Chuyen de tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề:. PHẦN 1 : ĐẠO HÀM A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1). Định nghĩa:. f  x  x   f  x  y  lim x  0 x x  0 x. f  x   lim. 2). Các quy tắc tính đạo hàm: a). Đạo hàm một tổng, hiệu: b). Đạo hàm một tích:.  u1 u2  un   u1 u2  un.  u.v   u.v  u.v. * Trường hợp đặc biệt: v k ( k là hằng số) ta được:.  k.u   k.u.  u  uv  u.v  v 0     2 v v   c). Đạo hàm một thương: v  1     2  v 0  v * Trường hợp đặc biệt: u 1 ta được:  v  3). Các công thức tính đạo hàm:. u  u k  sin 2 u.  un   nun 1u  n  * .  cot gu   .  u   2uu  u  0.  e   e u.  sin u   cos u.u.  a   a.  cos u    sin u.u.  ln u     u  0 .  tgu   . u cos2 u. u. u. u. u. ln au  0  a 1. u u.     u   k  2  .  loga u   . u  0  a 1; u  0  u ln a. B). BÀI TẬP:  Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức trước, ta thực hiện các bước sau:  Tìm tập xác định của hàm số. F  x, y, y, y, y,... , với y  f  x  là hàm số cho. y  f  x. y  f  x  trước, sau đó mới tính đạo hàm).  Tính y, y, y, (có khi ta phải rút gọn hàm số  Thay y, y, y, vừa tìm được vào biểu thức F , tiếp theo thực hiện theo yêu cầu của bài toán..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x 2  x  1 2 Bài 1: Cho hàm số . Giải phương trình y  xy 0 . 2 x xy  x  2  y . Bài 2: Cho hàm số y x e . Chứng minh đẳng thức: x y cos2 2 . Chứng minh đẳng thức: y cos x  ysin x y . Bài 3: Cho hàm số y. x Bài 4: Cho hàm số y e sin x . Chứng minh rằng: 2 y  2 y  y 0 . 2. y  x  1 cos x . Hãy tìm các giá trị của x sao cho: Bài 5: Cho hàm số  x  1  y  y  y 0 4 4 Bài 6: Cho hàm số y cos x  sin x .. a. Chứng minh rằng: y  2 sin 2 x 0 . b. Giải phương trình 2 y  y 0 . 2 2 Bài 7: Cho hàm số y ln x . Giải bất phương trình y  xy  x y 3 2. y e x  x  1 . Bài 8: Cho hàm số y  y y y  1 0 Tìm các giá trị của x sao cho: 2. Bài 9: Cho hàm số. y ln  e x  x 2  1 . a. Giải phương trình. .. y   x 2  1 y 0. .. b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y . x Bài 10: Cho hàm số y xe ..    Chứng minh bất đẳng thức sau: y  y  y  y  0, x   . 1 2 g x  sin 2 x  sin 2 x   f  x  cos 2 x cos x 2 Bài 11: Cho hai hàm số: ; . f  x g x a. Tính   ,   . 2. b. Chứng minh rằng: Bài 12: Cho hàm số. f  x   g x  0 .. y  f  x  tg3x.tg2 x.tgx .. Chứng minh rằng:. f  x  3tg 2 3x  2tg 2 2 x  tg 2 x ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PHẦN 2 :. NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN. §1. NGUYÊN HÀM: 1). Định nghĩa : Hàm. F  x  gọi. số. F x   f  x  , x   a, b  .. là. nguyên. hàm. của. hàm. số. f  x. trên.  a, b . nếu. F  x  là nguyên hàm của f  x  thì mọi hàm số có dạng F  x   C ( C là f x F x  C mới là nguyên hằng số) cũng là nguyên hàm của   và chỉ những hàm số có dạng   f x F x  C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f  x  và ký hàm của   . Ta gọi   f  x  dx Ghi nhớ : Nếu. hiệu là. .. f  x  dx F  x   C. Như vậy: 2). Tính chất:. kf  x  dx k f  x  dx;  k 0 . a.TC1: b.TC2:.  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx. c.TC3:. Nếu. f  x  dx F  x   C thì f  u  du F  u   C .  a, b    a 0  :. 3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ. dx x  C. dx 1  ax  b a ln ax  b  C. x 1  x dx   C ,    1   1. e dx e. sin xdx  cos x  C. e. cos xdx sin x  C. sin axdx . dx. cos. 2.  tgx  C , x   k x 2. x. ax. x. C. 1 dx  e ax  C a 1 cos ax  C a. 1. cos axdx  a sin ax  C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> dx sin 2 x  cot gx  C, x k. dx 1   tgx  C , x   k cos2 ax a 2. dx x ln x  C,  x 0 . dx 1  sin2 ax a cot gax  C, x k. Bài tập: Ghi nhớ:  Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.  Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.  Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.. 1 1 F  x   x  sin 2 x f  x  cos2 x 2 4 Bài 1: Cho hai hàm số ; . F x f x a. Chứng minh rằng   là nguyên hàm của   .   G   0 G x b. Tìm nguyên hàm   biết rằng  4  . cos x  cos 2 x  cos 3 x f  x  cos4 x  sin 4 x Bài 2: Cho hàm số . F  x  của hàm số f  x  biết rằng F     . f x 2 cos2 x cos 4 x G x G x   f  x  và Bài 3: Cho hàm số   . Tìm hàm số   biết rằng 29 1   G  0   ; G    144  12  32 . Tìm nguyên hàm. Bài 4: Cho hàm số. f  x  8 sin x cos x cos 2 x cos 4 x .. a. Giải phương trình. f  x   f  x  0 .. b. Tìm nguyên hàm. F  x  của hàm số f  x  biết rằng đồ thị của hàm số F  x  đi qua.    M   ;0 điểm  8  . sin x F x  1  cos x là nguyên hàm của f  x  . Hãy tìm các giá trị của x Bài 5: Biết rằng hàm số f x  f  x  0 . sao cho   x Bài 6: Cho hàm số y xe .. y 2 a. Tính y và   ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x f x  x  2007 e     b. Tìm nguyên hàm của hàm số . x f x e sin x . Chứng minh rằng hàm số f  x   f  x  là nguyên hàm Bài 7: Cho hàm số   2 f  x . của hàm số. x 3  3x 2  3x  1 1 f  x  F 1    2 F x x  2 x  1 ,biết rằng 3 . (Đề Bài 8: Tìm nguyên hàm   của hàm số thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2. TÍCH PHÂN : b. 1). Định nghĩa: 2). Tính chất:. a. TC1:. b. TC2:. c. TC3:. d. TC4:. b. f  x  dx F  x  a F  b   F  a  a. b. a. a. b. f  x  dx  f  x  dx b. b. a. a. kf  x  dx k f  x  dx (k 0) b. b. b. a. a. a.  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx b. c. b. a. a. c. f  x  dx f  x  dx  f  x  dx b. e. TC5:. f. TC6:. f x 0, x   a; b  thì Nếu  . f  x  dx 0 a. f x g  x  , x   a; b  thì Nếu  . b. b. a. a. f  x  dx g  x  dx b. m  f  x  M , x   a; b . m  b  a  f  x  dx M  b  a . a g. TC7: Nếu thì 3). Bài tập:  Ghi nhớ:  Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.  Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.  Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. Bài 1: Tính các tích phân sau đây:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  4. a.. cos 2 x cos xdx. b.. 0. . cos x  sin x dx.  4. x2  2 x  3 dx  x  2 1 1. c.. e2 x ln x dx  x 1 2. d.. x 2 x  1 và hàm số F  x  ln x  1 . Bài 2: Cho hàm số F x f x a. Chứng minh rằng   là nguyên hàm của   . f  x . 2. xdx 2 1. 1. b. Áp dụng câu a. tính Bài 3: Cho hàm số a. Tính. x 0. .. f  x  x ln 2 x  2 x ln x .. f  x  . e. b. Áp dụng câu a. tính Bài 4: Biết hàm số. ln. 2. 1. F x . xdx .. cos x  sin x cos x  sin x là một nguyên hàm của f  x  . Hãy tính :.  4. f  x  dx. . §3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 0. b. . f    x   .  x  dx f  t  dt. a 1). Công thức tổng quát: Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng. . f   x  .  x.  (hàm số theo biến là   ) với đạo hàm của hàm tích của  trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:.   x  . Áp dụng công thức. . a). TH1:. f  sin x  .cos xdx. .  Đặt t sin x  hoặc t  p sin x  q. ..  p, q   . n  hoặc t  p sin x  q nếu như biểu thức p sin x  q nằm trong. n. ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> . b).. f  cos x  .sin xdx. TH2:   Đặt t cos x.  hoặc t  p cos x  q. ..  p, q   . n  hoặc t  p cos x  q nếu như biểu thức p cos x  q nằm trong. . c).. TH3:. n. 1. f  ln x  . dx  x .  Đặt t ln x. ..  p, q   .  hoặc t  p ln x  q. n  hoặc t  p ln x  q nếu như biểu thức p ln x  q nằm trong dấu. . d). TH4:. 1. f  tgx  . cos. x. 2. . .. n  hoặc t  ptgx  q nếu như biểu thức ptgx  q nằm trong dấu. 1. f  cotgx  .  sin . 2. x.  Đặt t cotgx  hoặc t  pcotgx  q. n. ..  p, q   . a..  2. cos xdx.  2 sin x  1 0. dx  x  3 ln x  2  1. b..  3. xdx. 19. d..  0. 3. x2  8. Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 1. a.. 0.  4.  x  2  dx. x. 2.  4x  5. n. ..  6 cos x  1 sin xdx. 3. e. c.. .. dx. n  hoặc t  pcotgx  q nếu như biểu thức pcotgx  q nằm trong 2). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây:.  6. ..  p, q   .  hoặc t  ptgx  q. . n. dx.  Đặt t tgx. e). TH5:. .. b.. e2 tgx dx  cos2 x 0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  2. dx. . 4. 3 cot gx  1 sin 2 x. .  6. c. Bài 3: Tính các tích phân sau đây:. d.. e. dx 2 x 1. 1. x  2.  3. a.. sin. tgxdx  cos3 x 0. b.  4.  6. sin 2 xdx  cos4 x  sin 4 x 0. c. Bài 4: Tính các tích phân sau đây:. d.. x cos3 xdx.  6. cos 2 xdx.  sin x  cos x . 2. 0.  3. a.. 2. sin3 xdx  cos4 x 0. 3. . b.. x 2  1x 3dx. 0.  4. dx 3   tgx  tg x.  6. sin 2 xdx  2 sin x  1 0. c. d. §4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b. 6. b. b. uvdx  uv  a  vudx. 1). Công thức tổng quát:. a. b. a. udv  uv . hay. a. b a. b.  vdu a. (1). 2). Các bước thực hiện:.  u u( x ) Ñaët   dv v( x )dx   Bước 1:. du u( x )dx ( Đạo hàm)   v v( x ) (nguyeân haøm).  Bước 2: Thế vào công thức (1). b. vdu.  uv  a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp  a Tính b.  Bước 3: (tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét). 3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau: b. a). Dạng 1:. p  x  .q  x dx a.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trong đó. p  x  là hàm số đa thức, còn q  x  là hàm sin  ( x ) hoặc cos ( x ) ..  u p x   dv q  x  dx  Trong trường hợp này ta đặt:   Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được. b. vdu a. b. phức tạp hơn. udv a. ban đầu.. b. b). Dạng 2:. p  x  .q  x dx a. Trong đó. p  x  là hàm số đa thức, còn q  x  là hàm logarit..  u q  x   dv  p  x  dx  Trong trường hợp này ta đặt:  Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra v từ dv . 4). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: . . a..  2 x  1 sin xdx. b.. 0.  4. c.. x cos. 2. 2.  2 x  cos xdx. 0. xdx. 0.  4. d..  x. xdx  cos2 x 0. 1. e..  x  1. 2. e 2 x dx. 0. 3x  2 dx x e 0 1. f.. . 1. g.. ( x  3)2 dx. 1. x. 0. h.. x 2.  x  e . dx. 0. Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 3. a. 1.  3x. 2.  1 ln xdx. 1. x ln  x  1 dx 0. b..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> e. ln. c.. 2. xdx d.. 1. 1. x ln  x. 2.  1 dx. 0. §5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây:  2. 1 . .  6. a.. cos x  dx sin 2 x. 2. b.  2. c.. . 0. 2. x. sin 2 x sin x cos xdx  cos2 x  1 0. . 2    x  sin xdx    d. 0  3 cos x  1.  x. 1. 2.  2. 1. . 2 x.  cot g x  sin 2 x  dx. .  6.  ln x  x e  dx. e.. f.. 1 1  x  xdx 2 e  1. . 2   cos 2 x    cos 2 xdx  sin 2 x  3   0 g.. h.. x ln. 3x 2  1dx. 0. §6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:.  C1  : y  f  x  ;  C2  : y g  x  ; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu một hoặc cả hai). b. S f  x   g  x  dx. a a). Công thức: b). Các bước thực hiện:. (2). . Bước1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình. . Bước 2: Áp dụng công thức (2).. f  x  g  x  (PTHĐGĐ của  C1  và  C2  ) để tìm..  . f x  g x.   , sau đó xét dấu của hiệu này. Bước 3: Rút gọn biểu thức   Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử. dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, nằm trên.  C2  thì hiệu f  x   g  x  0 , và  C1  nằm dưới  C2  thì hiệu f  x   g  x  0 ..  C1 .

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:  Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).  Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2).  Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ. 3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:.  C  : y  f  x  ; Ox; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu một hoặc cả hai). b. 2. V   f  x   dx. a a). Công thức: b). Các bước thực hiện:. (3).  Bước 1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương. trình. f  x  0 (PTHĐGĐ của  C  và trục Ox) để tìm..  Bước 2: Áp dụng công thức (3). 4). Bài tập: Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong. C : y . x 2  6x  5 2 x  1 và trục Ox.. C : y x  x  3 Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong  . 2. và trục Ox..  C  : y x 4 . x 2 và trục Ox. C : y x 3  3x  1 và đường thẳng Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong   d : y 3 . Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong. x2  2x  2 C : y  x  1 ; đường tiệm Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: C cận xiên của   ; Ox; x e  1 ..  C  : y x 3  3x 2  4 x . Viết phương trình tiếp tuyến C tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   và d . Bài 6: Cho đường cong. Bài 7: Cho parabol.  P  : y x 2 . d của  C  tại gốc. 6x  5 ..  P  tại các giao điểm của  P  với trục Ox. P b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi   và các tiếp tuyến nói ở câu a. a. Viết phương trình các tiếp tuyến của. Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: . C  : y  x d : y 2  x ; và Ox. 2  P  : y 4 x. Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol. d : y 2 x  4 .. và đường thẳng.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2 P : y 4 x .   Bài 10: Cho parabol.  P  tại điểm tung độ bằng 4. P b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:   , trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a. a. Viết phương trình tiếp tuyến của. Bài 11: Cho đường cong. C : y . 2x 1 x  1 . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:.  C  ; Ox; Oy . Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox. C : y x 4  x 2. Bài 12: Cho đường cong   . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi  thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.. C  và trục Ox. Tính.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>