De giai bai tap chung minh BDT va tim cuc tri daisodoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sử dụng Bất đẳng thức 1 1 1   ...   n 2 (*) an   a1 a2.  a1  a2  ...  an   với. ai  0, i 1, n .. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ...=an > 0) Để giải bài tập chứng minh BĐT và tìm cực trị đại số. Từ Bất đẳng thức (*) ta suy ra các BĐT sau. 1 1 1 n2   ...   (1) a1 a2 an a1  a2  ...  an. 1 11 1 1  2    ...   (2) a1  a2  ...  an n  a1 a2 an  Bài toán 1 Cho a, b, c là các số dương. CMR 1 2 3 3 18 9      a b c a  b 3b  4c c  6a. Hướng dẫn 1 1 1   a b c 2 3 Có thể viết lại vế trái của BĐT cần chứng minh như sau: S = 3. Chính vì thế, ta cũng viết lại vế phải là: P =. a  2.. b 2. . 3 b c  2. 2 3. . 3 c  2a 3. Và ta cần chứng minh S ≥ P. b c x a; y  ; z  2 3 , bây giờ ta phải chứng minh Đặt  1 1 1 1 1 1    3     x y z  x  2 y y  2z z  2x  1 1 1 1 1 1  1 1 2          Ta có x  2 y x  y  y 9  x y y  9  x y . tương tự b c a   0 2 3 xong. Dấu “=” xảy ra  x = y = z  ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài toán 2 Cho a, b, c là các số dương. CMR 2 6 9 8 48 12      a b c 2a  b 3b  2c c  3a. Hướng dẫn Có thể viết lại vế phải như sau.    8 48 12 4 8 4 4 4  4 P        2.    b c c 2a  b 3b  2c c  3a a  b b  c c  a a  b    a 2 2 3 3 2 2 3 3 Theo tư tưởng đó, ta viết vế trái thành        1 1  1 1 2 6 9 1 1 S        2.        b c c a a b c a b     2   2 3  3 . Và ta cần chứng minh S P Do vậy, ta có thể giải như sau:        1 1  1 1 2 6 9 1 1 4 4 4 S        2.          2.  P b c c a b b c c a b c a b     a  a 2 2 2 3 3   2 3  3 . cách khác Có thể viết lại vế phải như sau 8 48 12 24 48 24      2a  b 3b  2c c  3a 6a  3b 3b  2c 2c  6a. ta có 24 48 24  1 1 1 2 1 1 4 6 1 1 3 1 6      (1), 12      (2); 6      (3) 6a  3b  6a 3b  a b 3b  2c 2c  6a  2c 6a  c a  3b 2c  b c. Từ (1) ;(2) (3) ta có ĐPCM dấu bằng xảy ra khi 6a=3b=2c Bài toán 3 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≤ 3. Tìm Min P. 12 2012  2 2 a b c ab  bc  ca 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hướng dẫn Ta cần đánh giá vế trái sao cho xuất hiện tổng a + b + c để sử dụng giả thiết. Quan sát đặc điểm của vế trái và điều kiện a, b, c dương, ta có thể sử dụng kỹ thuật cộng mẫu số như sau: 1 1 1 9 9     1 a 2  b2  c 2 ab  bc  ca ab  bc  ca a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   a  b  c  2. Mặt khác, ta luôn có BĐT. 3  ab  bc  ca   a  b  c . 2. Do đó 1 1 1 1988 1988 2024   P 12. 2   12    2 2 ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca 3 3  a b c. Do đó. Min( P) . 2024  a b c 1 3. Bài toán 4 Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của: a b c 1 P 2  2  2  a  1 b  1 c  1 9abc Hướng dẫn: 1 9 1 9 1     1 1 1 9abc 1 1 1 9abc 10 9abc a b c a  b  c  a b c a b c 243abc 243abc 1 1  7 39  243abc       10 9abc  10 30abc  90abc 10 P. 1. . 1. . 1. . 39 1 Min( P)   a b c  10 3. chứng minh (a  b  c . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1              a b c a b c a b c 9  a b c  a b c. 1 1 1 10  1 1 1  10  bc  ca  ac  10 (a  b  c ) 2 10 a b c            )  a b c 9  a b c 9  abc 3abc 27 abc  9. Bài toán 5 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Tìm min. P. 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5   1 x 1 2 y 1  3z Hướng dẫn.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 y  3z  5 3 z  x  5 x  2 y  5   1 x 1 2y 1  3z 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2y 5  1  1  1  3 1 x 1 2 y 1  3z  1 1 1  9  x  2 y  3z  6      3  24. 3  x  2 y  3z  3  1  x 1  2 y 1  3z  9 51 24.  3  21 7 51 Min( P)   x 6; y 3; z 2 7 Bài toán 6 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 2x+3y+5z =9. Tìm min. P. x  y  5z  2006 2 x  2 y  3 z  2006 x  3 y  2c  2006   x  2y y 2 x  3z Hướng dẫn. P 3 . 2 x  3 y  5z  2006 2 x  3 y  5 z  2006 2 x  3 y  5  2006   x  2y y  2z x  3z.  1 1 1  P  3  2 x  3 y  5 z  2006  2006       x  2 y y  2 z x  3z  9 P  3 2015. 2015  P 2012 x  2 y  y  2 z  x  3z 7 7 7  x  ; y  y; z  6 4 3 Min (P)=2012 Bài toán 7 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn Tìm min. P. x y z   x  3 y  3z 3x  y  3z 3x  3 y  z Hướng dẫn.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3 x 1 y 1 z 1       2 x  3 y  3z 2 3x  y  3z 2 3x  3 y  z 2 3 3( x  y  z ) 3( x  y  z ) 3( x  y  z ) P    2 2( x  3 y  3 z ) 2(3 x  y  3z ) 2(3 x  3 y  z ) P. P.  3 3( x  y  z )  1 1 1      2 2  x  3 y  3z 3x  y  3z 3x  3 y  z . P. 3 3( x  y  z ) 9 27 27 3 3  .   P   2 2 7( x  y  z ) 14 14 2 7. 3 Min( P )   x  y  z  0 7 Bài toán 8 Cho a,b,c dương 3a+4b+5c 12 Tìm giá trị lớn nhất của. P. ab 2ac 3bc   ab  a  b ac  a  c bc  b  c. Ta có. ab ab  1 1 1  1        1  b  a  (1) ab  a  b 9  ab a b  9 2ac 2ac  1 1 1  1        2  2c  2a  (2) ac  a  c 9  ac a c  9. P. 3bc 3bc  1 1 1  1        3  3c  3c  (3) bc  b  c 9  bc b c  9 Từ (1) (2) (3). P. 1  6  3a  4b  5c  2 9. ab a b ac b c   a b c 1 ac a c 3a  4b  5c 12   Max(P)=2 khi . Bài toán 9. Cho a,b c>0 , a+b+c=3 tìm Max.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> P=. ab bc ca + + a+3 b+ 2 c 2 a+ b+3 c 3 a+2 b+ c. Dự đoán a=b=c=1 tách mẫu để a+c=b+c=2b ( do 3+2+1=6 chia hết cho 3) Tacó. ab ab ab  1 1 1  1  ab ab a            (1) a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b 9  a  c b  c 2b  9  a  c b  c 2  Tương tự. bc bc bc  1 1 1  1  bc bc b           (2) 2a  b  3c (a  b)  (a  c)  2c 9  a  c b  c 2b  9  a  b b  c 2  ac ac ac  1 1 1  1  ac ac c           (2) 3a  2b  c (a  b)  (b  c )  2a 9  a  b b  c 2a  9  a  b b  c 2  Từ (1) (2) (3). 1  ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c  1  a b c  1  3 1 P        a b c    3   9  a b b c a c 2 2 2 2  9  9. 1 Max( P)   a b c 1 2 Bài toán 10 Cho a,b,c >0, a+b+c=3 Tìm Max Q=. ab bc ca + + 3 a+ 4 b+2 c 2 a+3 b+ 4 c 4 a+ 2b+ 3 c. Hướng dẫn Dự đoán a=b=c=1 tách mẫu để 3=3c=a+2b ( 2+3+4=9 chia hết cho 3) Ta có ab ab ab = = 3 a+ 4 b+2 c 2(a+b+ c)+a+ 2b 3+ 3+(a+2 b) ab 1 1 1 2 ab ab 1 1 1 2 ab b 2 a . + + ≤ + + + = + + 9 3 3 a+2 b 27 81 a b b 27 81 81. (. ). (. ). Tương tự bc bc bc bc  1 1 1  2bc c 2b          2a  3b  4c 2( a  b  c)  b  2c 3  3  (b  2c) 9  3 3 b  c  c  27 81 81 ca ac ac ac  1 1 1  2ac a 2c          4a  2b  3c 2( a  b  c)  c  2a 3  3  (c  2a) 9  3 3 c  a  a  27 81 81 P. do. 2 a b c 1 (ab  bc  ca)   27 27 3 ab+ bc+ ca ≤. ( a+ b+c )2 =3 3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài toán 11 Cho a,b,c dương Tìm Max. Q. 2a  b 2b  c 2a  b   3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c Hướng dẫn. 2a  b 2b  c 2a  b 1  1 3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c a b c a b c a b c 3 Q    3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c 1 1 1 9 3   3  Q  a  b  c        a  b  c  . 6(a  b  c ) 2  3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c  3 3 3 Q 3    Max(Q)   a b c  0 2 2 2 3  Q 1 . Bài toán 12 Cho a,b,c dương Tìm Max. Q. a b c   5a  3b  3c 3a  5b  3c 3a  3b  5c Hướng dẫn. 3 3(a  b  c )  1 1 1   Q     2 2  5a  3b  3c 3a  5b  3c 3a  5b  3c  3 3(a  b  c ) 9 27 3 27 3  Q .   Q   2 2 11(a  b  c) 22 2 22 11 3 Max(Q)   a b c  0 11 Bài toán 13 Cho a,b,c dương Tìm Max. Q. a b c   3a  b  c a  3b  c a  b  3c Hướng dẫn. 3 a b c  1 1 1   Q     2 2  3a  b  c a  3b  c a  b  3c  3 a b c 9 9 3 9 3  Q .   Q   2 2 5(a  b  c ) 10 2 10 5 3 Max(Q)   a b c  0 5. Bài toán 14 1 1 1   8 x y z Cho x, y, z lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> P. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña. 1 1 1   2x  y  z x  2y  z x  y  2z. Hướng dẫn Nhận xét Vì sao phải tách mẫu thành tổng 2 số hạng không để tổng 3 số hạng 1 1 1 1 ≤ + ta cã : A+ B 4 A B 1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1  2 1 1               2x  y  z x  y  x  z 4  x  y x  z  16  x y x z  16  x y z  (1). (. Vì x, y, z là các số dơng, áp dụng bất đẳng thức. ). 3 DÊu “=” x¶y ra  x = y = z = 8. 1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1  1 2 1              x  2y  z x  y  y  z 4  x  y y  z  16  x y y z  16  x y z  (2) 3 DÊu “=” x¶y ra  x = y = z = 8 1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1  1 1 2               x  y  2z x  z  y  z 4  x  z y  z  16  x z y z  16  x y z  (3). 3 DÊu “=” x¶y ra  x = y = z = 8 Tõ(1); (2); (3) suy ra. P. 1 1 1 11 1 1 1         .8 2 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 4  x y z  4 1 1 1 3   8 x y z ( v× ) DÊu “=” x¶y ra  x = y = z = 8 3 Pmax 2  x y z  8 VËy. Bài toán 15. 1. 1. 1. Cho x;y;z dương sao cho x + y + y + z + z + x =6 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của P= 3 x+3 y +2 z + 3 y+ 3 z +2 x + 3 z+3 x +2 y Hướng dẫn Nhận xét Vì sao phải tách mẫu thành tổng 2 số hạng không để tổng 3 số hạng ( do 3+3+2=8 không chia hết cho 3) 1 1 1 1 ≤ + với a; b là các số dương. Ta có: A+ B 4 A B 1 1 1 1 1 = ≤ + 3 x +3 y +2 z (2 x + y + z)+( x+2 y + z) 4 2 x+ y+ z x+2 y + z 1 1 1 1 2 1 1 ¿ + ≤ + + 4 ( x+ y )+(x + z ) ( x + y )+( y + z ) 16 x + y x + z y + z. HD Áp dụng BĐT. (. Tương tự...... Bài toán 16. (. ). ( ) (. ). ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cho a, b, c lµ sè thùc d¬ng, Chøng minh r»ng: 2ab 3bc 3ca a  2b  3c    . 3a  8b  6c 3b  6c  a 9c  4a  4b 9 Hướng dẫn: 1 1 1 1 1  1 1 1 ( A  B  C )     9       A  B C 9  A B C   A B C Áp dụng BĐ T. Đăt x=a; y=2b;z=3c ta có 2ab 3bc 3ca a  2b  3c    . 3a  8b  6c 3b  6c  a 9c  4a  4b 9 ⇔ Q=. xy yz xz x+ y+ z + + ≤ 3 x +4 y+2 z 2 x+3 y + 4 z 4 x +2 y +3 z 9. Ta có  1 1 1 1 1 1       3x  4 y  2 z ( x  2 y)  ( x  y  z)  ( x  y  z ) 9  x  y  y x  y  z x  y  z  1 1 1   2 x y y 1 2      2x  y xy xy x y 2 2 xy 9 x yz        (1) 9 3x  4 y  2 z 9  9 xyz 81 9( x  y  z )    . Tương tự  1 1 1 1 1 1       2 x  3 y  4 z ( y  2 z)  ( x  y  z)  ( x  y  z) 9  y  z  z x  y  z x  y  z  1 1 1   2 y z z 1 2      2y  z yz yz y z 2 2 yz 9 x yz        (2) 9 2x  3y  4z 9  9 x yz  81 9( x  y  z )     ¿ xz 2z+x 2 xz Tương tự 4 x +2 y+3 z ≤ 81 + 9(x + y + z ) (3) Từ (1) ;(2) ;(3) ta có ¿ x+ y + z 2( xy +yz +zx ) x+ y+ z 2(x+ y+ z ) x + y + z Q≤ + ≤ + = 27 9( x + y + z) 27 27 9 1 2 Vì xy + yz+zx ≤ 3 ( x + y + z ). Bài toán 17. Chứng minh rằng với a, b, c dương:. 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + a+2 b+c b+ 2 c+ a c +2 a+b a+ 3 b b+3 c c+3 a. Hướng dẫn: 1 1 4   Vận dụng bất đẳng thức x y x  y ta có:. 1 1 4 2 + ≥ = a+3 b b+2 c+ a (a+ 3b)+(b+2 c +a) a+2 b+ c 1 1 4 2 + ≥ = b+3 c c +2 a+b ( b+3 c)+(c +2 a+b) b+2 c +a. (5).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1 1 4 2 + ≥ = c+3 a a+2 b+ c (c+ 3 a)+(a+ 2b+ c) c +2 a+b. Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5) ¿ a+3 b=b+ 2c +a b+ 3 c=c +2 a+b Đẳng thức xảy ra khi: c +3 a=a+2 b+ c ⇔ a=b=c ¿{{ ¿. Bài toán18: Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=1.Tim max : ab bc ca 1 P    c 1 a 1 b 1 4 Hướng dẫn: ab ab ab  1 1       c 1  a  c    b  c  4   a  c  b  c  Ta có :. Tương tự ,cộng từng vế ta được: 1  ab  bc  1  ab  ac  1  ac  bc  1 1 P         a  b  c  4  a c  4  b c  4  a b  4 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>