Tập hợp này không nhất thiết phải đo được. Tuy nhiên ta có thể biểu thị tập hợp hội tụ

theo cách tương đương khác là
∞

∞

∞

|Xi − X| ≤

B=
n=1 m=1 i=m

10

1
.
n

(1.2)


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Khi đó B là tập đo được, do đó định nghĩa trên có nghĩa.
Định nghĩa 1.6. Chuỗi

∞
n=1 Xn


hội tụ hầu chắc chắn nếu S = X1 + X2 + ... + Xn hội tụ

hầu chắc chắn khi n → ∞.
Định nghĩa 1.7. Xn hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu với mọi
ε > 0,
P (|Xn − X| > ε) → 0 khi n → ∞.
p

Ký hiệu: Xn →
− X khi n → ∞.

Định nghĩa 1.8. Xn hội tụ theo r- trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu

E|Xn − X|r → 0 khi n → ∞
L

r
Ký hiệu: Xn −→
X khi n → ∞.

Định lý 1.9. Cho X1 , X2 , ... và Y1 , Y2 , ... là các dãy biến ngẫu nhiên như vậy
Xn → X và Yn → Y khi n → ∞,

hội tụ hầu chắc chắn trong xác suất hoặc trong r-trung bình, tương ứng. Thì
Xn + Yn → X + Y khi n → ∞,

hội tụ hầu chắc chắn trong xác suất hoặc trong r - trung bình tương ứng.
Định lý 1.10.
Cho Xn là dãy biến ngẫu nhiên, khi đó ta có mối quan hệ giữa các dạng hội tụ


a.s

Xn −−→ X

⇒

p

Xn →
− X
⇑
Lr

Xn −→ X

11


Luật số lớn và ứng dụng

1.5

SV: Phan Thị Như Thủy

Hội tụ tương đương

Định nghĩa 1.11. Các dãy X1 , X2 , ... và Y1 , Y2 , ... các biến ngẫu nhiên là hội tụ tương
đương nếu


∞

P (Xn = Yn ) < ∞
n=1

Định lý 1.12. Nếu X1 , X2 , ... và Y1 , Y2 , ... là hội tụ tương đương thì
(i) P (Xn = Yn i.o) = 0
∞
n=1 (Xn

(ii)

− Yn ) hội tụ hầu chắc chắn

(iii) Nếu bn ∈ R, n ≥ 1, bn ↑ ∞ khi đó
1
bn

n

h.c.c

(Xk − Yk ) → 0 với n → ∞
k=1

Mệnh đề 1.13. Giả sử rằng X, X1 , X2 ,.. là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối
xác suất và cho r>0. Ta có các tương đương sau:
(i) E|X|r < ∞;
∞


(ii)

P (|Xk | > n1/r ε) < ∞ với tất cả ε>0;

n=1

(iii) P (|Xn | > n1/r ε) =0 với tất cả ∞>0;
(iv)

Xn h.c.c
→ 0 khi n → ∞.
n1/r

Mệnh đề 1.14. Giả sử rằng X, X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối
xác suất như vậy E|X|r < ∞ cho r > 0, và đặt
Yn = Xn I |Xn | = n1/r , n ≥ 1.

Khi đó X1 , X2 , ... và Y1 , Y2 , ...là hội tụ tương đương.

1.6

Phân phối tương đương

Định nghĩa 1.15. Các dãy X1 , X2 ,... và Y1 , Y2 , ...của các biến ngẫu nhiên được cho là sự
phân phối tương đương nếu
P (Xn = Yn ) → 0 khi n → ∞.

Khi các chuỗi hội tụ tiến tới 0 nó lập tức :

12



Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Mệnh đề 1.16. Nếu X1 , X2 , ... và Y1 , Y2 , ... là hội tụ tương đương khi đó ta có phân phối
tương đương.
Sau đây là một số tính chất liên quan đến phân phối tương đương , thứ hai, trong đó
giải thích tên của khái niệm tương đương:

Định lý 1.17. Nếu X1 , X2 , ...và Y1 , Y2 , ... là phân phối tương đương, khi đó
P

(i) Xn − Yn → 0 khi n → ∞;
d

d

(ii) Nếu Yn → Y khi n → ∞, khi đó Xn → Y khi n → ∞.

1.7

Tổng và cực đại

Như một sự chuẩn bị nữa chúng tôi chỉ ra một mối quan hệ giữa tổng của các biến
ngẫu nhiên đối xứng và cực đại riêng phần của chúng.

Mệnh đề 1.18. Cho X1 , X2 , ..là các biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng và đặt Yn =
n

k=1 Xk ,

max1≤k≤n |Xk |, và Sn =

n ≥ 1. Khi đó,

P (Yn > 2x) ≤ P (max1≤k≤n |Sk | > x) ≤ 2P (|Sn | > x), x > 0.

1.8

Monment và đuôi

Mệnh đề 1.19. (i) cho r>0. Giả sử X là biến ngẫu nhiên khơng âm. Khi đó
EX r < ∞ ⇒ xr P (X > x) → 0 khi x → ∞,

nhưng không nhất thiết phải ngược lại.
(ii) Giả sử X, X1 , X2 , ...là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất có trung
bình 0. Khi đó, nếu X là bất kì a>0,
EXI {|X| ≤ a} = −EXI {|X| > a} ,

và

n

Xk I {|Xk | ≤ a} ≤ nE|X|I {|X| > a} .

E
k=1

(iii)Cho a>0. Nếu X là biến ngẫu nhiên với trung bình 0, thì Y=XI{|X| ≤ a} khơng có

trung bình là 0. Tuy nhiên, nếu X là đối xứng, thì E Y=0.

13


Luật số lớn và ứng dụng

1.8.1

SV: Phan Thị Như Thủy

Một số bất đẳng thức

Định lý 1.20. [Bất đẳng thức Markov] Cho X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, với mọi ε > 0
và r > 0 ta có
P (|X − E(X)|r > ε) ≤

E|X − E(X)|r
εr

Trong trường hợp r = 2 bất đẳng thức trên còn được gọi là Bất đẳng thức Chebyshev.
Định lý 1.21. [Bất đẳng thức cr ] Đặt r > 0,giả sử rằng E|X|r < ∞ và E|Y |r < ∞. Thì
E|X + Y |r ≤ cr (E|X|r + E|Y |r ),

tại cr = 1 khi r ≤ 1 và cr = 2r−1 khi r ≥ 1.
Định lý 1.22. [Bất đẳng thức Kolmogorov] Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc
lập với trung bình 0 và giả sử rằng V arXk < ∞ với tất cả k.
Thì , với x > 0,
P (max1≤k≤n |Sk | > x) ≤


n
k=1 V arXk
x2

Đặc biệt, nếu X1 , X2 , ..., Xn là cùng phân phối, thì
P (max1≤k≤n |Sk | > x) ≤

nV arX1
x2

Định lý 1.23. [Bổ đề Borel- Cantelli thứ hai] Cho {An , n ≥ 1} là biến cố độc lập. Thì
∞

P (An ) = ∞ ⇔ P (An i.o.) = 1.
n=1

Mệnh đề 1.24. [Bất đẳng thức đối xứng mạnh] Cho mọi x và tất cả dãy {ak , 1 ≤ k ≤ n},
1
P (max1≤k≤n (Xk − med(Xk )) ≥ x) ≤ P (max1≤k≤n Xks ≥ x)
2
1
P (max1≤k≤n |Xk − med(Xk )|) ≥ x) ≤ P (max1≤k≤n |Xks | ≥ x)
2
≤ 2P (max1≤k≤n |Xk − ak | ≥ x/2).

Đặc biệt
1
P (max1≤k≤n |Xk − med(Xk )| ≥ x) ≤ P (max1≤k≤n |Xks | ≥ x)
2
≤ 2P (max1≤k≤n |Xk − med(Xk )| ≥ x/2).


14


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Định lý 1.25. Cho X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên như vậy
p

Xn → a khi n → ∞,

và giả sử rằng h là hàm số liên tục tại a. Thì
p

h(Xn ) → h(a) khi n → ∞.
p

Định lý 1.26. Cho X và X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên, giả sử rằng Xn → X khi n → ∞,
và cho r >0. Các phần sau là tương đương:
(i) {|Xn |r , n ≥ 1} là khả tích đều;
p

(ii) Xn → X khi n → ∞;
(iii) E|Xn |r → E|X|r khi n → ∞.
Hơn nữa, nếu r ≥ 1 và một trong những phần trên đúng, thì EXn → EX khi n → ∞
Định lý 1.27. Cho β > 0, và giả sử rằng X, X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân phối xác suất. Hơn nữa, cho bn , n ≥ 1 là dãy của số thực dương, không tăng đến +∞
, và đặt Yn = max1≤k≤n |Xk |, n ≥ 1. Thì

∞

∞
β−2

n

nβ−1 P (|X| > bn ) < ∞.

P (Yn > bn ) < ∞ ⇔

n=1

n=1

Đặc biệt, cho r > 0,
∞

nβ−2 P (Yn > n1/r ) < ∞ ⇔ E|X|2r < ∞,
n=1

và
Yn c.c
→ 0 ⇔ E|X|2r < ∞.
1/r
n

Hệ quả 1.28. Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với
EXn = 0, như vậy, với hằng số A>0,
sup |Xn | ≤ A.

n

Thì

n

V arXk ≤ x2 +
k=1

(x + A)2 P (max1≤k≤n |Sk | > x)
,
P (max1≤k≤n |Sk | ≤ x)

Đặc biệt, nếu P (max1≤k≤n |Xk | > x) < δ, δ ∈ (0, 1) thì
n

V arXk ≤ x2 + (x + A)2
k=1

15

δ
.
1−δ


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy


Định lý 1.29. [Bất đẳng thức Lévy] Với mọi x,
P (max1≤k≤n (Sk − med(Sk − sn )) > x) ≤ 2P (Sn > x),
P (max1≤k≤n |Sk − med(Sk − Sn )| > x) ≤ 2P (|Sn | > x).

Đặc biệt, trong trường hợp đối xứng,
P (max1≤k≤n Sk > x) ≤ 2P (Sn > x),
P (max1≤k≤n |Sk | > x) ≤ 2P (|Sn | > x).

16


CHƯƠNG 2

LUẬT SỐ LỚN VÀ ỨNG DỤNG

2.1

Luật yếu số lớn

Định nghĩa 2.1. Dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ... có kì vọng hữu hạn được gọi là tn
theo luật yếu số lớn nếu tồn tại hai dãy số (an ) và (bn ) trong đó (bn ) là dãy số dương không
giảm, limn→∞ bn = ∞ sao cho
S n − an p
→
− 0 khi n → ∞,
bn

trong đó Sn = X1 + X2 + ... + Xn .
Bổ đề 2.2. Cho n ≥ 1, đặt 0 ≤ an < δ < 1. Khi
(1 − an )n → 1 khi n → ∞ ⇔ nan → 0 khi n → ∞.


Hơn nữa, trong trường hợp khác, cho δ ∈ (0, 1), ta có nan < δ(1 − δ) < 1 với n đủ lớn, và
(1 − δ)nan ≤ 1 − (1 − an )n ≤ nan /(1 − δ).

Định lý 2.3. Cho X, X1 , X2 , ... là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất,
đặt Yn = max1≤k≤n |Xk |, n ≥ 1. Nếu {bn , n ≥ 1} là một dãy số thực dương khơng giảm, khi
đó
Yn p
→ 0 khi n → ∞ ⇔ nP (|X| > bn ε) → 0 với tất cả ε khi n → ∞.
bn

Đặc biệt, cho r>0,
Yn p
→ 0 ⇔ nP (|X| > n1/r ) → 0 khi n → ∞.
1/r
n

Chứng minh. Với n đủ lớn ta có
1
nP (|X| > bn ε) ≤ P (Yn > bn ε) ≤ nP (|X| > bn ε)
2

Bất đẳng thức thứ hai suy ra trực tiếp từ
n

{Yn > bn ε} ⊂

{|Xk | > bn ε}
k=1


17


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Để chứng minh bất đẳng thức thứ nhất, ta có
P (Yn > bn ε) = 1 − (P (|X| ≤ bn ε))n = 1 − (1 − P (|X| > bn ε))n

Do đó, cho n đủ lớn, bất đẳng thức trên thông qua một ứng dụng của Bổ đề 2.2 với
δ = 1/2.

Bổ đề 2.4. Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất và
số thực dương b. Đặt Yk = Xk I(|Xk | ≤ b), S = X1 + X2 + ... + Xn , S = Y1 + Y2 + ... + Yn . Khi
đó với mọi x > 0 ta có
P (|Sn − ES | > x) ≤

nV arY1
+ nP (|X1 | > b).
x2

Định lý 2.5. Cho X, X1 , X2 , ... là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất
n
k=1 Xk .

với kì vọng hữu hạn µ, đặt Sn =

Khi đó


Sn p
→ µ khi n → ∞.
n

Chứng minh. Các công cụ cần thiết để chứng minh là bất đẳng thức cắt Chebyshev (Định
lý 1.20 ). Trung tâm nó là hạn chế cho µ=0 trong chứng minh.
Cho ε > 0, và đặt , cho k=1, 2,..., n, n= 1,
n

Yk,n = Xk I |Xk | ≤ nε

3

, và Sn =

Yk,n .
k=1

Áp dụng Bổ đề 2.4 với b = nε3 , ta có
1
V arY1,n + nP (|X| > nε3 )
nε2
1
≤ 2 EY1,n 2 + nP (|X| > nε3 )
nε
1
= 2 E(X 2 I |X| ≤ nε3 ) + nP (|X| > nε3 )
nε
≤ εE|X|I |X| ≤ nε3 + nP (|X| > nε3 )


P (|Sn − ESn | > nε) ≤

≤ εE|X| + nP (|X| > nε3 ).

Do đó, từ Mệnh đề 1.19,
lim sup P (|Sn − ESn | > nε) ≤ εE|X|,
n→∞

Do đó, ε tùy ý, ta có
Sn − ESn p
→ 0 khi n → ∞.
n

Mặt khác từ Mệnh đề 1.19 ta có
|ESn | = |nEXI |X| ≤ nε3 | ≤ nE|X|I |X| > nε3 ,
18

(2.1)


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

suy ra
ESn
→ 0 khi n → ∞.
n

(2.2)


Từ (2.1) và (2.2) suy ra
Sn p
→ 0 khi n → ∞
n

Định lý 2.6. (Luật yếu số lớn Marcinkiewicz-Zygmund) Cho 0các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với E|X|r < ∞ và Sn là tổng riêng.
Trong trường hợp 1 ≤ r < 2 giả thiết thêm EX=0. Khi đó
Sn p
→ 0 khi n → ∞
n1/r

Chứng minh. Khi trung bình khơng tồn tại khi 00Chúng ta bắt đầu xem xét trường hợp 1

3 
n

1/r 2 − r
Yk,n = Xk I |Xk | ≤ n ε
, và Sn =
Yk,n


k=1

Với nghiên cứu chính xác trong chứng minh của Định lý 2.5, ta đến

1/r

P (|Sn − ESn | > n

ε) ≤

1

1/r

n(2/r)−1 ε2

V arY1,n + nP (|X| > n

3
)
ε2 − r

3
≤ εE|X|r + nP (|X| > n1/r ε 2 − r ),

mà, thông qua Mệnh đề 1.19(i), cho thấy
lim sup P (|Sn − ESn | > n1/r ε) ≤ εE|X|r
n→∞

Nó còn cho thấy rằng

Sn
→ 0 khi n → ∞, sau đó kết luận (thơng qua Định lí 1.27). Ta
n1/r

tiến hành cơ bản như trong chứng minh trước:


3 

|ESn | = |nEXI

|X| ≤ n1/r ε 2 − r


3
≤ n(n1/r ε 2 − r )1−r E|X|r I

| ≤ nE|X|I





3 
1/r 2 − r
|X| > n ε










3 
|X| > n1/r ε 2 − r







3(1 − r)
3 

= ε 2 − r n1/r E|X|r I |X| > n1/r ε 2 − r = o(n1/r ) với n → ∞,








19


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

khi đó E|X|r < ∞.
Bây giờ cho 0trong xác suất. (Định lý 1.10).
Với M > 0 là đủ lớn ta có E|X|r I {|X| > M } < ε. Công thức này là bất kỳ ε > 0, khi
E|X|r < ∞. Đặt

Yk = Xk I {|Xk | ≤ M } và Zk = Xk I {|Xk | > M } , k = 1, 2, ...

Khi đó, theo bất đẳng thức cr ( Định lý 1.21),ta có
n

n

Zk |r ≤ nM r + nE|Z1 |r

r

r

Yk | + E|

E|Sn | ≤ E|

k=1

k=1

= nM r + nE|X|r I {|X| > M } ≤ nM r + nε,

để
lim sup
n→∞

Điều này chứng tỏ rằng

E|Sn |r
≤ ε.
n

Sn
→ 0 trong r-trung bình khi n → ∞.
n1/r

Định lí tiếp theo thiết lập luật yếu số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên khơng có kì vọng
hữu hạn.
Định lý 2.7. Cho X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên độc lập với tổng riêng {Sn , n ≥ 1}, và
cho {bn , n ≥ 1} là dãy các tập số thực dương, tăng lên đến +∞. Hơn nữa, cho k=1,2,..,n,
n≥ 1, đặt

n

Yn = Xk I {|Xk | ≤ bn } , Sn =

Yk,n , và µn = ESn .
k=1

Nếu

n

P (|Xk | > bn ) → 0 khi n → ∞

(2.1)

k=1

và
1
bn 2

n

V arYk,n → 0, khi n → ∞,

(2.2)

k=1

Khi đó
Sn − µn p
→ 0 khi n → ∞.
bn

(2.3)

Nếu, ngồi ra,
µn
→ 0 khi n → ∞,
bn

Khi đó
Sn p
→ 0 khi n → ∞.
bn

Ngược lại, nếu luật yếu (2.3) đúng, thì khi đó có thể làm (2.1) và (2.2).
20

(2.4)


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Chứng minh. Chứng minh điều kiện đủ. Áp dụng Bất đẳng thức Chebyshev và Định lý
1.20 ta có
P (|Sn − µn | > bn ε) ≤

n

1
bn 2

n

P (|Xk | > bn ),

V arYk,n +

k=1

k=1

Khi mà ta quan sát giả định rằng phần đi cho bởi (2.3) là đúng.Phần cịn lại là trực
tiếp.
Chứng minh điều kiện cần.Giả sử (2.3) đúng. Do Định lí 1.27 ta biết rằng
Sn s p
→ 0 khi n → ∞.
bn

Từ Mệnh đề 1.18 ta có được luật yếu số lớn.
max1≤k≤n |Xk s | p
→ 0 khi n → ∞.
bn

Mặt khác, đối với dãy biến ngẫu nhiên đối xứng thì (2.1) thỏa mãn.
Để xác minh (2.2), tương tự như vậy trong trường hợp đối xứng, ta thấy rằng
n

Yk,n s
bn

V ar
k=1

→ 0 khi n → ∞.

trước hết, kể từ khi ta biết (2.1) đúng , ta có
n

n

n

s

P

Yk,n =
k=1

Xk

s

P (|Xk s | > bn ) → 0 với n → ∞,

≤

k=1

(2.5)

k=1

Điều đó có nghĩa là, bởi phân phối tương đương, luật yếu cũng đúng với chuỗi cắt ngắn;
xem lại,..., Mệnh đề 1.14.
Trở lại với tổng phương sai, cho n0 đủ lớn
n

P
k=1

Yk,n s
>ε
bn

< δ < 1/2 với n > n0 ,

s /b , 1 ≤ k ≤ n
Cho n>n0 , và lưu ý rằng Yk,n
n

là các biến ngẫu nhiên bị chặn đều (bởi 2).

Áp dụng các hệ quả của “bất đẳng thức Kolmogorov” Định lý 1.22 , Hệ quả 1.28, và bất
đẳng thức Lévy( Định lý 1.29) (và hàm đơn điệu) x/(1-x) với 0n

V ar
k=1

s
Yk,n

bn

P
2

max1≤k≤n

2

≤ ε + (ε + 2) .
1−P
2P
2

2

≤ ε + (ε + 2) .
1 − 2P

21

max1≤k≤n
n
k=1

s
Yk,n

k
j=1

s
Yk,n

>ε
bn
s
Yk,n
k
>ε
j=1 b
n

>ε
bn
,
s
Yk,n
n
>ε
k=1 b
n


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Do đó, nhớ rằng luật yếu(cũng) đúng bởi các biến ngẫu nhiên chặt khúc, ta kết luận rằng
n

lim sup
n→∞

V ar
k=1

Yk,n s
bn

≤ ε2 .

Chọn tùy ý ε trong trường hợp đóng và cịn lại là khơng đối xứng.
Bất đẳng thức đối xứng yếu, Mệnh đề 1.4, áp dụng (2.5) cho thấy
n

P (|Xk − med(Xk )| > bn ) → 0với n → ∞,
k=1
p

và, kể từ Xn /bn → 0 với n → ∞, áp dụng Định lí 1.27 thấy rằng med(Xn /bn ) → 0 với
n → ∞, do đó, cuối cùng, (2.1) cũng thỏa mãn trong trường hợp chung.

Sự không đối xứng của phương sai cắt ngắn là việc dễ dàng hơn, vì
n

k=1

Yk,n
1
)=
V ar(
bn
2

n

V ar(
k=1

s
Yk,n

bn

).

Chứng minh hồn thành.
Ví dụ 2.8. Giả sử X, X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất
với hàm mật độ xác suất

c
,
x2 log|x|
0

f (x) =

với |x| > 2
ngược lại,

c là hằng số.
Ta có
E(|Xn |) =

|x|>2

c|x|
dx = 2c
2
x log|x|

∞
2

1
dx = +∞
xlogx

Vì vậy đây là dãy biến ngẫu nhiên khơng có kì vọng hữu hạn.
Với bn = n trong Định lý 2.7-giả định tự nhiên cho luật số lớn- điều kiện đầu tiên trở
thành

∞

nP (|X| > n) = 2n
n

c
x2 logx

dx ∼ n

C
C

=
→ 0 khi n → ∞,
nlogn
logn

và điều thứ hai trở thành
n

1
2
c
2c
nE|X|2 I {|X| ≤ n} =
x2 2
dx =
2
n
n 2
x logx
n
C
→ 0 khi n → ∞,
logn

n
2

1
C n
dx ∼

logx
n logn

Cả hai điều kiện của Định lí 2.7 thỏa mãn nên (Xn ; n ≥ 1) tuân theo luật yếu số lớn.

22


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

Ví dụ 2.9. Giả sử X, X1 , X2 , ... là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất
với hàm mật độ xác suất chung
1
2x2
0

f (x) =

khi |x| > 1,
ngược lại.

Dễ dàng kiểm tra trung bình khơng tồn tại.
Điều kiện đầu tiên với bn = n trở thành
∞

nP (|X| > n) = n
n

1
dx = 1,
x2

Để luật Kolmogorov-Feller không đúng. Tuy nhiên, kiểm tra các điều kiện trong Định lý
2.7 với bn = nlogn thay vào đó, với điều kiện đầu tiên, mà
∞

nP (|X| > nlogn) = n
nlogn

1
1
→ 0 khi n → ∞,
dx =
2
x
logn

và với điều thứ hai là
nlogn

1
1
nEX 2 I {|X| ≤ nlogn} =
1dx
2
(nlogn)
n(logn)2 1
1

≤
→ 0 khi n → ∞.
logn

Bởi Định lý 2.7 ta kết luận rằng
Sn p
→ 0 khi n → ∞.
nlogn

Ta có luật yếu số lớn.
Định lý 2.10. Giả sử X, X1 , X2 , ... là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác
suất với tổng riêng Sn . Khi đó
Sn − nEXI {|X| ≤ n} p
→ 0 khi n → ∞,
n

nếu và chỉ nếu
nP (|X| > n) → 0 khi n → ∞.

(2.6)

Chứng minh. Như giải thích ở trên, chứng minh về tổng đầy đủ để xác minh(2.1) và (2.2).
thứ nhất là chính xác (2.6), và thứ hai là giảm(như trong ví dụ) xuống

1
EX 2 {|X| ≤ n},
n

được ước tính với sự trợ giúp của tiêu chuẩn thiết bị “Cắt”.Qua đó, ta cải thiện vô cùng

23


Luật số lớn và ứng dụng

SV: Phan Thị Như Thủy

lớn O(1)E|X| tới vô cùng bé o(1).
1
1
2
EX 2 I {|X| ≤ n}
nEX
I
{|X|
≤
n}
=
n2
n
n
n
1
1
2
=
EX {k − 1 < |X| ≤ k} ≤
k 2 P (k − 1 < |X| ≤ k)
n
n

1
≤
n
=

=

2
n
2
n

k=1
n

k=1

k

1
P (k − 1 < |X| ≤ k) =
n

j=1

k=1
n

jP (j − 1 < |X| ≤ n) ≤
j=1

n−1

(j + 1)P (j < |X|) ≤
j=0

4
n

2
n

n

n

P (k − 1 < |X| ≤ k)

2j
j=1

k=j

n

jP (j − 1 < |X|)
j=1

n−1

jP (|X| > j) → 0 với n → ∞.

j=0

Điều kiện cần chứng minh tương tự chứng minh của Định lý 2.7.
Ví dụ 2.11. Xét dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ≥ 1) độc lập, cùng phân phối xác suất và có
hàm mật độ xác suất
f (x) =

1
1
.
, −∞ < x < ∞,
π 1 + x2

để
2 π
2x
1
1
xP (|x| > x) = x ( − arctanx) =
arctan → với x → ∞,
π 2
π
x
π

và điều kiện (2.6) không thỏa mãn nên ta khơng có luật yếu số lớn.

2.1.1

Ứng dụng

Định lý xấp xỉ Weierstrass

Định lý xấp xỉ Weierstrass nói rằng mọi hàm liên tục trên một khoảng đóng hữu hạn
có thể xấp xỉ bởi một đa thức.
Bây giờ ta áp dụng luật yếu số lớn và bất đẳng thức Chebyshev để chứng minh. Giả sử
rằng u là hàm liên tục trên đoạn [0,1] và do đó liên tục đều và bị chặn, bởi một số thực
M . Đặt

n

un (x) =
k=0

k
n
u( )(
)xk (1 − x)n−k .
n
k

Gọi X, X1 , X2 ,... là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với biến ngẫu
nhiên Bernoulli;P (X = 1) = 1 − P (X = 0) = x, và đặt Yn =

1
n

k=1 nXk .n

≥ 1. Từ

Eu(Yn ) = un (x), ta sẽ chỉ ra rằng Eu(Yn ) ≈ u(x) với n lớn.
p

Theo luật yếu số lớn ta có Yn → x khi n → ∞, và do u là hàm liên tục và bị chặn nên theo
Định lý 1.25 và 1.26, ta có
p

u(Yn ) → u(x) và un (x) = Eu(Yn ) → u(x) khi n → ∞.
24