DE THI VA DAP AN THI THU DH LAN 2 KHOI AA1LG2

<span class='text_page_counter'>(1)</span> ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 (lần thứ 2). TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 2. Môn thi: TOÁN; khối A, A1 Ngày thi 10-03-2013 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0. Câu II (2 điểm). π  2 sin  − x  4  (1 + sin 2 x ) = 1 + tan x. 1. Giải phương trình: cos x  2 x2 −1 = 1+ 4y  x + 3 y 2. Giải hệ phương trình:  y 3  x + 6 + x + y − x 2 = y 2. Câu III (1 điểm) Tính tích phân :. ln( x 2 + 1) dx . 3 x 1. I =∫. Câu IV (1 điểm) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x ≤ a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. Kẻ MH vuông góc với AC tại H. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) và tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng:. 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc ≥ 13 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm điểm.  4 I ( 3;3) và AC = 2 BD . Điểm M  2;  thuộc đường thẳng AB ,  3.  13  N  3;  thuộc đường thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.  3. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9 . Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông 2. góc với đường thẳng a có phương trình:. 2. x y −1 z = = và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2. 1 2 −2. Câu VII.a (1 điểm) Một hội đồng chấm thi có 5 người, rút thăm trong danh sách gồm 7 cô giáo và 10 thầy giáo. Tính xác suất để trong hội đồng số cô giáo nhiều hơn số thầy giáo. B. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.. x −1 y −1 z − 2 = = , mặt phẳng 1 2 −1 ( P ) : x − y + z − 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A cắt d tại B và mặt phẳng (P) tại C sao cho AC = 2 AB và A 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm. A ( −1;0;1) và đường thẳng d :. nằm ngoài đoạn BC. Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình:. 8 .3 x +. x. + 9. x +1. ≥ 9x. . ______________Hết______________. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:................................................; Số báo danh........................ .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> tR¦êNG THPT L¹NG GIANG Sè 2. H−íng dÉn, §¸p ¸n, thang ®iÓm THI THö §¹I HäC N¡M HäC 2012-2013 (lần thứ 2) M«n thi: To¸n, khèi: A, A1. Ngµy thi 10-03-2013. H−ớng dẫn, đáp án gồm 04 trang (Học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa) C©u I (2 ®iÓm). §¸p ¸n 1. Khi m = 1. Ta có hàm số y = - x3 + 3x2 – 4. Tập xác định D = R. Sự biến thiên. Chiều biến thiên. y’ = - 3x2 + 6x , y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2. y’> 0 ∀ x ∈( 0;2). Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2). y’ < 0 ∀ x ∈(- ∞; 0) ∪ (2; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞;0) và Cực trị. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = y(2) = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = - 4. Giới hạn.. §iÓm. 0,25 (2; +∞).. Lim (− x3 + 3x 2 − 4) = +∞, Lim (− x3 + 3x 2 − 4) = −∞. x →−∞. x →+∞. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Tính lồi, lõm và điểm uốn. y’’ = - 6x +6 , y’’ = 0 ⇔ x = 1. x -∞ y’’ + Đồ thị Lõm. Bảng biến thiên. x -∞ y’ y +∞. 0,25 1 0. +∞ -. Điểm uốn I(1; - 2). 0 0. Lồi. 1 +. 2 0 0. +∞. 0,25. -. (I) -2 -4. -∞ 0,25. Đồ thị. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai các điểm (- 1; 0) , (2; 0). Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ; 4). Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm uốn I(1;- 2). Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là k = y’(1) = 3. y. f(x)=-x^3+3x^2-4. 2 1. x -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. -1 -2 -3 -4 -5 -6. 2 . Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m. Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm pb ⇔ m ≠ 0. Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1) Vectơ. AB = (2m; 4m ) ; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (8; −1) .. 0,25 0,25. 3. . 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔. II (2 ®iÓm). I ∈ d ⇔ 0,25   AB ⊥ d. 3 m + 8(2m − 3m − 1) − 74 = 0 ⇔m=2   AB.u = 0 π 1. Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ, k ∈ ℤ . 2 cos x − sin x cos x + sin x 2 Ta có (1) ⇔ ( cos x + sin x ) = cos x cos x ⇔ ( cos x + sin x ) ( cos x − sin x )( cos x + sin x ) − 1 = 0. 0,25 0,25. ⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − 1) = 0 π   cos x + sin x = 0  tan x = −1  x = − + mπ ⇔ ⇔ ⇔ ,m∈ℤ . 4   cos 2x − 1 = 0 cos 2x = 1  x = mπ. 0,5. π  x = − + mπ Dễ thấy họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện. Đáp số:  ,m∈ℤ 4   x = mπ.  2 x2 −1 x + 3 y = 1 + 4 y (1)  y 2.  3 2  x + 6 + x + y − x = y (2). x2 −1 x2 −1 (1) ⇔ +3 −4=0⇔ y y Thay vào (2) ta được. 3. 3. 2. 3. 0,5. x + 6 + x −1 = x2 −1 ⇔ 3 x + 6 − 2 + x −1 −1 = x2 − 4. x−2. ⇔. x2 −1 x2 −1 =1⇔ = 1 ⇔ y = x2 −1 y y. +. (x + 6) + 2 x + 6 + 4. x−2 x −1 + 1. 0,25. = (x + 2)(x − 2). x = 2  1 1 ⇔  + = x + 2 (3)  3 (x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 x −1 + 1 . 0,25. Với đk x ≥ 1 suy ra VT(3)<3 , VP(3) ≥ 3 . Suy ra (3) vô nghiệm III (1 ®iÓm). 2x  u = ln( x 2 + 1) du = 2 dx   x +1 Đặt  ⇒ dx dv =  v = − 1 x3   2x2 2 ln( x 2 + 1) 2 dx Do đó I = − + 2 ∫ 1 1 x( x 2 + 1) 2x. 0,25. 0,25 0,25. ln 2 ln 5 x  ln 2 ln 5 dx 1 d ( x + 1) 1 − + ∫ − 2 − +∫ − ∫ 2  dx = 2 8 x x +1 2 8 x 2 1 x +1 1 1 ln 2 ln 5  1 5 2 = − +  ln | x | − ln | x 2 + 1 |  = 2 ln 2 − ln 5 2 8  2 8 1 2. 2. =. IV (1 ®iÓm).  SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD )   SA ⊂ ( SAC ) Lại có : MH ⊥ AC = ( SAC ) ∩ ( ABCD ) Do. . 2. 2. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇒ MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M , SAC ) = MH = AM .sin 45o =. x 2. 0,25. x x ⇒ HC = AC − AH = a 2 − 2 2. AH = AM .cos 450 =. 1 1 x x MH .MC = (a 2 − ) 2 2 2 2 1 1 x x = SA.S ∆MCH = 2a (a 2 − ) 3 6 2 2. ⇒ S ∆MHC = ⇒ VSMCH. VSMCH. x x +a 2− 2 2 2. 1 ≤ a[ 3. ]. 2. =. ⇔ M trïng víi D V (1 ®iÓm). Đặt. a3 x x ⇔ =a 2− ⇔ x=a 6 2 2. f (a, b, c) = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc − 13; t =. *Trước hết ta chưng minh:. 0,25. 0,25. b+c 2. 0,25. f (a, b, c) ≥ f (a, t , t ) :Thật vậy. Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta có thể giả thiết a ≤ b ≤ c. ⇒ 3a ≤ a + b + c = 3 hay a ≤ 1 2 2 2 2 2 2 2 f (a, b, c) − f (a, t, t) = 3(a + b + c ) + 4abc − 13 − 3(a + t + t ) − 4at + 13. =. 2 2     3(b 2 + c 2 − 2t 2 ) + 4a (bc − t 2 ) = 3 b 2 + c 2 − 2 (b + c )  + 4 a  bc − ( b + c ) . 4. . . . 4. . (3 − 2a )(b − c) 3(b − c ) 2 ≥ 0 do a ≤ 1 − a (b − c ) 2 = 2 2 2. =. 0,25. *Bây giờ ta chỉ cần chứng minh: f ( a, t , t ) ≥ Ta có f ( a, t , t ) = Dấu “=” xảy ra. 0 với a+2t=3. = 3(a + t + t ) + 4at − 13 = 3((3 − 2t ) 2 + t 2 + t 2 ) + 4(3 − 2t )t 2 − 13 2. 2. 2. 0,25. 2. 0,25. 2(t − 1) 2 (7 − 4t ) ≥ 0 do 2t=b+c < 3 ⇔ t = 1& b − c = 0 ⇔ a = b = c = 1. VI.a (2 ®iÓm). 1..  5  3 Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình: x − 3 y + 2 = 0. 0,25. Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là N '  3; . Suy ra: IH = d ( I , AB ) = Do AC. 3−9+ 2 10. =. 4 10. = 2 BD nên IA = 2 IB . Đặt IB = x > 0 , ta có phương trình 1 1 5 + 2 = ⇔ x2 = 2 ⇔ x = 2 2 x 4x 8. Đặt. B ( x, y ) . Do IB = 2 và B ∈ AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ: . 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ( x − 3) + ( y − 3)   x − 3 y + 2 = 0 2. 2. 14  x=   5 y − 18 y + 16 = 0 =2  5 x = 4 > 3 ⇔ ⇔ ∨ 8 y = 2 x = 3y − 2 y =  5. 0,25. 2. 0,25.  14 8  B ;   5 5 Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7 x − y − 18 = 0 . Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn. 2. (S) có tâm J (1,0 ,−2) bán kính R = 3. 0,25 →. →. + đt a có vtcp u (1, 2 , − 2 ) , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận u làm vtpt Pt mp (P) có dạng : x + 2 y − 2 z + D = 0. 0,25. + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) =. R −r = 5 2. 2. 0,25.  D = −5 + 3 5 1 + 2.0 − 2.(−2) + D nên ta có : = 5 ⇔  3  D = −5 − 3 5. 0,25. KL: Có 2 mặt phẳng: (P1): x + 2 y − 2z − 5 + 3 5 = 0 và (P2): x + 2y − 2z − 5 − 3 5 = 0 VII.a (1 ®iÓm). Số cách chọn 5 thầy cô trong số 17 người là :. Ω =. Số phần tử của không gian mẫu. C. 5 17. C. 0,25. 5 17. 0,25. = 6188. Hội đồng 5 người có số cô nhiều hơn số thầy chỉ có thể số cô là 3 hoặc 4, hoặc 5. Gọi A là biến cố “ hội đồng 5 người trong đó số cô nhiều hơn số thầy”.. ⇒ A =. 3. 2. 7. 10. C .C. +. A Suy ra P(A) = VI.b (2 ®iÓm). 1. Giả sử. Ω. 4. 1. 7. 10. C C. +. 5 . 7. C C. 0 10. 0,25. = 1946 0,25. 1946 139 = 6188 442. =. B( xB ; yB ) ∈ d1 ⇒ xB = − yB − 5; C ( xC ; yC ) ∈ d 2 ⇒ xC = −2 yC + 7. Vì G là trọng tâm nên ta có hệ:.  xB + xC + 2 = 6   yB + yC + 3 = 0. 0,5. Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1). BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG (4; −3) nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0 9 81 Bán kính R = d(C; BG) = ⇒ phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 5 25 2. Vì A,B,C thẳng hàng và AC=2AB và A nằm ngoài đoạn BC nên AC = 2 AB Ta có. 0,5. 0,25. Do B∈(d) nên B(1+t; 1-t;2+2t).  xC = 2 xB − x A  AC = 2 AB ⇒  yC = 2 yB − y A ⇒ C (3 + 2t ; 2 − 2t ;3 + 4t ) . Vì C∈(P) nên t=0  z = 2z − z B A  C Vậy B(1; 1; 2); C(3; 2; 3), đường thẳng ∆ đi qua B, C có phương trình: VII.b (1 ®iÓm). x≥0 x 8 .3 + 9. 0,25 0,55. x −1 y −1 z − 2 = = 2 1 1 0,25. ĐK :. x+. ⇔ 8 .3 Đặt t = 3. Với t ≥. x−x. x −x. x +1. ≥ 9 2( + 9 .3. x+. ⇔ 8 .3 + 9 .3 ≥ 3 x − x) 2( ≥ 1 ⇔ 8 .3 x − x + 9 .3. x. x. 2. x. 2x. t ≤ −1 > 0 .Khi đó ta có : ( 2 ) ⇔ 9t + 8t − 1 ≥ 0 ⇔  1 t ≥  9. 1 ⇒3 9. x−x. ). −1≥ 0. ( loai ). (2 ). 0,25 0,25. 2. x −x. ≥ 3−2 ⇔ x − x ≥ −2 ⇔. x ≥ x−2 0,25. .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 0 ≤ x ≤ 2  ⇔0≤ x≤4 ⇔  x ≥ 2  2  x − 5x + 4 ≤ 0  Vậy nghiệm BPT là. x ∈ [ 0; 4]. ____________HÕt____________. .

<span class='text_page_counter'>(7)</span>