ĐỀ PHÁT TRIỂN
TỪ ĐỀ MINH HỌA 2021
CHUẨN CẤU TRÚC

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2021
Mơn thi thành phần: TỐN HỌC
Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ SỐ 53
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................
MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO 2021 LẦN 1
MỨC ĐỘ
CHƯƠNG
Đạo hàm và
ứng dụng

NỘI DUNG

Đơn điệu của hàm số
Cực trị của hàm số
Min, Max của hàm số
Đường tiệm cận
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số mũ – Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
lôgarit
Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
PT mũ – PT lôgarit
BPT mũ – BPT lôgarit
Số phức
Định nghĩa và tính chất

Phép tốn
PT bậc hai theo hệ số thực
Ngun hàm Nguyên hàm
– Tích phân Tích phân
Ứng dụng tích phân tính diện tích
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Khối đa diện Đa diện lồi – Đa diện đều
Thể tích khối đa diện
Khối trịn
Mặt nón
xoay
Mặt trụ
Mặt cầu
Phương pháp Phương pháp tọa độ
tọa độ trong Phương trình mặt cầu
khơng gian Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Tổ hợp – Xác Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
suất
Cấp số cộng (cấp số nhân)
Xác suất
Hình học
Góc
khơng gian Khoảng cách
(11)
TỔNG

ĐỀ THAM
KHẢO


NB

TH

3, 30
4, 5, 39, 46
31
6
7, 8
9, 11
10
12, 13, 47
32, 40
18, 20, 34, 42, 49
19

1
1

1
1
1

14, 15
16, 17, 33, 41
44, 48

1
1


21, 22, 43
23
24

1
1
1

25
26, 37, 50
27
28, 38, 45
1
2
29
35
36

1
1

1
1
1
1
1
2
1

1

1
1

VD

1

TỔNG
VDC

1

1
1
1
1
1
1
1

1

1
1
1

1
1
1


1

2
1

1

1

1
1

1
1
1
20

15

10

5

2
4
1
1
2
2
1

3
2
5
1
0
2
4
2
0
0
3
1
1
0
1
3
1
3
1
1
1
1
1
50


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD NĂM 2021-ĐỀ 53
Câu 1 (NB) Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là
3
3

3
A. A20 .
B. 3!C20 .
C. 103 .
D. C20 .
Câu 2 (NB) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −1 , u3 = 3 . Tính u2 .
A. u2 = 10 .

B. u2 = 1 .

C. u2 = −3 .

D. u2 = 5 .

Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ¡ có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −3; 2 ) .
B. ( −∞;0 ) và ( 1; +∞ ) . C. ( −∞; −3) .

D. ( 0;1) .

Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và x = 1 .
B. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1 .
C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .
Câu 5 (TH) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ là f ¢( x ) = ( x - 1) ( x - 3) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2


A. Hàm số khơng có cực trị.
C. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

B. Hàm số có một điểm cực đại.
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
2x − 3
Câu 6 (NB) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
tương ứng có phương trình
x +1
là
A. x = 2 và y = 1 .
B. x = − 1 và y = 2 . C. x = 1 và y = −3 . D. x = 1 và y = 2 .
Câu 7 (NB) Đường cong bên là điểm biểu diễn của đồ thị hàm số nào sau đây

A. y = − x 4 + 4 x 2 + 3 . B. y = x 4 − 2 x 2 + 3 .
C. y = − x 3 + 3x + 3 .
Câu 8 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau:

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 3 .


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x ) = m có 3 nghiệm phân biệt.
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 9 (NB) Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?
B. ( 10α ) = ( 100 ) .


α

2

A. 10α = 10 2 .

α

C. 10α =

(

10

)

α

D. ( 10α ) = 10α .
2

.

2

Câu 10 (NB) Tính đạo hàm của hàm số y = log 3 ( 3x + 2 ) .
A. y′ =

3
( 3x + 2 ) ln 3 .


B. y′ =

1
( 3x + 2 ) ln 3 .

C. y′ =

1
( 3x + 2 ) .

D. y′ =

3
( 3x + 2 ) .

Câu 11 (TH) Cho a , b là các số thực dương khác 1 thỏa mãn log a b = 3 . Giá trị của log
B. −

A. − 3 .

1
.
3

Câu 12 (NB) Phương trình 2 x+1 = 8 có nghiệm là
A. x = 2 .
B. x = 1 .

C. −2 3 .


D.

C. x = 4 .

D. x = 3 .

b
a

3b

÷
÷ là:
 a

3.

2
2
Câu 13 (TH) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình log 2 ( x − x ) = log 2 ( x + 1) . Tính P = x1 + x2 .
2

A. P = 6 .
B. P = 8 .
Câu 14 Công thức nào sau đây là sai?
1
A. ∫ ln xdx = + C .
x
C. ∫ sin xdx = − cos x + C .


C. P = 2 .
B.

dx

∫ cos

2

x

D. P = 4 .

= tan x + C .

x
x
D. ∫ e dx = e + C .

Câu 15 (TH) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = e −2 x ?
A. y = −

e −2 x
.
2

−2 x
B. y = −2e + C ( C ∈ ¡ ) .


−2 x
C. y = 2e + C ( C ∈ ¡ ) .

D. y =

e −2 x
.
2

Câu 16 (NB) Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên ¡ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
b

A.

∫
a

b

b

f ( x ) dx = ∫ f ( y ) dy .

B.

a

a

a


C.

∫(

∫ f ( x ) dx = 0 .

D.

a

b

a

∫

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x ) .g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .

2 x dx bằng


0

A. 22018 − 1 .

B.

22018 − 1
.
ln 2

C.

a

b

2018

Câu 17 (TH) Tích phân I =

b

f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .

22018
.
ln 2

D. 22018 .



Câu 18 (NB) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Khẳng định nào sau đây sai?
A. z = a 2 + b 2 .

B. z = a − bi .

D. z.z là số thực.

C. z 2 là số thực.

Câu 19 (NB) Cho số phức z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) . Số phức z có phần ảo là
2

A. −2 .
B. 4 .
C. 2i .
Câu 20 (NB) Số phức liên hợp của số phức z = 1 − 3i là số phức

D. 2 .

A. z = 1 + 3i .
B. z = −1 + 3i .
C. z = 3 − i .
D. z = −1 − 3i
Câu 21 (NB) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a . Biết cạnh bên SA = 2a và
vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
4a 3
a3
2a 3

.
B. 2a 3 .
C.
.
D.
.
3
3
3
Câu 22 (TH) Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết AB = 3cm ,
A.

BC ′ = 3 2cm . Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
27
3
cm3 ) .
B. 27 ( cm ) .
C.
(
4
Câu 23 (NB) Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy bằng
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. h = R 2 − l 2 .
B. l = R 2 + h 2 .
C.

A.

27
27

cm3 ) .
cm3 ) .
D.
(
(
2
8
R , chiều cao bằng h , độ dài đường sinh bằng l .

D. R = l 2 + h 2 .
l = R 2 − h2 .
Câu 24 (NB) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a , diện tích tồn phần bằng 8π a 2 . Chiều cao của hình trụ
bằng
A. 4a .
B. 3a .
C. 2a .
D. 8a .
uuur
r r
r r
Câu 25 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j . Tìm tọa độ của điểm

(

A .

A. A ( −3; −17; 2 ) .

B. A ( 3;17; −2 ) .


)

C. A ( 3; −2;5 ) .

D. A ( −3; 2; −5 )

Câu 26 (NB) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 7 = 0 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) :
A. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 3 .

B. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 2 .

C. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 4 .

D. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 4 .

Câu 27 (TH) Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;3; 4 ) . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vng góc
của M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) .

x y z
x y z
+ + =1.
D. + + = 1 .
4 4 3
2 3 4
Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; 2 ) , B ( 3; −2; 0 ) . Một vectơ chỉ
A.

x y z
+ + =1.

3 4 2

B.

x y z
+ + =1.
3 2 4

phương của đường thẳng AB là:
r
r
A. u = ( −1; 2;1)
B. u = ( 1; 2; −1)

C.

r
C. u = ( 2; −4; 2 )

r
D. u = ( 2; 4; −2 )

Câu 29 (TH) Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3
học sinh từ nhóm 10 học sinh đi lao động. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có ít nhất một học
sinh nữ?
2
17
17
4
A. .

B.
.
C.
.
D. .
3
48
24
9
2
Câu 30 (TH) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ là f ¢( x) = x ( x - 1) . Hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng


A. ( 1;+¥ ) .

B. ( - ¥ ; +¥ ) .

C. ( 0;1) .

D. ( - ¥ ;1) .

Câu 31 (TH) Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số y = x +

10
13
y = , min y = .
A. max
3 
3  3 ;3

6
 ;3

10
y=2
y = , min
3 
B. max
.
;3
3 
3

2 
 ;3

16 min y = 2
max
y
=
3
C.  3 
.
3 ,  2 ;3
 ;3

10
5
max
y

=
min
y
=
D.  3 
3 ,  3 ;3
2.
 ;3

2 

2 

2 

B. ( −∞;6 ) .

2 

2 

C. ( 6; +∞ ) .

2
Câu 33 (VD) Biết rằng hàm số f ( x ) = ax + bx + c thỏa mãn

1

∫
0


3

∫ f ( x ) dx =
0

3
A. P = − .
4

D. ( 0;6 ) .

7
f ( x ) dx = − ,
2

2

∫ f ( x ) dx = −2 và
0

13
(với a , b , c ∈ ¡ ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c .
2

4
B. P = − .
3

Câu 34 (NB) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z =

A. ( −1; −4 ) .

3 
 2 ;3 .

2 

Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình 32 x > 3x+6 là:
A. ( 0;64 ) .

1
trên đoạn
x

B. ( 1; 4 ) .

C. P =

4
.
3

D. P =

( 2 − 3i ) ( 4 − i ) .
3 + 2i

C. ( 1; −4 ) .

3

.
4

D. ( −1; 4 )

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy ( ABCD ) và SA = a 3 . Góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng:
A. 30° .
B. 60° .
C. 90° .
D. 45° .
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , mặt bên SAB là tam giác vuông
cân tại S và nằm trên mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC .

a 3
a 5
2a 3
2a 5
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
5
3
5

Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu tâm I ( 3; 2; 4 ) và tiếp xúc với
A.

trục Oy .
A. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8 z + 2 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 − 6 z − 4 y − 8 z + 3 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8 z + 4 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8 z + 1 = 0 .

Câu 38 (TH) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A ( 1; 4; −7 ) và vng góc với mặt phẳng
x + 2 y − 2 z − 3 = 0 có phương trình là
x −1 y − 4 z − 7
x +1 y + 4
=
=
=
=
A.
.
B.
1
2
−2
1
4
x −1 y − 4 z + 7
x −1 y − 4

=
=
=
=
C.
.
D.
1
−2
−2
1
2
Câu 39 (VD) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 4

z −7
.
−7
z+7
.
−2

có hai điểm cực trị thuộc khoảng

( −3;3) .

A. 12 .

B. 11 .

C. 13 .


D. 10 .


Câu 40 (VD) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m ∈¢ và bất phương trình
log m −5 ( x 2 − 6 x + 12 ) > log

tử của tập S .
A. 2 .

m −5

x + 2 có tập nghiệm chứa đúng hai giá trị nguyên. Tìm tổng các phần

B. 0 .

C. 3 .

D. 1.
15 x
 2
Câu 41 (VD) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ \ { 0} và thỏa mãn 2 f ( 3 x ) + 3 f  ÷ = −
,
2
 x
9

3
2


1

∫ f ( x ) dx = k . Tính I = ∫ f  x ÷ dx theo k .
3

1
2

45 + k
45 − k
45 + k
45 − 2k
.
B. I =
.
C. I =
.
D. I =
.
9
9
9
9
Câu 42 (VD) Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z − 1 + 2i = 5 và z1 − z2 = 8 . Tìm mơđun của số
A. I = −

phức w = z1 + z2 − 2 + 4i .
A. w = 6 .

B. w = 16 .


C. w = 10 .

D. w = 13 .

Câu 43 (VD) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn
song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M ′ , N ′ ,
P′ , Q′ lần lượt là hình chiếu vng góc của M , N , P , Q lên mặt phẳng ( ABCD ) . Tính tỉ số

để thể tích khối đa diện MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn nhất.
2
1
1
A. .
B. .
C. .
3
2
3

D.

SM
SA

3
.
4

x 2 + 2ax + 3a 2

Câu 44 (VD) Tìm số thực dương a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y =
và
1 + a6
a 2 − ax
có diện tích đạt giá trị lớn nhất.
1 + a6
1
A. 2 .
B. 3 .
2
y=

C. 1 .

Câu 45 (VD) Trong không gian O xyz , cho điểm A( 1; 2; - 1) , đường thẳng d :

D.

3

3.

x - 1 y +1 z - 2
=
=
và mặt
2
1
- 1


phẳng ( P ) : x + y + 2 z +1 = 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng ( P ) thỏa mãn đường thẳng AB vừa cắt
vừa vng góc với d . Tọa độ điểm B là:
A. ( 6; - 7;0) .
B. ( 3; - 2; - 1) .

C. ( - 3;8; - 3) .

D. ( 0;3; - 2) .

Câu 46 (VDC) Biết rằng hàm số f ( x ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
y = f  f ( x )  .


A. 5 .

B. 3 .
2
Câu 47 (VDC) Biết rằng phương trình log 3 x − m log
đoạn nào dưới đây?
1 
A.  ; 2  .
2 

3

B. [ −2; 0] .

C. 4 .
D. 6 .
x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 . Hỏi m thuộc


5

D.  −4; −  .
2


C. [ 3;5] .

Câu 48 (VDC) Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 − x 2 và đường thẳng y = 2 − x (như
hình vẽ bên). Biết diện tích của hình

( H)

là S = aπ + b , với a , b là các số hữu tỉ. Tính

P = 2a 2 + b 2 .

A. P = 6 .

B. P = 9 .

C. P = 16 .

D. S = 10 .

Câu 49 (VDC) Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 - i + z - 4 - 7i = 6 2 . Gọi m,M lần lượt là giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z - 1 + i . Tính P = m + M .
A. P =


5 2 + 2 73
2

C. P = 5 2 + 73

B. P = 13 + 73
D. P =

5 2 + 73
2
2

2

2

Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) +( y + 2) +( z - 3) = 12 và
mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) song song với ( P ) và cắt

( S ) theo thiết diện là đường trịn ( C ) sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là đường tròn
( C ) có thể tích lớn nhất .
A. ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 1 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 11 = 0
B. ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 2 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 8 = 0
C. ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 6 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 3 = 0
D. ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 2 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 3 = 0


1.D
11.B
21.D

31.A
41.A

2.B
12.A
22.C
32.C
42.A

3.D
13.A
23.D
33.A
43.A

4.A
14.A
24.B
34.A
44.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.B
7.D
15.A
16.D
17.B
25.A
26.D

27.C
35.A
36.D
37.C
45.D
46.C
47.B

8.C
18.C
28.A
38.D
48.A

9.D
19.D
29.C
39.B
49.A

10.A
20.A
30.A
40.B
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là
3
3

3
A. A20 .
B. 3!C20 .
C. 103 .
D. C20 .
Lời giải
Chọn D
3
Số tam giác bằng với số cách chọn 3 phần tử trong 20 phần tử. Do đó có C20 tam giác.
Câu 2 (NB) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −1 , u3 = 3 . Tính u2 .
A. u2 = 10 .

B. u2 = 1 .

C. u2 = −3 .
Lời giải

D. u2 = 5 .

Chọn B
u +u
−1 + 3
u2 = 1 3 =
=1
2
2
Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ¡ có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −3; 2 ) .

B. ( −∞; 0 ) và ( 1; +∞ ) . C. ( −∞; −3) .
D. ( 0;1) .
Lời giải
Chọn D
Nhìn vào BBT ta thấy, giá trị của hàm số y sẽ giảm (mũi tên đi xuống) khi x tăng trong khoảng
( 0;1) nên hàm số nghịch biến trên ( 0;1) .

Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và x = 1 .
B. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1 .
C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .


Lời giải
Chọn A
Dựa vào BBT, hàm số không đạt cực trị tại x = 0 .
Câu 5 (TH) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ là f ¢( x ) = ( x - 1) ( x - 3) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

A. Hàm số khơng có cực trị.
C. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

B. Hàm số có một điểm cực đại.
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải

Chọn C


éx = 1
Cho f ¢( x ) = 0 Û ê
ê
ëx = 3
Bảng biến thiên:
x
y'

–∞

1
–

0

3
–

0

+∞
+

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có đúng một điểm cực trị và là điểm cực tiểu.
2x − 3
Câu 6 (NB) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
tương ứng có phương trình
x +1
là
A. x = 2 và y = 1 .

B. x = − 1 và y = 2 . C. x = 1 và y = −3 . D. x = 1 và y = 2 .
Lời giải
Chọn B
y = 2 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2 .
Ta có: xlim
→±∞
 lim + y = −∞
 x →( −1)
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = −1 .

y = +∞
 x →lim
−
 ( −1)
Câu 7 (NB) Đường cong bên là điểm biểu diễn của đồ thị hàm số nào sau đây

A. y = − x 4 + 4 x 2 + 3 .

B. y = x 4 − 2 x 2 + 3 .

C. y = − x 3 + 3x + 3 .
Lời giải

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 3 .

Chọn D
Nhìn vào đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c → loại C
Đồ thị có 2 cực đại và một cực tiểu nên hệ số a < 0 → loại B
Đồ thị hàm số điểm cực trị là ( 1;0 ) ⇔ y(′1) = 0
3

Đáp án A: y(′1) = −4. ( 1) + 8.1 = 4 ≠ 0 → Loại
3
Đáp án D: y(′1) = −4. ( 1) + 4.1 = 0 → Thỏa mãn

Câu 8 (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau:


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x ) = m có 3 nghiệm phân biệt.
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn C
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
thẳng y = m .
Khi đó chỉ có 1 giá trị nguyên của m là m = 0 để f ( x ) = m có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 9 (NB) Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?
B. ( 10α ) = ( 100 ) .

α

2

A. 10α = 10 2 .

α

C. 10α =


(

10

)

α

.

D. ( 10α ) = 10α .
2

2

Lời giải
Chọn D
α

+) Có 10α = 10 2 với mọi α , nên A đúng.
α
+) Có ( 10α ) = ( 100 ) với mọi α , nên B đúng.
2

+) Có 10α =

(

10


)

α

với mọi α , nên C đúng.

+) Có ( 10α ) = 10α (*), dấu đẳng thức xảy ra khi α = 0 hoặc α = 2 .
2

2

Lấy α = 1 thì (*) sai, vậy D sai.
Câu 10 (NB) Tính đạo hàm của hàm số y = log 3 ( 3x + 2 ) .
A. y′ =

3
( 3x + 2 ) ln 3 .

B. y′ =

1
( 3x + 2 ) ln 3 .

C. y′ =

1
( 3x + 2 ) .

D. y′ =


3
( 3x + 2 ) .

Lời giải
Chọn A
Ta có y′ =

3
( 3x + 2 ) ln 3 .

Câu 11 (TH) Cho a , b là các số thực dương khác 1 thỏa mãn log a b = 3 . Giá trị của log
A. − 3 .

B. −

1
.
3

C. −2 3 .
Lời giải

Chọn B

log a b = 3 ⇒ b = a 3 .
log

b
a


 
3b
= log  3   a 

÷
÷
÷
 2 −1÷


 a
a


3 1
− ÷
3 2÷


(

)


2 3 −3 2
1 .
÷=
=−
÷ 6 3 −2
3



(

Câu 12 (NB) Phương trình 2 x+1 = 8 có nghiệm là

)

D.

3.

b
a

3b

÷
÷ là:
 a


A. x = 2 .

B. x = 1 .

C. x = 4 .
Lời giải

D. x = 3 .


Chọn A

2 x +1 = 8 = 23 ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x = 2

2
2
2
Câu 13 (TH) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình log 2 ( x − x ) = log 2 ( x + 1) . Tính P = x1 + x2 .

A. P = 6 .

B. P = 8 .

C. P = 2 .
Lời giải

D. P = 4 .

Chọn A

log 2 ( x 2 − x ) = log 2 ( x + 1) .

 x1 = 1 + 2 ( tm )
 x2 − x = x + 1
x2 − 2x −1 = 0
⇔
⇔
⇔
.

 x2 = 1 − 2 ( tm )
x +1 > 0
 x > −1

(

Do đó x12 + x22 = 1 + 2

) + (1− 2 )
2

Câu 14 Công thức nào sau đây là sai?
1
A. ∫ ln xdx = + C .
x
C. ∫ sin xdx = − cos x + C .

2

=6.

B.

dx

∫ cos

2

x


= tan x + C .

x
x
D. ∫ e dx = e + C .

Lời giải
Chọn A
Xét I = ∫ ln xdx .
1

u = ln x du = dx
⇒
x .
Đặt 
 dv = dx  v = x

1
Khi đó I = x ln x − ∫ x. dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .
x
Vậy công thức A sai.

Câu 15 (TH) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = e −2 x ?
A. y = −

e −2 x
.
2


−2 x
B. y = −2e + C ( C ∈ ¡ ) .

−2 x
C. y = 2e + C ( C ∈ ¡ ) .

D. y =

e −2 x
.
2

Lời giải
Chọn A

1 −2 x
−2 x
Ta có ∫ e dx = − e + C .
2
Suy ra đáp án đúng là A
Câu 16 (NB) Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên ¡ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A.

b

b

a

a


∫ f ( x ) dx = ∫ f ( y ) dy .

b

B.

∫ f ( x ) dx = 0 .
a

D.

a

a

b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x ) .g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .


Lời giải
Chọn D

b

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
a

a

C.

b


2018

Câu 17 (TH) Tích phân I =

∫

2 x dx bằng

0

A. 22018 − 1 .

B.

22018 − 1

.
ln 2

22018
.
ln 2
Lời giải
C.

D. 22018 .

Chọn D
2018

I=

∫
0

2018

2x
2 dx =
ln 2 0
x

=

22018 − 1
.

ln 2

Câu 18 (NB) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Khẳng định nào sau đây sai?
A. z = a 2 + b 2 .

B. z = a − bi .

C. z 2 là số thực.

D. z.z là số thực.

Lời giải
Chọn C
Đáp án A và B đúng theo định nghĩa.
2
Đáp án C: Ta có z 2 = ( a + bi ) = a 2 + 2bi − b 2 là số phức có phần ảo khác 0 khi b ≠ 0 → Sai.
2
Đáp án D: z.z = ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 − ( bi ) = a 2 + b 2 là một số thực → Đúng.

Câu 19 (NB) Cho số phức z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) . Số phức z có phần ảo là
2

A. −2 .

B. 4 .

C. 2i .
Lời giải

D. 2 .


Chọn D
Ta có z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) = −4 + 2i . Vậy phần ảo của z là 2 .
2

Câu 20 (NB) Số phức liên hợp của số phức z = 1 − 3i là số phức
A. z = 1 + 3i .

B. z = −1 + 3i .

C. z = 3 − i .
Lời giải

D. z = −1 − 3i

Chọn A
Câu 21 (NB) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a . Biết cạnh bên SA = 2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD .
A.

4a 3
.
3

B. 2a 3 .

a3
.
3
Lời giải

C.

D.

2a 3
.
3

Chọn D
1
1
2a 3
Ta có VS . ABCD = S ABCD .SA = a 2 .2a =
.
3
3
3
Câu 22 (TH) Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết AB = 3cm ,

BC ′ = 3 2cm . Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.

27
cm3 ) .
(
4

Chọn C

3

B. 27 ( cm ) .

27
cm3 ) .
(
2
Lời giải

C.

D.

27
cm3 ) .
(
8


Xét tam giác vng BCC ′ có CC ′ = BC ′2 − BC 2 = 18 − 9 = 3 ( cm ) .
1
1
27
cm3 ) .
Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là: V = BC.BA.CC ′ = .3.3.3 =
(
2
2
2
Câu 23 (NB) Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R , chiều cao bằng h , độ dài đường sinh bằng l .
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. h = R 2 − l 2 .
B. l = R 2 + h 2 .
C. l = R 2 − h 2 .
D. R = l 2 + h 2 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: l 2 = R 2 + h 2 ⇒ l = R 2 + h 2 .
Câu 24 (NB) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a , diện tích toàn phần bằng 8π a 2 . Chiều cao của hình trụ
bằng
A. 4a .
B. 3a .
C. 2a .
D. 8a .
Lời giải
Chọn B
Gọi h là chiều cao của hình trụ
2
Ta có Stp = 2π ah + 2π a ⇒ 8π a 2 = 2π ah + 2π a 2 ⇒ h = 3a .

uuur

(

r

r

)

r


r

Câu 25 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j . Tìm tọa độ của điểm
A .

A. A ( −3; −17; 2 ) .

B. A ( 3;17; −2 ) .

C. A ( 3; −2;5 ) .

D. A ( −3; 2; −5 )

Lời giải
Chọn A

uuur
r r
r r
AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j
uuur
r r
r r
r
r r
⇒ OA = − 3 i + 4 j + 2k − 5 j = − 3i − 17 j + 2k nên A ( −3; −17; 2 )

(


(

)

)

Câu 26 (NB) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 7 = 0 .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) :
A. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 3 .

B. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 2 .

C. I ( −1; −2; 2 ) ; R = 4 .

D. I ( 1; 2; −2 ) ; R = 4 .
Lời giải

Chọn D

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 7 = 0 ⇒ a = 1 ; b = 2 ; c = −2 ; d = −7
⇒ R = a 2 + b 2 + c 2 − d = 4 ; I ( 1; 2; −2 ) .
Câu 27 (TH) Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;3; 4 ) . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vng góc
của M lên các trục Ox , Oy , Oz . Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) .


A.

x y z
+ + =1.
3 4 2


B.

x y z
+ + =1.
3 2 4

x y z
+ + =1.
2 3 4
Lời giải
C.

D.

x y z
+ + = 1.
4 4 3

Chọn C
Ta có: A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;4 ) .

x y z
Vậy ( ABC ) : + + = 1 .
2 3 4
Câu 28 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; 2 ) , B ( 3; −2; 0 ) . Một vectơ chỉ
phương của đường thẳng AB là:
r
r
A. u = ( −1; 2;1)

B. u = ( 1; 2; −1)

r
C. u = ( 2; −4; 2 )

r
D. u = ( 2; 4; −2 )

Lời giải
Chọn A
uuur
Ta có: AB = ( 2; −4; −2 ) = −2 ( −1; 2;1) .
Câu 29 (TH) Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3
học sinh từ nhóm 10 học sinh đi lao động. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có ít nhất một học
sinh nữ?
2
17
17
4
A. .
B.
.
C.
.
D. .
3
48
24
9
Lời giải

Chọn C
3
Số phần tử của không gian mẫu: n ( Ω ) = C10 .
Gọi A là biến cố: “ 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ”.
Suy ra: A là biến cố: “ 3 học sinh được chọn khơng có học sinh nữ”.

( )

( )

3
Khi đó n A = C7 ⇒ P A =

C73
7
17
=
. Vậy P ( A) = 1 − P A =
.
3
C10 24
24

( )

2
Câu 30 (TH) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ là f ¢( x) = x ( x - 1) . Hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng
A. ( 1;+¥ ) .


B. ( - ¥ ; +¥ ) .

C. ( 0;1) .

D. ( - ¥ ;1) .

Lời giải
Chọn A
éx = 0
2
Ta có f '( x ) = 0 Û x ( x - 1) = 0 Û ê
ê
ëx = 1
Bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+¥ ) .
Câu 31 (TH) Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số y = x +

10
13
y = , min y = .
A. max
3
3
 
3  ;3
6
 ;3


10
y=2
y = , min
3 
B. max
.
3
;3
 
3

2 
 ;3

16
y=2
y = , min
3 
C. max
.
3 
;3
3  2 
 ;3

10
5
y = , min y = .
D. max
3 

3  3 ;3
2
 ;3

2 

2 

2 

2 

2 

2 

1
trên đoạn
x

3 
 2 ;3 .


Lời giải
Chọn A
Ta có:

3 
 x = −1 ∉  2 ;3

1


y′ = 1 − 2 , y′ = 0 ⇔ 
.

x
3 
 x = 1∉  ;3
2 


10
 3  13
y  ÷ = , y ( 3) = .
3
2 6
10
13
y = , min y = .
Suy ra max
3
3
 
3  ;3
6
 ;3
2 

2 


Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình 32 x > 3x+6 là:
A. ( 0;64 ) .

B. ( −∞;6 ) .

C. ( 6; +∞ ) .

D. ( 0;6 ) .

Lời giải
Chọn C
Ta có 32 x > 3x+6 ⇔ 2 x > x + 6 ⇔ x > 6 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( 6; +∞ ) .
Câu 33 (VD) Biết rằng hàm số f ( x ) = ax + bx + c thỏa mãn
2

1

∫
0

3

∫ f ( x ) dx =
0

7
f ( x ) dx = − ,

2

2

∫ f ( x ) dx = −2 và
0

13
(với a , b , c ∈ ¡ ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c .
2

3
A. P = − .
4

4
B. P = − .
3

C. P =

4
.
3

D. P =

3
.
4


Lời giải
Chọn A
d

Ta có

∫
0

d

b
a
b
a

f ( x ) dx =  x 3 + x 2 + cx ÷ = d 3 + d 2 + cd .
2
2
3
0 3

1
7
a b
7
 ∫ f ( x ) dx = − ⇔ + + c = −

2

3 2
2
0
a = 1
 2

8
4
Do đó:  ∫ f ( x ) dx = −2 ⇔ a + 2b + 2c = −2 ⇔ b = 3 . Vậy P = a + b + c = −
3
3
0

16
3

c=−
13
9
13
3

 ∫ f ( x ) dx = ⇔ 9a + b + 3c =
2
2
2
 0
( 2 − 3i ) ( 4 − i ) .
Câu 34 (NB) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z =
3 + 2i

A. ( −1; −4 ) .
B. ( 1; 4 ) .
C. ( 1; −4 ) .
D. ( −1; 4 )
Lời giải
Chọn A

5 − 14i ( 5 − 14i ) ( 3 − 2i ) −13 − 52i
=
= −1 − 4i .
=
3 + 2i
13
3 + 2i
13
Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ ( −1; −4 ) .
Ta có z =

( 2 − 3i ) ( 4 − i )

=

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt


phẳng đáy ( ABCD ) và SA = a 3 . Góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) bằng:
A. 30° .

B. 60° .


C. 90° .
Lời giải

D. 45° .

Chọn A
S

x

B

A

D

C

Ta có: ( SAB ) ∩ ( SCD ) = Sx // AB // CD .
Ta chứng minh được:
CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ SD ⊥ Sx .

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ Sx .
Do đó:

· ; SA = ·ASD .
)
( (·SAB ) ; ( SCD ) ) = ( SD

Tam giác SAD vuông tại A nên: tan ·ASD =

Vậy

( (·SAB ) ; ( SCD ) ) = 30° .

AD
a
1
=
=
.
SA a 3
3

Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , mặt bên SAB là tam giác vuông
cân tại S và nằm trên mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC .
A.

a 3
.
3

B.

a 5
.
5

2a 3
.

3
Lời giải
C.

D.

2a 5
.
5

Chọn D

Gọi H là trung điểm AB .
Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) theo giao tuyến AB . Trong ( SAB ) có SH ⊥ AB nên SH ⊥ ( ABCD ) .

( K ∈ CD ) ⇒ HK ⊥ CD
mà SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ CD ⊥ SH . Do đó CD ⊥ ( SHK ) .
Suy ra ( SCD ) ⊥ ( SHK ) theo giao tuyến SK .
Kẻ HK // AD


Trong ( SHK ) , kẻ HI ⊥ SK thì HI ⊥ ( SCD ) .

Ta có: AB // ( SCD ) nên d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HI .
Tam giác SAB vng cân có AB = 2a ⇒ SH = a .
Tam giác SHK có
Vậy d ( AB, SC ) =

1
1

1
2 5a
.
=
+
⇒ HI =
2
2
2
HI
SH
HK
5
2 5a
.
5

Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu tâm I ( 3; 2; 4 ) và tiếp xúc với
trục Oy .
A. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8 z + 2 = 0 .

B. x 2 + y 2 + z 2 − 6 z − 4 y − 8 z + 3 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8 z + 4 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4 y − 8 z + 1 = 0 .
Lời giải

Chọn C


uuur
Gọi M là hình chiếu của I lên trục Oy , ⇒ M ( 0; 2; 4 ) ⇒ IM = ( −3;0; −4 ) .
Mặt cầu tâm I ( 3; 2; 4 ) tiếp xúc với trục Oy ⇒ IM = 5 là bán kính mặt cầu.
2
2
2
Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 6 x − 4 y − 8 z + 4 = 0 .

Câu 38 (TH) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A ( 1; 4; −7 ) và vng góc với mặt phẳng
x + 2 y − 2 z − 3 = 0 có phương trình là
x −1 y − 4 z − 7
=
=
A.
.
1
2
−2
x −1 y − 4 z + 7
=
=
C.
.
1
−2
−2

x +1 y + 4 z − 7
=
=

.
1
4
−7
x −1 y − 4 z + 7
=
=
D.
.
1
2
−2
Lời giải

B.

Chọn D
Đường thẳng đi qua điểm A ( 1; 4; −7 ) và vng góc với mặt phẳng x + 2 y − 2 z − 3 = 0 nên có một
r
x −1 y − 4 z + 7
=
=
.
vectơ chỉ phương u = ( 1; 2; −2 ) có phương trình là:
1
2
−2
Câu 39 (VD) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng
( −3;3) .
A. 12 .


B. 11 .

C. 13 .
Lời giải

Chọn B
Ta có y′ = 3x 2 − 6 x − m

D. 10 .

Hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng ( −3;3) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 ∈ ( −3;3) .

⇔ 3x 2 − 6 x − m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ ( −3;3) .
⇔ m = 3x 2 − 6 x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ ( −3;3) .

2
Xét hàm số f ( x ) = 3x − 6 x .

Ta có f ′ ( x ) = 6 x − 6 ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 .
Bảng biến thiên


Dựa vào bảng biến thiên ta có −3 < m < 9 .
Vậy m ∈ { −2; −1;0;...;8} .
Câu 40 (VD) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m ∈¢ và bất phương trình
log m −5 ( x 2 − 6 x + 12 ) > log

tử của tập S .

A. 2 .

m −5

x + 2 có tập nghiệm chứa đúng hai giá trị nguyên. Tìm tổng các phần

B. 0 .

C. 3 .
Lời giải

D. 1.

Chọn B
 x 2 − 6 x + 12 > 0
 x > −2
 x > −2

x + 2 > 0


⇔ m > 5 ⇔ m > 5 .
Điều kiện xác định của phương trình là 
m − 5 > 0
m ≠ 6
m ≠ 6



m − 5 ≠ 1

2
Ta có log m −5 ( x − 6 x + 12 ) > log

•

•

m −5

x + 2 ⇔ log m −5 ( x 2 − 6 x + 12 ) > log m −5 ( x + 2 ) (1)

2
Khi 5 < m < 6 thì ( 1) ⇔ x − 6 x + 12 < x + 2 ⇔ x 2 − 7 x + 10 < 0 ⇔ 2 < x < 5

Do đó, tập nghiệm của ( 1) là T = ( 2;5 ) có chứa đúng 2 giá trị nguyên.
Nhưng tập tham số m không chứa giá trị nguyên.
x < 2
2
Khi m > 6 thì ( 1) ⇔ x − 6 x + 12 > x + 2 ⇔ x 2 − 7 x + 10 > 0 ⇔ 
x > 5

Do đó, tập nghiệm của ( 1) là T = ( −2; 2 ) ∪ ( 5; +∞ ) có chứa nhiều 2 giá trị nguyên.
Kết luận S = ∅ . Tổng các phần tử của tập S bằng 0.
Câu 41 (VD) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ \ { 0}
3
2

9

15 x

 2
và thỏa mãn 2 f ( 3x ) + 3 f  ÷ = −
,
2
 x

1

∫ f ( x ) dx = k . Tính I = ∫ f  x ÷ dx theo k .
1
2

3

A. I = −

45 + k
.
9

B. I =

45 − k
.
9

C. I =

45 + k
.

9

Lời giải
Chọn A
1
⇒ t =1
1
2
Đặt t = 2 x ⇒ dx = dt . Đổi cận
.
3
2
x= ⇒t =3
2
x=

3

Khi đó I =

1
2 ∫1

2
f  ÷dx .
t

15 x
5x 2
 2

2
⇔ f  ÷ = − − f ( 3x )
Mà 2 f ( 3 x ) + 3 f  ÷ = −
2
2 3
 x
x

D. I =

45 − 2k
.
9


3

Nên I =

3

3

3

1  5x 2
5
1
1


− − f ( 3 x )  dx = − ∫ x dx − ∫ f ( 3x ) dx = −5 − ∫ f ( 3x ) dx (*)
∫

21 2 3
41
31
31


x =1 ⇒ u = 3
1
Đặt u = 3x ⇒ dx = dx . Đổi cận
.
x = 3⇒ t = 9
3
9

Khi đó I = −5 −

1
k
45 + k
f ( t ) dt = −5 − = −
.
∫
93
9
9

Câu 42 (VD) Gọi z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z − 1 + 2i = 5 và z1 − z2 = 8 . Tìm mơđun của số

phức w = z1 + z2 − 2 + 4i .
A. w = 6 .

B. w = 16 .

C. w = 10 .

D. w = 13 .

Lời giải
Chọn A

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 .
Theo giả thiết z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z − 1 + 2i = 5 nên A và B thuộc đường trịn
tâm I ( 1; −2 ) bán kính r = 5 .
Mặt khác z1 − z2 = 8 ⇔ AB = 8 .
Gọi M là trung điểm của AB suy ra M là điểm biểu diễn của số phức
Do đó ta có 3 = IM =

z1 + z2
và IM = 3 .
2

z1 + z2
1
− 1 + 2i ⇔ 3 = z1 + z2 − 2 + 4i ⇔ z1 + z2 − 2 + 4i = 6 ⇔ w = 6 .
2
2

Câu 43 (VD) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn

song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M ′ , N ′ ,
P′ , Q′ lần lượt là hình chiếu vng góc của M , N , P , Q lên mặt phẳng ( ABCD ) . Tính tỉ số

để thể tích khối đa diện MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn nhất.
2
1
1
A. .
B. .
C. .
3
2
3
Lời giải
Chọn A

D.

3
.
4

SM
SA


Đặt

SM
= k với k ∈ [ 0;1] .

SA

MN SM
=
= k ⇒ MN = k . AB
AB
SA
MQ SM
=
= k ⇒ MQ = k . AD
Xét tam giác SAD có MQ //AD nên
AD SA
Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có:
MM ′ AM SA − SM
SM
=
=
= 1−
= 1 − k ⇒ MM ′ = ( 1 − k ) .SH .
MM ′//SH nên
SH
SA
SA
SA
2
Ta có VMNPQ.M ′N ′P′Q′ = MN .MQ.MM ′ = AB. AD.SH .k . ( 1 − k ) .
Xét tam giác SAB có MN //AB nên

1
2

Mà VS . ABCD = SH . AB. AD ⇒ VMNPQ.M ′N ′P′Q′ = 3.VS . ABCD .k . ( 1 − k ) .
3
2
Thể tích khối chóp khơng đổi nên VMNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn nhất khi k . ( 1 − k ) lớn nhất.
4
2 ( 1 − k ) .k .k 1  2 − 2k + k + k 
2
≤ 
÷ ⇒ k . ( k − 1) ≤ 27 .
2
2
3

2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 ( 1 − k ) = k ⇔ k = .
3
SM 2
= .
Vậy
SA 3
3

Ta có k 2 . ( k − 1) =

x 2 + 2ax + 3a 2
Câu 44 (VD) Tìm số thực dương a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y =
và
1 + a6
a 2 − ax
có diện tích đạt giá trị lớn nhất.

1 + a6
1
A. 2 .
B. 3 .
2
y=

C. 1 .

D.

Lời giải
Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm của 2 hàm số là:

x 2 + 2ax + 3a 2 a 2 − ax
=
1 + a6
1 + a6

 x = −a
⇔ x 2 + 3ax + 2a 2 = 0 ⇔ 
 x = −2a
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số là:
S=

 −a
x 2 + 3ax + 2a 2
1  x3 3 2
dx

=
+ ax + 2a 2 x ÷
6 
∫−2 a 1 + a6
1+ a  3 2
 −2a
−a

3

3.


=

=


1  a3 3 3
8
− + a − 2a 3 + a 3 − 6a 3 + 4a 3 ÷
6 
1+ a  3 2
3


a3
6(1+ a

a3


Cauchy
6

)

≤

12 a

3

=

1
. Dấu " = " ⇔ a 6 = 1 ⇔ a = 1 ,vì a > 0 .
12

Vậy diện tích S đạt giá trị lớn nhất là

1
, khi a = 1 .
12

Câu 45 (VD) Trong không gian O xyz , cho điểm A( 1; 2; - 1) , đường thẳng d :

x - 1 y +1 z - 2
=
=
và mặt

2
1
- 1

phẳng ( P ) : x + y + 2 z +1 = 0 . Điểm B thuộc mặt phẳng ( P ) thỏa mãn đường thẳng AB vừa cắt
vừa vng góc với d . Tọa độ điểm B là:
A. ( 6; - 7;0) .
B. ( 3; - 2; - 1) .

C. ( - 3;8; - 3) .

D. ( 0;3; - 2) .

Lời giải
Chọn D

r
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u = ( 2;1; - 1) . Gọi M ( 1 + 2t; - 1 + t; 2 - t ) thuộc đường
thẳng d .
uuuur
uuuur r
Ta có AM = ( 2t ; t - 3;3 - t ) , AM ^ d Û AM .u = 0
Û 2 ( 2t ) +( t - 3) - ( 3 - t ) = 0
Û t =1
uuuu
r
AM = ( 2; - 2; 2) .
ìï x = 1 + t
ïï
Đường thẳng AB có phương trình í y = 2 - t .

ïï
ïïỵ z =- 1 + t
ïìï x = 1 + t
ïï
ï y = 2- t
Û
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ í
ïï z =- 1 + t
ïï
ïỵ x + y + 2 z +1 = 0

ïìï x = 0
íï y = 3
ïï
.
ïïỵ z =- 2

Vậy B = ( 0;3; - 2) .
Câu 46 (VDC) Biết rằng hàm số f ( x ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
y = f  f ( x )  .

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn C
Xét hàm số y = f  f ( x )  , y′ = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  ;


D. 6 .


x = 0
x = 0

x = 2
 f ′( x) = 0
x=2

y′ = 0 ⇔ 
⇔
⇔

 x = a ∈ ( 2; +∞ ) .
f
x
=
0
(
)
 f ′  f ( x )  = 0


 f ( x ) = 2
 x = b ∈ ( a; +∞ )
Với x > b , ta có f ( x ) > 2 ⇒ f ′  f ( x )  > 0
Với a < x < b , ta có 0 < f ( x ) < 2 ⇒ f ′  f ( x )  < 0
Với 0 < x < a hoặc x < 0 , ta có f ( x ) < 0 ⇒ f ′  f ( x )  > 0

BBT:

Dựa vào BBT suy ra hàm số y = f  f ( x )  có bốn điểm cực trị.
2
Câu 47 (VDC) Biết rằng phương trình log 3 x − m log

đoạn nào dưới đây?
1 
A.  ; 2  .
2 

3

B. [ −2; 0] .

x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 . Hỏi m thuộc
C. [ 3;5] .

5

D.  −4; −  .
2


Lời giải
Chọn B
Điều kiện x > 0 và x = 1 không là nghiệm của phương trình.
Đặt t = log

3


x , do x < 1 ⇒ t < 0 . Phương trình đã cho trở thành

Đặt f ( t ) = t +

t 2 − mt + 1 = 0 ⇔ m = t +

1
t

1
1
với t ∈ ( −∞;0 ) , f ′ ( t ) = 1 − 2 , f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = −1 ⇒ f ( −1) = −2 .
t
t

BBT:

Phương trình có nghiệm duy nhất khi m = −2 .

Câu 48 (VDC) Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 − x 2 và đường thẳng y = 2 − x (như
hình vẽ bên). Biết diện tích của hình
P = 2a 2 + b 2 .

( H)

là S = aπ + b , với a , b là các số hữu tỉ. Tính


A. P = 6 .


B. P = 9 .

C. P = 16 .
Lời giải

D. S = 10 .

Chọn A
+ Cách 1 :
2

Diện tích hình phẳng ( H ) là : S = ∫
0

(

)

4 − x 2 − 2 + x dx .

Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt .
π
2

π
2

0


0

(

)

⇒ S = ∫ ( 2 cos t − 2 + 2sin t ) 2 cos tdt = ∫ 4 cos 2 t − 4 cos t + 4sin t cos t dt
π
2

= ∫ ( 2 + 2 cos 2t − 4 cos t + 2sin 2t ) dt = ( 2t + sin 2t − 4sin t − cos 2t )
0

π
2
0

=π − 2.

⇒ a = 1 , b = − 2 ⇒ P = 2a 2 + b 2 = 2 + 4 = 6 .
+ Cách 2 :
1
1
2
Diện tích hình phẳng ( H ) là : S = π .2 − 2.2 = π − 2 .
4
2
2
2
⇒ a = 1 , b = − 2 ⇒ P = 2a + b = 2 + 4 = 6 .

Câu 49 (VDC) Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 - i + z - 4 - 7i = 6 2 . Gọi m,M lần lượt là giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z - 1 + i . Tính P = m + M .
A. P =

5 2 + 2 73
2

C. P = 5 2 + 73

B. P = 13 + 73
D. P =

5 2 + 73
2

Lời giải
Chọn A
Đặt w = z - 1 + i = a + bi với a,b Ỵ ¡

( z - 1 + i ) + 3 - 2i + ( z - 1 + i ) +( - 3 - 8i ) = 6 2 w + 3 - 2i + w +( - 3 - 8i ) = 6 2
Xét các điểm M ( a;b) , A( - 3; 2) , B ( 3;8)
Ta có: 6 2 = MA + MB ³ AB = 6 2
Dấu " = " xảy ra Û M thuộc đoạn AB . Do đó b = a + 5 và - 3 £ a £ 3
Ta có w = a 2 + b 2 = 2a 2 +10a + 25 nên m = min w =
Suy ra P =

5 2 + 2 73
2

5 2

, M = Max w = 73
2


2

2

2

Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) +( y + 2) +( z - 3) = 12 và
mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) song song với ( P ) và cắt

( S ) theo thiết diện là đường tròn ( C ) sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là đường trịn
( C ) có thể tích lớn nhất .
A. ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 1 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 11 = 0
B. ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 2 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 8 = 0
C. ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 6 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 3 = 0
D. ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 2 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 3 = 0
Lời giải
Chọn A

( Q) / / ( P ) nên ( Q) : 2 x + 2 y - z + d = 0 với d ¹ 3
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;- 2; 3) , bán kính R = 2 3
Gọi ( H ) là khối nón thỏa đề bài có đường sinh l = R = 2 3
Đặt x = h = d ( I ,( Q ) ) . Khi đó r 2 = 12 - x 2
1
3

2

Thể tích khối nón V = p( 12 - x ) x với 0 < x < 2 3

1
3

2
Khảo sát hàm f ( x) = V = p( 12 - x ) x đạt giá trị lớn nhất tại x = 2 hay d ( I ,( Q ) ) = 2

Khi đó tìm được d =- 1 hoặc d = 11 .

Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) : 2 x + 2 y − z − 1 = 0 hoặc ( Q ) : 2 x + 2 y − z + 11 = 0 .