de thi hsg06

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phßng gi¸o dôc HuyÖn b¸ thíc §Ò chÝnh thøc. đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện N¨m häc 2006-2007. M«n : To¸n. Bµi 1: (4,5 ®iÓm) a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: b) Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh: Bµi 2: (4,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc:. A=. √. ( Thêi gian lµm bµi 150 phót ) m2x- 2x- 2 = -mx + m mx + 6 3x + 2m. 9x x +4 √ x +4. a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rồi rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để giá trị của A nguyên. c) Tìm x để: 1 A< 2 Bµi 3: (4 ®iÓm) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: √ 17− x 4 + √ x 4 +9=6 b) Cho 3 sè a, b, c tháa m·n: a 2 ; b+c 2 . Chøng minh r»ng: a(b+c) a+b+c c) Cho 3 sè d¬ng x, y, z vµ x + y + z = 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M =. √. x+ y xyz. Bµi 4: (5,5 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d của nửa đờng tròn đó. Gọi D, C thứ tự là hình chiếu của A và B xuèng d; gäi H lµ h×nh chiÕu cña M xuèng AB. Chøng minh r»ng: a) MC = MD. b) AM lµ tia ph©n gi¸c cña BAD; BM lµ tia ph©n gi¸c cña ABC. c) MH2 = AD.BC. Xác định vị trí của M để tích AD.BC đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. Bµi 5: (1,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC có độ dài 3 đờng cao lần lợt là x, y, z và bán kính đờng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC lµ r. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 + + = x y z r. Hä tªn thÝ sinh: ……………………………………SBD -------------------*****-------------------phßng gi¸o dôc b¸ thíc k× thi häc sinh giái líp 9 cÊp huyÖn Ngµy 13 th¸ng 12 n¨m 2006. híng dÉn chÊm m«n : To¸n 9. Híng dÉn chÊm nµy gåm 3 trang . §©y lµ híng dÉn chÊm, nªn gi¸m kh¶o ph¶i c¨n cø vµo bµi lµm cña thÝ sinh để chấm. Nếu học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. §iÓm cña toµn bµi lµ tæng ®iÓm thµnh phÇn kh«ng lµm trßn sè. Bµi 1: (4,5 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a) Ta cã: m2x- 2x- 2 = -mx + m <=> (m2+m-2)x = m+2 <=> (m-1)(m+2)x = m+2 + NÕu (m-1)(m+2) = 0 <=> m=1 hoÆc m=-2 . - Víi m=1 ph¬ng tr×nh trë thµnh: 0.x = 3 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. - Víi m=-2 ph¬ng tr×nh trë thµnh: 0.x = 0 ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm x R + NÕu (m-1)(m+2) 0 <=> m 1 vµ m -2 . ®) m+2 1 = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x= (m-1)(m+ 2) m− 1 + VËy: - Với m=1 phơng trình đã cho vô nghiệm. - Với m=-2 phơng trình đã cho có vô số nghiệm x R . - Với m 1 và m -2 phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất 1 x= . m−1 b) Ta cã: mx + 6 3x + 2m <=> (m-3)x 2(m-3) + NÕu: m-3 = 0 <=> m = 3 bÊt ph¬ng tr×nh trë thµnh: 0.x 0 §óng ∀ x R ®) + NÕu: m-3 > 0 <=> m >3 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ∀ x 2 + NÕu: m-3 < 0 <=> m <3 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ∀ x 2 VËy: - Víi m = 3 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ∀ x R - Víi m >3 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ∀ x 2 - Víi m < 3 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ∀ x 2 Bµi 2: (4,5 ®iÓm) a) §iÒu kiÖn: x 0 √ x+2 ¿2 Ta cã:. A=. √. 9x x +4 √ x +4. =. 3√x 6 =3 − √ x +2 √ x +2 §Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn th× √ x+2 √ x+2 =1 √ x=¿ = 2 <=> √ x+2 √ x=¿ = 3 x+2 √ √ x=¿ √ x+2 = 6 √ x=¿. b). ¿ ¿ 9x ¿ √¿. Ta cã: A =. ph¶i lµ íc d¬ng cña 6 -1 (lo¹i) 0 x=0 1 <=> x = 1 4 x = 16 Vậy có 3 giá trị của x để A nhận gái trị nguyên là x = 0;1;16. 3√x c) Ta cã: 1 A < 2 <=> 1 < 2 √ x +2 <=> √ x+2 3 √ x < 2 √ x +4 ( Do √ x + 2 > 0) ®) <=> 1 x < 16 √ x < 4 <=> 1 ®) VËy víi 1 x < 16 th× 1 A< 2 ®) Bµi 3: (4 ®iÓm) a) (1®iÓm) §iÒu kiÖn: 17 – x4 0 <=> x4 17. (0,5 ®) (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,25 (0,25 ®). (0,25 ®) (0,5 ®) (0,5 (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,5 ®). (1,0 ®). (0,5 ®) (0,5 ®). (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,5 (0,25 (0,25 (0,5 ®).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> V× x nguyªn nªn suy ra: x4 chØ nhËn 3 gi¸ trÞ: 0; 1 vµ 16 Lần lợt thay các giá trị trên vào phơng trình ta đợc x4 = 16 tháa m·n ph¬ng tr×nh. Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm nguyên x = ± 2 b) (1,5 ®iÓm) Ta cã: a(b+c) a+b+c <=> a(b+c) – a- (b+c) <=> a(b+c-1) - (b+c-1) 1 <=> (a-1) (b+c-1) 1. Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với a 2 ; b+c 2 Vậy BĐT đã cho đúng. 1 b+c DÊu “=” xÉy ra khi a-1 = => a = b+c − 1. (0,25 ®) (0,25 ®) 0 (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,25 ®). b+c − 1. b+c Mµ a 2 => 2 => b+c 2 => b+c = 2 => a = 2. (0,25 b+c − 1 ®) c)(1,5 ®iÓm) ¸p dông B§T C« Si ta cã: 2= x+y+z = (x+y)+z 2 √( x + y )z (0,25 ®) => 1 (x+y)2z (Do x+y > 0) (*) (0,25 √( x + y )z => x+y ®) L¹i cã: (x-y)2 0 <=> (x+y)2 4xy (**) (0,25 ®) x+y Tõ (*),(**) => x+y 4xyz => 4 (V× xyz > 0) (0,25 xyz ®). => M =. √. x+ y xyz. 2. (0,25. ®) Vậy M đạt GTNN bằng 2 khi (*) và (**) đồng thời xẫy ra dấu “=” <=> x+y = z <=> x=y= 1 (0,25 ®) 2 x=y z=1 Bµi 4: (5,5 ®iÓm) a) Ta cã: AD// OM// BC ( V× cïng vu«ng gãc víi d) (0,75 ®) Mµ OB = OA => MC = MD (0,75 ®) b) Ta cã: DAM = AMO ( So le trong) (0,25 ®) AMO = MAO ( Do AMO cân đỉnh O ) (0,25 ®) => DAM = MAO => AM lµ tia ph©n gi¸c cña DAB (0,5 ®) Chøng minh t¬ng tù ta còng cã BM lµ tia ph©n gi¸c cña ABC. (0,5 ®) c) Ta cã: AMD = AMH ( 2 tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn chung vµ gãc nhän b»ng nhau) (0,25 ®) d => AD = AH. (0,25 ®) C M T¬ng tù: BMC = BMH D => BC = BH (0,25 ®) => AD.BC = AH.BH (1) (0,25 ®) A B L¹i cã: Trong AMB cã MO O H lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh AB vµ MO = 1 AB => 2. AMB vu«ng t¹i M. (0,25 ®). Theo hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng ta cã:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> MH2 = AH.BH (2) Tõ (1),(2) => MH2 = AD.BC +. Ta cã: MH. => MH2. (0,25 ®) (0,25 ®). MO (= 1 AB) không đổi 2. 1 AB2 => AD.BC 4. DÊu “=” xÉy ra khi H. (0,25 ®). 1 AB2 4. O <=> M là điểm chính giữa của nửa đờng tròn. (0,25 đ). VËy tÝch AD.BC cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 1 AB2, khi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa 4. đờng tròn. (0,25 ®) Bµi 5: (1,5 ®iÓm) Gọi 3 cạnh của tam giác ABC là a, b, c với 3 đờng cao tơng ứng là x, y, z vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S . Ta cã: 2S = a.x = by = cz. (3) (0,5 ®) Mặt khác: do bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC bằng r nên : 2S = (a+b+c).r (4) (0,5 ®) Tõ (3), (4) suy ra: 1 1 1 a b c 1 + + = + + = x y z ( a+b+ c) r (a+b+ c)r (a+b +c) r r. (0,5 ®).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>