Ung dung tich phan THE TICH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Luyện thi Đại học 2011. Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY. Chủ đề:. I- LÝ THUYẾT: Dạng 1: Cho hình H được giới hạn bởi:. Dạng 2: Cho hình H được giới hạn bởi:. ìx = a ïx = b ï í ïOx ïî y = f ( x) y. ìy = a ïy = b ï í ïOy îï x = f ( y ) y b. f(x). f(y). x. O a. b a. x. O. Thể tích tạo bởi khi quay hình H quanh Ox: b. Thể tích tạo bởi khi quay hình H quanh Oy: b. V = p ò [ f ( x) ] dx. V = p ò [ f ( y ) ] dy. 2. a. 2. a. * Chú ý: Một số dạng thường gặp khác về thể tích: y. y. b. f(x). f(y). g(y). g(x). O. x a. b. a. x O. b. V =pò a. ( [ f ( x)] - [ g ( x)] 2. 2. ). b. V =pò. dx. a. ( [ f ( y )]. 2. ). - [ g ( y ) ] dy 2. y g(x). Mở rộng:. f(x) h(x). c. x O. a. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. c. b. V =pò a. ( [ f ( x)]. 2. ). b. (. ). - [ h( x) ] dx + p ò [ g ( x) ] - [ h( x) ] dx 2. c. 2. 2. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Luyện thi Đại học 2011. Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG II- VÍ DỤ MINH HỌA:. 1 Ví dụ 1: (TN 03- 04) Cho hình H giới hạn bởi các đường: y = x3 - x 2 , y = 0, x = 0 và x = 3 . Tính thể 3 tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox. y Gợi ý: d Dựa vào đồ thị, ta có: (C) 2. 2. 2 æ1 ö æ1 ö VH = p ò ç x 3 - x 2 ÷ dx = p ò ç x 6 - x 5 + x 4 ÷ dx 3 9 3 ø ø 0è 0è 3. 3. æ 1 7 1 6 x 5 ö 3 231 =p ç x - x + ÷ = ( ®.v.t.t ) 9 5 ø 0 10 è 63. x 3. O. Ví dụ 2: (TK- 2007) Cho hình H giới hạn bởi các đường: 4 y = x 2 , y = x . Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox một vòng. Gợi ý: y x2 2 Ta có: 4 y = x Û y = (P) và ( d ) : y = x 4 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): d éx = 0 x2 = x Û x ( x - 4) = 0 Û ê 4 ëx = 4 (P) x 4 Dựa vào đồ thị, ta có: O 4é 4 2 2ù 4 æx ö æ x ö 2 VH = p ò ê( x ) - ç ÷ ú dx = p ò ç x 2 - ÷ dx 16 ø è 4 ø úû 0ê 0è ë æ x 3 x 5 ö 4 64 32 1504 =p ç - ÷ = = ( ®.v.t.t ) 3 80 3 25 75 0 è ø Ví dụ 3: Cho hình H giới hạn bởi các đường: (P) : y = x 2 , (P / ) : y = 4 x 2 và (d): y = 4 .Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H: a) quanh trục Ox một vòng. b) quanh trục Oy một vòng. Gợi ý : (P') y A (P) d C B a) quanh trục Ox một vòng. 4 * Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): éx = 2 x2 = 4 Û ê ë x = -2 x * Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P’) và (d): 2 -2 -1 O éx = 1 4x2 = 4 Û ê ë x = -1 Đặt V là thể tích cần tìm. ìy = x2 ï VOAC là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay ( H' ) : í y = 4 quanh Ox. ïOy î 1. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Luyện thi Đại học 2011. Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG. ìy = 4x ï là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay ( H'' ) : í y = 4 quanh Ox. ïOy î 2. VOAB. 2. Lúc đó: V = VOAC - VOAB. 2. ( ). (. ). 2 2 = p ò é 4 - x 2 ù dx - p ò é 4 - 4 x 2 ù dx êë úû ëê ûú 0 0 2. (. ). 1. (. (P'). ). y (P). = p ò 4 - x 4 dx - p ò 4 - 16 x 4 dx 0. B. C. 4. 0. æ æ x5 ö 2 x5 ö 1 = p ç 4 x - ÷ - p ç 4 x - 16. ÷ 5 ø0 5 ø0 è è 32 16 ö 4p æ = p ç8 - - 4 + ÷ = ( ®.v.t.t ) 5 5ø 5 è b) quanh trục Oy một vòng. y Ta có: (P) : y = x 2 , (P / ) : y = 4 x 2 Û x 2 = 4 Đặt V là thể tích cần tìm.. x. 1. -1. -2. d. A. O. 2. ì x = y ( x ³ 0) ïï quanh Oy. VOAC là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay ( H' ) : í y = 4 ïOy ïî ì y ( x ³ 0) ïx = 2 ïï quanh Oy. VOBC là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay ( H'' ) : í y = 4 ïOy ï ïî 2 4é 4 2 æ yö ù 3y p 3y2 4 ê ú y -ç dy = p ò dy = = 2p ( ®.v.t.t ) Lúc đó: V = VOAC - VOBC = p ò ç 2 ÷÷ ú 4 8 0 0ê 0 è ø ë û. ( ). Ví dụ 4: Hình phẳng (H) là miền trong hình tròn ( x - 4 ) + y 2 = 4 . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H): a) quanh trục Ox một vòng. b) quanh trục Oy một vòng. Gợi ý : a) quanh trục Ox một vòng. y é y = 4 - x - 4 2 = 8 x - x 2 - 12 ) ( 2 Ta có ( x - 4 ) + y 2 = 4 Û ê (C) ê 2 2 y = 4 x 4 = 8 x x 12 ( ) êë 2. 1. 2. 4. 6. x. O. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Luyện thi Đại học 2011. Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG. ì y = 8 x - x 2 - 12 ï ïx = 2 Khối tròn xoay sinh ra bởi khi quanh hình phẳng ( H ) : í quanh Ox một vòng. x 6 = ï ïOx î. (. ). æ 2 x3 ö 6 32p Lúc đó: V = p ò 8 x - x - 12 dx = p ò ( 8 x - x - 12 ) dx = p ç 4 x - - 12 x ÷ = ( ®.v.t.t ) 3 3 è ø2 2 2 Nhận xét: Khi quay hình tròn (H) quanh Ox một vòng thì khối tròn xoay nhận được là khối cầu với bán y kính R = 2 . (C'') 4p R 3 32p (C') = Kiểm tra: VmÆt cÇu = ( ®.v.t.t ) 3 3 B 2 6. 2. 6. 2. 2. A. b) quanh trục Oy một vòng. Đặt V là thể tích cần tìm. VABCDE là thể tích khối tròn xoay sinh. O. ì x = 4 + 4 - y2 ( x ³ 4 ) ï ï quanh Oy. bởi khi quay ( C' ) : í y = 2 ï y = -2 ïOy î VABFDE là thể tích khối tròn xoay sinh. Lúc đó: V = 16p. p 2. ò. 4 - 4sin 2 t .2 cos tdt = 64p. p 2. ) (. ). p 2. p 2. ò cos. p 2. 2. tdt = 32p. 2. 4. F. C. -2 E. ì x = 4 - 4 - y2 ( x £ 4 ) ï ï quanh Oy. bởi khi quay ( C ) : í y = 2 ï y = -2 ïOy î 2 2 é Lúc đó: V = VABCDE - VABFDE = p ò ê 4 + 4 - y 2 - 4 - 4 - y 2 -2 ë p x =2: t= 2 Đặt y = 2sin t Þ dy = 2 cos tdt Þ p x = -2 : t = 2. (. 1. 2. x. D. ù 2 údy = p ò 16 4 - y dy û -2 2. ò (1 + cos2t ) dt. -. p 2. p 2 = 16p ( 2t + sin 2t ) = 32p ( ®.v.t.t ) p 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Luyện thi Đại học 2011. Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x ; y = 2 - x; y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = ( x - 2)2 và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 - x 2 ; y = x 2 + 2 . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y =. x2 1 ; y = x2 + 1 2. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1. x. Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox quay quanh trôc a) 0x Bài 10: ì y = ( x - 2) îy = 4. 2. b) Oy. ìï y = x ïî y = x 2. 1) í. 7) í. quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ì y = x 2 , y = 4x 2 2) í îy = 4. quay quanh trôc a) 0x; 8) MiÒn trong h×nh trßn (x - 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y. quay quanh trôc a) 0x; b) 0y. 9) MiÒn trong (E):. ì ïy =. 1 x +1 ïî y = 0, x = 0, x = 1. 3) í. 2. quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ì y = 2x - x 2. 4) í. îy = 0. quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ì y = x . ln x ï 5) í y = 0 ï x = 1; x = e î. quay quanh trôc a) 0x; ì y = x 2 ( x > 0) ï 6) (D) í y = -3x + 10 ïy = 1 î. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. x2 y2 + =1 9 4. quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ì y = xe x ï 10) í y = 0 ï x = 1,;0 £ x £ 1 î quay quanh trôc 0x; ì ï y = cos 4 x + sin 4 x ï 11) í y = 0 ï p ïx = ; x = p 2 î. quay quanh trôc 0x; ìy = x 2. 12) í. î y = 10 - 3 x. quay quanh trôc 0x; Tổ Toán Trường THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG 13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 4 ì ïy = 14) í x-4 ïî x = 0; x = 2 quay quanh trôc 0x;. Luyện thi Đại học 2011. ìy = x -1 ï 15) í y = 2 ï x = 0; y = 0 î. quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ìy = 0 ï 16) í x = 4 quay quanh Ox ï îy = 2 x - 2. ì xy = 1 ï 17) í y = 2 ïy = 4 î. quay quanh Oy. ìx = 0 ï 18) í y = -1; y = 1 quay quanh Oy ïx = y2 - y - 2 î. ì y = x2 ï 19) í x = 2 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ïy = 0 î. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>