ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2021
TRÚC MINH HỌA
Bài thi: TỐN
ĐỀ SỐ 48
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
3
A. A8 .

B. 38 .

3
D. C8 .

C. 83 .

Câu 2. Cho cấp số cộng ( un ) với u17 = 33 và u33 = 65 thì cơng sai bằng
A. 1 .

C. − 2 .

B. 3 .

D. 2 .

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
−
A. ( 1;0 ) .
B. ( −1;1) .
C. ( −∞;0 ) .

D. ( −∞; −1) .

Câu 4. Cho hàm số   y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số là:
A. −1 .
B. 0 .

D. 3

C. 2 .

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1)

2

( x − 2 ) ( x − 3)
5

7

. Số điểm cực trị của hàm số đã

cho là

A. 3.

B. 1.

Câu 6. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −1 .

C. 4.

D. 2.

2x +1
là
x −1

B. y = 1 .

C. y =

1
.
2

Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

1

D. y = 2 .



A. y = − x 4 + 2 x 2 .

B. y = x 2 − 2 x + 1 .

C. y = x 3 − 3 x + 1 .

D. y = − x 3 + 3 x + 1 .

Câu 8. Đường thẳng y = −3x cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 2 tại điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thì
A. y0 = 3 .

B. y0 = −3 .

C. y0 = 1 .

D. y0 = −2 .

Câu 9. Với a, b là hai số thực dương tùy ý, log 3 (a 3 b ) bằng
A.

3
log 3 ( ab).
2

3
log 3 (a + b).
2

B.


1
C. 3log 3 a + log 3 b.
2

Câu 10. Hàm số y = 3x

2

−x

D. 3log 3 a + 2 log 3 b .

có đạo hàm là

A. ( 2 x − 1) .3x − x.ln 3 .

B. ( 2 x − 1) .3x

2

(

)

2

2
x
D. x − x .3


2

C. 3x − x.ln 3 .

−x

2

.

− x −1

.

Câu 11. Cho x, y > 0 và α , β ∈ ¡ . Khẳng định nào sau đây sai?
A. ( xα ) = xαβ .

B. xα + yα = ( x + y ) .

C. xα .x β = xα + β .

D. ( xy ) = xα . yα .

β

α

α

Câu 12. Phương trình 3x


2

−2 x

= 1 có nghiệm là

B. x = −1 , x = 3 .

A. x = 0 , x = 2 .

C. x = 0 , x = −2 .

D. x = 1 , x = −3 .

C. x = 23 .

D. x = 1 .

Câu 13. Nghiệm của phương trình log 2 ( x + 9 ) = 5 là
A. x = 41 .

B. x = 16 .

3
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x + 2 x .

4

A.


∫ f ( x)dx = 12 x

2

+ x2 + C .

B.

∫ f ( x)dx = 3 x

C.

∫ f ( x)dx = 12 x

2

+2+C.

D.

∫ f ( x)dx = x

4

4

+ x2 + C .

+ x2 + C .


2 x +1
Câu 15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e

f ( x ) dx = 2e 2 x +1 + C .

A.

∫

C.

∫ f ( x ) dx = 2 e

1

2 x +1

+C .

2

f ( x ) dx = e x

B.

∫

D.


∫ f ( x ) dx = e

2

+x

+C .

2 x +1

+C.


1

Câu 16. Cho

∫

f ( x ) dx = 3 và

0

3

∫

f ( x ) dx = −2 . Tính

∫ f ( x ) dx .

0

1

A. 5 .

3

B. 1 .

C. −5 .

D. −1 .

C. I = 1 .

D. I = 2 .

2

Câu 17. Tính tích phân I =

∫ ( 2 x − 1) dx .
1

A. I =

5
.
6


B. I = 3 .

Câu 18. Cho số phức z = −5 + 2i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là
A. 5 và −2 .
B. 5 và 2 .
C. −5 và 2 .

D. −5 và −2 .

Câu 19. Cho hai số phức z1 = −2 − 3i và z2 = 5 − i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức 2z1 − z2 bằng
A. 13 .
Câu 20.

C. −6 .

B. −14 .

D. 3 .

Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn z = 3i − 1 , điểm biểu diễn số phức z là

A. Q ( 3; −1)

B. P ( −1; −3)

C. N ( 1; −3)

D. M ( −1;3) .


Câu 21. Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. 12a 3 .

B. 2a 3 .

C. 4a 3 .

D. 6a 3 .

Câu 22. Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. 8 .
Câu 23.

B. 16 .

C. 48 .

D. 12 .

Thể tích khối nón có chiều cao h , bán kính đường trịn đáy r là

1 2
A. V = π r h .
2

4 2
C. V = π r h .
3

B. V = π r 2 h .


1 2
D. V = π r h .
3

Câu 24. Cho khối nón có thể tích V = 4π và bán kính đáy r = 2 . Tính chiều cao h của khối nón đã cho.
A. h = 3 .

B. h = 1 .

C. h = 6 .

D. h = 6 .

uuur
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( −1; 2; − 3) và B ( −3; − 1;1) . Tọa độ của AB là
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AB = ( −2; − 3; 4 ) .
B. AB = ( 4; − 3; 4 ) .
C. AB = ( −4;1; − 2 ) .
D. AB = ( 2;3; − 4 ) .
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu


( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2 y − 6 z + 1 = 0 .

Tọa độ tâm I

của mặt cầu là
A. I ( 4; − 2; 6 ) .

B. I ( 2; − 1;3) .

C. I ( −4; 2; − 6 ) .

D. I ( −2;1; − 3) .

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm M ( −2;1; − 1) thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A. −2 x + y − z = 0 .
C. 2 x − y − z + 6 = 0 .

B. x + 2 y − z −1 = 0 .
D. −2 x + y − z − 4 = 0 .

Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
vecto chỉ phương của d ?
uu
r
ur
A. u2 = ( 2; 4; −1) .
B. u1 = ( 2; −5;3 ) .

x − 3 y − 4 z +1
=

=
. Vecto nào dưới đây là một
2
−5
3
uu
r
C. u3 = ( 2;5;3) .

uu
r
D. u4 = ( 3; 4;1) .

Câu 29. Chọn ngẫu nhiên 3 bóng từ hộp gồm 5 bóng xanh và 3 bóng vàng. Tính xác suất lấy được 3 bóng cùng
màu?
11
5
1
11
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
56
28
7
56

3


Câu 30. Hàm số y =

2
3x + 1
2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1; 1) .

B. ( −∞; 0 ) .

C. ( −∞; + ∞ ) .

D. ( 0; + ∞ ) .

4
2
Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 2 x − 1 trên đoạn [ −1; 2] là.
A. −1 .
B. 2.
C. 1.

D. −2 .

2 x2 − 3 x − 7


1
Câu 32. Số nghiệm ngun của bất phương trình  ÷
 3
A. 7.

B. 6.
1

Câu 33. Cho

∫ f ( x ) dx = 2
0

A. −8 .

và

> 32 x − 21 là
C. vô số.

1

1

0

0

D. 8.


∫ g ( x ) dx = 5 . Tính ∫ ( f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx .
B. 12 .

C. 1 .

D. −3 .

C. z = 13 .

D. z = 13 .

Câu 34. Tìm mơđun của số phức z = 3 − 2i .
A. z = 5 .

B. z = 5 .

Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC = 2a , SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA = 15a .

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45° .
B. 30° .
C. 60° .

D. 90° .

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a , SA = a .
Khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng
A.


3a
.
7

B.

3a 2
.
2

C.

2a
.
5

D.

2a 3
.
3

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I ( 1;1;1) và A ( 1; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi
qua A là
A. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 29 .

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 .

C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5 .


D. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 5 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −2;3; −1) , N ( −1; 2;3) và P ( 2; −1;1) . Phương
trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP là

 x = −1 + 3t


A.  y = 2 − 3t .
 z = 3 − 2t


 x = 2 + 3t

B.  y = −1 − 3t .
 z = 1 − 2t


 x = −2 + 3t

C.  y = 3 − 3t .
 z = −1 − 2t

4

 x = 3 − 2t

D.  y = −3 + 3t .
 z = −2 − t



Câu 39. Cho hàm số f ( x ) . Biết hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [ −4;3] , hàm số
g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
2

A. x = −1 .

Câu 40.

B. x = 3 .

C. x = −4 .

D. x = −3 .

Xét các số thức a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1và a x = b y = 3 ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q = x + 3 y thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.

( 0;1) .

 5  3
 2  2




3
2

B.  2; ÷  ; 2 ÷ .




C.  ; 2 ÷ .


5 
2 

D.  ;3 ÷ .

π

Câu 41.
A.

π  8
2
Cho hàm số f ( x ) có f  ÷ = và f ′ ( x ) = cos x.sin 2 2 x, ∀ ∈ R . Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng:
 2  15
0
102
.
225

B.

121
.
225

C.

104
.

225

D.

109
.
225

Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1 + i ) z − 1 − 3i = 0 . Tìm phần ảo của số phức w = 1 − iz + z .
A. −1 .

B. −i .

C. 2 .

D. −2i .

Câu 43. Cho khối lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh 2a , BD = 2a và AA ' = a 3
(minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng.

A. 2 3a 3 .

B. 4a 3 .

C. 6a 3 .

D. 8 3a 3 .

Câu 44. Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích 200 m 3. Đáy
bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng. Giá th nhân cơng xây bể là 300.000

đồng/m2. Chi phí th công nhân thấp nhất là
A. 36 triệu đồng.

B. 51 triệu đồng.

C. 75 triệu đồng.
5

D. 46 triệu đồng.


Câu 45. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M ( 1; 2; 2 ) , song song với mặt phẳng

( P) : x − y + z + 3 = 0

đồng thời cắt đường thẳng d :

x = 1− t

A.  y = 2 + t .
z = 2


x = 1+ t

B.  y = 2 − t .
z = 2


Câu 46. Cho hàm số


y = f ( x ) , hàm số

x −1 y − 2 z − 3
=
=
có phương trình là
1
1
1

x = 1− t

C.  y = 2 − t .
z = 2 − t

y = f ′( x)

x = 1− t

D.  y = 2 − t .
z = 2


có đồ thị như hình bên. Hàm số

 5sin x − 1  (5sin x − 1)
g ( x) = 2 f 
+ 3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ( 0; 2π ) .
÷+

2
4


2

A. 9 .

B. 7 .

C. 6 .

x
Câu 47. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3

đúng ba nghiệm phân biệt là
A. 2 .
B. 3 .

C. 1 .

D. 8 .
2

− 2 x +1− 2 x − m

= log x2 − 2 x +3 ( 2 x − m + 2 ) có
D. 0 .

Câu 48. Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M

có hồnh độ bằng −2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai N ( 1;1) cắt Ox tại điểm có hồnh độ bằng 4 . Biết
diện tích phần gạch chéo là

A.

31
.
18

B.

9
. Tích phân
16

1

∫ f ( x ) dx bằng
−1

13
.
6

C.

6

19
.

9

D.

7
.
3


Câu 49. Cho số phức z = a + bi ( a , b ∈ ¡ ) thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A= z+2 +2 z−2 .
A. 10 2 .

B. 7 .

C. 10 .

D. 5 2 .

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −2; 4 ) , B ( −3;3; − 1) , C ( −1; − 1; − 1) và mặt phẳng

( P ) : 2x − y + 2z + 8 = 0 .

Xét điểm M thay đổi thuộc ( P ) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = 2 MA2 + MB 2 − MC 2 .

A. 102.


B. 35.

C. 105.
---HẾT---

7

D. 30.


Câu 1.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?

3
A. A8 .

B. 38 .

3
D. C8 .

C. 83 .
Lời giải.

Chọn D
3
Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có C8


cách chọn.
Câu 2.

Cho cấp số cộng ( un ) với u17 = 33 và u33 = 65 thì công sai bằng

A. 1 .

C. − 2 .

B. 3 .

D. 2 .

Lời giải.
Chọn D

u17 = u1 + 16d = 33
Ta có: 
.
u33 = u1 + 32d = 65
Suy ra: u33 − u17 = 65 − 33 ⇔ 16d = 32 ⇔ d = 2 .
Vậy công sai bằng: d = 2 .
Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây

Câu 4.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1;0 ) .

B. ( −1;1) .
C. ( −∞;0 ) .
D. ( −∞; −1) .
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
Cho hàm số   y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số là:
A. −1 .
B. 0 .

D. 3

C. 2 .
Lời giải

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho y = 3 tại x = 2 và tại x = −2 .
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1)
cho là
8

2

( x − 2 ) ( x − 3)
5

7


. Số điểm cực trị của hàm số đã


A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Lời giải
Chọn A
x = 0
x = 1
2
5
7
Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) = 0 ⇔ 
.
x = 2

x = 3
Bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy f ′ ( x ) có 3 lần đổi dấu nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 6. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −1 .

2x +1

là
x −1

B. y = 1 .

C. y =

1
.
2

D. y = 2 .

Lời giải
Chọn D
1
2+
2x +1
x = 2 . Suy ra đồ thị hàm số có tiệmcận ngang là y = 2 .
= lim
Ta có xlim
→±∞ x − 1
x →±∞
1
1−
x
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = − x 4 + 2 x 2 .


B. y = x 2 − 2 x + 1 .

C. y = x 3 − 3 x + 1 .

D. y = − x 3 + 3x + 1 .
Lời giải

Chọn D
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a < 0 nên chỉ có hàm số y = − x 3 + 3 x + 1
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 8. Đường thẳng y = −3x cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 2 tại điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thì
A. y0 = 3 .

B. y0 = −3 .

C. y0 = 1 .
Lời giải
9

D. y0 = −2 .


Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm giữa đồ thị hàm số y = x3 − 2 x 2 − 2 và đường thẳng y = −3 x
3
2
3
2
là: x − 2 x − 2 = −3x ⇔ x − 2 x + 3x − 2 = 0 ⇔ x0 = 1 . Suy ra y0 = −3 .
Câu 9. Với a, b là hai số thực dương tùy ý, log 3 (a 3 b ) bằng

A.

3
log 3 ( ab).
2

B.

1
C. 3log 3 a + log 3 b.
2

3
log 3 ( a + b).
2

D. 3log 3 a + 2 log 3 b .
Lời giải.

Chọn C
1
3
3
Ta có: log 3 ( a b ) = log 3 a + log 3 b = 3log 3 a + log 3 b.
2

Câu 10. Hàm số y = 3x

2


−x

có đạo hàm là

A. ( 2 x − 1) .3x − x.ln 3 .

B. ( 2 x − 1) .3x

2

(

)

2

2
x
D. x − x .3

2

C. 3x − x.ln 3 .

−x

2

.


− x −1

.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ ta có:

( 3 ) ′ = u′.3 .ln 3 ⇒ ( 3 ) ′ = ( 2 x −1) .3
u

x2 − x

u

x2 − x

.ln 3 .

Câu 11. Cho x, y > 0 và α , β ∈ ¡ . Khẳng định nào sau đây sai?
A. ( xα ) = xαβ .

B. xα + yα = ( x + y ) .

C. xα .x β = xα + β .

D. ( xy ) = xα . yα .

β


α

α

Lời giải
Chọn B
Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức xα + yα = ( x + y ) sai.
α

Câu 12. Phương trình 3x

2

−2 x

= 1 có nghiệm là

B. x = −1 , x = 3 .

A. x = 0 , x = 2 .

C. x = 0 , x = −2 .

D. x = 1 , x = −3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có 3x

2


−2 x

= 1 ⇔ 3x

2

−2 x

x = 0
2
.
= 30 ⇔ x − 2 x = 0 ⇔ 
x = 2

Câu 13. Nghiệm của phương trình log 2 ( x + 9 ) = 5 là
A. x = 41 .

B. x = 16 .

C. x = 23 .
Lời giải

Chọn C
Điều kiện: x > −9
10

D. x = 1 .



5
Ta có: log 2 ( x + 9 ) = 5 ⇔ x + 9 = 2 ⇔ x = 23 .
3
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x + 2 x .

4

A.

∫ f ( x)dx = 12 x

2

+ x2 + C .

B.

∫ f ( x)dx = 3 x

C.

∫ f ( x)dx = 12 x

2

+2+C.

D.

∫ f ( x)dx = x


4

4

+ x2 + C .

+ x2 + C .

Lời giải
Chọn D
Ta có

∫ f ( x)dx = ∫ ( 4 x

3

+ 2 x ) dx = x 4 + x 2 + C .

2 x +1
Câu 15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e

A.

∫ f ( x ) dx = 2e

C.

∫ f ( x ) dx = 2 e


1

2 x +1

+C .

2 x +1

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = e

D.

∫ f ( x ) dx = e

x2 + x

2 x +1

+C.

+C.

Lời giải
Chọn C
Ta có
Câu 16. Cho


∫ f ( x ) dx = ∫ e

2 x +1

1
dx = e 2 x +1 + C
2

1

3

3

0

1

0

B. 1 .

C. −5 .
Lời giải

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ f ( x ) dx = −2 . Tính ∫ f ( x ) dx .

A. 5 .


D. −1 .

Chọn B
3

Ta có:

∫
0

1

3

0

1

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 − 2 = 1 .
2

Câu 17. Tính tích phân I =

∫ ( 2 x − 1) dx .
1

A. I =

5
.

6

B. I = 3 .

C. I = 1 .

D. I = 2 .

Lời giải
Chọn D
2

I=

∫ ( 2 x − 1) dx = ( x
1

2

− x) = 2 .
2

1

Câu 18. Cho số phức z = −5 + 2i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là
A. 5 và −2 .
B. 5 và 2 .
C. −5 và 2 .
D. −5 và −2 .
Lời giải

Chọn D
Ta có z = −5 − 2i . Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là −5 và −2 .
Câu 19. Cho hai số phức z1 = −2 − 3i và z2 = 5 − i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức 2z1 − z2 bằng
A. 13 .

B. −14 .

C. −6 .
Lời giải

Chọn B
11

D. 3 .


Ta có 2 z1 − z2 = 2 ( −2 − 3i ) − 5 + i = −4 − 6i − 5 + i = −9 − 5i .
Vậy −9 − 5 = −14 .
Câu 20.

Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn z = 3i − 1 , điểm biểu diễn số phức z là

A. Q ( 3; −1)

B. P ( −1; −3)

C. N ( 1; −3)

D. M ( −1;3) .


Lời giải.
Chọn B
Ta có

z = 3i − 1 ⇒ z = −1 − 3i nên điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là điểm P ( −1; −3) .
Câu 21. Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a 2 và chiều cao h = 2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
A. 12a 3 .

B. 2a 3 .

C. 4a 3 .

D. 6a 3 .

Lời giải
Chọn C
1
1 2
3
Ta có V = B.h = 6a .2a = 4a .
3
3

Câu 22. Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. 8 .

B. 16 .

C. 48 .


D. 12 .

Lời giải
Chọn C
Thể tích của khối hộp đã cho bằng 2.4.6 = 48 .
Câu 23.

Thể tích khối nón có chiều cao h , bán kính đường trịn đáy r là

1 2
A. V = π r h .
2

4 2
C. V = π r h .
3

B. V = π r 2 h .

1 2
D. V = π r h .
3

Lời giải.
Chọn D
1 2
Ta có V = π r h .
3

Câu 24. Cho khối nón có thể tích V = 4π và bán kính đáy r = 2 . Tính chiều cao h của khối nón đã cho.

A. h = 3 .

B. h = 1 .

C. h = 6 .

D. h = 6 .

Lời giải
Chọn A
1
3V
3.4π
2
=
=3.
Ta có cơng thức thể tích khối nón V = .π .r .h ⇒ h =
2
3
π .r
π .4

uuur
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( −1; 2; − 3) và B ( −3; − 1;1) . Tọa độ của AB là
uuu
r
uuu
r
uuu
r

uuu
r
A. AB = ( −2; − 3; 4 ) . B. AB = ( 4; − 3; 4 ) .
C. AB = ( −4;1; − 2 ) .
D. AB = ( 2;3; − 4 ) .
Lời giải
Chọn A
uuu
r
Ta có AB = ( −3 + 1; − 1 − 2;1+ 3) = ( −2; − 3; 4 ) .

12


Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2 y − 6z + 1 = 0 .

Tọa độ tâm I

của mặt cầu là
A. I ( 4; − 2; 6 ) .

B. I ( 2; − 1;3) .

C. I ( −4; 2; − 6 ) .

D. I ( −2;1; − 3) .

Lời giải

Chọn B
Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là I ( 2; − 1;3) .
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm M ( −2;1; − 1) thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A. −2 x + y − z = 0 .
C. 2 x − y − z + 6 = 0 .

B. x + 2 y − z −1 = 0 .
D. −2 x + y − z − 4 = 0 .
Lời giải

Chọn B
Xét đáp án A, thay tọa độ điểm
Xét đáp án B, thay tọa độ điểm
Xét đáp án C, thay tọa độ điểm
Xét đáp án D, thay tọa độ điểm

M
M
M
M

vào phương trình ta được
vào phương trình ta được
vào phương trình ta được
vào phương trình ta được

Câu 28. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d :
vecto chỉ phương của d ?
uu
r

ur
A. u2 = ( 2; 4; −1) .
B. u1 = ( 2; −5;3 ) .

6 = 0 (vô lý).
0 = 0 (đúng).
−2 = 0 (vô lý).
2 = 0 (vô lý).

x − 3 y − 4 z +1
=
=
. Vecto nào dưới đây là một
2
−5
3
uu
r
C. u3 = ( 2;5;3) .

uu
r
D. u4 = ( 3; 4;1) .

Lời giải
Chọn B
Câu 29. Chọn ngẫu nhiên 3 bóng từ hộp gồm 5 bóng xanh và 3 bóng vàng. Tính xác suất lấy được 3 bóng cùng
màu?
11
5

1
11
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
56
28
7
56
Lời giải
Chọn A
3
Số cách chọn 3 bóng từ hộp gồm 5 bóng xanh và 3 bóng vàng có: C8 = 56 (cách) Số cách chọn 3
3
3
bóng cùng màu có: C5 + C3 = 11 (cách)

Xác suất lấy được 3 bóng cùng màu:
Câu 30. Hàm số y =

2
3x + 1
2

11
.

56

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1; 1) .

B. ( −∞; 0 ) .

C. ( −∞; + ∞ ) .
Lời giải

Chọn D
Tập xác định D = ¡ .
y′ =

−12 x

( 3x

2

+ 1)

2

.

13

D. ( 0; + ∞ ) .



Ta có y′ < 0 ⇔ x > 0 nên hàm số y =

2
3x + 1
2

nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

4
2
Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 2 x − 1 trên đoạn [ −1; 2] là.
A. −1 .
B. 2.
C. 1.
Lời giải
Chọn A
4
2
Hàm số y = x + 2 x − 1 liên tục trên [ −1; 2 ] .
3
Ta có: y′ = 4 x + 4 x
Cho y′ = 0 ⇔ x = 0 ( nh n n ) .

D. −2 .

Ta có: f ( 0 ) = −1 , f ( −1) = 2 , f ( 2 ) = 23 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1 tại x = 0 .
2 x2 −3 x − 7


1
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình  ÷
 3
A. 7.

> 32 x − 21 là

B. 6.

C. vơ số.

D. 8.

Lời giải
Chọn A
2 x2 −3 x −7

1
Ta có  ÷
 3

(

− 2 x 2 −3 x − 7

> 32 x − 21 ⇔ 3

) > 32 x − 21


⇔ − ( 2 x 2 − 3 x − 7 ) > 2 x − 21 ⇔ −2 x 2 + 3 x + 7 > 2 x − 21
7
⇔ −2 x 2 + x + 28 > 0 ⇔ − < x < 4 .
2

Do x ∈ ¢ nên x ∈ { −3; − 2; − 1;0;1; 2;3} .
Vậy bất phương trình đã cho có 7 nghiệm ngun.
1

Câu 33. Cho

∫

f ( x ) dx = 2 và

0

1

∫ g ( x ) dx = 5 . Tính
0

A. −8 .

1

∫ ( f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx .
0

B. 12 .


C. 1 .

D. −3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có

1

1

1

0

0

0

∫ ( f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx = 2 − 2.5 = −8 .

Câu 34. Tìm mơđun của số phức z = 3 − 2i .
A. z = 5 .

C. z = 13 .

B. z = 5 .


D. z = 13 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: z = 3 − 2i ⇒ z = 32 + ( −2 ) 2 = 13 .
Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , AB = a , BC = 2a , SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA = 15a .

14


Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45° .
B. 30° .
C. 60° .
D. 90° .
Lời giải
Chọn C
Do SA vng góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng
·
· ; AC = SCA
·
đáy. Từ đó suy ra: SC ; ( ABC ) = SC
.

(

) (

)


Trong tam giác ABC vuông tại B có: AC =

AB 2 + BC 2 = a 2 + 4a 2 = 5a .

·
=
Trong tam giác SAC vng tại A có: tan SCA

(

SA
15a
·
=
= 3 Þ SCA
= 60°.
AC
5a

)

·
Vậy SC ; ( ABC ) = 60° .

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a , SA = a .
Khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng
A.

3a

.
7

B.

3a 2
.
2

C.

2a
.
5

D.

2a 3
.
3

Lời giải
Chọn C

Gọi H là hình chiếu của A lên SD ta chứng minh được AH ⊥ ( SCD )
1
1
1
2a
= 2+

⇒ AH =
.
2
2
AH
SA
AD
5

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I ( 1;1;1) và A ( 1; 2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi
qua A là
A. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 29 .
2

2

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 .

2

2

15

2

2


C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5 .

2

2

D. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 5 .

2

2

2

2

Lời giải
Chọn C
Ta có R = IA =

( 1 − 1)

2

+ ( 2 − 1) + ( 3 − 1) = 5 .
2

2

vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

( x − xI )


2

+ ( y − yI ) + ( z − z I ) = R 2 ⇒ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5 .
2

2

2

2

2

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −2;3; −1) , N ( −1; 2;3) và P ( 2; −1;1) . Phương
trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP là

 x = −1 + 3t

A.  y = 2 − 3t .
 z = 3 − 2t


 x = 2 + 3t

B.  y = −1 − 3t .
 z = 1 − 2t


 x = −2 + 3t


C.  y = 3 − 3t .
 z = −1 − 2t


 x = 3 − 2t

D.  y = −3 + 3t .
 z = −2 − t


Lời giải
Chọn C
Phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với NP nên có vectơ chỉ phương là:
uuur
NP = ( 3; −3; −2 ) .
Vậy phương trình đưởng thẳng

 x = −2 + 3t
là:  y = 3 − 3t
d

 z = −1 − 2t


Câu 39. Cho hàm số f ( x ) . Biết hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [ −4;3] , hàm số
g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
2

A. x = −1 .


B. x = 3 .

C. x = −4 .

D. x = −3 .

Lời giải
Chọn A
Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) trên [ −4;3] .
2

Ta có: g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( 1 − x ) .

g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1 − x . Trên đồ thị hàm số f ′ ( x ) ta vẽ thêm đường thẳng y = 1 − x .

16


 x = −4

Từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) = 1 − x ⇔  x = −1 .
 x = 3
Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) như sau:

g ( x ) = g ( −1) ⇔ x = −1 .
Vậy min
[ −4;3]

Câu 40.


Xét các số thức a, b, x, y thỏa mãn a > 1, b > 1và a x = b y = 3 ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q = x + 3 y thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.

( 0;1) .

 5  3
 2  2




3
2

B.  2; ÷  ; 2 ÷ .




C.  ; 2 ÷ .

5 
2 

D.  ;3 ÷ .

Lời giải

Chọn B
1

x = log a 3 ab = ( 1 + log a b )


3
a x = b y = 3 ab ⇒ 
 y = log 3 ab = 1 ( 1 + log a )
b
b

3
1
4 1
4
1
5
( 1 + log a b ) + 1 + logb a = + log a b + logb a ≥ + 2 ∈  2; ÷
3
3 3
3
3  2
π
π  8
2
Cho hàm số f ( x ) có f  ÷ = và f ′ ( x ) = cos x.sin 2 2 x, ∀ ∈ R . Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng:
 2  15
0


⇒ Q = x + 3y =

Câu 41.
A.

102
.
225

B.

121
.
225

C.

104
.
225

D.

109
.
225

Lời giải.
Chọn C
Ta


có:

f ′ ( x ) = cos x.sin 2 2 x = cos x. ( 2sin x.cos x ) = 4 cos x.sin 2 x.cos 2 x = 4 cos x.sin 2 x. ( 1 − sin 2 x )
2

⇒ f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 4 cos x.sin 2 x. ( 1 − sin 2 x ) dx . Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx

17


4 3 4 5
4 3
4 5
2
2
2
4
Ta có: I = ∫ 4t ( 1 − t ) dt = ∫ ( 4t − 4t ) dt = t − t + c ⇒ f ( x ) = sin x − sin x + c
3
5
3
5
4 3
4 5
π  8
Vì f  ÷ = ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = sin x − sin x
3
5
 2  15


Vậy

π
2

π
2

0

0

4

∫ f ( x ) dx = ∫  3 sin

3

4
104

x − sin 5 x ÷dx =
5
225


Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1 + i ) z − 1 − 3i = 0 . Tìm phần ảo của số phức w = 1 − iz + z .
A. −1 .


B. −i .

D. −2i .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A
1 + 3i
⇔ z = 2+i ⇒ z = 2−i .
1+ i
Do đó w = 1 − iz + z = 1 − i ( 2 − i ) + 2 + i = 2 − i .
Vậy phần ảo của số phức w = 1 − iz + z là −1 .

Ta có ( 1 + i ) z − 1 − 3i = 0 ⇔ z =

Câu 43. Cho khối lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh 2a , BD = 2a và AA ' = a 3
(minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng.

A. 2 3a 3 .

C. 6a 3 . D. 8 3a 3 .

B. 4a 3 .
Lời giải

Chọn C

(
Ta có tam giác ∆ABD  là tam giác đều nên S ∆ABD =

Ta có: S ABCD = 2S BCD

( 2a )
=2

2

3

2a )

2

3

4

= 2a 2 3

4
VABCD. A ' B 'C ' D ' = AA '.S ABCD = a 3.2a 2 3 = 6a 3 .

Câu 44. Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp có thể tích 200 m 3. Đáy
bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng. Giá th nhân cơng xây bể là 300.000
đồng/m2. Chi phí thuê công nhân thấp nhất là
A. 36 triệu đồng.

B. 51 triệu đồng.

C. 75 triệu đồng.

Lờigiải

Chọn B
Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y
Diện tích các mặt bên và mặt đáy là S = 6 xy + 2 x 2
2
Thể tích là V = 2 x y = 200 ⇒ xy =

100
.
x

18

D. 46 triệu đồng.


S=

600
300 300
300 300 2
+ 2 x2 =
+
+ 2x 2 ≥ 3 3
.
.2 x = 30 3 180
x
x
x

x
x

Vậy chi phí thấp nhất là T = 30 3 180.300000d = 51 triệu.
Câu 45. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M ( 1; 2; 2 ) , song song với mặt phẳng

( P) : x − y + z + 3 = 0
x = 1− t

A.  y = 2 + t .
z = 2


đồng thời cắt đường thẳng d :

x = 1+ t

B.  y = 2 − t .
z = 2


x −1 y − 2 z − 3
=
=
có phương trình là
1
1
1

x = 1− t


C.  y = 2 − t .
z = 2 − t


x = 1− t

D.  y = 2 − t .
z = 2


Lời giải
Chọn D

x = 1+ t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y = 2 + t .
z = 3 + t

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm. Theo đề bài d cắt ∆ nên gọi I = ∆ ∩ d ⇒ I ∈ d suy ra
I ( 1 + t ; 2 + t ;3 + t ) .
uuu
r
r
Ta có MI = ( t ; t ;1 + t ) ; mặt phẳng ( P ) có VTPT là n = ( 1; −1;1) .
∆ song song với mặt phẳng ( P ) nên
uuu
r r
uuu
rr

MI ⊥ n ⇔ MI .n = 0 ⇔ 1.t + ( −1) .t + 1. ( 1 + t ) = 0 ⇔ t = −1
uuu
r
⇒ MI = ( −1; −1; 0 ) là 1 VTCP của đường thẳng ∆ và ∆ đi qua điểm M ( 1; 2; 2 ) .

x = 1− t '

Vậy PTTS của đường thẳng ∆ cần tìm là  y = 2 − t ' .
z = 2

Câu 46. Cho hàm số

y = f ( x ) , hàm số

y = f ′( x)

có đồ thị như hình bên. Hàm số

 5sin x − 1  (5sin x − 1)
g ( x) = 2 f 
+ 3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ( 0; 2π ) .
÷+
2
4


2

19



A. 9 .

B. 7 .

C. 6 .
Lời giải

Chọn B

 5sin x − 1  5
Ta có: g ′ ( x ) = 5cos xf ′ 
÷+ cos x ( 5sin x − 1) .
2

 2
 5sin x − 1  5
g ′ ( x ) = 0 ⇔ 5cos xf ′ 
÷+ cos x ( 5sin x − 1) = 0
2

 2

 cos x = 0
⇔   5sin x − 1 
5sin x − 1
 f ′
=−
÷
 

2
2


20

D. 8 .





 cos x = 0

 cos x = 0


 5sin x − 1 = −3  cos x = 0

sin x = −1

2
5sin x − 1 = −6

 5sin x − 1
1
⇔
= −1 ⇔ 5sin x − 1 = −2 ⇔ sin x = −

2

5


5sin x − 1 = 2

 5sin x − 1 1
1

=
sin x =

3
2
3
3



5sin x − 1 = 2


 5sin x − 1
3
=1
sin x =


2
5




 x = π ∨ x = 3π

2
2

 cos x = 0

3π

x =
sin x = −1
2



1
 1
 1
⇔ sin x = − ⇔  x = π − arc sin  − ÷∨ x = 2π + arc sin  − ÷ ,.
5

 5
 5


1

1

1
sin x =
x = arc sin  ÷∨ x = π − arc sin  ÷

3

 3
 3


3

 3
 3
sin x = 5
 x = arc sin  ÷∨ x = π − arc sin  ÷

5
5

Suy phương trình g ′ ( x ) = 0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm x =

3π
là nghiệm kép.
2

Vậy hàm số y = g ( x ) có 7 cực trị.
x
Câu 47. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3


đúng ba nghiệm phân biệt là
A. 2 .
B. 3 .

x
Phương trình tương đương 3

2

2

− 2 x + 3− (2 x − m + 2)

.ln ( x 2 − 2 x + 3) = 3

− 2 x +3

− 2 x +1− 2 x − m

C. 1 .
Lời giải

Chọn B

⇔ 3x

2

=


ln ( 2 x − m + 2 )
ln ( x 2 − 2 x + 3)

= log x2 − 2 x +3 ( 2 x − m + 2 ) có
D. 0 .

.

.ln ( 2 x − m + 2 ) .

2 x−m +2

t
Xét hàm đặc trưng f ( t ) = 3 .ln t , t ≥ 2 là hàm số đồng biến nên từ phương trình suy ra

⇔ x 2 − 2 x + 3 = 2 x − m + 2 ⇔ g ( x ) = x 2 − 2 x − 2 x − m +1 = 0 .
2

2 x − 4 khi x ≥ m
 x − 4 x + 2m + 1 khi x ≥ m
⇒ g '( x) = 
Có g ( x ) =  2
.
khi x ≤ m
khi x ≤ m
 x − 2m + 1
2 x


 x = 2 khi x ≥ m

và g ' ( x ) = 0 ⇔ 
.
 x = 0 khi x ≤ m
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: m ≤ 0 ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau:
21


Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên khơng có m thoả mãn.
Trường hợp 2: m ≥ 2 tương tự.
Trường hợp 3: 0 < m < 2 , bảng biến thiên g ( x ) như sau:


m = 1
( m − 1) = 0


1
Phương trình có 3 nghiệm khi  −2m + 1 = 0 > 2m − 3 ⇔  m = .

2
 −2 m + 1 < 0 = 2 m − 3


3
m =

2
Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tổng của chúng bằng 3.
2


Câu 48. Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M
có hồnh độ bằng −2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai N ( 1;1) cắt Ox tại điểm có hồnh độ bằng 4 . Biết
diện tích phần gạch chéo là

A.

31
.
18

B.

9
. Tích phân
16

1

∫ f ( x ) dx bằng
−1

13
.
6

C.

19
.

9

D.

7
.
3

Lời giải
Chọn B
Dựa vào giả thiết đường thẳng đi qua hai điểm
d : x + 3y − 4 = 0 ⇒ y =

M ( −2; 2 )

và P = ( 4;0 ) . Suy ra

−1
4
x+ .
3
3

3
2
2
Từ giả thiết ta có hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c . Chú ý đồ thị hàm

số tiếp xúc đường thẳng d tại x = −2 .
22



Dựa vào hình vẽ ta có hệ

1

1 = −8a + 4b − 2c
a=

12
0 = a + b + c


1
1
1
1

⇒ y = x3 + x 2 − x + 1 .

1 ⇒ b =
4
12
4
3
12a − 4b + c = − 3 
1


c = − 3

 d = 1

1

Từ đó

∫ f ( x ) dx =

−1

13
.
6

Câu 49. Cho số phức z = a + bi ( a , b ∈ ¡ ) thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= z +2 +2 z −2 .
B. 7 .

A. 10 2 .

C. 10 .

D. 5 2 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: z + 2 = ( a + 2 ) + b 2 ; z − 2 = ( a − 2 ) + b 2 .
2

2


2

Suy ra: z + 2 + z − 2

2

2

= 2 ( a 2 + b 2 ) + 8 = 2 z + 8 = 10 .

2

2

(

2
2
2
Ta có: A = ( z + 2 + 2 z − 2 ) ≤ 1 + 2
2

)( z+2

2

+ z−2

2


) = 50 .

Vì A ≥ 0 nên từ đó suy ra A ≤ 50 = 5 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2 .
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −2; 4 ) , B ( −3;3; − 1) , C ( −1; − 1; − 1) và mặt phẳng

( P ) : 2x − y + 2z + 8 = 0 .

Xét điểm M thay đổi thuộc ( P ) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = 2 MA2 + MB 2 − MC 2 .

A. 102.

B. 35.

C. 105.
Lời giải

Chọn A

uu
r uur uur r
Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 IA + IB − IC = 0
uuu
r uur
uuu
r uur
uuur uur r

⇔ 2 OA − OI + OB − OI − OC − OI = 0

(

) (

) (

)

uur uuu
r 1 uuu
r 1 uuur
⇔ OI = OA + OB − OC = ( 1;0; 4 )
2
2

⇔ I ( 1;0; 4 ) .
Khi đó, với mọi điểm M ( x ; y ; z ) ∈ ( P ) , ta ln có:
uuu
r uur 2 uuu
r uur 2 uuu
r uur 2
T = 2 MI + IA + MI + IB − MI + IC

(

) (
) (
)

uuu
r
uuu
r uu
r uur uur
uu
r uur
= 2MI + 2 MI . ( 2 IA + IB − IC ) + 2 IA + IB
2

2

2

uur 2
− IC

= 2 MI 2 + 2 IA2 + IB 2 − IC 2 .

Ta tính được 2 IA2 + IB 2 − IC 2 = 30 .
23

D. 30.


Do đó, T đạt GTNN ⇔ MI đạt GTNN ⇔ MI ⊥ ( P ) .
Lúc này, IM = d ( I , ( P ) ) =

2.1 − 0 + 2.4 + 8
2 + ( −1) + 2

2

2

2

=6.

2
Vậy Tmin = 2.6 + 30 = 102 .

----------------------Hết--------------------

24