Chuoi so
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (44.58 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuỗi số. 1 Bài soạn. Chuỗi số. A.. Mục đích, yêu cầu. Mục đích: Trang bị cho sinh viên các kiến thức về chuỗi: chuỗi phân kỳ, chuỗi hội tụ, các tính chất. Yêu cầu: Sinh viên cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. Luôn ghi nhớ điều kiện cần của sự hội tụ để nhận biết về khả năng phân kỳ của chuỗi số.. B. 1. Nội dung bài giảng Khái niệm. Giả sử {an } là một dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · =. ∞ ∑. an gọi là một chuỗi số.. n=1. an được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Nếu tồn tại lim Sn = S(|S| < +∞) thì S được gọi là tổng của chuỗi n→∞. n=1. Khi đó chuỗi số được gọi là hội tụ. Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ. ∞ ∑ q n (q = ̸ 1) Ví dụ 1. a) n=0. Ta có Sn = 1 + q + · · · + q n = Nếu |q| < 1 thì lim Sn = n→∞. 1 − q n+1 1−q. 1 (Chuỗi hội tụ) 1−q. Nếu |q| > 1 thì @ lim Sn (Chuỗi phân kỳ) n→∞. b). ∞ 1 ∑ (Chuỗi điều hòa) n=1 n 1 1 1 1 Ta có 1 + + + + · · · + + · · · 2 3 (4 ) n( ) 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + + ··· 2 (3 4) (5 6 7 8) 1 1 1 1 1 1 1 + + + + > 1+ + + + ··· 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 1 =1 + + 2. + 4. + · · · + 2n . n+1 + · · · 2 4 8 2 1 1 1 1 = 1 + + + + ··· + + ··· 2 2 2 2 1 = 1 + lim n. = +∞ n→∞ 2 Vậy @ lim Sn (Chuỗi phân kỳ) n→∞. ∞ ∑. an.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuỗi số. c). 2. ∞ 1 ∑ 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· 2 2 3 n n=1 n 1 1 1 Sn = 1 + 2 + 2 + · · · + 2 2 3 n {Sn } là dãy tăng 1 1 Mặt khác 2 < ∀n > 1 n (n − 1)n 1 1 1 1 =⇒ Sn < 1 + + + ··· + =2− <2 1.2 2.3 (n − 1).n n. =⇒ {Sn } tăng và bị chặn trên =⇒ ∃ lim Sn < +∞(Chuỗi hội tụ) n→∞. 2. Tính chất của các chuỗi hội tụ a) Nếu chuỗi. ∞ ∑. an ,. n=1. ∞ ∑. bn hội tụ thì chuỗi. n=1. ∞ ∑. c.an (α là hằng số ) và. n=1. ∞ ∑. (an ± bn ) cũng. n=1. hội tụ. ∞ ∞ ∑ ∑ an c.an = c. n=1 ∞ ∑. n=1. (an ± bn ) =. ∞ ∑. an ±. n=1. n=1. b) Nếu chuỗi. ∞ ∑. ∞ ∑ n=1. bn. n=1 ∞ ∑. an hội tụ,. n=1. c) Nếu chuỗi. ∞ ∑. bn phân kỳ thì. ∞ ∑. (an ± bn ) phân kỳ. n=1. n=1. an phân kỳ,. ∞ ∑. bn phân kỳ thì không có kết luận cho chuỗi. n=1. n=1. Tuy nhiên nếu un ≥ 0, vn ≥ 0 thì chuỗi. ∞ ∑. (an + bn ) phân kỳ. n=1. Ví dụ ( 2. Xét sự)hội tụ và tính tổng của chuỗi ∞ ∑ 1 1 + n n 3 5 n=0 ∞ 1 ∑ Ta có chuỗi hội tụ n n=0 3 ∞ 1 ∑ hội tụ n n=0 5 ( ) ∞ ∑ 1 1 Do đó + n hội tụ và n 5 ) n=0 ( 3 ∞ 1 ∞ 1 ∞ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 + = + = n n n n 3 5 1− n=0 3 n=0 5 n=0. 3. 1 3. +. 1 1−. 1 5. =. 11 4. Phần dư của chuỗi hội tụ. Giả sử. ∞ ∑. an hội tụ, có tổng = S. n=1. rn = S − Sn gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Ta có ngay lim rn = 0 n→∞. Nhận xét.. ∞ ∑. (an ± bn ).
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuỗi số. 3. a) Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi ta thêm hoặc bớt một số hữu hạn các số hạng của chuỗi. b) Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không đổi khi ta thay đổi vị trí của một số hữu hạn phần tử.. 4. Điều kiện để một chuỗi hội tụ ∞ ∑. a) Điều kiện cần: Nếu. an hội tụ thì lim an = 0 n→∞. n=1. Chứng minh. Ta có an = Sn − Sn−1 ∀n > 1 Vì lim Sn = lim Sn−1 = S n→∞. n→∞. Nên lim an = 0 n→∞. Chú ý. + Điều ngược lại nói chung không đúng ∞ 1 ∑ 1 Ví dụ xét chuỗi điều hòa phân kỳ, nhưng vẫn có lim an = lim = 0 n→∞ n→∞ n n=1 n + Ta thường dùng mệnh đề tương đương với mệnh đề trên: Nếu lim an ̸= 0 hoặc n→∞ ∞ ∑ an phân kỳ @ lim an thì chuỗi n→∞. n=1. Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 1) 2) 3). ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ n=1 ∞ ∑. (−1)n phân kỳ vì an = (−1)n 9 0 q n , |q| ≥ 1 phân kỳ vì q n 9 0 cos n. n=1. Ta có lim an = lim cos n = 0 n→∞. n→∞. b) Điều kiện cần và đủ(Tiêu chuẩn Cauchy) ∞ ∑ Chuỗi an hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N ta có n=1. |an+1 + · · · + an+p | < ε Chứng minh. Xét {Sn }, Sn = a1 + a2 + · · · + an Theo tiêu chuẩn Cauchy về dãy số, dãy Sn hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥, ∀p ∈ N ta có |Sn+p − Sn | < ε Điều phải chứng minh.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuỗi số. 4. Ví dụ 4. Xét. ∞ 1 ∑ n=1 n. Ta có |S2n − Sn | =. 1 1 1 1 1 +···+ > +···+ = = ε0 . Chuỗi phân kỳ theo n+1 2n 2n 2n 2. tiêu chuẩn Cauchy.. C.. Bài tập luyện tập. Bài 1. Tìm tổng của các chuỗi sau đây( nếu có ) a). ∞ ∑ n=2. n2. 1 −n. b). ∞ 2n − 3n ∑ 5n n=1. c). ∞ 1 ∑ 1 + n 3n n=1 2. Bài 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau: a) b). ∞ n+1 ∑ n=1 2n − 1 ∞ ∑. cos n. n=0. c). ∞ ∑ n=1. d). √. 1 √ n+1− n. ∞ 1 ∑ 1 sin n n=1 n. Củng cố Trong phần đầu tiên này cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. Điều kiện cần của sự hội tụ để nhận biết khả năng phân kỳ của chuỗi số. Đồng thời nhận biết được số hạng tổng quát của chuỗi số để phân loại được các đặc tính của chuỗi số trong các bài tiếp theo: chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu bất kỳ để từ đó sử dụng tiêu chuẩn thích hợp để kết luận về sự hội tụ của nó..
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
