Cac buoc giai bai toan hinh hoc bang veto

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tham luận:. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG VECTƠ. BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Trong chương trình hình học hiện hành Vectơ có vai trò khá quan trọng. Nó vừa là một đối tượng được nghiên cứu, vừa là một công cụ để xây dựng một số nội dung khác (hệ thức lượng trong tam giác, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, quan hệ vuông góc trong không gian,…). Hơn thế, vectơ cũng có nhiều ưu điểm trong việc giải quyết một số dạng toán như là: Chứng minh sự thẳng hàng, đồng phẳng, song song, vuông góc, tính độ dài,… Tuy nhiên đứng trước một bài toán hình học có thể giải bằng vectơ, học sinh thường lúng túng “không biết bắt đầu từ đâu”. Vì vậy cần thiết hình thành cho học sinh phương pháp giải các bài toán hình học bằng vectơ. Trong tham luận này tôi chỉ điển hình một dạng toán là Chứng minh ba điểm thẳng hàng. I. Các bước giải một bài toán hình học bằng vectơ 1. Các bước giải một bài toán hình học bằng vecto  Dịch các tính chất trong bài toán sang ngôn ngữ vectơ  Giải bài toán trong nội bộ vectơ  Kết luận (dịch lại ý ngĩa hình học từ kết quả thu được) Ví dụ : Cho tam giác ABC, có trực tâm H, trọng tâm G và tâm của đường tròn ngoại tiếp là O. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng. Giải . Dịch bài toán sang ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ hình học H là trực tâm của tam giác ABC và. Ngôn ngữ vectơ ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=⃗ OH. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam GT. giác ABC G là trọng tâm của tam giác ABC. ⃗ ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=O ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ MC=3 ⃗ MG. thể chọn M KL. Ba điểm O, G, H thẳng hàng. (M là tùy ý) ta có. O. Việc lựa chọn này là dựa. vào phân tích KL của bài toán. Có số m: ⃗ OH=m. ⃗ OG.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> . Chọn các vectơ. ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC. ta tạm gọi đây là các vectơ cơ sở, ta sẽ phân. OH , ⃗ OG theo ba vectơ ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC . tích hai vectơ ⃗. Lời giải như sau: Vì H là trực tâm, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có (1). ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=⃗ OH. (H1). G là trọng tâm của tam giác ABC nên ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=3 ⃗ OG. (Ta chọn M. O). (2). OH=3 ⃗ OG Từ (1) và (2) ta suy ra ⃗. . Kết luận. OH=3 ⃗ OG suy ra hai vectơ ⃗ OH , ⃗ OG cùng phương suy ra ba điểm O, G, H Từ ⃗. thẳng hàng. 2. Một số chú ý a. Trong các bước trên, việc chuyển đổi ngôn ngữ ở bước đầu tiên là khâu quan trọng nhất. Có thể từ bước này ta định hướng được cách giải của bài toán. Chẳng hạn như bài toán trên, sau khi phân tích ta có thể thấy được việc chọn điểm M. O là giải được. bài toán. Để giúp học sinh chuyển đổi ngôn ngữ tốt khi dạy giáo viên nên kết hợp giữa dạy các biểu thức vectơ với việc nắm ý nghĩa hình học của chúng đồng thời cố gắng mô tả chúng bằng các hình ảnh trực quan. Đây là việc kết hợp cái trừu tượng với cái cụ thể. Điều này sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức hơn. Ví dụ: Ý nghĩa hình học I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Biểu thức vectơ Hình biểu diễn A I B 1 ⃗ IA=− ⃗ IB; ⃗ AI=⃗ IB= ⃗ AB ; ⃗ IA + ⃗ IB=⃗ O ; 2 ⃗ ⃗ ⃗ MA+ MB=2 MI (M là tùy ý). 2 G là trọng tâm của A ⃗ AG= ⃗ AA '=2⃗ GA ' (AA’ là trung tam giác ABC 3 tuyến) G ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=0⃗ B A’ ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ NC=3⃗ MG (M là tùy ý) ⃗ Bốn điểm O, A, B, C (Ba vecto OC=x . ⃗ OA + y . ⃗ OB ⃗ đồng phẳng. OA , ⃗ OB , ⃗ OC đồng phẳng) …. …. …. C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bảng 1: Bảng tra cứu Biểu thức vectơ. ↔ Ý nghĩa hình học. b. Để bước thứ hai được thực hiện tốt, cần thiết phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải các bài toán trong nội bộ vectơ như là: phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, các bài toán tính tổng, hiệu các vectơ,… Cũng trong bước này, ta thường chọn một hệ các vectơ cơ sở, phân tích các vectơ khác theo hệ vectơ cơ sở đó. Sau đó tiến hành giải toán trong nội bộ vectơ. Khi chọn các vectơ cơ sở ta nên chọn sao cho các vectơ khác phân tích theo chúng thuận lợi nhất. Kỹ thuật này có thể tích góp qua kinh nghiệm giải toán. Chẳng hạn, hình tam giác ABC ta chọn hệ các vectơ cơ sở là. ⃗ AB , ⃗ AC. (xuất phát từ một đỉnh), hình tứ diện ABCD ta. AB , ⃗ AC , ⃗ AD , hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ ta chọn ⃗ AB , ⃗ AC , ⃗ AA ' , hình chọn ⃗ AB , ⃗ AC , ⃗ AA ' , … hộp ABCD.A’B’C’D’ ta chọn ⃗. II. Chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ 1. Phương pháp chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng PP 1: Chứng minh hai vectơ ⃗ AB , ⃗ AM cùng phương PP 2: Chứng minh. ⃗ OM=k ⃗ OA +l ⃗ OB với k + l = 1, O là điểm tùy ý.. 2. Một số bài toán áp dụng Bài toán 1: Cho tam giác ABO. Các điểm C, D, E lần lượt nằm trên đường thẳng AB, BO, OA sao cho AC = 2AB, OD = 1 OE= OA 3. 1 OB, 2. (H2). Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.. (H2). Giải . Dịch bài toán sang ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ hình học Các điểm C, D, E lần lượt nằm trên đường. GT. thẳng AB, BO, OA sao cho AC = 2AB,. Ngôn ngữ vectơ 1 1 ⃗ OD= ⃗ OB , ⃗ OE= ⃗ OA AC=2 ⃗ AB , ⃗ 2 3. 1 1 OB, OE= OA 2 3 KL ba điểm C, D, E thẳng hàng Có số m: ⃗ DE=m . ⃗ DC OA , ⃗ OB . Lời giải như sau: Chọn các vectơ cơ sở là ⃗ OD =. Đặt ⃗ OA=⃗a , ⃗ OB= ⃗b.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⃗ CD=⃗ OD − ⃗ OC. Vì ⃗ AC=2. ⃗ AB nên ⃗ OC − ⃗ OA=2 (⃗ OB −⃗ OA ). ⇔⃗ OC=− ⃗ OA +2 ⃗ OB. ¿ − a⃗ + 2 b⃗. Vậy 1 3 ⃗ CD=⃗ OD − ⃗ OC= ⃗ OB −2 b⃗ + ⃗a=⃗a − ⃗b 2 2. (1). 1 1 ⃗ DE=⃗ OE − ⃗ OD= ⃗a − ⃗b 3 2. (2). 1 DE= ⃗ CD Từ (1) và (2) suy ra ⃗ 3. Vậy ba điểm C, D, E thẳng hàng. Bình luận: Bài toán này có thể giải bằng cách qua B kẻ đường thẳng d qua trung điểm của EA và chứng minh d // ED và d// EC. Cách này cũng không quá khó đối với HS nhưng đôi khi HS không nhìn ra được phải vẽ thêm đường phụ d. Vã lại việc phải vẽ thêm đường phụ để chứng minh một bài toán hình học là không đơn giản, ngay cả đối với HSG. Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh DC chọn điểm E sao cho 1 DE= DC n. và trên cạnh DB chọn điểm F sao cho. DF=. 1 DB n+1. với n > 0. Chứng. minh ba điểm A, F, E thẳng hàng. Giải Ngôn ngữ hình học GT ABCD là hình bình hành 1 E thuộc DC: DE= DC 3 1 F thuộc DB: DF= DB 4 KL A, E, F thẳng hàng. Chọn các vectơ cơ sở là. Ngôn ngữ vectơ ⃗ AD=⃗ BC ; ⃗ AB=⃗ DC 1 ⃗ DE= ⃗ DC 3 1 ⃗ D F= ⃗ DB 4 Có số k sao cho ⃗ AF=k . ⃗ AE ⃗ ⃗ AB , AD . Ta có lời giải như. sau:. a. Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AD=⃗b 1 DE= ⃗ DC Từ ⃗ n. 1 ⇔⃗ DA+ ⃗ AE= ⃗ DC n. 1 ⇔⃗ AE=⃗ AD+ ⃗ DC n. b. 1 ⇔⃗ AE= a⃗ + b⃗ n. (H3). (1).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 ⃗ DF= DB Từ ⃗ n+1. ⇔⃗ AF= ⇔. 1 ⃗ ⃗ ⇔⃗ DA+ ⃗ AF= ( AB − AD ) n+1. 1 ⃗ ⃗ ⃗ ( AB− AD ) + AD n+1. 1 n ⃗ = ⃗ AF= a⃗ + b n+1 n+1. 1 ⃗ 1 ⃗ ⃗ AB − AD+ AD n+1 n+ 1. ¿. n 1 ⃗a + b⃗ n+1 n. (. n ⃗ ⃗ AF= . AE n+1. Từ (1) và (2) suy ra. ). (2). hay ba điểm A, E, F thẳng hàng. Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB và G là trung điểm của đoạn MN. Gọi A’ của đường thẳng AG và mp(BCD). Chứng tỏ GA = 3GA’. Giải AB , ⃗ AC , ⃗ AD . Lời giải bài toán như sau: Chọn các vectơ cơ sở là ⃗. Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AC=⃗b , ⃗ AD=⃗c Vì A '=AG ∩(BCD) nên A ' ∈(ABN) và A ' ∈( BCD) Ta có ba điểm B, A’, N thuộc hai mặt phẳng phân biệt là (ABN) và (BCD) nên B, A’, N cùng nằm trên một đường thẳng. Giả sử ⃗ BA ' =k . ⃗ BN . 1 1 AG=⃗ AM+ ⃗ AN= ⃗ AB+ ( ⃗ AC+ ⃗ AD ) Ta có 2 ⃗ 2. 2. 1 1 ⇔⃗ AG= ( ⃗ AB+ ⃗ AC+⃗ AD )= ( ⃗a + b⃗ + ⃗c ) 4 4 ⃗ AA '=⃗ AB+⃗ BA '=⃗ AB+ k . ⃗ BN=⃗ AB+k . (⃗ AN −⃗ AB ). (H4). = 1 1 1 1 ⃗ AB+ k . (⃗ AN − ⃗ AB )=⃗a +k . ⃗ AC+ ⃗ AD − ⃗ AB =⃗a +k . ⃗b + c⃗ − a⃗ 2 2 2 2. (. ). (. ). k k ⃗ AA '=( 1− k ) ⃗a + . b⃗ + . ⃗c 2 2 AA ' =m. ⃗ AG Vì ba điểm A, A’, G thẳng hàng nên có một số m sao cho ⃗.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ⇔ m 4 k m = 2 4 ⇔ 2 ¿k= 3 4 m= 3 ¿{. 1− k = 1 ( ⃗a + b⃗ +⃗c ) = ( 1− k ) ⃗a + k . b⃗ + k . ⃗c 4 2 2. 4 AA ' = . ⃗ AG suy ra ⃗ GA=−3 ⃗ GA ' hay GA = 3GA’ Vậy ⃗ 3. Bình luận: Đây là bài toán trong chương quan hệ song song (Bài tập 3, trang 60, SGK HH 11CB). Vì thế HS đã có cánh giải (không dùng vectơ). Với cách giải đã biết đó ta dễ dàng xác định được A’ chính là giao điểm của AG và BN. Tuy nhiên trong bài toán này, yêu cầu chứng tỏ GA = 3GA’ nằm sau câu b) (Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N). Câu b) như là một gợi ý để ta có thể chứng tỏ GA = 3GA’. Bằng PPVT ta sẽ xác định được chính xác vị trí các điểm A’, G mà không cần qua câu b. Đây cũng là một minh chứng cho thế mạnh của vectơ trong giải toán hình học. Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc các đoạn AB và CD sao cho. MA=2 MB ,. MN, BC sao cho. ND=2 NC ; Các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đoạn AD,. IA=k . ID , JM=k . JN , KB=k .KC . Chứng minh rằng các điểm I, J, K. thẳng hàng. Giải OA+2 OB OM= Vì ⃗ MA=−2 ⃗ MB nên với điểm O bất kỳ thì ⃗ ⃗. ⃗. 3. Tương. tự. ⃗ OD+2 ⃗ OC ⃗ ON= ; 3. ⃗ OA −k ⃗ OD ⃗ OI= ; 1− k. ⃗ ⃗ OB − k ⃗ OC OM − k ⃗ ON ⃗ OK= OJ= ; ⃗ 1−k 1 −k. (H5).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Từ. đó,. ta. có. 1 1 ⃗ ⃗ ⃗ OJ= . . ( OA +2 OB −k . ⃗ OD −2 k . ⃗ OC ) 1−k 3. =. 1 1 . [ ( 1− k ) ⃗ OI+2 (1 − k ) ⃗ OK ] 1−k 3. =. 1 ⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗ ( OI+2 OK )= OI+ OK 3 3 3. Mặt khác. 1 2 + =1 3 3. Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng Trên đây là một số kinh nghiệm của bản than, mong quý đồng nghiệp đóng góp thêm! Thực hiện Nguyễn Phúc Đan Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Tam, Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm, 2007.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>

<span class='text_page_counter'>(9)</span>

<span class='text_page_counter'>(10)</span>