ĐỀ PHÁT TRIỂN
TỪ ĐỀ MINH HỌA 2021
CHUẨN CẤU TRÚC

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2021
Mơn thi thành phần: TỐN HỌC
Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ SỐ 52
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................
MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO 2021 LẦN 1
MỨC ĐỘ
CHƯƠNG
Đạo hàm và
ứng dụng

NỘI DUNG

Đơn điệu của hàm số
Cực trị của hàm số
Min, Max của hàm số
Đường tiệm cận
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số mũ – Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
lôgarit
Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
PT mũ – PT lôgarit
BPT mũ – BPT lôgarit
Số phức
Định nghĩa và tính chất

Phép tốn
PT bậc hai theo hệ số thực
Ngun hàm Nguyên hàm
– Tích phân Tích phân
Ứng dụng tích phân tính diện tích
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Khối đa diện Đa diện lồi – Đa diện đều
Thể tích khối đa diện
Khối trịn
Mặt nón
xoay
Mặt trụ
Mặt cầu
Phương pháp Phương pháp tọa độ
tọa độ trong Phương trình mặt cầu
khơng gian Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Tổ hợp – Xác Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
suất
Cấp số cộng (cấp số nhân)
Xác suất
Hình học
Góc
khơng gian Khoảng cách
(11)
TỔNG

ĐỀ THAM
KHẢO


NB

TH

3, 30
4, 5, 39, 46
31
6
7, 8
9, 11
10
12, 13, 47
32, 40
18, 20, 34, 42, 49
19

1
1

1
1
1

14, 15
16, 17, 33, 41
44, 48

1
1


21, 22, 43
23
24

1
1
1

25
26, 37, 50
27
28, 38, 45
1
2
29
35
36

1
1

1
1
1
1
1
2
1

1

1
1

VD

1

TỔNG
VDC

1

1
1
1
1
1
1
1

1

1
1
1

1
1
1


1

2
1

1

1

1
1

1
1
1
20

15

10

5

2
4
1
1
2
2
1

3
2
5
1
0
2
4
2
0
0
3
1
1
0
1
3
1
3
1
1
1
1
1
50


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD NĂM 2021-ĐỀ 52
Câu 1 (NB) An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có bốn con
đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi
đến nhà Cường?

A. 16
B. 10
C. 24
D. 36
Câu 2 (NB) Cho cấp số nhân:
A. a  �

1
.
5

1
1
; a;
. Giá trị của a là:
5
125
1
1
B. a  � .
C. a  � .
25
5

D. a  �5.

Câu 3 (NB) Hàm số y  x 3  3x 2  9 x  1 đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?
A.  4;5  .

B.  0; 4  .


Câu 4 (NB) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c

C.  2; 2  .

D.  1;3  .

 a, b, c �� , đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 5 (TH) Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây khơng có cực trị?
2x 1
A. y 
.
B. y  x 4 .
C. y   x 3  x .
D. y  x 3  3 x  2 .
x 1
Câu 6 (NB) Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và tiệm cận ngang là đường
thẳng y  2 .
x2
2x
2x 1
1 2x
A. y 
.

B. y 
.
C. y 
.
D. y 
.
x 1
1 x
x 1
1 x
Câu 7 (NB) Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây?

A. y   x 4  2 x 2 .

B. y  x 4  2 x 2 .

C. y   x 2  2 x .
D. y  x3  2 x 2  x  1 .
Câu 8 (TH) Cho hàm số y  f  x  như hình vẽ bên.Tìm m để phương trình f ( x )  m có 3 nghiệm phân biệt.

.


�m  2
A. �
.
B. 2  m  2 .
C. 0  m  2 .
D. 2  m  0 .
m  2

�
Câu 9 (NB) Cho các số dương a , b , c , và a �1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. log a b  log a c  log a  b  c  .
B. log a b  loga c  loga b  c .
C. log a b  log a c  log a  bc  .

D. log a b  log a c  loga  b  c  .

Câu 10 (NB) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
x

� �
B. y  � �
�4 �

A. y  log 2 x
5

�1 �
C. y  log 1 � �
x�
3 �

Câu 11 (TH) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn log b a b  log
13
.
6
Câu 12 (NB) Giải phương trình log 1  x  1  2 .

A. m 


13
.
3

3
a
b

D. y  e  x
a
và log b a  0 . Tính m  log b a
b

7
C. m  .
6

B. m 

D. m  1 .

2

5
3
.
C. x  .
2
2

x x1
Câu 13 (TH) Tập nghiệm của phương trình 3 .2  72 là
�1 �
A.  2 .
B. � �.
C.  2 .
�2

B. x 

A. x  2 .

D. x  5 .
� 3�
 �.
D. �
�2

3
Câu 14 (NB) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  9 là:

A.

1 4
x  9x  C .
2

B. 4 x 4  9 x  C .

C.


1 4
x C .
4

D. 4 x3  9 x  C .

�
�
3 x  �.
Câu 15 (TH) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  cos �
6�
�
1 � �
1 � �
f  x  dx  sin �
3 x  � C .
f  x  dx   sin �
3x  � C .
A. �
B. �
3 � 6�
3 � 6�

C.

1

�


�





f  x  dx  sin �
3x  � C .
�
6
� 6�
2

D.

�

�

f  x  dx  sin �
3 x  � C .
�
� 6�

e3 x 1dx  m e p  eq với m , p , q �� và là các phân số tối giản. Giá trị
Câu 16 (NB) Cho �
1

A. 10 .
Câu 17 (TH) Nếu


B. 6 .

C.

4

4

4

1

1

1

22
.
3

f  x  dx  4 và �
g  x  dx  6 thì �
�
�f  x   g  x  �
�dx
�

A. 2 .


B. 10 .

bằng

D. 8 .
bằng

C. 4 .

D. 6 .

Câu 18 (NB) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của z .
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i .
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
Câu 19 (NB) Cho hai số phức z1  5  7i , z2  2  i . Tính mơđun của hiệu hai số phức đã cho
A. z1  z2  3 5 .

B. z1  z2  45 .

C. z1  z2  113 .
Câu 20 (NB) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z .

D. z1  z2  74  5 .


Tìm phần thực và phần ảo cú số phức z .
A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3 .
B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i .

C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 .
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i .
2
Câu 21 (NB) Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng
A. 6a 3 .
B. 2a 3 .
C. 3a 3 .
D. a 3 .
B C có CC �
 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
Câu 22 (TH) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A���
AC  a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

a3
a3
.
C. V  2a 3 .
D. V 
.
2
3
Câu 23 (NB) Hình nón có đường sinh l  2a và bán kính đáy bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón bằng
bao nhiêu?
A. 2 a 2 .
B. 4 a 2 .
C.  a 2 .
D. 2 a 2 .
Câu 24 (NB) Cho hình trụ có bán kính đáy r  5  cm  và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7  cm  . Diện tích
B. V 


A. V  a 3 .

xung quanh của hình trụ là
2
A. 35π  cm 

2
B. 70π  cm 

C. 120π  cm

2



2
D. 60π  cm 

Câu 25 (NB) Trong không gian Oxyz , cho A  1;1; 3 , B  3; 1;1 . Gọi M là trung điểm của AB , đoạn OM
có độ dài bằng
A. 5 .
B. 6 .
C. 2 5 .
D. 2 6 .
2
2
2
Câu 26 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  2 y  4 z  2  0 . Tính
bán kính r của mặt cầu.


A. r  2 2 .

B. r  26 .

D. r  2 .

C. r  4 .

Câu 27 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A  1;1; 4  ,
B  2; 7;9  , C  0;9;13 .

A. 2 x  y  z  1  0

B. x  y  z  4  0

C. 7 x  2 y  z  9  0 D. 2 x  y  z  2  0
x 1 y  3 z  2


Câu 28 (NB) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới đây là một
2
5
3
vectơ chỉ phương của d ?
r
r
r
r
A. u1   2;5;3 .

B. u4   2;  5;3 .
C. u2   1;3; 2  .
D. u3   1;3;  2  .
Câu 29 (TH) Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm
là
1
11
6
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
36
36
36
36
Câu 30 (TH) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �
 x    x  1
khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A.  1;1 .
B.  1; 2  .

2

 x  1  2  x  .

3

C.  �; 1 .

Hàm số f  x  đồng biến trên
D.  2; � .

3
Câu 31 (TH) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  3x  2 trên đoạn  3;3 bằng


A. 20 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 16 .
x
x
Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình 16  5.4  4 �0 là:
A. T   �;1 � 4;  � .
B. T   �;1 � 4;  � .
D. T   �;0 � 1;  � .

C. T   �; 0  � 1;  � .
8

Câu 33 (VD) Đổi biến x  4sin t của tích phân I 

�16  x

2


dx ta được:

0


4

A. I  16 cos 2tdt .
�
0


4


4

0

0

B. I  8 (1  cos 2t )dt . C. I  16 sin 2tdt .
�
�


4

D. I  8 (1  cos 2t )dt .

�
0

Câu 34 (TH) Cho số phức z  a  bi , với a, b là các số thực thỏa mãn a  bi  2i  a  bi   4  i , với i là đơn
vị ảo. Tìm mơ đun của   1  z  z 2 .
A.   229 .
B.   13

C.   229 .

D.   13 .

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông
tại B , AB  a và BC  3a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

 ABC 

bằng

A. 90o .
B. 30o .
C. 60o .
D. 45o .
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến  SBD  bằng? (minh họa như
hình vẽ sau)

21a
.
7

Câu 37 (TH) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  đi qua hai điểm A  1;1; 2  , B  3; 0;1 và

A.

21a
.
28

B.

21a
.
14

C.

2a
.
2

D.

có tâm thuộc trục Ox . Phương trình của mặt cầu  S  là:
A.  x  1  y 2  z 2  5 .
2

B.  x  1  y 2  z 2  5 .
2



C.  x  1  y 2  z 2  5 .

D.  x  1  y 2  z 2  5 .

2

2

Câu 38 (TH) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A  2;  1;0  , B  1; 2;1 , C  3;  2; 0  và D  1;1;  3 .
Đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là
�x  t
�
A. �y  t
.
�z  1  2t
�

�x  t
�
B. �y  t
.
�z  1  2t
�

�x  1  t
�
C. �y  1  t .
�z  2  3t
�


�x  1  t
�
D. �y  1  t .
�z  3  2t
�

3
Câu 39 (VD) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  x  3x  m có 5 điểm cực trị?

A. 5 .

B. 3 .

C. 1 .

D. Vơ số.

Câu 40 (VD) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m � 0; 2018 để bất phương trình: m  e 2 �4 e 2 x  1 đúng với
mọi x ��.
A. 2016 .
B. 2017 .
C. 2018 .
D. 2019 .
x

Câu 41 (VD) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Biết f  5   1 và

1

xf  5 x  dx  1 , khi đó

�
0

5

x f�
 x  dx bằng:
�
2

0

123
.
D. 25 .
5
Câu 42 (VD) Cho M là tập hợp các số phức z thỏa mãn 2 z  i  2  iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập

A. 15 .

B. 23 .

C.

hợp M sao cho z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 .
3
.
B. P  3 .
C. P  2 .
D. P  2 .

2
Câu 43 (VD) Cho khối lăng trụ ABC .A ���
B C có thể tích bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AA �và BB �
. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ��
A tại P , đường thẳng CN cắt
MPB �
NQ bằng
đường thẳng C ��
B tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A �

A. P 

1
1
2
.
C. .
D. .
3
2
3
2
Câu 44 (VD) Cho Parabol  P  : y  x  1 và đường thẳng d : y  mx  2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị
A. 1.

B.

của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào?
1

A. ( 2;  ) .
2

B. (0;1).

C. (1;

1
).
2

1
D. ( ;3) .
2

�x  1  2t
�
Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : �y  1  t và hai điểm A  1; 0;  1 , B  2;1;1 .
�z  t
�
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA  MB nhỏ nhất.
A. M  1;1; 0  .

�3 1 �
B. M � ; ; 0 �.
�2 2 �

�5 1 1 �
C. M � ; ; �.
�2 2 2 �


 x  như sau:
Câu 46 (VDC) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �

�5 2 1 �
D. M � ; ; �.
�3 3 3 �


2
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là

A. 3 .

B. 9 .
C. 5 .
D. 7 .
2
Câu 47 (VDC) Cho hai số thực a  1, b  1 . Biết phương trình a xb x 1  1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tìm
2

�x x �
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  � 1 2 � 4  x1  x2  .
�x1  x2 �

A. 3 3 4 .

B. 4

C. 3 3 2 .


Câu 48 (VDC) Trong hệ tọa độ Oxy , parabol y 

D.

3

4.

x2
chia đường tròn tâm O ( O là gốc tọa độ) bán kính
2

r  2 2 thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng:
A. 2 

3
.
4

B. 2 

4
.
3

C. 2 

4
.

3

D.

4
.
3

2

Câu 49 (VDC) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 z + z + 4 và z - 1- i = z - 3 + 3i ?
A. 3 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .
2

2

2

Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) +( y - 1) +( z - 1) = 12 và
mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 2 z +11 = 0 . Xét điểm M di động trên ( P) , các điểm A,B,C phân
biệt di động trên ( S ) sao cho AM ,BM ,CM là các tiếp tuyến của ( S ) . Mặt phẳng ( ABC ) luôn đi
qua điểm cố định nào dưới đây ?
�1 1 1 �
A. E  0;3; 1 .

B. F � ; ; �.
�4 2 2 �

C. H  0; 1;3 .

�3
�
D. H � ;0; 2 �.
�2
�


1.C
11.B
21.B
31.D
41.D

2.B
12.D
22.A
32.D
42.B

3.A
13.A
23.A
33.A
43.D


BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.B
7.A
15.A
16.C
17.B
25.A
26.A
27.B
35.D
36.D
37.C
45.D
46.D
47A

4.D
14.A
24.B
34.A
44.C

8.B
18.B
28.B
38.A
48.B

9.C

19.A
29.A
39.B
49.A

10.C
20.C
30.B
40.C
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có bốn con
đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi
đến nhà Cường?
A. 16
B. 10
C. 24
D. 36
Lời giải
Chọn C
Từ nhà An đến nhà Bình có bốn cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có sáu cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6  24 (cách).
Câu 2 (NB) Cho cấp số nhân:
A. a  �

1
.
5


1
1
; a;
. Giá trị của a là:
5
125
1
1
B. a  � .
C. a  � .
25
5
Lời giải

D. a  �5.

Chọn B
1
� 1 �� 1 � 1
2
 �
.�

�a�
Ta có: a  �
�
25
� 5 �� 125 � 625


Câu 3 (NB) Hàm số y  x 3  3x 2  9 x  1 đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?
A.  4;5  .

B.  0; 4  .

C.  2; 2  .

D.  1;3  .

Lời giải
Chọn A
 3x 2  6 x  9 .
Tập xác định: D  �. Đạo hàm: y�

x  3 � y  26
�
 0 � 3x 2  6 x  9  0 � �
Xét y�
.
x  1 � y  6
�
Bảng biến thiên:

x

-
+

y'


3

-1
0

_

0

-
Hàm số đồng biến trên các khoảng  �;  1 và  3;  � .
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng  4;5  .

+
+

6

y

+

-26


Câu 4 (NB) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c

 a, b, c �� , đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 2 .
B. 1 .

C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Dựa vào đồ thị, hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 5 (TH) Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
2x 1
A. y 
.
B. y  x 4 .
C. y   x 3  x .
D. y  x 3  3 x  2 .
x 1
Lời giải
Chọn A
3
2x 1

 0 với x �1 nên hàm số khơng có cực trị.
Xét hàm số y 
ta có y �
2
 x  1
x 1
Câu 6 (NB) Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và tiệm cận ngang là đường
thẳng y  2 .
x2
2x

2x 1
1 2x
A. y 
.
B. y 
.
C. y 
.
D. y 
.
x 1
1 x
x 1
1 x
Lời giải
Chọn B
y  � và lim y  � suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 .
Vì xlim
�1
x �1




y  lim y  2 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2 .
Và xlim
��
x ��

Câu 7 (NB) Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây?


A. y   x 4  2 x 2 .

B. y  x 4  2 x 2 .

C. y   x 2  2 x .
Lời giải

D. y  x3  2 x 2  x  1 .

Chọn A
Từ đồ thị ta có đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương với hệ số a  0 .
Câu 8 (TH) Cho hàm số y  f  x  như hình vẽ bên.Tìm m để phương trình f ( x )  m có 3 nghiệm phân biệt.


.

�m  2
A. �
.
m  2
�

B. 2  m  2 .

C. 0  m  2 .

D. 2  m  0 .

Lời giải

Chọn B
Phương trình f ( x)  m là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị.
 y  f ( x ) như hình vẽ trên.
 y  m là đường thẳng song song hay trùng với trục Ox .
Để phương trình f ( x)  m có 3 nghiệm phân biệt thì hai đồ thị y  f ( x) , y  m phải cắt nhau tại 3
điểm phân biệt � 2  m  2 .
Câu 9 (NB) Cho các số dương a , b , c , và a �1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. log a b  log a c  log a  b  c  .
B. log a b  loga c  loga b  c .
C. log a b  log a c  log a  bc  .

D. log a b  log a c  loga  b  c  .
Lời giải

Chọn C
Theo tính chất logarit ta có: log a b  log a c  log a  bc  .
Câu 10 (NB) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
x

� �
B. y  � �
�4 �

A. y  log 2 x
5

�1 �
C. y  log 1 � �
x�
3 �


D. y  e  x

Lời giải
Chọn C
Hàm số y  log a x , y  a x đồng biến trên tập xác định khi cơ số a  1 .
�1 �
Hàm số y  log 1 � �� y  log 3 x nên đồng biến tập xác định.
x�
3 �

Câu 11 (TH) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn log b a b  log
A. m 

13
.
3

B. m 

13
.
6

3
a
b

a
và log b a  0 . Tính m  log b a

b

7
C. m  .
6
Lời giải

D. m  1 .

Chọn B
3

Ta có log b a b  log

3
a
b

a
1
� logb a  
2
b

log b
log b

a
b � log a  1 
b

2
a
b

1
1
log b a 
3
2
1
log b a  1
2

log b a  0
�
13 vì
1
13
2
�
� log b a 
log b a  0 .
�  log b a   log b a  0 �
13
�
6
2
12
log b a 
�

6


Câu 12 (NB) Giải phương trình log 1  x  1  2 .
2

B. x 

A. x  2 .

5
.
2

C. x 

3
.
2

D. x  5 .

Lời giải
Chọn D
2

�1 �
Ta có log 1  x  1  2 � x  1  � � � x  5 .

�2 �

Câu 13 (TH) Tập nghiệm của phương trình 3x.2 x1  72 là
�1 �
A.  2 .
B. � �.
C.  2 .
�2
Lời giải
Chọn A
Phương trình 3x.2 x 1  72 � 6 x  36 � x  2 .
3
Câu 14 (NB) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  9 là:
2

A.

1 4
x  9x  C .
2

� 3�
 �.
D. �
�2

1 4
x C .
4
Lời giải

B. 4 x 4  9 x  C .


D. 4 x3  9 x  C .

C.

Chọn A

 2 x3  9  dx  2.
�

x4
x4
 9x  C   9x  C .
4
2

�
�
3 x  �.
Câu 15 (TH) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  cos �
6�
�
1 � �
1 � �
f  x  dx  sin �
3 x  � C .
f  x  dx   sin �
3x  � C .
A. �
B. �

3 � 6�
3 � 6�

C.

1

�

�

f  x  dx  sin �
3x  � C .
�
6
� 6�

D.

�

�

f  x  dx  sin �
3 x  � C .
�
� 6�

Lời giải
Chọn A

�

�

1

�

�

f  x  dx  �
cos �
3x  �
dx  sin �
3x  � C .
�
3 � 6�
� 6�

Ta có:

2





e3 x 1dx  m e p  eq với m , p , q �� và là các phân số tối giản. Giá trị
Câu 16 (NB) Cho �
1


A. 10 .

B. 6 .

C.

22
.
3

D. 8 .

Lời giải
Chọn C
2

2

e
Ta có �

1
1
1
dx  e3 x 1   e5  e 2  . Suy ra m = , p = 5 và q = 2 .
3
3
3
1


3 x 1

1

1
22
Vậy m + p + q = + 5 + 2 = .
3
3

Câu 17 (TH) Nếu
A. 2 .

4

4

4

1

1

1

f  x  dx  4 và �
g  x  dx  6 thì �
�
�f  x   g  x  �

�dx
�
B. 10 .

C. 4 .
Lời giải

bằng
D. 6 .

bằng


Chọn B
4

4

4

1

1

1

�
f  x  dx  �
g  x  dx  4  6  10 .
Ta có �

�f  x   g  x  �
�dx  �
Câu 18 (NB) Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của z .
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i .
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
Lời giải
Chọn B
Ta có z  3  2i suy ra z  3  2i .
Vậy Phần thực của z bằng 3 và phần ảo của z bằng 2 .
Câu 19 (NB) Cho hai số phức z1  5  7i , z2  2  i . Tính mơđun của hiệu hai số phức đã cho
A. z1  z2  3 5 .

B. z1  z2  45 .

C. z1  z2  113 .

D. z1  z2  74  5 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: z1  z2  3  6i � z1  z2  9  36  3 5 .
Câu 20 (NB) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z .

Tìm phần thực và phần ảo cú số phức z .
A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3 .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 .

B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i .

D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i .
Lời giải

Chọn C
Từ hình vẽ ta có M  3; 4  nên z  3  4i . Vậy Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 .
Câu 21 (NB) Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a 2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng
A. 6a 3 .
B. 2a 3 .
C. 3a 3 .
D. a 3 .
Lời giải
Chọn B
1
1 2
3
Ta có V  S đ .h  3a .2a  2a .
3
3
B C có CC �
 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
Câu 22 (TH) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A���
AC  a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V  a 3 .

B. V 

a3
.
2


C. V  2a 3 .
Lời giải

Chọn A

D. V 

a3
.
3


A�

C�
B�

A

C
B

ABC là tam giác vuông cân tại B và AC  a 2 suy ra AB  AC  a .

SABC 

1
a2
AB.BC  .
2

2

a2
.2a  a 3
2
Câu 23 (NB) Hình nón có đường sinh l  2a và bán kính đáy bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón bằng
bao nhiêu?
A. 2 a 2 .
B. 4 a 2 .
C.  a 2 .
D. 2 a 2 .
Lời giải
Chọn A
Diện tích xung quanh của hình nón là S xq   rl  2 a 2 .
Câu 24 (NB) Cho hình trụ có bán kính đáy r  5  cm  và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7  cm  . Diện tích
�
VABC . A���
B C  S ABC .CC 

xung quanh của hình trụ là
2
A. 35π  cm 

2
B. 70π  cm 

C. 120π  cm

2




2
D. 60π  cm 

Lời giải
Chọn B

2
Diện tích xung quanh của hình trụ S xq  2πrh  2π5.7  70π  cm  .

Câu 25 (NB) Trong không gian Oxyz , cho A  1;1; 3 , B  3; 1;1 . Gọi M là trung điểm của AB , đoạn OM
có độ dài bằng
A. 5 .
B. 6 .
C. 2 5 .
D. 2 6 .
Lời giải
Chọn A
Ta có M là trung điểm AB nên M  2; 0; 1 � OM  4  0  1  5 .
2
2
2
Câu 26 (NB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  2 y  4 z  2  0 . Tính
bán kính r của mặt cầu.

A. r  2 2 .

B. r  26 .


C. r  4 .
Lời giải

D. r  2 .

Chọn A
2
Mặt cầu  S  có tâm I  1;  1; 2  và bán kính r  12   1  22   2   2 2 .

Câu 27 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A  1;1; 4  ,
B  2; 7;9  , C  0;9;13 .

A. 2 x  y  z  1  0

B. x  y  z  4  0

Chọn B
uuu
r
uuur
Ta có AB   1; 6;5  , AC   1;8;9  ,

C. 7 x  2 y  z  9  0 D. 2 x  y  z  2  0
Lời giải


 ABC 

uuu
r uuur

r
�
AB
đi qua A  1;1; 4  có vtpt n  �
� , AC �  14; 14;14   14  1; 1;1 có dạng x  y  z  4  0 .

Câu 28 (NB) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
vectơ chỉ phương của d ?
r
r
A. u1   2;5;3 .
B. u4   2;  5;3 .

x 1 y  3 z  2


. Vectơ nào dưới đây là một
2
5
3

r
C. u2   1;3; 2  .

r
D. u3   1;3;  2  .

Lời giải
Chọn B
Câu 29 (TH) Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm

là
1
11
6
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
36
36
36
36
Lời giải
Chọn A
1
1
* Số phần tử của không gian mẫu là: n     C6 .C6  36 .
* Gọi A  ”Cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm”. Số phần tử của biến cố A là n  A   1 .
* Xác suất của biến cố A là P  A  

n  A

n  




1
.
36

Câu 30 (TH) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �
 x    x  1
khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A.  1;1 .
B.  1; 2  .

2

 x  1  2  x  .
3

C.  �; 1 .

Hàm số f  x  đồng biến trên
D.  2; � .

Lời giải
Chọn B.
x  1
�
�
f�
 x   0 � �x  1 .
�
x2

�
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy: Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  1; 2  .
3
Câu 31 (TH) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  3x  2 trên đoạn  3;3 bằng

A. 20 .

B. 4 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn D
f�
 x   3x 2  3
�
x  1 � 3;3
f�
 x   0 � 3x 2  3  0 � �
x  1 � 3;3
�

f  3  16 ; f  3  20 ; f  1  4 ; f  1  0 .

D. 16 .


f  x   16 .

Vậy min
 3;3

Câu 32 (TH) Tập nghiệm của bất phương trình 16 x  5.4 x  4 �0 là:
A. T   �;1 � 4;  � .
B. T   �;1 � 4;  � .
D. T   �;0 � 1;  � .

C. T   �; 0  � 1;  � .

Lời giải
Chọn D
Đặt t  4 x , t  0 .

t �4
t �4
�
x �1
4 x �4
�
�
�
�
�
�
�� .
16  5.4  4 �0 trở thành t  5.t  4 �0
� x
�
�

t �1
0  t �1
x �0
0  4 �1
�
�
�
�
x

x

2

Vậy T   �;0 � 1;  � .
8

Câu 33 (VD) Đổi biến x  4sin t của tích phân I 

�16  x

2

dx ta được:

0


4


A. I  16 cos 2tdt .
�
0


4


4

0

0

B. I  8 (1  cos 2t )dt . C. I  16 sin 2tdt .
�
�


4

D. I  8 (1  cos 2t )dt .
�
0

Lời giải
Chọn B
Đặt x  4sint � dx  4costdt
�x  0 � t  0
�

Đổi cận: �

x  8 �t 
�
�
4

4


4


4

0

0

0

Khi đó ta có: I  4 16  16sin 2 t cos tdt  16 cos 2tdt  8 (1  cos 2t )dt
�
�
�
Câu 34 (TH) Cho số phức z  a  bi , với a, b là các số thực thỏa mãn a  bi  2i  a  bi   4  i , với i là đơn
vị ảo. Tìm mơ đun của   1  z  z 2 .
A.   229 .
B.   13


C.   229 .
Lời giải

D.   13 .

Chọn A

a  2b  4 �
a2
�
��
Ta có a  bi  2i  a  bi   4  i � �
. Suy ra z  2  3i
b  2a  1
b  3
�
�
Do đó   1  z  z 2  2  15i . Vậy  

 2 

2

  15   229
2

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông
tại B , AB  a và BC  3a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

 ABC 


bằng


A. 90o .

B. 30o .

C. 60o .
Lời giải

D. 45o .

Chọn D

�  90o .
SA   ABC  � SA  AC � SCA
Hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng  ABC  là đường thẳng AC .
�, AC  SCA
� .
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  là SC
Tam giác ABC vuông tại B � AC 2  AB 2  BC 2  a 2 





3a






2

 4a 2 � AC  2a  SA .

�  45o .
Như vậy, tam giác SAC vng cân tại A � SCA
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng 45o .
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến  SBD  bằng? (minh họa như
hình vẽ sau)

A.

21a
.
28

Chọn D

B.

21a
.
14

2a
.

2
Lời giải

C.

D.

21a
.
7


Khơng mất tính tổng qt, cho a  1 .
AN là hình chữ nhật.
Gọi N là trung điểm của đoạn AB . Dựng S �sao cho SS �
Chọn hệ trục tọa độ:
A là gốc tọa độ, tia AB ứng với tia Ox , tia AD ứng với tia Oy , tia AS �ứng với tia Oz .
�1
3�
;0;
A  0;0;0  , B  1;0;0  , D  0;1;0  , S �
.
�
�2
2 �
�
�

Phương trình mặt phẳng  SBD  là:


3x  3 y  z  3  0 .

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có O là trung điểm của AC .
Ta có d  C ;  SBD    d  A;  SBD   

21
.
7

Vậy chọn đáp án D
Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  đi qua hai điểm A  1;1; 2  , B  3; 0;1 và
có tâm thuộc trục Ox . Phương trình của mặt cầu  S  là:
A.  x  1  y 2  z 2  5 .

B.  x  1  y 2  z 2  5 .

C.  x  1  y 2  z 2  5 .

D.  x  1  y 2  z 2  5 .

2

2

2

2

Lời giải
Chọn C

Tâm I �Ox � I  x; 0; 0  ,  S  đi qua A, B nên:
IA  IB �  x  1  1  4   x  3  0  1 � x  1 � I  1; 0;0  .
2

2

Bán kính của  S  là r  IA  5 .
Phương trình của mặt cầu  S  là:  x  1  y 2  z 2  5 .
2

Câu 38 (TH) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A  2;  1;0  , B  1; 2;1 , C  3;  2; 0  và D  1;1;  3 .
Đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là
�x  t
�
A. �y  t
.
�z  1  2t
�

�x  t
�
B. �y  t
.
�z  1  2t
�

�x  1  t
�
C. �y  1  t .
�z  2  3t

�
Lời giải

Chọn A
uuu
r uuur
uuu
r
uuur
�
AB
Ta có AB   1;3;1 , AC   1;  1; 0  � �
� , AC �  1;1;  2  .

�x  1  t
�
D. �y  1  t .
�z  3  2t
�


�x  t
�
Đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là �y  t
.
�z  1  2t
�
3
Câu 39 (VD) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  x  3x  m có 5 điểm cực trị?


A. 5 .

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. Vô số.

Chọn B
Xét hàm số y  x 3  3 x  m . Ta có:
 0 � x  �1
y�
 3x 2  3 , y�

Từ bảng biến thiên trên để hàm số đã cho có 5 cực trị thì m  2  0  m  2 � 2  m  2 .
Suy ra số giá trị nguyên của m là 3 .
Câu 40 (VD) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m � 0; 2018 để bất phương trình: m  e 2 �4 e 2 x  1 đúng với
mọi x ��.
A. 2016 .
B. 2017 .
C. 2018 .
D. 2019 .
Lời giải
Chọn C
TXĐ: D  �.
x

x


BPT ۳ m

4

e 2 x  1  e 2 đúng với mọi x ��.

x
f  t   *
Đặt e 2  t  0  m �4 t 4  1  t  f  t  đúng với mọi t  0 ۳ m max
0; �

�
Ta có: f  t  
� t3 

4

t

4

t3

t

4

4

 1


3

1; f �
 t  0 �

t3
4

t

4

 1

3

1  0

 1 � t 12   t 4  1 � t 4  t 4  1 (Vô nghiệm)
3

3

f  t   1 ; lim f  t   0 .
Mặt khác, tlim
t ��
�0 
Bảng biến thiên:


Vậy m �1 . Mà m ��, m � 0; 2018 nên m � 1; 2;...; 2018 � Có 2018 giá trị thỏa mãn.


Câu 41 (VD) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Biết f  5   1 và

1

xf  5 x  dx  1 , khi đó
�
0

5

x f�
 x  dx bằng:
�
2

0

B. 23 .

A. 15 .

123
.
5
Lời giải

D. 25 .


C.

Chọn D
Cách 1:
5

5

5

1

0

0

x2 f �
2 xf  x  dx  25.1  2 �
5tf  5t  d  5t   25  50.1  25 .
 x  dx  x 2 f  x   �
�
0

0

Cách 2:
1

xf  5 x  dx

Ta có: 1  �
0

1
Đặt t  5 x � dt  5dx � dt  dx
5
51
5
5
1
1 5
� 1  � t. f  t  . dt � 1 
t. f  t  d t � �
t. f  t  dt  25 � �
x. f  x  dx  25
�
0 5
0
0
5
25 0
5

x2 . f �
Đặt I  �
 x  dx
0

du  2 xdx
�

u  x2
�
�
��
Đặt: �
dv  f �
 x  dx �v  f  x 
�
5
5
� I  x 2 . f  x   2�
xf  x  dx  25. f  5   2.25  25
0
0

Câu 42 (VD) Cho M là tập hợp các số phức z thỏa mãn 2 z  i  2  iz . Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc tập
hợp M sao cho z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 .
A. P 

3
.
2

B. P  3 .

C. P  2 .

D.

P 2.


Lời giải
Chọn B
Gọi z  x  yi  x; y �� .
2
Ta có 2 z  i  2  iz A1 , � 4 x 2   2 y  1 

 2  y

2

 x2

� x2  y2  1

Gọi A1 , A2 là biểu diễn tương ứng của z1 , z2 � A1 ; A2 thuộc đường tròn  C  có tâm O  0;0  , bán
kính bằng 1 .
Theo giả thiết z1  z 2  1 � A1 A2  1 � OA1 A2 đều cạnh  1 .


3
Khi đó, P  z1  z2  2OK  2
 3 ( K là trung điểm A1 A2 ).
2
Câu 43 (VD) Cho khối lăng trụ ABC .A ���
B C có thể tích bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AA �và BB �
. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ��
A tại P , đường thẳng CN cắt
MPB �

NQ bằng
đường thẳng C �
B �tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A �

A. 1.

B.

1
.
3

1
.
2
Lời giải
C.

D.

2
.
3

Chọn D
Gọi D là trung điểm của CC �
, h, S,V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể tích của khối lăng
trụ ABC .A ���
BC .
= 4S .

Thế thì ta có: SDMN = S ; SC �
PQ

VA �MPB �NQ
V

=

VC .C �
- (VMND.A ���
+VC .MND )
PQ
BC
V

=

1
.4S.h 3

� h 1 h�
�
�
S. + .S. �
�
�
� 2
�
1 1�
� 2 3 2�

� 4 �
�
= - �
+
=
�
�
S.h
3 �
2 6�
�
� 3

2
.
3
2
Câu 44 (VD) Cho Parabol  P  : y  x  1 và đường thẳng d : y  mx  2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị
Do đó VA �MPB �NQ =

của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào?
1
A. ( 2;  ) .
2

C. (1;

B. (0;1).

1

).
2

1
D. ( ;3) .
2

Lời giải
Chọn C

2
Phương trình hồnh độ của  P  và d là x  mx  1  0  1 .

Dễ thấy  1 ln có 2 nghiệm phân biệt. Gọi a, b  a  b  là các nghiệm của  1 thì diện tích hình
phẳng giới hạn bởi  P  và d là
b

b

b

�x 3 mx 2
�
S �
x  mx  1 dx  �
x  mx  1 dx  � 
x�
2
�3
�a

a
a
2



2






b3  a 3 m(b 2  a 2 )
b 2  ab  a 2 m(b a)

 (b a)  b  a .

1
3
2
3
2

=

 b a 

2


 b a 
 4ab .

2

 ab

3



m  b a 

1

2

�m 2 2 � 4
2
Mà a  b  m, ab  1 nên S  m  4. �  �� .
�6 3 � 3
4
Do đó min S  khi m  0 .
3
�x  1  2t
�
Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : �y  1  t và hai điểm A  1; 0;  1 , B  2;1;1 .
�z  t
�
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA  MB nhỏ nhất.

�3 1 �
B. M � ; ;0 �.
�2 2 �

A. M  1;1; 0  .

�5 1 1 �
C. M � ; ; �.
�2 2 2 �

�5 2 1 �
D. M � ; ; �.
�3 3 3 �

Lời giải
Chọn D
Do M �d nên M (1  2t ;1  t ; t ) .
MA  MB  4t 2  (t  1) 2  (t  1) 2  (2t  1) 2  t 2  (t  1) 2
2

� 1� 1 .
 6t  2  6t  6t  2  6t  2  6 �
t  �
� 2� 2
2

r
Chọn u 

2




2

r � �1 � 1 � r r � 6 3 �
6t ; 2 , v  � 6 �  t �;
�� u  v  �
�2 ; 2 �
�
� �2 � 2 �
�
�



r r r r
6 9
Ta có: MA  MB  u  v �u  v 
  6.
4 2

6t
2
1
r
r
�

� 1  1  2t � t 

Dấu đẳng thức xảy ra � u và v cùng hướng
3.
�1 � 1
6� t�
�2 � 2
�5 2 1 �
Vậy MA  MB nhỏ nhất � M � ; ; �.
�3 3 3 �

 x  như sau:
Câu 46 (VDC) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �

2
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là

A. 3 .

B. 9 .

C. 5 .
Lời giải

D. 7 .


Chọn D
  2x  2 f �
Ta có y�
 x2  2x  .
�

x  1
�2
x  2 x  a � �;  1
�
2x  2  0
�
�2
0 � � 2
��
x  2 x  b � 1;0  .
Cho y�
�
f
x

2
x

0


�
�
x 2  2 x  c � 0;1
�
�
x 2  2 x  d � 1;  �
�

 1  a  0 a � �;  1 nên phương trình vơ nghiệm.

* x 2  2 x  a  0 có �
 1  b  0 b � 1;0  nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
* x 2  2 x  b  0 có �
 1  c  0 c � 0;1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
* x 2  2 x  c  0 có �
 1  d  0 d � 1;  � nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
* x 2  2 x  d  0 có �
 0 có 7 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đơi một nên phương trình y�
2
Vậy hàm số y  f  x  2 x  có 7 cực trị.

2
Câu 47 (VDC) Cho hai số thực a  1, b  1 . Biết phương trình a xb x 1  1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tìm

2

�x x �
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  � 1 2 � 4  x1  x2  .
�x1  x2 �

A. 3 3 4 .

B. 4

C. 3 3 2 .

D.

3


4.

Lời giải
Chọn A
x x
Ta có a b

2

1

 1 � x log b a   x 2  1  0 � x 2  x log b a  1  0

�x1  x2   log b a
Do phương trình có hai nghiệm x1 , x2 nên theo định lý Viet ta có: �
�x1 x2  1
Khi đó S 

1
 4 log b a
logb2 a

Đặt t  log b a , do a  1, b  1 � t  0 . Khi đó S 
Đẳng thức xảy ra khi

1
1
 4t  2  2t  2t �3 3 4 .
2

t
t

1
1
 2t � t  3 . Vậy min S  3 3 4
2
t
2

Câu 48 (VDC) Trong hệ tọa độ Oxy , parabol y 

x2
chia đường tròn tâm O ( O là gốc tọa độ) bán kính
2

r  2 2 thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng:
A. 2 

3
.
4

B. 2 

4
.
3

C. 2 

Lời giải

Chọn B
Phương trình đường trịn: x 2  y 2  8 .
Ta có: x 2  y 2  8 � y  � 8  x 2 .

4
.
3

D.

4
.
3


.
Parabol chia hình trịn giới hạn bởi đường trịn  C  thành hai phần. Gọi S là phần diện tích giới hạn
bởi y  8  x 2 và parapol  P  : y 

x2
.
2

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C  và  P 

x  2
�
x2

8 x 
��
.
x2
2
�
2

Khi đó ta tính được S như sau.
2
2
2
�
x2 �
x2
2
2
S�
8

x

d
x

8

x
d
x


dx .
�
�
�
�
2
2
� 2
2 �
2
2

Tính I 

�8  x dx .
2

2

Đặt t  2 2 sin x � dt  2 2 cos x.dx , ta có.
I


4


4






2
 1  cos 2t  dt   4t  2sin 2t 
�8 1  sin t .cos t dt  4 �



4

2

x2
x3
Ta có: � dx 
2
6
2

2


2



4



4


4

 2  4 .

8
.
3

4
Suy ra S  2  .
3
2

Câu 49 (VDC) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 z + z + 4 và z - 1- i = z - 3 + 3i ?
A. 3 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
Ta có M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng.

�z 2 = 2 z + z + 4

�x 2 + y 2 = 4 x + 4
�
�
��
(I)
�
Từ giả thiết ta có: �
�
�
x
2
y
4
=
0
�
�
�z - 1- i = z - 3 + 3i
2
2
Tập hợp các điểm M ( x; y ) thỏa mãn x + y = 4 x + 4 là đường tròn ( H ) gồm hai cung tròn:
2
2
2
2
cung tròn ( C1 ) : x + y - 4 x - 4 = 0 với x �0 và cung tròn ( C2 ) : x + y + 4 x - 4 = 0 với
x <0 .
Suy ra tập hợp các điểm M thỏa (I) là giao điểm của đường thẳng d : x - 2 y - 4 = 0 với đường

( H ) . Vì d


có 3 điểm chung với đường ( H ) nên có 3 số phức thỏa yêu cầu bài toán.


2

2

2

Câu 50 (VDC) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) +( y - 1) +( z - 1) = 12 và
mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 2 z +11 = 0 . Xét điểm M di động trên ( P) , các điểm A,B,C phân
biệt di động trên ( S ) sao cho AM ,BM ,CM là các tiếp tuyến của ( S ) . Mặt phẳng ( ABC ) luôn đi
qua điểm cố định nào dưới đây ?
�1 1 1 �
A. E  0;3; 1 .
B. F � ; ; �.
�4 2 2 �

C. H  0; 1;3 .

�3
�
D. H � ;0; 2 �.
�2
�

Lời giải
Chọn A
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;1) , bán kính R = 2 3

Xét điểm M ( a;b;c ) ; A( x; y; z ) ta có hệ:
2
2
2
�
( x - 1) +( y - 1) +( z - 1) = 12
�
�
�
2
2
2
�
�AI + AM = IM
�
�
a - 2b + 2c +11 = 0
�
�
�
2
2
2
�
(1)
( x - 1) +( y - 1) +( z - 1) =12
�
�
�
2

2
2
2
2
2
��
12 +( x - a ) +( y - b) +( z - c ) = ( a - 1) +( b - 1) +( c - 1) (2)
�
�
�
�
a - 2b + 2c +11 = 0
(3)
�
�
Lấy (1) – (2) theo vế ta được: ( a - 1) x +( b - 1) y +( c - 1) z - a - b - c - 9 = 0

Vậy mặt phẳng ( Q ) : ( a - 1) x +( b - 1) y +( c - 1) z - a - b - c - 9 = 0 là mặt phẳng đi qua ba
tiếp điểm.
Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng ( Q ) luôn đi qua điểm cố định ( 0; 3;- 1) .