on tap nang cao toan 7 phan 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phần. ĐẠI SỐ. 5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chöông I SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC. § 1. TẬP HỢP ℚ CÁC SỐ HỮU TỈ A. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Số hữu tỉ Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số. a với a, b ∈ ℤ , b ≠ 0. b. 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số a Để biểu diễn số hữu tỉ với a, b ∈ ℤ , b > 0, ta làm như sau : b a) Chia đoạn thẳng đơn vị (đoạn từ điểm 0 đến điểm 1, đoạn từ điểm 1 đến điểm 2, ...) thành b phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới baèng. 1 ñôn vò cuõ. b. a được biểu diễn bởi một điểm M nằm bên phải điểm b 0 và cách điểm 0 một đoạn thẳng bằng a đơn vị mới.. b) Nếu a > 0 thì số hữu tỉ. a được biểu diễn bởi điểm N nằm bên trái điểm 0 và b cách điểm 0 một đoạn thẳng a đơn vị mới. c) Nếu a < 0 thì số hữu tỉ. Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. 3. So sánh hai số hữu tỉ • Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có : hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y. Chúng ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phaân soá roài so saùnh hai phaân soá. • Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y. • Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương ; Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm ; Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.. 6.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> B. LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1.. HIEÅU YÙ NGHÓA CAÙC KÍ HIEÄU ∈, ∉, ⊂, ℕ , ℤ , ℚ.
Phöông phaùp giaûi • Dựa vào ý nghĩa các kí hiệu để giải các bài toán đọc kí hiệu, xác định tính đúng sai, điền kí hiệu thích hợp vào ô trống. •. Chuù yù raèng ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ..
Caùc ví duï Ví duï 1.. Điền dấu (∈, ∉, ⊂) thích hợp vào các ô trống. – 2010
ℚ ;. 4
ℤ; 7. 2345
ℤ ;. –. 2
ℚ; 15. 185
ℕ ;. 4
ℚ; 17. ℕ
ℤ
ℚ.. Giaûi – 2010 ∈ 2345 ∈ Ví duï 2.. ℚ; ℤ;. 4 7 –. ∉. 4 17. 185 ∈. ℤ;. ∈. 2 15. ℕ;. ∈. ℚ;. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.. ℚ;. Cách viết nào sau đây đúng ? a). 7 ∈ ℚ; 11. b). d) –2,5 ∈ ℚ ;. −511 ∈ ℤ; 522. e) ℤ ⊂ ℚ ;. c) 1. 1 ∈ ℚ; 7. f) ℚ ⊂ ℕ .. Giaûi a) Đúng ; Daïng 2.. c) Đúng ;. d) Đúng ;. e) Đúng.. BIỂU DIỄN SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi • Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản. • Để biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta viết số đó dưới dạng phân số tối giản có mẫu dương. Mẫu của phân số cho ta biết đoạn thẳng đơn vị cần phải chia thaønh bao nhieâu phaàn baèng nhau.. 7.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>
Caùc ví duï Ví duï 1.. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ. 2 ? −5. −8 9 −10 6 9 ; ; ; ; . 20 −12 25 −15 −15 Giaûi. −8 −2 9 −3 −10 −2 6 −2 9 −3 = ; = ; = ; = ; = . 20 5 −12 4 25 5 −15 5 −15 5 −2 −8 −10 6 laø : ; ; . Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ 5 20 25 −15 Ta coù :. Ví duï 2.. Biểu diễn số hữu tỉ. −2 treân truïc soá. 5 Giaûi. −2. 2 −2 = Ta coù : −5 5. Daïng 3.. SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi • Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương, rồi so sánh các phân số đó. • Chuù yù : Neáu x, y, z ∈ ℚ maø x < y vaø y < z thì x < z.
Caùc ví duï Ví duï 1.. So sánh các số hữu tỉ sau : −25 444 a) x = vaø y = ; 35 −777 17 c) x = vaø y = 0,75. 20. b) x = –2. 1 110 vaø y = ; 5 −50. Giaûi. −25 −5 444 −444 −4 = ,y= = = . Vaäy x < y. 35 7 −777 777 7 1 −11 110 −110 −11 b) Ta coù : x = –2 = ,y= = = . Vaäy x = y. 5 5 −50 50 5 a) Ta coù : x =. 8.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> c) Ta coù : x = Ví duï 2.. 17 3 15 , y = 0,75 = = . Vaäy x > y. 20 4 20. So sánh các số hữu tỉ sau : 1 −7 −3737 −37 vaø ; b) vaø ; a) 2010 19 4141 41. c). 497 −2345 vaø . −499 2341. Giaûi. 1 −7 >0> . 2010 19 497 2345 c) Ta coù : <1< . 499 2341. b) Ta coù :. a) Ta coù :. Daïng 4.. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ SỐ HỮU TỈ x =. 3737 −3737 : 101 −37 = = . 4141 4141 : 101 41. a LAØ SỐ HỮU TỈ DƯƠNG, ÂM, 0 b.
Phöông phaùp giaûi. a là số hữu tỉ dương khi và chỉ khi a, b cùng dấu. b a • Soá x = là số hữu tỉ âm khi và chỉ khi a, b khác dấu. b a • Soá x = laø soá 0 khi vaø chæ khi a = 0, b ≠ 0. b. • Soá x =.
Caùc ví duï Ví duï 1.. m − 2009 . Với giá trị nào của m thì : 2011 a) x laø soá döông. b) x laø soá aâm.. Cho số hữu tỉ x =. c) x khoâng laø soá döông, cuõng khoâng laø soá aâm. Giaûi a) Do 2011 > 0, neân x laø soá döông khi : m – 2009 > 0 ⇔ m > 2009. b) Do 2011 ≥ 0, neân x laø soá aâm khi : m – 2009 < 0 ⇔ m < 2009. c) Do 2011 ≠ 0, neân x khoâng laø soá döông, cuõng khoâng laø soá aâm khi : x = 0 ⇔ m – 2009 = 0 ⇔ m = 2009. Ví duï 2.. 20m + 11 . Với giá trị nào của m thì : −2010 a) x laø soá döông ? b) x laø soá aâm ? Cho số hữu tỉ x =. 9.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giaûi a) Vì –2010 < 0 neân x laø soá döông khi : 20m + 11 < 0 ⇔ m < – b) Vì –2010 < 0 neân x laø soá aâm khi : 20m + 11 > 0 ⇔ m > –. Daïng 5.. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ SỐ HỮU TỈ x =. 11 . 20. 11 . 20. a LAØ MOÄT SOÁ NGUYEÂN b.
Phöông phaùp giaûi Số hữu tỉ x =. a laø soá nguyeân khi vaø chæ khi a chia heát cho b. b.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tìm các số nguyên a để số hữu tỉ x =. −101 laø moät soá nguyeân. a +7. Giaûi x là số nguyên khi –101 ⋮ (a + 7) , tức là a + 7 là ước của –101. Do đó : a + 7 ∈ {1 ; –1 ; 101 ; –101} ⇔ a ∈ {–6 ; –8 ; 94 ; –108}. Ví duï 2.. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t =. 3x − 8 laø moät soá nguyeân. x −5. Giaûi t laø soá nguyeân khi (3x – 8) ⋮ (x – 5). Ta coù 3x – 8 = 3x – 15 + 7 = 3(x – 5) + 7. Do đó (3x – 8) ⋮ (x – 5) ⇔ 7 ⋮ (x – 5) ⇔ x – 5 là ước của 7, tức là : x – 5 ∈ {1 ; –1 ; 7 ; –7} ⇔ x ∈ {6 ; 4 ; 12 ; –2}. Daïng 6.. CHỨNG TỎ MỘT SỐ HỮU TỈ LAØ PHÂN SỐ TỐI GIẢN, TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT SỐ HỮU TỈ LAØ MỘT PHÂN SỐ TỐI GIẢN.
Phöông phaùp giaûi Số hữu tỉ x =. a laø phaân soá toái giaûn khi vaø chæ khi ÖCLN (a, b) = 1. b.
Caùc ví duï Ví duï 1.. 10. Chứng tỏ số hữu tỉ x =. 2m + 9 là phân số tối giản, với mọi m ∈ ℕ . 14m + 62.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Giaûi Ñaët d = ÖCLN (2m + 9, 14m + 62) (d ∈ ℕ* ). Ta coù. 2m + 9 ⋮ d vaø (14m + 62)⋮d , suy ra 7(2m + 9) ⋮ d vaø (14m + 62) ⋮ d. hay (14m + 63) ⋮ d và (14m + 62) ⋮ d. Do đó Maø d ∈ ℕ *. Neân d = 1. Vaäy x =. Ví duï 2.. : (14m + 63) – (14m + 62) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d.. 2m + 9 là phân số tối giản với mọi m ∈ ℕ . 14m + 62. Tìm các số tự nhiên n để số hữu tỉ y =. n −2 laø moät phaân soá toái giaûn. 3n + 7. Giaûi Gọi d là ước nguyên tố của n – 2 và 3n + 7. Ta có : (3n + 7) – 3(n – 2) ⋮ d ⇒ 13 ⋮ d ⇒ d = 13. Do n – 2 ⋮ 13 neân ñaët n – 2 = 13k (k ∈ ℤ ) ⇔ n = 13k + 2. Vậy nếu n ≠ 13k + 2 (k ∈ ℤ ) thì số hữu tỉ đã cho là phân số tối giản. C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1.1.. 1.2. 1.3. 1.4.. So sánh các số hữu tỉ sau : −247 −17 −2009 12345 a) vaø . b) vaø . −249 −18 2008 −12347 89 44444 2413 −409 c) vaø . d) vaø . 110 55555 −4824 822 a c Cho > (b > 0, d > 0). Chứng minh rằng ad > bc. b d a c a a +c c Chứng minh rằng nếu > (b > 0, d > 0) thì > > . b d b b +d d Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, g thoả mãn a < b < c < d < e < g. Chứng minh rằng : a +b 1 a) < . a +b +c +d +e + g 3. 1.5.. Cho số hữu tỉ x = a) x laø soá aâm ?. b). a +c +e 1 < . a +b +c +d +e + g 2. a − 2010 . Với giá trị nào của a thì : 1963 b) x laø soá döông ?. c) x khoâng laø soá döông vaø cuõng khoâng laø soá aâm ? 1.6.. Cho a, b ∈ ℤ , b > 0. a) So sánh hai số hữu tỉ. a a + 2010 vaø . b b + 2010. 11.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) So sánh hai số hữu tỉ. a a +m vaø với m ∈ ℕ *. b b +m. 7x − 3 (x ≠ –2). Với giá trị nguyên nào của x thì a là số nguyên ? x +2 4m + 7 1.8. a) Chứng tỏ số hữu tỉ a = là một phân số tối giản, với mọi m ∈ ℕ . 12m + 22 10n + 9 b) Chứng tỏ số hữu tỉ b = là một phân số tối giản, với mọi n ∈ ℕ . 15n + 14 n−3 laø moät phaân soá toái giaûn. 1.9. a) Tìm các số tự nhiên để số hữu tỉ x = 5n + 2 n −7 b) Tìm các số tự nhiên n để số hữu tỉ y = laø moät phaân soá toái giaûn. 11n + 2 x −9 1.10. Cho số hữu tỉ a = . 3x + 4 a) Với giá trị nguyên nào của x thì a là số nguyên ? 1.7.. Cho số hữu tỉ a =. b) Tìm các số tự nhiên x để số hữu tỉ a là một phân số tối giản. 1.11. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản.. 1 2 3 4 5 6 ; ; ; ; ; . n +2 n +3 n +4 n +5 n +6 n +7 1 2 3 99 b) ; ; ; ... ; . n +4 n +5 n +6 n + 102. a). § 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ A. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ Viết hai số hữu tỉ x, y dưới dạng :. a a ,y= (a, b, m ∈ ℤ ; m > 0). m m a b a +b a b a −b x+y= + = . x–y= – = . m m m m m m. x=. 2. Quy taéc “chuyeån veá” Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó. Với mọi x, y, z ∈ ℚ thì : x + y = z ⇒ x = z – y. 3. Chuù yù Trong ℚ cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong ℤ .. 12.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> B. LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1.. CỘNG, TRỪ HAI SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính : −5 −7 a) + . 13 13. b). −3 2 + . 14 21. c). 1313 −1011 + . 1515 5055. Giaûi. −5 −7 −5 + (−7) −12 −3 2 −9 4 −9 + 4 −5 + = = . b) + = + = = . 13 13 13 13 14 21 42 42 42 42 1313 −1011 13 −1 13 −3 13 + (−3) 10 2 c) = + = + = = = . + 1515 5055 15 5 15 15 15 15 3. a). Ví duï 2.. Tính : a). 2 7 − . 15 10. b) (–5) –. 2 . 7. c) 2,5 –. 3 . 4. Giaûi a). 2 7 4 21 4 − 21 −17 − = − = = . 15 10 30 30 30 30 3 4. c) 2,5 – Daïng 2.. =. 5 2. 3 4. 10 4. 3 4. b) (–5) –. 2 = 7. 35 7. 2 7. 37 . 7. 13 . 4. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TỔNG HOẶC HIỆU CỦA HAI SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi . . Để giải bài toán dạng này, thường : – Viết số hữu tỉ đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương. – Viết tử của phân số này thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên. Từ đó viết được số hữu tỉ đã cho dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ..
Caùc ví duï Ví duï 1.. −7 dưới dạng sau : 20 a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương.. Hãy viết số hữu tỉ. 13.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Giaûi a). −7 −5 + (−2) −5 −2 −1 −1 = = + = + . 20 20 20 20 4 10. Ví duï 2.. Hãy viết số hữu tỉ. b). −7 1 − 8 1 8 1 2 = = − = − . 20 20 20 20 20 5. −1 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 5 Giaûi. −1 −4 −3 + (−1) −3 −1 = = = + . 5 20 20 20 20. Ta coù : Daïng 3.. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT TỔNG HOẶC HIỆU.
Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc “chuyển vế”, quy tắc cộng, trừ phân số để tìm được số chưa biết trong một tổng hoặc hiệu.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tìm x, bieát : a) x +. 1 −3 = . 12 8. b) x – 2 =. −5 . 9. c). 2 −3 4 1 –x= . d) –x + = . 15 10 5 2. Giaûi. 1 −3 −3 1 −9 2 −11 = ⇒x= − ⇒x= − ⇒ x= . 12 8 8 12 24 24 24 −5 −5 −5 −5 18 13 b) x – 2 = ⇒x= +2= ⇒x= + ⇒x= . 9 9 9 9 9 9 2 −3 −3 2 −3 4 −7 7 c) –x= ⇒ –x = − ⇒ –x = − ⇒ –x = ⇒x= . 15 10 10 5 10 10 10 10 4 1 1 1 5 2 3 3 d) –x + = ⇒ –x = − ⇒ –x = − ⇒ –x = ⇒x=– . 5 2 2 5 10 10 10 10. a) x +. Ví duï 2.. Tính toång x + y bieát : x –. 5 3 223 11 = vaø −y = . 12 8 669 88 Giaûi. 5 3 3 5 19 223 11 11 223 5 = ⇒x= + = ; –y= ⇒ –y = − ⇒y= . 12 8 8 12 24 669 88 88 669 24 19 5 24 Vaäy x + y = + = = 1. 24 24 24 x–. 14.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Daïng 4.. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Phöông phaùp giaûi •. •. Trường hợp 1 : Không có dấu ngoặc. Có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách thích hợp, rồi tính. Trường hợp 2 : – Cách 1. Tính giá trị từng biểu thức trong dấu ngoặc trước. – Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng một cách thích hợp..
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính : a). −5 4 17 41 + + − . 12 37 12 37. b). 1 43  1  1 − + −  − . 2 101  3  6. Giaûi a).  5 17   4 41  −5 4 17 41 + + − = − + + −  = 1 + (–1) = 0. 12 37 12 37  12 12   37 37 . b).  1 −1 1  43  3 −2 1  43 1 43  1  1 − + −  − =  + − − =  + − − = 2 101  3  6  2 3 6  101  6 6 6  101. Ví duï 2.. 43 . 101. 5 3   8 4  5 2 Tính :  − + 9  –  2 + −  +  − − 10  . 3 7 7 3 7 3      . Giaûi  Caùch 1. 5 3   8 4  5 2  − + 9  –  2 + −  +  − − 10  7 3 3 7   7 3   35 9 189   42 15 14   24 28 210  42 =  − + + −  +  − − = –2.  –   =  21 21 21   21 21 21   21 21 21  21  Caùch 2. 5 3   8 4  5 2  − + 9  –  2 + −  +  − − 10  3 7 7 3 7 3       5 3 5 2 8 4 = − + 9 – 2 – + + − – 10 3 7 7 3 7 3. 5 2 4  3 5 8 = (9 – 2 – 10) +  + −  +  − − +  = –3 + 1 + 0 = –2. 3 3 3  7 7 7. 15.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 2.1.. Tìm x, bieát :. 1 −5 –x= – 2. 3 9 1 2 1 1 −1 = , 1 – y = 2 vaø z – = . Tính toång x + y – z bieát : x – 4 3 2 6 2 Tính :  5  1  13  1 7  1 5  4 2  4 2 3 a)  − +  – − − +  . b) –  − +  + − + + .  19 511 12   511 2 19   25 191 51   191 51 5  a) x –. 2.2. 2.3.. 2.4.. b) 2. Tính : 1 1 1 1 1 1 a) − − − – ... – – . 199 199.198 198.197 197.196 3.2 2.1 b) 1 –. 2.5.. 4 7 3 = − . 15 10 4. 2 2 2 2 2 − − – ... – − . 3.5 5.7 7.9 61.63 63.65.  1  4 11 2  2 3 7 ;− ; . Cho x ∈  − ; − ; − , y ∈  ; 5 20 10   4  7 21 3  a) Tìm giá trị lớn nhất của x + y. b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa x + y.. 1 1 1 1 1 + + – = . x (x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) x 2010. 2.6.. Tìm x, bieát :. 2.7.. Cho 301 số hữu tỉ, trong đó 3 số bất kì nào cũng có tổng là một số hữu tỉ âm. a) Chứng minh rằng tổng của 301 số đó là một số âm. b) Có thể khẳng định tất cả 301 số đó đều là số âm không ? a) Coù toàn taïi hay khoâng moät daõy goàm baûy soá, sao cho hai soá lieân tieáp naøo cuõng coù toång laø soá döông, coøn toång cuûa caû baûy soá laïi laø soá aâm ? b) Coù toàn taïi hay khoâng moät daõy goàm chín soá sao cho ba soá lieân tieáp naøo cuõng coù toång laø soá döông, coøn toång cuûa caû chín soá laïi laø soá aâm ?. 2.8.. 16.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> § 3. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Nhân hai số hữu tỉ a c a c a .c Với x = , y = ta coù x.y = . = . b d b d b.d 2. Chia hai số hữu tỉ a c a c a d a .d (y ≠ 0) ta coù x : y = : = . = . Với x = , y = b d b d b c b.c  Chuù yù : a) Pheùp nhaân trong ℚ coù caùc tính chaát cô baûn nhö pheùp nhaân trong ℤ : giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có số nghịch đảo. b) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của x và y,. x hay x : y. y. kí hieäu laø. B. LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1.. NHÂN, CHIA HAI SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi Viết hai số hữu tỉ, dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính : a) 4,5..  1 1 b)  −2  .1 .  3  14. 4 . 9 Giaûi.  4 9 −4 9.(−4) a) 4,5.  −  = ⋅ = = –2.  9 2 9 2.9 Ví duï 2..  1 1 7 15 b)  −2  .1 = .  3  14 3 14.  11  1 Tính : a)  −  :1 .  15  10. b). 1.5 1.2. 5 . 2. −7 : (–3,5). 11. Giaûi.  11  1 a)  −  :1  15  10. 11 10 . 15 11. 2 . 3. b). −7 : (–3,5) 11. 7 2 . 11 7. 2 . 11 17.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Daïng 2.. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TÍCH HOẶC THƯƠNG CỦA HAI SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi Để giải bài toán dạng này, ta thường viết số hữu tỉ đã cho dưới dạng phân số. Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên. Từ đó viết được số hữu tỉ đã cho dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ.
Caùc ví duï Ví duï 1.. −11 dưới các dạng sau : 81 a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ.. Hãy viết số hữu tỉ. Giaûi a). −11 −1 11 = . . 81 3 27. Ví duï 2.. b). −11 −1 27 = : . 81 3 11. 1 dưới các dạng sau : 7 a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm.. Hãy viết số hữu tỉ. Giaûi a). 1 7. Daïng 3.. 1 5 . . 5 7. b). 1 −1 −7 = : . 7 4 4. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT TÍCH HOẶC THƯƠNG.
Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc nhân, chia phân số để tìm được số chưa biết trong một tích hoặc thương.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tìm x, bieát :.  3 5 a) x.  −  = . 21  7  2 15 c) x :  −  = − . 5 16  . 5 28 b) 1 .x = . 9 9 d). −4 2 :x = − . 7 5. Giaûi.  3 5 5  3 5  −7  −5 a) x.  −  = ⇒x= : −  ⇒ x = .  ⇒ x = . 21 21  7  21  3  9  7. 18.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 5 28 14 28 28 14 28 9 b) 1 .x = ⇒ .x = ⇒x= : ⇒x= . ⇒ x = 2. 9 9 9 9 9 9 9 14  2 15 −15  2  3 c) x :  −  = − ⇒x= . −  ⇒ x = .  5 16 16  5  8 d). 4 −4 2 −4  2  :x = − ⇒ x = : −  ⇒ x = . 7 5 7  5 7. Ví duï 2.. 5 2. ⇒x=. 10 . 7.  4  −3 −13 10 Tính x – y, bieát : x.  − ,y: = .  = 13 26 5 39   Giaûi.  4   4  −3 3 −3 Ta coù : x.  − ⇒x=– : −  ⇒ x = .  = 13 26 26  13  26  . 13 3 ⇒x= . 4 8. −13 10 10 −13 −2 = ⇒y= . ⇒y= . 5 39 39 5 3 3 −2 9 −16 25 Do đó : x – y = − = − = . 8 3 24 24 24 y:. Daïng 4.. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc thực hiện các phép tính, thứ tự thực hiện các phép tính và tính chaát cuûa caùc pheùp tính.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính : a). −4 5 −39 −1  5  – . + : −  . 7 13 25 42  6 . b). 2  −4  1 2  2  −5 ⋅ : −  +1 – . 9  45  5 15  3  27. Giaûi a). b). −4 5 −39 −1  5  −4 3 −1  −6  −4 3 1 – . + : −  = + + ⋅  = + + 7 13 25 42  6  7 5 42  5  7 5 35 −20 21 1 2 = + + = . 35 35 35 35 2 9. 4 1 : 45 5. 2 15. 1. 2 3. –. 2 4 1 5 5 4 15 5 −5 2 −5 = . : = . . – 27 9 45 1 3 27 9 45 15 3 27   2 1 −5 2 −5 7 2  4 5  −5 = − + − = . − = − = .   9  3 3  27 9 3 27 27 27 27. 19.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ví duï 2.. Tính :. 3  −5  2  −5  a) 12 :   + 2 :   . 5  7  5  7 . 4 4 4 − − 3 115 5 6115 b) + . 7 7 7 7 − − 115 5 6115. Giaûi.  3  7  3  −5  2  −5  2   −5  :   + 2 :   =  12 + 2  :   = 15.   = –21. 5  7  5  7   5 5  7   −5    1 1 1 4 4 4 4 − −  − − 115 5 6115  3 3 4 3  115 5 6115 b) + = + = + = 1. 7 7 7 7  1 7 7 1 1  7 − − 7 − −  115 5 6115  115 5 6115  a) 12. Daïng 5.. TÌM SOÁ CHÖA BIEÁT TRONG MOÄT PHEÙP TÍNH.
Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc thực hiện các phép tính, thứ tự thực hiện các phép tính và tính chất của các phép tính, từ đó giúp tìm được số chưa biết trong một phép tính.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tìm x, bieát :.  5  −2 3 a)  x −  : = . 7 3 7 . b). 6  1  −3 : x −  = . 35  2  25. Giaûi.  5  −2 3 5 3 −2 5 2 −2 5 3 a)  x −  : = ⇒x– = ⋅ ⇒x– =− ⇒x = + ⇒x= . 7 3 7 7 7 3 7 7 7 7 7  6  1  −3 1 6 −3 1 −10 −13 b) : x −  = ⇒x– = : ⇒x – = ⇒x = . 35  2  25 2 35 25 2 7 14 Ví duï 2.. Tìm x, bieát : a). 2 1 5 x– x= . 7 3 21. b). x +1 x +2 x + 3 + + = –3. 1974 1973 1972. Giaûi a). 20. 2 1 5 6 7 5 1 5 5  1  x– x= ⇒ x− x = ⇒– x = ⇒x= : −  ⇒ x = –5. 7 3 21 21 21 21 21 21 21  21 .

<span class='text_page_counter'>(17)</span> b). x +1 x +2 x + 3 x +1 x +2 x +3 + + = –3 ⇒ +1+ +1+ +1 = 0 1974 1973 1972 1974 1973 1972 x + 1975 x + 1975 x + 1975 ⇒ + + =0 1974 1973 1972.  1 1 1  ⇒ (x + 1975)  + +  = 0 ⇒ x = –1975.  1974 1973 1972  (Vì. 1 1 1 + + ≠ 0). 1974 1973 1972. C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 3.1.. 3.2.. Thực hiện phép tính : 1 1 1 1 1 1 1 a) − − − − − − . 2 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 23.27.  1  1  1  1  1  1  b)  −1  ⋅  −1  ⋅  −1  ⋅  −1  ⋅  −1  ⋅  −1  .  5   6   7   8   9   10  1 1 1 1 − − – ... – . c) 1 – 5.10 10.15 15.20 95.100  1 1 1 1   1 1 1 1  d)  + + + ... + + + ... +  .  :  +  1.2 3.4 5.6 49.50   26 27 28 50  Tìm x, bieát : a). 3.3. 3.4.. 1 3 −33 x+ x = . 2 5 25. 2 4   1 −3  b)  x −   + : x  = 0. 9 2 7 3 . x +5 x +6 x +7 + + = −3 2005 2004 2003. 1 1 1 1 7 5 + + + ... + . Chứng minh rằng <A< . 1.2 3.4 5.6 99.100 12 6 Tìm các số hữu tỉ x, y sao cho :. Cho A =. a) x – y = 2(x + y) = x : y. 3.5.. c). b) x + y = xy = x : y.. Tìm x, bieát :.  1  4 a)  x −  ⋅  x +  > 0.  5  7. 3.6.. 3.7..  2 b)  x +  (x + 2) < 0.  3 7 −19 1 a) Cho x, y, z ∈ ℚ , thoả mãn : x + y = ;y+z= ; z + x = . Tìm x, y, z. 12 24 8 xy 12 yz zx b) Cho x, y, z thoả mãn : = ; = –6 ; = –4. Tìm x, y, z. x +y 7 y +z z +x Cho 206 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì 5 số nào cũng là một số âm. Chứng minh raèng : a) Tích của 206 số đó là một số dương. b) Tất cả 206 số đó đều là số âm.. 21.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> § 4. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN A. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu x, được xác định như sau :. x neáu x ≥ 0 x =   −x neáu x < 0  Nhaän xeùt : Với mọi x ∈ ℚ luôn có x ≥ 0, x = –x, x ≥ x và x ≥ –x. Trên trục số, x là khoảng cách từ điểm biểu diễn của x tới gốc O. 2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân dương và âm, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép toán đã biết về phân số. • Trong thực hành, khi cộng, trừ, nhân hai số thập phân ta thường áp dụng quy tắc tìm giá trị tuyệt đối của kết quả, đặt dấu “+” hoặc “–” trước kết quả nhận được như khi cộng, trừ, nhân hai số nguyên. • Khi chia soá thaäp phaân x cho soá thaäp phaân y (y ≠ 0), ta aùp duïng quy taéc : Thương của hai số thập phân x và y là thương của x và y với dấu “+” đằng trước nếu x và y cùng dấu, và dấu “–” đằng trước nếu x và y khác dấu. B. LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1.. TÌM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi Ghi nhớ rằngx = 0, nếu x = 0 ; x = x nếu x > 0 ; x = –x nếu x < 0.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính x, bieát : a) x =. 5 . 13. b) x =. −73 . 161. c) x = –5,8.. Giaûi a) x = Ví duï 2.. 22. 5 = 13. 13. Tính. 6 25. b) x =. 4 5. 2 . 25. −73 73 = . 161 161. c) x = –5,8 = 5,8..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Giaûi. 6 25 Daïng 2.. 4 5. 2 −6 4 2 −6 20 2 12 = + − = + − = . 25 25 5 25 25 25 25 25. TÌM MỘT SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA SỐ ĐÓ.
Phöông phaùp giaûi Lưu ý rằng x = a với x ∈ ℚ : Nếu a = 0 thì x = 0 ; nếu a > 0 thì x = a hoặc x = –a ; nếu a < 0 thì x ∈ ∅.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính x, bieát : a) x =. 4 . 7. b) x = 0.. c) x = –8,7.. Giaûi. 4 4 4 ⇒x= hoặc x = – . 7 7 7 c) x = –8,7 ⇒ x ∈ ∅.. a) x =. Ví duï 2.. b) x = 0 ⇒ x = 0.. Tính x, bieát : a) x. 2 5. 1 . 4. b) x + 0,8 – 2,9 = 0.. Giaûi. 2 1 2 1 2 −1 13 3 = ⇒x– = hoặc x – = ⇒x= hoặc x = . 5 4 5 4 5 4 20 20 b) x + 0,8 – 2,9 = 0 ⇒ x + 0,8 = 2,9. a). x−. ⇒ x + 0,8 = 2,9 hoặc x + 0,8 = –2,9 ⇒ x = 2,1 hoặc x = –3,7. Daïng 3.. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
Phöông phaùp giaûi •. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta làm như sau : – Chứng minh A ≥ m với m là hằng số. – Chæ ra A = m. 23.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> – Keát luaän giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø m. •. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta làm như sau : – Chứng minh A ≤ n với n là hằng số. – Chæ ra A = n.. •. – Kết luận giá trị lớn nhất của A là n. Löu yù raèng : x ≥ 0. Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = 0 –x = x ≥ x. Daáu “=” xaûy ra ⇔ x ≥ 0..
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : 4 a) A = x + . b) B = x + 2,8 – 6,9. 17 Giaûi. a) Ta có x ≥ 0. Do đó x +. 4 4 4 ≥ hay A ≥ . Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = 0. 17 17 17. 4 . 17 b) Ta có x + 2,8 ≥ 0. Do đó x + 2,8 – 6,9 ≥ –6,9 hay B ≥ –6,9. Dấu “=” xảy. Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø. ra khi : x + 2,8 = 0 ⇔ x = –2,8. Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa B laø –6,9. Ví duï 2.. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau : 8 141 a) A = – x + . b) B = 18,9 – x – 2,5. 272 319 Giaûi. 8 141 141 141 ≤ hay A ≤ , khoâng 272 272 319 272 8 8 141 đổi. Dấu “=” xảy ra khi : x + =0⇔x=– . Vậy giá trị lớn nhất của A là . 319 319 272 b) Ta có : –x – 2,5 ≤ 0, do đó 18,9 – x – 2,5 ≤ 18,9 hay B ≤ 18,9 không đổi. a) Ta coù :. x. 8 319. 0 . Do đó :. x. Dấu “=” xảy ra khi x – 2,5 = 0 ⇔ x = 2,5. Vậy giá trị lớn nhất của B là 18,9. Ví duï 3.. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : 1 4 a) A = x +  – x + . b) B = x – 2010 + x – 1963. 5 7. Giaûi 1 1 1 4 27 a) Ta có x +  ≥ x + . Do đó A ≥ x + –x+ hay A ≥ , không đổi. 5 5 5 7 35 24.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 1 −1 27 ≥0⇔x≥ . Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø . 5 5 35 b) Ta có x – 2010 = 2010 – x ≥ 2010 – x và x – 1963 ≥ x – 1963. Do đó. Daáu “=” xaûy ra khi : x +. B ≥ 2010 − x + x − 1963 hay B ≥ 47, không đổi. Dấu “=” xảy ra khi : 2010 – x ≥ 0 vaø x – 1963 ≥ 0 ⇔ 2010 ≥ x ≥ 1963. Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa B laø 47. SAI LẦM THƯỜNG GẶP : Ta có : x – 2010≥ 0, x – 1963≥ 0. Do đó B ≥ 0. Rồi vội vàng kết luận, giá trị nhỏ nhất của B là 0. Sai ở chỗ, không có giá trị x nào để đồng thời có x – 2010 = 0 và x – 1963 = 0. Daïng 4.. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ THẬP PHÂN.
Phöông phaùp giaûi Vận dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân và các tính chất của caùc pheùp tính.
Caùc ví duï Ví duï 1.. Tính : a) –8,42 + 5,17.. b) 9,2.(–0,3).. c) 4,28 – 9,5.. d) –15,244 : 3,7. Giaûi. a) –8,42 + 5,17 = –3,25.. b) 9,2.(–0,3) = –2,76.. c) 4,28 – 9,5 = –5,22.. d) –15,244 : 3,7 = –4,12.. Ví duï 2.. Tính bằng cách hợp lí : a) –28,4.14,71 + (–28,4).85,29. b) (5,23 + 72,9 – 47,8) – (12,9 + 3,23 – 46,8). Giaûi. a) –28,4.14,71 + (–28,4).85,29 = (–28,4).(14,71 + 85,29) = –28,4.100 = –2840. b) (5,23 + 72,9 – 47,8) – (12,9 + 3,23 – 46,8) = 5,23 + 72,9 – 47,8 – 12,9 + 3,23 + 46,8 = (5,23 – 3,23) + (72,9 – 12,9) + (–47,8 + 46,8) = 2 + 60 + (–1) = 61.. 25.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Daïng 5.. TÌM PHẦN NGUYÊN, PHẦN LẺ CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
Phöông phaùp giaûi –. Löu yù raèng : Phần nguyên của một số hữu tỉ x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quaù x. Vaäy [x] ≤ x < [x] + 1. –. Phần lẻ của một số hữu tỉ x, kí hiệu {x} là hiệu x – [x]. Vậy 0 ≤ {x} < 1..
Caùc ví duï Ví duï 1.. 3  9   15  Tìm   ;   ; [–8,7] ; [–4] ; [2010] ;  − . 5  2   4 Giaûi. 3  9   15    = 0 ;   = 4 ; [–8,7] = –9 ; [–4] = –4 ; [2010] = 2010 ;  −  = –4. 5  2   4 Ví duï 2.. Tìm [x], bieát : a) 7 < x <. 47 . 6. b) –. 26 < x < –5. 5. Giaûi a) Ta coù 7 < x < Ví duï 3.. 47 < 8 neân [x] = 7. 6. b) Ta coù –6 < –. 26 < x < –5 neân [x] = –6. 5. Tìm {x }, bieát : a) x =. 15 . 4. b) x = 9,3.. c) x = –. 21 . 8. d) x = –14,2.. Giaûi. 15 15 3 nên [x] = 3. Do đó {x} = x – [x] = –3= . 4 4 4 b) x = 9,3 nên [x] = 9. Do đó {x} = x – [x] = 9,3 – 9 = 0,3.. a) x =. 3 21 21 nên [x] = –3. Do đó {x} = x – [x] = – – (–3) = . 8 8 8 d) x = –14,2 nên [x] = –15. Do đó {x} = x – [x] = –14,2 – (–15) = 0,8. c) x = –. 26.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 4.1.. Tìm x ∈ ℚ , bieát :. 4.2.. 9 4 = . 20 5 4 c) 0,9 – x = 5,8. d) x –  = 9,7. 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : 5 2 9 3 b) B = x + – . a) A = x –  + . 7 3 11 7 c) C = x + 5,8 – 2,4. d) D = 5 – x + 8,5. a) x –. 4.3.. 4.4.. 4 1 = . 5 5. b) x +. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau : 4 12 a) A = –x +  + . b) B = 19,8 – x – 5,3. 7 19 5 13 . c) C = –2,8 – x + 8,11. d) D = –x –  + 9 31 Tìm x, y, z ∈ ℚ bieát :. 3 4 5  + y –  + z +  = 0. 7 9 11 2 1 3 b) x –  + x + y –  + y – z +  = 0. 5 2 5 c) x + y – 2,8 + y + z + 4 + z + x – 1,4 = 0. a) x +. 4.5.. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) A = x – 20 + x – 2010. b) B = x + 8,9 + x – 1,2. c) C = x – 3 + x – 5 + x – 91.. 4.6.. 4.7.. d) D = x –. 1 5  + x –  + x – 3. 2 3. −5 1 ; x = –7 . 2 2 4 2 b) Tìm {x} bieát : x = 8,2 ; x = ;x=– . 7 3 a) Cho biết [x] = [y]. Chứng minh rằng –1 < x – y < 1.. a) Tìm [x] bieát : x = 8,7 ; x =. n  n + 1  b) Cho n ∈ ℕ . Chứng minh rằng   +   = n. 2   2 . 27.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> § 5. LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên  Cho n là số tự nhiên khác 0 và 1, x là một số hữu tỉ bất kì. Luỹ thừa bậc n của số x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x.. x n = x .x .x ... x (x ∈ ℚ , n ∈ ℕ , n ≠ 0 vaø 1)   n thừa số. (xn gọi là luỹ thừa, x là cơ số, n là số mũ).  x1 = x ; x0 = 1 (x ≠ 0). n. Neáu x =. a  a an thì   = n . b b b .  Quy ước : x0 = 1 (x ∈ ℚ , x ≠ 0) ; x1 = x. 2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số • Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ :. x m .x n = x m +n • Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia : xm : xn = xm – n (x ≠ 0, m ≥ n) 3. Luỹ thừa của luỹ thừa Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ : (xm)n = xm.n 4. Luỹ thừa của một tích Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa : (x.y)n = xn.yn 5. Luỹ thừa của một thương Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa : (x : y)n = xn : yn (y ≠ 0) 6. Luỹ thừa với số mũ nguyên âm : x–n =. 1 x. n. (n ∈ ℕ *, x ≠ 0). B. LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1.. TÍNH.
Phöông phaùp giaûi Vận dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên các công thức tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của luỹ thừa, luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương cùng với thứ tự thực hiện các phép tính, tính chất của các phép tính và quy tắc dấu ngoặc. 28.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 29.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>