PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình vật lý THPT, bài tốn con lắc đơn là bài tốn được đưa vào
phần cuối của chương trình cơ học 10, dưới hình thức là bài tập vận dụng. Khi gặp
bài toán này học sinh thường gặp phải những khó khăn như sau:
- Phương pháp giải bài tốn này không được đưa ra cụ thể mà học sinh phải tự vận
dụng các phương pháp đã học của phần cơ học để giải quyết. Tuy nhiên, với những
học sinh mới bắt đầu chương trình học lớp 10 thì việc hiểu và vận dụng được các
phương pháp đã học để giải quyết thành cơng bài tốn này là rất khó khăn
- Bài tốn con lắc đơn có rất nhiều khả năng xảy ra mà để khai thác được hết các
khả năng đó địi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các phương pháp, các kiến
thức đã học của chương trình cơ học 10. Với những học sinh có học lực trung bình
thì việc tự mình hiểu và xâu chuỗi các kiến thức, các phương pháp vào một bài toán
là rất khó khăn.
- Một số kiến thức tốn học, học sinh mới bắt đầu làm quen trong chương trình lớp
10 như: khái niệm véc tơ, các phép toán véc tơ.... nhưng lại phải vận dụng thành
thạo nó cho mơn vật lý cũng là một việc vơ cùng khó khăn.
- Thời lượng dành cho phần này theo phân phối chương trình gần như khơng có mà
chỉ được lồng vào một số tiết bài tập. Tuy vậy, đến chương trình cơ học 12, khi xét
đến dao động của con lắc đơn lại đòi hỏi học sinh phải vận dụng thành thạo, nắm
được các cơng thức liên quan.
Mặc dù có rất nhiều những khó khăn , nhưng bài toán con lắc đơn vẫn được xem là
bài tốn điển hình của cơ học 10, nó là một chun đề khơng thể thiếu trong
chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi và cũng là phần không thể bỏ qua trong
chương trình ơn thi THPT Quốc gia. Với học sinh lớp 10, thơng qua bài tốn này
học sinh có thể phát huy được:
- Tính chủ động: Bài tốn đưa ra trong tiết bài tập gần cuối phần cơ, đòi hỏi học
sinh phải chủ động vận dụng các kiến thức, các phương pháp đã học để giải quyết.
- Tính tích cực: Để giải quyết bài tốn buộc học sinh phải tích cực suy nghĩ, phân
tích hiện tượng và biết cách vận dụng linh hoạt các phương pháp, xâu chuỗi các
kiến thức đã học.

- Tính sáng tạo: Từ một bài tốn cơ bản, có thể phát triển thành rất nhiều bài tốn
khác mà việc giải quyết mỗi phát triển đó lại liên quan đến một đơn vị kiến thức
khác.Tuy nhiên nếu khơng có bài tốn cơ bản, học sinh sẽ rất lúng túng khi giải
quyết tất cả các phát triển trên.
Chính vì vậy, tơi đã chọn đề tài này nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn
bản chất, hiện tượng vật lý của bài toán con lắc đơn, gây hứng thú học tập cho học
sinh, đồng thời qua đó phát huy được tính độc lập, tính tích cực, tính sáng tạo và
phát triển năng lực tư duy của học sinh.
Trang 1


II. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là: Sử dụng các phương pháp đã học để giải quyết
bài toán về con lắc đơn.
III. Đối tượng nghiên cứu:
Phần cơ học chương trình vật lý 10 theo sách giáo khoa nâng cao
IV. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận:
- Cơ sở của các phương pháp đã học: phương pháp động lực học, phương pháp tọa
độ, phương pháp dùng định luật bảo toàn.
Nghiên cứu thực tiễn:
- Vận dụng các phương pháp đã học vào bài toán con lắc đơn
V. Phạm vi áp dụng
Đề tài này áp dụng được cho những học sinh học môn vật lý 10 THPT theo sách
giáo khoa nâng cao, những học sinh học chuyên lý, những học sinh trong đội tuyển
học sinh giỏi vật lý và những học sinh thi môn khoa học tự nhiên trong kỳ thi
THPT Quốc gia. Đồng thời có thể là tài liệu tham khảo cho những giáo viên đang
giảng dạy môn vật lý THPT.

Trang 2



PHẦN II. NỘI DUNG


A


T

P
O

I. Cơ sở lý luận của đề tài.
1. Con lắc đơn:
- Về cấu tạo: Con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không giãn, đầu trên cố định, đầu
dưới gắn với vật nặng có kích thước nhỏ.
- Về chuyển động của con lắc đơn:
Khi chưa bị kích thích con lắc ở trạng thái cân bằng, vật nặng ở vị trí thấp nhất, sợi
dây có phương thẳng đứng
Khi được kích thích, con lắc chuyển động qua lại xung quanh vị trí cân bằng, quỹ
đạo có dạng là một cung tròn
- Về lực tác dụng:
Xét trong trọng trường và bỏ qua sức cản của khơng khí thì trong q trình
chuyển
u
r
độngur qua lại, vật nặng chịu tác dụng của hai lực là lực căng của sợi dây T và trọng
lực P . Hợp của hai lực này thay đổi theo vị trí của vật.
2. Bài tốn cơ bản của con lắc đơn:

Bài toán: Con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không giãn, chiều dài l, đầu trên cố
định, đầu dưới gắn với vật nặng khối lượng m, có kích thước nhỏ. Kéo vật nặng
cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α0 rồi thả nhẹ.
Yêu cầu: Xác định vận tốc của vật nặng và lực căng của sợi dây tại một vị trí mà
sợi dây lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α.
3. Các phương pháp sử dụng để giải quyết bài toán:
3.1. Phương pháp dùng định luật bảo toàn cơ năng
Bước 1: Đọc kỹ đề, phân tích hiện tượng cơ học xảy ra trong bài tốn.
Xác định các dữ kiện đã biết và dữ kiện cần tìm (Tóm tắt đề bài).
Bước 2: Chọn mốc thế năng.
Viết biểu thức cơ năng của vật tại hai vị trí: W1, W2
Trong đó: Một vị trí có liên quan đến các dữ kiện đã cho và một vị trí liên
quan đến các đại lượng cần tìm.
Bước 3: Chỉ ra cơ năng của vật (của hệ) được bảo toàn.
Trang 3


Vận dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hai vị trí đó W 1 = W2 , kết hợp
với các dữ kiện của đề bài để giải bài toán.
Bước 4: Kết luận, đáp số.
3.2. Phương pháp động lực học
Bước 1: Đọc kỹ đề, phân tích hiện tượng cơ học xảy ra trong bài toán.
Xác định các dữ kiện đã biết và dữ kiện cần tìm (Tóm tắt đề bài).
Xác định và biểu diễn đầy đủ các lực tác dụng lên vật ( Hình vẽ).

Fhl  m.a  1

Bước 2: Viết phương trình động lực học cho vật
Bước 3: Chuyển phương trình (1) về dạng đại số bằng cách chiếu nó lên các
phương thích hợp

Bước 4: Từ phương trình các phương trình đại số, kết hợp với các dữ kiện của đề
bài để giải bài toán.
Bước 5: Kết luận, đáp sơ.
II. Thực trạng của học sinh khi gặp bài tốn con lắc đơn.
Khi gặp bài toán này, học sinh thường lúng túng và thường rất khó khăn để hồn
thành nó:
Khó khăn đầu tiên khi gặp phải là học sinh không biết khi nào nên dùng phương
pháp động lực học, khi nào nên dùng định luật bảo tồn cơ năng.
Khó khăn tiếp theo là việc phân tích chuyển động của vật đó là chuyển động trịn
khơng đều, một dạng chuyển động mà học sinh chưa học, từ đó xuất hiện các khái
niệm mới như gia tốc hướng
tâm, gia tốc tiếp tuyến... nên nếu khơng nắm được thì


F

m
.
a
hl
việc chiếu phương trình
cũng sẽ rất lúng túng, khó khăn.

Một khó khăn nữa là các kiến thức về hình học, về chuyển động trịn, về lượng
giác... học sinh buộc phải sử dụng thành thạo.
III. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
1. Hướng dẫn học sinh sử dụng thành thạo phương pháp giải bài tốn con lắc
đơn.
Biện pháp thực hiện:
- Phân tích cho học sinh hiểu rõ bản chất của hiện tượng xảy ra.

- Đưa ra phương pháp, yêu cầu học sinh nắm được các bước và tiến hành tuần tự
theo từng bước cho mỗi bài toán cụ thể.
- Cung cấp cho học sinh các kiến thức toán học cần thiết: Kiến thức về đường trịn,
về véc tơ và các phép tốn véc tơ, về phép chiếu và hình chiếu, về các phép biến
đổi lượng giác.
- Cho hoc sinh được luyện tập nhiều thơng của các bài tập.
Bài tốn cơ bản: Con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không giãn, chiều dài l, đầu
trên cố định, đầu dưới gắn với vật nặng khối lượng m, có kích thước nhỏ. Kéo vật
nặng cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α0 rồi thả nhẹ.
Trang 4


Yêu cầu: Xác định vận tốc của vật nặng và lực căng của sợi dây tại một vị trí mà
sợi dây lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α. Bỏ qua sức cản của khơng khí.

A


T

P



M

O

Phân tích bài tốn và tìm phương pháp giải
Sau khi thả, vật nặng sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng O với quỹ đạo

là một cung tròn tâm I (điểm treo, vận tốc của vật tại mọi điểm ln vng góc với
sợi dây.
Bỏ qua sức cản của khơng khí.
u
r
T và
Vật chịu tại
mỗi
vị
trí,
vật
chịu
tác
dụng
của
hai
lực
là
lực
căng
của
sợi
dây
ur
trọng lực P . Hợp của hai lực này thay đổi theo vị trí của vật.
Do đó gia tốc của vật thay đổi trong quá trình chuyển động, chuyển động của vật
là chuyển động trịn khơng đều
Tại mỗi vị trí, gia tốc của vật bao gồm hai thành phần:
Thành phần đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của vận tốc gọi là gia tốc hướng
tâm (giống như gia tốc trong chuyển động trịn đều, từ đó có thể sử dụng các cơng

thức của chuyển động trịn đều liên quan đến gia tốc này)
Thành phần đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vận tốc, gọi là gia tốc tiếp
tuyến, trong một phạm vi nhỏ xung quanh vị trí xét, nó giống như gia tốc của
chuyển động thẳng biến đổi.
Như vậy, có thể thấy khơng thể sử dụng phương trình động lực học cho cả quá
trình chuyển động của vật được, mà chỉ xét tại mỗi vị trí
Tuy nhiên, có thể thấy rằng trong q trình vật chuyển động qua lại quanh vị cân
bằng thì vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của vật được bảo tồn, do
đó có thể dùng định luật bảo tồn cơ năng để tính tốn với các đại lượng liên quan
đế vận tốc và độ cao.
Từ đó rút ra nhận xét là dùng định luật bảo toàn cơ năng để tính vận tốc của vật
tại các vị trí, cịn dùng phương trình động lực học tại mỗi vị trí để xác định lực.
Bài giải cụ thể:
Chọn mốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang đi qua vị trí cân bằng của vật
Cơ năng của vật tại vị trí thả: W1  mgh1
trong đó: h1  l (1  cos 0 )
Trang 5


 W1  mgl (1  cos 0 )

Cơ năng của vật tại vị trí M mà dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α
bất kỳ
mv 2
2
trong đó: h2  l (1  cos )
mv 2
W2  mgl (1  cos ) 
2
W2  mgh2 


Trong quá trình chuyển động, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của
vật được bảo toàn

A


T

P



M

Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng ta có:

O

W1  W2

mv 2
2
v  2 gl (cos  cos 0 )

 mgl (1  cos 0 )  mgl (1  cos ) 

Vận tốc của vật tại M:
u
r

ur
T , P
Tại M: Vật chịu tác dụng củaur hai
lực:
ur
r
P
+
T
=
ma
Theo định luật II Niu Tơn :
Chiếu lên phương bán kính, chiều hướng vào tâm là dương, ta được:
 Pcos  T  maht

v2
 2 gcos  2 gcos 0
l
Mặt khác:
Lực căng của sợi dây: T  mg (3cos  2cos 0 )
aht 

Nhận xét: Từ hai cơng thức tổng qt trên, có thể áp dụng tính được cho các vị trí
bất kỳ trong q trình vật chuyển động
Đặc biệt: Tại VTCB thì vận tốc của vật và lực căng sợi dây có giá trị lớn nhất
v0  2 gl (1  cos 0 )
T  mg (3  2cos 0 )
Trang 6



0
A

Một số bài toán khác hoặc yêu cầu khác xoay quanh bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Một vật nặng khối lượng m được treo ở đầu một sợi dây nhẹ, không
giãn, chiều dài l, đầu kia của dây cố định. Khi vật ở vị trí cân bằng người ta truyển
cho vật một vận tốc đầu v0 theo phương ngang. Bỏ qua sức cản khơng khí.Tính
góc lệch lớn nhất mà sợi dây đạt được so với phương thẳng đứng.
Nhận xét: Khi đã thành thạo bài toán cơ bản, học sinh sẽ dễ dàng áp dụng định
luật bảo toàn cơ năng và tính được α0
Bài giải cụ thể:

Chọn mốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang đi qua vị trí cân bằng của vật
O v0
mv02
2
Cơ năng của vật tại vị trí cân bằng:
Cơ năng của vật tại vị trí góc lệch cực đại: W1  mgl (1  cos 0 )
W0 

Trong quá trình chuyển động, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của
vật được bảo toàn
Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng ta có:
mv02
 mgl (1  cos 0 )
2
v2
 1  cos 0  0   0
2 gl
W0  W1 


0
Chú ý: Với bài tốn này giáo viên phải tính tốn số liệu sao cho khi tính ra  0  90

Trang 7






A

T


v

O

Bài toán 2: Con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không giãn, chiều dài l, đầu trên cố
định, đầu dưới gắn với vật nặng khối lượng m, có kích thước nhỏ. Kéo vật nặng
cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α rồi truyền cho vật một vận tốc
v theo phương vng góc với sợi dây trong mặt phẳng thẳng đứng. Bỏ qua sức cản
khơng khí.Tính góc lệch lớn nhất mà sợi dây đạt được so với phương thẳng đứng
và vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng.
Nhận xét: Học sinh sẽ thấy được, những bài tốn như thế này, hồn tồn giống
như bài tốn cơ bản, nó chỉ khác là cách kích thích chuyển động của con lắc. Do
đó, nếu thành thạo bài tốn cơ bản thì việc giải nó rất dễ dàng


A


T

P



M

O

Bài giải cụ thể:
Chọn mốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang đi qua vị trí cân bằng của vật
mv02
2
Cơ năng của vật tại vị trí cân bằng:
Cơ năng của vật tại vị trí góc lệch cực đại: W1  mgl (1  cos 0 )
W0 

W2 

mv 2
 mgl (1  cos )
2

Cơ năng của vật tại vị trí truyền vận tốc cho vật:
Trong quá trình chuyển động, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của
vật được bảo toàn

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

Trang 8


W2  W0


mv 2
mv 2
 mgl (1  cos )  0
2
2

 v0  v 2  2 gl (1  cos )
W2  W1
mv 2

 mgl (1  cos )  mgl (1  cos 0 )
2
v2
 cos 0  cos 
2 gl

Chú ý: Với bài toán này giáo viên phải tính tốn số liệu sao cho khi tính ra

 0  900

và v  v0  2 gl (1  cos ) đúng bằng v  2 gl (1  cos 0 )
Bài toán 3: Một vật nặng khối lượng m =100g được treo ở đầu một sợi dây nhẹ,

không giãn, chiều dài l =1m, đầu kia của dây cố định. Khi vật ở vị trí cân bằng
người ta truyển cho vật một vận tốc đầu v0 theo phương ngang. Khi dây treo
nghiêng góc α =30o so với phương thẳng đứng thì gia tốc của quả cầu có phương
ngang. Lấy g =10m/s2, bỏ qua sức cản khơng khí.Tìm vận tốc v0.
Nhận xét: Bài này cũng gần giống với bài tốn cơ bản nhưng ở mức độ khó hơn
một chút là học sinh phải phân biệt được gia tốc tồn phần và gia tốc hướng tâm,
từ đó mà áp dụng các công thức phù hợp
Bài giải cụ thể:
Khi dây treo
nghiêng góc α = 300 so với phương thẳng đứng, vật chịu tác dụng của
u
r
ur
hai lực: T , P
2

M

 

P

T

ma
Theo định luật II Niu Tơn :


T


P



Do gia tốc có phương ngang nên chiếu lên phương ngang ta được:
Tcos 300  ma  1

Mặt khác, chiếu lên phương bán kính, chiều hướng vào tâm là dương, ta có:
Trang 9

O


T  Pcos 300  m

v2
 2
l
v2 

gl
 3
2 3

Từ (1) và (2) suy ra:
Chọn mốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang qua vị trí cân bằng
Cơ năng của vật tại vị trí cân bằng:

W0 


mv02
2
W2 

mv 2
 mgl (1  cos )
2

Cơ năng của vật tại vị trí dây treo lệch góc α :
Trong q trình chuyển động, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của
vật được bảo toàn
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:
W2  W0

mv 2
mv 2
 mgl (1  cos )  0
2
2
2
2
 v0  v  2 gl (1  cos )


 v0 

gl
3
 2 gl (1 
)  2,36  m / s 

2
2 3

Bài toán 4: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ có khối lượng m = 100g treo vào một sợi
dây nhẹ, không giãn dài l = 1m. Kéo vật cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng
0
một góc   30 rồi truyền cho vật một vận tốc v theo phương vuông góc với sợi
dây để vật đi về vị trí cân bằng. Khi vật chuyển động thì lực căng dây cực đại bằng
hai lần trọng lực của nó. Tìm v . Bỏ qua sức cản của khơng khí
Nhận xét: Khi học sinh đã thành thạo bài toán cơ bản, sẽ thấy được lực căng cực
đại của sợi dây đạt được là khi vật qua vị trí cân bằng Tmax  mg (3cos  2cos 0 ) , vận


O

v0  2 gl (1  cos 0 )

Bài giải cụ thể:
Trang 10


T

P

tốc
của
vật
tại
đó

là


Ta có: Tại vị trí cân bằng  

P

T

ma
Theo định luật II Niu Tơn :
Chiếu theo phương sợi dây ( phương thẳng đứng)
Tmax  P 

mv02
l

mv02
 2mg  mg 
l
 v0  gl

Chọn mốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang qua vị trí cân bằng
Cơ năng của vật tại vị trí cân bằng:

W0 

mv02
2


Cơ năng của vật tại vị trí dây treo lệch góc α :
Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng ta có:

W

mv 2
 mgl (1  cos )
2

W2  W0

mv 2
mv 2
 mgl (1  cos )  0
2
2
2
2
 v  v0  2 gl (1  cos )


 v  v02  2 gl (1  cos )  2 gl (2cos  1)  2, 7  m / s 

Bài tập tự luyện
Bài 1: Quả cầu nhỏ có khối lượng m = 500 g được treo vào điểm cố định I bằng
dây treo mảnh, nhẹ, khơng giãn có chiều dài l = 1,0 m. Kéo quả cầu tới vị trí dây
treo tạo với phương thẳng đứng góc  0  90 rồi bng nhẹ. Lấy g = 10m/s2. Bỏ qua
sức cản của không khí.
a. Hãy xác định lực căng dây, vận tốc và gia tốc của quả cầu khi nó đi qua vị trí mà
0


dây treo tạo với phương thẳng đứng góc  0  30
b. Tính giá trị lớn nhất của vận tốc của vật và lực căng sợi dây.
Bài 2: Một vật nặng khối lượng m =100g được treo ở đầu một sợi dây nhẹ, không
giãn, chiều dài l =50cm, đầu kia của dây cố định. Khi vật ở vị trí cân bằng người ta
0

truyển cho vật một vận tốc đầu v0  5 m / s theo phương ngang. Bỏ qua sức cản
khơng khí. Lấy g = 10m/s2
a. Tính góc lệch cực đại mà dây treo đạt được và độ cao cực đại mà vật đạt được.
0
b. Tính vận tốc của vật và lực căng của dây treo ở vị trí có góc lệch   45
Bài 3: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ có khối lượng m = 200g treo vào một sợi dây
nhẹ, không giãn dài l = 60cm. Kéo vật cho dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng
Trang 11


một góc   60 rồi truyền cho vật một vận tốc v  6 m / s theo phương vng góc
với sợi dây trong mặt phẳng thẳng. Lấy g = 10m/s2. Bỏ qua sức cản của khơng khí
a. Tính góc lệch cực đại mà dây treo đạt được và độ cao cực đại mà vật đạt được.
0
b. Tính vận tốc của vật và lực căng của dây treo ở vị trí có góc lệch   30
0
c. Tính lực hướng tâm tác dụng lên vật khi vật ở vị trí có góc lệch   30 và khi vật
qua vị trí cân bằng
2. Phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh thơng qua bài
tốn con lắc đơn
Biện pháp thực hiện:
_ Phân tích hiện tượng xảy ra
_ Yêu cầu học sinh tìm ra các phương pháp để hồn thành u cầu của bài tốn

Để làm được điều này, học sinh phải nắm vững các kiến thức và phương pháp đã
học, đồng thời có kỹ năng tư duy, suy luận tốt và đặc biệt phải có kiến thức toán
học tốt, biết vận dụng
2.1. Bài toán con lắc đơn vướng đinh
Bài tốn: Quả cầu nhỏ có khới lượng m = 100g được treo tại I bởi một dây chiều
0

l
dài l  81cm . Trên đường thẳng đứng đi qua I, thấp hơn I khoảng 2 có một chiếc

đinh. Kéo quả cầu đến vị trí dây treo nằm ngang rồi thả nhẹ. Lấy g = 10m/s2. Bỏ
qua sức cản của khơng khí
a. Tính lực căng của dây ngay trước và sau khi vướng đinh.
b. Hỏi ở điểm nào trên quỹ đạo, lực căng của dây treo bằng không? Sau đó qủa cầu
chuyển động như thế nào, lên tới đợ cao lớn nhất là bao nhiêu?
Nhận xét:
Với bài tốn này, học sinh phải thấy được, sau khi vướng đinh thì chiều dài của
con lắc giảm đồng thời điểm cố định là tại vị trí chiếc đinh. Tùy vào điều kiện kích
thích mà góc lệch của dây treo có thể lớn hơn 90 0. Do đó, nếu trong q trình
chuyển động mà lực căng của dây treo khác khơng thì vật sẽ chuyển động tròn
quanh chiếc đinh, còn tại điểm lực căng bằng 0, vật sẽ chuyển động giống chuyển
động của vật bị ném. Như vậy, ngoài phương pháp động lực học, ngoài định luật
bảo toàn cơ năng, học sinh cịn phải nắm được các cơng
thức của chuyển động ném xiên
B
I
Bài giải cụ thể như sau
a. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng
+Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hai vị trí B, O
/

C
ta được:

l



 v
l
 T D


v 0 P
P

2
O T
Trang 12


WB  WO
mv02
2
2
 v0  2 gl  1
 mgl 

+ Lực căng dây ngay trước khi vướng định:
mv02
Tt  mg 

 mg  2mg  3mg  3 N
l

+ Lực căng dây treo ngay sau khi vướng đinh.
Ts  mg 

2mv02
 mg  4mg  5mg  5 N
l

b. Sau khi vướng đinh, vật chuyển động như con lắc đơn có chiều
l
dài 2 quanh điểm treo O.

Chuyển động này có hai giai đoạn:
- Giai đoạn I: Chuyển động tròn từ vị trí cân bằng O đến vị trí D mà
tại đó lực căng dây treo bằng 0.
- Giai đoạn II: Vật chuyển động như một vật bị ném xiên từ vị trí D
trở về sau.
+Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hai vị trí B, D ta được:
WB  WD  mgl 

mv 2
l
 mg (1  cos  )  v  gl (1  cos  )
2
2

(4)


+ Lực căng dây treo tại D
v2
v2
TD  mg cos   m  mg cos   2m
1
l
2

(5)

A

l
2


h0
 / v
D
 T  
O

P hD
l 
C2T 
 v 0
P

+ Thay (4) vào (5), ta được:
T /  mg (3cos   2) (6)

2
 TD  0  mg (3cos   2)  0  cos       1320
3

+ Độ cao của D tính từ vị trí cân bằng O là:
hD 

l l
l l
l l 2 5l
 sin    ( cos  )  

2 2
2 2
2 23 6

Vậy vị trí D mà lực căng dây treo bằng 0 cách vị trí cân bằng O một đoạn:
(hay cách điểm treo I theo phương thẳng đứng một đoạn

Trang 13

hD/  l 

5l l

6 6

hD 

5l

6


+ Vận tốc của vật tại D. Thay

cos   

2
3 vào (4), ta được:

2
10l
vD  10.0,81(1  ) 
 2, 7  1, 64(m / s )
3
3

+ Kể từ D, vật chuyển như bị ném xiên góc  với vận tốc đầu là vD  1, 64(m / s)
Suy ra quỹ đạo của vật là đường parabol quay bề lõm xuống dưới.
+ Theo kết quả bài toán vật bị ném xiên thì độ cao cực đại vật lên được tính từ
điểm ném D là:
v 2 .sin 2 
2g
với
2
2
sin   cos   1  sin 2   1  cos 2 
10l 5
2
.

 2 5
2
3
9  5l
 sin   1       h0 
2.10 54
 3 9

hmax 

+Độ cao cực đại vật lên được so với vị trí cân bằng là:
H  hD  hmax 

5l 5l 25l 25.81



 75cm
6 54 27
27

2.2. Bài tốn con lắc chuyển động trịn quanh điểm treo
Bài tốn : Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg được treo vào một đầu sợi dây
nhẹ, không giãn, chiều dài l = 0,5m, đầu còn lại của sợi dây được buộc chặt vào
điểm cố định O. Bỏ qua sức cản của khơng khí và lấy g = 10 m/s2. Ban đầu vật nằm
yên tại vị trí dây treo có phương thẳng đứng. Hỏi phải truyền cho vật một vận tốc
ban đầu v0 bằng bao nhiêu để vật chuyển động trên một quỹ đạo tròn tâm O.
Nhận xét: Với bài toán này, học sinh phải nắm được khi nào thì vật sẽ chuyển
động trịn quanh tâm O trong mặt phẳng thẳng đứng
Bài giải cụ thể như sau:

Chọn gốc thế năng tại vị trí thấp nhất của vật
Ta thấy vật sẽ chuyển động trên quỹ đạo tròn nếu còn tồn tại lực căng dây tại điểm
cao nhất của quỹ đạo:
C
Tại
điểm cao nhất C ta có:
 

T  P  ma

Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng vào O
v2
v2
T  P  maht  m c  T  m c  P
l
l

Theo định luật bảo toàn cơ năng cho vị trí thấp nhất và cao nhất,
ta được:
1 2 1 2
1
1
mv0  mvc  mg 2l  mvc2  mv02  2mgl
2
2
2
2
Trang 14



P


T m

vc2
1
 P  mv02  2mgl  P
l
2

T 0
1
 mv02  2mgl  P  0
2
 v0  2 g  4 gl  40m / s

2.3. Bài toán con lắc va chạm với một vật khác
Bài toán : Quả cầu 1 có khối lượng m1 = 0,3 kg được treo vào đầu một sợi dây
không giãn, khối lượng khơng đáng kể, có chiều dài l = 1m. Kéo căng dây treo quả
cầu theo phương nằm ngang rồi thả nhẹ. Khi quả cầu xuống đến điểm thấp nhất, nó
va chạm đàn hồi xuyên tâm với một quả cầu 2 có khối lượng m2 = 0,2kg đặt ở mặt
sàn nằm ngang . Biết hệ số ma sát giữa quả cầu 2 và mặt sàn nằm ngang là 0,02 và
trong sự tương tác giữa m 1 và m 2 thì lực ma sát giữa hai quả cầu là không
2
đáng. Lấy g = 10(m/s ). Tính góc lệch lớn nhất của dây treo so với phương
thẳng đứng và quãng đường mà quả cầu 2 đi được trên mặt phẳng ngang.
Nhận xét: Với bài toán này, học sinh phải thấy được, sau khi va chạm, quả cầu 1
có thể tiếp tục chuyển động lên cao theo hướng cũ hay bật ngược trở lại, tùy vào
điều kiện va chạm, cịn quả cầu 2 thì chuyển động chậm dần đều trên mặt phẳng

ngang. Như vậy, ngoài phương pháp động lực học, ngoài định luật bảo tồn cơ
năng, học sinh cịn phải nắm được bài tốn va chạm, các kết quả của bài toán va
chạm, định luật bảo toàn động lượng, chuyển động chậm dần đều...
Bài giải cụ thể như sau:
Gọi A là vị trí bng vật m1, B là vị trí thấp
nhất (nơi m 1 , m 2 va chạm)C là vị trí cao
nhất vật 1 lên được sau va chạm.
Chọn mốc thế năng là ở mặt sàn
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả
cầu 1 ở hai vị trí A và B (trước va chạm), ta
đươc
WA  WB

m1v12
 m1 gl 
2
 v1  2 gl

Vận tốc quả cầu m

1

ngay trước khi va chạm có độ lớn:

v1  2 gl =2 5 m/s (1)
¿

Gọi v 1 là vận tốc của m 1 ngay sau khi va chạm.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu 1 ở hai vị trí C và B (sau va
chạm), ta đươc

Trang 15


WC  WB
m1v '12
2
'
 v1  2 ghmax (2)
 m1 ghmax 

Động năng của quả cầu 1 trước va chạm chuyển hóa thành thế năng của nó ở C và
cơng thực hiện để thắng ma sát của quả cầu 2 khi lăn.
m1v12
 m1 ghmax  A
2
3  3hmax  0, 04S  3

Thời gian va chạm giữa hai quả cầu rất ngắn, trong thời gian trên hệ hai vật xem là
hệ kín. Như vậy tổng động lượng của chúng được bảo toàn:
m1v1  m1v1'  m2 v2'
 0, 6 5  0,3 20hmax  0, 2v2'

 4

Áp dụng định lý động năng cho quả cầu 2 ta được:
mv2'2
 A    mgS
2
 0,5v2'2  0, 2S  5 
0


Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta được:
S  72m

hmax  0, 04m    16, 260

Đây là cách giải điển hình, khi học sinh chưa xét kỹ đến hiện tượng va cham, chưa
nắm được các kết quả của bài tốn va chạm. Cách này dài và nhiều phương trình
liên qua.
Nếu học sinh đã nắm được các kết quả của bài tốn va chạm, thì bài tốn sẽ ngắn
gọn hơn rất nhiều
Cụ thể:
Gọi A là vị trí bng vật m1, B là vị trí thấp
nhất (nơi m 1 , m 2 va chạm), C là vị trí cao
nhất vật 1 lên được sau va chạm.
Chọn mốc thế năng là ở mặt sàn
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả
cầu 1 ở hai vị trí A và B (trước va chạm), ta
đươc

Trang 16


WA  WB
m1v12
2
 v1  2 gl
 m1 gl 

Vận tốc quả cầu m


1

ngay trước khi va chạm có độ lớn:

v1  2 gl =2 5 m/s (1)
'

'

Gọi v1 , v2 là vận tốc của hai vật ngay sau khi va chạm.
ta có:
v1' 

v2' 

 m1  m2  v1  2m2v2
m1  m2



2 5
m/s
5

 m2  m1  v2  2m1v1  12
m1  m2

5


5

m/s

Như vậy, sau va chạm quả cầu 1 vẫn tiếp tục đi lên theo hướng cũ
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu 1 ở hai vị trí C và B (sau va
chạm), ta được:
WC  WB

 m1 ghmax 
hmax 

m1v '12
2

v '12
 0, 04m    16, 260
2g

Còn quả cầu 2 thì chuyển động chậm dần đều trên mặt phẳng ngang
Áp dụng định lý động năng cho quả cầu 2 ta được:
mv2'2
   mgS
2
v '2
 S  2  72m
2 g
0

2.4. Bài toán con lắc va chạm với một mặt phẳng cố định

Bài toán: Con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1,2 m, khối lượng m = 500 g,
được treo vào một điểm cố định. Kéo con lắc khỏi vị trí cân bằng sao cho dây treo
có phương nằm ngang rồi thả nhẹ. Khi vật chuyển động qua vị trí có độ cao dưới
l
điểm treo một đoạn 2 thì va chạm đàn hồi với mặt phẳng cố định nằm ngang tại

đó. Bỏ qua mọi ma sát, dây khơng giãn. Lấy g = 10m/s2.
a. Tìm vận tốc của vật và lực căng sợi dây ngay trước khi vật va chạm với mặt
phẳng.
b. Tìm độ cao lớn nhất mà vật đạt được sau lần va chạm thứ nhất.
Trang 17


Nhận xét: Với bài toán này, học sinh phải thấy được, sau khi va chạm, vật sẽ bị
bật ngược trở lại. Như vậy, ngoài phương pháp động lực học, ngoài định luật bảo
tồn cơ năng, học sinh cịn phải nắm được bài toán va chạm, các kết quả của bài
toán va chạm, định luật bảo toàn động lượng, chuyển động của vật bị ném xiên...
Bài giải cụ thể như sau:
Chọn vị trí va chạm là mốc thế năng
Xét giai đoạn vật chuyển động từ vị trí thả đến vị trí va chạm.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật ở vị trí thả A và vị trí va chạm B (trước
khi va chạm) ta được:
WA  WB

A

l mvB2

2
2

 vB  gl
 mg

Vận tốc của vật ngay trước va chạm:
v  gl  2 3 m / s

Góc lệch của dây treo so với phương thẳng
đứng tại vị trí va chạm:
cos 

l
 l

v' 2


v



I

O

l 1
    600
2l 2

Lực căng của dây treo ngay trước va chạm:
T  mg (3cos  2cos 0 )  50, 75 N


Vì va chạm đàn hồi với mặt phẳng cố định, nên sau va chạm vật có vận tốc đối
xứng với vận tốc trước va chạm qua mặt phẳng ngang v '  v  2 3 m / s
Do đó, sau va chạm vật sẽ chuyển động như chuyển động của vật bị ném xiên lên,
0
với vận tốc ban đầu v '  2 3 m / s hợp với phương ngang một góc   60
Độ cao cực đại mà vật đạt được so với vị trí va chạm là:

v '2 sin 2 60
h
 0, 45m
2g

2.5. Bài toán con lắc bị đứt dây
Bài toán: Một con lắc đơn, gồm vật nặng m = 0,2kg, dây treo nhẹ, khơng giãn có
chiều dài l = 1m được treo ở A cách mặt đất là H = 4,9m. Tại vị trí cân bằng, truyền
cho m một vận tốc theo phương ngang để nó có động năng Wđ. Con lắc chuyển
0
động đến vị trí dây treo lệch góc a =60 so với phương thẳng đứng thì dây treo bị
đứt, khi đó vật m có vận tốc v = 4 m/s. Bỏ qua mọi lực cản và ma sát. Lấy g = 10m/
s2.
a. Xác định động năng Wđ.

Trang 18


b. Tính độ cao cực đại mà vật đạt được so với mặt đất và thời gian từ lúc dây đứt
đến khi vật chạm đất.
Nhận xét: Với bài này, học sinh phải xác định được trạng thái chuyển động của
vật khi dây bị đứt và phải thấy được sau khi dây bị đứt chuyển động của vật như

chuyển động của vật bị ném xiên. Do đó mà ngồi phương pháp động lực học và
định luật bảo toàn cơ năng, học sinh còn phải nắm và vận dụng được các kiến thức
của chuyển động ném xiên.
Bài giải cụ thể như sau:
Chọn gốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang qua vị trí cân bằng
Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng cho vật ta thấy: động năng của vật tại vị trí cân
bằng chính là cơ năng của vật tại vị trí dây treo lệch góc α.
1
Wd  mgl(1 cos )+ mv2  2,6J
2

y

b. Tại vị trí dây đứt, vật có vận tốc v =4m/ s hợp
0
với phương ngang một góc a =60 .
Do đó, chuyển động của vật sẽ giống chuyển
động của vật bị ném xiên lên
Độ cao mà vật đạt được so với vị trí cân bằng:
h0  l(1 cos60)  0,5m

Độ cao cực đại mà vật đạt được so với mặt đất:



A


v


x



O


v0

h  4,9 0,5 4,4m

Thời gian chuyển động
Chọn hệ quy chiếu xOy.
Chuyển động của vật theo hai trục là:

l
B

x  (vcos)t

2

1 2  y  2 3t  5t
y  (vsin)t  gt
2

Vật chạm đất: y  h  4,4m  t  1,34s

2.6. Bài toán con lắc chuyển động trong hệ quy chiếu qn tính
Bài tốn: Trên mặt sàn nằm ngang, nhẵn có một xe lăn

khối lượng m1  4  kg  , trên xe có giá treo. Một sợi dây

khơng giãn, chiều dài l  50  cm  buộc cố định trên giá,
đầu kia sợi dây buộc quả cầu nhỏ khối lượng m.
Xe và quả cầu đang chuyển động thẳng đều với vận tốc
v0  3  m / s 



m
m1


v0

m2

thì đâm vào một xe khác có khối lượng m2  2  kg  đang đứng n và
dính vào nó. Biết rằng khối lượng quả cầu rất nhỏ, có thể bỏ qua so với khối lượng
hai xe.
Trang 19


Bỏ qua ma sát của hai xe với sàn, lấy g = 10m/s2.
a. Tính góc lệch cực đại của dây treo quả cầu so với phương thẳng đứng sau khi va
chạm.
b. Tìm giá trị tối thiểu của vận tốc ban đầu v0 để quả cầu có thể chạy theo hình tròn
trong mặt phẳng thẳng đứng quanh điểm treo.
Nhận xét: Với bài này, học sinh phải xác định được trạng thái chuyển động của
hai xe, của quả cầu khi sau khi va chạm. Do đó mà ngồi phương pháp động lực

học và định luật bảo tồn cơ năng, học sinh cịn phải nắm và vận dụng được các
kiến thức về va chạm, về hệ quy chiếu quán tính.
Bài giải cụ thể như sau:
Vì vận tốc của quả cầu rất nhỏ nên áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hai
xe trước và ngay sau va chạm, ta có:
m1v0  (m1  m2 )v

v

m1v0
(m1  m2 )

 v  2  m / s

Ngay sau va chạm, vận tốc của hai xe là 2 m/s, nhưng vận tốc của qủa cầu vẫn là 3

m/s. Như vậy vận tốc của quả cầu đối với xe sau va chạm là vb  1  m / s  .
Chọn gốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang qua vị trí cân bằng của quả cầu
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu ở vị trí cân bằng và vị trí cao nhất
trong hệ quy chiếu gắn với xe :
mvb2
 mgl (1  cos 0 )
2
v2
 cos 0  1  b
2g
  0  25,840
'
b. Gọi vb là vận tốc quả cầu đối với xe ở điểm cao nhất.
mv 'b2

P T 
l
Tại đó:

Để quả cầu vẫn chuyển động trịn đều thì tại điểm cao nhất:
T  0  Tmin  0
mg 

mv 'b2
 v 'b2  2 gl
l

Khi đó:
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu ở vị trí cân bằng và
vị trí cao nhất trong hệ quy chiếu gắn với xe :

Trang 20

C


P


mvb2 mv 'b2

 2mg  vb2  v 'b2  4 gl
2
2
 vb  v 'b2  2mg  5 gl


Mặt khác:
vb  v0  v 
v0 

m2 v0
m1  m2

m1  m2 vb m1  m2

5 gl  7,5  m / s 
m1
m1

Vậy vận tốc tối thiểu của xe 1 khi va chạm là v0  7,5  m / s 
Như vậy, bằng việc vận dụng các kiến thức đã học, học sinh có thể hồn
tồn có thể giải quyết được bài toán về con lắc đơn, khơng những thế, các em cịn
có thể suy luận, phán đốn các khả năng có thể xảy ra với con lắc đơn. Qua đó
khơng những củng cố được kiến thức đã học mà còn vận dụng linh hoạt các kiến
thức đó trong cùng một bài tốn.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm, được khảo sát trên 35 học sinh lớp 10 theo
sách giáo khoa nâng cao, với hai trường hợp:
Trường hợp 1: Giáo viên giao nhiệm vụ bằng bài tập về nhà trước khi có các tiết
bài tập.
Trường hợp 2: Giáo viên giao bài tập vận dụng sau khi có tiết bài tập.
1. Khảo sát ở mức độ hiểu, nắm kiến thức:
Trường hợp 1
Trường hợp 2
Đặc điểm Chỉ một vài em giải quyết được,

Đa số các em nắm được phương
nhưng bài làm chưa khoa học,
pháp, vận dụng tốt
nhiều chỗ cịn lúng túng, chưa
Một số em có thể tư duy, phân
nắm được bản chất.
tích nhanh hiện tượng xảy ra ở
các bài toán nâng cao và giải
quyết tốt.
2. Khảo sát kết quả làm bài kiểm tra tự luận:
Trường hợp 1: Giáo viên ra một bài kiểm tra trước khi có tiết bài tập
Tổng số hS
Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến Điểm từ 8 trở
Ghi chú
kiểm tra
dưới 8
lên
35 = 100%
17 = 48%
13 = 37%
5 = 14%
Trường hợp 2: Giáo viên ra một bài kiểm tra tương tự trường hợp 1 nhưng thêm
một vài ý khó hơn sau khi có tiết bài tập
Tổng số hS
Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến Điểm từ 8 trở
Ghi chú
kiểm tra
dưới 8
lên
35 = 100%

5 = 14%
18 = 51%
12 = 34%
Trang 21


Như vậy với bảng kết trên ta thấy: sau khi được rèn luyên, học sinh đã nắm được
phương pháp, hiểu rõ bản chất hiện tượng xảy ra, vận dụng giải quyết được nhiều
bài tập, đặc biệt một số học sinh đã giải được các bài tập khó với cách giải ngắn
gọn và sáng tạo.

PHẦN III. KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ những đúc rút của tơi trong q trình dạy học cho chuyên đề
bài toán về con lắc đơn, đã được bản thân tôi áp dụng và thấy hiệu quả rõ rệt, gây
được hứng thú và khả năng sáng tạo của học sinh khi học môn Vật lý . Tuy nhiên,
do thời gian, kinh nghiệm và năng lực bản thân cịn hạn chế nên đề tài chắc chắn
khơng tránh khỏi sai sót, rất mong được bạn bè, đồng nghiệp bổ sung, góp ý để nó
hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Vĩnh Lộc, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép
nội dung của người khác

Nguyễn Thị Ban

Trang 22