Chuyen De HPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ (PHẦN I) NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.  Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.  Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng: x1 + x2 + ... + xn x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn ............................... x1x2 ... xn  Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.  Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét. * Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn1 +... an, a0 ≠ 0, ai  P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì: a1  c1  c2  ...  cn  a 0   a2 c1c2  c1c3  ...  c1cn  c2 c1  c2 c3  ...  cn-1cn  a0  ...............................   n an c1c1 ... cn (  1) . a0  (Định lý Viét tổng quát) Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn: A. LÝ THUUYẾT 1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: b   S x1  x2  a   P  x .x  c 1 2  a  x1  x2 S  x . x P Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có  1 2 thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2  SX + P = 0. 2. Định nghĩa:  f ( x, y )  0  f ( x, y )  f ( y , x )    g ( x, y ) 0 , trong đó  g ( x, y )  g ( y , x ) 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 2 Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S  4 P . Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.. Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình  x 2 y  xy 2 30  3 3 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  x  y 35 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GIẢI 2 S  x  y , P  xy S  4 P Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành: ìï ïï P = 30 ìï SP = 30 ï ïí Û ïí æ S ö ìï S = 5 ìï x + y = 5 ìï x = 2 ìï x = 3 2 ïï S(S - 3P) = 35 ïï ç 2 90÷ ïí ïí ïí Û Û Û Ú ïí î S S = 35 ÷ ïï ç ÷ ï ï ï ïï y = 2 ç P = 6 xy = 6 y = 3 è ø S ïî ïî îï îï î .  xy ( x  y )  2  3 3 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  x  y  2 . GIẢI 2 t  y , S  x  t , P  xt S  4 P Đặt , điều kiện Hệ phương trình trở thành: ìï xt(x + t) = 2 ìï SP = 2 ìï S = 2 ìï x = 1 ìï x = 1 ïí ïí ïí ïí ïí Û Û Û Û ïï x3 + t3 = 2 ïï S3 - 3SP = 2 ïï P = 1 ïï t = 1 ïï y = - 1 î î î î î .  x  y  1  1 4  x y   x2  y 2  1  1 4 x2 y 2 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  . GIẢI Điều kiện x  0, y  0 . ïìï æ x+ ç ïï ç ç ïè í ïï æ ïï ç çx + è ïî ç. æ 1ö 1ö ÷ +ç y+ ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷= 4 ç xø è yø 2 2 æ 1ö 1ö ÷ ÷ ç + y + ÷ ÷ ç ÷ è ÷=8 ç xø yø. Hệ phương trình tương đương với: æ æ 1ö æ 1ö 1 öæ 1ö 2 ç S=ç x+ ÷ +ç y+ ÷ ,P = ç x+ ÷ y+ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷, S ³ 4P ç ç ç ç è ø è ø è øè ø x y x y Đặt ta có: ìï æ ö æ ö 1 1 ìï ïï ç x+ ÷ +ç y+ ÷ =4 ÷ ÷ ïï x + 1 = 2 ç ç ìï S = 4 ìï S = 4 ÷ ÷ ç ç ï è ø è ø x y ï ïí x Û ïí Û ïí Û í Û öæ ö ïï S2 - 2P = 8 ïï P = 4 ïï æ 1 1 1 ï ÷ ÷ ç ç î î ï x + ÷çy + ÷= 4 ïï ç ïï y + = 2 ÷ç ÷ è x øè yø y ïî ç ïî  x 2  y 2  2 xy 8 2 (1)  x  y 4 (2) Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  . GIẢI Điều kiện x, y 0 . Đặt t  xy 0 , ta có: xy = t2 và (2) Þ x + y = 16 - 2t . Thế vào (1), ta được: t2 - 32t + 128 = 8 - t Û t = 4. Suy ra: ìï xy = 16 ïí Û ïï x + y = 8 î. ìï x = 4 ïí ïï y = 4 î . Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm Phương pháp giải chung:. ïìï x = 1 í ïy=1 îï ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 2 + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S  4 P (*). + Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:  x  y 1   x x  y y 1  3m . GIẢI x , y  0 Điều kiện ta có:. Đặt S =. x+. ïì x + y = 1 ïì x + y = 1 ïí Û ïí ïï x x + y y = 1 - 3m ïï ( x)3 + ( y)3 = 1 - 3m îï îï 2 y ³ 0, P = xy ³ 0 , S ³ 4P. Hệ phương trình trở thành: ìï S = 1 ïí Û ïï S3 - 3SP = 1 - 3m î. ìï S = 1 ïí ïP =m îï .. 1 4.  x  y  xy  m  2 2 Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  x y  xy 3m  9 có nghiệm thực. GIẢI ïìï x + y + xy = m ïì (x + y) + xy = m Û ïí í 2 2 ïï x y + xy = 3m - 9 ï xy(x + y) = 3m - 9 î îï . ïìï S + P = m í ï SP = 3m - 9 2 Đặt S = x + y, P = xy, S ³ 4P. Hệ phương trình trở thành: ïî . 2 Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t - mt + 3m - 9 = 0 ïì S = 3 ïì S = m - 3 Þ ïí Ú ïí ïï P = m - 3 ïï P = 3 î î . 2 é3 ³ 4(m - 3) 21 Û ê ê(m - 3)2 ³ 12 Û m £ 4 Ú m ³ 3 + 2 3 ê ë Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .  x  4  y  1 4  Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  x  y 3m có nghiệm. 2 Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S ³ 4P ta có. 0£ m£. GIẢI Đặt u =. x - 4 ³ 0, v =. y - 1 ³ 0 hệ trở thành: ïìï u + v = 4 Û í 2 ïï u + v2 = 3m - 5 î t2 - 4t +. Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm.. ïìï u + v = 4 ï í ïï uv = 21 - 3m ïî 2 .. 21 - 3m =0 2 (*)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ìï D / ³ 0 ïï Û ïí S ³ 0 Û ïï ïïî P ³ 0. ïìï 3m - 13 ³ 0 ïï 13 2 Û £ m£ 7 í ïï 21 - 3m 3 ³ 0 ï ïîï 2 ..  x 2  y 2  4 x  4 y 10  Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình  xy ( x  4)( y  4)  m có nghiệm thực. GIẢI ïìï (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ïìï x2 + y2 + 4x + 4y = 10 Û í 2 í ïï xy(x + 4)(y + 4) = m ïï (x + 4x)(y2 + 4y) = m î î . 2 2 u = (x + 2) ³ 0 , v = (y + 2) ³ 0 Đặt . Hệ phương trình trở thành: ïìï u + v = 10 Û í ïï uv - 4(u + v) = m - 16 î. ïìï S = 10 í ïï P = m + 24 î (S = u + v, P = uv).. ìï S2 ³ 4P ïï ïí S ³ 0 Û - 24 £ m £ 1 ïï ïP ³ 0 Điều kiện ïî . Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình. 3 3 x  3 1 x  2. Ví dụ. Giải phương trình: GIẢI 3  uv  3  x u 2  3 (u  v)  (u  v) 2  3uv  1 1  x v     Đặt: . Vậy ta có hệ:    3 19 X2 - X + =0 2 36 u, v là hai nghiệm của phương trình: 3    x =  9 + 5    12  9+ 5    u =  12 3   9- 5  9- 5  x =   u =   12  12  3  u  v  2  u 3  v3 1 . . 3   u+v = 2   u.v = 19  36. .  9  5  3   ;   12  Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = B. BÀI TẬP. 9 5    12 . 3.     .. I. Giải các hệ phương trình sau: 4 4  x  y 1  6 x  y 6 1 1) . 2 2  x  y 5  4 x  x 2 y 2  y 4 13 2) .  x y  y x 30   x x  y y 35 3) .

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x  y 4  2  x  y 2  2 xy 8 2 4) .  x 2  x  y 2  y 18  xy ( x  1)( y  1) 72 5) .   1   x  y   1   5 xy      x 2  y 2  1  1  49    x2 y 2   . . 6). . 1 1   x y 7  x  y  x  y 4    1   x  y 4  y x x y   x 2  y 2  1  1 4  2 2 3 3   x xy  y xy  78  x  y x  y 280 x2 y 2  7) 8)  9)   x6  y 6 2  3 x  3x  y3  3 y 10)  II. Gải hệ phương trình có tham số: 1. . Tìm giá trị của m: 5  x  y   4 xy 4  x  y  xy 1  m a)  có nghiệm.  x  y  xy m  2  2 x y  xy 2 m  1 b)  có nghiệm duy nhất. 2  x  y  4  2 2  x  y 2  m  1 c)  có đúng hai nghiệm.  x  xy  y m  2 x  y 2 m 2.  (1II) a. Giải hệ phương trình khi m = 5. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.  x  xy  y m  2 x y  xy 2 3m  8 3.  (7I) a Giải hệ phương trình khi m = 7/2. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.  x  xy  y m  1  2 x y  xy 2 m 4.  (40II) a. Giải hệ phương trình khi m=2. b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0. III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình: 4 4 1. Giải phương trình: x  1  18  x 3 .. . 2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm: a. 1  x  1  x m b. m  x  m  x m. . 3 3 c. 1  x  1  x m. Phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thêm). a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng. b. Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:. .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Cho 3 số x, y, z có:. x + y + z = α   xy + yz + zx = β  xyz = γ . Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 -  X2 +  X -  = 0. (*) Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0  [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0  X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0  X3 -  X2 +  X -  = 0. (*) có nghiệm là x, y, z  phương trình X3 -  X2 +  X -  = 0 có 3 nghiệm là x, y, z. c.Cách giải: + Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng  ,  ,  .Khi đó ta x + y + z = α   xy + yz + zx = β  xyz = γ  đặt Ta được hệ của ỏ, õ, ó. + Giải phương trình X3 - ỏX2 + õX - ó = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất  hệ vô nghiệm. (1) có 1 nghiệm kép duy nhất  hệ có nghiệm. (1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn  hệ có 3 nghiệm. (1) có 3 ngiệm  hệ có 6 nghiệm. d. Bài tập: x + y + z = 2  2 2 2 x + y + z = 6  x 3 + y3 + z 3 = 8  VD1: Giải hệ: Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx). x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. Vậy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = -1. 8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz  xyz = -2. t = 1 t = - 1  t = 2 3 2  x, y, z là nghiệm của phương trình:t - 2t - t + 2 = 0   Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).  x + y + z = 9 (1)  (2)  xy + yz + zx = 27 1 1 1  + + =1 (3) x y z VD2: Giải hệ  xy + yz + zx =1 xyz Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Do (2)  xyz = 27 x + y + z = 9   xy + yz + zx = 27  xyz = 27 Vậy hệ   Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0  (X - 3)3 = 0  X = 3. Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3). x + y + z = a  2 2 2 2 x + y + z = a  x 3 + y3 + z 3 = a 3 VD3: Giải hệ  Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = 0. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz  xyz = 0. x + y + z = 0   xy + yz + zx = 0  xyz 0  Vậy có: X = 0   (x; y; z) là nghiệm của phương trình: X3 - aX2 = 0   X = a Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại. + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.  x + y + z = 9 (1)  (2)  xy + yz + zx = 27 1 1 1  + + =1 (3) x y z   VD: Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz Từ (2) và (4)  xyz = 27 Từ (2)  x2(y + z) + xyz = 27x Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0  x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0  (x - 3)3 = 0  x = 3  y + z =6  Thay x = 3 vào (1), (5) ta có:  yz = 9  y = z = 3. Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.. (4). (5) (6).

<span class='text_page_counter'>(8)</span>