BAI TAP ON HSG TOAN 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x(m  2)  ( m  3) y m  8 a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố ñònh. Giải: a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên (m  2).( 1)  (m  3).1 m  8   5 m  8  m 3.  x0 ; y0 . b) Goïi. là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua. Ta coù: (m  2) x0  (m  3) y0 m  8 m .  ( x0  y0  1) m   2 x0  3 y0  8  0 m.  x0  y0  1 0    2 x0  3 y0  8 0.  x0  1   y0 2. Vaäy ñieåm coá ñònh maø (d) ñi qua laø (-1;2) Câu 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S. a b c   . (b  c  a) ( a  c  b) ( a  b  c). Giải: Ñaët. yx  a  2  x b  c  a  xz   y  a  c  b  ( x; y; z  0)  b  2  z a  b  c   x y  c  2  Ta coù yz zx x y 1 x y  1 x z  1 y z  S             2x 2y 2z 2 y x  2 z x 2 z y  1 1 1  .2  .2  .2 3 2 2 2 Daáu “ =” xaåy ra khi x = y = z  a = b = c . Vaäy S nhoû nhaát laø 3 vaø xaåy ra khi a = b = c... Câu 3: Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 a 2  b2 2 2 Chứng minh : a  b 2. 2. a 2  b 2  a  b   2ab  a  b   2 2    a  b   a b a b a b Giải: * Vì a.b = 1 nên a  b * Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 2 2 2  a  b    a  b  a b a b Ta có : Vậy. a 2  b2 2 2 a b. Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> abc n2  1  2 cba  n  2 . Giải: Viết được. với n là số nguyên lớn hơn 2  abc 100a  10b  c n 2  1  2 cba 100c  10b  a n  4n  4. Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5  99 (3) 2 2 Mặt khác : 100 n  1 999  101 n 1000  11 n 31  39 4n  5 119 (4) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675 Câu 5 : Giải phương trình √3 x2 +26+3 √ x +√ x+3=8. Giải : Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) Với 0 ≤ x <1 thì: 3 2 √ x +26+3 √ x +√ x+3< √3 12 +26+3 √ 1+√ 1+ 3=8 Nên PT vô nghiệm với 0 ≤ x <1 Với x >1 Thì: √3 x2 +26+3 √ x +√ x+3> √3 12 +26+3 √ 1+√ 1+ 3=8 Nên PT vô nghiệm với x >1 Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 Câu 6: Giải các phương trình sau: 2 a) 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x  7. Giải: xác định đúng điều kiện:. x.  2 2 ;x  2 2. 2 2 2  x  4 x  4  2 x  1  2 2 x  1. 7  7 = 0.  ( x  2) 2  ( 2 x  1   x  2 0  2  2 x  1 . b). 4.  x  2     x 2  x 2 7 0   x  2 . 4  x2 . 4. 7) 0. (Thỏa mãn). x 4  16  4 x  1  x 2  y 2  2 y  3 5  y.  4  x 2 0 (1)  4 (2)  x  16 0  (3)  4 x  1 0 2 2  x  y  2 y  3 0 (4) Giải: Điều kiện :  2 Từ (2)  (x2 – 4)(x2 + 4) 0  x  4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0 ; Đúng với mọi giá trị của y.. Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0;. (với x ; y nguyên). Giải: Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0  x2 – 2y – 5 = 0  x2 = 2y2 + 5  x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( k  Z )  4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5  2y2 = 4k2 + 4k – 4  y2 = 2(k2 + k – 1)  y chẵn Đặt y = 2n; (n  Z )  4n2 = 2(k2 + k – 1)  2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp)  (*) vô nghiệm  pt đã cho vô nghiệm 5  3  29  12 5 Câu 7: Chứng minh đẳng thức: = cotg450 Câu 8: a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy. x  2 y 8  x 8  2 y. Giải: a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2. B  y  8  2 y  8 y  2 y 2. a  b 2  b 2  a A a 2   2  a . 2.   .  8  . A 2a 2  4a  4.  A  A. . 2. 2a  2 2a. 2  2a . 2. . 2.  2. 2. 2. 2. 2. .  2 2 y.2 2  2 2. 2y  2 2. . 2. 8. Câu 9: Giải phương trình x 2  9  x 2  6 x  9 0 2. b/ x  4  x  4 0 a / x 2  9  x 2  6 x  9 0 . . b/ Bmax 8. A 2 Amin 2 2. 2y.  x  3 . . x  3  x  3 0.   x  3 0    x  3  x  3 0 Giải:.  x 3  ptvn . vậy nghiệm của pt là x=3 b / x 2  4  x 2  4 0 x 2  4   x 2  4  0  t 1 t  t 0  t 2  t 0    t 0 x 2. . x  5 2. 2 Câu 10: Giải phương trình : x  4 x  7 ( x  4) x  7 2 2 Giải: Đặt t = x  7 , phương trình đã cho thành : t  4 x ( x  4)t 2  t  ( x  4)t  4 x 0  (t  x)(t  4) 0  t = x hay t = 4, 2 2 Do đó phương trình đã cho  x  7 4 hay x  7 x 2 2  x  7  x   x2 + 7 = 16 hay  x  7  x2 = 9  x = 3 Câu 11: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.. 2 x 2  2 y 2  12 xy x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =. Giải: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.. . 2.  8 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 x 2  2 y 2  12 xy x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 x 2  2 y 2  3.4 xy 2 x 2  2 y 2  3 2  ( x  y )  2 xy   3 2.( x  y ) 2  4 xy  3    x y x y xy xy. Ta có A = 2 2.( x  y )2  1  3 2.( x  y ) 2  1  3 2.( x  y ) 2  2 2.  ( x  y )  1 2( x  y ) 2  2      x y x y x y x y xy. 2( x  y ) .  1  2 2  ( x  y)  x  y  x y = . ( x  y)  Xét. 1 x y. 1 Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và ( x  y ) ta có: 1 (x+y) + ( x  y ) ≥ 2.  x  y  .(. 1 ) x y = 2.  1  2  ( x  y)  x  y  ≥ 4 Do đó: A =  1 Vậy Min A = 4  (x+y) = ( x  y )  (x+y)2 =1  x + y = ±1 1 Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = - 2 1 x=y= 2. Câu 12: Cho sè thùc x > 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1 S= x2-x+ x  2 1 Giải: S= x2- x+ x  2 = 2. 2. 1 1 25  5  1 7  5 = x -x+ =  x -  + 4  x - 2 + +8=  x -  + 4  x - 2 + + x-2  2 x-2 4  2 x-2 4 2.  5  2  x -  0  2   1  4 x 2 + 4(Cosi )    x-2 Ta cã .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 7 23 MinS = 4 + 4 = 4 khi x=2,5. Câu 13: Cho x2 + 2y2 + z2 -2xy - 2yz + zx - 3x - z +5 = 0.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc S = x3 + y7 + z2010 . Giải: x2 + 2y2 + z2 -2xy - 2yz + zx - 3x - z +5 = 0. 1 1 1 2 2 2 2 <=> 2 (x + 4y + z -4xy - 4yz + 2zx) + 2 ( x – 6x + 9) + 2 ( z2 – 2z +1) = 0 1 1 1 <=> 2 (x - 2y + z)2 + 2 ( x - 3)2 + 2 (z - 1)2 = 0. => x = 3 ; y = 2 ; z = 1 => S = x3 + y7 + z2010 =33 + 27 + 12010 = 92 Câu 14: Cho x,y l à các số dương thoả mãn : x + y = 4 P x 2  y 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của :. 33 xy. Giải: Từ x+y=4 ( x  y)2  4 4 Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy 33 33  xy 4 Do đó 2. Mặt khác: x2+y2= ( x  y ) -2xy=16-2xy 16  2.4 =8( do xy 4) 33 65 8   4 4 Vậy P 65 Do đó : MinP= 4 , đạt được khi x=y=2.. Câu 14: Cho 2 số dương x, y có x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1  1   1 2  1 2  y  B =  x   1 1  1 x2  y 2 1 B 1   2  2   2 2 1  2 2  2 2 y  x y x y x y x Giải: Ta có: 1  1 .  x  y. 2. 2.  2 xy. x y 2  x y    2 . 2. 2. . 1 1  2 xy 1 2 1  2 2  2 2 1  2 x y x y x y xy 2. 9. x y 1  x y  x  y  1 2 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của B là B = 9   . A. Câu 15: Rút gọn biểu thức. 3 5. 10  3  5. . 3. 5. 10  3 . 5..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> B=. 3- 3 2-. 3 +2 2. 3 +3. +. 2+ 3 - 2 2 .  2  2 3  3 3  2 3  C    2     (24  8 6)   2 2 3 2 3  3  4 2  2 3 D  4 49  20 6  4 49  20 6. E  3 2 3  4 2 . 6 44  16 6. Câu 16: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số. n3 +2 n laø phaân soá toái giaûn. n4 +3 n2 +1. Giải: Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1 Gọi d là Ước chung của n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n ⋮ d ⇒ n(n3 +2 n)⋮ d => n4 + 2n 2 ⋮ d (1) 2. 2. 4. 2. n +1 ¿ =n +2 n + 1⋮ d (2) ⋮d⇒ ¿ 4 2 4 Từ (1) và (2)=>(n +3n +1)- (n +2n2) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d=1 2 n+1 Câu 17: Chứng minh rằng phân số 2 n2 −1 Tối giản với mọi n là số tự nhiên HD:Goïi d laø UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 ⋮ d vaø 2n2-1 ⋮ d => n(2n+1)-(2n2-1). n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1. +1 ⋮ d. 5. n +n+ 1 Câu 18: Chứng minh rằng phân số : 4 2 n +n +1. không tôi giản với mọi n là số nguyên dương. HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1 2 2 Câu 19: Tìm nghiệm nguyên của PT : x  4 xy  5 y 16 2 2 Giải: Ta có : x  4 xy  5 y 16. . ( x  2 y ) 2  y 2 16 42  02 0 2  4 2.  x  2 y 4    y 0 hoặc. ⋮ d => n.  x  2 y 0   y 4. Giải các hệ PT trên và thử lại, ta được 4 nghiệm nguyên là : (x;y)   ( 4; 0); (4; 0);(4;8); (  8;  4). . Câu 20: Tìm các nghiệm nguyên của PT : ( x  3)( y  4) 3xy Giải: Ta có : ( x  3)( y  4) 3xy  y (2 x  3) 4 x  12 18 y 2   2 x  3 (vì x  Z  2 x  3 0 ) Do x, y là các số nguyên nên 18 phải chia hết cho (2 x  3) .  (2 x  3) là ước số của 18.  (2 x  3) 1; 2; 3; 6; 9; 18 . Từ đó ta tính được các giá trị nguyên của x là : 2; 1; 3; 0; 6;  3 .  Các giá trị tương ứng của y là : 20;  16 ; 8;  4 ; 4; 0. ( x; y )   (2; 20);(1;  16); (3;8); (0;  4);(6; 4); (  3; 0) Vậy PT (7) có các nghiệm nguyên ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>