Mục lục

1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Môđun nội xạ và vành liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4

2

Môđun thỏa điều kiện mở rộng đối với lớp môđun con đóng
2.1 Vành và mơđun giả c - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Về môđun giả c - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Áp dụng của lớp môđun giả c - nội xạ vào lớp vành nửa đơn
2.2 Vành và môđun giả c∗ - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa, tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Vành tự đồng cấu của môđun giả c∗ - nội xạ . . . . . . . .

6
6
6
10
11
11
15

1

LỜI GIỚI THIỆU
Gần đây, một số tác giả đã đưa ra các trường hợp tổng qt hóa của mơđun tựa
nội xạ và môđun giả nội xạ (xem [6], [19], [20], [26],...). Môđun tự - c - nội xạ là
trường hợp đặc biệt tổng qt hóa của mơđun tựa nội xạ như đã nghiên cứu trong
Harada [9]. Nhắc lại, môđun M được gọi là GQ - nội xạ (tổng quát hóa tựa nội
xạ) nếu với mọi môđun con N đẳng cấu đến mơđun con đóng K của M, thì mỗi
đồng cấu từ M → N có thể mở rộng đến M. Năm 2000, Clara và Smith đã giới
thiệu định nghĩa M - c - nội xạ như sau: môđun N được gọi là M - c - nội xạ nếu
với mọi mơđun con đóng A của M và mỗi đồng cấu A → M, có thể mở rộng đến
đồng cấu từ M → N . Năm 2005, Đinh Quang Hải đã nghiên cứu sự tổng qt hóa
của mơđun M - nội xạ là giả M - nội xạ. Môđun N được gọi là giả M - nội xạ
nếu mỗi môđun con A của M và mỗi đơn cấu từ A → N có thể mở rộng đến đồng
cấu từ M → N . Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là giả M - nội xạ. Theo
hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài luận văn là:
"Điều kiện nội xạ trên lớp mơđun con đóng"
Mục đích chính của bài luận văn này là chúng ta chú ý đến sự tổng qt hóa
của mơđun M - c - nội xạ và mơđun giả M - nội xạ, đó là môđun giả M - c - nội
xạ và môđun giả M - c∗ - nội xạ và một số tính chất của nó.
Đề tài nhằm trình bày một cách hệ thống chi tiết những kiến thức nền tảng về
môđun giả c - nội xạ và môđun giả c∗ - nội xạ làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu
hơn. Trong bài luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của mơđun
giả c - nội xạ và mơđun giả c∗ - nội xạ.
Ngồi lời giới thiệu và kết luận, bài luận văn được chia làm hai chương như
sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số
khái niệm cơ bản về mơđun liên quan đến nội dung chính của bài luận văn như:
mơđun, mơđun con đóng, mơđun cốt yếu, mơđun con bất biến đầy, ...
Chương 2: Môđun thỏa điều kiện mở rộng đối với lớp mơđun con đóng

Phần thứ nhất của chương, chúng tôi nghiên cứu vành và môđun giả c - nội
xạ. Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản của mơđun giả M
- c - nội xạ và môđun giả c - nội xạ. Đồng thời áp dụng chúng vào lớp vành nửa
đơn. Phần thứ hai chúng tôi nghiên cứu vành và môđun giả c∗ - nội xạ. Trong phần
này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính chất đặc biệt của mơđun giả M - c - nội xạ, đó là
mơđun giả c∗ - nội xạ. Sau đó, chúng tơi nghiên cứu vành tự đồng cấu của môđun
giả c∗ - nội xạ.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn này, vành R được xét luôn là vành kết hợp với đơn vị 1
= 0 và tất cả các môđun là R - môđun Unita.

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Cho vành R. M được gọi là R - mơđun phải nếu và chỉ nếu M
là nhóm cộng aben cùng với phép tốn nhân (ngồi).
Ánh xạ: M × R → M thỏa mãn các điều kiện sau:
(m, r) → mr
(i) quy tắc kết hợp: m(rr ) = (mr)r
(ii) quy tắc phân phối: (m + m )r = mr + mr
m(r + r ) = mr + mr
(iii) quy tắc Unita: m1 = m
với ∀m, m ∈ M, ∀r, r ∈ R
Chúng ta thường ký hiệu R - môđun phải M là MR .

Tương tự, ta cũng có khái niệm R - môđun trái. Ký hiệu: R M.
Định nghĩa 1.1.2. Cho MR và A là nhóm con của M. A được gọi là môđun con
của M. Nếu A là R - mơđun phải với phép tốn cộng và nhân hạn chế trên A.
Ký hiệu: A ≤ M
Ngoài ra, chúng ta viết A < M để chỉ A là môđun con thực sự của M.
Định nghĩa 1.1.3. A được gọi là mơđun con đóng của M nếu với mọi mơđun con
B = 0 của M mà A ≤e B thì B = A hoặc tương đương, tồn tại một môđun con B
của M sao cho B cực đại với tính chất B ∩ B = 0
Định nghĩa 1.1.4. Định nghĩa 1. Cho MR, 0 = A ≤ M. Môđun con A được gọi
là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu A ∩ N = 0, ∀N ≤ M, N = 0
⇐⇒ ∀N ≤ M, A ∩ N = 0 ⇒ N = 0.
Ký hiệu: A ≤e M
Định nghĩa 2. Đơn cấu f : M → N được gọi là cốt yếu nếu Imf ≤e M.
3


Định lý. Cho 0 = A ≤ M. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
i) A ≤e M.
ii) ∀m ∈ M và m = 0, thì tồn tại x ∈ R: 0 = mx ∈ A.
Định nghĩa 1.1.5. Môđun M được gọi là đều nếu M = 0 và mọi môđun con khác
0 của M đều cốt yếu trong M.
Định nghĩa 1.1.6. Cho M, N là hai R - mơđun phải. Đồng cấu α từ M vào N
đó là ánh xạ α: M → N thỏa: ∀a1 , a2 ∈ M, ∀r1 , r2 ∈ R: [α(a1 r1 + a2r2 )] =
α(a1 )r1 + α(a2 )r2 . Lúc đó, ta viết α : MR → NR .
Đặc biệt, f : M → M còn được gọi là tự đồng cấu của M.
Ký hiệu: End(M) = {tự đồng cấu của M} : Vành tự đồng cấu của M.
Định lý 1.1.7. ([7]) A đóng trong B, B đóng trong M thì A đóng trong M.

1.2 Mơđun nội xạ và vành liên quan
Định nghĩa 1.2.1. Môđun Q được gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi đơn cấu f :

K → M và mỗi đồng cấu g : K → U thì tồn tại một đồng cấu p : M → U sao
cho: pf = g, nghĩa là biểu đồ sau giao hốn:
U
g

0

✲

♣
✻ ■♣ ♣ p
♣♣
♣♣
♣
f
✲

K

M

Khi đó, ta gọi p là mở rộng của g theo đơn cấu f .
Định nghĩa 1.2.2. Cho A ≤ M. A được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ
nếu ∃B ≤ M sao cho M = A ⊕ B hay M = A + B và A ∩ B = 0
Định nghĩa 1.2.3. Cho MR. Chúng ta xét các điều kiện sau trên M.
C1: Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M.
C2: Mỗi môđun con của M là đẳng cấu đến hạng tử trực tiếp của M, thì nó
cũng chính là hạng tử trực tiếp của M.
Môđun MR được gọi là mở rộng (hoặc CS) nếu nó thỏa mãn C1. Mơđun MR
được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn C1 và C2. Vành R được gọi là vành liên tục

phải (t.ư. CS) nếu RR là liên tục (t.ư. CS).
Định nghĩa 1.2.4. Môđun M được gọi là chiều Goldie hữu hạn nếu E(M) là tổng
trực tiếp hữu hạn của các môđun con không phân tích được.
4


Định nghĩa 1.2.5. Một môđun M trên vành R được gọi là thỏa điều kiện dây
chuyền tăng nếu mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊂ M2 ⊂ ... của M đều dừng,
nghĩa là tồn tại n sao cho:
Mn = Mn+1 = ...
Ký hiệu: ACC
Tương tự, ta cũng có định nghĩa điều kiện dây chuyền giảm. Ký hiệu: DCC
Định lý 1.2.6. (Định lý Osofsky’s) Một vành R được gọi là nửa đơn Artin nếu và
chỉ nếu mọi R - môđun phải xyclic là nội xạ.
Định nghĩa 1.2.7. Vành chính quy Von Neumann là một vành R với tính chất mỗi
phần tử a ∈ R luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.

5


Chương 2
Môđun thỏa điều kiện mở rộng đối với lớp
môđun con đóng
Tồn bộ các kết quả trong bài luận văn này được lấy từ các bài báo của nhóm
tác giả trong [18] và [23]. Tuy nhiên, các kết quả đó đã chứng minh một cách vắn
tắt. Trong đề tài này, chúng tôi sẽ chứng minh lại một cách chi tiết, rõ ràng và hồn
chỉnh hơn.

2.1


Vành và mơđun giả c - nội xạ

2.1.1 Về môđun giả c - nội xạ
Định nghĩa 2.1.1. Cho M, N là các môđun. Môđun N được gọi là giả M - c - nội
xạ nếu mỗi mơđun con đóng A của M và mỗi đơn cấu f từ A → N có thể mở
rộng đến đồng cấu g từ M → N .
N

♣
✻ ■♣ ♣ g
♣♣
♣♣
i✲
✲ A
M
f

0

với i : A → M là đơn cấu chính tắc
Môđun M được gọi là giả c - nội xạ nếu M là giả M - c - nội xạ.
Vành R được gọi là giả c - nội xạ phải nếu RR là giả c - nội xạ.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra một số đặc trưng của môđun giả M - c - nội
xạ. Nhưng trước hết, chúng tôi sẽ giới thiệu một định nghĩa sau:
Cho M là R - môđun phải và S = EndR (M) là vành tự đồng cấu. Một môđun
con X của M được gọi là bất biến đầy của M nếu với ∀s ∈ S, ta có s(X) ≤ X.
Ký hiệu: X ≤f M.
Bổ đề 2.1.2. Cho M, N là hai môđun. Khi đó,
(1) Nếu N là giả M - c - nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N thì A là
6



giả M - c - nội xạ.
(2) Nếu N là giả M - c - nội xạ và B là mơđun con đóng của M thì N là
giả B - c - nội xạ.
(3) Nếu M là giả c - nội xạ thì A là giả c - nội xạ với mọi mơđun con đóng
bất biến đầy A của M.
(4) Giả sử M M và N N . Nếu N là giả M - c - nội xạ thì N là giả
M - c - nội xạ và nếu N là giả M - c - nội xạ thì N là giả M - c - nội xạ.
Chứng minh. (1). Gọi A là hạng tử trực tiếp của N và mơđun con C đóng trong
M. Xét biểu đồ các đồng cấu sau:
0
❄

i1

✲

♣♣
g ♣♣
f
♣♣
♣
❄✠

C

M

A


i2
❄

N
với i1 , i2 là các đơn cấu chính tắc và f là đơn cấu.
Giả sử N = A ⊕ A , p: N → A là phép chiếu chính tắc được xác định bởi n = a
+ a ∈ N , a ∈ A, a ∈ A , p(n) = a. Vì N là M - c - nội xạ nên tồn tại f : M → N
sao cho f i1 = i2 f. Đặt g = pf . Khi đó, gi1 = pf i1 = pi2 f = f (do pi2 = 1 ). Vậy A
là giả M - c - nội xạ.
(2). Gọi B là mơđun con đóng của M. Giả sử A đóng trong B. Khi đó, A đóng
trong M (theo Định lý 1.1.0.7). Xét biểu đồ các đồng cấu sau:
A

i1

✲

B

i2

✲

M

f
❄

N

với i1 , i2 là các đơn cấu chính tắc và f là đơn cấu.
Vì N là giả M - c - nội xạ nên tồn tại một đồng cấu f : M → N sao cho
f i2 i1 = f . Do đó, với mọi a ∈ A thì f (a) = f (a). Khi đó, hạn chế f |B : B → N là
mở rộng của f (vì ∀ a ∈ A, f |B (a) = f (a)). Vậy N là giả B - c - nội xạ.
(3). Gọi H là môđun con đóng của A và f : H → A là đơn cấu. Xét biểu đồ
7


các đồng cấu sau:
H

iH

✲

A

iA

✲

M

f
❄

A
iA
❄


M
với iH , iA là các đơn cấu chính tắc.
Ta có H đóng trong A và A đóng trong M, nên H đóng trong M (theo Định
lý 1.1.0.7). Vì M là giả c - nội xạ nên tồn tại một đồng cấu h: M → M sao cho
hiA iH = iA f . Khi đó, h |A : A → M là một đồng cấu. Mặt khác, vì h(A) ≤ A (do
A là mơđun con đóng bất biến đầy của M) nên có thể xem h |A : A → A là đồng
cấu và h |A (x) = f (x), ∀x ∈ H. Vậy A là giả c - nội xạ.
(4).
a) Giả sử N là giả M - c - nội xạ. Xét biểu đồ sau với A đóng trong M , i là đơn
cấu chính tắc và f là đơn cấu
♣
✻ ■♣ ♣ f
♣♣
♣♣
♣
i✲
✲ A

N

f

0

M

Chúng ta cần chỉ ra tồn tại f : M → N sao cho f i = f . Thật vậy, vì M M
nên ∃ φ: M → M đẳng cấu. Theo giả thiết, A đóng trong M nên φ(A) đóng
trong M. Khi đó, f ϕ : φ(A) → N là đơn cấu với ϕ: φ(A) → A là một đẳng cấu
được xác định bởi ∀ a ∈ A, ϕ(φ(a)) = a. Xét biểu đồ các đồng cấu sau:

N
fϕ

♣
✻ ■♣ ♣

φ(A)

♣♣g
♣♣
♣♣
♣
i1
✲

M
❅
■
❅ φ
❅
❅
❅

M
Vì N là giả M - c - nội xạ nên tồn tại g : M → N sao cho: gi1 = f ϕ. Đặt f
= gφ. Chúng ta cần chứng minh f i = f . Thật vậy, ∀ a ∈ A, ta có f i(a) = f (a) =
8


gφ(a) = gi1 (φ(a)) = f ϕ(φ(a)) = f (a). Vậy, N là giả M - c - nội xạ.

N nên tồn tại φ : N → N là đẳng
b) Giả sử N là giả M - c - nội xạ. Vì N
cấu. Xét biểu đồ sau:
0

✲

A

i✲

M

f
❄

N
φ
❄

N
với i là đơn cấu chính tắc, f là đơn cấu.
Vì N là giả M - c - nội xạ và φf đơn cấu nên tồn tại f : M → N sao cho f i
= φi. Đặt h = φ−1 f . Khi đó, hi = f . Vậy N là giả M - c - nội xạ.
Từ định nghĩa của môđun CS, chúng ta có:
Mệnh đề 2.1.3. Mơđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi R - môđun là giả M - c - nội
xạ.
Chứng minh. (=⇒). Vì M là CS nên mỗi mơđun con đóng A của M đều là hạng
tử trực tiếp của M. Lấy N là môđun con bất kỳ. Xét biểu đồ sau với f là đơn cấu
0


✲

A

p

✲

M

f
❄

N
Xét pA : M → A là tồn cấu chính tắc. Khi đó, f pA là mở rộng của f .
(⇐=). Giả sử K là mơđun con đóng của M. Từ giả thiết, tồn tại một đồng cấu
f : M → K là mở rộng của đồng cấu đồng nhất i : K → K. Vậy K là hạng tử
trực tiếp của M. Vậy A là giả M - c - nội xạ. Suy ra M là CS.
Mệnh đề sau đây là điều kiện cần và đủ cho môđun giả M - c - nội xạ.
Mệnh đề 2.1.4. Cho M, N là hai môđun, X = M ⊕ N và πM : X → M là phép
chiếu chính tắc. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) N là giả M - c - nội xạ.
(2) Mỗi môđun con K của X, πM (K) là mơđun con đóng của M với
K ∩ M = K ∩ N = 0, thì tồn tại C ≤ X sao cho K ≤ C và N ⊕ C = X.
9


Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử K ≤ X, πM (K) là mơđun con đóng của M với
K ∩ M = K ∩ N = 0, πM : M ⊕ N → M và πN : M ⊕ N → N là các tồn

cấu chính tắc. Chúng ta có thể kiểm tra được, N ⊕ K = N ⊕ πM (K). Giả sử
ϕ : πM (K) → πN (K) là một đồng cấu được xác định bởi: k = m + n ∈ K (với
m ∈ M, n ∈ N ), ϕ(m) = n. Dễ dàng chứng minh được ϕ là một đơn cấu. Vì N
là giả M - c - nội xạ nên tồn tại một đồng cấu ϕ : M → N mở rộng của ϕ. Đặt C
= {m + ϕ(m) | m ∈ M }. Vì vậy, X = N ⊕ C và K ≤ C.
(2) =⇒ (1). Lấy A là mơđun con đóng bất kỳ của M và ϕ : A → N là đơn
cấu. Đặt K = {a − ϕ(a) | a ∈ A }. Vì vậy, πM (K) = A, K ∩ M = 0 và N ⊕ K
= N ⊕ πM (K) = N ⊕ A. Theo giả thiết, tồn tại một môđun con C của X chứa K
sao cho N ⊕ C = X. Giả sử π : N ⊕ C → N là phép chiếu chính tắc. Vì vậy hạn
chế π |M là mở rộng của ϕ.
Với M ⊕ N là mơđun giả c - nội xạ thì chúng ta có kết quả sau:
Định lý 2.1.5. Nếu M ⊕ N là mơđun giả c - nội xạ thì N là M - c - nội xạ.
Chứng minh. Lấy A là mơđun con đóng của M và f : A → M là đồng cấu. Chúng
ta xác định g : A → M ⊕ N bởi g(a) = (f (a), a), ∀a ∈ A. Khi đó g là đơn cấu.
Theo Bổ đề 2.1.2, M ⊕ N là giả M - c - nội xạ. Do đó, g được mở rộng đến đồng
cấu g : M → M ⊕ N . Giả sử πN : M ⊕ N → N là phép chiếu chính tắc thì πN g :
M → N là mở rộng của f .
2.1.2 Áp dụng của lớp môđun giả c - nội xạ vào lớp vành nửa đơn
Trước hết, chúng ta có ví dụ chứng tỏ tổng trực tiếp của các môđun giả c - nội
xạ không là giả c - nội xạ.
Ví dụ 2.1.6. Giả sử p là nguyên tố nguyên, M1 = Z/pZ và M2 = Z/p3 Z. Khi đó,
M1, M2 là các mơđun giả c - nội xạ (bởi vì nó đều). Nhưng M1 ⊕ M2 khơng phải
là giả c - nội xạ.
Chúng ta có một câu hỏi được đặt ra ở đây là: Khi nào thì mỗi tổng trực tiếp
của hai mơđun giả c - nội xạ là giả c - nội xạ. Định lý sau là câu trả lời và nó chính
là kết quả chính của mục này.
Nhắc lại, vành R được gọi là nửa đơn Artin nếu R là vành nửa đơn, nghĩa là
mọi iđêan phải là hạng tử trực tiếp của RR. Chúng ta có định lý quan trọng sau:
Định lý 2.1.7. Cho R là vành. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là nửa đơn Artin.

(2) Mỗi tổng trực tiếp của hai môđun giả c - nội xạ là giả c - nội xạ.
10


(3) Mỗi môđun giả c - nội xạ là nội xạ.
(4) Bất kì tổng trực tiếp của họ các mơđun giả c - nội xạ là giả c - nội xạ.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Theo định nghĩa của nửa đơn Artin.
(2) =⇒ (3). Chúng ta có thể chú ý đến tổng trực tiếp ngoài M ⊕ E(M), với
M là giả c - nội xạ. Theo giả thiết, M ⊕ E(M) là giả c - nội xạ. Chú ý rằng, M là
mơđun con đóng của M ⊕ E(M). Giả sử i : M → M ⊕ E(M) là đơn cấu được xác
định bởi: i(m) = (0, m) với mọi m ∈ M. Theo Bổ đề 2.1.2, M là giả M ⊕ E(M) c - nội xạ. Khi đó, tồn tại đồng cấu α : M ⊕ E(M) → M sao cho αi = 1M . Nhưng
i = ι2 ι với ι : M → E(M), ι2 : E(M) → M ⊕ E(M) là các đơn cấu chính tắc và
vì thế, 1M = (αι2 )ι. Vì vậy, M là hạng tử trực tiếp của E(M). Do đó, M là nội xạ.
(3) =⇒ (1) Lấy S là môđun nửa đơn. Khi mỗi môđun con của S là hạng tử
trực tiếp của S. Suy ra S là giả c - nội xạ. Theo (3) thì S là nội xạ. Mặt khác, lấy
{Si | i ∈ N}là họ các môđun con đơn và Ei = E(Si ) là bao nội xạ của Si . Từ chú
ý trên và (3) ta có ⊕i∈N Si là cốt yếu trong ⊕i∈N Ei và sau đó: ⊕i∈N Si = ⊕i∈N Ei là
nội xạ. Do đó, ⊕i∈N Ei là nội xạ. Vì thế, R là vành Nơte phải. Chúng ta có thể viết
E(RR) = K1 ⊕ K2 ⊕ ... ⊕ Kn với một số R - môđun phải Ki nội xạ khơng phân
tích được nào đó. Với mỗi i = 1, 2, ...k, giả sử 0 = x ∈ Ki . Vì Ki đều nên xR
cũng đều và vì thế xR là giả c - nội xạ. Suy ra xR là hạng tử trực tiếp của Ki và
vì vậy xR = Ei . Nghĩa là, Ei là đơn với mọi i = 1, 2, ...k. Vậy E(RR) là nửa đơn.
Từ đó, RR là nửa đơn.
(1) =⇒ (4) =⇒ (2). Rõ ràng.
Hệ quả 2.1.8. Các điều kiện sau là tương đương:
i) R là vành nửa đơn Artin.
ii) Tổng trực tiếp của hai môđun giả c - nội xạ là nội xạ.

2.2 Vành và môđun giả c∗ - nội xạ
2.2.1 Định nghĩa, tính chất

Tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của môđun
giả M - c - nội xạ, đó chính là mơđun giả c∗ - nội xạ. Trước hết, chúng ta có định
nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.1. Cho M, N là môđun. Môđun N được gọi là giả M - c∗ - nội xạ
nếu mỗi môđun con A của M đẳng cấu đến môđun con đóng của M, mỗi đơn cấu
từ A → N có thể mở rộng đến đồng cấu từ M → N .
Môđun M được gọi là giả c∗ - nội xạ nếu M là giả M - c∗ - nội xạ.
Vành R được gọi là giả c∗ - nội xạ phải nếu RR là giả c∗ - nội xạ.
11


Chúng ta có mối liên hệ sau:
M - nội xạ
→
M - c - nội xạ
↓
↓
giả M - nội xạ → giả M - c∗ - nội xạ → giả M - c - nội xạ
Ví dụ 2.2.2. i) Đặt M = Z ⊕ Z là Z - mơđun. Vì vậy, MZ là CS và giả M - c - nội
xạ. Nhưng M không là giả M - c∗ - nội xạ. Thật vậy,
đặt A = {(2n, 0) ∈ M | n ∈ Z } và B = {(n, n) ∈ M | n ∈ Z }.
Do đó, B là mơđun con đóng của M và A B. Chúng ta xác định f : A → B
bởi f (2n, 0) = (n, n) với mọi n ∈ Z. Khi đó, f là đơn cấu. Giả sử g : M → M là
mở rộng của f . Khi đó, g(1, 0) = (x, y) với mọi x, y ∈ Z.
f (2, 0) = g(2, 0) = (2x, 2y) hoặc (1, 0) = (2x, 2y). Hay 1 = 2x (mâu thuẫn).
Vậy, M không là giả RR - c∗ - nội xạ.
ii) Giả sử R = Z. Khi đó, RR là giả RR - c - nội xạ nhưng không là giả RR ∗
c - nội xạ.
iii) Giả sử D là miền - P CI phải nhưng không phải là miền nguyên. Gọi E(D)
là bao nội xạ của D. Khi đó, E(D)/D là nửa đơn, E(D) là môđun con lớn nhất

M chứa D. Hơn nữa, M là D môđun liên tục phải và không giả nội xạ xem [6,
Remark 2.9]. Vậy, M là giả c∗ - nội xạ nhưng không nội xạ.
Với định nghĩa đã nêu trên, chúng ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.3. Cho M là R - môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là nội xạ.
(2) M là giả N - c∗ - nội xạ cho mỗi R - môđun N .
(3) M là giả N - c - nội xạ cho mỗi R - môđun N .
Chứng minh. (1) =⇒ (2) =⇒ (3). Rõ ràng.
(3) =⇒ (1). Chúng ta có thể chú ý đến tổng trực tiếp ngoài M ⊕ E(M). Giả
sử i : M → M ⊕ E(M) là đơn cấu được xác định bởi i(m) = (0, m) với mọi
m ∈ M. Theo giả thiết, M là giả M ⊕ E(M) - c - nội xạ thì có một đồng cấu α
: M ⊕ E(M) → M sao cho αi = 1M . Mặt khác, i = ι2 ι với ι : M → E(M), ι2:
E(M) → M ⊕ E(M) là các đơn cấu chính tắc và vì thế, 1M = (αι2 )ι. Suy ra M
là hạng tử trực tiếp của E. Vậy M là nội xạ.
Bổ đề 2.2.4. Cho M, N là hai mơđun. Khi đó,
(1) Nếu N là giả M - c∗ - nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N thì A là giả
M - c∗ - nội xạ.
(2) Nếu N là giả M - c∗ - nội xạ và B là mơđun con đóng của M thì N là giả
B - c∗ - nội xạ.
(3) Nếu M là giả M - c∗ - nội xạ và A là mơđun con đóng bất biến đầy hồn
tồn của M thì A là giả c∗ - nội xạ.
12


Chứng minh. (1). Giả sử K là môđun con của M đẳng cấu với mơđun con đóng
của M, f : K → A là đơn cấu và N = A⊕B. Khi đó, tồn tại đồng cấu f : M → N
là mở rộng của f . Đặt g = πA . f với πA : N → A là toàn cấu chính tắc. Ta có, g là
đồng cấu từ M vào A. Vì f (k) = f (k) ∈ A với mọi k ∈ K nên g(k) = f = f (k)
với mọi k ∈ K. Vậy g : M → A là đồng cấu mở rộng của f .
(2). Giả sử K là môđun con của B đẳng cấu với mơđun con đóng C của B và

f : K → N là đơn cấu. Ta có C là mơđun con đóng của M. Theo giả thiết, thì tồn
tại đồng cấu f : M → N là mở rộng của đơn cấu f . Với mỗi b ∈ B, đặt g(b) =
f (b). Khi đó, g là đồng cấu mở rộng của f từ B vào N .
(3). Giả sử K là môđun con của A đẳng cấu với môđun con đóng C của A và
f : K → A là đơn cấu. Ta có C là mơđun con đóng của M. Theo giả thiết, thì tồn
tại đồng cấu f : M → M là mở rộng của đơn cấu f . Vì A là mơđun con bất biến
đầy hồn tồn của M nên f (A) ≤ A. Khi đó, f |A là đồng cấu mở rộng của f . Do
đó, A là giả c∗ - nội xạ.
Với các tính chất trên, chúng ta có các đặc trưng của mơđun M - c∗ - nội xạ:
Mệnh đề 2.2.5. Cho M, N là hai môđun, X = M ⊕ N . Các điều kiện sau là tương
đương:
(1) N là giả M - c∗ - nội xạ.
(2) Mỗi môđun con K của X, K đẳng cấu đến mơđun con đóng của M
với K ∩ M = K ∩ N = 0, thì tồn tại C ≤ X sao cho K ≤ C và N ⊕ C = X.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử K ≤ X, K đẳng cấu đến môđun con đóng của
M với K ∩ M = K ∩ N = 0, πM : M ⊕ N → M và πN : M ⊕ N → N là phép
chiếu chính tắc. Chúng ta có thể kiểm tra được, N ⊕ K = N ⊕ πM (K) và vì thế
K và vì vậy πM (K) là đẳng cấu đến mơđun con đóng của M. Gọi ϕ
πM (K)
: πM (K) → πN (K) là một đồng cấu được xác định bởi k = m + n ∈ K (với
m ∈ M, n ∈ N ), ϕ(m) = n. Dễ dàng chứng minh được ϕ là một đơn cấu. Vì N
là giả M - c∗ - nội xạ nên tồn tại một đồng cấu ϕ: M → N mở rộng của ϕ. Đặt C
= {m + ϕ(m)| m ∈ M}. Vì vậy, X = N ⊕ C và K ≤ C.
(2) =⇒ (1). Lấy A là môđun con của M với A đẳng cấu đến mơđun con đóng
của M và ϕ : A → N là đơn cấu. Đặt K = {a -ϕ(a) | a ∈ A }. Vì vậy, πM (K) =
A, K ∩ M = 0 và N ⊕ K = N ⊕ πM (K) = N ⊕ A. Khi đó, K A. Từ giả thiết,
tồn tại một mơđun con C của X chứa K với N ⊕ C = X. Gọi π : N ⊕ C → N là
phép chiếu chính tắc. Khi đó, hạn chế π |M là mở rộng của ϕ.
Chú ý rằng môđun giả c - nội xạ không thể thỏa mãn điều kiện C2 xem Ví dụ
2.2.2. Nhưng với mơđun giả c∗ - nội xạ, chúng ta có kết quả sau:

Định lý 2.2.6. Nếu M là mơđun giả c∗ - nội xạ thì M thỏa mãn điều kiện C2.
13


Chứng minh. Giả sử M là môđun giả c∗ - nội xạ và B là hạng tử trực tiếp của M
với A
B. Giả sử f : A → B là đẳng cấu. Khi B là hạng tử trực tiếp của M,
thì B là giả M - c∗ - nội xạ mơđun theo Bổ đề 2.1.2. Lúc đó, tồn tại đồng cấu α
: M → B là mở rộng của f sao cho αi = f với i : A → M là đơn cấu chính tắc.
Suy ra (f −1 α)i = 1A . Nghĩa là, i là đơn cấu chẻ ra hay A là hạng tử trực tiếp của
M.
Trong Định lý 2.2.6, chúng ta đã chỉ ra rằng môđun M là CS nếu và chỉ nếu
bất kì mơđun là giả M - c - nội xạ. Hơn nữa, nếu bất kì mơđun là giả M - c∗ - nội
xạ thì chúng ta có định lý sau:
Định lý 2.2.7. Mơđun M là liên tục nếu và chỉ nếu mỗi R - môđun là giả M - c∗ nội xạ.
Chứng minh. (=⇒). Giả thiết M là liên tục. Khi đó, mỗi mơđun con của M là
đẳng cấu đến mơđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M. Suy ra mọi
môđun đều là giả M - c∗ - nội xạ.
(⇐=). Theo Mệnh đề 2.1.3 và Định lý 2.2.6.
Hệ quả 2.2.8. Môđun M là liên tục nếu và chỉ nếu M là mơđun CS giả c∗ - nội
xạ.
Chúng ta có mối liên hệ sau:
giả nội xạ
giả c∗ - nội xạ → C2

nội xạ → tựa nội xạ
liên tục

a v
| a ∈ F , v ∈ V } với F - không gian vectơ

0 a
V và dimV = 2 là vành giao hốn, địa phương, Artin C2 nhưng khơng là giả c∗ nội xạ xem [16, Example 2.12].
ii) Môđun giả nội xạ là khơng liên tục xem [6, Remark 2.7].
Ví dụ 2.2.9. i) Xét vành R = {

Bổ đề 2.2.10. Nếu M là mơđun giả c∗ - nội xạ thì mỗi mơđun con của M đẳng cấu
đến mơđun con đóng của M là mơđun con đóng của M.
Chứng minh. Giả thiết rằng M là môđun giả c∗ - nội xạ và B là mơđun con đóng
của M với A B. Giả sử f : A → B là đẳng cấu. Khi M là giả M - c∗ - nội xạ
thì tồn tại đồng cấu α : M → M là mở rộng của f . Giả sử A là mở rộng cốt yếu
cực đại của A trong M. Khi đó A là mơđun con đóng của M, α |A là đơn cấu và
14


α(A) ≤e α(A ). Nhưng B = α(A) và vì thế, B ≤e α(A ). Suy ra B = α(A ) và vì
vậy, A = A .
Với M ⊕ N là mơđun giả c∗ - nội xạ thì chúng ta sẽ có kết quả sau:
Định lý 2.2.11. Nếu M ⊕ N là mơđun giả c∗ - nội xạ thì N là M - nội xạ.
Chứng minh. Đặt X = M ⊕ N là giả c∗ - nội xạ. Giả sử A ≤ X với A ∩ M = 0 và
K là phần bù trong X của M chứa A. Giả sử π : X → N là phép chiếu chính tắc.
Do đó, M ⊕ π(K) = M ⊕ K và vì thế π(K) ≤e N . Dễ dàng chứng minh được: πK
: K → π(K) là đồng cấu. Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.10, ta có π(K) là mơđun con
đóng của X. Suy ra π(K) = N . Khi đó, X = M ⊕ K. Vậy, N là M - nội xạ.
Hệ quả 2.2.12. Với mỗi số nguyên n ≥ 2, M n là giả c∗ - nội xạ nếu và chỉ nếu M
là tựa nội xạ.
Hệ quả 2.2.13. Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là Artin nửa đơn.
(2) Mỗi R mơđun phải có hệ sinh đếm được là giả c∗ - nội xạ.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Rõ ràng.
(2) =⇒ (1). Giả sử M là R - mơđun xyclic phải. Khi đó, (M ⊕ RR)(N)

(M ⊕ RR)(N) ⊕ (M ⊕ RR)(N) là giả c∗ - nội xạ. Theo Định lý 2.2.11, (M ⊕ RR )(N)
là môđun tựa nội xạ. Suy ra, M là nội xạ. Vậy, R là Artin nửa đơn theo Định lý
Osofsky’s.
2.2.2 Vành tự đồng cấu của môđun giả c∗ - nội xạ
Định lý 2.2.14. Giả sử M = ⊕i∈I Mi , mỗi Mi là đều. Khi đó, M là liên tục nếu và
chỉ nếu M là giả c∗ - nội xạ.
Chứng minh. (=⇒). Rõ ràng.
(=⇒). Giả sử M là môđun giả c∗ - nội xạ và M = ⊕i∈I Mi . Theo Định lý
2.2.6, M thỏa mãn điều kiện C2 và vì thế Mi cũng vậy theo [16, Proposition 1.30].
Suy ra mỗi Mi liên tục với mọi i ∈ I. Mặt khác, với mọi j ∈ I thì ⊕i∈I\j Mi là Mj
- nội xạ theo Định lý 2.2.11. Do đó, M là CS theo [15, Theorem 2.13]. Vậy M là
liên tục.
Vành R được gọi là vành tựa Frobenius nếu nó là vành tựa nội xạ phải và
Artin một phía. Từ định nghĩa và các tính chất nêu trên, chúng ta có đặc trưng của
vành tựa Frobenius:
15


Định lý 2.2.15. Cho vành R. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành tựa Frobenius.
(2) Mỗi R môđun phải nội xạ là giả c∗ - nội xạ.
(3) R(N) là giả RR - c∗ - nội xạ.
(4) R là −CS đếm được với chiều Goldie hữu hạn và RR là giả c∗ - nội xạ.
Chứng minh. (1) =⇒ (2) =⇒ (3) và (1) =⇒ (4). Rõ ràng.
(3) =⇒ (1). Theo Định lý 2.2.11.
(4) =⇒ (1). Theo (4), R là liên tục phải. Theo giả thiết, R có chiều Goldie hữu
hạn nên mỗi đơn cấu từ RR → RR là tồn cấu. Khi đó, R là vành nửa hoàn chỉnh
theo [16, Lemma 4.26]. Vậy, RR là nửa Artin phải theo [10, Theorem 1] và R là
tựa Frobenius theo [4, Corollary 7].
Như chúng ta đã biết, nếu M là môđun giả nội xạ và S = End(M), S/J (S) là

vành chính quy Von Neumann và
J (S) = W (S) = {s ∈ S | Ker(s) ≤e M}.
Trong phần tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng kết quả là đúng cho môđun
giả c∗ - nội xạ.
Định lý 2.2.16. Giả sử M là môđun giả c∗ - nội xạ và S = End(M). Khi đó,
S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và
J (S) = W (S) = {s ∈ S | Ker(s) ≤e M}.
Chứng minh. Dễ dàng thấy được rằng, W (S) là iđêan trái của S.
Với mọi s ∈ W (S) và t ∈ S thì ts ∈ W (S), Kerts ≤ Ker(1 + ts) = 0 và vì
vậy, Ker(1 + ts) = 0. Suy ra, A = (1 + ts)(M)
M. Giả sử φ : A → M xác
định bởi φ((1 + ts(m)) = m với mọi m ∈ M. Khi đó, φ là đơn cấu. Lúc đó tồn tại
u ∈ S sao cho u là mở rộng của φ. Suy ra u(1 + ts) = 1. Nghĩa là, s ∈ J (S). Vậy
W (S) ≤ J (S).
Với mỗi λ ∈ S, gọi L là phần bù của Kerλ trong M. Khi đó, L là mơđun
con đóng của M. Chúng ta xét đồng cấu sau φ : λ(L) → M được xác định bởi
φ(λ(s)) = x với mọi x ∈ L. Khi đó, φ là đơn cấu và λ(L) Lhay λ(L) đẳng cấu
đến mơđun con đóng của M. Vì M là giả c∗ - nội xạ nên tồn tại θ ∈ S sao cho θ
là mở rộng của φ. Do vậy, Kerλ + L Ker(λθλ − λ) và Kerλ ⊕ L ≤e M. Suy
ra λθλ − λ ∈ W (S). Trong trường hợp đặc biệt, nếu λ ∈ J (S) thì (1 − θλ)(L) =
0 hay L = 0. Khi đó, Kerλ ≤e M hoặc λ ∈ W (S). Vậy, J (S) = W (S) và S/J (S)
là vành chính quy Von Neumann.
Căn Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan phải cực đại của R.
Ký hiệu: J .
16


Ký hiệu: Zr = {x ∈ R | ∃I ≤e RR : xI = 0} được gọi là iđêan suy biến phải
của vành R.
Hệ quả 2.2.17. Nếu R là vành giả c∗ - nội xạ thì R/J là vành chính quy Von

Neumann và J = Zr .
Hệ quả 2.2.18. Giả sử MR là vành giả c∗ - nội xạ phải và S = End(M). Khi đó,
các điều kiện sau là tương đương:
(1) S là vành hoàn chỉnh phải.
(2) Với bất kỳ dãy vô hạn s1, s2 , ... ∈ S thì dãy
Ker(s1) ≤ Ker(s2 s1) ≤ ...
là dừng.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử si ∈ S, i = 1,2, ... Khi S là hồn chỉnh phải
thì S thỏa mãn DCC trên các iđêan trái hữu hạn. Vì thế, dãy Ss1 ≥ Ss2 s1 ≥ ...
dừng. Nghĩa là ∃n > 0 sao cho Ssn sn−1 ...s1 = Ssk sk−1...s1 với mọi k ≥ n. Do đó,
Ker(sn sn−1...s1 ) = Ker(sk sk−1...s1 ) với mọi k > n.
(2) =⇒ (1). Theo Định lý 2.2.16 và [5, Lemma 1.9].
Bổ đề 2.2.19. Giả sử MR là R môđun phải và S = End(MR ). Khi đó,
(1) lS (A(M)) = lS (A), với mọi A ⊆ S với A(M) =
s(M).
s∈A

(2) lS (rM )(lS (A))) = lS (A) với mọi A ⊆ S.
Chứng minh. (1) Giả sử a ∈ lS (A), a.A = 0. Vì thế, a.s = 0 hoặc a(s(M)) = 0 với
∀s ∈ A. Suy ra a ∈ lS (A(M)). Do đó, lS (A) ≤ lS (A(M)). Ngược lại, với mỗi
a ∈ lS (A(M)), chúng ta có a.s(M) = 0 với mỗi s ∈ A. Do đó, a ∈ lS (A).
(2). Rõ ràng, lS (rM (lS (A))) ≥ lS (A). Ngược lại, với mỗi s ∈ lS (A) thì s.A(M) =
0. Suy ra A(M) ≤ rM (lS (A)). Vì thế,
lS (A(M)) ≥ lS (rM (lS (A))).
Theo (1), chúng ta có kết quả cần tìm.
Giả sử ∅ = A ⊂ S = End(M). Đặt:
Kerf = {m ∈ M | f (m) = 0, ∀f ∈ A}

KerA =
f∈A


Nếu X ≤ M và X = KerA, cho ∅ = A ⊂ S nào đó thì X được gọi là M - linh
hóa tử .
Mệnh đề 2.2.20. Giả sử MR là môđun giả c∗ - nội xạ với S = End(MR ). Nếu MR
thỏa ACC trên các M - linh hóa tử, thì S là nửa ngun sơ.
17


Chứng minh. Bây giờ, chúng ta sẽ yêu cầu rằng S thỏa mãn ACC trong linh hóa
tử phải hoặc DCC trên các linh hóa tử trái. Chú ý dãy giảm.
lS (A1 ) ≥ lS (A2) ≥ ... với Ai ⊆ Si ,
Khi đó,
rM (lS (A1)) ≤ rM (lS (A2)) ≤ ...
Từ giả thiết, tồn tại n ∈ N sao cho rM (lS (An )) = rM (lS (Ak )) với mọi k > n và
lS rM (lS (An)) = lS rM (lS (Ak )). Theo Bổ đề 2.2.19 thì lS (An ) = lS (Ak ) với mọi k
> n. Điều này cho thấy rằng S thỏa mãn DCC trong linh hóa tử trái hoặc ACC
trong linh hóa tử phải. Suy ra, J (S) là lũy linh xem [26, Lemma 22] và Định lý
2.2.16. Vậy, S là nửa nguyên sơ theo Hệ quả 2.2.18.
Hệ quả 2.2.21. Nếu R là vành - c∗ - nội xạ phải và thỏa mãn ACC trên các linh
hóa tử phải thì R là nửa ngun sơ.
Môđun M được gọi là hữu hạn trực tiếp nếu nó khơng đẳng cấu đến hạng
tử trực tiếp thực sự của M. Hoặc tương đương f g = 1M kéo theo rằng gf = 1M ,
với mọi f, g ∈ End(M).
Mệnh đề 2.2.22. Môđun M giả c∗ - nội xạ là hữu hạn trực tiếp nếu và chỉ nếu mỗi
tự đơn cấu là đẳng cấu.
Chứng minh. (=⇒). Giả sử f : M → M là đơn cấu. Khi đó, M
f (M). Gọi i :
∗
f (M) → M là đơn cấu chính tắc. Vì M là giả c - nội xạ thì tồn tại một đồng cấu
g : M → M là mở rộng của f −1 : f (M) → M sao cho gi = f −1 .

i✲

♣
♣♣
♣
g ♣
♣♣
♣
♣♣
❄✠

f (M)
f −1

M

M

Mặt khác, với mọi m ∈ M ta có gi(f (m)) = f −1 (f (m)). Suy ra g(f (m)) = m. Do
đó gf = 1M . Vì M là hữu hạn trực tiếp nên suy ra f g = 1M , nghĩa là f là toàn cấu.
Vậy f là một đẳng cấu.
(⇐=). Rõ ràng.
Hệ quả 2.2.23. Vành R giả c∗ - nội xạ phải là hữu hạn trực tiếp nếu và chỉ nếu
đơn cấu RR → RR là đẳng cấu.

18


Tài liệu tham khảo
[1] F.W. Anderson, K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag,

New York 1974.
[2] C. Celik, Modules satisfying a lifting condition, Turkish J. Math. 18 (1994),
no. 3, 293-301.
[3] C.S. Clara, P.F. Smith, Modules which are self-injective relative to closed
submodules, Contemporary of Mathematics 259, American Math. Soc. Providence, pp. 487-499, 2000.
[4] J. Clark and D. V. Huynh, When is a self-injective semiperfect ring quasi
Frobenius?, J. Algebra 165 (1994), 531542.
[5] N. Ding, M. F. Yousif, and Y. Zhou, Modules with annihilator conditions,
Comm. Algebra 30(5)(2002), 2309-2320.
[6] H. Q. Dinh , A note on pseudo-injective modules, Communication in Algebra,
33(2005), 361-369.
[7] N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith, R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman
1996.
[8] K. R. Goodearl and R. B. Warfield, An Introduction to Noncommutative
Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts 16, Cambridge
University Press, 1989.
[9] M. Harada, On Modules with Extending Properties, Osaka J. Math. 19 (1982),
203-215.
[10] D. V. Huynh, A right countably sigma-CS ring with ACC or DCC on projective principal right ideals is left artinian and QF-3, Trans. Am. Math. Soc. 347
(1995), 3131-3139.
[11] S. K. Jain, S. Singh On pseudo-injective modules and self pseudo-injective
rings, Journal Math. Sc. 2 (1967), 23-31.
19


[12] S. K. Jain, S. Singh, On quasi-injective and pseudo-injective modules, Canadian Math. Bull. 18 (1975), 359-366
[13] S. K. Jain, S. Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canad.
Math. Bull., 18(3)(1975), 134-141.
[14] T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer Graduate Text,
1991.

[15] S.H. Mohammed and B.J. Măuller, Continous and Discrete Modules, London
Math. Soc. LN 147: Cambridge Univ.Press., 1990.
[16] W.K. Nicholson, M.F. Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ.Press.
2003.
[17] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, Principally injective rings, Journal of Algebra, 174(1995), 77-93.
[18] Truong Cong Quynh and Phan Hong Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, preprint
[19] N. V. Sanh and K. P. Shum, Endomorphism rings of quasi-principally injective
modules, Comm. Algebra 29 (1)(2001), 1437-1443.
[20] N.V. Sanh, K.P. Shum, S. Dhompongsa and S. Wongwai, On quasi-principally
injective modules and rings, Algebra Colloquium 6(3) (1999), 269-276.
[21] S. Singh, S. K. Jain, On pseudo injective modules and self pseudo-injective
rings, The Journal of Mathematical Sciences, 2(1)(1967), 125-133.
[22] M. L. Teply, Pseudo-injective modules which are not quasi-injective, Proc.
Amer. Math. Soc., 49(2)(1975), 305-310.
[23] Phan Hồng Tín và Trương Cơng Quỳnh, Về mơđun giả c∗ nội xạ, Tạp chí
Khoa học và Cơng nghệ - Đại học Đà Nẵng, 6(47)2011, 118-126
[24] T. Wakamatsu, Pseudo-projectives and pseudo-injectives in abelian categories, Math. Rep. Toyama Univ., 2(1979), 133-142.
[25] Wisbauer, R.: Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach.
Reading 1991.
[26] Zhu, Zhanmin, Pseudo PQ-injective modules, to appear in Turk. J. Math.
[27] Zhu, Zhanmin, Yu Jinxiang, On GC2 modules and their endomorphism rings,
Linear Multilinear Algebra 56 (5)(2008), 511-515.
20


KẾT LUẬN
Đề tài bao gồm ba phần: Lời giới thiệu, nội dung và kết luận. Phần nội dung
của đề tài được trình bày trong hai chương. Trong chương một, chúng tơi trình
bày những nội dung liên quan được sử dụng trong chương sau. Trong chương hai,
chúng tôi nghiên cứu về môđun giả M - c - nội xạ và giả M - c∗ - nội xạ. Một số

tính chất của nó đã được chúng tơi trình bày và chứng minh tường minh hơn.
Do phạm vi nghiên cứu và thời gian có hạn nên em khơng thể thể hiện rõ hết
nội dung được đề cập trong đề tài cũng như những sai sót. Kính mong Q Thầy
Cơ đọc và bổ sung đóng góp ý kiến cho đề tài được hồn chỉnh hơn.

21