ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 50
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….

Câu 1.
Câu 2.

Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang?
A. 20 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 120 .
Cho cấp số cộng  un  có u1  3 và cơng sai d  5 . Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng.
A. 185 .

Câu 3.

B. 255 .

C. 480 .

D. 250 .

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.  2; � .
B.  3;1 .
C.  0; 2  .
D.  �; 2  .
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Câu 5.

Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. x =- 1 .
B. x = 1 .
C. x = 2 .
Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

D. x =- 2 .

Hàm số f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .
Trang 1



Câu 6.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

3 x +1
là
1- x

A. y = 1 .
B. y =- 1 .
C. y = 3 .
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?

D. y =- 3 .

A. y  x 3  3x  1 .
B.
3
y  x  3x  1 .
D.
x2
Câu 8. Đồ thị hàm số y 
cắt trục
x2
bằng
A. 0 .
B. 1 .
a
,
b

Câu 9. Cho các số thực dương
thỏa

y   x 3  3x 2  1 . C.
y  x3  3x 2  1 .

hoành tại điểm có hồnh độ
C. 2 . D. 2 .
mãn log a  x, log b  y . Tính

�a3 �
P  log � 5 �.
�b �
x3
B. P  x 3  y 5 .
5 .
y
Câu 10. Đạo hàm của hàm số y  a x (a  0, a �1) là

A. P 

 a x .ln a .
A. y�

 ax .
B. y�

Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý,
2


3

D. 3 x  5 y .

C. 15xy .

C. y�


ax
.
ln a

 x.a x 1 .
D. y�

a 2 bằng

3

A. a 3 .
B. a 2 .
Câu 12. Nghiệm của phương trình 34 x2  81 là
1
3
A. x  .
B. x  .
2
2


1

C. a 6 .

D. a 6 .

1
C. x   .
2

3
D. x   .
2

C. x  32 .

D. x  3 .

Câu 13. Nghiệm của phương trình log 3  2 x   4
A. x 

27
.
2

B. x 

81
.
2


Câu 14. Cho hàm số f  x   2 x 2  3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

2

3

 3x  C .

B.

f  x  dx  x
�
3

2

3

 3x  C .

D.

f  x  dx  x
�
3

A.

f  x  dx  x

�
3

C.

f  x  dx  x
�
3

2

3

2

3

3C .
C .

Câu 15. Cho hàm số f  x   sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

f  x  dx  3cos 3 x  C .
�

C.

f  x  dx   cos 3 x  C .
�

3

Câu 16. Nếu

1

2

2

2

0

0

0

1

B.

f  x  dx  cos 3x  C .
�
3

D.

f  x  dx  3cos 3 x  C .
�


f  x  dx  5 và �
g  x  dx  3 thì �
�
�f  x   3 g  x  �
�dx bằng
�

A. 14 .

B. 4 .

C. 8 .

D. 2 .

Trang 2



4

Câu 17. Tích phân cos xdx bằng
�
0

A.

2
1 .

2

B.

2
.
2

C. 

2
.
2

D. 1 

2
.
2

Câu 18. Cho số phức z  4  3i . Môđun của số phức z bằng
A. 5 .
B. 25 .
C. 7 .
D. 1 .
Câu 19. Cho số phức z  1  2i . Phần ảo của số phức liên hợp với z là
A. 2 .
B. 2i .
C. 2i .
D. 2 .

Câu 20. Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử A là điểm biểu diễn của số
phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Gọi I là trung điểm AB . Khi đó, I biểu diễn cho số
phức

3
3
i.
C. z3    2i .
D. z3  3  2i .
2
2
Một hình nón có diện tích đáy bằng 16 (đvdt) có chiều cao h  3 . Thể tích hình nón bằng
16
16
 (đvtt).
A. 16 (đvtt).
B.
(đvtt).
C.
D. 8 (đvtt).
3
3
Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh a  3 bằng
A. 27 .
B. 9 .
C. 6 .
D. 16 .
Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là:
1
1 2

A. V   rh .
B. V   r 2 h .
C. V   rh .
D. V   r h .
3
3
l

5
Một hình nón có bán kính đáy r  4 cm và độ dài đường sinh
cm. Diện tích xung quanh của hình
nón đó bằng
A. 20 cm 2 .
B. 40 cm 2 .
C. 80 cm 2 .
D. 10 cm 2 .
A. z3  3  2i .

Câu 21.

Câu 22.
Câu 23.

Câu 24.

B. z3 

Câu 25. Trong không gian Oxyz cho ABC , biết A  1;  4; 2  , B  2;1;  3 , C  3;0;  2  . Trọng tâm G của

ABC có tọa độ là

A. G  0;  3;  3 .

B. G  0;  1;  1 .

C. G  6;  3;  3 .

D. G  2;  1;  1 .

Câu 26. Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  6   25 có tọa độ tâm I là
2

A. I  2;  4;6  .

B. I  2; 4;  6  .

2

2

C. I  1;  2;3 .

D. I  1; 2;  3  .

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng    :3 x  2 y  z  11  0 . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng

 ?
A. N  4;  1;1 .

B. M  2;  3;  1 .


C. P  0;  5;  1 .

D. Q  2;3;11 .

Câu 28. Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm

A  1; 2;1 và B  0; 2;1
uu
r
ur
A. u1   1; 4;0  .
B. u2   4; 2;1 .

uu
r
C. u3   2; 2;1 .

uu
r
D. u4   1; 4;0  .

Câu 29. Chọn ngẫu nhiên hai số bất kì trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có
tổng là số lẻ?
7
5
5
7
A.
.
B.

.
C. .
D. .
9
9
18
18
3
2
Câu 30. Cho hàm số y  x  3mx   m  2  x  3m  1 . Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên � là
A. 2 .

B. 1 .

C. 1 .

D. 2 .
Trang 3


Câu 31. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên � ?
x 1
A. y 
.
2 x
C. y  x 3  2 x 2  x  2021 .

B. y   x 3  3x  2021 .
D. y  2 x 4  4 x 2  2021 ..


3
2
Câu 32. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  3x  2

trên đoạn  1; 2 . Tính giá trị biểu thức P  M  2m .
A. 3 2  3 .

C. 3 3  5 .

B. 2 2  5 .

Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình log3  2 x  7 x   2 là

D. 3 3  3 .

2

7�
9�
�
�
�;  �� 1;  �
A. T  �
B. T  ��;  �� 1;  �
2�
2�
�
�
�9 �

�9 �
 ;1�.
 ;1�.
C. T  �
D. T  �
�2 �
�2 �
Câu 34. Cho số phức z  3  2i . Phần thực của số phức w  iz  z là
A. i .
B. 1 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt

phẳng vng góc với đáy. Tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng
A.

3 .

B.

15
.
5

C.

2.

D. 1 .


Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng

3a . Khoảng cách từ B

đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.

3a
.
2

B. a .

C.

3a .

D. 2a .

Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I  2;  3;1 và đi qua điểm A  6;1;3 có phương trình là
A. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

B. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

C. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

D. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua A  1;1;3 và vng góc với mặt phẳng


 P  : 6 x  3 y  2 z  18  0
�x  1  6t
�
A. �y  1  3t .
�z  3  2t
�

có phương trình tham số là

�x  1  6t
�
B. �y  1  3t .
�z  3  2t
�

�x  6  t
�
C. �y  3  t .
�z  2  3t
�

�x  6  t
�
D. �y  3  t .
�z  2  3t
�

 x  là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất và giá
Câu 39. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f �


 

2
2
trị lớn nhất của hàm số g  x   f x  2 x trên đoạn  1; 2 lần lượt là

A. f  0  và f  4   8 .

B. f  0  và f  1  2

C. f  4   8 và f  1  2 .

D. f  16   32 và f  1  2 .

Câu 40. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn
9y  x
.
2
B. m  35  2 .
C. m  315  2 .

0 �x �m và log 3  3 x  6   2 y 
A. m  310  2 .

D. m  320  2 .
Trang 4


�

3 x 2  6 x khi x �2
e2
f (ln 2 x )
�
dx bằng
Câu 41. Cho hàm số f  x   � 2
. Tích phân I  �
x ln x
khi x  2
�
e
�2 x  5
1
1
1
1
A. 15  ln 6 .
B. 15  ln 6 .
C. 15  ln 6 .
D. 15  ln 6 .
2
5
5
2
1 �
�
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z | 20212 và  z  2021i  �z 
�là số thuần ảo?
� 2021 �
A. 1.


B. 0.

C. 2.

D. 4.

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  . Mặt phẳng  SBC  cách A một
khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng  ABC  một góc 30�. Thể tích của khối chóp S . ABC bằng

8a 3
8a 3
4a 3
3a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
3
9
12
Câu 44. Mặt tiền nhà ơng An có chiều ngang AB  4m , ông An muốn thiết kế lan can nhơ ra có dạng là một
A.

phần của đường trịn  C  (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí F nên để an tồn, ông An cho
�  600 và lan can cao

xây đường cong cách 1m tính từ trung điểm D của AB . Biết AF  2m , DAF
1m làm bằng inox với giá 2, 2 triệu/m2. Tính số tiền ơng An phải trả (làm tròn đến hàng ngàn).

A. 7,568, 000 .

B. 10, 405,000 .

D. 8,124, 000 .
x 1 y 1 z  4


Câu 45. Trong không gian, cho mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  2  0 và đường thẳng d :
.
2
1
1
Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A  1; 2; 1 , cắt mặt phẳng  P  và đường thẳng d lần lượt
tại B và C sao cho C là trung điểm AB là
�x  1  18t
�x  17  18t
�
�
A. �y  2  3t .
B. �y  5  3t
.
�z  1  t
�z  t
�
�


C. 9,977,000 .

�x  1  18t
�
C. �y  2  3t .
�z  1  t
�

�x  17  18t
�
D. �y  5  3t
.
�z   t
�

�
( x) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.
Câu 46. Cho hàm số f  x  biết hàm số y  f �

�1 2 �
2
Đặt g ( x )  2 f � x � f   x  6  , biết rằng g (0)  0 và g  2   0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số
�2 �
y  g  x .

A. 3 .

B. 5 .

C. 7 .


D. 6 .
Trang 5


log a
 log a  log 3 x  3
 log3 x   3�
Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên a  a  3 để phương trình log �
�
�
có nghiệm x  81 .

B. 6 .
C. 7 .
D. 8 .
Câu 48. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số f  x  đạt cực trị
A. 12 .

tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  2 ; f  x1   f  x2   0 và

x1 1

5

�f  x  dx  4 . Tính
x1

L  lim


x � x1

f  x  2

 x  x1 

2

.

A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

z1  z2  2 và z1  z2  10 . Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn



D. 4 .



P   2 z1  z 2  1  3i  1  3i
A. 6 .

C. 18 .


B. 10 .

D. 34 .

Câu 50. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;3;0  , B  0; 3;0  . Mặt cầu  S  nhận AB là
đường kính. Hình trụ  H  là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn
nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
A. 3; 0;0 .
B. 3; 3; 0 .
C. 3; 2;1 .
D.

















3; 2; 3 .


Trang 6


1.D
11.A
21.A
31.B
41.B

2.B
12.B
22.A
32.D
42.C

3.A
13.B
23.B
33.B
43.A

BẢNG ĐÁP ÁN
4.A
5.D
14.A
15.C
24.A
25.D
34.C

35.B
44.C
45.D

6.D
16.A
26.A
36.C
46.C

7.D
17.B
27.B
37.B
47.B

8.C
18.A
28.A
38.A
48.C

9.D
19.A
29.C
39.A
49.B

10.A
20.B

30.C
40.A
50.B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Câu 2.

Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang?
A. 20 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 120 .
Lời giải
Sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang có 5!  120 cách.
Cho cấp số cộng  un  có u1  3 và cơng sai d  5 . Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng.
A. 185 .

B. 255 .

C. 480 .
Lời giải

D. 250 .

10.9
d  255 .
2
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới.


Ta có S10  10u1 

Câu 3.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.  2; � .
B.  3;1 .
C.  0; 2  .
D.  �; 2  .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta có hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  2; � .
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. x =- 1 .
B. x = 1 .

C. x = 2 .
Lời giải

D. x =- 2 .
Trang 7


Câu 5.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại x =- 1 .

Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. 4 .

( x) ta thấy f �
( x) đổi dấu 4 lần khi đi qua các giá trị - 2,1, 2,3 nên hàm số
Dựa vào bảng xét dấu f �
f ( x) có 4 cực trị.

Câu 6.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = 1 .

3 x +1
là
1- x

B. y =- 1 .

C. y = 3 .
Lời giải


D. y =- 3 .

1
3+
3 x +1
x =- 3 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
y = lim
= lim
Ta có: xlim
���
x��� 1- x
x ��� 1
- 1
x
đường thẳng y =- 3 .
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?

A. y  x 3  3x  1 .

B. y   x 3  3 x 2  1 .

C. y  x3  3 x  1 .
Lời giải

D. y  x 3  3x 2  1 .

+ Từ đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm bậc ba với hệ số a  0 � loại B
+ Đồ thị đi qua điểm A  2; 3 nên chọn đáp án D.
x2

cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng
x2
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
Cho y  0 suy ra x  2 .
Chọn đáp án C.

Câu 8. Đồ thị hàm số y 

D. 2 .

�a3 �
Câu 9. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a  x, log b  y . Tính P  log � 5 �.
�b �
Trang 8


A. P 

x3
.
y5

D. 3 x  5 y .

C. 15xy .

B. P  x 3  y 5 .


Lời giải

�a 3 �
3
5
Ta có: P  log � 5 � log a  log b  3log a  5log b  3 x  5 y .
b
� �
Câu 10. Đạo hàm của hàm số y  a x (a  0, a �1) là
 a x .ln a .
A. y�

 ax .
B. y�

C. y�


ax
.
ln a

 x.a x 1 .
D. y�

Lời giải
 a .ln a .
Ta có y�
x


Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý,
2

3

a 2 bằng

3

A. a 3 .

1

C. a 6 .

B. a 2 .

D. a 6 .

Lời giải
Ta có

3

2
3

a2  a .


Câu 12. Nghiệm của phương trình 34 x2  81 là
1
3
A. x  .
B. x  .
2
2

1
C. x   .
2

3
D. x   .
2

Lời giải
4 x2
 81 � 34 x 2  34 � x 
Ta có 3

3
.
2

Câu 13. Nghiệm của phương trình log 3  2 x   4
A.

x


27 .
2

B.

x

81 .
2

C.

x  32

.

D.

x3

.

Lời giải
Điềukiện: x  0 .
4
Ta có: log 3  2 x   4 � 2 x  3 � 2 x  81 � x 

81
.
2


Câu 14. Cho hàm số f  x   2 x 2  3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

2

3

 3x  C

.

B.

f  x  dx  x
�
3

2

3

 3x  C

.

D.

f  x  dx  x
�
3


A.

f  x  dx  x
�
3

C.

f  x  dx  x
�
3

2

3

2

3

3C
C

.

.

Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:


f  x  dx  �
 2x
�

2

2
 3 dx  2�
x 2 dx  3�
dx  x3  3x  C .
3

Câu 15. Cho hàm số f  x   sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

f  x  dx  3cos 3 x  C
�

C.

f  x  dx   cos 3 x  C
�
3

1

.
.


1

B.

f  x  dx  cos 3x  C
�
3

.

D.

f  x  dx  3cos 3 x  C
�

.
Trang 9


Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:

1

1

f  x  dx  �
sin 3 xdx  �
sin 3 xd  3 x    cos 3 x  C .
�

3
3

2

2

2

0

0

0

f  x  dx  5 và �
g  x  dx  3 thì �
�
�f  x   3 g  x  �
�dx bằng
�

Câu 16. Nếu

A. 14 .

B. 4 .

C. 8 .
Lờigiải


2

2

2

0

0

0

D. 2 .

�
dx  �
f  x  dx  3�
g  x  dx  5  9  14 .
Ta có �
�f  x   3g  x  �
�

4

Câu 17. Tích phân cos xdx bằng
�
0

A.


.
2
1
2

B.

2.
2

C.



2.
2

D.

1

2.
2

Lờigiải

4



Ta có cos xdx  sin x 4  2 .
�
0
2
0

Câu 18. Cho số phức z  4  3i . Môđun của số phức z bằng
A. 5 .
B. 25 .
C. 7 .

D. 1 .

Lờigiải
Ta có z  42   3  5 .
2

Câu 19. Cho số phức z  1  2i . Phần ảo của số phức liên hợp với z là
A. 2 .
B. 2i .
C. 2i .
D. 2 .
Lời giải
Ta có z  1  2i  1  2i .
Phần ảo của z là 2 .
Câu 20. Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử A là điểm biểu diễn của số
phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Gọi I là trung điểm AB . Khi đó, I biểu diễn cho số
phức
A. z3  3  2i .


B. z3 

3
i.
2

3
C. z3    2i .
2
Lời giải

D. z3  3  2i .

uur uuu
r uuu
r
Vì I là trung điểm AB nên 2OI  OA  OB .
z  z 1 i  2  i 3
 i .
Dẫn đến z3  1 2 
2
2
2
Câu 21. Một hình nón có diện tích đáy bằng 16 (đvdt) có chiều cao h  3 . Thể tích hình nón bằng
16
16
 (đvtt).
A. 16 (đvtt).
B.
(đvtt).

C.
D. 8 (đvtt).
3
3
Lời giải
2
Vì diện tích đáy bằng 16 nên ta có  R  16 .

1 2
1
Vậy thể tích khối nón là: V   R h  16 .3  16 (đvtt).
3
3
Trang 10


Câu 22. Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh a  3 bằng
A. 27 .
B. 9 .
C. 6 .
D. 16 .
Lời giải
3
Ta có V  a  27 .
Câu 23. Cơng thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là:
1
1 2
A. V   rh .
B. V   r 2 h .
C. V   rh .

D. V   r h .
3
3
Lời giải
Thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là V   r 2 h .
Câu 24. Một hình nón có bán kính đáy r  4 cm và độ dài đường sinh l  5 cm. Diện tích xung quanh của hình
nón đó bằng
A. 20 cm 2 .
B. 40 cm 2 .
C. 80 cm 2 .
D. 10 cm 2 .
Lời giải
2
Diện tích xung quanh của hình nón S xq  rl  20 cm .
Câu 25. Trong không gian Oxyz cho ABC , biết A  1;  4; 2  , B  2;1;  3 , C  3;0;  2  . Trọng tâm G của

ABC có tọa độ là
A. G  0;  3;  3 .

B. G  0;  1;  1 .

C. G  6;  3;  3 .

D. G  2;  1;  1 .

Lời giải
x A  xB  xC
1 2  3
�
�

xG 
2
�
�xG 
3
3
�
�
y A  y B  yC
4  1  0
�
�
� �yG 
 1
Vì G là trọng tâm của ABC nên ta có: �yG 
.
3
3
�
�
z A  z B  zC
�
�
2   3   2 
zG 
 1
�zG 
�
3
�

3
�
Vậy G  2;  1;  1 .
Câu 26. Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  6   25 có tọa độ tâm I là
2

A. I  2;  4;6  .

B. I  2; 4;  6  .

2

2

C. I  1;  2;3 .

D. I  1; 2;  3  .

Lời giải
Mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R 2 có tọa độ tâm là I  a ; b ; c  .
2

2

2

Vậy mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  6   25 có tọa độ tâm là I  2;  4; 6  .
2

2


2

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng    :3 x  2 y  z  11  0 . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng

 ?
A. N  4;  1;1 .

B. M  2;  3;  1 .

C. P  0;  5;  1 .

D. Q  2;3;11 .

Lời giải
Thay lần lượt 4 điểm M , N , P , Q vào phương trình    :3 x  2 y  z  11  0 ta được:
Với M  2;  3;  1 , ta có    :3.2  2.  3   1  11  0 � 0  0 (thỏa mãn).
Với N  4;  1;1 , ta có    :3.4  2.  1  1  11  0 � 4  0 (không thỏa mãn).
Với P  0;  5;  1 , ta có    :3.0  2.  5    1  11  0 � 2  0 (khơng thỏa mãn).
Với Q  2;3;11 , ta có    :3.  2   2.3  11  11  0 � 12  0 (không thỏa mãn).
Vậy điểm M  2;  3;  1 �   .
Trang 11


Câu 28. Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm

A  1; 2;1 và B  0; 2;1
uu
r
ur

A. u1   1; 4;0  .
B. u2   4; 2;1 .

uu
r
C. u3   2; 2;1 .

uu
r
D. u4   1; 4;0  .

Lời giải
r uuu
r
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là u  BA   1; 4; 0  .

Câu 29. Chọn ngẫu nhiên hai số bất kì trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có
tổng là số lẻ?
7
5
5
7
A.
.
B.
.
C. .
D. .
9
9

18
18
Lời giải
2
Ta có n     C10 .
Gọi A là biến cố “ Chọn ngẫu nhiên hai số có tổng là số lẻ”.
� n  A   C51.C51  25 .
� P  A 

n  A 25 5

 .
n    45 9

3
2
Câu 30. Cho hàm số y  x  3mx   m  2  x  3m  1 . Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

đồng biến trên � là
A. 2 .

B. 1 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Ta có y '  3x 2  6mx  m  2 .
Hàm số đã cho đồng biến trên � khi y ' �0, x �R .

� 3x 2  6mx  m  2 �0, x �R .

�
3  0  Ðúng 
a0
�
�
��
�� 2
.
 ' �0
9m  3  m  2  �0
�
�
� 9m 2  3m  6 �0 .
2
�
ۣ
m 1.
3

Vì m �Z nên m � 0;1 .
Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 1 .
Câu 31. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên � ?
x 1
A. y 
.
B. y   x 3  3x  2021 .
2 x
C. y  x 3  2 x 2  x  2021 .

D. y  2 x 4  4 x 2  2021 ..
Lời giải
3

 0, x � �; 2  � 2;  � suy ra hàm số không đồng
Xét hàm số ở đáp án A ta có y�
2
 2  x
biến trên �. Vậy đáp án A sai.
 3x 2  3  0, x ��. Suy ra hàm số nghịch biến trên �. Vậy đáp án
Xét đáp án B ta có y�
đúng là B.
3
2
Câu 32. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  3x  2
Trang 12


trên đoạn  1; 2 . Tính giá trị biểu thức P  M  2m .
C. 3 3  5 .
Lời giải
3
2
Xét hàm số f  x   x  3x  2 trên đoạn  1; 2 ta có:
A. 3 2  3 .

B. 2 2  5 .

D. 3 3  3 .


�
x  3 � 1; 2
 x   3x 2  3; f �
 x   0 � 3x 2  3  0 � �
+ f�
.
�
x   3 � 1; 2
�

+ f  1  2; f

 3  3

3  7; f  2   2 .

Vậy M  3 3  7; m  2 . Suy ra P  M  2m  3 3  3 .

2
Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình log 3  2 x  7 x   2 là

7�
�
�;  �� 1;  �
A. T  �
2�
�
�9 �
 ;1 .
C. T  �

�2 �
�

9�
�
B. T  ��;  �� 1;  �
2�
�
�9 �
 ;1�.
D. T  �
�2 �
Lời giải

7
�
x
�
* Điều kiện xác định 2 x  7 x  0 �
2 (*)
�
x0
�
2

9
�
x
�
2.

* Ta có log 3  2 x  7 x   2 � 2 x  7 x  3 � 2 x  7 x  9  0 �
�
x 1
�
9�
�
� 1;  � .
* Giao với điều kiện (*) ta được tập nghiệm của BPT đã cho là T  ��;  �
2�
�
Câu 34. Cho số phức z  3  2i . Phần thực của số phức w  iz  z là
A. i .
B. 1 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
2

2

2

2

Ta có: z  3  2i � w  iz  z  i  3  2i    3  2i   1  i .
Vậy số phức w  iz  z có phần thực là 1 .
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng
A. 3 .


B.

15
.
5

C.

2.

D. 1 .

Lời giải

Trang 13


+) IC là hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng  ABCD 

� .
� góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  là SCI
2

�a � a 3 .
I là trung điểm AB của tam giác đều SAB nên SI  SB  IB  a  � � 
2
�2 �
2

2


2

2

a� a 5
Tam giác BIC vuông tại B nên IC  BC 2  IB 2  a 2  �
.
� �
2
�2 �
� 
Tam giác SIC vng tại I nên tan SCI

SI
3
15


.
IC
5
5

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng

3a . Khoảng cách từ B

đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.


3a
.
2

B. a .

C.

D. 2a .

3a .

Lời giải

Ta có: d ( B; ( SCD ) ) = 2d ( O;( SCD ) ) = 2.OH = 2.
Mà OI =

OI .OS
OI 2 + OS 2

.

2a
= a ; OS = a 3.
2

Do đó: d ( B; ( SCD ) ) = a 3.
Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I  2;  3;1 và đi qua điểm A  6;1;3 có phương trình là
A. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .


B. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

C. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

D. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .
Lời giải

Mặt cầu tâm I và đi qua A có bán kính R  IA 

 6  2

2

  1  3   3  1  6 .
2

2

Phương trình mặt cầu:  x  2    y  3   z  1  36 � x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .
2

2

2

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua A  1;1;3 và vng góc với mặt phẳng

 P  : 6 x  3 y  2 z  18  0
�x  1  6t

�
A. �y  1  3t .
�z  3  2t
�

có phương trình tham số là

�x  1  6t
�
B. �y  1  3t .
�z  3  2t
�

�x  6  t
�
C. �y  3  t .
�z  2  3t
�

�x  6  t
�
D. �y  3  t .
�z  2  3t
�

Lời giải
Trang 14


uuur

Đường thẳng cần tìm đi qua A  1;1;3 và nhận vectơ pháp tuyến của  P  là n P    6;3;  2  làm
vectơ chỉ phương.

�x  1  6t
�
Phương trình đường thẳng là �y  1  3t .
�z  3  2t
�

 x  là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất và giá
Câu 39. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f �

 

2
2
trị lớn nhất của hàm số g  x   f x  2 x trên đoạn  1; 2 lần lượt là

A. f  0  và f  4   8 .

B. f  0  và f  1  2 .

C. f  4   8 và f  1  2 .

D. f  16   32 và f  1  2 .

 

Lời giải


2
2
2
Xét hàm số g  x   f x  2 x với x � 1; 2 � x �[0; 4]

 

 

f �x2  2�.
 x  2x. f �x2  4x  2x �
Ta có: g �
�
�
x0
�
x0
x0
�
�
g�
x2  0 � �
x  2 � 1;2 .
 x  0 � �f �x2  2 � �
x2
�
�
x2  4 �
�


 

 

 

2
2
Với x 2 �[0; 4] thì f �x �2 � f �x  2 �0 .

Bảng biến thiên của g  x 

So sánh: f  1  2 với f  4  8

 x , y  2 , x  1 , x  4 có diện tích là S .
Hình phẳng  H  giới hạn bởi: y  f �
4

4

1

1

S�
f ' x  2.dx  �
 x  2 .dx   f  x  2 x 14  f  4  8   f 1  2 .
 f�

S  0 � f  4  8   f  1  2  0 � f  4  8  f 1  2 .

g  x   f  0  và max g  x   f  4   8 .
Vậy: min
[ 1;2]
[ 1;2]
Trang 15


Câu 40. [Mức độ 3] Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên  x ; y  thoả
mãn 0 �x �m và log 3  3x  6   2 y 
A. m  310  2 .

B. m  35  2 .

 Ta có: log 3  3x  6   2 y 

9y  x
.
2
C. m  315  2 .
Lời giải

D. m  320  2 .

9y  x
2y
� 2�
log 3  x  2   1�
�
� 4 y  3  x
2

log3  x  2 

� x  2  2 log 3  x  2   9 y  4 y � 3

 2 log 3  x  2   32 y  2.2 y  1

t
 Xét hàm số f  t   3  2t trên �.

 t   3t ln 3  2  0 t ��, suy ra f  t  đồng biến trên �.
Ta có f �
Từ  1 ta có: f  log 3  x  2    f  2 y  , suy ra log3  x  2   2 y .

log
 32
 Vì 0 �x �m nên log 3 2 �log 3  x  2  �log3  m  2   �
1
  log 3 2
�
ۣ
2

y

2y

log 3  m 2  .

1
log 3  m 2  .

2

1
Do y nguyên dương nên 1 �y � log 3  m  2  .
2
1
Để có đúng 5 cặp số nguyên  x ; y  thì log 3  m  2   5 � m  310  2
2
10
Vậy m  3  2 .
�
3 x 2  6 x khi x �2
e2
f (ln 2 x )
�
f
x

dx bằng
Câu 41. Cho hàm số   � 2
. Tích phân I  �
x ln x
khi x  2
�
e
�2 x  5
1
1
1
1

A. 15  ln 6 .
B. 15  ln 6 .
C. 15  ln 6 .
D. 15  ln 6 .
2
5
5
2
Lời giải
e2

f (ln 2 x)
I

dx .
Xét
�
x
ln
x
e
2 ln x
2 ln 2 x
2u
dx
du
dx 
dx 
dx �


.
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u
�x  e � u  1
Đổi cận : � 2
.
�x  e � u  4

Đặt u  ln 2 x � du 

Khi đó
I

4
4
2
4
1 f (u )
1 f ( x)
1 � f ( x)
f ( x) �
du

dx

dx

dx �

��
�
�
�
21 u
21 x
2 �1 x
x
2
�

2
4
2
4
�
1�
2
3x 2  6 x � 1 �
2
 �
dx

dx

dx

3
x


6
dx


�
�
�
�
�
�
�
� 2 � x  2x  5
�
2�
x
2
2
�1 x  2 x  5 
� �1
�
.
4
2
2
�
�� 1 �
1�
4 � 1
1 � �3 x 2
4 1 2x  5

 ��
 �
dx  �  6 x �� � . ln
 30 �
�
2�
5 1 �2 x  5 2 x � �2
2
5
2
2
x
�
�
�
�
1
2�
�
�
�
1�
2
1
�
 �   ln 6   30 � 15  ln 6
2�
5
5
�


Trang 16


1 �
�
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z | 20212 và  z  2021i  �z 
�là số thuần ảo?
� 2021 �
A. 1.

B. 0.

C. 2.
Lời giải
Gọi số phức z  a  bi  a, b �� � z  a  bi

D. 4.

2
2
2
4
Theo đề bài, | z | 2021 � a  b  2021  1

Xét:

 z  2021i  �
�z 
�


1 �
1
1
z  2021i z  i  2021 
 a  bi   2021i  a  bi   i
� z z 
2021 �
2021
2021

1
1
�
��
�
 �2021 
a  2021b � �
2021a 
b  1�
i
2021
2021
�
��
�
1 �
1
a  2021b  0 � a  20212  b  1
 z  2021i  �

�z 
�là số thuần ảo � 2021 
2021
� 2021 �
2
Thế a  2021  b  1 vào phương trình  1 , ta được:

20214  b  1  b2  20214 �  20214  1 b2  2.20214 b  0
2

Phương trình này có hai nghiệm.. Vậy có 2 số phức thỏa mãn.
Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  . Mặt phẳng  SBC  cách A một
khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng  ABC  một góc 30�. Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
A.

8a 3
.
9

B.

8a 3
.
3

3a 3
.
12
Lời giải
C.


D.

4a 3
.
9

�  30�.
Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp  SBC  và mp  ABC  là SIA

H là hình chiếu vng góc của A trên SI suy ra d  A,  SBC    AH  a .

AH
 2a .
sin 30�
2a
Xét tam giác SAI vng tại A có: SA  AI .tan 30�
.
3

Xét tam giác AHI vuông tại H có: AI 

Trang 17


Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao nên: 2a  x

3
4a
�x

.
2
3

2

Diện tích tam giác đều ABC là S ABC

�4a � 3 4a 2 3
 � �.

.
3
�3� 4

1
1 4a 2 3 2a 8a 3
V

.
S
.
SA
 .
.
Vậy S . ABC
.

ABC
3

3
3
9
3
Câu 44. Mặt tiền nhà ông An có chiều ngang AB  4m , ông An muốn thiết kế lan can nhơ ra có dạng là một
phần của đường trịn  C  (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí F nên để an tồn, ơng An cho
�  600 và lan can cao
xây đường cong cách 1m tính từ trung điểm D của AB . Biết AF  2m , DAF
1m làm bằng inox với giá 2, 2 triệu/m2. Tính số tiền ơng An phải trả (làm trịn đến hàng ngàn).

A. 7,568, 000 .

B. 10, 405,000 .

C. 9,977,000 .
D. 8,124, 000 .
Lời giải
�  300 và EDB
�  1200 .
Theo giả thiết, ta có AFD đều nên FD  2m suy ra ED  1m , EAD
Trong tam giác EDB có EB 2  DE 2  DB 2  2 DE.DB.cos1200  7 .
Gọi R là bán kính của đường tròn  C  tâm O , áp dụng định lý sin trong tam giác AEB ta có
EB
 2R , suy ra R  7 .
�
sin EAD

Xét tam giác OAB có R  OA  OB  7 , AB  4 , suy ra cos �
AOB 


OA2  OB 2  AB 2
1
 .
2OA.OB
7

Khi đó �
AOB ; 98, 20 , suy ra độ dài dây cung  C  xấp xỉ 4,54m .
Vì chiều cao của lan can là 1m và giá kính là 2,2 triệu/m2 nên số tiền ông An phải trả xấp xỉ
9,977, 000 đ.
x 1 y 1 z  4


Câu 45. Trong không gian, cho mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  2  0 và đường thẳng d :
.
2
1
1
Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A  1; 2; 1 , cắt mặt phẳng  P  và đường thẳng d lần lượt
tại B và C sao cho C là trung điểm AB là

Trang 18


�x  1  18t
�
A. �y  2  3t .
�z  1  t
�


�x  17  18t
�
B. �y  5  3t
.
�z  t
�

�x  1  18t
�
C. �y  2  3t .
�z  1  t
�
Lời giải

�x  17  18t
�
D. �y  5  3t
.
�z   t
�

Từ giả thiết ta có: C �d � C  1  2t ;  1  t ; 4  t  .
Do C là trung điểm của AB � B  4t  1;  2t  4; 2t  9  .
Ta có :  � P   B � B � P  � 4t  1  3  2t  4   2  2t  9   2  0 � t  

9
.
2

Suy ra B  17;5; 0  . Đường thẳng  đi qua hai điểm B và A .

uuu
r
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng  là BA   18;  3;  1 .
�x  17  18t
�
Vậy phương trình tham số của  : �y  5  3t
.
�z  t
�
�
( x) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.
Câu 46. Cho hàm số f  x  biết hàm số y  f �

�1 2 �
2
Đặt g ( x)  2 f � x � f   x  6  , biết rằng g (0)  0 và g  2   0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số
2
� �
y  g  x .

A. 3 .

B. 5 .

C. 7 .
Lời giải

D. 6 .

�

�
( x) ta có f �
( x )  0, x �� � Hàm số y  f �
 x  đồng biến trên �.
Từ đồ thị hàm số y  f �

� �1 2 �
�
�1 2 �
g�
( x)  2 x. f �
 x 2  6   2 x �f �
 x 2  6  �.


� x � 2 x. f �
� x � f �
�2 �
� �2 �
�

Trang 19


x0
2x  0
�
�
x0
�

�
�
g�
( x)  0 �
��
��
x  2 .
1 2
�1 2 � � 2
�f �
�
x

f

x

6
x   x2  6


�
�
�
�
x2
�
2
� �2 �
�


 x  đồng biến trên �)
( do hàm số y  f �

� �1 2 �
Xét g '( x )  0 � 2 x �f �
� x �
� �2 �

�
�x  0
�
�
�1 2
�
x   x2  6
�
x2
�
�
�
�
2
f�
��
.
  x2  6  � 0 � �x  0
2  x  0
�
�

�
�
�
�
�1 2
x   x2  6
�
�
�2
�

x  2
�
( x)  0 � �
Suy ra g �
.
0 x2
�
Vì

�1 �
g ( x )  2 f � x 2 � f   x 2  6 
�2 �

là

hàm

số


chẵn

trên

�

và

có

g  2  0

nên

g  2   g  2   a  0, g (0)  b  0 .
Bảng biến thiên của hàm số g  x  :

Vậy hàm số y  g ( x ) có 7 điểm cực trị.
log a
 log a  log 3 x  3
 log3 x   3�
Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên a  a  3 để phương trình log �
�
�
có nghiệm x  81 .

B. 6 .

A. 12 .


C. 7 .

D. 8 .

Lời giải
log a
 log a  log 3 x  3 (1)
�log3 x   3�
Xét log �
�

�
 log3 x   3  0
�
+ Với x  81 , suy ra log3 x  4 � �
.
log 3 x  3  0
�
log a

log a
 log a  log 3 x  3 
�log 3 x   3�
+ Ta có (1) � log a.log a �
�

� log a

  log


3

x

log a

3



log a

 log a  log 3 x  3 
Trang 20


�

  log

3

x

log a

3




log a

 log 3 x  3 .

+ Đặt y  log 3 x � y  4 .



Đặt m  log a  0 . Ta có phương trình y m  3



m

 m  3 (2).

�
tm  y  3
� y m  y  t m  t (3).
+ Đặt t  y  3  0 ta được hệ phương trình � m
t  y 3
�
m

m
m 1
+ Xét hàm f  t   t  t với m  0, t  0 có f  t   m.t  1  0, t  0 .
m
Suy ra f  t   t  t đồng biến trên khoảng  0;  � .
m

m
+ Do đó (3) � y  t � y  y  3 � y  y  3 � m.log y  log  y  3  � m 

Với y  4 ta được: 0 

log  y  3 
log y

log  y  3
log y

1.

Do đó: 0  m  log a  1 � 1  a  10 .
Do a nguyên và a  3 nên a � 4;5;6;7;8;9 .
Câu 48. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số f  x  đạt cực trị
tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  2 ; f  x1   f  x2   0 và

x1 1

5

�f  x  dx  4 . Tính
x1

L  lim

x � x1

f  x  2


 x  x1 

2

.

A. 1 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

3
2
Giả sử f  x   ax  bx  cx  d  a �0  .

D. 4 .

xx
�
 x   3ax 2  2bx  c  0 � � 1
Có f �
.
x  x2  x1  2
�

 x   3a  x  x1   x  x2 
Suy ra: f �

� f�
 x   3a  x  x1   x  x1  2 
� f�
 x   3a  x  x1   6a  x  x1  .
2

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
f  x   a  x  x1   3a  x  x1   C .
3

2

Khi đó f  x1   C và

f  x2   a  x2  x1   3a  x2  x1   C  8a  12a  C  C  4a .
3

2

Mà f  x1   f  x2   0 , nên C  C  4a  0 � C  2a .
Suy ra f  x   a  x  x1   3a  x  x1   2a .
3

2

Trang 21


x1 1


Mặt khác �f  x  dx 
x1

5
�
4

x1 1

a xx 
��
�

3

1

x1

x1 1

a
4
3
�
�
� �  x  x1   a  x  x1   2ax �
4
�
�x




1

5
2
 3a  x  x1   2a �dx 
�
4

5
a
5
�
�
� �  a  2a  x1  1 � 2ax1 
4
4
4
�
�

� a  1.

Do đó: f  x    x  x1   3  x  x1   2 .
3

Vậy


2

f  x  2

 x  x1   3  x  x1 
L  lim
 lim
2
2
x� x
 x  x1  x � x
 x  x1 
3

1

1

Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn



2

 lim �
 x  x1   3�
�
�  3 .
x � x1


z1  z2  2 và z1  z2  10 . Tìm giá trị lớn nhất của



P   2 z1  z 2  1  3i  1  3i
A. 6 .

C. 18 .
Lời giải

B. 10 .

D. 34 .

Đặt z1  a  bi, z2  c  di với a, b, c, d ��.
2

2

Vì z1  z2  2 � z1  z2  4 � a 2  b 2  c 2  d 2  4 .
Mặt khác (a  c ) 2  (b  d ) 2  10
� a 2  2ac  c 2  b2  2bd  d 2  10 � ac  bd  1 .
Ta có 2 z1  z2  (2a  c )  (2b  d )i nên
2

2 z1  z2  (2a  c) 2  (2b  d ) 2  4(a 2  b 2 )  (c 2  d 2 )  4( ac  bd )  16 � 2 z1  z2  4 .

Áp dụng bất đẳng thức z  z��z  z �, ta có










P   2 z1  z2  1  3i  1  3i � 2 z1  z2  1  3i  1  3i �4.2  2  10

.

Vậy max P  10 .
Câu 50. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;3;0  , B  0; 3;0  . Mặt cầu  S  nhận AB là
đường kính. Hình trụ  H  là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn
nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?
A. 3; 0;0 .
B. 3; 3; 0 .
C. 3; 2;1 .
D.


















3; 2; 3 .

Lời giải

Bán kính của mặt cầu là R 

AB
 3.
2

Gọi chiều cao của hình trụ là 2h , h  0 . Do đó bán kính của hình trụ là r  R 2  h 2  9  h 2 .
Trang 22


Thể tích khối trụ là V   .r 2 .2h   .  9  h 2  .2h   2

 9  h   9  h  .2h
2

2

2

.


3

�9  h 2  9  h 2  2h 2 �
V � 2. �
�   2.6 6  12 3 .
3
�
�
Dấu đẳng thức xảy ra � 9  h 2  2h 2 � h  3 .
Khi đó hình trụ có thể tích lớn nhất là 12 3 .
Vậy hai mặt đáy của trụ có phương trình tương ứng là y  3; y   3 .

Trang 23