ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN BÁ NHIỆM

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN BÁ NHIỆM

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:
8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên, 2020

i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

1.3

Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Khái niệm không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2


Không gian con và hệ sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Cơ sở của không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . .

6

Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Khái niệm ma trận và các phép toán . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


1.3.1

9

Khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận . . . . .

2 Khái niệm và một số tính chất của ma phương

11

2.1

Khái niệm ma phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Cấu trúc không gian vectơ trên tập các ma phương . . . . . . . . 14
2.2.1

Một số tính chất cơ bản của ma phương . . . . . . . . . . . 14

2.2.2

Cấu trúc không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Tích vơ hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4


Giá trị riêng của ma phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Một số phương pháp xây dựng ma phương

26

3.1

Phương pháp Hindu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2

Phương pháp của Bachet de Méziriac . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3

Phương pháp của Phillipe de la Hire . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4

Phương pháp bước đồng bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


ii

Kết luận

35


Tài liệu tham khảo

36


iii

Lời cảm ơn
Trong quá trình làm luận văn, em nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận
tình của TS. Ngô Văn Định - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Em xin cảm ơn các thầy cơ trong Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học.
Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu
và các đồng nghiệp ở trường THCS Đơng Phương, Kiến Thụy, Hải Phịng đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để em học tập và nghiên cứu.
Lời cuối cùng, em muốn dành để tri ân đến bố mẹ và gia đình vì đã chia sẻ
những khó khăn để bản thân tơi hồn thành cơng việc học tập của mình.


1

Mở đầu
Trong tốn học, một ma phương (cịn gọi là ma trận kỳ ảo hoặc hình vng
ma thuật) bậc n là cách sắp xếp n2 số thành một hình vng gồm n hàng, n cột
sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và trên hai đường chéo là bằng một
hằng số. Hằng số này được gọi là hằng số ma phương.
Khái niệm ma phương xuất hiện lần đầu tiên trong lịch sử Trung Hoa cổ đại.
Truyền thuyết kể rằng trong một trận lụt lớn thời Trung Hoa cổ đại (thời gian

cụ thể chưa rõ ràng, có tài liệu ghi khoảng năm 650 trước cơng ngun, có tài
liệu ghi khoảng năm 2200 trước công nguyên ...), người ta thấy trên mai một
con rùa có một bảng số hình vng 3 hàng, 3 cột:


4 9 2



3 5 7 .
8 1 6

Điều đặc biệt của bảng số này là tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi
đường chéo đều bằng 15.
Thông thường người ta xét các ma phương cấp n với các n2 phần tử là các
số tự nhiên từ 1 đến n. Ma phương thông thường này tồn tại với mọi n ≥ 1 trừ
trường hợp n = 2 (trường hợp n = 1 là trường hợp tầm thường). Tuy nhiên, có
một số khái niệm ma phương khác cũng được định nghĩa dựa trên một số tính
chất của bảng số.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và trình bày lại một số khái niệm
và tính chất của ma phương.
Tập các ma phương bậc n rõ ràng là một tập con của tập các ma trận vuông
cấp n. Hơn nữa, cũng dễ dàng thấy rằng tập các ma phương cấp n đóng kín với
các phép tốn cộng ma trận và nhân ma trận với một số. Điều này kéo theo tập
các ma phương cấp n kế thừa cấu trúc không gian vectơ của không gian vectơ
các ma trận vuông cấp n. Mục tiêu đầu tiên của luận văn là làm rõ cấu trúc


2


không gian vectơ trên tập các ma phương, xác định số chiều của khơng gian này.
Ngồi ra, trình bày một số tính chất về hàng, về cột của các ma phương.
Mục tiêu thứ hai của luận văn là trình bày một số phương pháp xây dựng
các ma phương. Chưa có một phương pháp cụ thể nào có thể xây dựng được
tất cả các ma phương. Mỗi phương pháp có đặc điểm riêng. Trong luận văn này,
chúng tôi mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một vài phương pháp thông thường
để xây dựng một số ma phương.
Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 trình
bày một số kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày sơ lược lại một
số kiến thức về ma trận, không gian vectơ để phục vụ cho việc làm rõ cấu trúc
không gian vectơ của tập các ma phương. Chương 2 tập trung làm rõ cấu trúc
không gian vectơ, chứng minh tập các ma phương cấp n là một khơng gian
vectơ, khơng gian này có khơng gian vectơ con là tập các ma phương cấp n có
hằng số ma phương bằng 0 (gọi là các ma phương không); xác định số chiều của
hai không gian vectơ này. Phần cuối của chương trình bày một số tính chất về
tích vô hướng của các hàng, các cột và giá trị riêng của ma phương. Chương 3
giới thiệu bốn phương pháp xây dựng ma phương: phương pháp Hindu; phương
pháp của Bachet de Méziriac; phương pháp của Phillipe de la Hire; phương pháp
bước đồng bộ.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian vectơ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một cách sơ lược một số kiến thức

chuẩn bị về không gian vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính. Nội dung
của chương được tham khảo tài liệu [1].

1.1.1

Khái niệm không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1. Xét tập V khác rỗng mà mỗi phần tử ta quy ước gọi là một
vectơ và trường số thực R. Giả sử trong V ta định nghĩa được hai phép toán:
phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số thực.
Phép cộng hai vectơ là một luật hợp thành trong trên V cho phép tạo ra từ
một cặp vectơ x, y ∈ V một vectơ duy nhất gọi là tổng của chúng, kí hiệu là
x + y.

Phép nhân một vectơ với một số, cịn gọi là phép nhân với vơ hướng, là một
luật hợp thành ngoài trên trên V cho phép tạo ra từ một vectơ x ∈ V và một
số thực k ∈ R một vectơ duy nhất gọi là tích của chúng, kí hiệu là kx.
Nếu 10 điều kiện sau được thảo mãn với mọi x, y, z ∈ V và mọi k, i ∈ R thì
tập V được gọi là một không gian vectơ trên trường R:
(1) Nếu x và y ∈ V thì x + y ∈ V;
(2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ V;
(3) x + (y + z) = (x + y) = z, ∀x, y, z ∈ V;


4
(4) Tồn tại vectơ θ ∈ V sao cho
θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V;
(5) Với mỗi x ∈ V tồn tại vectơ −x ∈ V sao cho
x + (−x) = (−x) + x = θ;
(6) Nếu k ∈ R và x ∈ V thì kx ∈ V;

(7) k(x + y) = kx + ky ;
(8) (k + l)x = kx + lx;
(9) k(lx) = (kl)x;
(10) 1.x = x.

Ví dụ 1.1.2. Xét Rn là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự
(x1 , x2 , ..., xn ), cịn gọi là một vectơ n thành phần. Xét
x = (x1 , x2 , ..., xn ) và y = (y1 , y2 , ..., yn ).

Phép cộng vectơ và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ),
kx = (kx1 , kx2 , ..., kxn ), k ∈ R.

Ngoài ra x = y khi và chỉ khi xi = yi , ∀i. Với các phép toán trên, dễ dàng kiểm
tra được rằng Rn là một khơng gian vectơ (thực).
Dưới đây là một số tính chất đơn giản của không gian vectơ:
Mệnh đề 1.1.3. (a) Phần tử trung hòa θ là duy nhất, còn gọi là vectơ không.
(b) Phần tử đối xứng −x của bất kì vectơ x nào thuộc V cũng là duy nhất.
(c) ∀x ∈ V ta đều có 0x = θ.
(d) ∀x ∈ V ta đều có −x = (−1)x.
(e) ∀k ∈ R ta đều có kθ = θ.
(f ) Với x ∈ V, và k ∈ R ta có: nếu kx = θ thì hoặc k = 0 hoặc x = θ.


5

1.1.2

Không gian con và hệ sinh


Định nghĩa 1.1.4. Cho V là một không gian vectơ, W là một tâp con của V.
Nếu với hai phép toán trên V, W cũng là một khơng gian vectơ thì W được gọi
là một không gian con của V.
Như vậy muốn chứng tỏ W ⊂ V là một không gian con của V ta phải chứng
minh rằng bản thân W với hai phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số
đã định nghĩa trong V, cũng thỏa mãn 10 tiên đề của không gian vectơ. Định lý
sau giúp cho việc chứng mình W ⊂ V là một không gian con của V đơn giản
hơn.
Định lý 1.1.5. Cho V là một không gian vectơ, W ⊂ V, W = ∅. Để W là
không gian con của V điều kiện cần và đủ là hai tính chất sau được thỏa mãn:
(a) Nếu u và v ∈ W thì u + v ∈ W (tức là W đóng kín đối với phép cộng

vectơ).
(b) Nếu k ∈ R, u ∈ W thì ku ∈ W (tức là W đóng kín đối với phép nhân

vectơ với một số thực).
Định nghĩa 1.1.6. Cho V là một không gian vectơ, S là họ vectơ {x1 , x2 , ..., xn }
của V. Biểu thức
c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn , với ci ∈ R,

là một vectơ thuộc V và được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ của
họ S, hay cũng có thể nói gọn là tổ hợp tuyến tính của họ S. Tập hợp tất cả các
tổ hợp tuyến tính của S được gọi là bao tuyến tính của S, ký hiệu span(S).
Định lý 1.1.7. W = span(S) là một không gian con của V.
Định nghĩa 1.1.8. Cho V là một không gian vectơ, S ⊂ V. Nếu span(S) = V,
tức là nếu mọi x ∈ V đều có biểu diễn
x = c1 x1 + ... + cn xn

thì ta nói S là một hệ sinh của V.



6

1.1.3

Cơ sở của không gian hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.1.9. Cho V là một không gian vectơ, S = {x1 , ..., xn } ⊂ V. Xét
điều kiện
c1 x1 + ... + cn xn = θ.

(1.1)

Nếu điều kiện (1.1) chỉ xảy ra khi c1 = 0, ..., cn = 0 thì ta nói họ S độc lập tuyến
tính. Nếu tồn tại các số thực c1 , ..., cn không đồng thời bằng 0 để (1.1) thỏa mãn
thì ta nói họ S phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.10. Khơng gian vectơ V được gọi là không gian n chiều nếu
trong V tồn tại n vectơ độc lập tuyến tính và khơng tồn tại q n vectơ độc lập
tuyến tính. Khi đó ta nói số chiều của khơng gian V là n và kí hiệu là dim(V).
Tập {θ} chỉ gồm một phần tử θ của một khơng gian vectơ bất kì ln là một
khơng gian vectơ, ta nói khơng gian này có số chiều bằng 0.
Các không gian n chiều, n ≥ 0, gọi là không gian hữu hạn chiều. Nếu trong
V có thể tìm được một số bất kì các vectơ độc lập tuyến tính thì ta nói V là
khơng gian vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.1.11. Trong không gian n chiều V mọi họ gồm n vectơ độc lập
tuyến tính gọi là một cơ sở của V.
Định lý 1.1.12. Giả sử V là một không gian vectơ, S = {f1 , ..., fn } là một họ
gồm k vectơ của V. Nếu S sinh ra V và độc lập tuyến tính thì V là khơng gian
k chiều và S là một cơ sở của V.


Chẳng hạn, trong không gian vectơ Rn , dễ dàng thấy rằng hệ vectơ
{(1, 0, 0, ..., 0); (0, 1, 0, ..., 0); ...; (0, 0, 0, ..., 1)}

là một hệ sinh và độc lập tuyến tính nên là một cơ sở của Rn , gọi là cơ sở chính
tắc của Rn . Do đó Rn là một không gian vectơ n chiều.


7

1.2
1.2.1

Ma trận
Khái niệm ma trận và các phép toán

Định nghĩa 1.2.1. Một bảng số chữ nhật có m hàng n cột


a11

a12

... a1n

 a
 21
A=
 ...

a22


... a2n 

... ... 

...



am1 am2 ... amn

gọi là một ma trận cỡ m × n. Phần tử aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao
điểm của hàng i cột j . Để kí hiệu ma trận người ta dùng hai dấu ngoặc vng
như trên hay hai dấu ngoặc trịn.
Để nói A là ma trận cỡ m × n có phần tử nằm ở hàng i cột j là aij ta viết
A = [aij ]m×n .

Khi m = n, bảng số thành hình vng, ta có ma trận vng với n hàng n cột,
ta gọi nó là ma trận cấp n:


a11 a12 . . . a1n


 a21 a22 ...

..

.


an1 an2

...



.



a2n 
anm

Trong trường hợp này các phần tử a11 , a22 , ..., anm được gọi là các phần tử nằm
trên đường chéo chính (theo hướng từ trên xuống dưới, từ trái qua phải hay
theo hướng từ góc "tây bắc" xuống góc "đơng nam"). Các phần tử
a1n , a2(n−1) , a3(n−2) , ..., a(n−1)2 , an1

được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ (theo hướng từ trên xuống
dưới, từ phải qua trái hay theo hướng từ góc "đơng bắc" xuống góc "tây nam").
Định nghĩa 1.2.2. Cho hai ma trận cũng cỡ m × n:
A = [aij ]m×n ; B = [bij ]m×n .


8

Tổng A + B là ma trận cỡ m × n xác định bởi
A + B = [aij + bij ]m×n ,

tức là

(A + B)ij = aij + bij .

Định nghĩa 1.2.3. Cho A = [aij ]m×n , k ∈ R. Tích kA là ma trận cỡ m × n xác
định bới kA = [kaij ]m×n .
Tương tự như khơng gian Rn ở phần trên, tập hợp các ma trận cỡ m × n cùng
với hai phép tốn vừa định nghĩa là một không gian vectơ mn chiều.
Định nghĩa 1.2.4. Xét ma trận A = [aij ]m×n . Đổi hành thành cột, cột thành
hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là At .
Vậy có
At = [aji ]n×m .

Ta thấy rằng nếu A có m hàng n cột thì At có n hàng m cột.
Định nghĩa 1.2.5. Xét hai ma trận
A = aij

m×p

, B = bij

p×n

,

trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B . Người ta gọi tích
AB là ma trận C = cij

m×n

có m hàng n cột mà phần tử cij được tính bởi công


thức
p

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj =

aik bkj
k=1

Cách tính cij có thể được mơ tả bởi sơ đồ sơ đồ

(1.2)


9

1.2.2

Định thức

Cho A = [aij ]n×n là một ma trận vuông cấp n. Ký hiệu Mij là ma trận vuông
cấp n − 1 thu được từ A khi bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j .
Định nghĩa 1.2.6. Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A), được định nghĩa
một cách quy nạp như sau:
Nếu A là ma trận cấp một:
A = [a11 ] thì det(A) = a11 ;

Nếu A là ma trận cấp hai:
A=

a11 a12

a21 a22

thì det(A) = a11 det(M11 ) = a12 det(M12 ) = a11 a22 − a12 a21 .
Một cách tổng quát, nếu A là ma trận cấp n thì
det (A) = a11 det (M11 ) − a12 det (M12 ) + · · · + (−1)1+n a1n det (M1n ) .

Để kí hiệu định thức, người ta dùng hai gạch đúng đặt ở hai bên, chẳng hạn
a11 a12
a21 a22

a11 a12 a13
;

a21 a22 a23 .
a31 a32 a33

Định thức của ma trận cấp n gọi là định thức cấp n.

1.3
1.3.1

Giá trị riêng
Khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là giá trị riêng
của A nếu phương trình ma trận
Ax = λx, x ∈ Rn ,

 
x1


(1.3)

 
0

x   0 
 2  
có nghiệm x =   =  . Vectơ x = θ này gọi là vectơ riêng ứng với giá trị
 ...  ...
xn

riêng λ.

0


10

Lưu ý rằng (1.3) là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận
hệ số là A − λI , trong đó, I là ma trận vng cấp n có các phần tử nằm trên
đường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0, gọi là ma trận đơn vị.
Theo tính chất của hệ phương trình tuyến tính thì hệ này có nghiệm khác khơng
khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng khơng.
Định nghĩa 1.3.2. Phương trình
det(A − λI) = 0

được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vng A, còn đa thức det(A−λI)
gọi là đa thức đặc trưng của A.
Như vậy, các giá trị riêng của A chính là các nghiệm của phương trình đặc

trưng của A.


11

Chương 2
Khái niệm và một số tính chất của
ma phương
Trong chương này chúng tơi trình bày khái niệm về ma phương, các ví dụ về
ma phương và một số tính chất của ma phương. Đặc biệt, chúng ta sẽ thấy rõ
cấu trúc không gian vectơ trên tập các ma phương, một số tính chất về tích vơ
hướng của hàng, của cột và một số tính chất về giá trị riêng của ma phương.
Tài liệu chính của chương này là [2], [5] và [10].

2.1

Khái niệm ma phương

Định nghĩa 2.1.1. Một ma phương cấp n là một ma trận vuông gồm n2 số thực
thỏa mãn điều kiện tổng của các phần tử nằm trên mỗi cột và mỗi hàng, cũng
như trên đường chéo chính và trên đường chéo phụ, là cùng một số, được gọi là
hằng số ma phương (hoặc tổng ma phương), kí hiệu bởi σ(M ).
Tập hợp tất cả các ma phương cấp n có thể kí hiệu là MS(n). Tập hợp tất cả
ma phương cấp n có hằng số ma thuật là m sẽ được kí hiệu là mMS(n).
Một hàng của ma phương sẽ được kí hiệu là R với chỉ số dưới, chẳng hạn Ri
là hàng i. Tương tự, một cột của ma phương được kí hiệu là C với chỉ số dưới,
chẳng hạn Cp là cột p. Tập hợp các số tự nhiên được ký hiệu là N.
Tích vơ hướng hay cịn gọi là tích trong của hai cột (hàng) p và q là tổng các
tích của các phần tử tương ứng của p và q . Nghĩa là đối với ma trận A, tích vơ



12

hướng của hàng Rp và Rq được tính bởi cơng thức
n

Rp · Rq =

api aqi ,
i=1

tích vơ hướng của cột Cp và Cq được tính bởi cơng thức
n

Cp · Cq =

aip aiq ,
i=1

trong đó aij là phần tử thuộc hàng i cột j của A.
Bên cạnh khái niệm ma phương được nêu ở trên, dựa vào một số tính chất
đặc trưng (có thể đơn giản hơn hay phức tạp hơn), người ta định nghĩa một số
loại ma phương khác nhau. Dưới đây là một số loại ma phương phổ biến thường
gặp. Đây chưa phải là tất cả các loại ma phương tuy nhiên những ma phương
được liệt kê ở đây hay được nhắc đến phổ biến hơn.
Thông thường, các phần tử của ma phương là các số tự nhiên 1, 2, ..., n2 ,
trong đó mỗi số xuất hiện đúng một lần. Một ma phương như vậy được gọi là
ma phương thông thường hoặc ma phương cổ điển. Dưới đây là một ví dụ một
ma phương cổ điển cấp 3 với hằng số ma phương 15:



8 1 6



 3 5 7 .
4 9 2

Bán ma phương là một ma trận cấp n × n sao cho tổng các phần tử trên mỗi
hàng hay mỗi cột là bằng nhau. Ở đây khơng có điều kiện gì đối với các phần
tử nằm trên đường chéo. Một ví dụ về bán ma phương cấp 5 như sau


1

17

8

24 15



 7 23 14 5 16 


 25 11 2 18 9  ,


 19 10 21 12 3 



13

4

20

6

22

trong đó tổng mỗi hàng, tổng mỗi cột đều có giá trị bằng 65, nhưng tổng đường
chéo chính có giá trị bằng 60, tổng đường chéo phụ có giá trị là 55.
Một diabolic, pandiagonal , hoặc ma phương hồn hảo M là một ma phương
với tính chất bổ sung là tổng của bất kỳ đường chéo mở rộng nào song song với
đường chéo chính và đường chéo phụ đều bằng hằng số ma thuật σ(M ).


13

Một ma phương đối xứng là một ma phương với tính chất bổ sung "tổng của
hai số trong hai ơ bất kỳ đối xứng nhau qua tâm của ma phương là như nhau".
Đối với ma phương đối xứng, nếu nhân

n
với tổng của cặp số đối xứng nhau
2

qua tâm ma phương sẽ cho giá trị chính là tổng ma phương.

Một ma phương đồng tâm là một ma phương mà nếu ta bỏ đi hàng trên cùng,
hàng dưới cùng, cột bên ngoài cùng trái và cột ngoài cùng bên phải ta vẫn thu
được một ma phương. Dưới đây là một ví dụ về bốn ma phương đồng tâm (ta
có thể bỏ đi ba lần các hàng, cột bên ngoài):


4













49 15 16 33 30 31

5

6

43 39 38 40

1 


2 



48 37 22 27 26 13



3 
.

47 36 29 25 21 14
8



18 24 23 28 32 42 

19 34 17 20 35 41 



9

10 45 44

7

11 12 42


Một ma phương không là một ma phương có hằng số ma phương bằng 0. Tập
hợp tất cả các ma phương khơng cấp n được kí hiệu là 0MS(n). Rõ ràng, ma
phương không không thể là một ma phương thơng thường vì nó phải chứa các
giá trị âm. Dưới đây là một ví dụ về ma phương không


4

11 −12


 10 −8 −6

 −9 −7 0

 −3 −1 6

−2

5

12

−5

2

1





9 
.

−10 
3

7
8
−11

−4

Ma phương hình học hay ma phương tích là một ma trận vng các số sao
cho tích các phần tử của mỗi hàng, mỗi cột, đường chéo chính và đường chéo
phụ là một hằng số, gọi là tích ma phương. Dưới đây là một ví dụ về ma phương
tích được đưa ra bởi King [6, tr.23] với tích ma phương là 746496:


432

 4


 8
54

6


18

16

72

24

36

12

108 
.
216 

48 144



2


14

Một ma phương tổng–tích là một ma phương trong đó cả tổng và tích các
giá trị của mỗi hàng, mỗi cột, đường chéo chính và đường chéo phụ đều là hằng
số. Dưới đây là một ma phương tổng–tích được đưa ra bởi Dénes–Keedwell [3,
tr.215] với tổng ma phương là 840 và tích ma phương là 2058068231856000:



162 207
















51

26

133 120 116

25

105 152 100

29


138 243

39

34 

92

27

91

136

45

38

150 261

57

30

174 225 108

23

119 104


58

75

171

90

17

52

216 161

13

68

184 189

50

87

135 114

200 203

15


76

117 102

46

81

153

54

69

232 175

19

60

78







.








Liên quan đến ma phương cịn có một loại ma trận vng được gọi là hình
vng latin (tiếng Anh: “latin square”). Một hình vng latin là một ma trận cỡ
n × n của n phần tử thỏa mãn mỗi phần tử xuất hiện đúng một lần trên bất kỳ

hàng hay cột cho trước. Dưới đây là hai hình vuông latin cấp 4 với 4 phần tử
1,2,3,4:


2.2

4 2 3 1





4 2 3 1

3 1 4 2


1 3 2 4



1 3 1 4


 và 

2 4 1 3

2 4 1 3

3 1 4 2




.


Cấu trúc không gian vectơ trên tập các ma
phương

2.2.1

Một số tính chất cơ bản của ma phương

Trước khi làm rõ cấu trúc không gian vectơ trên tập các ma phương, chúng
tơi trình bày một số tính chất đơn giản của các ma phương.
1. Tổng của 2 ma phương cùng cấp cũng là một ma phương. Giả sử A và B
đều là M S(n) và σ (A) = a, σ (B) = b. Khi đó với bất kì hàng nào của A + B ,
ta có
σ (A + B) = σ (A) + σ (B) .



15

Điều này cũng đúng với bất kỳ cột nào, cũng như với đường chéo chính và
đường chéo phụ.
2. Nếu M là một ma phương, thì chuyển vị M T của M cũng là một ma phương.
Do các cột của M trở thành các hàng của M T và các hàng của M trở thành
các cột của M T , do đó tổng hàng và tổng cột vẫn giữ nguyên. Tương tự
như vậy, các đường chéo và tổng của chúng được bảo toàn theo hướng mới
của chúng trong M T .
3. Nếu A là một ma phương và B là ma trận mà mỗi phần tử của B thu được
bằng cách cộng, trừ, nhân hoặc chia phần tử tương ứng của A cho cùng
một số (khác 0 đối với phép chia), thì B là một ma phương.
4. Đối với một ma phương thơng thường M bậc n, ta có
σ (M ) =

n 2
n +1 .
2

Cơng thức này có thể được chứng minh dễ dàng bằng tính chất của cấp số
cộng. Do M là một ma phương thông thường nên các phần tử của M là
n2 (n2 + 1)
. Từ đây ta suy ra được hằng
2
số ma phương của M . Trong trường hợp n là một số lẻ, Dénes–Keedwell

1, 2, ..., n2 . Tổng các phần tử này là


[3] đưa ra một cách chứng minh khác cho công thức này dựa vào tính chất
của các hình vng latin.
5. Từ tính chất trên, ta có thể tổng quát hóa và thấy rằng đối với một ma
phương M cấp n mà các phần tử của nó lập thành một cấp số cộng gồm
đúng n2 số hạng thì ta có
σ(M ) =

n
(giá trị ơ thấp nhất + giá trị ô cao nhất).
2

6. Không tồn tại ma phương thông thường cấp 2. Một ma phương cấp 2 có
thể được xây dựng một cách đơn giản bởi bốn phần tử giống nhau, nhưng
dễ dàng nhận thấy rằng ngồi các ma phương cấp hai như vậy thì MS(2)
khơng cịn phần tử nào khác.


16

7. Nếu M là một ma phương cấp n thì ma trận khối
M M
M M

(tức là ma trận vuông cấp 2 mà mỗi vị trí đều là ma trận M ) là một ma
phương cấp 2n với hằng số ma phương là 2σ(M ). Một cách tổng quát, ma
trận khối vuông cấp m với các khối đều là M là một ma phương cấp mn
và có hằng số ma phương là mσ(M ).

2.2.2


Cấu trúc không gian vectơ

Trong mục này, chúng tơi trình bày về cấu trúc khơng gian vectơ của tập
các ma phương. Như ta đã thấy ở trên, ma phương cấp 1 và cấp 2 đều hết sức
tầm thường nên từ đây chúng ta sẽ luôn xét các ma phương có cấp từ 3 trở lên.
Định lý sau đây sẽ cho thấy tập các ma phương có cùng cấp n là một không
gian vectơ (thực).
Định lý 2.2.1. Với n ∈ N, n ≥ 3, MS(n) là một không gian vectơ.
Chứng minh. Trong suốt chứng minh này, ta luôn xét X, Y, Z ∈ MS(n), a, b ∈ R
và ta sử dụng kí hiệu ma trận để biểu thị mỗi ma phương, nghĩa là, chúng ta
có thể biểu diễn ma trận X bằng cách sử dụng phần tử đại diện [xij ]. Để chứng
minh MS(n) là một không gian vectơ ta có thể dễ dàng lần lượt chỉ ra MS(n)
thỏa mãn tất cả các điều kiện trong định nghĩa của một không gian vectơ. Tuy
nhiên, ta sẽ chứng minh ngắn gọn hơn bằng cách chỉ ta MS(n) là một không
gian vectơ con của không gian vectơ các ma trận vuông cấp n.
Thật vậy, ta đã biết tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n với các phần tử
là số thực là một không gian vectơ n2 chiều trên trường số thực. Tập hợp các
ma phương cấp n rõ ràng là một tập con khác rỗng của không gian vectơ này.
Để chỉ ra MS(n) là không gian vectơ con ta chỉ cần chỉ ra nó đóng kín với hai
phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số. Từ các tính chất 1 và 3
đã nêu trong mục 2.2.1 ta suy ra MS(n) là một không gian vectơ con của không
gian vectơ các ma trận vuông cấp n. Suy ra điều cần chứng minh.
Định lý trên cho ta thấy rằng tập các ma phương cấp n là một không gian
vectơ và là một không gian vectơ con của không gian vectơ các ma trận vuông


17

cấp n. Vì vậy, số chiều của khơng gian MS(n) không vượt quá n2 . Tiếp theo đây,
chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về số chiều của không gian này.

Trước tiên, tương tự như trong định lý trước, ta dễ dàng thấy rằng tập
0MS(n) các ma phương không cấp n cũng là một không gian vectơ và là không

gian vectơ con của MS(n). Với số thực m = 0, tập hợp mMS(n) các ma phương
cấp n có tổng ma phương bằng m không phải là không gian vectơ vì rõ ràng nó
khơng đóng kín với hai phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số.
Tuy nhiên, ta có một tương ứng 1–1 giữa tập hợp mMS(n) và khơng gian vectơ
0MS(n). Thật vậy, ta nói hai ma phương cấp n là tương đương nếu ma phương

này có thể thu được từ ma phương kia (và ngược lại) bằng cách cộng mỗi phần
tử với cùng một số. Dễ thấy rằng mỗi ma phương tương đương với một và chỉ
một ma phương khơng: nếu ma phương có tổng ma phương là m thì ta cộng mỗi
phần tử của ma phương đó với − m
n để thu được một ma phương khơng. Từ đó
ta có được một tương ứng 1–1 giữa tập mMS(n) với không gian vectơ 0MS(n).
Định lý sau đây cho ta số chiều của không gian vectơ các ma phương không
cấp n.
Định lý 2.2.2. Số chiều của 0M S(n) là n2 − 2n − 1.
Chứng minh. Giả sử A = (aij ) là một ma trận vng cấp n nằm trong 0MS(n).
Khi đó, tổng các phần tử nằm trên mỗi hàng, mỗi cột, đường chéo chính và
đường chéo phụ đều bằng 0. Do đó, ta có 2n + 2 phương trình tuyến tính thuần
nhất với n2 biến aij , 1

i, j

n. Như vậy, 0MS(n) chính là khơng gian nghiệm

của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này.
Viết các phương trình này theo thứ tự sau dây, gọi là thứ tự chuẩn: đầu tiên
là tổng n hàng theo thứ tự, tiếp theo là tổng n cột theo thứ tự, sau đó là tổng

đường chéo chính và cuối cùng là tổng đường chéo phụ. Ma trận hệ số của hệ
phương trình này là một ma trận cỡ (2n + 2) × n2 với các phần tử là 0 hoặc 1.
Chẳng hạn, khi n = 3, đó là ma trận cỡ 8 × 9


18





1 1 1 0 0 0 0 0 0
















0 0 0 1 1 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0















trong đó các phần tử trong cột j là các hệ số của biến thứ j trong danh sách
các biến a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 .
Trong ma trận hệ số được xác định bởi A, các hàng 2n − 1 đầu tiên là độc
lập tuyến tính. Nhưng hàng thứ 2n là tổ hợp tuyến tính của 2n − 1 hàng đầu
tiên, là tổng của n hàng đầu tiên trừ tổng của n − 1 hàng tiếp theo. Hơn nữa,
hai hàng cuối cùng đều độc lập tuyến tính với 2n − 1 hàng đầu tiên: cột thứ n
của ma trận hệ số có 1 ở hàng thứ nhất, thứ 2n và (2n + 2), còn lại là số 0 ở mọi
nơi khác; cột thứ n2 có 1 ở hàng thứ n, 2n và (2n + 1), còn lại là số 0 ở mọi nơi
khác; điều này kéo theo không tồn tại tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường nào
bằng 0 của 2n − 1 hàng đầu tiên với một trong hai hàng cuối cùng. Cuối cùng,

rõ ràng là cả hai hàng cuối cùng độc lập tuyến tính vì hàng này khơng thể là
bội của hàng kia. Như vậy, ma trận các hệ số có chính xác 2n + 1 hàng độc lập
tuyến tính và do đó có hạng là 2n + 1. Theo tính chất về số chiều của không
gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhât, số chiều của 0MS(n) là
n2 − (2n + 1). Suy ra điều cần chứng minh

Hệ quả 2.2.3. Số chiều của MS(n) là n2 − 2n = n(n − 2).
Chứng minh. Đặt q = n2 − 2n − 1 và giả sử S1 , ..., Sq là một cơ sở của 0MS(n),
một không gian con của MS(n). Ký hiệu I là ma phương trong M S(n) với 1 ở
mọi vị trí, và xét tập B = {S1 , ..., Sq , I} bao gồm n2 − 2n vectơ của MS(n). Ta sẽ
chứng minh B là một cơ sở của MS(n).
Trước tiên, ta chứng minh B là một hệ sinh của MS(n). Thật vậy, nếu M
là ma phương tùy ý trong MS(n) và M có tổng ma phương là m, thì M tương
đương với ma phương khơng M0 = M − (m/n)I của 0MS(n). Do S1 , ..., Sq là
cơ sở của 0MS(n), nên M0 = c1 S1 + ... + cq Sq đối với c1 , ..., cq nào đó. Suy ra
M = c1 S1 + ... + cq Sq + (m/n)I . Vậy B là một hệ sinh của MS(n).


19

Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh B là độc lập tuyến tính. Thật vậy, rõ ràng
tổng ma phương của c1 S1 + ... + cq Sq + cq+1 I , trong đó ci là các phần tử vơ hướng,
là ncq+1 . Nếu vectơ này bằng với vectơ khơng, thì nó có tổng ma phương bằng 0,
tức là, chúng ta phải có cq+1 = 0. Mặt khác, từ độc lập tuyến tính của S1 , ..., Sq
kéo theo rằng c1 = ... = cq = 0. Do đó B là độc lập tuyến tính.
Ta sẽ xét cụ thể một số trường hợp khi n nhỏ. Bằng tính tốn đơn giản
dễ thấy rằng ô trung tâm của bất kỳ ma phương nào trong 0MS(3) đều bằng
không. Theo Định lý 2.2.2, số chiều của 0MS(3) là 2. Do đó một ma phương
trong 0MS(3) được xác định duy nhất bằng cách chỉ định giá trị hai ô bất kỳ
không thẳng hàng với ô trung tâm. Nếu chúng ta chọn hai ô đầu tiên trong hàng

đầu tiên là 1, 0 và 0, 1, chúng ta sẽ có cơ sở cho 0MS(3):




0 −1

1


 −2 0

0


2 ;

0 −1

1

1


 −1

−1

0
−1


1

1 .
0



Theo Định lý 2.2.2, số chiều của 0MS(4) là 7. Sử dụng các phép biến đổi hệ
phương trình tuyến tính, ta có thể tìm được bảy vị trí mà khi giá trị tại bảy vị
trí này được chỉ định thì ma phương hồn tồn xác định. Chẳng hạn, bằng tính
tốn đơn giản ta thấy tổng của bốn phần tử tại bốn góc và tổng của bốn phần
tử nằm ở trung tâm của một ma phương không cấp 4 đều bằng khơng. Từ các
tính chất này và các tính chất của ma phương khơng ta có thể tìm được hai ví
dụ về bảy vị trí cần tìm:

x

x

x −

 x x x −


 x − − −








;


− − x −


 x − x x

− − − −

− − − −

x − x




.


x

Bảy ma phương thu được bằng cách đặt 1 vào một trong các vị trí được chỉ định
của một trong hai mẫu và 0 trong sáu vị trí còn lại tạo thành cơ sở của 0MS(4).
Chẳng hạn, bảy ma phương tạo thành cơ sở cho 0MS(4) theo mẫu đầu tiên là:







1

 0


 0

0

0

0

0

2

−2

−1 −2

2

−1



0 
;
0 
1

0

0


0

1

0

0

0

1

−1

0 −2

1

−1



0 
;
0 
1

0

0

1

0


0

0

0

1

−1

0 −1

0

−1


0 
;
0 



1


20



0

0

 1


 0

0
1

−1 −1

0


0





−1 
;
−1 0 
0

1



0

0

0


0

1

0




0



1

0
0

0

0

0

 0


 1

0

0

0

0

0 0



 0 −1
0

1

0
1
0
−1

0



−1 
;
1 



0



0 
.
−1 −1 

1


−1 −1

2.3





−1 
;
−1 1 
0

0 −1

1

0



1

1

Tích vơ hướng

Trong mục này, chúng ta quan tâm đến tích vơ hướng giữa hai hàng hoặc hai
cột của một ma phương. Ở đây, chúng ta sẽ thấy một số tính chất thú vị của

tích vơ hướng của các hàng và các cột của một ma phương.
Trước hết, ta xét một ví dụ cụ thể với một ma phương cấp 7 được đưa ra
bởi Schubert [8]:


30 39 48

1













38 47

7

9

46

8


6

10 19 28



18 27 29 

17 26 35 37 




14 16 25 34 36 45 
.

13 15 24 33 42 44 4 
5

21 23 32 41 43

3

22 31 40 49

11 20

2




12 

Tích vơ hướng của hàng hoặc cột i và j được ký hiệu bởi < i, j >. Ví dụ, để tìm
tích vơ hướng của hàng 1 và 2, chúng ta tính tốn
30 · 38 + 39 · 47 + 48 · 7 + 1 · 9 + 10 · 18 + 19 · 27 + 28 · 29 = 4823.

Tương tự, ta có các tích vơ hướng của các hàng cụ thể như sau:
< 1, 2 >= 4823,

< 1, 3 >= 3976,

< 1, 6 >= 3927,

< 1, 7 >= 4627∗, < 2, 3 >= 4725, < 2, 4 >= 4074,

< 2, 5 >= 3724,

< 2, 6 >= 3675∗, < 2, 7 >= 3927, < 3, 4 >= 4676,

< 3, 5 >= 4221∗,

< 3, 6 >= 3724,

< 3, 7 >= 3528, < 4, 5 >= 4676,

< 4, 6 >= 4074,

< 4, 7 >= 3773,


< 5, 6 >= 4725, < 5, 7 >= 3976,

< 6, 7 >= 4823.

< 1, 4 >= 3773, < 1, 5 >= 3528,

.