De Dap an HSG Toan Tinh Gia Thanh Hoa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (208.54 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phßng GD - §T HuyÖn tÜnh gia §Ò chÝnh thøc đề ). đề thi học sinh giỏi cấp huyện n¨m häc 2012 – 2013 M«n To¸n häc líp 9 ( Thêi gian lµm bµi 150 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t. Bµi 1 ( 4,0 ®iÓm ) Cho biÓu thøc: 2 ( √ x+ √ y ) − 4 √ xy x √ x + y √ x P= − √ x −√ y √ xy a) Tìm điều kiện để P có nghĩa? b) Khi P cã nghÜa, chøng tá P kh«ng phô thuéc vµo x. Bµi 2 ( 4,0 ®iÓm ) 1 3 4 + 1. So s¸nh: vµ √7 − √6 √ 6 − √ 3 √7 + √ 3 2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2−. .. x −3 x −2 > . x −2 x −1. Bµi 3 ( 4,5 ®iÓm ) 1. Cho a + b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = a3 + b3 + ab. 2. BiÕt ax + by + cz = 0 h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc x − y ¿2 ¿ z − x ¿ 2+ ab ¿ 2 y − z ¿ + ca ¿ bc ¿ P=¿. Bµi 4 ( 4,0 ®iÓm ) Cho tam giác ABC, lấy C’ thuộc đoạn thẳng AB. Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt BC tại A’. Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt AC tại B’. 1 1 1 Chøng minh r»ng: + + AA ' BB ' CC ' Bµi 5 ( 3,5 ®iÓm ) Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, . . . (Số đứng sau đợc viết 48 vào giữa số đứng trớc). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều lµ sè chÝnh ph¬ng.. Chó ý : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Gi¸o viªn: Hå SÜ Hoµng .................... Trêng THCS Trêng L©m Hớng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 huyện Tĩnh Gia. Bµi 1 ( 4,0 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. P=. ( √ x+ √ y ) − 4 √ xy. −. x √x + y √x √ xy. √ x −√ y a) Tìm điều kiện để P có nghĩa? b) Khi P cã nghÜa, chøng tá P kh«ng phô thuéc vµo x. a) HD: Điều kiện để P có nghĩa là: x 0 x>0 y 0 y>0 ⇔ x.y > 0 x y √x−√ y ≠0. b) Víi x > 0, y > 0 vµ x y ta cã: 2 ( √ x − √ y ) √ xy( √ x + √ y) ⇔ P=√ x − √ y −( √ x+ √ y ) P= − √x− √ y √ xy phô thuéc vµo x. Bµi 2 ( 4,0 ®iÓm ) 1 3 4 + 1. So s¸nh: vµ . √7 − √6 √6 − √3 √7 + √3 2. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x −3 x −2 2− > . x −2 x −1 HD: 1. Ta cã 1 = √ 6+√ 7 vµ √7 − √6 3 4 + = 3 ( √ 6+ √ 3) + 4 ( √ 7− √ 3) = √ 6+√ 7 3 4 √6 − √3 √7 + √3 1 3 4 + VËy = . √7 − √6 √6 − √3 √7 +√3 2. §iÒu kiÖn: x 1 vµ x 2. BPT ⇔. 2− 2. x −3 x −2 > x −2 x −1. 2( x −2)−(x −3) x − 2 > x−2 x−1. 2. ( x −1 ) − ( x − 2 ) >0 ( x −1 ) ( x −2 ) 2 x −3 >0 . ( x −1 ) ( x −2 ). ⇔. ⇔. O. ⇔. ⇔. ⇔. kh«ng. P=− 2 √ y. x −1 x −2 > x −2 x −1. . 1. +. 2. 3/2. _. _. LËp b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: 1 < x < 3/2 hoÆc x > 2. Bµi 3 ( 4,5 ®iÓm ) 1. Cho a + b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = a3 + b3 + ab. 2. BiÕt ax + by + cz = 0 h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 2. x− y¿ ¿ z − x ¿ 2+ ab ¿ y − z ¿ 2+ ca ¿ bc ¿ P=¿. HD: 1. Ta cã: Q = (a + b)(a2 – ab + b2) + ab = a2 + b2. ( v× a + b = 1 ). +.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> mµ a2 + b2. ( a+b )2 1 . Suy ra Q = 2 2. 1/2.. VËy GTNN cña Q lµ 1/2 khi a = b = 1/2. 2. §Æt Q=bc ( y − z )2+ ca ( z − x )2+ ab ( x − y )2 Ta cã Q=bcy 2+ bcz 2 +caz 2+ cax2 +abx 2 +aby 2 − 2( bcyz+acxz +abxy) (1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra: a2 x 2+ b2 y 2 +c 2 z2 +2(bcyz+ acxz+ abxy)=0 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra: Q=ax 2 (b+ c)+ by 2 (a+c )+cz2 ( a+b)+a 2 x 2+ b2 y2 + c2 z 2 = ax 2 (a+b+ c)+ by 2 (a+b+ c)+cz 2 (a+ b+c ) = (a+ b+c )(ax 2+ by 2+ cz2 ). Do đó: P=. Q =a+b+ c ax + by2 +cz 2 2. Bµi 5 ( 3,5 ®iÓm ) Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, . . . (Số đứng sau đợc viết 48 vào giữa số đứng trớc). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều lµ sè chÝnh ph¬ng. HD C¸ch 1 (líp 8) §Æt 11.......1 = a th× 10n = 9a + 1. n/cs1. Dãy số đã cho có số hạng tổng quát nh sau: H = 44..........4 88........89 n/cs4. n-1/cs8. Ta còn viết đợc H = 44.........4 88.........8 + 1 = 4a.10n+ 8a + 1. n/cs4. n/cs8. = 4a(9a + 1) + 8a + 1 = 36a2 + 12a + 1 = (6a + 1)2 = (66......67)2 n-1/cs6. Lµ sè chÝnh ph¬ng ==> ®iÒu ph¶i chøng minh. C¸ch 2( líp 6) Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8. n chữ số 4. n n = 4. 10 −1 . 10n + 8. 10 −1. = =. 9 9 2n n n 4 . 10 − 4 . 10 +8 .10 − 8+9 = 9 n 2. 10 +1 2 3. (. n chữ số 1. +1 2n. ). Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên n-1 chữ số 0 nó chia hết cho 3. 2. n. 4 . 10 +4 . 10 +1 9.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇒. (. n. 2. 10 +1 3. ). Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.. Bµi 4 ( 4,0 ®iÓm ) Cho tam giác ABC, lấy C’ thuộc đoạn thẳng AB. Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt BC tại A’. Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt AC tại B’. 1 1 1 Chøng minh r»ng: + + AA ' BB ' CC ' HD: A. C’. B. C. A’. B’ Dễ thấy các cặp tam giác sau đồng dạng: Δ AC’C Δ ABB’; Δ BC’C Δ BAA’ vµ Δ ACA’ Δ B’CB ta suy ra các tỉ số đồng dạng sau: AC ' AC CC ' BC ' BC CC ' AA ' CA CA ' = = = = = = (1) (2) (3) AB. AB ' BB ' AB BA ' AA ' BB ' CB ' CB 1 1 = ⋅k §Æt AC ' = AC =CC ' = k Suy ra (4) AB AB ' BB ' BB ' CC ' 1 1 BC = ⋅ Tõ (2) suy ra (*) AA ' CC ' BA ' mµ BA ' =BC+CA ' =1+CA ' =1+ CA BC BC BC CB ' CB ' AB ' − AC AB ' 1 1 −k AC k = = −1= −1= = L¹i cã ⇒ ⇒ CA AC AC k k AB ' k −1 BA ' k 1 BC 1 1 =1+ = =1− k thay vào (*) ta đợc: = ⋅(1− k ) ⇒ BC 1 −k 1 −k BA ' AA ' CC '. (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã:. 1 1 1 1 1 + = (1 − k)+ ⋅k= AA ' BB ' CC ' CC ' CC'. ⇒. Trêng L©m, ngµy 12 th¸ng 12 n¨m 2012 Gi¸o viªn Hå SÜ Hoµng. §PCM..
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
