ĐỀ SỐ 14

ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC

(Đề thi có 07 trang)

Mơn: Tốn

(Đề có lời giải)

Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Một khối lập phương lớn có thể tích bằng V, diện tích
xung quanh bằng S. Người ta lấy đi một khối lập phương nhỏ
có thể tích bằng

1
V như hình vẽ bên. Diện tích xung quanh
4

hình cịn lại bằng
A. S.

B.

1
S.
4

3
1

S.
D. S.
4
2
2
Câu 2. Cho hai số phức z1 = 2− 3i và z2 = 5+ 2i . Tìm số phức z = z1 + z2
C.

i
A. z = 7− 5.

B. z = 7+ i.

C. z = 9− 10i.

D. z = −10i.

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ
x
y'
y

−∞
+

-1
0
-4

−∞

Mệnh đề nào sau đây đúng?

0
-

-

1
0

+∞
+

+∞
−∞

+∞
0

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;+∞ ) .

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( 1;−3;5) , B( 2;0;1) ,C ( 0;9;3) . Tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC là
A. G ( 3;12;6) .


B. G ( 1;2;4) .

C. G ( 1;0;2) .

D. G ( 1;2;3) .

4x
Câu 5. Họ nguyên hàm của các hàm số f ( x) = e + 1 là

A. 4e4x+1 + x + C.

B.

1 4x+1
e + x + C.
4

C. 4e4x + x + C.

D.

1 4x
e + x + C.
4

Câu 6. Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5;+∞ ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .


Trang 1


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;3) .
x+ 1 y z− 2
= =
, mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + 5 = 0
2
1
1

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

và A( 1;−1;2) . Đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng
MN. Một vecto chỉ phương của ∆ là
r
r
A. u = ( 2;3;2) .
B. u = ( 1;−1;2) .

r
C. u = ( −3;5;1) .

r
D. u = ( 4;5;−13) .

Câu 8. Thể tích khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = 5, SB = AC = 6, SC = AB = 4 là
A. V = 2 95.


B. V =

35 2
.
2

C. V =

15 6
.
4

D. V = 2 105.

1 3
2
Câu 9. Tất cả các giá trị của m để hàm số y = x − 2( m− 1) x + ( m+ 2) x + m− 6 đồng biến trên ¡ là
3
A. m≥ 2.

B.

1
< m≤ 2.
4

C. −

(


3
≤ m≤ 1.
4

D.

1
≤ m≤ 2.
4

)

x
2
Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số y = e x − x − 5 trên [1;3] là

B. −3e2.

A. 2e2.

D. −7e3.

C. e3.

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x x
A.

∫x

xdx =


2 2
x x + C.
5

B.

∫x

xdx =

2
x x + C.
5

C.

∫x

xdx =

1 2
x x + C.
2

D.

∫x

xdx =


3
x + C.
2

Câu 12. Cho hình nón có bán kính đáy bằng

2 và độ dài đường sinh bằng 3. Diện tích xung quanh của

hình nón đã cho là
A. Sxq = 2π.

B. Sxq = 6π.

C. Sxq = 3π 2.

Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

D. Sxq = 6π 2.

x − 1 y− 2 z + 2
=
=
. Mặt phẳng nào dưới đây
1
−2
1

vng góc với đường thẳng d?
A. x + y + 2z + 1= 0.


B. z − 2y + z + 1= 0.

C. x − 2y − z + 1= 0.

D. x + y + z + 1= 0.

Câu 14. Giá trị của tham số m để hàm số y =
A. m≥ 10.

B. m> 10.

2x + m
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là
x+ 5
C. m< 10.

D. m≤ 10.

Câu 15. Biết dãy số ( un ) có số hạng tổng quát như các đáp án dưới đây. Giả sử các số hạng đầu tiên
của dãy số là 4, 7, 10, 13,16… thì khẳng định đúng là
A. un = 3.

B. un = n + 1.

C. un = 3n − 1.

D. un = 3n + 1.
Trang 2



Câu 16. Hàm số y = x3 − 3x2 + 1 có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (C) có trục đối xứng là trục tung.

B. (C) khơng cắt trục hồnh.

C. (C) có tâm đối xứng.

D. (C) khơng cắt trục tung.

Câu 17. Khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 2a3, mặt đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SCD có
diện tích bằng 3a2 . Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng
A. a.

B. 3a.

Câu 18. Cho số phức z =

C. 2a.

( 2− 3i ) ( 4 − i )
3+ 2i

A. z = −1+ 4i.

D. a 2.

. Số phức liên hợp của số phức z là

B. z = −1− 4i.


C. z = 4i.

D. z = −4i.

x
Câu 19. Biết đạo hàm của hàm số y = xx có dạng y'( alnbx + c) x ,( a, b,c ∈ ¢ ) . Giá trị của biểu thức

T = abc là
A. T = 1.

B. T = 2.

C. T = 3.

3
D. T = .
2

4
2
Câu 20. Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c và

(

)

g( x) = f mx2 + nx + p ,( mn
, , p Ô ) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá
trị của tổng m+ n + p bằng

A. −2.

B. −1.

C. 0.

D. 1.

Câu 21. Tìm họ nguyên hàm

∫ cos

2021

xsin xdx ta được kết quả là

2021
A. ∫ cos xsin xdx = −

1
cos2021 x + C.
2021

2021
B. ∫ cos xsin xdx =

1
cos2022 x + C.
2022


2021
C. ∫ cos xsin xdx = −

1
cos2022 x + C.
2022

2021
D. ∫ cos xsin xdx =

1
cos2022 x + C.
2022

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a . Hai mặt phẳng
(SAB) và mặt phẳng (SAD) cùng vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với mặt đáy một góc 60o .
Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a bằng
2a3 15
A.
.
3

B. 2a 15.
3

C. 2a .
3

2a3 15
D.

.
9

Câu 23. Tổng S tất cả các nghiệm của phương trình 73x − 3.49x.3x + 8.63x − 6.27x = 0 là
A. S= −1.

B. S= 0.

C. S= 1.

D. S= −4.

Câu 24. Cho các số thực dương a, b, c với c ≠ 1 thỏa mãn điều kiện loga b = 3,loga c = −2 . Khi đó

(

loga a3b3 c
A. 5.

)

bằng
B. 8.

C. 10.

D. 2.
Trang 3



Câu 25. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 = −1+ i,
z2 = 1+ 2i, z3 = 2− i, z4 = −3i . Diện tích tứ giác ABCD là
A. S=

17
.
2

B. S=

19
.
2

C. S=

23
.
2

D. S=

21
.
2

2
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x ( x − 1) ( x − 4) g( x) , trong đó g( x) > 0,∀x. Hàm

( )


2
số y = f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −∞;−2) .

B. ( −1;1) .

C. ( −2;−1) .

D. ( 1;2) .

Câu 27. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q):2x − y + 2z − 3 = 0 và
tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 11= 0 là
A. (P): 2x − y + 2z − 9 = 0 và 2x − y + 2z − 21= 0.
B. (P): 2x − y + 2z − 9 = 0 và 2x − y + 2z + 21= 0 .
C. (P): 2x − y + 2z + 9 = 0.
D. (P): 2x − y + 2z + 9 = 0 và 2x − y + 2z − 21= 0
Câu 28. Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao
cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau?
A. 48.

B. 72.

C. 24.

D. 36.

Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực.
Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f '( x) và trục hồnh đồng thời có diện tích S = a . Biết rằng
1

∫ ( x + 1) f '( x) dx = b
0

1

và f ( 3) = c . Giá trị tích phân I = ∫ f ( x) dx là

A. I = a − b + c.

B. I = −a + b − c.

0

C. I = −a + b + c.

D. I = a − b − c.

Câu 30. Một khách hàng có 100 000 000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng (1 quý) với lãi suất 0,65%
một tháng theo phương thức lãi kép. Hỏi vị khách này sau bao nhiêu quý mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền
gốc ban đầu gửi ngân hàng?
A. 12 quý.

B. 24 quý.

C. 36 quý.

D. 48 quý.


Trang 4


Câu 31. Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào ba quả bóng tennis,
biết rằng đáy của hình trụ bằng hình trịn lớn trên quả bóng và chiều cao của
hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng. Gọi S1 là tổng diện tích của ba
quả bóng, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích
A. 1.

B. 2.

C. 5.

D. 3.

S1
bằng
S2

1

Câu 32. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn ff( 1) = 1, ∫  '( x)  dx = 9 và
2

0

1

3

∫ x f ( x) dx =
0

A.

1
. Tính tích phân
2

2
.
3

B.

1

∫ f ( x) dx bằng
0

5
.
2

C.

7
.
4


6
.
5

D.

Câu 33. Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện
vng góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính 40cm, chiều dài của
trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của
trống là các đường parabol. Thể tích của cái trống gần với số nào nhất
trong các đáp án sau?

(

)

3
B. 420,3 dm .

(

)

3
D. 453,3 dm .

3
A. 425,2 dm .
3
C. 450,3 dm .


Câu

34.

Cho

các

số

(

)

(

)

z1, z2, z3

phức

thỏa

mãn

điều

kiện


z1 = 2, z2 = 3, z3 = 5 và

25z1z2 + 4z2z3 + 9z1z3 = 120 . Giá trị của biểu thức P = z1 + z2 + z3 bằng
A. 1.

B. 4.

Câu 35. Cho hàm số y =

C. 2.

( m+ 1) x + 2m+ 2
x+ m

D. 3.

. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên

( −1;+∞ ) ?
 m< 1
.
C. 
 m> 2

B. 1≤ m< 2.

A. m< 1.

D. m> 2.


Câu 36. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x
f '( x)

−∞
-

-1
0

+

2
0

+

3
0

-

4
0

+∞
+

3 2

3
Hàm số y = 3f ( x + 2) − 2x − x + 3x + 2020 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2
Trang 5


A. ( 1; +∞ ) .

1

C.  −1; ÷.
2


B. ( −∞;−1) .

(

D. ( 0;2) .

)

x
x
2
x
Câu 37. Cho hai đường cong (C1): y = 3 3 − m+ 2 + m − 3mvà (C2 ):3 + 1. Để (C1) và (C2 ) tiếp xúc

nhau thì giá trị của tham số m bằng
A. m=


5− 2 10
.
3

B. m=

5+ 3 2
.
3

C. m=

5+ 2 10
.
3

D. m=

5− 3 2
.
3

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1;1) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia
Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là
A. 2x − y + 2z − 3 = 0.

B. 4x − y − z − 6 = 0.

C. 2x + y + 2z − 6 = 0.


D. x + 2y + 2z − 6 = 0.

Câu 39. Cho các hàm số y = f ( x) , y = g( x) có đạo hàm liên tục
trên [0;3]. Đồ thị của hàm số y = f '( x) , y = g'( x) được cho như
hình vẽ bên. Diện tích các hình phẳng (H), (K) lần lượt là

5 8
, .
12 3

Biết f ( 0) − g( 0) = 1. Hiệu f ( 3) − g( 3) bằng
5
A. − .
4

B.

5
.
4

2
2
C. − .
D. .
3
3
Câu 40. Cho hình chóp đều S.ABC có ·ASB = 30o , SA = 1 . Lấy điểm B’, C’ lần lượt thuộc cạnh SB, SC
sao cho chu vi tam giác AB’C’ là nhỏ nhất. Tỉ số

A. 2.

B. 3.

VS . AB ' C '
= a + b 3, ( a, b ∈ ¢ ) . Giá trị 3a + 4b bằng
VS . ABC
C. 5.

D. 4.

Câu 41. Chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60o . Gọi M là một
uuur uuur r
điểm thuộc cạnh AB sao cho MA + 2MB = 0 . Gọi ( S1 ) , ( S 2 ) lần lượt là giao tuyến của hai mặt cầu ngoại
tiếp các khối chóp S.ABCD và S.CDM. Biết rằng ( S1 ) và ( S 2 ) có giao tuyến là một đường trịn. Bán
kính của đường trịn đó bằng
A. 2a.

B. 3a.

C.

5a
.
8

D.

3a
.

8

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A ( 3;1;0 ) , B ( 2;0; −1) , C ( 2; 2;0 ) , D ( 3;7;3 ) . Với mỗi điểm
M tùy ý, đặt T = MA + MB + MC + MD. Gọi M o ( a, b, c ) là điểm sao cho T đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
tổng a + 5b + c bằng
Trang 6


A.

17
.
4

B. 11.

C. – 7.

D. 4.

Câu 43. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Có bao nhiêu
giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x + 1) + m có
5 điểm cực trị?
A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.


3
2
Câu 44. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đường cong ( C1 ) : y = x và ( C2 ) : y = x + x + m có

4 tiếp tuyến chung là
4
3
27
8

A.

B.

1
1
27
8

C.

5
1
27
4

D.

1
3
8
8

Câu 45. Cho tập hợp A = { 0;1; 2;3; 4;5;6} . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau được lấy ra từ tập A sao cho phải có mặt đúng 3 chữ số lẻ và chúng không đứng liền nhau?
A. 728 số.

B. 648 số.

C. 468 số.

D. 180 số.

Câu 46. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2000;21] để phương trình

( x − 3) log 2 ( 3x + 1) + log3 ( 4 x + 1) + log5 ( 6 x + 1)  = 7 x − m
A. 2.

B. 2022.

có đúng hai nghiệm thực là

C. 1.

D. 2021.

Câu 47. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f ( − x ) + 2019 f ( x ) = x sin x . Giá trị tích phân
π
2

I=

∫ f ( x ) dx

bằng

−π
2

A.

1
.
1010

B.

1
.
2019

C.

1
.

1009

D.

1
.
2

Câu 48. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau
x
y'
y

−∞
-

-1
0

+∞

0
+

-

B. 3.

Câu 49. Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡

C. 4.

)

+∞
+
+∞

-1

-2
3
g
x
=
2
f
( x ) + 4 f 2 ( x ) + 1 là
Số điểm cực tiểu của hàm số ( )
A. 5.

1
0
-2

D. 9.

thỏa mãn z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ≤ 5 . Gọi m, M lần lượt là giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + 8 x + 6 y . Giá trị m + M bằng

Trang 7


A. 60 − 20 10.

B. 44 − 20 10.

C.

9
.
5

D. 52 − 20 10.

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I ( −1; 2;5 ) và đi qua điểm A ( 1;0;1) . Xét các
điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) sao cho AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau. Thể tích của khối tứ
diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A.

32 3
.
9

B.

64 6
.
3

C.

63 2
.
3

D.

128 6
.
3

Đáp án
1-A
11-A
21-C
31-A
41-C

2-D
12-C
22-A
32-B
42-B

3-B
13-B
23-B
33-A

43-B

4-D
14-B
24-B
34-B
44-C

5-D
15-D
25-A
35-B
45-C

6-B
16-C
26-C
36-C
46-B

7-A
17-A
27-D
37-C
47-A

8-C
18-A
28-B
38-D

48-A

9-D
19-A
29-A
39-A
49-A

10-C
20-C
30-C
40-D
50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
Khi mất đi 3 mặt nhỏ lại bù vào đủ 3 mặt có cùng diện tích nên diện tích xung quanh khơng đổi và bằng
S.
Câu 2: Đáp án D
Ta có: z = z12 + z2 = ( 2 − 3i ) + ( 5 + 2i ) = 4 − 12i + 9i 2 + 5 + 2i = −10i
2

Câu 3: Đáp án B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 0;1) .
Câu 4: Đáp án D
x A + xB + xC 1 + 2 + 0

=

=1
 xG =
3
3

y + yB + yC −3 + 0 + 9

=
= 2 ⇒ G ( 1; 2;3)
Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có  yG = A
3
3

z A + z B + zC 5 + 1 + 3

=
=3
 zG =
3
3

Câu 5: Đáp án D
Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ ( e

4x

+ 1) dx =

1 4x
1
e d ( 4 x ) + ∫ dx = e 4 x + x + C
∫
4
4

Câu 6: Đáp án B
Trang 8


Tập xác định D = ¡
 x = −1
y ' = 3x 2 − 6 x − 9 . Cho y ' = 0 ⇔ 
x = 3
Bảng biến thiên
−∞

x
y'
y

+

-1
0

-

3

0

+∞
+
+∞

7
-25
−∞

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 5; +∞ )
Câu 7: Đáp án A
Điểm M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t ; t ; 2 + t ) , A là trung điểm của MN ⇒ N ( 3 − 2t ; −2 − t ; 2 − t )
Điểm N ∈ ( P ) ⇒ 3 − 2t − 2 − t − 2 ( 2 − t ) + 5 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M (3; 2; 4), N ( −1; −4;0)
uuuu
r
⇒ MN = ( −4; −6; −4 ) = −2 ( 2;3; 2 )
Câu 8: Đáp án C
Áp dụng công thức V =

2
12

(a

2

+ b2 − c2 ) .( a 2 − b2 + c2 ) .( b2 + c 2 − a 2 )

Với a = SA = 5, b = SB = 6, c = SC = 4 ⇒ V =

15 6
4

Câu 9: Đáp án D
2
Ta có y ' = x − 4 ( m − 1) x + m + 2

a = 1 > 0

Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 
1
2
2
 ∆ ' = 4 ( m − 1) − ( m + 2 ) = 4m − 9m + 2 ≤ 0 ⇔ 4 ≤ m ≤ 2
Câu 10: Đáp án C
 x = 2 ∈ ( 1;3)
x
2
Ta có y ' = e ( x + x − 6 ) ⇒ y ' = 0 ⇔ 
 x = −3 ∉ ( 1;3)
y = y ( 3 ) = e3
y ( 1) = −5e; y = −3e 2 ; y ( 3) = e3 . Vậy giá trị lớn nhất là max
[1;3]
Câu 11: Đáp án A
3
2

2 52
2 2

∫ x xdx = ∫ x dx = 5 x + C = 5 x x + C
Câu 12: Đáp án C
Ta có S xq = πRl = 3π 2
Trang 9


Câu 13: Đáp án B

r
Ta thấy vecto chỉ phương của đường thẳng d là u = ( 1; −2;1) . Mặt phẳng vng góc với đường thẳng d thì
r
các vecto pháp tuyến có dạng k .u = k ( 1; −2;1) , ∀k ≠ 0 .
Câu 14: Đáp án B
Tập xác định D = ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
Ta có y ' =

10 − m

( x − 1)

2

. Hàm số y =

2x + m
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
x −1

⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔ 10 − m < 0 ⇔ m > 10
Câu 15: Đáp án D

Dễ nhận thấy dãy số là cấp số cộng có các số hạng u1 = 4; u2 = 7,...;
Do đó cơng sai d = u2 − u1 = 3.
Số hạng tổng quát là un = 4 + 3. ( n − 1) = 3n + 1
Câu 16: Đáp án C
Hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị (C) có đặc điểm
+ (C) ln có tâm đối xứng.
+ (C) ln cắt trục hồnh.
+ (C) ln cắt trục tung.
Câu 17: Đáp án A
3
Theo đề bài ta có VS . ABCD = 2a , mặt đáy ABCD là hình chữ nhật

1
3
nên VS . ACD = VS . ABCD = a
2
Mặt khác
3V
1
VS . ACD = S∆SCD .d ( A, ( SCD ) ) ⇔ d ( A, ( SCD ) ) = S . ACD
3
S ∆SCD
⇔ d ( A, ( SCD ) ) =

3a 3
⇔ d ( A, ( SCD ) ) = a
3a 2

Câu 18: Đáp án A
Ta có z =

( 2 − 3i ) ( 4 − i )
3 + 2i

=

5 − 14i ( 5 − 14i ) ( 3 − 2i ) −13 − 52i
=
=
= −1 − 4i
3 + 2i
13
13

Vậy z = −1 + 4i .
Câu 19: Đáp án A
Ta có ln y = x ln x ⇒ ( ln y ) ' = ( x ln x ) '

Trang 10


⇒

y'
= ln x + 1 ⇒ y ' = y ( ln x + 1) = ( ln x + 1) x x ⇒ a = b = c = 1 ⇒ T = 1
y

Câu 20: Đáp án C
Ta có f ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 1; g ( x ) = ( x 2 − 1) + 2 ( x 2 − 1) − 1
4

2

Thay x = 1 vào g ( x ) ta có g ( 1) = f ( m + n + p )
Dựa vào đồ thị ta có g ( 1) = −1 nên −1 = f ( m + n + p )
Dựa vào đồ thị f ( x ) ta có m + n + p = 0
Câu 21: Đáp án C
2021
2021
Ta có ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = −

1
cos 2022 x + C
2022

Câu 22: Đáp án A
Do hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) cùng vuông góc với mặt
phẳng đáy ⇒ SA ⊥ ( ABCD)
·
Vậy SCA
= 60o , AC = a 5
o
Xét tam giác vuông SAC có tan 60 =

SA
⇒ SA = a 15
AC

2
Lại có S ABCD = 2a

1
1
2 15a 3
Vậy VS . ABCD = SA.S ABCD = a 15.2a 3 =
3
3
3
Câu 23: Đáp án B
Ta có: 73 x − 3.49 x.3x + 8.63x − 6.27 x = 0 ⇔ ( 7 x ) − 3. ( 7 x ) .3x + 8.7 x. ( 3x ) − 6. ( 3x ) = 0
3

(7 )
⇔
(3 )

x 3

x 3

( 7 ) .3
− 3.
(3 )
x 2

x 3

x

+ 8.

7 x. ( 3x )

(3 )

x 3

2

2

3x

2

2x

3

x

x

7
7
7
7
− 6 = 0 ⇔  ÷ − 3.  ÷ + 8.  ÷ − 6 = 0 ⇔  ÷ = 1 ⇔ x = 0
3
3

3
3

Vậy S = 0
Câu 24: Đáp án B

(

)

(

)

1
3 2
3
2
3 2
Ta có log a a b c = log a a + log a b + log a c = 3 + 2 log a b + log a c ⇒ log a a b c = 8
2
Câu 25: Đáp án A

Trang 11


Ta có z1 = −1 + i ⇒ A ( −1;1) , z2 = 1 + 2i ⇒ B ( 1; 2 )
z3 = 2 − i ⇒ C (2; −1), z4 = −3i ⇒ D ( 0; −3 )
uuur
r

AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC = 13, n = ( 2;3 ) là vecto pháp tuyến của đường
thẳng AC.
Phương trình đường thẳng
AC : 2 ( x + 1) + 3 ( y − 1) = 0 ⇔ 2 x + 3 y − 1 = 0
2 + 3.2 − 1

Khoảng cách từ B đến AC là d ( B; AC ) =
⇒ S ∆ABC =

13

7
13

1
1 7
7
d ( B; AC ) . AC = .
. 13 =
2
2 13
2
0 − 9 −1

Khoảng cách từ D đến AC là d ( D; AC ) =
⇒ S ∆ADC =

=

13

=

10
13

1
1 10
d ( D; AC ) . AC = .
. 13 = 5
2
2 13

Vậy S = S ∆ABC + S∆ADC =

7
17
+5 =
2
2

Câu 26: Đáp án C
Ta có y ' = 2 xf ' ( x 2 ) = 2 x ( x 2 )

2

(x

2

− 1) ( x 2 − 4 ) g ( x 2 )

= 2 x 5 ( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 2 ) g ( x 2 ) > 0, ∀x ∈ ( −2; −1)
Câu 27: Đáp án D
Vì (P) // (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2 x − y + 2 z + D = 0 ( D ≠ −3)
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2;3) và R = 5
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ; ( P ) ) =

D = 9
= 5 ⇔ D + 6 = 15 ⇔ 
2
 D = −21
22 + ( −1) + 22

2.1 − 2 + 2.3 + D

Vậy có hai mặt phẳng (P) là 2 x − y + 2 z + 9 = 0 và 2 x − y + 2 z − 21 = 0
Câu 28: Đáp án B
Giả sử ghế dài được đánh số như hình vẽ
1
2
3
4
Có hai trường hợp: Một nữ ngồi ở vị trí số 1 hoặc một nam ngồi ở vị trí số 1.

5

6

Ứng với mỗi trường hợp sắp xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau có 3!.3! cách xếp.

Vậy có 2.3!.3! = 72 cách xếp.
Câu 29: Đáp án A
1

1

Ta có: b = ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx ⇔ b = 2 f ( 1) − f ( 0 ) − I
0

1

0

Trang 12


1

3

0

1

Mặt khác a = S = ∫ f ' ( x ) dx − ∫ f ' ( x ) dx = f ( 1) − f ( 0 ) − ( f ( 3) − f ( 1) ) = 2 f ( 1) − f ( 0 ) − f ( 3)
⇒ 2 f ( 1) − f ( 0 ) = a + c
Vậy I = 2 f ( 1) − f ( 0 ) − b = a − b + c
Câu 30: Đáp án C
Lãi suất 1 quý là r = 3.0, 65% = 0, 0195
Tổng số tiền thu được sau n quý là S = A ( 1 + r )

n

Cần tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất thỏa mãn S − A > A ⇔ S > 2 A ⇔ ( 1 + r ) > 2 ⇔ n > log1+ r + 2
n

Vì vậy ta có n > log1,0195 2 ≥ 36
Vậy sau 36 quý người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng.
Câu 31: Đáp án A
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R, suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R nên chiều cao hình trụ bằng 6R
2
2
Diện tích S1 = 3.4πR = 12πR
2
Diện tích S 2 = 2πR.6 R = 12πR

Vậy

S1
=1
S2

Câu 32: Đáp án B
1

Ta có ∫  f ' ( x )  dx = 9

( 1)

2

0

1

1
Xét ∫ x f ( x ) dx = . Đặt
2
0
3

du = f ' ( x ) dx
u = f ( x )

⇒

x4
3
dv
=
x
dx
v =


4
1

1
1

1
 x4

1 3
1 4
1 1 4
⇒ ∫ x f ( x ) dx = 
f ( x ) ÷ − ∫ x f ' ( x ) dx = − ∫ x f ' ( x ) dx
20
4 40
 4
0 4 0
1

1

0

0

⇒ ∫ x 4 f ' ( x ) dx = −1 ⇒ 18∫ x 4 f ' ( x ) dx = −18
1

1

1

x9
1
= ⇒ 81∫ x8 dx = 9

Lại có ∫ x dx =
9 0 9
0
0
8

( 2)

( 3)

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được
1

1

1

2
4
8
4 2
4 2
∫0   f ' ( x )  + 18 x f ' ( x ) + 81x  dx = 0 ⇔ ∫0  f ' ( x ) + 9 x  dx = 0 ⇔ π.∫0  f ' ( x ) + 9 x  dx = 0

Trang 13


4
Hay thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ' ( x ) + 9 x , trục hoành

Ox, các đường thẳng x = 0, x = 1 khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:
9
f ' ( x ) + 9 x 4 = 0 ⇔ f ' ( x ) = −9 x 4 ⇒ f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = − x 4 + C
5
Lại do f ( 1) = 1 ⇒ C =
1

⇒∫
0

14
9
14
⇒ f ( x ) = − x5 =
5
5
5
1

1

14 
14 
5
 9
 3
f ( x ) dx = ∫  − x5 + ÷dx =  − x 6 + x ÷ =
5
4
5 0 2

 10
0

Câu 33: Đáp án A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Xét (P) có đỉnh là I ( 0; 40 ) và đi qua các điểm
B ( −50;30 ) , C ( 50;30 ) .
1 2
x + 40
250
Có thể coi cái trống được tạo ra bởi phép quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
Do đó phương trình của ( P ) : y = −

−1 2

( P ) : y = 250 x + 40

xung quanh trục Ox.
y = 0
 x = −50

 x = 50
Khi đó thể tích V = π

50

2

 −1 2


3
3
∫−50  250 x + 40 ÷ dx ≈ 425162, 2058 ( cm ) = 425, 2 ( dm )

Câu 34: Đáp án B
2

2

2

Ta có z1 = 2, z2 = 3, z3 = 5 nên z1.z1 = z1 = 4, z2 .z2 = z2 = 9, z3 .z3 = z3 = 25
Khi đó 25 z1 z2 + 4 z2 z3 + 9 z1 z3 = 120 ⇔ z3 z1 z2 z3 + z1 z1 z2 z3 + z2 z1 z2 z3 = 120

(

)

⇔ z3 + z1 + z2 z1 z2 z3 = 120 ⇔ z3 + z1 + z2 = 4 hay P = z1 + z2 + z3 = 4
Câu 35: Đáp án B
Tập xác định D = ¡ \ { −m}
Ta có y ' =

m2 − m − 2

( x + m)

2

Hàm số nghịch biến trên ( −1; +∞ ) khi và chỉ khi

m 2 − m − 2 < 0
 −1 < m < 2
y ' < 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ 
⇔
⇔1≤ m < 2
m ≥ 1
 − m ≤ −1
Trang 14


Câu 36: Đáp án C
2
Ta có y ' = 3 f ' ( x + 2 ) − 6 x − 3x + 3
2
Xét y ' ≥ 0 ⇔ f ' ( x + 2 ) ≥ 2 x + x − 1

Từ bảng biên thiên của f ' ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của f ' ( x + 2 ) như sau
−∞

x
f ' ( x + 2)

-3
-

0
0

+

1
0

+

+∞

2
0

-

0

+

 −3 < x < 1
1
⇒ −1 < x <
Suy ra f ' ( x + 2 ) > 0 ⇔ 
thì f ' ( x + 2 ) > 0
2
x > 2
2
Mặt khác 2 x + x − 1 < 0 ⇔ −1 < x <

1
2

2

Do đó f ' ( x + 2 ) ≥ 2 x + x − 1 với −1 < x <

1
2

Câu 37: Đáp án C
Đặt

t = 3x ( t > 0 )

suy

ra

( C1 ) : y = 3x ( 3x − m + 2 ) + m2 − 3m = t 2 + ( 2 − m ) t + m 2 − 3m = f ( t )

và

( C2 ) : y = 3 x + 1 = t + 1 = g ( t )
Để ( C1 ) và ( C2 )

2
2
 f ( t ) = g ( t )
t + ( 2 − m ) t + m − 3m = t + 1
⇔
tiếp xúc nhau thì hệ 
có nghiệm t > 0
 2t + 2 − m = 1
 f ' ( t ) = g ' ( t )

m = 2t + 1
t 2 + ( 2 − m ) t + m 2 − 3m = t + 1 m = 2t + 1

⇔ 2
⇔  1 ± 10
Ta có 
3
t
−
2
t
−
3
=
0
 2t + 2 − m = 1

t =
3

Do nghiệm t > 0 nên t =

1 + 10
5 + 2 10
⇒m=
.
3
3

Câu 38: Đáp án D
Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c )
Do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên a, b, c > 0
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn có dạng
Vì M ( 2;1;1) ∈ ( P ) ⇒

2 1 1
+ + =1
a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương
Dấu “=” xảy ra khi
Suy ra VO. ABC =

x y z
+ + =1
a b c

2 1 1
2 1 1
2
; ; ta có: 1 = + + ≥ 3 3
⇒ abc ≥ 54
a b c
a b c
abc

2 1 1 1 a = 6
= = = ⇒
a b c 3 b = c = 3

abc
≥9
6
Trang 15


x y z
Vậy ( P ) : + + = 1 ⇔ x + 2 y + 2 z − 6 = 0
6 3 3
Câu 39: Đáp án A
Dựa vào đồ thị ta có
1

5
5
∫ ( f ' ( x ) − g ' ( x ) ) dx = 12 ⇔ ( f ( 1) − g ( 1) ) − ( f ( 0 ) − g ( 0 ) ) = 12 ( 1)
0

3

− ∫ ( f ' ( x ) − g ' ( x ) ) dx =
1

8
8
⇔ ( f ( 1) − g ( 1) ) − ( f ( 3) − g ( 3) ) =
3
3

( 2)

8 5
5
Từ (1) và (2), suy ra ( f ( 0 ) − g ( 0 ) ) − ( f ( 3) − g ( 3) ) = − ⇒ f ( 3) − g ( 3) = −
3 12
4
Câu 40: Đáp án D
Cắt tứ diện theo các cạnh SA, AC, AB rồi trải lên mặt phẳng (SBC)

Tam giác SBC giữ nguyên, tam giác SAB lật thành tam giác SAB; tam giác SAC thành tam giác SCA’.
Do đó: AC ' = A ' C '; SA ' = SA = 1
o
·A SA = ·A SB + BSC
·
·
SA ' = SA = 1 nên ∆SAA ' là tam giác vuông cân.
+ CSA
1
2
1
2 = 3.30 = 90 và

C AB 'C ' = AB '+ B ' C '+ AC ' = AB '+ B ' C '+ A ' C ' ≥ AA ' = 2 không đổi,
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B’, C’, A’ thẳng hàng tức là khi B ' ≡ Bo , C ' ≡ Co
Ta có

·
SB ' SBo SB0 sin SAB
sin 45o

o
=
=
=
=
= −1 + 3
· A sin105o
SB
SB
SA sin SB
o
2

V
SB ' SC '  SB ' 
.
=
Vậy S . AB 'C ' =
÷ = 4 − 2 3 ⇒ 3a + 4b = 4
VS . ABC
SB SC  SB 

Câu 41: Đáp án C
Ta dễ thấy đường trịn giao tuyến cần tìm chính là đường trịn ngoại tiếp tam giác SCD. Gọi I là trung
điểm của CD. Từ giả thiết ta suy ra SI = a .
Trang 16


2

a
a 5
Khi đó SC = SD = SI 2 +  ÷ =
2
2
Mặt khác S ∆SCD =

1
a2
SC.SD.CD 5a
SI .CD =
⇒ R∆SCD =
=
2
2
4 S∆SCD
8

Câu 42: Đáp án B
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
Ta có AB = ( −1; −1; −1) , AC = ( −1;1;0 ) , AD = ( 0;6;3) , BC = ( 0; 2;1) , BD = ( 1;7; 4 )
uuu
r uuur
Suy ra  AB, AC  = ( 1;1; −2 ) và AC = 2, BD = 66
Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : x + y − 2 z − 4 = 0

( 1)

Do tọa độ điểm D thỏa mãn (1) nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
uuur
uuur
Mặt khác AD = 3BC , suy ra ABCD là hình thang với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm I.
x = 3 − t

Phương trình đường thẳng AC :  y = 1 + t
z = 0

x = 2 + t '

Phương trình đường thẳng BD :  y = 7t '
 z = −1 + 4t '

9 7 
Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm I  ; ;0 ÷
4 4 
Với mọi M , MA + MC ≥ AC và MB + MD ≥ BD nên
T = MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD = 2 + 66
9 7 
Do đó Tmin = 2 + 66 khi M ≡ I . Suy ra M o  ; ;0 ÷
4 4 
Vậy a + 5b + c = 11
Câu 43: Đáp án B
Đồ thị hàm số y = f ( x + 1) + m được suy ra từ đồ thị (C) ban đầu như sau
+ Tịnh tiến (C) sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) m đơn vị. Ta được đồ thị

( C ') : y = f ( x + 1) + m

+ Phần đồ thị

( C ')

nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm số

y = f ( x + 1) + m
Ta được bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = f ( x + 1) + m như sau:
x
g '( x)

−∞

-4
-

-2
0

+

+∞

1
0

-

0

+
Trang 17


g ( x)

+∞

+∞
2+m
−3 + m

−6 + m
Để hàm số y = f ( x + 1) + m có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số ( C ') : y = f ( x + 1) + m phải cắt trục
Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm.
m > 0

Đề bài yêu cầu tìm m nguyên dương nên ta xét trường hợp  −3 + m ≥ 0 ⇔ 3 ≤ m < 6
 −6 + m < 0

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m là m ∈ { 3; 4;5}
Câu 44: Đáp án C
Phương trình tiếp tuyến tại điểm xo của đồ thị hàm số y = x3 là
y = 3xo2 ( x − xo ) + xo3 = 3xo2 .x − 2 xo3

( 1)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x1 của đồ thị hàm số y = x 2 + x + m là
y = ( 2 x1 + 1) ( x − x1 ) + x12 + x1 + m = ( 2 x1 + 1) .x − x 2 + m

( 2)

Để hai đồ thị hàm số có tiếp tuyến chung thì ( 1) ≡ ( 2 )
2

2
 3 xo2 − 1 
3 xo = 2 x1 + 1
3
4
3
⇒
⇒
−
2
x
=
−

÷ + m ⇔ 4m = 9 xo − 8 xo − 6 xo + 1
o
3
2
2
−2 xo = − x1 + m


4
3
2

3
2
Xét y = 9 xo − 8 xo − 6 xo + 1; y ' = 36 xo − 24 xo − 12 xo


 xo = 0
 xo = 0

⇔  xo = 1
Khi đó y ' = 0 ⇔  2
3xo − 2 xo − 1 = 0

1
 xo = −
3


Bảng biến thiên
x
y'
y

−∞

−
-

+∞

1

3

0
0

+

+∞

1
0

-

0

+
+∞
Trang 18


1
20
27
-4
5
1
Do đó phương trình có 4 nghiệm khi
27

4
Câu 45: Đáp án C
Giả sử a1a2 a3 a4 a5 là số cần tìm. Ta tính tất cả các số gồm 5 chữ số sao cho ln có mặt 3 chữ số lẻ, sau
đó trừ đi trường hợp mà 3 số lẻ đứng liền nhau.
3
Tất cả có 3 số lẻ, xếp 3 số lẻ vào 3 trong 5 vị trí, ta có A5 = 60 cách.
2
Khi đó cịn lại 2 vị trí có thể tùy ý trong 4 số chẵn, ta có A4 = 12 cách.

Vậy có 60.12 = 720 (số).
Trong các số trên trừ trường hợp a1 = 0
Nếu a1 = 0 thì xếp 3 số lẻ vào 3 trong 4 vị trí, cịn lại 1 vị trí chọn trong 3 số chẵn { 2; 4;6}
3
1
Ta có A4 . A3 = 72 (số)

Suy ra 720 – 72 = 648 (số) gồm 5 chữ số sao cho ln có mặt 3 chữ số lẻ.
Tính các số có 5 chữ số sao cho có 3 số lẻ đứng liền nhau.
3
- Nếu a1a2 a3 là 3 số lẻ ta có A3 = 6 (cách xếp). Khi đó 2 vị trí cịn lại a4 a5 có thể chọn tùy ý trong 4 số
2
chẵn, ta có A4 = 12 . Vậy có 6.12 = 72 (số).
3
- Nếu a2 a3a4 là 3 số lẻ ta có A3 = 6 (cách xếp). Khi đó a1 có 3 cách chọn ( a1 ≠ 0 ) ; a5 có 3 cách chọn.

Vậy có 6.3.3 = 54 (số).
- Tương tự nếu a3a4 a5 là 3 số lẻ có 54 (số).
Suy ra 72 + 2.54 = 180 số có 3 chữ số lẻ đứng liền nhau.
Vậy có 648 – 180 = 468 số có 5 chữ số khác nhau được lấy ra từ tập A sao cho 3 số lẻ không đứng liền
nhau.

Câu 46: Đáp án B
Điều kiện x > −

1
6

Trường hợp 1: m = 21 , phương trình đã cho trở thành

( x − 3) log 2 ( 3x + 1) + log3 ( 4 x + 1) + log5 ( 6 x + 1) − 7  = 0
x = 3
⇔
log 2 ( 3x + 1) + log 3 ( 4 x + 1) + log 5 ( 6 x + 1) − 7 = 0 ( 1)

Trang 19


Xét hàm số

f ( x ) = log 2 ( 3 x + 1) + log 3 ( 4 x + 1) + log 5 ( 6 x + 1) − 7

là hàm đồng biến trên khoảng

 −1

 ; +∞ ÷
 6

Khi đó nếu xo là nghiệm của phương trình (1) thì xo là nghiệm duy nhất.
Ta có f ( 0 ) = −7; f ( 3) ≈ 0.48 > 0 , suy ra f ( 0 ) f ( 3) < 0
Theo hệ quả của định lý trung gian, tồn tại xo ∈ ( 0;3) sao cho f ( xo = 0 )

Do vậy m = 21 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: m < 21, dẫn đến x = 3 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình đã cho trở thành log 2 ( 3 x + 1) + log 3 ( 4 x + 1) + log 5 ( 6 x + 1) −
Xét hàm số g ( x ) = log 2 ( 3 x + 1) + log 3 ( 4 x + 1) + log 5 ( 6 x + 1) −

7x − m
=0
x −3

7x − m
có tập xác định
x −3

 1 
d =  − ;3 ÷∪ ( 3; +∞ )
 6 
3
4
6
21 − m
> 0, ∀x ∈ D
Đạo hàm g ' ( x ) = 3 x + 1 ln 2 + 4 x + 1 ln 3 + 6 x + 1 ln 5 +
2
(
)
(
)
(
)
( x − 3)

Bảng biến thiên
x
g '( x)

−

1
6

+∞

3
+

+
+∞

g ( x)
−∞

+∞
−∞

 1 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình g ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm x1 ∈  − ;3 ÷ và x2 ∈ ( 3; +∞ )
 6 
với mọi m < 21
Vậy với mọi giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2000; 21] thì phương trình đã cho ln có hai nghiệm thực
phân biệt hay có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 47: Đáp án A

Đặt t = − x ⇒ dt = −dx
Với x =

−π
2

π
2

π
2

2

2

2

−π
π
π
−π
⇒t = ;x = ⇒t =
. Khi đó I = − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx
2
2
2
2
π
−π

−π

Trang 20


Suy ra 2020.I =

π
2

π
2

π
2

−π
2

−π
2

−π
2

2
1
∫ f ( − x ) dx + 2019. ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin xdx = 2 ⇒ I = 2020 = 1010

Câu 48: Đáp án A

2
Ta có g ' ( x ) = 6 f ' ( x ) f ( x ) + 8 f ' ( x ) f ( x ) = 2 f ' ( x ) f ( x ) ( 3 f ( x ) + 4 )


 f '( x) = 0

Suy ra g ' ( x ) = 0 ⇔  f ( x ) = 0 . Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta có

 f ( x) = − 4
3

 x = −1

+ f '( x) = 0 ⇔ x = 1
 x = 0
+ Phương trình f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 (giả sử x1 < x2 ). Suy ra x1 < −1 và x2 > 1.
+ Phương trình f ( x ) = −

4
có 4 nghiệm x3 , x4 , x5 , x6 (giả sử x3 < x4 < x5 < x6 )
3

Có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu sau x1 < x3 < −1; −1 < x4 < 0;0 < x5 < 1;1 < x6 < x2
Bảng biến thiên của hàm số y = g ( x )
x

−∞

x1

f '( x)

-

f ( x)

+

3 f ( x) + 4

+

g '( x)

-

0

x3
-

-

-1
0 +

-

-

-

-

-

+
0

+

0
0

-

0

x4

0

+ 0

x5

0
+ 0

-

-

-

-

+

+
+

-

0

1
0

x6
+

+

-

-

-

0

-

-

0

+

0

-

+

0

-

0

+∞

x2
+
0

+
+

0

+

g ( x)

Suy ra hàm số y = g ( x ) có 5 điểm cực tiểu.
Câu 49: Đáp án A

Trang 21


Gọi N ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi
Ta có:

z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ⇔ 2 x + y + 2 ≤ 0; z − 2 + i ≤ 5 ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 1) ≤ 25
2

2

(hình trịn tâm

I ( 2; −1) , bán kính r = 5) . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ≤ 5 thuộc miền (T) (xem hình vẽ với A ( −2; 2 ) ; B ( 2; −6 ) ).
Ta có P + 25 = ( x + 4 ) + ( y + 3) ⇒ P + 25 =
2

2

( x + 4)

2

2
+ ( y + 3) = NJ (với J ( −4; −3) )

Bài toán trở thành tìm điểm N thuộc miền (T) sao cho NJ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có: IJ − r ≤ NJ ≤ JB ⇔ 2 10 − 5 ≤ P + 25 ≤ 3 5 ⇔ 40 − 20 10 ≤ P ≤ 20
Vậy m + M = 60 − 20 10
Câu 50: Đáp án C
Đặt AB = a, AC = b, AD = c thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A nội tiếp mặt cầu (S). Khi đó ABCD là tứ
diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA’ là đường
kính của cầu.
1
1 2 2 2
2
Ta có: a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 . Xét V = VABCD = abc ⇔ V = a b c .
6
36
3

 a 2 + b2 + c2 
 4R2 
2 2 2
2
3 4 3
Mặt khác a + b + c ≥ 3 a b c ⇔ 
÷≥ a b c ⇔ 
÷ ≤ 36.V ⇔ V ≤ R .

3
27


 3 
2

2

2

3

2 2 2

Với R = IA = 2 6. Vậy Vmax =

64 2
.
3

Trang 22