ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 51
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….

Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 55 .
B. 5! .
C. 4! .

D. 5 .

Câu 2. Cho cấp số cộng có u1 = −3 , d = 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. u5 = 15 .

B. u4 = 8 .

C. u3 = 5 .

D. u2 = 2 .

Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình log 2 ( x − 5 ) = 4 .
A. x = 3 .
B. x = 13 .
C. x = 21 .

D. x = 11 .

Câu 4. Tính thể tích của một khối lăng trụ biết khối lăng trụ đó có đường cao bằng 3a , diện tích
mặt đáy bằng 4a 2 .
A. 12a 2 .
B. 4a 3 .
C. 12a 3 .
D. 4a 2 .
Câu 5. Tập xác định của hàm số y = log 3 ( 4 − x ) là
A. ( 4; + ∞ ) .

B. [ 4; + ∞ ) .

C. ( −∞; 4 ) .

D. ( −∞; 4] .

Câu 6. Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai?

∫ f ( x ) g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
A.

B. ∫ 2 f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx .

D. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx

Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = 3a và SA vng góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD .

A.

a3
.
3

B. 9a 3 .

C. a 3 .

D. 3a 3 .

Câu 8. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng
A.

9 3
.
4

B.

27 3
.
4

C.

27 3
.

2

D.

9 3
.
2

Câu 9. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích
xung quanh của hình trụ này?
2
2
2
2
A. 24π ( cm ) .
B. 22π ( cm ) .
C. 26π ( cm ) .
D. 20π ( cm ) .
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau
1


Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( 0;3) .

B. ( 2; +∞ ) .

C. ( −∞; 0 ) .



1

D. ( 0; 2 ) .



2
Câu 11. Cho b là số thực dương khác 1 . Tính P = logb  b .b 2 ÷.



3
2

A. P = .



5
2

C. P = .

B. P = 1 .

1
4

D. P = .


Câu 12. Gọi l , h , r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình
nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là
A. S xq = π rh .

C. S xq = π rl .

B. S xq = 2π rl .

1
3

D. S xq = π r 2 h .

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = − 2.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

Câu 14. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?
y
2
1

x

−1 O


3
2

A. y = x3 + x 2 + 1 .
Câu 15. Cho hàm số y =
A. 0 .

3
2

B. y = − x 3 − x 2 + 1 . C. y = −2 x3 − 3x 2 + 1 . D. y = 2 x 3 + 3 x 2 + 1 .

2020
có đồ thị ( H ) . Số đường tiệm cận của ( H ) là?
x−2
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .

Câu 16. Giải bất phương trình log 3 ( x −1) > 2 .
A. x > 10 .
B. x < 10 .

C. 0 < x < 10 .
2

D. x ≥ 10 .



Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình sau

Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 = 0 là:
A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .

Câu 18. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có

1

∫

f ( x ) dx = 2 ;

0

A. I = 8 .

D. 1 .
3

∫
1

3

f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( x ) dx

0

C. I = 36 .

D. I = 4 .

Câu 19. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là:
A. 2 và 1
B. 1 và 2i .
C. 1 và 2 .

D. 1 và i .

B. I = 12 .

2
2
Câu 20. Cho hai số phức z1 = −1 + 2i , z2 = −1 − 2i . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng

A. 10 .

C. − 6 .

B. 10 .

D. 4 .

Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A , B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn
thẳng AB biểu diễn số phức.
y

3

A
−2
1
2

A. − + 2i .

B. −1 + 2i .

B
1

O

1 x

C. 2 − i .

1
2

D. 2 − i .

Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;1) . Hình chiếu vng góc của A trên mặt
phẳng ( Oyz ) là điểm
A. M ( 3; 0;0 ) .

B. N ( 0; −1;1) .


C. P ( 0; −1;0 ) .

D. Q ( 0;0;1) .

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :
x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 8 z + 4 = 0 . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ( S )

A. I ( 3; −2; 4 ) , R = 25 .

B. I ( −3; 2; −4 ) , R = 5 .

C. I ( 3; −2; 4 ) , R = 5 .

D. I ( −3; 2; −4 ) , R = 25 .

r

Câu 24. Vectơ n = ( 1; 2; −1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào dưới đây?
A. x + 2 y + z + 2 = 0 .

B. x + 2 y − z − 2 = 0 . C. x + y − 2 z + 1 = 0 . D. x − 2 y + z + 1 = 0 .

3


Câu 25. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
không thuộc đường thẳng d ?
A. N ( 2; −1; −3) .
B. P ( 5; −2; −1) .


x − 2 y +1 z + 3
=
=
. Điểm nào sau đây
3
−1
2

C. Q ( −1; 0; −5 ) .

D. M ( −2;1;3) .

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
AB = BC = a , BB ' = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A′B và mặt phẳng ( BCC ′B′) .
A. 45° .

B. 30° .

C. 60° .

D. 90° .

Câu 27.Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −3.
B. Hàm số có đúng một cực trị.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

Câu 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2x +1
trên đoạn [ 2;3] .
1− x

B. −2 .

A. 1 .

C. 0 .

D. − 5 .

2 3
Câu 29. Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log 2 a = x , log 2 b = y . Tính P = log 2 ( a b ) .

A. P = x 2 y 3 .

C. P = 6 xy .

B. P = x 2 + y 3 .

D. P = 2 x + 3 y .

Câu 30. Cho hàm số y = x 4 + 4 x 2 có đồ thị ( C ) . Tìm số giao điểm của đồ thị ( C ) và trục
hoành.
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình 16 x − 5.4 x + 4 ≥ 0 là:

D. 2 .

A. T = ( −∞;1) ∪ ( 4; + ∞ ) .

B. T = ( −∞;1] ∪ [ 4; + ∞ ) .

C. T = ( −∞;0 ) ∪ ( 1; + ∞ ) .

D. T = ( −∞;0] ∪ [ 1; + ∞ ) .

Câu 32. Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 ( cm ) , bán kính đáy r = 25 ( cm ) . Một thiết
diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết
diện là 12 ( cm ) . Tính diện tích của thiết diện đó.
2
A. S = 500 ( cm ) .

2
B. S = 400 ( cm ) .

4

2
C. S = 300 ( cm ) .

Câu 33. Cho I = ∫ x 1 + 2 x dx và u = 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
0

4


2
D. S = 406 ( cm ) .


3

3

1
A. I = ∫ x 2 x 2 − 1 dx .
21

(

)

B. I = ∫ u 2 ( u 2 − 1) du .
1

3

1u u 
C. I =  − ÷ .
2  5 3 1
5

3

3


1
D. I = ∫ u 2 u 2 − 1 du .
21

(

)

3
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f ( x ) = x − 3x + 2 ; g ( x ) = x + 2 là:
A. S = 8 .
B. S = 4 .
C. S = 12 .
D. S = 16 .

Câu 35. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = −3 − 5i . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức
w = z1 + z2 .

A. 3 .

C. −1 − 2i .

B. 0 .

D. −3 .

Câu 36. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 + 6 z + 13 = 0 . Tìm tọa độ
điểm M biểu diễn số phức w = ( i + 1) z1 .
A. M ( −5; −1) .

B. M ( 5;1) .
C. M ( −1; −5) .
D. M ( 1;5) .
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;1) và B ( 2;1; 0 ) . Mặt phẳng qua A và
vng góc với AB có phương trình là
A. 3 x − y − z − 6 = 0 . B. 3 x − y − z + 6 = 0 . C. x + 3 y + z − 5 = 0 . D. x + 3 y + z − 6 = 0
Câu 38. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác ABC có A ( −1;3; 2 ) , B ( 2;0;5 ) và
C ( 0; −2;1) . Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC là.
x +1 y − 3 z − 2
x +1 y − 3
=
=
=
=
A.
.
B.
2
−4
−2
−2
−4
x − 2 y + 4 z −1
x −1 y + 3
=
=
=
=
C.
.

D.
−1
3
2
2
−4

z−2
.
1
z+2
.
1

Câu 39. Người ta muốn chia tập hợp 16 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12 A, 5 học sinh lớp 12
B và 8 học sinh lớp 12 C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 8 học sinh. Xác suất sao cho ở mỗi
nhóm đều có học sinh lớp 12 A và mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12 B là:
A.

42
.
143

B.

84
.
143

C.


356
.
1287

D.

56
.
143

Câu 40. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là một tam giác vuông cân tại B ,
AB = BC = a , AA′ = a 2 , M là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B′C .
A.

a
.
7

B.

a 3
.
2

C.

2a
.

5

D. a 3 .

3
2
2
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x + 3x − ( m − 3m + 2 ) x + 5 đồng

biến trên ( 0; 2 ) ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .
5

D. 1 .


Câu 42. Một người tham gia chương trình bảo hiểm HÀNH TRÌNH HẠNH PHÚC của cơng ty
Bảo Hiểm MANULIFE với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng
vào cơng ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau
đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả
làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.
A. 403,32 (triệu đồng).
B. 293,32 (triệu đồng).
C. 412, 23 (triệu đồng).
D. 393,12 (triệu đồng).
Câu 43. Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d . Hàm số luôn đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi.

 a = b = 0; c > 0

A. 

 a = b = 0; c > 0

C. 

 a > 0; b − 3ac ≥ 0
2

B. a ≥ 0; b 2 − 3ac ≤ 0 .

.

2
 a > 0; b − 4ac ≤ 0

 a = b = 0; c > 0

.

D. 

2
 a > 0; b − 3ac ≤ 0

.

Câu 44. Cho hình thang ABCD vng tại A và D , AD = CD = a , AB = 2a . Quay hình thang

ABCD quanh đường thẳng CD . Thể tích khối tròn xoay thu được là:
5π a 3
7π a 3
4π a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. π a 3 .
3

3

3

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1; 4 ] , đồng biến trên đoạn [ 1; 4] và
thỏa mãn đẳng thức x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [ 1; 4] .
2

Biết rằng f ( 1) =
A. I =

1186
.
45

4


3
, tính I = ∫ f ( x ) dx ?
2
1

B. I =

1174
.
45

C. I =

1222
.
45

D. I =

1201
.
45

Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;π ] của phương trình 3f (2sin x) + 1= 0 là
A. 4 .

C. 2 .


B. 5 .

D. 6 .

3
2
Câu 47. Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2 y + 7 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x + 3 ( 2 y + 1) .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2 y .
A. P = 8 .
B. P = 10
C. P = 4 .

6

D. P = 6 .


4
3
2
Câu 48. Cho hàm số f ( x ) = x − 4 x + 4 x + a . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên [ 0; 2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [ −4; 4] sao cho M ≤ 2m
A. 7 .
B. 5 .
C. 6
D. 4 .
Câu 49. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của
các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ .

2020
4034
8068
2020
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
81
27
27
Câu 50. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3 + y 3 = a.103 z + b.102 z đúng với mọi các số thực

A.

2
2
dương x , y , z thoả mãn log ( x + y ) = z và log ( x + y ) = z + 1 . Giá trị của a + b bằng

A.

31
.
2

B.


29
.
2

C. −

31
.
2

-------------- HẾT ------------------

7

D. −

25
.
2


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 55 .
B. 5! .
C. 4! .
Lời giải
Chọn B.
Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5! .


D. 5 .

Câu 2. Cho cấp số cộng có u1 = −3 , d = 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. u5 = 15 .

B. u4 = 8 .

C. u3 = 5 .
Lời giải

D. u2 = 2 .

Chọn C.
Ta có u3 = u1 + 2d = −3 + 2.4 = 5 .
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình log 2 ( x − 5 ) = 4 .
A. x = 3 .
B. x = 13 .
C. x = 21 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có, log 2 ( x − 5 ) = 4 ⇔ x − 5 = 16 ⇔ x = 21 .

D. x = 11 .

Câu 4. Tính thể tích của một khối lăng trụ biết khối lăng trụ đó có đường cao bằng 3a , diện tích
mặt đáy bằng 4a 2 .
A. 12a 2 .
B. 4a 3 .
C. 12a 3 .

D. 4a 2 .
Lời giải
Chọn C.
2
3
Áp dụng cơng thức thể tích khối lăng trụ ta có được: V = Sđ .h = 4a .3a = 12a .
Câu 5. Tập xác định của hàm số y = log 3 ( 4 − x ) là
A. ( 4; + ∞ ) .

B. [ 4; + ∞ ) .
C. ( −∞; 4 ) .
Lời giải

D. ( −∞; 4] .

Chọn C.
Điều kiện 4 − x > 0 ⇔ x < 4 .
Câu 6. Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai?

∫ f ( x ) g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
A.

B. ∫ 2 f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx .
D.

Lời giải


Chọn A
Nguyên hàm không có tính chất ngun hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
8


Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.
Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = 3a và SA vng góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A.

a3
.
3

B. 9a 3 .

C. a 3 .

D. 3a 3 .

Lời giải
Chọn C.

2
Ta có diện tích đáy ABCD : S ABCD = a .
Đường cao SA = 3a .

1
3


1
3

Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V = S ABCD .SA = .a 2 .3a = a 3 .
Câu 8. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng
A.

9 3
.
4

B.

27 3
.
4

C.

27 3
.
2

D.

9 3
.
2


Lời giải.
Chọn B.

A′

C′
B′

A

C
B

1
2

Diện tích đáy: S∆ABC = .3.3.sin 60° =

9 3
27 3
. Thể tích Vlt = S ∆ABC . AA′ =
4
4

Câu 9. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích
xung quanh của hình trụ này?
2
2
2
2

A. 24π ( cm ) .
B. 22π ( cm ) .
C. 26π ( cm ) .
D. 20π ( cm ) .
Lời giải
Chọn A.

2
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, ta có: S xq = 2π R.l = 2π .3.4 = 24π ( cm )

9


Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( 0;3) .

B. ( 2; +∞ ) .

C. ( −∞; 0 ) .
Hướng dẫn giải

D. ( 0; 2 ) .

Chọn D.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) .
 2 12 
P
=

log
Câu 11. Cho b là số thực dương khác 1 . Tính
b  b .b ÷.


3
5
A. P = .
B. P = 1 .
C. P = .
2
2

1
4

D. P = .

Hướng dẫn giải
Chọn C.


1



5

5
2


5
2

2
Ta có P = logb  b .b 2 ÷ = log b b 2 = log b b = .





Câu 12. Gọi l , h , r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình
nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là
A. S xq = π rh .

C. S xq = π rl .

B. S xq = 2π rl .

1
3

D. S xq = π r 2 h .

Lời giải
Chọn C.
S xq = π rl .

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = − 2.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.
Lời giải

Chọn A.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = y ( 2 ) = 3.
10


Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = y ( 4 ) = −2.

Câu 14. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?
y
2
1

x

−1 O

3
2

A. y = x3 + x 2 + 1 .

3

2

B. y = − x 3 − x 2 + 1 . C. y = − 2 x3 − 3 x 2 + 1 . D. y = 2 x 3 + 3 x 2 + 1 .
Lời giải

Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
+ a > 0 ⇒ loại B, C.
+ Khi x = −1 thì y = 2
Câu 15. Cho hàm số y =

2020
có đồ thị ( H ) . Số đường tiệm cận của ( H ) là?
x−2

A. 0 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. 1 .

Chọn B.
Đồ thị ( H ) có tiệm cận đứng là x = 2.
y = lim
Ta có xlim
→±∞
x →±∞


2020
= 0 ⇒ ( H ) có tiệm cận ngang là y = 0.
x−2

Vậy số đường tiệm cận của ( H ) là 2
Câu 16. Giải bất phương trình log 3 ( x −1) > 2 .
A. x > 10 .
B. x < 10 .

C. 0 < x < 10 .
Lời giải

D. x ≥ 10 .

Chọn A.
Điều kiện x > 1 , ta có log 3 ( x − 1) > 2 ⇔ x − 1 > 32 ⇔ x > 10 .
Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình
f ( x ) + 3 = 0 là:

11


A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .
Lời giải


D. 1 .

Chọn C.
Đồ thị hàm số y = f ( x ) + 3 được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách tịnh tiến
đồ thị hàm số y = f ( x ) theo chiều dương trục tung 3 đơn vị.
Bảng biến thiên của đồ thị hàm số y = f ( x ) + 3 là

Vậy số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 = 0 là 2 .
Câu 18. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và có

1

3

0

1

∫ f ( x ) dx = 2 ; ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính

3

I = ∫ f ( x ) dx
0

.
A. I = 8 .

C. I = 36 .
Lời giải


B. I = 12 .

D. I = 4 .

Chọn A.
3

1

3

0

0

1

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 6 = 8 .

Câu 19. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là:
A. 2 và 1
B. 1 và 2i .
C. 1 và 2 .
Lời giải
Chọn C.
Số phức z = 1 + 2i có phần thực và phần ảo lần lượt là 1 và 2 .

D. 1 và i .


2
2
Câu 20. Cho hai số phức z1 = −1 + 2i , z2 = −1 − 2i . Giá trị của biểu thức z1 + z2 bằng

C. − 6 .
Lời giải

B. 10 .

A. 10 .
Chọn B.
2

2

Ta có z1 + z2 =

(

( −1)

2

+2

2

) +(
2


( −1)

2

+ ( −2 )

2

)

2

D. 4 .

= 10 .

Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A , B như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn
thẳng AB biểu diễn số phức.
y
3

A
−2
12

B
1

O


1 x


1
2

B. −1 + 2i .

A. − + 2i .

1
2

C. 2 − i .

D. 2 − i .

Lời giải
Chọn A.
 1



1

Trung điểm AB là I  − ; 2 ÷ biểu diễn số phức là z = − + 2i .
2
 2 
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;1) . Hình chiếu vng góc của A trên mặt
phẳng ( Oyz ) là điểm

A. M ( 3; 0;0 ) .

B. N ( 0; −1;1) .

C. P ( 0; −1;0 ) .
Lời giải

D. Q ( 0;0;1) .

Chọn B.
Cách 1. Tự luận:
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng ( Oyz ) .
r
Mặt phẳng ( Oyz ) : x = 0 có VTPT n = ( 1;0;0 ) .
r
Đường thẳng AH qua A ( 3; −1;1) và vng góc với ( Oyz ) nên nhận n = ( 1; 0;0 ) làm
VTCP.
x = 3 + t

⇒ AH :  y = −1 ( t ∈¡
z = 1


)

⇒ H ( 3 + t ; −1;1) .

Mà H ∈ ( Oyz ) ⇒ 3 + t = 0 ⇒ H ( 0; −1;1) .
Cách 2: Trắc nghiệm
Với M ( a; b; c ) thì hình chiếu của nó trên ( Oyz ) là M ′ ( 0; b; c ) . Do đó chọ đáp án B.

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :
x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 8 z + 4 = 0 . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ( S )

.
A. I ( 3; −2; 4 ) , R = 25 .

B. I ( −3; 2; −4 ) , R = 5 .

C. I ( 3; −2; 4 ) , R = 5 .

D. I ( −3; 2; −4 ) , R = 25 .
Lời giải

Chọn C.
Mặt cầu ( S ) có tâm là I ( 3; −2; 4 ) .
Bán kính của mặt cầu ( S ) là R =

( 3)

2

+ ( −2 ) + ( 4 ) − 4 = 5 .
2

2

r

Câu 24. Vectơ n = ( 1; 2; −1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào dưới đây?
A. x + 2 y + z + 2 = 0 .


B. x + 2 y − z − 2 = 0 . C. x + y − 2 z + 1 = 0 . D. x − 2 y + z + 1 = 0 .
Lời giải

Chọn B.
r
Mặt phẳng x + 2 y − z − 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = ( 1; 2; −1) .
13


Câu 25. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :

x − 2 y +1 z + 3
=
=
. Điểm nào sau đây
3
−1
2

không thuộc đường thẳng d ?
A. N ( 2; −1; −3) .
B. P ( 5; −2; −1) .
C. Q ( −1; 0; −5 ) .
Lời giải
Chọn D.
Nhận xét N , P, Q thuộc đường thẳng d .
Tọa độ điểm M không thuộc đường thẳng d .

D. M ( −2;1;3) .


Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng tại B ,
AB = BC = a , BB ' = a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A′B và mặt phẳng ( BCC ′B′) .

A. 45° .

B. 30° .

C. 60° .

D. 90° .

Lời giải
Chọn B.

Hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ nên BB′ ⊥ ( A′B′C ′ ) ⇒ BB′ ⊥ A′B′ ⇒ A′B′ ⊥ BB′
Bài ra có AB ⊥ BC ⇒ A′B′ ⊥ B′C ′ .
Kết hợp với ( 1) ⇒ A′B′ ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ (·A′B; ( BCC ′B′ ) ) = ·A′BB′

a
1
A′B′
=
=
⇒ tan (·A′B; ( BCC ′B′ ) ) = tan ·A′BB′ =
⇒ (·A′B; ( BCC ′B′ ) ) = 30° .
BB′ a 3
3

Câu 27.Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:


Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −3.
B. Hàm số có đúng một cực trị.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.
14

( 1)


Lời giải
Chọn C
Dựa vào BBT ta có khẳng định đúng là C.
Câu 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2x +1
trên đoạn [ 2;3] .
1− x

B. −2 .

A. 1 .

C. 0 .
Lời giải

D. − 5 .

Chọn D.

y′ =

3

( − x + 1)

2

> 0 ∀x ≠ 1 ⇒ min y = y ( 2 ) = −5 .
[ 2;3]

2 3
Câu 29. Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log 2 a = x , log 2 b = y . Tính P = log 2 ( a b ) .

A. P = x 2 y 3 .

B. P = x 2 + y 3 .

C. P = 6 xy .
Lời giải

D. P = 2 x + 3 y .

Chọn D.
P = log 2 ( a 2b3 ) = log 2 a 2 + log 2 b3 = 2 log 2 a + 3log 2 b = 2 x + 3 y .

Câu 30. Cho hàm số y = x 4 + 4 x 2 có đồ thị ( C ) . Tìm số giao điểm của đồ thị ( C ) và trục
hoành.
A. 0 .


B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C.
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị ( C ) và trục hoành: x 4 + 4 x 2 = 0 ⇔ x = 0 .
Vậy đồ thị ( C ) và trục hồnh có 1 giao điểm.
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình 16 x − 5.4 x + 4 ≥ 0 là:
A. T = ( −∞;1) ∪ ( 4; + ∞ ) .

B. T = ( −∞;1] ∪ [ 4; + ∞ ) .

C. T = ( −∞;0 ) ∪ ( 1; + ∞ ) .

D. T = ( −∞;0] ∪ [ 1; + ∞ ) .
Lời giải

Chọn D.
Đặt t = 4 x , t > 0 .
4x ≥ 4
t ≥ 4
t ≥ 4
x ≥ 1
⇔
⇔
⇔
⇔

16 − 5.4 + 4 ≥ 0 trở thành t − 5.t + 4 ≥ 0

t ≤ 1
0 < t ≤ 1
x ≤ 0 .
x



0 < 4 ≤ 1
x

x

2

Vậy T = ( −∞; 0] ∪ [ 1; + ∞ ) .

Câu 32. Cho hình nón trịn xoay có chiều cao h = 20 ( cm ) , bán kính đáy r = 25 ( cm ) . Một thiết
diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết
diện là 12 ( cm ) . Tính diện tích của thiết diện đó.
2
A. S = 500 ( cm ) .

2
B. S = 400 ( cm ) .

15

2

C. S = 300 ( cm ) .

2
D. S = 406 ( cm ) .


Lời giải
Chọn A.
S

K
A
O

I
B

Theo bài ra ta có AO = r = 25; SO = h = 20; OK = 12 (Hình vẽ).
Lại có

1
1
1
= 2+
⇒ OI = 15 ( cm )
2
OK
OI
OS 2


1
AB = 2 AI = 252 − 152 = 40 ( cm ) ; SI = SO 2 + OI 2 = 25 ( cm ) ⇒ S ∆SAB = .25.40 = 500 ( cm 2 ) .
2
4

Câu 33. Cho I = ∫ x 1 + 2 x dx và u = 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
0

3

3

1
A. I = ∫ x 2 x 2 − 1 dx .
21

(

)

B. I = ∫ u 2 ( u 2 − 1) du .
1

3

1u u 
C. I =  − ÷ .
2  5 3 1
5


3

3

1
D. I = ∫ u 2 u 2 − 1 du .
21

(

)

Lời giải
Chọn B.
4

I = ∫ x 1 + 2 x dx
0

Đặt u = 2 x + 1 ⇒ x =

1 2
( u − 1) ⇒ dx = u du , đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 , x = 4 ⇒ u = 3 .
2

3

1
2
2

Khi đó I = ∫ ( u − 1) u du .
21
3
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f ( x ) = x − 3x + 2 ; g ( x ) = x + 2 là:
A. S = 8 .
B. S = 4 .
C. S = 12 .
D. S = 16 .
Lời giải
Chọn A.
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị

x = 0
x3 − 3x + 2 = x + 2 ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔ 
 x = ±2

16


0

Diện tích cần tìm S =

∫x

−2

2

3


− 4 x dx + ∫ x − 4 x dx =
3

0

0

∫(x

−2

2

3

− 4 x ) dx − ∫ ( x 3 − 4 x ) dx
0

 x4
 0  x4
2
=  − 2x2 ÷ −  − 2 x2 ÷ = 8 .
 4
 −2  4
0

Câu 35. Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = −3 − 5i . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức
w = z1 + z2 .


A. 3 .

C. −1 − 2i .
Lời giải

B. 0 .

D. −3 .

Chọn D.
w = z1 + z2 = 2 + 3i − 3 − 5i = −1 − 2i . Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức w là −3
.
Câu 36. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 + 6 z + 13 = 0 . Tìm tọa độ
điểm M biểu diễn số phức w = ( i + 1) z1 .
A. M ( −5; −1) .
B. M ( 5;1) .
C. M ( −1; −5) .
D. M ( 1;5) .
Lời giải
Chọn A.
 z1 = −3 + 2i
. Suy ra w = ( i + 1) z1 = ( 1 + i ) ( −3 + 2i ) = −5 − i .
z
=
−
3
−
2
i
 2


2
Ta có z + 6 z + 13 = 0 ⇔ 

Vậy tọa độ điểm M biểu diễn số phức w = ( i + 1) z1 là M ( −5; −1) .

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;1) và B ( 2;1; 0 ) . Mặt phẳng qua A và
vng góc với AB có phương trình là
A. 3x − y − z − 6 = 0 . B. 3x − y − z + 6 = 0 . C. x + 3 y + z − 5 = 0 . D. x + 3 y + z − 6 = 0
.
Lời giải
Chọn B.
uuu
r

Ta có AB = ( 3; − 1; − 1) .

uuu
r

Mặt phẳng cần tìm vng góc với AB nên nhận AB = ( 3; − 1; − 1) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó phương trình của mặt phẳng cần tìm là
3 ( x + 1) − ( y − 2 ) − ( z − 1) = 0 ⇔ 3 x − y − z + 6 = 0 .

Câu 38. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác ABC có A ( −1;3; 2 ) , B ( 2;0;5) và
C ( 0; −2;1) . Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC
x +1 y − 3 z − 2
x +1 y − 3
=
=

=
=
A.
.
B.
2
−4
−2
−2
−4
x − 2 y + 4 z −1
x −1 y + 3
=
=
=
=
C.
.
D.
−1
3
2
2
−4

Lời giải
17

là.
z−2

.
1
z+2
.
1


Chọn B.

uuuu
r

Ta có: M ( 1; −1;3) ; AM = ( 2; −4;1) . Phương trình AM :

x +1 y − 3 z − 2
=
=
.
2
−4
1

Câu 39. Người ta muốn chia tập hợp 16 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12 A, 5 học sinh lớp 12
B và 8 học sinh lớp 12 C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 8 học sinh. Xác suất sao cho
ở mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12 A và mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12 B là:
A.

42
.
143


B.

84
.
143

C.

356
.
1287

D.

56
.
143

Hướng dẫn giải
Chọn A.
8
Ta có n ( Ω ) = C16 = 12870 .
Số cách chia nhóm thỏa mãn bài tốn là số cách chọn ra một tổ có số học sinh lớp 12 A
từ 1 đến 2 em, số học sinh lớp 12 B là 2 em, còn lại là học sinh lớp 12 C.
Khi đó xảy ra các trường hợp sau:
TH1: 2 học sinh 12 B + 2 học sinh 12 A + 4 học sinh 12 C
2
2
4

Có: C5 .C3 .C8 = 2100 .
TH2: 2 học sinh 12 B + 1 học sinh 12 A + 5 học sinh 12 C
2
1
5
Có: C5 .C3 .C8 = 1680 .
⇒ n ( A ) = 2100 + 1680 = 3780 .

Vậy xác suất cần tìm là P ( A ) =

n ( A)

n ( Ω)

=

3780
42
=
.
12870 143

Câu 40. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là một tam giác vng cân tại B ,
AB = BC = a , AA′ = a 2 , M là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B′C .
A.

a
.
7


B.

a 3
.
2

C.

2a
.
5

D. a 3 .

Lời giải
Chọn A.

Gọi E là trung điểm của BB′ . Khi đó: EM // B′C ⇒ B′C // ( AME )
Ta có: d ( AM , B′C ) = d ( B′C , ( AME ) ) = d ( C , ( AME ) ) = d ( B, ( AME ) )
Xét khối chóp BAME có các cạnh BE , AB , BM đơi một vng góc với nhau nên
18


1
1
1
1
1
7

a2
2
=
+
+
⇔
=
⇔ d ( B, ( AME ) ) =
d 2 ( B, ( AME ) ) AB 2 MB 2 EB 2
d 2 ( B, ( AME ) ) a 2
7
a
⇔ d ( B, ( AME ) ) =
.
7
3
2
2
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x + 3x − ( m − 3m + 2 ) x + 5 đồng

biến trên ( 0; 2 ) ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .
Lời giải

D. 1 .


Chọn B.

3
2
2
2
2
Ta có y = x + 3 x − ( m − 3m + 2 ) x + 5 ⇒ y ′ = 3x + 6 x − ( m − 3m + 2 ) .

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) khi
y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) và dấu '' = '' chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng ( 0; 2 ) .

⇔ 3x 2 + 6 x − ( m 2 − 3m + 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )
⇔ 3 x 2 + 6 x ≥ m 2 − 3m + 2 ( *) ∀x ∈ ( 0; 2 )
2
Xét hàm số g ( x ) = 3x + 6 x, x ∈ ( 0; 2 ) .

Ta có g ′ ( x ) = 6 x + 6 > 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) .
Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để ( *) xảy ra là: m 2 − 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 2 .
Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈{ 1; 2} .
Câu 42. Một người tham gia chương trình bảo hiểm HÀNH TRÌNH HẠNH PHÚC của công ty
Bảo Hiểm MANULIFE với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng
vào cơng ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau
đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả
làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.
A. 403,32 (triệu đồng).
B. 293,32 (triệu đồng).
C. 412, 23 (triệu đồng).

D. 393,12 (triệu đồng).
Lời giải
Chọn D.
Gọi số tiền đóng hàng năm là A = 12 (triệu đồng), lãi suất là r = 6% = 0, 06 .

19


Sau 1 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là A1 = A ( 1 + r ) . (nhưng
người đó khơng rút mà lại đóng thêm A triệu đồng nữa, nên số tiền gốc để tính lãi
năm sau là A1 + A ).
Sau 2 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:
A2 = ( A1 + A ) ( 1 + r ) =  A ( 1 + r ) + A  ( 1 + r ) = A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) .
2

Sau 3 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:
A3 = ( A2 + A ) ( 1 + r ) =  A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) + A  ( 1 + r ) = A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) .


2

3

2

…
Sau 18 năm, người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là:
A18 = A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) + ... + A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) .
18


17

2

Tính: A18 = A ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + 1 − 1 .
18

17

2

 ( 1 + r ) 19 − 1 
 ( 1 + r ) 19 − 1 
 ( 1 + 0, 06 ) 19 − 1 
⇒ A18 = A 
− 1 = A 
− 1 = 12 
− 1 ≈ 393,12 .
r
0, 06
 ( 1 + r ) − 1






Câu 43. Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d . Hàm số luôn đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi.
 a = b = 0; c > 0


A. 

 a = b = 0; c > 0

C. 

 a > 0; b − 3ac ≥ 0
2

B. a ≥ 0; b 2 − 3ac ≤ 0 .

.

2
 a > 0; b − 4ac ≤ 0

 a = b = 0; c > 0

.

D. 

2
 a > 0; b − 3ac ≤ 0

.

Lời giải
Chọn D.
Ta có y′ = 3ax 2 + 2bx + c

b = 0
.
c > 0

TH1: a = 0 có y′ = 2bx + c để hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 

a > 0
2
∆′ = b − 3ac ≤ 0

TH2: a ≠ 0 để hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 

 a = b = 0; c > 0

Vậy để để hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 

2
 a > 0; b − 3ac ≤ 0

.

Câu 44. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , AD = CD = a , AB = 2a . Quay hình thang
ABCD quanh đường thẳng CD . Thể tích khối trịn xoay thu được là:
5π a 3
7π a3
4π a3
A.
.
B.
.

C.
.
D. π a 3 .
3

3

3

20


Lời giải
Chọn A.

Gọi ( T ) là khối trụ có đường cao là 2a , bán kính đường trịn đáy là a và ( N ) là khối
nón có đường cao là a , bán kính đường trịn đáy là a .
Ta có:
2
Thể tích khối trụ ( T ) là: V1 = π .a .2a = 2π .a 3 .
1
π .a3
Thể tích khối nón ( N ) là: V2 = π .a 2 .a =
.
3

3

π .a
5π a

=
Thể tích khối trịn xoay thu được là: V = V1 − V2 = 2π .a 3 −
.
3
3
3

3

Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 1; 4 ] , đồng biến trên đoạn [ 1; 4] và
3

thỏa mãn đẳng thức x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [ 1; 4] . Biết rằng f ( 1) = , tính
2
2

4

I = ∫ f ( x ) dx ?
1

A. I =

1186
.
45

B. I =

1174

.
45

C. I =

1222
.
45

D. I =

1201
.
45

Lời giải
Chọn A.

f ′( x)

2
= x , ∀x ∈ [ 1; 4] .
Ta có x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  ⇒ x . 1 + 2 f ( x ) = f ′ ( x ) ⇒
1+ 2 f ( x)

Suy ra

f ′( x)

∫


dx = ∫ xdx + C ⇔ ∫

1+ 2 f ( x)

df ( x )

1+ 2 f ( x)

dx = ∫ x dx + C
2

 2 32 4 
3
4
2
 x + ÷ −1 .
⇒ 1 + 2 f ( x ) = x + C . Mà f ( 1) = ⇒ C = . Vậy
3
3
2
3
3
f ( x) = 
2
3
2

4


Vậy I = ∫ f ( x ) dx =
1

1186
.
45

Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

21


Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;π ] của phương trình 3f (2sin x) + 1= 0 là
A. 4 .

C. 2 .

B. 5 .

D. 6 .

Lời giải.
Chọn A.

1
3

Đặt t = 2sin x . Vì x∈ [ −π ;π ] nên t∈ [ −2;2] . Suy ra 3f (t) + 1= 0 ⇔ f (t) = − .
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f (t) = −


t2 ∈ ( 0;2)
Suy ra: sinx =

1
có 2 nghiệm t1 ∈ ( −2;0) và
3

t1
t
∈ (−1;0) và sinx = 2 ∈ (0;1).
2
2

Với sinx =

t1
∈ (−1;0) thì phương trình có 2 nghiệm −π < x1 < x2 < 0.
2

Với sinx =

t2
∈ (0;1) thì phương trình có 2 nghiệm 0 < x3 < x4 < π .
2

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ;π ]
3
2
Câu 47. Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2 y + 7 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x + 3 ( 2 y + 1) .


Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2 y .
A. P = 8 .
B. P = 10
C. P = 4 .

D. P = 6 .

Lời giải
Chọn C.

(

)

2 y3 + 7 y + 2x 1 − x = 3 1 − x + 3 2 y 2 + 1 .

⇔ 2 ( y 3 − 3 y 2 + 3 y − 1) + ( y − 1) = 2 ( 1 − x ) 1 − x + 3 1 − x − 2 1 − x .
⇔ 2 ( y − 1) + ( y − 1) = 2
3

(

1− x

)

3

+ 1 − x ( 1) .


3
+ Xét hàm số f ( t ) = 2t + t trên [ 0; + ∞ ) .
2
Ta có: f ′ ( t ) = 6t + 1 > 0 với ∀t ≥ 0 ⇒ f ( t ) luôn đồng biến trên [ 0; + ∞ ) .

Vậy ( 1) ⇔ y − 1 = 1 − x ⇔ y = 1 + 1 − x .
⇒ P = x + 2 y = x + 2 + 2 1 − x với ( x ≤ 1) .
22


+ Xét hàm số g ( x ) = 2 + x + 2 1 − x trên ( −∞;1] .
1
1− x −1 ′
=
. g ( x) = 0 ⇒ x = 0 .
1− x
1− x
Bảng biến thiên g ( x ) :

Ta có: g ′ ( x ) = 1 −

g ( x) = 4 .
Từ bảng biến thiên của hàm số g ( x ) suy ra giá trị lớn nhất của P là: max
( −∞;1]
4
3
2
Câu 48. Cho hàm số f ( x ) = x − 4 x + 4 x + a . Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên [ 0; 2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [ −4; 4] sao cho M ≤ 2m

?
A. 7 .
B. 5 .
C. 6
D. 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
3
3
2
Xét hàm số g ( x ) = x − 4 x + 4 x + a trên [ 0; 2] .
x = 0
g ′ ( x ) = 4 x − 12 x + 8 x ; g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 ; g ( 0 ) = a , g ( 1) = a + 1 , g ( 2 ) = a .

 x = 2
3

2

Suy ra: a ≤ g ( x ) ≤ a + 1 .
f ( x ) = a + 1 ; m = min f ( x ) = a .
TH1: 0 ≤ a ≤ 4 ⇒ a + 1 ≥ a > 0 ⇒ M = max
[ 0;2]
[ 0;2]
0 ≤ a ≤ 4
⇒ 1 ≤ a ≤ 4 . Do đó: có 4 giá trị của a thỏa mãn.
 a + 1 ≤ 2a

Suy ra: 


TH2: −4 ≤ a ≤ −1 ⇒ a ≤ a + 1 ≤ −1 ⇒ a + 1 ≤ a
⇒ M = max f ( x ) = a = − a ; m = min f ( x ) = a + 1 = − a − 1 .
[ 0;2]
[ 0;2]
 −4 ≤ a ≤ −1
⇒ − 4 ≤ a ≤ −2 . Do đó: có 3 giá trị của a thỏa mãn.
 − a ≤ −2 a − 2

Suy ra: 

Vậy có tất cả 7 giá trị thỏa mãn.
Câu 49. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của
các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ .
A.

2020
.
9

B.

4034
.
81

C.
Lời giải

Chọn D.
23


8068
.
27

D.

2020
.
27


A

N
P

M
B
Q

E

D

F
G

C


VAEFG S EFG 1
1
=
= ⇒ VAEFG = VABCD
VABCD S BCD 4
4
( Do E , F , G lần lượt là trung điểm của BC , BD, CD ).
VAMNP SM SN SP
8
8
8 1
2
=
.
.
=
⇒ VAMNP = VAEFG = . VABCD = VABCD
VAEFG
SE SE SG 27
27
27 4
27
VQMNP 1
1
= ⇔ VQMNP = VAMNP
Do mặt phẳng ( MNP ) // ( BCD ) nên
VAMNP 2
2
1 2
1

2017
VQMNP = . VABCD = VABCD =
.
2 27
27
27
Câu 50. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3 + y 3 = a.103 z + b.102 z đúng với mọi các số thực
2
2
dương x , y , z thoả mãn log ( x + y ) = z và log ( x + y ) = z + 1 . Giá trị của a + b bằng

A.

31
.
2

B.

29
.
2

C. −

31
.
2

Lời giải

Chọn B.
Đặt t = 10 z . Khi đó x3 + y 3 = a.t 3 + b.t 2 .

z
log ( x + y ) = z
 x + y = 10 = t
t 2 − 10.t
⇔
⇒
xy
=
Ta có 
.

2
2
2
2
z
2
 x + y = 10.10 = 10t
log ( x + y ) = z + 1
3t t 2 − 10t
1
Khi đó x3 + y 3 = ( x + y ) 3 − 3xy ( x + y ) = t 3 −
= − t 3 + 15t 2 .
2
2
1
Suy ra a = − , b = 15 .

2
29
Vậy a + b = .
2

(

24

)

D. −

25
.
2