ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 54
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1.

Diện tích tồn phần của hình trụ có bán kính đáy R  2 , chiều cao h  3 bằng
A. Stp  16 .
B. Stp  20 .
C. Stp  24 .
D. Stp  12 .

Câu 2.

Phương trình 42 x 4  16 có nghiệm là
A. x  4 .
B. x  2 .

Câu 3.

Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

C. x  3 .

D. x  1 .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2)
Câu 4.

B. ( �;1)

C. (1; �)

D. (�;5)

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn  0; 2 và f (0)  1; f (2)  2 . Tích phân

2

f�
( x)dx bằng
�
0

A. 1
Câu 5.

5
2

5
3

B. 


3
4

C.

10
2

2x 1
trên đoạn  1;3 .
x5
1
C. 
5

B.  1;1 .

C.  �;1 .

17
2

D.

D.

5
8

D.  �; 1


Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm M  2;0; 1 và có vectơ chỉ phương
r
a   4; 6; 2  . Phương trình tham số của  là
�x  2  4t
�
A. �y  6t
.
�
z

1

2
t
�

Câu 9.

13
2

Tập nghiệm S của bất phương trình log 2  1  x  �1 là
A.  1; � .

Câu 8.

B.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 

A.

Câu 7.

D. 3

Tính mơđun của số phức z thỏa mãn z (1  i )  2i  1 .
A.

Câu 6.

C. 3

B. 1

�x  2  2t
�
B. �y  3t
.
�
z

1

t
�

�x  4  2t
�
C. �y  6  3t .

�
�z  2  t

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 5 x là
1
A. 5cos 5x  C
B. 5cos 5x  C
C.  cos 5 x  C
5

�x  2  2t
�
D. �y  3t
�
�z  1  t

D.

1
cos 5 x  C
5

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  3;3 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.


Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
A. Đạt cực tiểu tại x  1.
C. Đạt cực tiểu tại x  2.

B. Đạt cực đại tại x  1.

D. Đạt cực tiểu tại x  0.

Câu 11. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
3
3
3
A. A7 .
B. C7 .
C. 63.
D. A6 .
1

Câu 12. Rút gọn biểu thức P  x 2 . 4 x với x> 0
3

A. P  x 8 .

1

3

B. P  x 4 .

C. P  x 4 .

1

D. P  x 8 .

Câu 13. Cho cấp số nhân (un ) với u1  2, q  4 . Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng

1023
341
A.
B. 1364
C.
D. 682
2
2
Câu 14. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  f ( x) , y  0, x  0 và x  4 (như hình vẽ).
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
4

f ( x)dx
A. S  �
0

4

f ( x)dx
C. S   �
0

1

4

f ( x)dx  �
f ( x )dx
B. S  �

0

1

1

4

0

1

f ( x )dx  �
f ( x )dx
D. S   �

Câu 15. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  (1  2i) z  1  i  0 . Giá trị của z1  z2
bằng
A. 2  2
B. 1  2
C. 2  5
D. 1  5
Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, B như hình vẽ dưới đây. Trung điểm của đoạn thẳng AB
biểu diễn số phức?

1
A.   2i
2

1

B. 2  i
2

C. 1  2i

D. 1  2i

Câu 17. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?


A. y  x 4  3x 2

1 4
2
B. y   x  3x
4

C. y   x 4  2 x 2

D. y   x 4  4 x 2

B C D , biết AC �
Câu 18. Tính thể tích của khối lập phương ABCD. A����
 2a 3 .
3
3
3
A. 2a 2
B. 3a 3
C. a

D. 8a 3
1

ex1dx bằng
Câu 19. Tích phân I  �
0

A. e  1.
2

B. e2  e.

C. e2  e.

D. e e2.

B C có AB  a, góc giữa đường thẳng A�
C và mặt phẳng
Câu 20. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
 ABC  bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A���
B C bằng
A.

3a 3
.
4

B.

3a 3

.
2

C.

3a 3
.
12

D.

3a 3
.
6

Câu 21. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3

B. 2

C. 4
D. 1
r
r
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u  (3; 4;5) và v  (2m  n;1  n; m  1) , với m, n là các
r r
tham số thực. Biết rằng u  v tính m  n .
A. 1

B. 1
C. 9
D. 9
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Cạnh SA  a và vng góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng
A. 90�
B. 45�
C. 30�
D. 60�
1x  2  2t
�
�
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : �y  1  3t (t ��) . Xét đường thẳng
�z  1
�
x 1 y  3 z  2
:


, với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường
1
m
2
thẳng Δ vng góc với đường thẳng d.


A. m  1

B. m  2


C. m 

2
3

D. m 

1
3


D. y�

ln 3
2 x ln 2

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số y  log 3 x .
4


A. y�

1
x(ln 3  2 ln 2)


B. y�

1
ln 3


C. y�
x (ln 3  2 ln 2)
2 x ln 2

2
2
2
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2  x  2 y  3 z   0 . Gọi A, B, C lần lượt
là giao điểm (khác gốc tọa độ O) của mặt cầu (S) và các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt
phẳng  ABC  là
A. 6 x  3 y  2 z  12  0 . B. 6 x  3 y  2 z  12  0 .C. 6 x  3 y  2 z  12  0 .D. 6 x  3 y  2 z  12  0 .

Câu 27. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu (S) có tâm I  0;1; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P  : 2 x  y  2 z  3  0 là
2
2
A. x 2   y  1   z  1  4 .
2
2
C. x 2   y  1   z  1  4 .

B. x 2   y  1   z  1  4 .
2

2

D. x 2   y  1   z  1  2 .
2


2

Câu 28. Cho hàm số f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d ( a, b, c, d ��) . Đồ thị của hàm số y  f ( x) như hình vẽ
bên. Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x)  3  0 là

A. 3

B. 5

C. 4

Câu 29. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �
 x    x2  x   x  2

f  x  là
A. 2

B. 4

C. 3

D. 6
2

2

x

 4  , x �R. Số điểm cực trị của


D. 1

Câu 30. Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = 1  x và trục Ox quay quanh Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính
lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
15
14
15 3
A. 8  dm3.
B.  dm3.
C.  dm3.
D.
dm .
2
3
2
�1 �
2 ax
Câu 31. Gọi F(x) là nguyên hàm trên � của hàm số f  x   x e  a �0  , sao cho F � � F  0   1.
�a �
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. 1  a  2.
B. a  2.
C. a �3.
D. 0  a �1.

Câu 32. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng
AB  BC  10a, AC  12a , góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 45�
. Tính thể tích

V của khối nón đã cho.


A. V  3 a 3 .

B. V  9 a 3 .

C. V  27 a 3 .

D. V  12 a 3 .

a 2
. Cạnh bên SA vuông góc với
2
mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 60�. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AD và SC bằng
a
a 3
a 2
a 3
A.
B.
C.
D.
2
4
2
2

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, AC 


2x  1
có đồ thị  C  . Điểm M  a, b  a  0 thuộc  C  sao cho khoảng cách từ
x1
M tới tiệm cận đứng của  C  bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang của  C  . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
11
19
A. a  b  .
B. a  b  .
C. a  b  1.
D. a  b  5.
2
3

Câu 34. Cho hàm số y 

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P  : 2x  5y  z  0

và đường thẳng

x  1 y 1 z 3
. Viết phương trình đường thẳng  vng góc mặt phẳng  P  tại giao


1
1
1

điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P  .
d:

x  2 y z 2
x  2 y z 2
 
. B.  :


.
2
1 1
2
5 1
x  3 y  1 z 1
x  3 y  1 z 1
C.  :
D.  :


.


.
3
1
1
2
5
1

A.  :

Câu 36. Cho bình nước hình trụ có bán kính đáy r1 và chiều cao h1 (có bỏ qua chiều dày đáy và thành
bình), hai quả nặng A và B dạng hình cầu đặc có bán kính lần lượt là r và 2r . Biết rằng
h1  2r1 , r1  2r và bình đang chứa một lượng nước. Khi ta bỏ quả cầu A và bình thì thấy thể tích
nước tràn ra là 2 lít. Khi ta nhấc quả cầu A ra và thả quả cầu B vào bình thì thể tích nước tràn ra là
7 lít. Giá trị bán kính r bằng


A.

3

3
 dm 
4

B.

3

3
 dm 
8

C.

3

3

 dm 
2

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  1  i.z và z 
A. 3

B. 4

C. 1

D.

3

2  dm 

9
là số thuần ảo?
z
D. 2

Câu 38. Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số y  a x , y  b x có đồ thị như hình vẽ.
Đường thẳng y  3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y  a x , y  b x lần lượt các điểm H, M, N. Biết
rằng HM  2MN . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2a  b.

B. a 3  b 2 .

C. a 2  b 3 .


D. 3a  2b.

Câu 39. Cho hàm số bậc ba y  f ( x) và có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x)  f (2 sin x )  1 . Tổng M  m bằng

A. 8

B. 5

C. 3

D. 2

Câu 40. Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập
được số lẻ và chia hết cho 9.
625
1
1
A.
B.
C.
1701
9
18

A. Tính xác suất để lấy
D.

1250

1701

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
�x  1  2t
�x  2  t �
�
�
d : �y  t
; d ' : �y  1  2t �và mặt phẳng ( P) : x  y  z  2  0. Đường thẳng vng góc với
�z  1  3t
�z  2t �
�
�
mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d , d �có phương trình là

x 3

1
x2

C.
1
A.

y 1 z  2

1
1
y 1 z 1


1
1

x 1

1
x 1

D.
2
B.

y 1 z 1

1
4
y 1 z  4

2
2

Câu 42. Cho hàm số y  x 3  ax 2  bx  c có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hồnh
độ bằng -1 cắt (C) tại B có hồnh độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và
(C) (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng


A.

13
.

2

B.

25
.
4

C.

27
.
4

D.

11
.
2

2
�x  2mx  3  x �1
y

f
x



Câu 43. Cho hàm số

, trong đó m, n là hai tham số thực. Hỏi có tất cả
�
nx  10
 x  1
�
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f  x  có đúng hai điểm cực trị?

B. 3

A. 4

C. 2

D. Vô số

(1) �0 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của
Câu 44. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm tại x  1 và f �
đồ thị hàm số y  f ( x ) và y  g ( x)  x. f (2 x  1) tại điểm có hồnh độ x  1 . Biết rằng hai
đường thẳng d1 , d 2 vng góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

2  f (1)  2

B. f (1) � 2

C. f (1) �2 2

D. 2 � f (1)  2 2


Câu 45. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
log  60 x 2  120 x  10m  10   1  3log  x  1 có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến
x . Số phần tử của S là
A. 11
B. 10
C. 9
D. 12
1
Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên � và f  0   0; f "  x    , x ��. Biết
6
2
hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g  x   f  x   mx , với m là tham số dương,
có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 5.

D. 3.

Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC . Mặt
phẳng  P  qua AK và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N . Đặt V1  VS . AMKN , V  VS . ABCD .
V
V
Tìm S  max 1  min 1 .
V
V
1

1
17
3
A. S  .
B. S  .
C. S 
.
D. S  .
2
4
24
4
Câu 48. Xét các số phức z, w thỏa mãn w  i  2, z  2  iw . Gọi z1 , z2 lần lượt là các số phức mà tại đó

z đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất. Mođun z1  z2 bằng


A. 3 2

B. 3

Câu 49. Cho các số thực a, b  1 thỏa mãn
A. P  20.

a logb a  16
B. P  72.

C. 6

D. 6 2


�b8 �
log a �
�a 3 �
�
� �

Giá trị của a 3  b3 bằng
 12b 2 .
C. P  125.
D. P  39.

 P  : x  y  z  3  0 và các điểm
A  3; 2; 4  , B  5;3;7  . Mặt cầu  S  thay đổi đi qua A, B và cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến là
đường tròn  C  có bán kính r  2 2 . Biết tâm của đường trịn  C  ln nằm trên một đường
tròn cố định  C1  . Bán kính của  C1  là

Câu 50. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

A. r1  14 .

B. r1  12 .
C. r1  2 14 .
----------------------- HẾT -----------------------

D. r1  6 .


A. MA TRẬN ĐỀ
LỚP


CHƯƠNG

CHỦ ĐỀ

CHƯƠNG 1. ỨNG
DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KS VÀ VẼ
ĐTHS
CHƯƠNG 2. HÀM
SỐ LŨY THỪA.
HÀM SỐ MŨ. HÀM
SỐ LOGARIT
CHƯƠNG 3.
NGUYÊN HÀM –
TÍCH PHÂN VÀ UD

12

CHƯƠNG 4. SỐ
PHỨC
CHƯƠNG 1. KHỐI
ĐA DIỆN
CHƯƠNG 2. KHỐI
TRÒN XOAY

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cực trị của hàm số
GTLN, GTNN của hàm số
Tiệm cận

Nhận diện và vẽ đồ thị hàm số
Tương giao
Tiếp tuyến
Lũy thừa. Hàm số lũy thừa
Logarit. Hàm số mũ. Hàm số logarit
PT mũ. PT loga
BPT mũ. BPT loga
Nguyên hàm
Tích phân
Ứng dụng tích phân
Số phức
Phép tốn trên tập số phức
Phương trình phức
Khối đa diện
Thể tích khối đa diện
Khối nón
Khối trụ
Khối cầu
Tọa độ trong khơng gian
Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng

CHƯƠNG 3.
PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
GÓC – KHOẢNG CÁCH

TỔNG

11

MỨC ĐỘ
TỔNG
NB TH VD VDC
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
1
1
7
1
1
1
1
1
1

2
7
1
1
1
2
1
1
5
1
1

1
1

1

1

3
3

1
1
1
1
1
22

1

1
1
1
1
10

1
1
1
1
10

8
5

8

50

Đề thi gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm nội dung của đề xoay quanh chương trình Tốn 12 (chiếm 90%), ngồi
ra có một số các bài tốn thuộc nội dung Toán lớp 11 (Chiếm 10%). Đề thi được biên soạn dựa theo cấu
trúc đề minh họa mơn Tốn 2021 mà Bộ Giáo dục và Đào tại đã công bố vào cuối tháng 3 (Mức độ khó +
20%). Trong đó Mức độ VD - VDC (Chiếm 36%) – Đề thi ở mức độ giỏi với VDC chiếm 8/50 câu . Đề thi
bao gồm thêm những câu hỏi có thể ra trong đề thi chính thức. Đề thi sẽ giúp HS biết được mức độ của
mình để có kế hoạch ôn tập một cách hiệu quả nhất.
B. BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
11.D
21.B
31.D

41.A

2.C
12
22.D
32.B
42.C

3.B
13.D
23.B
33.A
43.B

4.D
14.B
24.C
34.D
44.C

5.C
15.B
25.A
35.D
45.A

6.D
16.A
26.C
36.A

46.D

7.B
17.D
27.A
37.A
47.C

8.D
18.D
28.D
38.C
48.C

9.C
19.D
29.C
39.B
49.B

C. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Diện tích tồn phần của hình trụ có bán kính đáy R  2 , chiều cao h  3 bằng
A. Stp  16 .
B. Stp  20 .
C. Stp  24 .
D. Stp  12 .
Đáp án B


10.A
20.A
30.B
40.C
50.D


2
Diện tích cần tính là Stp  2 Rh  2 R  20

Câu 2.

Phương trình 42 x 4  16 có nghiệm là
A. x  4 .
B. x  2 .
Đáp án C

C. x  3 .

D. x  1 .

Ta có 42 x  4  16  42 � 2 x  4  2 � x  3 .
Câu 3.

Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B. ( �;1)

A. (1; 2)

Đáp án B

C. (1; �)

D. (�;5)

Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( �;1) .
Câu 4.

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn  0; 2 và f (0)  1; f (2)  2 . Tích phân

2

f�
( x)dx bằng
�
0

A. 1
Đáp án D
2

Ta có

C. 3

B. 1

f�
( x)dx  f ( x )

�

2
0

D. 3

 f (2)  f (0)  3 .

0

Câu 5.

Tính mơđun của số phức z thỏa mãn z (1  i )  2i  1 .

5
2
Đáp án C
A.

B.

13
2

C.

2

Ta có z 

Câu 6.

10
2

17
2

D.

2

1  2i 3 1
10
�3 � � 1 �
.
  i � z  � � �
 �
1 i 2 2
�2 � � 2 � 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 

5
3
Đáp án D

B. 

A.


3
4

2x 1
trên đoạn  1;3 .
x5
1
C. 
5

D.

5
8

Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên  1;3 .

Ta có y �
Câu 7.

11
5
 0, x �(1;3) � max  1;3 y  y (3)  .
2
( x  5)
8

Tập nghiệm S của bất phương trình log 2  1  x  �1 là
A.  1; � .

Đáp án B

B.  1;1 .

C.  �;1 .

D.  �; 1


Ta có log 2  1  x  �1 �
Câu 8.



1 x  0
� 1 �x  1 . Vậy S   1;1 .
1  x �2

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm M  2;0; 1 và có vectơ chỉ phương
r
a   4; 6; 2  . Phương trình tham số của  là
�x  2  4t
�
A. �y  6t
.
�
z

1


2
t
�
Đáp án D

�x  2  2t
�
B. �y  3t
.
�
z

1

t
�

�x  4  2t
�
C. �y  6  3t .
�
�z  2  t

�x  2  2t
�
D. �y  3t
�
�z  1  t

r

1r
Vì  có vectơ chỉ phương a   4; 6; 2  nên  cũng nhận vec tơ a   2; 3;1 làm vectơ chỉ
2
�x  2  2t
�
phương. Do đó phương trình tham số của  là �y  3t .
�
�z  1  t
Câu 9.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 5 x là
1
A. 5cos 5x  C
B. 5cos 5x  C
C.  cos 5 x  C
5
Đáp án C

sin 5 xdx  
Ta có �

D.

1
cos 5 x  C
5

cos 5 x
C .
5


Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  3;3 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.

Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
A. Đạt cực tiểu tại x  1.
C. Đạt cực tiểu tại x  2.
Đáp án A

B. Đạt cực đại tại x  1.
D. Đạt cực tiểu tại x  0.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại
Câu 11. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
3
3
3
A. A7 .
B. C7 .
C. 63.
D. A6 .
Đáp án D
Mỗi cách chọn và sắp thứ tự ba chữ số khác nhau ta thu được một số tự nhiên thoả mãn yêu cầu
3
đề bài. Do tập hợp ban đầu cho có 6 chữ số nên số tự nhiên lập được theo yêu cầu đề bài là A6 .
1

Câu 12. Rút gọn biểu thức P  x 2 . 4 x với x> 0
3

A. P  x 8 .


1

B. P  x 4 .

3

C. P  x 4 .

1

D. P  x 8 .

Câu 13. Cho cấp số nhân (un ) với u1  2, q  4 . Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng
1023
341
A.
B. 1364
C.
D. 682
2
2
Đáp án D


Ta có S5 

u1 (1  q 5 )
 682 .
1 q


Câu 14. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  0, x  0 và x  4 (như hình
vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
4

1

f ( x)dx
A. S  �

4

f ( x)dx  �
f ( x )dx
B. S  �

0

0

4

f ( x)dx
C. S   �

1

1


4

0

1

f ( x)dx  �
f ( x)dx
D. S   �

0

Đáp án B
1

4

1

4

0

1

0

1

f ( x) dx  �

f ( x) dx  �
f ( x )dx  �
f ( x)dx .
Ta có S  �

Câu 15. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  (1  2i ) z  1  i  0 . Giá trị của z1  z2
bằng
A. 2  2
B. 1  2
C. 2  5
D. 1  5
Đáp án B
� 1  2i  1
1z 
i
�
2
2
Ta có   (1  2i )  4(1  i )  1 � �
1  2i  1
�
z
 1  i
�
2

� z1  z2  i  1  i  1  2 .
Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, B như hình vẽ dưới đây. Trung điểm của đoạn thẳng AB
biểu diễn số phức?


1
A.   2i
2
Đáp án A

1
B. 2  i
2

C. 1  2i

D. 1  2i

Ta có A(2;1), B(1;3) .

�2  1 1  3 � � 1 �
;
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I �
�� I � ; 2 �.
2 � �2 �
� 2
1
Điểm I biểu diễn số phức   2i .
2
Câu 17. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?


A. y  x 4  3x 2

1 4

2
B. y   x  3x
4

C. y   x 4  2 x 2

D. y   x 4  4 x 2

Đáp án D
Ta có y (2)  0 � Loại A, B, C

B C D , biết AC �
Câu 18. Tính thể tích của khối lập phương ABCD. A����
 2a 3 .
3
3
3
A. 2a 2
B. 3a 3
C. a
D. 8a 3
Đáp án D
2
2
2
Ta có AC �
 AC 2  CC �
 AB 2  BC 2  CC �
 3 AB 2


� AB 3  AC �
 2a 3 � AB  2a
3
3
� VABCD. A����
B C D  AB  8a .
1

ex1dx bằng
Câu 19. Tích phân I  �
0

A. e  1.
Đáp án D
2

B. e2  e.

C. e2  e.

D. e e2.

B C có AB  a, góc giữa đường thẳng A�
C và mặt phẳng
Câu 20. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
 ABC  bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A���
B C bằng
3a 3
.
4

Đáp án A
A.

B.

3a 3
.
2

C.

3a 3
.
12

HD: Ta có AA�
  ABC  � �
A�
C ;  ABC   �
A�
C ; AC   �
A�
CA  450

AC vuông cân tại A � AA�
 AC  a
Suy ra tam giác A�

D.


3a 3
.
6


Tam giác ABC có diện tích là SΔABC 

a2 3
4

Vậy thể tích cần tính là V  AA�
.SΔABC

a 2 3 a3 3
 a.

.
4
4

Câu 21. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3
Đáp án B

B. 2

C. 4


D. 1

y  2 � TCN: y  2 và lim f ( x)  �� tiệm cận đứng x  1 .
Ta có xlim
��
x �1

r
r
Câu 22. Trong khơng gian Oxyz, cho hai vectơ u  (3; 4;5) và v  (2m  n;1  n; m  1) , với m, n là các
r r
tham số thực. Biết rằng u  v tính m  n .
A. 1
B. 1
C. 9
D. 9
Đáp án D
�2m  n  3
r r
�m  4
�
1  n  4 � �
� m  n  9 .31
Ta có u  v � �
�n  5
�m  1  5
�
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Cạnh SA  a và vng góc với mặt
phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng
A. 90�

B. 45�
C. 30�
D. 60�
Đáp án B

CB  AB
�
� CB  ( SAB ) � CB  SB
Ta có �
CB  SA
�
( SBC ) �( ABCD )  BC
�
�
�
� .
� ( SBC
); ( ABCD)  SBA
Từ �BC  SB; BC  AB
�SB �( SBC ); AB �( ABCD )
�



� 
tan SBA

SA a
�  45�.
  1 � SBA

AB a




1x  2  2t
�
�
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : �y  1  3t (t ��) . Xét đường thẳng
�z  1
�
x 1 y  3 z  2
:


, với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường
1
m
2
thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d.
2
1
A. m  1
B. m  2
C. m 
D. m 
3
3
Đáp án C
ur

Đường thẳng d có một VTCP là u1  (2; 3; 0) .
uu
r
Đường thẳng Δ có một VTCP là u2  (1; m; 2) .

ur uu
r
2
YCBT � u1.u2  0 � 2  3m  0  0 � m  , thỏa mãn m �0 .
3
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số y  log 3 x .
4

1
x(ln 3  2 ln 2)
Đáp án A

A. y�

Ta có

y  log 3 x � y�

4


B. y�

1
3

x ln
4



1
ln 3

C. y�
x (ln 3  2 ln 2)
2 x ln 2


D. y�

ln 3
2 x ln 2

1
1

x(ln 3  ln 4) x(ln 3  2 ln 2) .

2
2
2
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2  x  2 y  3 z   0 . Gọi A, B, C lần lượt
là giao điểm (khác gốc tọa độ O) của mặt cầu (S) và các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt
phẳng  ABC  là
A. 6 x  3 y  2 z  12  0 . B. 6 x  3 y  2 z  12  0 .C. 6 x  3 y  2 z  12  0 .D. 6 x  3 y  2 z  12  0 .

Đáp án C

Dễ thấy A  2;0;0  , B  0; 4;0  , C  0;0;6 

x y z
Do đó  ABC  :    1 � 6 x  3 y  2 z  12  0 .
2 4 6
Câu 27. Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu (S) có tâm I  0;1; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P  : 2 x  y  2 z  3  0 là
2
2
A. x 2   y  1   z  1  4 .
2
2
C. x 2   y  1   z  1  4 .

B. x 2   y  1   z  1  4 .
2

2

D. x 2   y  1   z  1  2 .
2

2

Đáp án A
Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  3  0
Do đó mặt cầu (S) có bán kính R  d  I ,  P   


2.0  1  2.  1  3
22   1  22
2

Mặt cầu (S) có tâm I  0;1; 1 �  S  : x 2   y  1   z  1  4 .
2

2

2


Câu 28. Cho hàm số f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d (a, b, c, d ��) . Đồ thị của hàm số y  f ( x) như hình vẽ
bên. Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x)  3  0 là

A. 3
Đáp án D

B. 5

C. 4

D. 6

3
Ta có 2 f ( x)  3  0 � f ( x)  � .
2
Phương trình f ( x ) 


3
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
2

Phương trình f ( x)  

3
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
2

Các nghiệm trên khơng trùng nhau.
Vậy 2 f ( x)  3  0 có đúng 6 nghiệm phân biệt.

 x    x2  x   x  2
Câu 29. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �
f  x  là
A. 2
Đáp án C

B. 4

C. 3

2

2

x




 4 , x �R. Số điểm cực trị của

D. 1

�
x2  x  0
x0
�
�
2
2
�
2
x
 x  2   0 � �x  1
Ta có f '  x   0 �  x  x   x  2  .  2  4   0 � �
�x
�
x2
2 4  0
�
�
�

Nhận thấy x  2 là nghiệm bội ba nên f '  x  vẫn đổi dấu khi qua x  2 . Vậy hàm số đã cho có 3
điểm cực trị
Câu 30. Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = 1  x và trục Ox quay quanh Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính
lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:

15
14
15 3
A. 8  dm3.
B.  dm3.
C.  dm3.
D.
dm .
2
3
2
Chọn B


2
�x0
2
4
y  x 1  � x  3
2
Thể tích cần tìm là:
y  x 1 

3





3


2
1
2
V   � x  1 dx   �
 x  1 dx    x  1
2
0
0

3

0

1
15
   42  12     dm3 
2
2

�1 �
2 ax
Câu 31. Gọi F(x) là nguyên hàm trên � của hàm số f  x   x e  a �0  , sao cho F � � F  0   1.
�a �
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. 1  a  2.
B. a  2.
C. a �3.
D. 0  a �1.
Đáp án D

f  x  dx  �
x 2e ax dx.
Ta có F  x   �
du  2 xdx
�
�
u  x2
�
�
� � 1 ax .
Đặt �
v e
dv  e ax dx �
�
� a

F  x 

1 2 ax 2
1
2
xe ax dx .
xe  �
xe ax dx  x 2 e ax  F1  x  với F1  x   �
a
a
a
a

du1  dx

�
u1  x
�
1
1 ax
1
1
�
� � 1 ax . Ta có F1  x   xeax  �
e dx  xeax  2 eax  C1.
Đặt �
ax
v1  e
dv1  e dx �
a
a
a
a
�
� a

Vậy F  x  

1 2 ax 2 �1 ax 1 ax
2
2
� 1
x e  � xe  2 e  C1 � x 2 e ax  2 xeax  3 e ax C.
a
a �a

a
a
a
� a

1
2
2
2
�1 �
Khi đó F � � F  0   1 � 3 e  3 e  3 e  C  3  C  1
a
a
a
a
�a �
�

1
2
e  3  1 � e  2  a 3 � a3  e  2 � a  3 e  2 �0,896
3
a
a

Câu 32. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng
AB  BC  10a, AC  12a , góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 45�
. Tính thể tích
V của khối nón đã cho.



A. V  3 a 3 .
Đáp án B
Kẻ ID  AB nên

B. V  9 a 3 .

C. V  27 a 3 .

D. V  12 a 3 .

�  45�
SAB  ;  ABC    SDI
 �

Do đó ID  SI  r  h (tam giác SDI vng cân)
Lại có S ABC  p.r � r 

SABC
p

p  p  a   p  b   p  c   48a 2

Mà p  16a, S ABC 

1 2
1
3
3
Suy ra r  3a . Vậy V   r h    3a   9 a .

3
3
a 2
. Cạnh bên SA vng góc với
2
mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 60�. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AD và SC bằng
a
a 3
a 2
a 3
A.
B.
C.
D.
2
4
2
2
Đáp án A

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, AC 

Ta có AD // BC � AD // ( SBC ) � d ( AD; SC )  d  A;( SBC )  .
Kẻ AP  SB � d  A;( SBC )   AP � d ( AD; SC )  AP
Ta có

AC a
1
1

1
AB 
 .
 2
2
2 . Cạnh
2 2
AP
SA
AB





�  60�
Lại có SB;(�ABCD )  SBA


ް
�
ްtan
�
60

SA
AB

SA


a 3
2

AP

a 3
.
4

2x  1
có đồ thị  C  . Điểm M  a, b  a  0 thuộc  C  sao cho khoảng cách từ
x1
M tới tiệm cận đứng của  C  bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang của  C  . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
11
19
A. a  b  .
B. a  b  .
C. a  b  1.
D. a  b  5.
2
3
Đáp án D

Câu 34. Cho hàm số y 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d1 : x  1 và tiệm cận ngang d2 : y  2.

� 2t  1�
�

1 �
t;
t;2 
Ta có M � C  � M �
�� M �
� t  0,t �1 .
t  1�
� t1 �
�
Bài ra có d M; d1   d M; d2  � t  1  2 

1
1
 2 � t 1 
t 1
t 1

2
�
t 0
�  t  1  1 � � � t  2 thỏa mãn � M  2;3 � a  b  5.
t 2
�

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P  : 2x  5y  z  0

và đường thẳng


x  1 y 1 z 3
. Viết phương trình đường thẳng  vng góc mặt phẳng  P  tại giao


1
1
1
điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P  .
d:

x  2 y z 2
 
.
2
1 1
x  3 y  1 z 1
C.  :


.
3
1
1
Đáp án D
A.  :

x 2

2
x 3

D.  :

2
B.  :

y z 2

.
5 1
y  1 z 1

.
5
1

�x  1 t
�
Gọi M  d � P  , ta có d : �y  1 t t �� � M  t  1;t  1;3 t .
�z  3 t
�
Điểm M � P  � 2 t  1  5 t  1   3 t  0 � 2t  4  0 � t  2 � M  3;1;1 .
r
Mặt phẳng  P  có một VTPT là n   2; 5; 1 là một VTCP.
Kết hợp với  qua M  3;1;1 �  :

x  3 y  1 z 1


.
2

5
1

Câu 36. Cho bình nước hình trụ có bán kính đáy r1 và chiều cao h1 (có bỏ qua chiều dày đáy và thành
bình), hai quả nặng A và B dạng hình cầu đặc có bán kính lần lượt là r và 2r . Biết rằng
h1  2r1 , r1  2r và bình đang chứa một lượng nước. Khi ta bỏ quả cầu A và bình thì thấy thể tích
nước tràn ra là 2 lít. Khi ta nhấc quả cầu A ra và thả quả cầu B vào bình thì thể tích nước tràn ra là
7 lít. Giá trị bán kính r bằng


3
 dm 
4
Chọn A
A.

3

B.

3

3
 dm 
8

C.

3


3
 dm 
2

D.

3

Gọi thể tích bình là V và thể tích trong bình là V1 , thể tích quả cầu A là V0 
cầu B là

4
4
3
 2r   8. .r 3  8V0
3
3

2  dm 
4 3
r , thể tích quả
3

Khi ta thả quả cầu A vào bình nước và nước bị tràn ra 2 lít, suy ra: V1  V0  V  2  1
Khi ta thả quả cầu B vào thì:  V  2   8V0  V  7  2 
Từ  1 và  2  suy ra: V0  1lít 

4 3
3
r  1 dm3  � r  3

 dm 
3
4

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  1  i.z và z 
A. 3
Đáp án A

B. 4

C. 1

9
là số thuần ảo?
z
D. 2

Đặt z  x  yi ( x, y ��)
Ta có z  3i  1  i.z � x  yi  3i  1  i.( x  yi) � x  ( y  3)i  1  y  xi
� ( x  3) 2  y 2  (1  y ) 2  ( x) 2 � x 2  y 2  6 y  9  x 2  y 2  2 y  1 � y  2
Lại có z 
Vì z 

9
9
9( x  2i)
9 x  18i
 x  2i 
 x  2i 
 x  2i  2

z
x  2i
( x  2i )( x  2i )
x 4

x0
�
9x
9
�x  2
 0 � x3  5 x  0 � �
là số thuần ảo ��
.
x 4
z
x�5
�

Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 38. Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số y  a x , y  b x có đồ thị như hình vẽ.
Đường thẳng y  3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y  a x , y  b x lần lượt các điểm H, M, N. Biết
rằng HM  2MN . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. 2a  b.
Đáp án C

B. a 3  b 2 .

C. a 2  b 3 .


D. 3a  2b.

uuuur
uuuu
r
HD: Ta có H  0;3 , M  xM ;3 , N  xN ;3 ; HM  2MN � xM  2  xN  xM  � 3xM  2 xN .
�
a xM  3 �xM  log a 3
3
2
�
��
� 3log a 3  2 log b 3 �

Mà �xN
log 3 a log3 b
b  3 �xN  logb 3
�

� 2 log 3 a  3log 3 b � log 3 a 2  log 3 b3 � a 2  b3.
Câu 39. Cho hàm số bậc ba y  f ( x) và có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x)  f (2 sin x )  1 . Tổng M  m bằng

A. 8
B. 5
C. 3
D. 2
Đáp án B
Ta có 2 �2sin x �2 nên từ đồ thị ta có: 4 �f (2sin x) �4 � 5 �f (2sin x)  1 �3

Do đó 0 � f (2sin x)  1 �5 � M  5; m  0 � M  m  5 .
Câu 40. Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A .Tính xác suất để lấy được
số lẻ và chia hết cho 9.
625
1
1
1250
A.
B.
C.
D.
1701
9
18
1701
Đáp án C
Có tất cả 9.10.10.10.10.10.10  9.106 số tự nhiên có 7 chữ số.
Ta có abcdefg M9 � (a  b  c  d  e  f  g )M9 . Các số lẻ chia hết cho 9 là 1000017, 1000035,
1000053,…, 9999999.
Đây là một cấp số cộng có u1  1000017 và công sai d  18 .
Số phần tử của dãy này là
Vậy xác suất cần tìm là

9999999  1000017
 1  500000 .
18

500000 1
 .
9.106

18

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng


�x  1  2t
�x  2  t �
�
�
d : �y  t
; d ' : �y  1  2t �và mặt phẳng ( P ) : x  y  z  2  0. Đường thẳng vng góc với
�z  1  3t
�z  2t �
�
�
mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d , d �có phương trình là

x 3

1
x2

C.
1
Đáp án A
A.

y 1 z  2
x 1



B.
1
1
1
y 1 z 1
x 1


D.
1
1
2

y 1 z 1

1
4
y 1 z  4

2
2

r
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n   1;1;1
Gọi  là đường thẳng cần tìm và A   �d , B   �d '
Vì A �d , B �d ' nên gọi A  1  2t ; t ;  1  3t  và B  2  t ';  1  2t ';  2t ' 
uuur
� AB   t ' 2t  3; 2t ' t  1; 2t ' 3t  1


uuur r
t ' 2t  3 2t ' t  1 2t ' 3t  1


Do    P  nên AB, n cùng phương �
1
1
1
3t  t '  4
t  1 �
�
�
�A  1; 1; 4 
��
��
��
2t  4t '  2
t ' 1
�
�
�B  3;1; 2 

r
Đường thẳng Δ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương n   1;1;1 nên có phương trình
x  3 y 1 z  2


1
1
1

Câu 42. Cho hàm số y  x 3  ax 2  bx  c có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hồnh
độ bằng -1 cắt (C) tại B có hồnh độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và
(C) (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng

13
.
2
Đáp án C
A.

B.

25
.
4

C.

27
.
4

D.

11
.
2


Ta có A( 1; a  b  c  1) và y '  3x 2  2ax  b � y '(1)  3  2a  b

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: y  (3  2a  b)( x  1)  a  b  c  1 ( d )
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d) là:
x 3  ax 2  bx  c  (3  2a  b)( x  1)  a  b  c  1 (1)
Phương trình (1) có nghiệm
x  1; x  2 � 4a  2b  c  8  3(3  2a  b)  a  b  c  19a  0 � a  0
3
Suy ra  C  : y  x  bx  c và d: y   3 b  x  1  b  c  1

2

2

27
�
(3  b)( x  1)  b  c  1  x  bx  c �
dx  �
(3 x  x 3  2)dx 
Diện tích hình phẳng là: S  �
�
�
4
1
1



3




�x 2  2mx  3  x �1
Câu 43. Cho hàm số y  f  x   �
, trong đó m, n là hai tham số thực. Hỏi có tất cả
nx  10
 x  1
�
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f  x  có đúng hai điểm cực trị?
A. 4
Chọn B

B. 3

C. 2

D. Vô số

Nhận thấy
TH1. Khi x  1 hàm số là nhị thức bậc nhất và khơng có cực trị
TH2. Khi x  1 hàm số có tối đa 1 điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu tại x  m )
TH3. Khi x  1 hàm số có thể có 1 điểm cực trị
TH4. Hình minh họa:

Suy ra hàm số phải liên tục tại điểm x  1 , đạt cực trị tại x  m  1 , hệ số góc n  0


�m  1
�m  1
�m  1
�
�n  0

�
�
�
n  10  4  2m � �
n  6  2m  0 �
Suy ra: �lim f  x   f  1 � �
�3  m  1
�x �1
�
�
n0
�
�n  0
�n  0
Suy ra các giá trị nguyên của m thỏa mãn là m   2; 1;0 . Có 3 giá trị nguyên thỏa mãn
(1) �0 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của
Câu 44. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm tại x  1 và f �
đồ thị hàm số y  f ( x ) và y  g ( x)  x. f (2 x  1) tại điểm có hồnh độ x  1 . Biết rằng hai
đường thẳng d1 , d 2 vng góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2  f (1)  2
Đáp án C

B. f (1) � 2

C. f (1) �2 2

D. 2 � f (1)  2 2

( x)  f (2 x  1)  2 x. f �

(2 x  1) � g �
(1)  f (1)  2 f �
(1) .
Ta có g �
(1) và d 2 có hệ số góc là g �
(1)  f (1)  2 f �
(1) .
d1 có hệ số góc là f �

2  f �
(1)   1
Mà d1  d 2 � f �
(1).g �
(1)  1 � f �
(1). f (1)  2 f �
(1)   1 � f (1) 
f�
(1)
2

2
2
(1)  .1
2 f �
(1)   1 2  f �
(1)   1 2 2  f �
� f (1) 

�
2 2.

f�
(1)
f�
(1)
f�
(1)
2

Câu 45. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
log  60 x 2  120 x  10m  10   1  3log  x  1 có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến
x . Số phần tử của S là
A. 11
B. 10
C. 9
D. 12
Chọn A

�x  1
Điều kiện � 2
(*)
6 x  12 x  m  1  0
�
2
2
BPT � 1  log  6 x  12 x  m  1  1  log  x  1 � log  6 x  12 x  m  1  log  x  1
3

 6x

2


 12 x  m  1   x  1 � Hệ điều kiện  * trở thành x  1
3

� 6 x 2  12 x  m  1  x3  3 x 2  3x  1 � m  2  x3  3 x 2  9 x  f  x 
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra điều kiện 11  m  2 �0 � 9  m �2 � 8 �m �2

3


Suy ra có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán

1
Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên � và f  0   0; f "  x    , x ��. Biết
6
2
hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g  x   f  x   mx , với m là tham số dương,
có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.
Đáp án D

B. 2.

C. 5.

D. 3.


Từ đồ thị hàm số y  f '  x  suy ra f '  x   0, x � 0; �
2
Do đó, f '  x   0, x � 0; �
2
2
Xét hàm số h  x   f  x   mx; h '  x   2 x. f '  x   m . 

Với x  0, h '( x)  0 � Phương trình h '  x   0 vơ nghiệm.
Với x �0 ta có h "  x   2 f '  x 2   4 x 2 f "  x 2   2 f '  x 2  

2 x2
3

Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy với x �0 , đồ thị hàm số y  f '  x  luôn nằm trên đường
x
thẳng y  .
3
2 x2
Do đó, 2 f '  x 2  � �0,�x 0
3
(0; �) .

h " x 

0, x 0 hay hàm số y  h '  x  đồng biến trên

h '  x   � nên phương trình h '  x   0 có một nghiệm duy nhất
Mà h '  0   m  0 và xlim
��


x0 � 0; � .

Bảng biến thiên:

Khi đó phương trình h  x   0 có 2 nghiệm phân biệt.
Đồng thời hàm số y  h  x  đạt cực tiểu tại x  x0 , giá trị cực tiểu h  x0   0 .