CM BDT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.08 KB, 30 trang )

(1)Chuyên đề: S.t.t 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.. Bất đẳng thức. Néi dung PhÇn më ®Çu Nội dung chuyên đề C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc Ph¬ng ph¸p 4:dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu Ph¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtbña tû sè Ph¬ng ph¸p 6: dïng ph¬ng ph¸p lµm tréi Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác Phơng pháp 8: dùng đổi biến Ph¬ng ph¸p 9: Dïng tam thøc bËc hai Ph¬ng ph¸p 10: Dïng quy n¹p to¸n häc Ph¬ng ph¸p 11: Dïng chøng minh ph¶n chøng C¸c bµi tËp n©ng cao øng dông cña bÊt d¼ng thøc Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên Tµi liÖu tham kh¶o. B- néi dung PhÇn 1 : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý. 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu 5- Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè 6- Ph¬ng ph¸p lµm tréi 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai 10- Ph¬ng ph¸p quy n¹p 11- Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao. trang 1 2 3 4 4 6 8 10 12 14 16 17 18 19 21 23 28 29 31 33.

(2) PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1-§inhnghÜa  A  B  A  B 0   A  B  A  B 0. 2-tÝnh chÊt + A>B ⇔ B< A + A>B vµ B >C ⇔ A>C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B vµ C > D ⇒ A+C > B + D + A>B vµ C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B vµ C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A B > 0 ⇒ A ❑n > B ❑n ∀n n n +A>B A ❑ > B ❑ víi n lÎ ⇒ + | A| > |B| A ❑n > B ❑n víi n ch½n ⇒ + m > n > 0 vµ A > 1 ⇒ A ❑m > A ❑n + m > n > 0 vµ 0 <A < 1 ⇒ A ❑m < A ❑n 1 1 +A 0 > ⇒ A B. 3-một số hằng bất đẳng thức + A ❑2 0 víi ∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) n  + A 0 víi ∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + | A|≥ 0 víi ∀ A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + - | A| < A = | A| + A  B  A  B ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0) + | A − B|≤|A|−|B| ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0). Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > 0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M ❑2  0 với M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 2 (x + y + z).

(3) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz - zx = 1 .2 .( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx) 2. 2. y− z¿ 2 x − z ¿ +¿ ≥ 0 đúng với mọi x;y;z  R 2 x− y¿ +¿ ¿ ¿. = 1 2. R. V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 0 đúng với mọi x;y;z  R VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z. DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + 1 + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 0 DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a). a2 +b2 a+ b ≥ 2 2. 2. ( ). a2 +b2 +c 2 a+ b+c ≥ 3 3. (. ;b). c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i 2. 2. a +b a+b − 2 2 2 2 2 2 ( a + b ) a + 2ab+ b2 − 4 4 1 2 2 2 ( 2 a +2 b − a −b 2 −2 ab ) 4 1 ( a −b )2 ≥ 0 4 a2 +b2 a+ b 2 ≥ 2 2. a) Ta xÐt hiÖu = = = VËy. 2. ( ). ( ). DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b)Ta xÐt hiÖu a2 +b2 +c 2 a+b+ c − 3 3. (. 2. ). 2. ).

(4) = 1 [ ( a − b ) 2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ 0 9. 2 2 2 VËy a +b +c ≥ a+ b+c. (. 3. 3. 2. ). DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c c)Tæng qu¸t a21 +a22 +. .. .+a2n a1 +a2 +. .. .+an ≥ n n. (. ). 2. Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) ❑2 hoặc H=(C+D) ❑2 +….+(E+F) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A  B VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i: m2 m2 m2 m2 − mn+n2 + − mp+ p2 + − mq+q2 + − m+1 ≥ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 ⇔. (. (. )(. )(. )(. )(. DÊu b»ng x¶y ra khi. Bµi tËp bæ xung. )(. m −n=0 2 m − p=0 2 m −q=0 2 m −1=0 2. )(. ). ). m 2 m p= 2 m q= 2 m=2. { { ⇔. n=. ⇔. {n=m=2 p=q=1.

(5) phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: ( A + B )2= A2 +2 AB+B 2 ( A + B+C )2=A 2 +B 2+C 2 +2 AB+2 AC+2 BC ( A + B )3= A3 +3 A 2 B+3 AB2 + B3. VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng 2. a) a2 + b ≥ ab 4. b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) Gi¶i: 2. a) a2 + b ≥ ab. 4 2 2 2 2 ⇔ 4 a +b ≥ 4 ab ⇔ 4 a − 4 a+b ≥ 0 2 (bất đẳng thức này luôn đúng) ⇔ ( 2 a −b ) ≥ 0 2 VËy a2 + b ≥ ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4 b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b ⇔2(a2 +b2 +1)> 2(ab+ a+b) 2 2 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ 0 2 b −1 ¿ ≥0 2 a −1 ¿ +¿ Bất đẳng thức cuối đúng. 2 a −b ¿ + ¿ ⇔¿ VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b. DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1. c). 2 2 2 2 2 a +b + c + d + e ≥ a ( b +c +d +e ) 2 2 2 ⇔ 4 (a + b + c + d 2+ e2 )≥ 4 a ( b+c + d+ e ) ⇔ ( a 2 − 4 ab+ 4 b 2) + ( a2 − 4 ac+ 4 c 2 ) + ( a2 − 4 ad + 4 d 2 ) + ( a 2 − 4 ac +4 c2 ) ≥ 0 ⇔ ( a −2 b )2 + ( a− 2 c )2 + ( a− 2 d )2+ ( a− 2 c )2 ≥ 0. Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ) Gi¶i: 10 10 2 ⇔ a12 +a10 b2 +a 2 b10 +b 12 ≥ a12 + a8 b4 + a4 b 8+ b12 ( a +b ) ( a + b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ) ⇔ a8 b2 ( a 2 − b2 ) +a2 b8 ( b 2 − a2 ) ≥0 2 2 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 ⇔ a b (a2-b2)(a6-b6) Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh. x2 + y2 x− y. 2 √2.

(6) Gi¶i: 2. 2. x +y 0 ⇒ x2+y2 2 √ 2 v× :x y nªn x- y 2 √ 2 ( x-y) x− y 0 ⇔ x2+y2+2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2 0 ⇒ x2+y2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y 2 2 2 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 ⇔ x +y +( √ 2 ) - 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2xy 2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ 2 ). VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= 9 x 2 y 2 + y 2 − 6 xy −2 y+ 1≥ 0 ∀ x , y ∈ R 2)CM: (gîi ý :b×nh ph¬ng 2 vÕ) √ a2 +b2 +c 2 ≤|a|+|b|+|c| 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n:. {. x . y . z =1 1 1 1 + + < x+ y+ z x y z. Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( 1 + 1 + 1 )=x+y+z - ( 1 + 1 + 1 ¿>0 (v× 1 + 1 + 1 < x+y+z x y z x y z x y z theo gt) → 2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d¬ng. NÕñ trêng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1 → x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1. Ph¬ng ph¸p 3:. dùng bất đẳng thức quen thuộc. A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2+ y 2 ≥ 2 xy b) x 2+ y 2 ≥∨xy∨¿ dÊu( = ) khi x = y = 0 c) ( x+ y )2 ≥ 4 xy d) a + b ≥2 b a. 2)Bất đẳng thức Cô sy:. a1 +a2 +a 3+. . ..+ an ≥ √ a1 a2 a3 . .. . an n. 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski. Víi. ai >0.

(7) 2. +¿ n ¿ x 21+ x 22 +.. . .¿ 2 ( a1 x 1+ a2 x 2 +. .. .+an x n ). ( a 2 + a22+ .. ..+ a2n ) . 2. ¿. 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:. {Aa≤≤ bB≤≤ cC NÕu { a ≤b ≤ c A ≥ B ≥C DÊu b»ng x¶y ra khi { a=b=c A=B=C. aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≥ . 3 3 3 aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≤ . 3 3 3. ⇒. NÕu. ⇒. b/ c¸c vÝ dô vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x+ y )2 ≥ 4 xy Tacã ; ( a+b )2 ≥ 4 ab ; ( b+ c )2 ≥ 4 bc ( c +a )2 ≥ 4 ac ⇒. ( a+b )2. ( b+ c )2. ( c +a )2. ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1. 64 a 2 b 2 c 2=( 8 abc )2. CMR: 1 + 1 + 1 ≥ 9. a b c CMR:x+2y+z 4 (1 − x)(1 − y )(1 − z). (403-1001). 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 a b c 3 + + ≥ CMR: b+c c +a a+b. 2. 4)Cho x 0 ,y 0 tháa m·n 2 √ x − √ y=1 ;CMR: vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ a2 +b 2+c 2=1 chøng minh r»ng. x+y 1 5. a3 b3 c3 1    b c a c a b 2. Gi¶i: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a. b. c. ⇒. {. 2. 2. 2. a ≥ b ≥c a b c ≥ ≥ b+ c a+ c a+ b. ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã a b c a2+ b2 +c 2 a b c 2 2 = 1 .3 = 1 a . +b . +c . ≥ . + + 3 2 2 b+ c a+ c a+ b 3 b+ c a+c a+ b 3 3 3 1 VËy a + b + c ≥ 1 DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= b+c a+ c a+b 2 √3 2. (. ). vÝ dô 4:. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10. Gi¶i:.

(8) Ta cã. 2. 2. a +b ≥ 2 ab c 2+ d 2 ≥ 2 cd. Do abcd =1 nªn cd = 1. ab. (dïng x+ 1 ≥ 1 ). x 2 1 Ta cã a +b + c ≥ 2(ab+cd )=2(ab+ )≥ 4 (1) ab MÆt kh¸c: a ( b+ c )+ b ( c+ d )+ d ( c+ a ) 2. 2. 2. =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = ab+ 1 + ac+ 1 + bc+ 1 ≥ 2+ 2+ 2. (. )(. )(. ). ab ac bc 2 2 VËy a +b + c + d + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 2. vÝ dô 5:. 2. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: 2. b+d ¿ ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ √¿. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd √ a2 +b2 . √c 2 +d 2 mµ ( a+ c )2 + ( b+ d )2=a 2+ b2+ 2 ( ac + bd ) + c2 +d 2 ( a 2+b 2 ) +2 √ a2+ b2 . √ c 2+ d 2+ c 2+ d 2 ⇒. b+d ¿2 ¿ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿. vÝ dô 6: Chøng minh r»ng 2. 2. 2. a +b + c ≥ ab+ bc+ac. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 12 +12+12 ) (a2 +b 2+ c2 )≥ ( 1 .a+ 1. b+1 . c )2 3 ( a 2+b 2+ c 2 ) ≥ a2 +b 2+ c 2+2 ( ab+ bc+ ac ) ⇒ §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c ⇒ a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ac. Ph¬ng ph¸p 4:. Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu. Lu ý: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x ❑2 <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: Tacã ⇒ ⇔ ⇔. +d {a>c b>c +d. ⇒. >d >0 {ab −c −d >c >0. (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc. (®iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 2: Cho a,b,c>0 tháa m·n a2 +b 2+ c 2= 5 3.

(9) Chøng minh. 1 1 1 1 + + < a b c abc. Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) ⇒. ac+bc-ab. ⇒. ac+bc-ab. ¿ ¿ ¿ 5 6. 0. 1 ( a2+b2+c2) 2 ¿ ¿ 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã ¿. 1 1 1 + − a b c. vÝ dô 3 Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1) ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 4 1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng. ¿ ¿ ¿. 1 abc. 2 a3 +2 b3 +2 c 3<3+ a2 b+b 2 c +c 2 a. Gi¶i : Do a < 1 ⇒ a2 <1 vµ Ta cã ( 1− a2 ) . ( 1− b ) <0 ⇒ 1-b- a2 + a2 b > 0 ⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b. 2 3 2 3 mµ 0< a,b <1 ⇒ a > a , b > b Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a3 + b3 3 3 VËy < 1+ a2 b2 a + b 3 3 T¬ng tù b + c 1+b2 c c ❑3 + a3  1+c 2 a Cộng các bất đẳng thức ta có :. 2 a3 +2 b3 +2 c 3 ≤ 3+a2 b+b 2 c+ c2 a b)Chøng minh r»ng : NÕu a2 +b 2=c 2 +d 2=1998. th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: + (ad – bc ) ❑2 = a ❑2 c ❑2 + b ❑2 d 2 +2 abcd+ a2 d 2. Ta cã (ac + bd) ❑2 +b2 c 2 - 2 abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rá rµng (ac+bd)2 ( ac+ bd )2 + ( ad − bc )2=19982 ⇒ |ac+ bd|≤1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 1 c høng minh r»ng : a ❑12 + a22 +a 23+ .. ..+ a22003 ( đề thi vào chuyên nga 2003 ph¸p 2003- 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a+b+c=1(?).

(10) Chøng minh r»ng: ( 1 −1 ¿ .( 1 − 1).( 1 −1)≥ 8 a. Ph¬ng ph¸p 5:. b. c. dïng tÝnh chÊtcña tû sè. KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a – NÕu a >1 th× a > a+ c b a <1 b. b – NÕu th× 2)NÕu b,d >0 th× tõ. b b+ c a a+ c 0 .Chøng minh r»ng 1<. a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b. Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã. a a a+ d <1 ⇒ < a+b+ c a+b+c a+b+ c+ d a a MÆt kh¸c : > a+b+ c a+b+ c+ d. (1) (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã a a+b+ c+ d. <. a a+d < a+b+ c a+b+ c+ d. (3). T¬ng tù ta cã. b b b+ a < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d c c b +c < < a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+d d d d+ c < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d. (4) (5) (6). céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1<. a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b. vÝ dô 2 : Cho: a < c Gi¶i: VËy. ®iÒu ph¶i chøng minh ab+cd c a < 2 2 0 .Chøng minh r»ng. b d ab cd a c ⇒ 2< 2 Tõ < ⇒ b d b d ab+cd c a < 2 2< ®iÒu ph¶i chøng minh b b +d d.

(11) vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a + b c d. gi¶i :. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : a. a ≤1 c. c. b d. Tõ : a c. b d. a a+b b ⇒ ≤ ≤ c c+ d d. v× a+b = c+d. a b + 999 c d b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ a + b = 1 + 999 §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999 c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña + =999+ 1 khi a=d=1; c=b=999 c d 999. a, NÕu :b. 998. th×. b d. 998. ⇒. Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸plµm tréi Lu ý:. Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng h÷u h¹n hoÆc tÝch h÷u h¹n. (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 +u2 +.. . .+ un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u ❑k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk =ak −a k+1. Khi đó : S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) +.. . .+ ( an − an+1 ) =a1 −a n+1.

(12) (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u1 u 2 . .. .u n Biến đổi các số hạng uk về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau: ak ak+ 1 a a a a Khi đó P = 1 . 2 .. . .. n = 1 a2 a 3 an+1 an +1 uk =. VÝ dô 1 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3 < + +. .. .+ < 2 n+1 n+2 n+ n 4. Gi¶i: Ta cã Do đó:. 1 1 1 > = n+k n+ n 2n. víi k = 1,2,3,…,n-1. 1 1 1 1 1 n 1 + +.. .+ > +. ..+ = = n+1 n+2 2n 2n 2 n 2n 2. VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng: 1+. 1 1 1 + +.. . .+ >2 ( √ n+ 1− 1 ) √2 √ 3 √n. Víi n lµ sè nguyªn. Gi¶i : 1 2 2 = > =2 ( √ k +1 − √ k ) Ta cã √k 2 √ k √ k + √k + 1 Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có. 1 > 2 ( √ 2− 1 ). 1 >2 ( √ 3 − √2 ) √2. ............ 1 >2 ( √ n+1− √ n ) √n. Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 1 1 1+ + +.. . .+ >2 ( √ n+ 1− 1 ) √2 √ 3 √n VÝ dô 3 : n. Chøng minh r»ng. ∑ k12 < 2 k=1. Gi¶i: Ta cã. 1 1 1 1 < = − 2 k k ( k −1 ) k −1 k. ∀ n∈ Z.

(13) Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1 <1 − 2 2 2 1 1 1 < − 32 2 3 .. . .. .. . .. .. .. . .. 1 1 1 < − 2 n −1 n n 1 1 1 ⇒ 2 + 2 +. .. .+ 2 <1 2 3 n. n. VËy. ∑ k12 < 2 k=1. Ph¬ng ph¸p 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0 Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0<a< b+c 0<b< a+c 0<c <a+ b. {. . a2 <a(b+c ) b2 <b(a+c ) c 2< c (a+b). {. Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã. a > b-c  b > a-c . b − c ¿2 >0 a2 >a 2 − ¿ 2  c2 −a2 ¿ > 0 b >b − ¿ ¿ 2> 0  a −b c 2 >c 2 − ¿. . c > a-b  Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc. ⇒ a 2 b2 c 2 > [ a2 − ( b − c )2 ][ b 2 − ( c − a )2 ][ c 2 − ( a −b )2 ] 2 2 2 ⇒ a 2 b 2 c 2 > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c +a −b ) ⇒ abc> ( a+b − c ) . ( b+c −a ) . ( c +a −b ) VÝ dô2: (404 – 1001).

(14) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab+ bc+ ca< a2 +b2 +c 2 <2(ab+ bc+ ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2+2 abc< 2. Ph¬ng ph¸p 8: VÝ dô1:. Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng. đổi biến số a b c 3 + + ≥ (1) b+c c +a a+b 2. Gi¶i :. §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= y + z − x ; b = z + x − y ; c = x + y − z 2 2 2 y + z − x z + x − y x+ y − z 3 ta cã (1) ⇔ + + 2x 2y 2z 2 y z x z x y + − 1+ + −1+ + −1 ≥3 ⇔ x x y y z z y x z x z y + ¿+( + )+( + )≥ 6 ⇔ ( x y x z y z z x z y + ≥2 ; + ≥ 2 nªn ta cã Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( y + x ≥ 2; x y x z y z ®iÒu ph¶i chøng minh VÝ dô2:. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng. 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 a +2 bc b +2 ac c +2 ab 2. (1). Gi¶i: §Æt x = a2 +2 bc ; y = b2 +2 ac Ta cã x+ y+ z=( a+b +c )2< 1. ; z = c 2+ 2ab. (1) ⇔ 1 + 1 + 1 ≥ 9 Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0 x y z Theo bất đẳng thức Côsi ta có x+ y+ z ≥ 3. √3 xyz 1 1 1 + + ≥ 3. . 3 1 x. ⇒. y. z. ( x+ y+ z ) .. √. xyz. ( 1x + 1y + 1z ) ≥ 9.

(15) Mµ x+y+z < 1 1 1 1 VËy + + ≥9 x. y. z. (®pcm). VÝ dô3:. Cho x 0 Gîi ý: §Æt √ x=u tÝnh S min. ,y 0 ,. tháa m·n. √ y=v. 2 √ x − √ y=1. CMR x+ y ≥ 1 5. ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = u2 +v 2. Bµi tËp 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. ⇒ v = 2u-1 thay vµo. CMR: 25 a + 16 b + c >8 b+c c +a a+b. 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR. ma nb pc 1 2 + + ≥ ( √m+ √ n+ √ p ) − ( m+n+ p ) b+c c +a a+b 2. Ph¬ng ph¸p 9:. dïng tam thøc bËc hai. Lu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x )=ax 2 + bx+ c.

(16) NÕu Δ< 0 NÕu Δ=0. th×. a . f ( x )> 0. th×. a . f ( x )> 0. NÕu Δ> 0. th×. a . f ( x )> 0 a . f ( x )< 0. ∀ x∈R b a víi x< x1 hoÆc víi x 1< x < x 2 ∀ x≠−. x> x2. ( x 2> x 1 ). VÝ dô1:. Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2+5 y 2 −4 xy +2 x −6 y +3> 0. (1). Gi¶i: Ta cã (1) ⇔. x 2 −2 x ( 2 y −1 ) +5 y 2 − 6 y+ 3>0 ' 2 2 Δ =( 2 y −1 ) −5 y + 6 y − 3 ¿ 4 y2 − 4 y +1− 5 y 2+ 6 y − 3 2 − ( y −1 ) − 1<0. VËy. f ( x , y )>0. víi mäi x, y. VÝ dô2:. Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2 y 4 +2 ( x 2 +2 ) . y 2 +4 xy + x 2> 4 xy 3. Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với x 2 y 4 +2 ( x 2 +2 ) . y 2 + 4 xy + x 2 − 4 xy 3> 0 y 2+1¿ 2 . x2 +4 y (1 − y )2 x+ 4 y 2 >0 ⇔¿ ' 2 Ta cã Δ =4 y ( 1− y 2 )2 − 4 y 2 ( y 2 +1 )2=− 16 y 2< 0 V× a = ( y 2 +1 )2 >0 vËy f ( x , y ) > 0 (®pcm). Ph¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc KiÕn thøc: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n 0 ta thực hiện các bớc sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiÕt quy n¹p ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n 0 VÝ dô1:. Chøng minh r»ng.

(17) 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 <2 − 2 n 1 2 n. ∀ n∈ N ; n>1. (1). Gi¶i : Víi n =2 ta cã 1+ 1 <2 − 1 (đúng) 4 2 Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy khi n =k+1 th× (1) ⇔. k +1¿ ¿ ¿. 2. 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 + 2 1 2 k ¿. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p k +1¿ 2 ¿ ¿. ⇔. 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 + ¿ 2 1 2 k 2 k + 1¿ ¿ ¿ 1 1 +.. . .+ ¿ 2 1. ⇔. ⇔. chøng minh VÝ dô2: Cho. k +1 ¿2 ¿ k +1 ¿2 ¿ k +1+1 ¿ n∈N. ⇔ k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)đợc. vµ a+b> 0. Chøng minh r»ng. a+b 2. n. ( ). Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1. an +bn 2. (1). Gi¶i. Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã k+ 1 k+1 a+b k+1 a +b 2 2 k k+ 1 a+b a+b a +b k+1 (2) ⇔ . 2 2 2 ak +b k a+ b ak+ 1+ abk +a k b+ bk +1 a k+1 +bk +1 ⇔ VÕ tr¸i (2) . = ≤ 2 2 4 2 k+ 1 k+1 k+1 k k k+1 a +b a +ab +a b+ b ⇔ − ≥0 2 4 (3) ⇔ ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0. (1) ⇔. ( ) ( ). Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a b vµ gi¶ thiÕt cho a. -b. ⇔. a. |b|.

(18) ⇔. k. a k ≥|b| ≥ b k. ⇒. ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0 k (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b ⇔ |a| <bk ⇔ ak <b k ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm). Ph¬ng ph¸p 11:. ⇔. Chøng minh ph¶n chøng. Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K” phép toán mệnh đề cho ta : Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luËn cña nã . Ta thêng dïng 5 h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : −− −− A - Dùng mệnh đề phản đảo : K ⇒ G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : VÝ dô 1:. Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0 Gi¶i : Gi¶ sö a 0 thì từ abc > 0 ⇒ a 0 do đó a < 0 Mµ abc > 0 vµ a < 0 ⇒ cb < 0.

(19) Tõ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0 V× a < 0 mµ a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0 a < 0 vµ b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0 VËy a > 0 t¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0 VÝ dô 2:. Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là. sai: 2. a <4 b. îc. ,. 2. c <4 d. Gi¶i : Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 < 4 b 2. c 2< 4 d. ,. đều đúng khi đó cộng các vế ta đ-. 2. (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) 2 2 Tõ (1) vµ (2) ⇒ a +c <2 ac hay ( a − c )2 <0 (v« lý) 2 2 Vậy trong 2 bất đẳng thức a < 4 b và c <4 d có ít nhất một các bất đẳng thức a +c <4 (b +d). sai. VÝ dô 3:. Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > 1 + 1 + 1 th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – ( 1 + 1 + 1 ) v× xyz = 1 x. y. z. theo gi¶ thiÕt x+y +z > 1 + 1 + 1 x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1.

(20) PhÇn iii :. c¸c bµi tËp n©ng cao. 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = 1 vµ. Ta cã hiÖu:. 2 a . . Chøng minh r»ng +¿ b2+c2> ab+bc+ac a >36 3 Gi¶i 3. a2 +¿ b2+c2- ab- bc – ac 3 2 2 = a +¿ a +¿ b2+c2- ab- bc – ac 4 12 2 2 = ( a +¿ b2+c2- ab– ac+ 2bc) + a − 3bc 4 12 3 =( a -b- c)2 + a − 36 abc 2 12 a 3 a =( -b- c)2 + a − 36 abc >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn 2 12 a. 2 VËy : a +¿ b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 3 2) Chøng minh r»ng a) x 4 + y 4 + z 2 +1 ≥2 x .( xy 2 − x + z +1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã. a2 +5 b2 − 4 ab+2 a − 6 b+3>0 2 2 a +2 b −2 ab+2 a − 4 b+2 ≥ 0. c) Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x 4 + y 4 + z 2 +1 −2 x 2 y 2+ 2 x 2 − 2 xz − 2 x = ( x 2 − y 2) 2+ ( x − z )2 + ( x −1 )2 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −2 b+1 )2 + ( b − 1 )2+1 ⇒ H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −b +1 )2+ ( b −1 )2 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ⇒ H. Ii / Dùng biến đổi tơng đơng. a >0 ).

(21) 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng 2 ( x2 + y 2 ) ( x − y )2. Gi¶i : Ta cã. 2. 2. ≥8. 2. 2. x + y =( x − y ) +2 xy =( x − y ) +2 2 ( x 2+ y 2) =( x − y )4 +4 . ( x − y )2 +4. ⇒. (v× xy = 1). Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ⇔ ⇔. ( x − y )4 +4 ( x − y )2 + 4 ≥ 8. ( x − y )2 ( x − y )4 −4 ( x − y )2 + 4 ≥ 0 2. [ ( x − y )2 − 2 ] ≥ 0. BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy. 1 .Chøng minh r»ng 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy. Gi¶i :. 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1 1 1 1 − + − ≥0 2 2 2 1+ xy 1+ x 1+ y 1+ y 2 2 xy − x xy − y + ≥0 ( 1+ x 2 ) . (1+ xy ) ( 1+ y 2 ) . ( 1+ xy ) x( y −x) y(x− y) + ≥0 2 ( 1+ x ) . (1+ xy ) ( 1+ y 2 ) . ( 1+ xy ) ( y − x )2 ( xy −1 ) ≥0 ( 1+x 2 ) . ( 1+ y 2) . ( 1+xy ). Ta cã ⇔ ⇔ ⇔. ⇔. (. )(. ). BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh. Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2 ≥ 1 3 Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã ( 1. a+1 . b+1 . c )2 ≤ ( 1+1+1 ) . ( a2 +b2 +c 2 ).

(22) ( a+b +c )2 ≤ 3 . ( a2 +b2 +c 2 ) 1 a2 +b 2+ c 2 ≥ (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 3. ⇔. ⇔. 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng ( a+b +c ) .. Chøng minh r»ng. ( 1a + 1b + 1c )≥ 9. Gi¶i : a a b b c c 1+ + + +1+ + + +1≥ 9 b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + ≥ 9 ⇔ b a c a c b x y ¸p dông B§T phô + ≥2 Víi x,y > 0 y x. (1) ⇔. (. )( )( ). Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng ( a+b +c ) .. VËy. ( 1a + 1b + 1c )≥ 9. (®pcm). Iv / dïng ph¬ng ph¸p b¾c cÇu 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 3. Gi¶i :. 3. 3. 2. 2. 2. 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a. Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1 Nªn ( 1− a2 ) . ( 1− b2 ) >0 ⇒1+ a2 b − a2 −b> 0 Hay 1+a2 b> a2+ b (1) 2 3 3 MÆt kh¸c 0 <a,b <1 ⇒ ; a >a b>b ⇒. 2. 3. 3. 1+a >a + b 3 3 2 a +b < 1+ a b. VËy T¬ng tù ta cã. 3. 3. 2. b +c <1+b c a3 +c 3 <1+c 2 a ⇒. 3. 3. 3. 2. 2. 2. 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a. 2) So s¸nh 31 ❑11. (®pcm). vµ 17 ❑14. Gi¶i : Ta thÊy. 3111. <. 3211  25. 256 2 4.14  2 4.  .  . 14. 11. 255  256. 1614  1714. MÆt kh¸c Vëy 31 ❑11 < 17 ❑14. (®pcm). V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng : 2. Gi¶i :. a b b c cd d a    3 a bc b c d c  d a d a b. V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã. (1).

(23) a b a b a b d   a b c  d a b c a b c  d b  c bc bc a   a bc  d bc  d a b c  d d a d a d a c   a b c d d  a b a b c  d. Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : 2. (1) (2) (3). a b b c cd d a    3 a bc b c d c  d a d a b. (®pcm). 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng 1. a b c   2 b c c a a b. Gi¶i : V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0 Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a   b c a b c a b c Tõ (1) a a  MÆt kh¸c b  c a  b  c a a 2a   VËy ta cã a  b  c b  c a  b  c T¬ng tù ta cã . b b 2b   a b  c a c a b c c c 2c   a b c b a a b c. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : 1. a b c   2 b c c a a b. (®pcm). V/ ph¬ng ph¸p lµm tréi : 1) Chøng minh B§T sau :. Gi¶i :. 1 1 1 1   ...   (2n  1).(2n  1) 2 a) 1.3 3.5 1 1 1 1   ...  2 1.2.3.....n b) 1.2 1.2.3. a) Ta cã 1 1  2k  1  (2k  1) 1  1 1   .     2n  1 .  2n 1 2 (2k  1).(2k 1) 2  2k  1 2k 1 . Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có 1 1 1 1  2  1   ...   . 1   1.3 3.5 (2n  1).(2n 1) 2  2n 1  2. b) Ta cã. (®pcm).

(24) 1. 1 1 1 1 1 1   ...   1   .....  1.2 1.2.3 1.2.3.....n 1.2 1.2.3  n  1 .n. 1 1  1  1 1  1 1   1        ....     2 2 n  n 1 n <  2  2 3. (®pcm). Phần iv : ứng dụng của bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cc trị Lu ý - NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = 3 x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x 1. Vµ VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 = 4 Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1  x 4 (2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3. VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1 Gi¶i : V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã 3 x+ y + z 3 xyz. . 3. 1 1 xyz   xyz  3 27. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có.  x  y  .  y  z  .  z  x  3 3  x  y  .  y  z  .  x  z . (1) (2).

(25)  2 3 3  x  y  .  y  z  .  z  x . 1 DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z= 3 8 1 8 .  VËy S  27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 khi x=y=z= 3. VÝ dô 3 :. Cho xy+yz+zx = 1 4. 4. 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x  y  z Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z) Ta cã.  xy  yz  zx . 2.  x2  y 2  z 2.  1  x2  y 2  z 2. .  . . 2. 2. (1) 2. 2. 2. Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) ( x 2  y 2  z 2 )2 (12  12  12 )( x 4  y 4  z 4 ). Ta cã.  ( x 2  y 2  z 2 )2 3( x 4  y 4  z 4 ). 4 4 4 Tõ (1) vµ (2)  1 3( x  y  z ).  x4  y 4  z 4 . 1 3. 1 3  4 4 4 x  y  z VËy cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 3 khi x=y=z= 3. VÝ dô 4 : Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a §êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y 1 .  x  y  .h a.h a. h 2 a. xy Ta cã S = 2. Vì a không đổi mà x+y = 2a VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt  x  y VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt.

(26) Ii/ dùng b.đ.t để giải phơng trình và hệ phơng trình VÝ dô 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4 3 x 2  6 x  19  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2. Gi¶i : 2 2 Ta cã 3x  6 x  19 3.( x  2 x  1)  16. 3.( x  1) 2  16 16 2. 5 x 2  10 x  14 5.  x  1  9 9 2. 2. VËy 4. 3x  6 x 19  5 x  10 x  14 2  3 5 DÊu ( = ) x¶y ra khi x+1 = 0  x = -1 2 2 2 VËy 4 3x  6 x 19  5 x 10 x 14 4  2 x  x VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = -1 VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh. khi x = -1. x  2  x 2 4 y 2  4 y  3. Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã : x  2  x 2  12  12 . x 2   2  x 2   2. 2 2. DÊu (=) x¶y ra khi x = 1 2. MÆt kh¸c. 4 y 2  4 y  3  2 y  1  2 2. 1 DÊu (=) x¶y ra khi y = - 2 2 2 VËy x  2  x 4 y  4 y  3 2. 1 khi x =1 vµ y =- 2.  x 1   1  y  2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ. VÝ dô 3 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:.  x  y  z 1  4 4 4  x  y  z xyz. Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã.

(27) x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4   2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y  y z  z x x4  y4  z4 . x2 y 2  y 2 z 2 z 2 y2  z 2 z 2 x2 z 2  y 2 x2    2 2 2.  y 2 xz  z 2 xy  x 2 yz  xyz.( x  y  z ). V× x+y+z = 1) 4 4 4 Nªn x  y  z xyz. 1 DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z = 3  x  y  z 1 1  4 4 4 VËy  x  y  z xyz cã nghiÖm x = y = z = 3. VÝ dô 4 :. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau  xy  4 8  y 2  2  xy 2  x. Tõ ph¬ng tr×nh (1) Tõ ph¬ng tr×nh (2). (1) (2).  8  y 2 0 hay y  8  x 2  2  x . y 2 2 x.  x 2  2 2 x  22 0  (x . 2) 2 0.  x  2  x  2 NÕu x = 2 th× y = 2 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2. VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.  x  2   y  2. vµ.  x 2 2   y  2 2.

(28) Iii/ dùng B.Đ.t để giải phơng trình nghiệm nguyên 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x 2  y 2  z 2 xy  3 y  2 z  3. Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x 2  y 2  z 2 xy  3 y  2 z  3  x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3 0  2  y2   3y2   x  xy      3 y  3   z 2  2 z  1 0 4   4  . . 2. 2. 2. 2. . y 2  y    x    3   1   z  1 0 2  2  y 2  y   x    3   1   z  1 0 2  Mµ  2  2. y     x    3 2   y   x  2 0  y    1 0  2  z  1 0  . (*) x, y  R. 2. y  2  1   z  1 0 2   x 1   y 2  z 1 .  x 1   y 2  z 1 . C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1 1 1   2 x y z. Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö. x  y z. 1 1 1 3 2      2 z 3 x y z z Ta cã. Mµ z nguyªn d¬ng vËy z = 1. Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc. 1 1  1 x y. 1 1 1   Theo gi¶ sö x y nªn 1 = x y y  y 2 mµ y nguyªn d¬ng. Nªn y = 1 hoÆc y = 2 Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp Víi y = 2 ta cã x = 2.

(29) VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình lµ (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô 3 : T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x  x y. (*) Gi¶i : (*) Víi x < 0 , y < 0 th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > 0 , y > 0 2 Ta cã x  x  y  x  x  y. . x  y2  x  0. §Æt x k Ta cã. (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng ). k .(k  1)  y 2. 2 Nhng k  k  k  1   k  1. 2.  k  y  k 1. Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶ Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh .  x 0  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ :  y 0. Tµi liÖu tham kh¶o ************ 1- toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8. -nxb gi¸o dôc 8 – 6 – 1998 T¸c gi¶ : NguyÔn Ngäc §¹m – NguyÔn ViÖt H¶i – Vò D¬ng Thôy. 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb §¹i häc quèc gia hµ néi – 1998 T¸c gi¶ : Phan Duy Kh¶i.

(30) 3 – toán bồi dỡng học sinh đại số 9 -nhµ xuÊt b¶n hµ néi. T¸c gi¶ : Vò H÷u B×nh – T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu 4 – sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb gi¸o dôc – 1998. 5 – toán nâng cao đại số 279 bài toán chọn lọc -nhµ xuÊt b¶n trÎ – 1995. T¸c gi¶ : Vâ §¹i Mau. 6 – Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i – hà nội ----------------&&&-----------------.

(31)

CM BDT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về