ON THI VAO LOP 10 THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 127 trang )

(1)C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. «n thi thpt theo chủ đề. Họ và tên : nguyễn văn đại Tæ : KHOA HäC tù nhiªn §¬n vÞ: trêng thcs nghÜa an n¨m häc: 2012 - 2013 Môc lôc Môc lôc...............................................................................Error! Bookmark not defined. Phần I: đại số.....................................................................Error! Bookmark not defined. Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức...............................................................................................5. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa..........................................................................5 Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức........................................................................................................................5 D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n..................................................................................7 Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét....................................................................................30 D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai..........................................................................................................................30 D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm...................................................................................30 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc. .....................................................................................................................................................................................31 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm..........................33 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc................33 D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè............................................................................34 D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè..............34 D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai...............................................................34. Chủ đề 3: Hệ phơng trình.............................................................................Error! Bookmark not defined. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:...............Error! Bookmark not defined.. 1.

(2) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản...........................Error! Bookmark not defined. Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ........................................................Error! Bookmark not defined. Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớcError! Bookmark not defined.. Một số hệ bậc hai đơn giản:.................................Error! Bookmark not defined.. Dạng 1: Hệ đối xứng loại I........................................................................................Error! Bookmark not defined. Dạng 2: Hệ đối xứng loại II.......................................................................................Error! Bookmark not defined. Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số........................Error! Bookmark not defined. Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị..........................................................................Error! Bookmark not defined. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số........................................................................................................................................47 Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng....................................................................................................................47 Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol...........................................................................................48 Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.............................................64 Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)........................................64 D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi níc).........................................................................................64 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.........................................................................................................65 D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc.......................................................................................................................65 D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè............................................................................................................................................65 Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai...........................................................................36 D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu.....................................................................................................................36 D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc.......................................................................................................................36 Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối...................................................................................................36 D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng..........................................................................................................................36 D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao..................................................................................................................................36. PhÇn II: H×nh häc................................................................................................................................84 Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình.....................................................................84 Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn..........84 Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy......................................86 Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định....................................................................................................87 Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học................88 Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích............................................................88 Chủ đề 7: Toán quỹ tích..........................................................................................................................89 Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian.............................................................89. C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 A. Căn thức và biến đổi căn thức. A.1. KiÕn thøc c¬ b¶n A.1.1. C¨n bËc hai a. C¨n bËc hai sè häc. Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a - Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0  x 0 x a   2  x a - Mét c¸ch tæng qu¸t: b. So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc - Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: a  b  a  b -. A2  A A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức a. C¨n thøc bËc hai Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biÓu thøc díi dÊu c¨n A xác định (hay có nghĩa)  A  0 A2  A. b. Hằng đẳng thức -. Víi mäi A ta cã. -. Nh vËy: +. A2  A. A2  A nÕu A  0. 2 + A  A nÕu A < 0 A.1.3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng. 2.

(3) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a. §Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B  0 ta cã:. A.B  A. B. 2 2 + §Æc biÖt víi A  0 ta cã ( A )  A  A b. Quy t¾c khai ph¬ng mét tÝch: Muèn khai ph¬ng mét tÝch cña c¸c thõa sè kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nh©n c¸c kÕt qu¶ víi nhau c. Quy t¾c nh©n c¸c c¨n bËc hai: Muèn nh©n c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè kh«ng ©m, ta cã thÓ nh©n c¸c sè díi dÊu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó A.1.4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng A A  B a. §Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > 0 ta cã: B b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần lît khai ph¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai. c. Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d¬ng ta cã thÓ chia sè a cho số b rồi khai phơng kết quả đó. A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai a. §a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n. -. Víi hai biÓu thøc A, B mµ B  0, ta cã + NÕu A  0 vµ B  0 th×. + NÕu A < 0 vµ B  0 th× b. §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n. A2 B  A B. , tøc lµ. 2. A B A B A2 B  A B. 2 + NÕu A  0 vµ B  0 th× A B  A B 2 + NÕu A < 0 vµ B  0 th× A B  A B c. Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n. - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B  0 vµ B  0, ta cã d. Trôc c¨n thøc ë mÉu - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã A A B  B B 2 - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A  B , ta cã. A AB  B B. C C ( A B)  A  B2 A B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A  B , ta cã C ( A  B) C  A B A B A.1.6. C¨n bËc ba a. Kh¸i niÖm c¨n bËc ba: C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a 3 3 3 3 - Víi mäi a th× ( a )  a a b. TÝnh chÊt 3 3 - Víi a (4) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3. 3. a a 3 b b. - Víi mäi a vµ b 0 th× A.2. KiÕn thøc bæ xung A.2.1. C¨n bËc n a. C¨n bËc n ( 2 n  N ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a b. C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1)  Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ  C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng  C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m  C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0 c. C¨n bËc ch½n (n = 2k )  Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n  C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0  Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là d. Các phép biến đổi căn thức. 2 k 1 A. xác định với A  2k. . . . A2 k 1  A víi  A. A2 k  A. víi  A A.B  A.2 k 1 B víi  A, B A.B 2 k A .2 k B víi  A, B mµ A.B 0. 2 k 1 2k. 2 k 1. 2 k 1 2k. a vµ  2k a. A. xác định với A 0. 2 k 1 2k. 2k. A2 k 1.B  A.2 k 1 B víi  A, B. A2 k .B  A .2 k B. víi  A, B mµ B 0. A 2 k 1 A  B 2 k 1 B víi  A, B mµ B 0 A 2k A  B 2k B víi  A, B mµ B 0, A.B 0. 2 k 1.  2k. . m n. A mn A víi  A, mµ A 0 m. m. An  A n víi  A, mµ A 0  Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 1 √ 3x − 1. 8¿. √ x2 +3 ¿ 2 ¿ √5 − 2x. Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. Bµi 1: §a mét thõa sè vµo trong dÊu c¨n. 3 5 2 a¿ ; b¿ x (víi x>0); 5 3 x Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.. √. √. 9¿. c¿. 4. x. √. 2 ; 5. √ x 2 − 2¿ 3 ¿ d¿. ( x −5). √. 1 7x √ −14 x ; 2 25− x. 10¿. e¿ x. √. 7 2 x.

(5) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 0,4 a( √28 −2 √ 14+ √ 7) ⋅ √7+ 7 √ 8; Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh. 2 3− 6 216 1 a¿ ( √ √ − √ )⋅ 3 √ 8 −2 √6 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.. d¿ b¿. a( 4+ √15)(¿ √ 4 − √ 15 b) Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:. √6+ 2 √5+ √ 6 −2 √ 5 ; ¿ b ¿. √14 − √ 7 + √ 15− √ 5 ¿ : 1 1− √2 1− √3 √7 − √5. c¿. ( √ 8 −3 √ 2+ √ 10)( ¿;. √ 5 −2 √6 + √ 8− 2 √15 √ 7+2 √10. ¿ 6 √10 − √ ¿ 5 3− √ ¿ ¿ 5 3+ √ ¿ √ 3+ √ 5 − √ 3 − √ 5− √ 2. (¿ √ 3+ √5+( √ 3 − √ 5 ¿ c ). d). √ 4 − √7. ¿ 1 1 − √7 − √24 +1 √ 7+ √ 24+1 Bµi 6: Rót gän biÓu thøc: a. b¿. √3. −. √3. √ √3+ 1−1 √ √3 −1+1. ¿ c¿. √. 5+ 2 √ 6 5 −2 √ 6 + 5− √ 6 5+ √ 6. √. ¿. √ √. a 6+2 √ 5− √ 13+ √ 48. b¿ 4 + 5 √3+5 √ 48 − 10 √7+ 4 √ 3 ¿. c¿. Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau:. d¿. 1 1 + + 1+ √ 2 √ 2+ √ 3 √ 3. ¿ a √ b+b √ a 1 : , víi a> 0, b> 0 vµ a ≠ b . ¿ b ¿ √ ab √ a − √b Bµi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a. (1+ a+√ a+1√ a )(1 − a√ −a −1√ a ), víi a >0 vµ. a ≠1 .¿ c ¿. a √ a −8+ a−. 1 1 3 3 ;y= ¿ b ¿ B=x3 +12x − 8 víi x=√ 4 ( √5+ 1) − √ 4 ( √ 5 −1); ¿ c ¿ C=x+ y 9+4 √5 √ 5 −2 D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n. x −3 Bµi 1: Cho biÓu thøc P= √ x −1 − √ 2 a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - √ 3 ). c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 2 Bµi 2: XÐt biÓu thøc A= a + √ a − 2a + √ a +1 . a − √ a+1 √a a) Rót gän A. b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi | A| . c) Tìm a để A = 2. d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. 1 x Bµi 3: Cho biÓu thøc C= 1 − + √ 1− x 2 √ x − 2 2 √ x +2 4 1 a) Rót gän biÓu thøc C. b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x= . c) Tính giá trị của x để |C|= . 9 3 a a b Bµi 4: Cho biÓu thøc M = 2 2 − 1+ 2 2 : √a − b √ a − b a − √ a2 −b 2 a 3 a) Rót gän M. b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1. = . b 2 a=x 2 −3x √ y +2y, khi x=. (. ). 5.

(6) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. 1−x ¿ ¿ ¿ Bµi 5: XÐt biÓu thøc x −2 x +2 P= √ − √ ⋅¿ x −1 x +2 √ x +1 a) Rót gän P. b) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× P > 0. c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P. 2 x − 9 x +3 2 x +1 √ √ √ Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q= − − . x − 5 √ x +6 √ x − 2 3 − √ x a) Rót gän Q. b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên. 2 3 3 ( x − y ) + √ xy Bµi 7: XÐt biÓu thøc H= x − y − √ x − √ y : √ √ x−y √x −√ y √ x +√ y a) Rót gän H. b) Chøng minh H ≥ 0. c) So s¸nh H víi √ H . 1 2√ a Bµi 8: XÐt biÓu thøc A= 1+ √ a : − . a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a − 1 a) Rót gän A. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho A > 1. c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a=2007 −2 √2006 . Bµi 9: XÐt biÓu thøc M =3x+ √ 9x −3 − √ x+ 1 + √ x −2 . x+ √ x −2 √ x+ 2 1− √ x a) Rót gän M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên. Bµi 10: XÐt biÓu thøc P=15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x+ 3 . x+ 2 √ x − 3 1 − √ x √ x +3 1 2 a) Rót gän P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho P= . c) So s¸nh P víi . 2 3. (. ). (. ). (. Bµi 11: Cho biÓu thøc:. )(. P=. (. a) Rót gän P Bµi 13: Cho biÓu thøc:. 2 √ a − 1 . √ a −1 − √ a+1 2 2 √a √ a+1 √ a− 1. )(. ). b) Tìm giá trị của a để P > 0. 1 1 + +1 1+ √ a 1 − √ a. A=. a) Rót gän A. Bµi 14: Cho biÓu thøc:. ). b) Tìm a để A=. A=. 1 2. ( x+2√ x√+2x+ 1 − √xx−1−2 ) . √ √x+x 1. a) Rót gän A. b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyen cña x sao cho A cã gi¸ trÞ nguyªn.. a √ a −1 a √ a+ 1 a+2 − : a −√a a+ √ a a −2 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bµi 15: Cho biÓu thøc. A=. (. ). A=. (. a) Rót gän A. x √ x −1 x √ x+1 2 ( x −2 √ x+1 ) − : x −1 x −√ x x +√ x b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Bµi 17: Cho biÓu thøc:. A=. ( √ x1−1 + √ x1+1 )( √xx−1−1 − 2). Bµi 16: Cho biÓu thøc:. a) rót gän A. b) Rót gän biÓu thøc A.. ). víi. x≥0; x≠1. b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.. 6.

(7) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 18: Cho biÓu thøc: a) Rót gän A. x +2 √ x +1 x − 1 A= + − √ x ( víi √ x +1 √ x −1. x ≥ 0 ; x ≠ 1¿. b) Tìm các giá trị nguyên của x để. Bµi TËp bæ sung Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x − 100 3 x −800 a) b) = 3 4 5 x +1 3 x − 2 d) − =2 x +3 x−1 Bµi 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3 x −60 5 x −100 a) > 5 6. 4 x − 1 5 x+3 − =0 5 6. nhËn gi¸ trÞ nguyªn.. c). e) 9 −2 x=4 −|2 x − 5|. b). 6 A. x −1 4 x+ 3 1 −5 x − < 5 10 25. x (x +2) −5=0 3 f) |2 x −5|=2 − x. c) ( x+ 2 )2+5 x −4 ≥ ( x +2 ) ( x −3 ). 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän biÓu thøc chøa c¨n bËc hai: Bµi 1: TÝnh a) √ 20− √5 b) ( 8 √ 27 −6 √ 48 ) : √ 3 c) 5 √ 2 − √ 18 d) ( √ 2+ 1 )( √ 2 −1 ) 2 6 4 e) √ 12− √3 f) √ 2. √ 8− 3 g) 4 √ ( − 3 ) +5 √ ( − 2 ) h) ( √ 8− 7 ) − √ 8 i) √ 144 . 49 . √ 0 , 01 k) ( √ 18+ √ 32− √ 50 ) . √2 l) √ 50− √ 18+ √200 − √162 64 3 36 m) √ 6+ √ 10 n) √ 6 − 2 √ 5 p) ( 3+ √ 5 ) ( 3 − √ 5 ) − ( 2+ √ 3 ) ( 2 − √ 3 ) q) : 15 45 √21+ √ 35 √5 −1 Bµi 2: TÝnh: 1 1 1 16 + a) ( 7 √ 48+3 √ 27 −2 √ 12 ) : √ 3 b) c) − + √7 : √ 7 3+ √ 2 3− √ 2 7 7 d) √5 − √ 3 + √ 5+ √ 3 e) 3+ 2 √ 3 + 2+ √ 2 − ( 2+ √ 3 ) f) √ 6+2 √5+ √6 − 2 √ 5 √ 5+ √ 3 √5 − √3 √ 3 √2+1 Bµi 3: Ph©n tÝch ra thõa sè a) 3 − √ 3+ √ 15− 3 √5 b) √ 1− a+ √ 1− a2 ( víi – 1 < a < 1 ) c) x 2 −7 d) x 2+2 √ 7 x+7 e) √ a3 − √ b3 + √ a2 b − √ ab 2 f) x − y+ √ xy 2 − √ y 3 Bµi 4: Rót gän: a) A= 5 √ 25 a 2 − 25 a víi a < 0 b) B = √ 49 a2 +3 a víi a ≥ 0 c) C = 3 x+ √ x 2+ 6 x+ 9 víi x < - 3 d) D = √ a4 ( a − 2 )2+ a3 víi a < 2 Bµi 5: Rót gän biÓu thøc:. √. √. √ √. (√ √. a) A =. 3 x 49 y 2 7 y 9 x2. c) C =. √ 25 a+ √ 49 a − √64 a víi a > 0. √. víi x > 0; y < 0. Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x 2 − 9 √ x +14=0 d) 5 √ 12 x − 4 √ 3 x+2 √ 48 x=14. ). 9 ( x 2 +2 xy + y 2 ) víi x > - y 2 2 2 4 x −y d) D = x + √ xy víi x> 0 ; y> 0 ; x ≠ − y x−y. √. b) B =. c) √ x2 − 4 x+ 4 − 2 x +5=0 √ 2 x −1= √2 −1 1 e) √ 4 x −20+ √ x − 5− √ 9 x − 45=4 f) √ x+1 − √ x − 2=1 b). 3. A.2.2. Bất đẳng thức và bất phơng trình  Bất đẳng thức. 7.

(8) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) là các biểu thức bất kì f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x) . f ( x) i 1, n §¼ng thøc x¶y ra khi i cïng dÊu  Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, khi đó a1  a2  ...  an n  a1.a2 ...an n §¼ng thøc x¶y ra khi a1 = a2 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, …, an ) và (b1, b2, …, bn ) là hai bộ số bất kì, khi đó  (a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2 (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) a a1 a2  ...  n bn (quy íc b == 0 th× a = 0) §¼ng thøc x¶y ra khi b1 b2 i i  Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x )  ( 0)     f ( x)   f ( x)  ( 0)  f ( x)    hoÆc f ( x)  A.2.3. DÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt vµ dÊu cña tam thøc bËc hai a. Cho nhị thức f(x) = ax + b (a  0). Khi đó ta có. x - -b/a + f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a Cïng dÊu víi a b. Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Khi đó ta có  NÕu  0 x - -b/2a + 2 f(x) = ax + bx + c Cïng dÊu víi a 0 Cïng dÊu víi a  NÕu   0 x - x1 x2 + f(x) Cïng dÊu a 0 Tr¸i dÊu a 0 Cïng dÊu a A.2.4. Biến đổi tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Khi đó ta có b 2  f ( x) ax 2  bx  c a( x  )  2a 4 a víi  b 2  4ac   b f ( x)  min f ( x)   x x  R 4a nªn 4a 2a  NÕu a > 0 th×   b f ( x)  max f ( x )   x 4a nªn xR 4a 2a  NÕu a < 0 th× k A A ' (k là hằng số dơng) khi đó ta có * Chó ý. NÕu   Amin A’max   Amax A’min A.3. VÝ dô minh häa A.4. Bµi tËp chän läc 1 x 3 2 x 2   P       x  x 1 x 1 2  2  x 2 x  x   Bµi 1. Cho biÓu thøc: a. Rót gän P b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 3  2 2 . . . 8.

(9) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1   2x  x  1 2x x  x  x   1 P      : 1 x 1 x x   1 x x   Bµi 2. Cho biÓu thøc a. Rót gän P b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 7  4 3 c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a x x 3 2( x  3) ( x  3) P   x 2 x  3 x 1 3 x Bµi 3. Cho biÓu thøc b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 11  6 5 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  x   x 3 x 2 x 2  M  1     :   x  1   x  2 3  x x  5 x  6   Bµi 4. Cho biÓu thøc : a. Rót gän M b. Tìm x để M > 0 c. Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: M ( x  1) m( x  1)  2 a. Rót gän P. A Bµi 5: Cho biÓu thøc:. x  x2  4 x x. x2  4 x. . x. x2  4 x. x  x2  4 x b. Tìm x để A  5 .. a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A.  x 1  x x x x  A       2 2 x x  1 x  1    Bµi 6: Cho . a. Rót gän A. b. Tìm x để A > -6.  x 2 1   10  x  B     :  x  2   x 4 2 x x 2  x 2  Bµi 7: Cho . a. Rót gän B. b. Tìm x để B > 0. 1 2 2 − + Bµi 8: Cho C = √ x +1 x √ x +1 x − √ x +1 a, Rót gän C. b. Chøng minh r»ng C < 1. Bµi 9: Cho biÓu thøc: A 4 x  a. Rót gän A.. 4 x 2  12 x  9 b. Tìm x để A = -15.. 2 Bµi 10: Cho biÓu thøc: A 2 x  x  6 x  9 . a. Rót gän råi t×m gi¸ trÞ cña A khi a = -5.   3   3 M   1 x  :   1  1 x   1  x2 . Bµi 11: Cho biÓu thøc:. x a. Rót gän M.. b. T×m gi¸ trÞ cña M khi. b. T×m x khi A = 15.. 3 2 3 .. c. Tìm giá trị của x để. 4 x 2  9  12 x . b. Tìm giá trị của x để A = 3. 1 A 2 x  1  x 2  x  4 rồi tìm giá trị của x để A = 3/2. Bµi 13: Rót gän biÓu thøc:. Bµi 12: Cho biÓu thøc: A 3x  1  a. Rót gän biÓu thøc A.. 9. M M ..

(10) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2 x 9 x  3 2 x 1   x 5 x 6 x  2 3 x Bµi 14: Cho biÓu thøc: a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1. b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên. Q. x 1 x 2  x  2 1 x Bµi 15: Cho biÓu thøc: a. Rót gän P. b. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. x+ 2 1 √x √x− 1 Bµi 16: Cho biểu thức : A=( + + ): x √ x −1 1 − √x 2 x + √ x+1 P. 3x  9 x  3  x x  2. 1. Rút gọn A . 2. Chứng minh rằng A. 0 với mọi x. 1. 3. Với giá trị nào của x thì A có giá trị lớn nhất .Tìm GTNN đó ?. Bµi 17. Cho biÓu thøc  2 x P    x 3 a. Rót gän P Bµi 18. Cho biÓu thøc  1 1 A    y   x a. Rót gän A. x 3x  3   2 x  2    1  : x  3 x  9   x  3  , víi x  0 vµ x 9 b. Tìm các giá trị của x để P < -1/3 c. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.  x3  y x  x y  y 3 2 1 1   :  . x 3 y  xy 3  x  y x y  víi x > 0, y > 0 b. Biết xy = 16. Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bµi 19. Cho biÓu thøc A  x 2  a. Rót gän biÓu thøc A. 2 x2 1  x 8 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = -3. 2 2 Bµi 20: Cho biÓu thøc: A  x  2 x  1 . x2  2 x2  1 .. a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. 1 x 1 A 2 : x  x x x x x . Bµi 21: Cho a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. B. 1. . 1. b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi. b. Rót gän A. 3. . x  x 1 x  x 1 Bµi 22: Cho a. Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.. x  x 1 x . b. Tĩm x để B > 0.. . . .  2x  1  x 2x x  x  x  x  x 1  x E 1     . 1 x 1 x x 2 x1   Bµi 23: Cho biÓu thøc: . a. Tìm điều kiện để E có nghĩa. b. Rót gän E.  a 3  b3  a 2  b 2 A   ab  :  1  1  a b  a b   Bµi 24: Cho . a. Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa. b. Rót gän A. 2 2 Bµi 25: Cho biÓu thøc: A  x  6 x  9  x  6 x  9 . a. Rót gän A. b. Tìm các giá trị của x để A = 1.. 1. x  2..

(11) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. A. x  x  2x. x. x2  2 x. . 2 2 x  x  2 x x  x  2 x Bµi 26: Cho biÓu thøc: a. Tìm điều kiện xác định của A. Rút gọn A. Bµi 27. XÐt biÓu thøc a 1 2 a B (1  ):(  ) a 1 a  1 a a  a  a 1 a. Rót gän B Bµi 28. XÐt biÓu thøc. . b. Tìm x để A < 2.. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho B > 1. 2 a 3 b  ab  2 a  3 b  6 a. Rót gän A A. c. TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu a 6  2 5. 6  ab ab  2 a  3 b  6. b  10 (b 10) b. Cho giá trị của biểu thức A sau khi đã rút gọn bằng b  10 . Chøng minh r»ng a/b = 9/10 Bµi 29. XÐt biÓu thøc  2 x 2 x 4x  x 3 P     :  2 x 2 x x 4 2 x  x a. Rót gän P b. Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0 c. Tìm các giá trị của x để |P| = 1 Bµi 30. Cho biÓu thøc A 4 x  a. Rót gän A. 9 x 2  12 x  4 b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 2/7. 2 Bµi 31. Cho biÓu thøc A 5 x  x  6 x  9 a. Rót gän B b. Tính giá trị của x để B = -9 1 5 x 2 P   . x 2 x  x  6 3 x Bµi 32: Cho biÓu thøc: a. Rót gän P. b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P.  x y x y  x  y  2 xy  P   : 1     1  xy 1  xy  1  xy    Bµi 33: Cho . 2 x 2 3 . a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. B. HÖ ph¬ng tr×nh B.1. KiÕn thøc c¬ b¶n b.1.1. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn  Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c víi a, b, c  R (a2 + b2  0)  TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c a c y  x  b b - Nếu a 0, b 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số Nếu a 0, b = 0 thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trôc tung Nếu a = 0, b 0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trôc hoµnh b. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn  ax  by c   Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:  a ' x  b ' y c ' trong đó a, b, c, a’, b’, c’  R. 1.

(12) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 . Minh häa tËp nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có  (d) // (d’) th× hÖ v« nghiÖm  A th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  (d)  (d’) =  (d)  (d’) th× hÖ cã v« sè nghiÖm  Hệ phơng trình tơng đơng Hệ hai phơng trình tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm c. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Quy t¾c thÕ  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới trong đó có một phơng tr×nh mét Èn  Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã råi suy ra nghiÖm cña hÖ d. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số  Quy t¾c céng  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình bằng nhau hoặc đối nhau  áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai Èn b»ng 0 (ph¬ng tr×nh mét Èn)  Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho b.1.2. HÖ ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai - Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2  4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phơng trình: x2 + SX + P = 0 B.2. KiÕn thøc bæ xung b.2.1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1 a. §Þnh nghÜa: Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phơng trình của hệ không đổi b. C¸ch gi¶i  §Æt S = x + y, P = x.y, §k: S2  4P  Giải hệ để tìm S và P  Víi mçi cÆp (S, P) th× x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 – St + P = 0 c. VÝ dô  x  y  xy 7  x  y  xy  1 0  x  y  x 2  y 2 8  2  2  2 x  y 2  xy 13  x  y  x  y 22  xy ( x  1)( y  1) 12  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  b.2.2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2 a. §Þnh nghÜa Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thµnh ph¬ng tr×nh kia vµ ngîc l¹i b. C¸ch gi¶i  Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn  Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích  Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)  Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn  Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ c. VÝ dô 2 3 2 x  y  4 y  5  x 13 x  6 y   3 2 y x 2  4 x  5  y 13 y  6 x  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  b.2.3. Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2 a. §Þnh nghÜa 2 2  ax  bxy  cy 0  2 a ' x  b ' xy  c ' y 2 0 - Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:  b. C¸ch gi¶i. 1.

(13) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 -. XÐt xem x = 0 cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ - Khö x råi gi¶i hÖ t×m t - Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x) - Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx * Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự c. VÝ dô  x 2  4 xy  y 2 1  2 x 2  3xy  y 2 3  2  2 2 y  3xy 4   x  2 xy  2 y 6  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: B.3. VÝ dô minh häa B.4. Bµi tËp chän läc. Bµi 1. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh ( x  2)( y  2)  xy  ( x  4)( y  3)  xy  6  2x  5 y  1 x  2 y  16  11 3   7 x  y  2( x  1) 31  5 3 1  5  x  1  y  1 10    1  3 18  x  1 y  1. ( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3) 4  ( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5) 18  9x 2 y  7  3  28   3x  12 y 15  2 5 1  4  x  2 y  x  2 y 1    20  3 1  x  2 y x  2 y. 5  2  3x  y  x  3 y 3    1  2 3  3x  y x  3 y 5. 4 5  7  x  7  y  6 3    5  3 13  x  7 y 6 6. ( x  5)( y  2) xy  ( x  5)( y 12) xy 4x  3   x  y  5   x  3 y 15  9 y  14 3 13  4  x  y  36    6  10 1  x y 3 2   x  y  3  x  y  1 8   3 1   1,5  x  y  3 x  y  1. Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh  x  1  y  2 1   x  1  3 y 3.  x 2  10 x  25  x  5  2  x  10 x  25 5  x ..  x  2  2 y  1 9   x  y  1  1.  x 2  y 2 2( xy  2)   x  y 6  x 2  y 2 10   x  y 4.  x  y  xy  1 0  2 2  x  y  x  y 22  x 2  y 2 65  ( x  1)( y  1) 18.  x  y  xy 7  2 2  x  y  xy 13  x 2 y  xy 2 6   xy  x  y 5. 3 3  x  y 1  5 5 2 2  x  y  x  y.  x  y 1  3 3 2 2  x  y x  y. ( x  1)( y  1) 10  ( x  y )( xy  1) 25.  x  y 5   x y 13 y  x 6 . 3 3  x  y 2  2 2  x y  xy 2. 4 4  x  y 97  2 2  xy ( x  y ) 78. C¸c bµi HPT cã chøa tham sè. 1.

(14) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3 x  y  m  9 x  m2 y  3 3 Bµi 1. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ ph¬ng tr×nh c. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt  mx  y 4  Bµi 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh :  x  my 1 8 m  1 . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y. Cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn  2mx  3 y m  Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình :  x  y m  1 Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.  x  2 y 6  Bµi 4. Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  2 x  y 2 a. Giải hệ phơng trình đã cho bằng phơng pháp đồ thị b. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x - 7y = - 8 không ? c. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? Bài 5. Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5 Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2) Bài 6. Cho ba đờng thẳng: (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1 Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy  x  ay 2  Bµi 7. Cho hÖ ph¬ng tr×nh  ax  2 y 1 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 Bài 8. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1) Bài 9. Tìm các giá trị của m để mx  y 5  a. HÖ ph¬ng tr×nh: 2 x  3my 7 cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0 x y . 2. mx  y 3  b. HÖ ph¬ng tr×nh: 4 x  my 6 cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > 0 mx  y 2m  Bµi 10. Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  x  my m  1 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên (m  1) x  my 2m  1  mx  y m 2  2 Bµi 11. Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất Bµi 12. H·y t×m gi¸ trÞ cña m vµ n sao cho ®a thøc P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2). ( m  1) x  y m  1  Bµi 13. Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  x  ( m  1) y 2 Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất mx  my m  Bµi 14. Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx  y 2m m, n lµ c¸c tham sè. 1.

(15) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh b. trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều kiÖn x > 0, y < 0 Bài 15. Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m (m  3) x  4 y 5a  3b  m   x  my am  2b  3m  1  y 2  x 3  4 x 2  a.x  2 x  y 3  4 y 2  ay Bài 16. Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:   x  y m  2 y  x 2  m 2  6 Bµi 17. BiÕt cÆp sè (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:  H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = xy + 2(x + y).  x  y 2a  1  2 y  x 2 a 2  2a  3 Bµi 18. Gi¶ sö (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa m·n tÝch xy nhá nhÊt.  xy a 2  1 1 1  x  y b Bµi 19. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Giải và biện luận hệ phơng trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.  2 x  my 1  Bµi 20. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx 2 y 1 a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m. b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.  x  my 4  Bµi 21. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 4 y 10  m (m lµ tham sè). a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ cã nghiÖm (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng. (m  1) x  my 3m  1  Bµi 22. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  2 x  y m  5 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (m  1) x  my 2m  1  mx  y m 2  2. Bµi 23 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất. mx  y 2m  x  my m  1. Bµi 24. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a. Gi¶i hÖ khi m = -1. b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1. mx  2 y m 1  Bµi 25. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh sau ®©y theo tham sè m: 2 x  my 3.  x  my 2  Bµi 26. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx  2 y 1. a. Gi¶i hÖ khi m = 2. b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.. 1.

(16) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.  x  my 1  Bµi 27. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx  3my 2m  3. a. Gi¶i hÖ khi m = - 3. b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m. 2 x  y  m   Bµi 28. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x  2 y 5 (m lµ tham sè nguyªn). Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0. mx  y 2  Bµi 29. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3x  my 5. a. Giải và biện luận hệ đã cho. x  y 1 . m2 m2  3 .. b. Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:  mx  2my m  1  Bµi 30. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  x  ( m  1) y 2. a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi. b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất. c. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5 . mx  4 y m  2  Bµi 31. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ ph¬ng tr×nh:  x  my m. cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn. 2 x  my 1  Bµi 32. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx  2 y 1. a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên. c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố định. 2 d. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2 . Bµi 33. Gi¶i vµ biÖn c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:  2m 2 x  3( m  1) y 3  x  2 y m  1  x  my 1    m( x  y )  2 y 2 a.  b.  x  y 2  m. c.  x  y m.   2mx  y 5  Bµi 34. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  3 y 1. a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lóc m = 1. b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè.  mx  y 1  Bµi 35. Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè ):   x  y  m. a. Chøng tá lóc m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. b. Gi¶i hÖ lóc m kh¸c 1. Bài 36. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0.  x 2  y 2 25  mx  y 3m  4 Bµi 37. Víi gi¸ trÞ nµo cña m, hÖ ph¬ng tr×nh:  cã nghiÖm?. 1.

(17) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10  x 2  y 2 2a  2 xy  1 2a Bµi 38. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  . Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó. x y   m y x  x  y 8 Bµi 39. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  . Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép.  x  y m  2 y  x 2 1 Bµi 40. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.  xy  x  y 71  2 x y  xy 2 880 Bµi 41. Cho x, y lµ hai sè nguyªn d¬ng sao cho:  . T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x2 +y2.  x  my m  1  Bµi 42. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  y 3m  1 a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh trªn. b. Kh«ng gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, cho biÕt víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt? ( a  1) x  y a  1  Bµi 43. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  x  (a  1) y 2 (a lµ tham sè). a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 2. b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh. c. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên. d. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất. Bài 44. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết: A(-1; 1), B(-1; 3). A(1; 2), B(3; 2). A(1; 5), B(4; 3). Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD. Bµi 46. Cho bèn ®iÓm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D th¼ng hµng. Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?  2(m  1) x  ( m  2) y m  3  Bài 48. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: (m  1) x  my 3m  7 (m  1) x  2my  2 0  Bµi 49. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  2mx  (m  1) y  (m  1) 0 (m lµ tham sè). a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn. b. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0. (m  1) x  y 3m  4  Bµi 50. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  x  ( m  1) y m (m lµ tham sè) a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên. c. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất.  x  my m  1  Bµi 51. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  y 3m  1 (m lµ tham sè) a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.  x 2  y 2 2a  1  x  y 4a Bài 52. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:  Bµi 53.. 1.

(18) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a. Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số âm. ax  2 y 1 3x  5 y m    x  ay 2 ; 2 x  y 1 2 x  y m  b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phơng trình sau: 3x  2 y 5 có nghiệm x > 0 và y < 0.  mx  y 2 m2  x  y 1  2 m 3 c. Víi gi¸ trÞ kh¸c 0 nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x  my 5 cã nghiÖm tháa m·n Bµi 54.  a.x  y 3  x  1  y 2 1. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 2. b. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất. 2. Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm. bµi tËp bæ sung vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ¿ −2 mx+ y =5 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+3 y=1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . b) Tìm m để x – y = 2 . ¿ 2 1 + =7 x −1 y+1 5 2 C©u 2( 2 ®iÓm ) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : − =4 x −1 y −1 ¿{ ¿ ¿ x+ my=3 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+ 4 y=6 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 1 , y > 0 . ¿ 2 x + y =3 a −5 x − y=2 C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ¿{ ¿ Gọi nghiệm của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất . C©u 5( 2 ®iÓm ) 1  1   x  y x  y 3    2 x  y 3  2  3 1   a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x  y x  y b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 5  y 4 x C©u 6 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh .. {mx2 x−ny=5 + y=n. a) Gi¶i hÖ khi m = n = 1 .. 1.

(19) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 x=− √ 3 b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm y=√ 3+1. {. 2 x − my =m 2 x+ y=2 a) Gi¶i hÖ khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh ¿ mx − y =3 C©u 8 ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh . 3 x+ my=5 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . 7 (m−1) b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ; x+ y − =1 m2 +3 ¿ 2 a x − y=−7 C©u 9 ( 3 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 2 x + y=1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 1 b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) . Tìm các giá trị của a để x + y = 2 . C©u 7 : ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :. {. mx  my  3   1  m  x  y 0 Câu 10. Cho hệ phương trình  a)Giải hệ với m = 2.. b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0).. 3 1   x 2  y 2 b)   2  1 1  x 2  y. 2x  3y 1 a)   x  3y 2 Câu 11. Giải hệ phương trình sau:. ¿ ( a+1 ) x+ y=4 c©u 12: (3 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ax+ y=2 a (a lµ tham sè) ¿{ ¿ 1. Gi¶i hÖ khi a=1. 2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a, hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x;y) sao cho x+y≥ 2. ¿ −a 19 x − ny= 2 7 bµi 13: Cho hÖ ph¬ng tr×nh(Èn lµ x, y ): 2 x − y= a 3 ¿{ ¿ 1. Gi¶i hÖ víi n=1. 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× hÖ v« nghiÖm. ¿ x + y + z=1 c©u 14 (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2 xy − z 2=1 (ở đó x, y, z là ẩn) ¿{ ¿ 1. Trong c¸c nghiÖm (x0,y0,z0) cña hÖ ph¬ng tr×nh, h·y t×m tÊt c¶ nh÷ng nghiÖm cã z0=-1. 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn.. 1.

(20) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ¿ mx − y =−m bµi 15: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ( 1− m2 ) x +2 my=1+ m2 ¿{ ¿ 1. Chøng tá ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. 2. Gäi (x0;y0) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, xhøng minh víi mäi gi¸ trÞ cña m lu«n cã: x02+y02=1 ¿ x+ ay=2 bµi 16(2 ®iÓm): Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (x, y lµ Èn, a lµ tham sè) ax − 2 y =1 ¿{ ¿ 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn. 2. Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x0,y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 < 0. x  y  2  2 bài 17.(2 điểm) Cho hệ phơng trình:  xy  a  1 trong đó x, y là ẩn, a là số cho trớc. 1. Giải hệ phơng trình đã cho với a=2003. 2. Tìm giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm câu 1. 2 x  (n  4) y 16  Bài 18 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (4  n) x  50 y 80 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. 2. Tìm n để hệ phơng trình có một nghiệm sao cho x+y>1. −2 mx + y =5 C©u 19 ( 2 ®iÓm ) . Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx +3 y=1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1 b) Gi¶i biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x2 + y2 = 1 C. Ph¬ng tr×nh C.1. KiÕn thøc c¬ b¶n C.1.1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn a. §Þnh nghÜa - Phơng trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b  R và a 0 b. C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn - Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phơng trình có VSN + b 0 th× phong tr×nh VN Nếu a 0. Khi đó phơng trình có nghiệm duy nhất x = - b/a C.1.2. Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn a. §Þnh nghÜa - Phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Trong đó a, b, c  R và a 0 b. C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn - NÕu a = 0. Ph¬ng t×nh cã d¹ng bx + c = 0: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 2 Nếu a 0. Khi đó  b  4ac (hoặc  ' b '  ac ) +   0 (hoÆc  '  0 ): Pt v« nghiÖm b b' x1 x2  x1 x2  2a (hoÆc a) +  0 (hoÆc  ' 0 ): Pt cã nghiÖm kÐp. {.  b'   '  b  x1,2  a 2a ) +   0 (hoÆc  '  0 ): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt: (hoÆc  Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 th× ta cã thÓ viÕt ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2) §Þnh lÝ Viet a. §Þnh lÝ thuËn x1,2 . 2.

(21) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 S  x1  x2 . b a vµ. - Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là c P  x1.x2  a b. Định lí đảo 2 - NÕu hai sè x vµ y cã tæng x1  x2 S vµ tÝch x1.x2 P tháa m·n S 4 P th× hai sè x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - St + P = 0 Bµi tËp chän läc Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung x2 + mx + 1 = 0; x2 + x + m = 0 Bµi 2. Cho hai ph¬ng tr×nh x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0 Chứng minh rằng nếu p1 p2 2(q1  q2 ) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm Bµi 3. Víi gi¸ trÞ bµo cña k th× hai ph¬ng tr×nh sau: 2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = 0 Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó Bµi 4. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi a, b, c (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0 Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác. Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm: a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = 0 Bµi 6. Cho ba ph¬ng tr×nh x2 + 2ax + ac = 0; x2 - 2bx + ab - c = 0; x2 + 2cx + c = 0 Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong ba ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Bài 7. Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0. Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc thỏa mãn a. a(a + 2b + c) < 0 b. 5a + 3b + 2c = 0 Bài 8. Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ. Bµi 9. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 - 3x + 1 = 0. Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: 1 1 1  x1 1  x2 x x A  B  D 1  2 2 2 C  x1  x2 x1 x2 x1 x2 x2  1 x1  1 a. b. c. d. 2 Bµi 10. Cho ph¬ng tr×nh: x + (2m - 1)x - m = 0 a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2 2 b. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để biểu thức A x1  x2  6 x1 x2 đạt giá trị nhá nhÊt Bµi 11. Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 + 5x - 6 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã c¸c nghiÖm 1 1 y1  x1  y2  x2  x2 ; x1 2 Bµi 12. Cho ph¬ng tr×nh x  2 3 x  1 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 3 3 x12  5 x1 x2  3 x22 a. A  x1  x2 B 4 x13 x2  4 x1 x23 b. Bµi 13. Cho ph¬ng tr×nh (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn, h·y lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo k Bài 14. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình: x 2  x22 10 a. x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 tháa m·n 1 b. x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 tháa m·n x1 = 2x2 c. x2 - mx + m + 1 = 0 tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0 Bµi 15. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0 a. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau Bµi 16. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0. 2.

(22) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn A 10 x1 x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó Bµi 17. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2| Bµi 18. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m - 1 = 0 a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 x1 x2  3 P 2 x1  x22  2( x1 x2  1) Bµi 19. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = 0  x1  x2 5  3 3 x  x2 35 T×m c¸c gi¸ trÞ cña p vµ q sao cho hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n  1 Bµi 20. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 2x - m2 = 0 cã c¸c nghiÖm x1, x2. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1, y2 sao cho: a. y1 = x1 - 3, y2 = x2 - 3 b. y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - 1  x1  x2 2  3 3 x  x2 26 Bµi 21. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm tháa m·n:  1 Bµi 22. Chøng minh r»ng trong ba ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm x2 + ax + b - 1 = 0 x2 + bx + c - 1 = 0 x2 + cx + a - 1 = 0 Bµi 23. Cho 2 ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + a = 0 (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2) Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm. Bµi 24. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0. a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình không phô thuéc vµo m Bµi 25. Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0 a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của ph¬ng tr×nh c. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 5   0 x d. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 2 x1 2 Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng x2 + (4m + 3n)x - 9 = 0; x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0 Bµi 27. Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2 a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cx2 + bx + a = 0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b. Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x4  4 Bµi 28. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0 a. BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 2,t×m m råi t×m nghiÖm cßn l¹i b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức : -2 < x1 < x2 < 4 Bµi 29. T×m a sao cho nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0. §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 30. Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng kh¸c nhau cã tæng b»ng 12. Chøng minh r»ng trong ba ph¬ng tr×nh sau: x2 + ax + b = 0 x2 + bx + c = 0 x2 + cx + a = 0. Cã mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm, mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 1 2  Bµi 31. Cho ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0, víi b, c lµ c¸c sè h÷u tØ cã mét nghiÖm lµ 2 4 . T×m c¸c cÆp sè (b, c). 2.

(23) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là 5 Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 x 2  x22 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn: 1 : Bµi 34. Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè). 1. Tìm m để phơng trình có nghiệm. 2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn h¬n. 3. Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3. 4. T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 35. Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. 1 1 x1  x2   x x2 5 . 1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn 2 -Bµi 36. Cho ph¬ng tr×nh x + 5x - 1 = 0 (1). Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh (1), h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ lòy thõa bËc bèn cña c¸c nghiÖm ph¬ng tr×nh (1). Bµi 37. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b: (a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0. Bµi 38. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0.  4 x  3 y 7  2 2 x  5 y 2 m Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm:  Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + ax + 8 = 0 (1) vµ x2 + x + a = 0 (2). Bài 41. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0. Bài 42. Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, và trái dÊu nhau Bài 43. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + 1 = 0. Bµi 44. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a, b vµ c: x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0; (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0. 2b c  4 Bµi 45. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm nÕu a a . Bµi 46. Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nÕu bm = 2(c + n): x2 + bx + c = 0 vµ x2 + mx + n = 0. Bµi 47. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè thùc α mµ af(α) ≤ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bài 48. Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để chứng minh ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm. 3x  y 1  2 x  y 2 a Bµi 50. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:  Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + 2x + m = 0 (1) vµ x2 + mx + 2 = 0 (2). Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + (m - 2)x + 3 = 0 vµ 2x2 + mx + m + 2 = 0. Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 vµ 6x2 + (7m-15)x -19 = 0. Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 2x2 + (3m - 1)x - 3 = 0 vµ 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0. Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phơng trình 2x2 - 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phơng trình x2 - 4x + m = 0 (2). Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phơng trình x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó. Bµi 57. Cho c¸c ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2). 1. BiÕt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm d¬ng m, 2. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm n sao cho m + n ≥ 2.. 2.

(24) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 58. Cho c¸c ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2). T×m liªn hÖ gi÷a c¸c sè a, b, c biÕt r»ng c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh (1), c¸c nghiÖm x3, x4 cña ph¬ng 2 2 2 2 trình (2) thỏa mãn đẳng thức: x1  x2  x3  x4 4 . Bµi 59. Ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0 cã nghiÖm x1, x2. Ph¬ng tr×nh x2 - b2x + bc = 0 cã nghiÖm x3, x4. Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Xác định b và c. Bµi 60. T×m c¸c sè a, b sao cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 + ax + 6 = 0 vµ x2 + bx + 12 = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung vµ ab nhá nhÊt. Bài 61. Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm. x 2  2m x  2  4 x  m 2  3 0 Bài 62. Tìm m để phơng trình cã nghiÖm. Bài 63. Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. Bài 64. Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1. Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m? Bài 66. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + 3 = 0. Bài 67. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0. 4 2 Bài 68. Tìm giá trị của m để phơng trình: mx - 10mx + m + 8 = 0 1. Cã bèn nghiÖm ph©n biÖt. 2. Cã bèn nghiÖm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) tháa m·n ®iÒu kiÖn:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1. Bµi 76. Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0. 1. Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè víi mäi m. 2 2 2. T×m m sao cho nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn: x1  x2 10 . Bµi 78. Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0. a. Định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b. Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. Bµi 79. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0. a. Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi. b. Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6. Bµi 80. Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0 (1) x2 + ax + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình: a. Tơng đơng với nhau. b. Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. Bµi 81 a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2 b. Cho phơng trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biÖt kh¸c -1. Bµi 84. Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m. 2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. Bµi 85. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x + m + 1 = 0. 1. Định m để phơng trình có nghiệm. x 2  x22 10 2. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n: 1 . Bµi 85. Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx + m + 2 = 0. 1. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm. E  x1  x2 2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: theo m. 2 Bài 87. Cho phơng trình: 3x - mx + 2 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2. Bµi 88. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x - m = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m. 1 1 y1 x1  y2  x2  x2 , x1 . 2. Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tháa m·n: 5 9. Bài 89. Cho phơng trình: 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 2 Bài 90. Cho phơng trình: x - 2(m + 4)x + m - 8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12  x22 . 2.

(25) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 B  x12  x22  x1 x2 A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. đạt giá trị nhỏ nhất. T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 91. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 víi mäi m. 2 2 2. Xác định m để: x1  x2 4( x1  x2 ) . 2. 2.  x1   x2        7. x x 2 Bài 92. Cho pt: x + ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  2   1  2 2 Bµi 93. Cho ph¬ng tr×nh: 2x + 2(m + 2)x + m + 4m + 3 = 0. 1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2. 2.  2 x1  x2  3x1 x2  1   2   2. Chứng minh rằng các nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức: . Bài 94. Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2. Bài 95. Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ: kb2 = (k + 1)2 ac. Bµi 96. Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) a. Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung. b. Định m để hai phơng trình tơng đơng. c. Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bµi 100. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ, a ≠ 0. Cho biÕt ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm 1  2 . H·y t×m nghiÖm cßn l¹i. Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ. Bài 102. Cho phơng trình: 3x2 + 4(a - 1)x + a2 - 4a + 1 = 0 xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1  x2 1 1   2 x1 x2 . tháa m·n hÖ thøc: Bµi 105. Cho hai ph¬ng tr×nh: 2x2 + mx - 1 = 0 (1) mx2 - x + 2 = 0 (2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm chung. Bµi 106. Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 - cx + 2c -1 = 0. TÝnh theo c gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 1 S 3 3 x1 x2 Bài 107. Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung. Bµi 108. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 6x + m = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x1 x2  2 x tháa m·n: x2 x1 . 2. Bµi 109. Cho biÕt x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 1 1 , 2 2 ). H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: x1 x2 .. ax2 + bx + c = 0 ( a 0; a, b, c  R. x3 , x 3 Bµi 110. BiÕt r»ng x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0. H·y viÕt ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn 1 2 lµm hai nghiÖm. Bµi 111. Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m. 2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bµi 112. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6. 1. Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm. x 3  x23 50 2. Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 .. 2.

(26) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 114. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 6x + m = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 3 3 tháa m·n x1  x2 72 . Bµi 116. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m. 2 2 2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi 117. Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + a1x + b1 = 0 vµ x2 + a2x + b2 = 0 Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2). Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm. Bµi 119. Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0. 1 1  1 x x2 1 1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: . 2. Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m. Bµi 120. Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m = 0. x 2  x22  x1  x2 1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 . 2. LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m x 1 x 1 X1  1 , X 2  2 x1  1 x2  1 . 3. LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: 2 Bµi 121. Cho ph¬ng tr×nh: x + (m + 1)x + m = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m. 2 2 2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi 122. Cho ph¬ng tr×nh: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a = 13. 2. Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bµi 123. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m. 2. Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó. 3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1. 4. Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, h·y lËp mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng cã m. Bµi 124. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0. 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m. 2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau. Bài 125. Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 3 3 x1 - x2 = 5 và x1  x2 35 . Tính các nghiệm đó. Bài 126. Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t1 > 0 thỏa mãn: x1 + t1 ≥ 2. Bµi 130. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 9. 2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó. Bài 131. Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b. Bµi 132. Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1). 1. Khi m = 1, t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x) = 0. 2. Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng. 3. Ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2. LËp mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 138. Giả sử phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Xác định m để biểu thức: E  x12  x22  10 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E. Bµi 140. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0 a. Chứng minh rằng với mọi m, phơng trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. b. Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại. Bµi 141. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m -1 = 0. Cã 2 nghiÖm x1, x2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m, biÓu thøc: 2 x1 x2  3 R 2 x1  x22  2(1  x1 x2 ) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bµi 142. Cho a lµ sè thùc kh¸c -1. H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n c¸c hÖ thøc:. 2.

(27) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10.  x1  1  x2  1 . a. 4x1x2 + 4 = 5(x1 + x2) (1) b. Bµi 145. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0 a. Víi gi¸ trÞ nµo cña a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh c¸c nghiÖm kÐp. b. Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1. Bµi 146. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - ax + a + 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 vµ x2. 3 x 2  3 x22  3 M  12 x1 x2  x1 x22 . a. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:. 1 a 1. (2). 2 2 b. Tìm giá trị của a để: P  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi 147. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1= 0. a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m. b. Chøng minh r»ng cã mét hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 148. Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + (ab + 1)x + b = 0. a. Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm. b. Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu? Bµi 149. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0. a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m. b. T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. x1 x2 5   2. c. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x2 x1 2 Bµi 150. Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x - 2(m + 1)x + m = 0. a. Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m. b. Khi ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2:  Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m. x  x 2  T×m m sao cho: 1 2 . Bµi 151. Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = 0. a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm. c. Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức: E ( x1  1) x2 đạt giá trị lớn nhất. Bµi 152. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0. a. Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. 2 b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 . Bµi 153. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - 3x + a = 0 Gäi t1, t2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - 12t + b = 0 x1 x2 t1   x t1 t 2 . TÝnh a vµ b. 2 Cho biÕt:. ======== Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét. D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai.. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 2 3) 3x + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 2 5) x – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 2 7) x + 2 √ 2 x + 4 = 3(x + √ 2 ) ; 8) 2 √ 3 x2 + x + 1 = √ 3 (x + 1) ; 9) x2 – 2( √ 3 - 1)x - 2 √ 3 = 0. Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x2 – (1 + √ 3 )x + √ 3 = 0 ; 4) (1 - √ 2 )x2 – 2(1 + √ 2 )x + 1 + 3 2 2 5) 3x – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x + 24x + 19 = 0 ; 7) ( √ 3 + 1)x2 + 2 √ 3 x + √ 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ;. 9) x2 – 12x + 27 = 0 ;. 10) x2 – 10x + 21 = 0.. D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm. Bµi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm.. 2. √2 = 0 ;.

(28) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 2 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 2 2 2 5) x – (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0 ; 6) x – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bµi 2: a) Chøng minh r»ng víi a, b , c lµ c¸c sè thùc th× ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÕt: 1 1 1 + + =0 (Èn x) x −a x − b x − c c) Chứng minh rằng phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam gi¸c. d) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh bËc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 3: a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bèn ph¬ng tr×nh (Èn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 - 4ax + b2 = 0 (3) x2 + 4bx + a2 = 0 (4) Chøng minh r»ng trong c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. c) Cho 3 ph¬ng tr×nh (Èn x sau): 2b b+ c 1 ax 2 − √ x+ =0 (1) b+ c c +a 1 2 2c √ c +a bx − x+ =0 ( 2) c +a a+b 2a √ a+b 1 cx 2 − x+ =0 (3) a+b b+c víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng cho tríc. Chøng minh r»ng trong c¸c ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 4: a) Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0. Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm. b) Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc tho¶ m·n: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc. Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 3x – 7 = 0.TÝnh: A=x 1 + x2 ; B=|x 1 − x 2|; 1 1 C= + ; D=( 3x1 + x 2 ) ( 3x2 + x 1 ) ; x 1 −1 x 2 − 1 E=x 1 + x 2 ; F=x 1 + x 2 1 1 vµ LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ . x 1 −1 x 2 −1 Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5x2 – 3x – 1 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 2. 2. 3. 3. 4. 2. 4.

(29) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. A=2x 1 −3x 1 x 2 +2x 2 −3x 1 x 2 ; 2 x x x x 1 1 B= 1 + 1 + 2 + 2 − − ; x2 x 2 +1 x 1 x 1+1 x 1 x 2 3x +5x1 x 2+3x 2 C= 1 . 4x 1 x 2 + 4x 1 x 2 3. 2. 3. 2. (. 2. ). 2. 2. 2. Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thµnh lËp ph¬ng p q tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ . vµ q −1 p −1 1 1 vµ b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ . 10 − √ 72 10+6 √ 2 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m. 1 1 vµ y 2=x 2+ b) Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y 1=x 1+ . x2 x1 Bµi 5: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 5x – 6 = 0. H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: x x A=( 3x 1 − 2x 2) ( 3x 2 − 2x1 ) ; B= 1 + 2 ; x 2 −1 x 1 −1 x +2 x +2 C=|x  1 − x 2|; D= 1 + 2 x1 x2 Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 3x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ x1 x2 a ¿ y 1=x 1+ 2¿ y 2=x 2 +2 ¿ b¿ ¿ ¿ y 1= ¿ y2 = ¿ ¿ { ¿ x2 x1 2 Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x + x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: ¿ x1 x 2 y 1 y 2 a ¿ y 1 + y 2= + ¿ + =3x1 +3x 2 ¿ ; b ¿ ¿ ¿ y 1+ y 2=x1 + x 2 ¿ y 1 + y 2 +5x1 +5x 2=0 . ¿ ¿{ ¿ x2 x 1 y 2 y 1 Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: 1 1 1 1 y 1+ y 2= + vµ + =x 1+ x2 x1 x2 y1 y2 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (Èn x). Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho ph¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phơng trình có nghiệm. a) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. - Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm. - Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Cho ph¬ng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bµi 2: 2 2 ( 2m− 1 ) x a) Cho ph¬ng tr×nh: 4x4 − + m2 − m−6=0 . 2 2 x + 2x +1 x +1 Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm. b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phơng trình có ít nhÊt mét nghiÖm. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.

(30) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc. Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 3) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu) 4) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d¬ng (cïng ©m). 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 2 d) x – (2m + 1)x + m + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; x1 = x22 2 3 2 e) x + (2m – 8)x + 8m = 0 ; x1 = x2 f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; x12 + x2 = 6. Bµi 4: a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức 2x 1 x 2 +3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. R= x 1 + x 2 +2(1+ x 1 x 2) c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2. mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). CMR điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2. Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè. Bµi 1: a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6. b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 tho¶ m·n: - 1 < x1 < x2 < 1. Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m. b. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh c¸c nghiÖm kÐp. b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè. Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – 3 = 0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. b) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1. Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m. 2. 2. 3.

(31) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m. x1 x2 5 . c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: + =− x2 x1 2 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m. b) Khi ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2: - Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. - T×m m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai. KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình kia: XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1) a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m. Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1), ta có thể làm nh sau: i) Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× kx0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), suy ra hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ ax 0 + bx 0 +c=0 a'k 2 x 0 + b'kx0 +c'=0 (∗) ¿{ ¿ Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m. ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại. 2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau. XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm lµ rçng). Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng hợp sau: i) Trêng hîp c¶ hai ph¬ng trinhg cuïng v« nghiÖm, tøc lµ: ¿ Δ(3) <0 Δ(4 )< 0 ¿{ ¿ Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số. ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿ Δ(3) ≥0 Δ(4) ≥ 0 S(3) =S(4 ) P(3) =P(4 ) ¿{{{ ¿ Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau: 2. 2. 3.

(32) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ¿ bx+ay =−c b'x+a'y=− c' ¿{ ¿. §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bµi to¸n, ta lµm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. - T×m m tho¶ m·n y = x2. - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶. Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. 2 b) 2x + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bµi 3: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất. Bµi 4: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1). Bµi 5: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0 vµ x2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng. Bµi 6: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 2 = 0 (1) vµ x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung. b) Định m để hai phơng trình tơng đơng. c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bµi 7: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = 0 (1) vµ x2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phơng trình (1).. Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai. D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿. x x+ 3 2x − 1 x +3 t2 2t 2+5t + =6 ¿ b ¿ +3= ¿c ¿ +t= ¿ x −2 x −1 x 2x −1 t−1 t+1 D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc. ¿ Lo¹i √ A=√ B ⇔ A ≥0 (hayB ≥0) A=B ¿ Lo¹i √ A=B ⇔ B≥0 A=B2 ¿ ¿{ ¿ Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a. 2. 2. a √ 2x −3x − 11= √ x − 1. ¿ b ¿ √ ( x+2 ) = √3x − 5x+14 ¿ c ¿ √ 2x +3x −5=x +1 2. Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.. 2. 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2. a|x − 1|+ x =x +3. ¿ b ¿ |x +2|−2x +1=x +2x+3 ¿ c ¿ 2. D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ;. b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0.. D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc cao. Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:. 3. |x 4 +2x 2 +2|+ x 2+ x =x 4 − 4x.

(33) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; Bµi 2:. b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ; d) x = (2x2 – 4x + 1)2. 4. a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 2. c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0. (. 2. c x ¿ − x+ 2 √ x − x +3=0. 2. d¿ 4 x +. 1 1 x 2+ x −5 3x −16 x + +23=0 ¿ e ¿ + 2 + 4=0 x x x2 x +x− 5. ) ( ). Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0 c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0 Bµi tËp vÒ nhµ: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ¿ 1.. ¿ + 3 =1 a1 2 ( x − 1 ) x 2 −1 4. 4x x+ 3 b¿ + =6 ¿ x +1 x. c¿. 2x+2 x −2 − x= 4 x−4. 2. a) x4 – 34x2 + 225 = 0 c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0. b) x4 – 7x2 – 144 = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 (a ≠ 0). 3. a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0 e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0 4. a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0. b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0. a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0. b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0. 5.. 6. a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 c) x2 – 4x – 10 - 3 e) 7.. √ ( x+2 ) ( x − 6 ). =0. d). (. b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 2 2x − 1 2x −1 −4 +3=0 x +2 x +2. ) (. ). √ x+ √5 − x + √ x ( 5 − x )=5. a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 1 1 2 c) 3 x + 2 −16 x+ +26=0 x x. (. b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5 1 1 2 d) 2 x + 2 −7 x − +2=0 x x. ) ( ). (. ) ( ). 8. a √ x2 − 4x=√ x +14 b ¿ √2x 2 + x − 9=| x −1|¿ c ¿ 9. Định a để các phơng trình sau có 4 nghiệm a) x4 – 4x2 + a = 0 b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0. √ 2x2 +6x+ 1=x +2 c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0.. ============================================= D. Hàm số và đồ thị KiÕn thøc c¬ b¶n Hµm sè a. Kh¸i niÖm hµm sè - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số. 3.

(34) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 -. Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc b. §å thÞ hµm sè - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R * Tæng qu¸t f ( x2 )  f ( x1 )  0, x1 , x2  D, x1  x2  x  x 2 1 + Hàm số f(x) đồng biến trên D f ( x2 )  f ( x1 )  0, x1 , x2  D, x1  x2  x2  x1 + Hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn D Hµm sè bËc nhÊt a. Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 b. TÝnh chÊt Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: - §ång biÕn trªn R khi a > 0 - NghÞch biÕn trªn R khi a < 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đó  a a ' d // d '   b b ' + +. d ' d '  A  a a '. a a ' d d '   b b ' + + d  d '  a.a '  1 e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)  Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng  Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b - Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b f. Một số phơng trình đờng thẳng - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x - x0) + y0 x y  1 - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ x0 y0 Hµm sè bËc hai a. §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b. TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0. 3.

(35) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 + Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị KiÕn thøc bæ xung Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó -. Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức. AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2. x A  xB y  yB ; yM  A 2 2 - Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức 2 Quan hệ giữa Parabol y = ax (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó  y ax 2  y mx  n - Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình  Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy ra bằng cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị §å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy §å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dới Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox Hµm sè ch½n, hµm sè lÎ d. Hµm sè ch½n, Hµm sè lÎ - Hàm số y = f(x) đợc gọi là chẵn nếu + x  D   x  D + f(-x) = f(x) x  D - Hàm số y = f(x) đợc gọi là lẻ nếu + x  D   x  D + f(-x) = - f(x) x  D e. Chó ý - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung - Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc tọa độ S¬ lîc vÒ hµm bËc hai tæng qu¸t y = ax2 + bx + c (a 0) a. TÝnh chÊt Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a 0) xác định với mọi giá trị x thuộc R b b x  ( ;  ] x  [ ; ) 2a , đồng biến 2a - NÕu a > 0: Hµm sè nghÞch biÕn b b x  (  ;  ] x  [ ; ) 2a , nghÞch biÕn 2a - Nếu a < 0: Hàm số đồng biến a. §å thÞ b  b S ( ; ) x  2a 4a có trục đối xứng 2a Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) là một Parabol có đỉnh - NÕu a > 0: Parabol cã bÒ lâm quay lªn trªn nhËn S lµm ®iÓm thÊp nhÊt xM . 3.

(36) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 - NÕu a < 0: Parabol cã bÒ lâm quay xuèng díi nhËn S lµm ®iÓm cao nhÊt nhÊt a. Chó ý  y ax 2  bx  c   y mx  n. Tọa độ giao điểm của (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm của hệ Hoành độ giao điểm của (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm của phơng trình: ax2 + bx + c = mx + n Giao ®iÓm cña (P): y = ax2 + bx + c (a 0) vµ trôc hoµnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 VÝ dô minh häc Bµi tËp chän läc Bµi 1. Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy b. Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB 1 y x 2 . Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ a. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên; 1 y x 2 vµ y = - 2x lÇn lît t¹i A vµ b. Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó. yx Bµi 3: Cho hµm sè . a. Vẽ đồ thị hàm số; yx b. Vẽ đờng thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số ë A vµ B. Tam gi¸c OAB lµ tam gi¸c g×? V× sao? TÝnh chu vi và diện tích của tam giác đó. Bµi 4: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m. c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bµi 5: Cho hµm sè: y = (3m – 2)x – 2m. a. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. c. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm đợc ở câu a, b. Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1. a. Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + 3. a. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d. b. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d. Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đờng thẳng: 1 7 2 1 y  x  y  x  3 3 (d2) k k (d3) đồng quy trong mặt phẳng tọa độ. y = 2x + 7 (d1) Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4. 1 m  2 thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau. a. Chøng minh r»ng khi b. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau. Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau: a. Khi a  3 , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  3 . b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3). c. §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(1; 3) vµ N(- 2; 6). -. 3.

(37) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. . . 1;7  7 d. Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y  7 x và đi qua điểm . Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d). a. Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10. b. Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8. c. Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tÝch tam gi¸c AOB b»ng 8. 1 y  x  2 2 Bµi 13: Cho hµm sè: y = 2x + 2 (d1) (d2). a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đờng thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. 1 y x 4 (d2); y = 4x (d3) Bµi 14: Cho c¸c hµm sè sau: y = - x - 5 (d1) ; a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) và (d3) lần lợt là A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B. c. Tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g×? V× sao? d. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB. Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + 3 (d1) và y = 3x + 7 (d2). a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lợt là A và B. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c. Gọi J là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2). Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông. Tính diện tích của tam giác đó. Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). Tìm các giá trị của k để: a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau. b. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. c. (d1) vµ (d2) song song víi nhau. d. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau. e. (d1) vµ (d2) trïng nhau. Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d). Tìm các giá trị của m, n để đờng thẳng (d): a. §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3). b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1  3 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3  3 . c. Cắt đờng thẳng 3y - x - 4 = 0. d. Song song với đờng thẳng 2x + 5y = - 1. e. Trùng với đờng thẳng y - 3x - 7 = 0. 1 1 F (0; ) y  4a và đờng thẳng (d): 4a (a ≠ 0). Gäi M(x; y) lµ mét Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng (d). a. Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ của điểm M. b. BiÕt MF = MH, h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y. Bµi 19: Cho hµm sè: y = (m2 - 6m + 12)x2. a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005). b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2. 1 2 x 1 2 . c. Khi m = 5, h·y t×m gi¸ trÞ cña y, biÕt x 1  2, x = 1- 2 vµ Bµi 20: Cho hµm sè: y = - (k2 – 2k + 3)x2. a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; 0). 2 3 x 2 3 . b. Khi k = 1, tÝnh gi¸ trÞ cña y, biÕt x 2  3 , x 2  3 vµ c. T×m c¸c gi¸ trÞ cña k khi x = 2, y = 10. Bµi 21: Cho hµm sè: y = (2m + 1)x2.. 3.

(38) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a. Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ 1. b. Với giá trị tìm đợc của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 và đồ thị y = 4x – 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. c. Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b. Bài 22. Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0). Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số thỏa mãn một trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a. Hµm sè nhËn gi¸ trÞ – 1 khi x = 0, x = 1 vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng 1 khi x = -1 b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1/2 vµ 1 c. §å thÞ hµm sè ®i qua c¸c ®iÓm A(-1, 0), B(1, 3) vµ C(3, 2). Bài 23. Cho đờng thẳng (d): y = (k - 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a. §i qua ®iÓm A(-1; 2) vµ B(3; 4) b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ 1  2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2  2 c. Cắt đờng thẳng -2y + x - 3 = 0 d. Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x - 2. a. Chøng minh A  (d) b. Tìm các giá trị của a để Parabol: y = ax2 đi qua A c. Tìm đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng (d) d. Gọi A và B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc trong câu c, và C là giao điểm của đờng thẳng (d) với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC. Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n. Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a. Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P) b. §i qua ®iÓm A(1,5; -1) vµ tiÕp xóc víi (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trờng hợp trên. 1 y  x 2 2 . Bµi 26. Cho hµm sè: 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phong trình đờng thẳng MN. 3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 ®iÓm. 1 y  x 2 2 . Bµi 27. Cho hµm sè 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Lập phong trình đờng thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). 2 Bµi 28. Cho hµm sè: y  f ( x) 2  x  2 x  1 . 1. Vẽ đồ thị hàm số trên. 2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho f(x) ≤ 1. Bµi 29. Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè). 1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B. 2. Tìm phong trình của đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P). 3. a). Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy. b). ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ 3 3 . Bài 30. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m. 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm. 3. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C n»m trªn (P) vµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n. Bài 31. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng: (D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + 4 = 0 1. Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán. 2. Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc. 3. Tìm phong trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Bài 32. Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục. 1. Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm đợc.. 3.

(39) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phong trình đờng thẳng AB. 3. Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB. 1 y  x2 4 và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là Bµi 33. Cho parabol (P): - 2 vµ 4. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. ViÕt phong tr×nh cña (D). x    2; 4 3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ) sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 y  x 2 4 Bµi 34. Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1. 1. VÏ (P). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 1 3 y  x2 I ( ;  1) 4 và đờng thẳng (D) qua điểm 2 Bµi 35.Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc cã parabol (P): cã hÖ sè gãc m. 1. VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cña (D). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. T×m m sao cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt. 1 1 y  x2 y  x  2 4 và đờng thẳng (D): 2 Bài 36. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): . 1. VÏ (P) vµ (D). 2. Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (D). Bài 37. Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1). 1. Viết phong trình đờng thẳng đi qua A(2; 1). 2. Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M. 2 x3  2 x2  8 x  8 y  f ( x)  x2  4 Bµi 38. Cho hµm sè: . 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Vẽ đồ thị (D) của hàm số. 3. Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số? Bµi 39. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3. 1. Chứng minh đờng thẳng y = 2x - 6 tiếp xúc với (P). 2. Giải bằng đồ thị bất phong trình: x2 - 4x + 3 > 2x - 4. 1 y  x2 2 (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m ≠ 0. Bµi 40. Cho parabol 1. VÏ (P). 2. Viết phong trình đờng thẳng (D) đi qua hai điểm M, I. 3. Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m ≠ 0. 4. Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh. Chøng minh r»ng tam gi¸c IHK lµ tam gi¸c vu«ng. 5. Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m ≠ 0. 1 y  x 2 4 Bài 41. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P): và điểm I(0; -2). Gọi (D) là đờng thẳng đi qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 1. Vẽ đồ thị (P). 2. Chøng tá r»ng víi mäi m, (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AB. 3. Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 42. Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P). 1. Vẽ đồ thị (P). 2. Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với (P).. 3.

(40) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 43. Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b. 1. T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; -1). 2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1). 3. Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và 2). 3  C  ;  1  vµ cã hÖ sè gãc m. 4. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm  2 a. Viết phong trình đờng thẳng của (d). b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau. Bài 44. Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 1. VÏ (P). 2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông. 3. Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P). 4. Cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số). a. Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 1 1  2 11 2 b. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 . VÏ (d) víi m t×m đợc. 2 2 Bµi 45. Cho hµm sè: y  x  2 x  1  x  6 x  9 . 1. Vẽ đồ thị của hàm số. 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y vµ c¸c gi¸ trÞ cña x t¬ng øng. 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× y ≥ 4. x2  4x y 4 Bµi 46. Cho hµm sè: có đồ thị (P). 1. VÏ (P). 2. Viết phong trình các đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P). 3. Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P). Bµi 47. Cho hµm sè: y = 2x2 (P). 1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số. 2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P). Bài 48. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x2 + 4x - 3 và đờng thẳng (D); 2y + 4x - 17 = 0. 1. VÏ (P) vµ (D). 2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 49. Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc m. 1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C. 2. Xác định đờng thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 y  x2 y mx  2 2. Bµi 50. Cho parabol (P): và đờng thẳng (d) có phong trình: 1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN. Bài 51. Cho hai đờng thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x và (d2): y = ax (a  0). 1. Định a để (d2) đi qua A(3; -1). 2. Tìm các giá trị m để cho (d1) vuông góc với (d2) ở câu 1). Bµi 52. Cho hµm sè: y = ax + b. 1. Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d1) của hàm số với a, b tìm đợc. 2. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m2 – m)x + m2 + m là một đờng thẳng song song với (d1). Vẽ (d2) vừa tìm đợc. 3. Gọi A là điểm trên đờng thẳng (d1) có hoành độ x = 2. Tìm phong trình đờng thẳng (d3) đi qua A vuông góc với cả hai đờng thẳng (d1) và (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). Bµi 53. Cho hµm sè: y = mx - 2m - 1 (1) (m  0). 1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm đợc. 2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy. Xác định m để tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng 2 (®.v.d.t). 3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Bµi 54. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0).. 4.

(41) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Tìm phong trình đờng thẳng AB rồi tìm giao điểm của đờng thẳng này với (P) (ở câu 1). 3. Gọi C là giao điểm có hoành độ dơng. Viết phong trình đờng thẳng qua C và có với (P) một điểm chung duy nhÊt. Bµi 55. 1. Cho parabol (P): y = ax2; cho biết A(1; -1)  (P). Xác định a và vẽ (P) với a tìm đợc. 2. Biện luận số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d): y = 2mx - m + 2. 1  I  ;2 3. Chứng tỏ rằng,  2  thuộc (d) với mọi m. Tìm phong trình các đờng thẳng đi qua I và có với (P) điểm chung duy nhÊt. Bµi 56. x2 1 y y x  2. 2 và đờng thẳng (d): 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số 2. Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P). 3. Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x - m bằng hai cách (đồ thị và phép toán). 1 y  x2 4 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Bµi 57. Cho parabol (P): 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P). 2. Viết phong trình đờng thẳng (d). 3. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) sao cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt. 4. T×m trªn trôc Ox ®iÓm N sao cho NA + NB nhá nhÊt. Bµi 58. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5). 1. Viết phong trình đờng thẳng AB. Xác định a để đờng thẳng AB tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc. 3. Một đờng thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và N. Xác định vị trí của 5 MN  2 . (D) để Bài 59. Cho hàm số: y = x2 - 2x + m - 1 có đồ thị (P). 1. Vẽ đồ thị (P) khi m = 1. 2. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với trục hoành. 3. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đờng thẳng (d) có phong trình: y = x + 1 tại hai điểm phân biệt. Bài 60. Cho đờng thẳng (D1): y = mx - 3. (D2): y = 2mx + 1 - m. 1. Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đờng thẳng (D1) và (D2) ứng với m = 1. Tìm tọa độ giao điểm B của chúng. Qua O viết phong trình đờng thẳng vuông góc với (D1) tại A. Xác định A và tính diện tích tam giác AOB. 2. Chứng tỏ rằng các đờng thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố định. Tìm tọa độ của điểm cố định. Bài 61. Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phong trình: 3 m 1  2m y x  2m  3 y  (m  2) x  2 3 . (d1): vµ (d2): 1. Chứng minh rằng (d1) và (d2) đi qua các điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định. 2. Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) thẳng góc với (d2). 3. Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) song song với (d2). 1 y  x2 2 . Bµi 62. Cho parabol (P): 1. Viết phong trình đờng thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1, đờng thẳng nµy gäi lµ (D). 2. BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (P) vµ (D). 3. Viết phong trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 4. Trong trêng hîp (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB. 5. Tìm trên (P) các điểm mà đờng thẳng (D) không đi qua với mọi m. Bài 63. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (D) là đờng thẳng đi qua A và có hệ số góc m. 1. Chøng minh r»ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. 2. Xác định m để MN ngắn nhất. Bài 64. Cho hàm số: y = x2 - 2mx + m2 - 1 có đồ thị là (P). 1. Chứng minh rằng; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.. 4.

(42) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đỉnh của parabol luôn luôn chạy trên một đờng thẳng song song với trục hoµnh.. Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – 5 ; Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = 2 ;. b) y = - 0,5x + 3 b) a = - 1.. Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng. Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5. c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300. e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x t¹i mét ®iÓm. g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài). Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số. a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – 5 = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0. d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.. Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol Bµi 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó. b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB. 1 Bµi 2: Cho hµm sè y=− x 2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). Bµi 3: 1 Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y=− x 2 và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1. 4 a) Vẽ độ thị (P). b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 1 Bµi 4: Cho hµm sè y=− x 2 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN. c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đ ờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một ®iÓm. Bµi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) và đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1). 2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1). 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2). 3 4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm C ; −1 và có hệ số góc m 2 a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d). b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi tËp 1. cho parabol y= 2x2. (p) a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1. b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2. c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2). d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).. (. ). 4.

(43) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ thị và đại số). f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để +(p) kh«ng c¾t (d). +(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. +(p) c¾t (d). Bµi tËp 2. cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3). a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho. b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P). c. viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P). d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2. Bµi tËp 3. Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là y= 2x-5 y=2x+m a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P). b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy: + Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau. + tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b. + lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d). Bµi tËp 4. −1 cho hµm sè y= x (P) 2 a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B. c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. Bµi tËp5. cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m. Bµi tËp 6. cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k. a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B. tìm k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. b. gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất. Bµi tËp7. cho hµm sè y= √ x a. tìm tập xác định của hàm số. b. t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- √ 2 )2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2 c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao. d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6 Bµi tËp 8. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- √ 2 )2. b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi tËp 9. cho hµm sè y= mx-m+1 (d). a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố định ấy. b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= √ 3 . Bµi tËp 10. trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b. a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.. 4.

(44) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy. Bµi tËp 11. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d). a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2 bµi tËp 12. cho hµm sè y=x2 (P). a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng thẳng AB. c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB. d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P). Bµi tËp 13.. a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2). b. cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B. c. cho (P) y=x2. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P). d. cho (P) y=x2 . lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P). e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại điểm có hoành độ bằng (-1). f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm có tung độ bằng 9.. C¸c d¹ng bµi «n tËp vµo líp 10 PhÇn 1: C¸c lo¹i bµi tËp vÒ biÓu thøc 1 5 Bµi 1: Cho biÓu thøc : P= √ a+2 − +¿ 2 − √a √ a+3 a+ √ a −6 a. Rót gän P b. Tìm giá trị của a để P<1. (1 − √√x +1x ) :( √√xx−+32 + 3−√ x +2√ x + x −5√ x+2 √ x+ 6 ). Bµi 2: Cho biÓu thøc: P= a) Rót gän P Bµi 3: Cho biÓu thøc: P=. b)Tìm giá trị của x để P<0. ( 3√√xx−1− 1 − 3 √ 1x+1 + 98x√−1x ) :( 1− 33√√xx−2+1 ). a. Rót gän P. b. Tìm các giá trị của x để P=. 6 5. √a : 1 − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ). Bµi 4: Cho biÓu thøc : P=. b. Tìm giá trị của a để P<1 c. T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− 8 √ 3 2 1− a ¿ ¿ Bµi 5: Cho biÓu thøc; P= √a ¿ ¿ 1 a. Rót gän P b. XÐt dÊu cña biÓu thøc M=a.(P) 2 √ x +1 + √ 2 x + √ x −1 : 1+ √ x+ 1 − √2 x+ √ x Bµi 6: Cho biÓu thøc: P= √ 2 x +1 √2 x − 1 √ 2 x+1 √ 2 x −1 1 a. Rót gän P b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x ¿ . ( 3+ 2 √ 2 ) 2 2 √x 1 x Bµi 7: Cho biÓu thøc: P= − : 1+ √ x +1 x √ x+ √ x − x − 1 √ x −1 a. Rót gän P b. Tìm x để P 0 a. Rót gän P. (. )(. )(. (. Bµi 8: Cho biÓu thøc:. ). P=. (. ). 2 a+1 √ a . 1+ √ a3 − √ a − √ a3 a+ √a+ 1 1+ √ a. )(. 4. ).

(45) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 √ 1− a. a. Rót gän P. Bµi 9: Cho biÓu thøc:. b. XÐt dÊu cña biÓu thøc P.. 1   2x  x  1 2x x  x  x   1 P      : 1 x x   1 x x  1 x . b. Tính giá trị của P với x 7  4 3 c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a Bµi 10: Cho biÓu thøc : P= 1− a √ a + √ a . 1+a √ a − √ a 1− √ a 1+ √ a a. Rót gän P b. Tìm a để P< 7 − 4 √ 3 Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= 2 √ x + √ x − 3 x +3 : 2 √ x −2 − 1 √ x +3 √ x −3 x − 9 √ x −3 1 a. Rót gän P b. Tìm x để P< c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 2 9− x x−3 √x−2 Bµi 12: Cho biÓu thøc : P= x −3 √ x −1 : −√ − x−9 x+ √ x − 6 2− √ x √ x +3 a. Rót gän P b. Tìm giá trị của x để P<1 Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 1 2 a. Rót gän P b. Tìm các giá trị của x để P= c. Chøng minh P 2 3 2 m Bµi 14: Cho biÓu thøc: P= 2 √ x + √ x − víi m>0 √ x +m √ x − m 4 x − 4 m2 a, Rót gän P b. Tính x theo m để P=0. c. Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1 2 Bµi 15: Cho biÓu thøc :P= a + √ a − 2 a+ √ a +1 a− √ a+1 √a a. Rót gän P b. BiÕt a>1 H·y so s¸nh P víi |P| c. Tìm a để P=2 d. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1 Bµi 16: Cho biÓu thøc P= √ ab+1 √ ab− 1 √ ab+ 1 √ab − 1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a= 2− √ 3 vµ b= √ 3 −1 1+ √ 3 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu √ a+ √ b=4 a. Rót gän P. (. )(. (. ). )(. (. ). )(. (. ). )(. ). P= a √ a− 1 − a √ a+1 + √ a − 1 √ a+1 + √ a −1 a − √a a+ √ a √ a √ a− 1 √a+ 1 a. Rót gän P. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P=7 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P>6 2 a 1 √ a −1 − √ a+1 Bµi 18: Cho biÓu thøc: P= √ − 2 2 √ a √a+ 1 √ a −1 a. Rót gän P b. Tìm các giá trị của a để P<0 c. Tìm các giá trị của a để P=-2 2 Bµi 19: Cho biÓu thøc: P= ( √ a− √ b ) +4 √ ab . a √ b − b √ a √ a+ √ b √ ab a. Tìm điều kiện để P có nghĩa. b. Rót gän P c. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a= 2 √ 3 √3 x +2 x 1 x −1 Bµi 20: Cho biÓu thøc : P= + √ + :√ 2 x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x. )(. (. Bµi 17: Cho biÓu thøc :. (. )(. ). ). (. ). 4. vµ b=.

(46) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. b. Chøng minh r»ng P>0 ∀ x 1 x +2 Bµi 21: Cho biÓu thøc : P= 2 √ x + x − 1 : 1− √ x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a. Rót gän P b. TÝnh √ P khi x= 5+2 √ 3 3x Bµi 22: Cho biÓu thøc: P= 1 2 2 1 1: + − : 2+ √ x 4 − x 4 −2 √ x 4 − 2 √ x a. Rót gän P b. Tìm giá trị của x để P=20 a. Rót gän P. (. )(. (. Bµi 23: Cho biÓu thøc : P= a. Rót gän P Bµi 24: Cho biÓu thøc : P= a.Rót gän P Bµi 25: Cho biÓu thøc: P= a. Rót gän P Bµi 26: Cho biÓu thøc: P= a. Rót gän P Bµi 27: Cho biÓu thøc: P= a. Rót gän P Bµi 28: Cho biÓu thøc: P= a. Rót gän P Bµi 29: Cho biÓu thøc: P=. ). ). 2. x−y x3 − √ y 3 ( √ x − √ y ) + √ xy √ + : y− x √x −√ y √ x +√ y b. Chøng minh P 0 1 3 √ab 1 3 √ ab a− b + . − : √ a+ √ b a √ a+ b √ b √ a − √ b a √ a− b √ b a+ √ ab+b b. TÝnh P khi a=16 vµ b=4 2 a+ √ a −1 2 a √ a − √ a+a a − √ a 1+ − . 1−a 1 −a √ a 2 √ a −1 2 b. Cho P= √ 6 t×m gi¸ trÞ cña a c. Chøng minh r»ng P> 3 1+ √ 6 x −5 √ x 25 − x x +3 √ x −5 −1 : −√ + x −25 x+2 √ x −15 √ x +5 √ x −3 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P<1 ( a −1 ) . ( √ a− √ b ) 3 √a 3a 1 − + : a+ √ ab+b a √ a −b √b √ a − √ b 2 a+2 √ ab+2 b b. Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên 1 1 a+1 √ a+2 − : √ − √ a− 1 √ a √ a − 2 √ a −1 1 b. Tìm giá trị của a để P> 6 1 1 2 1 1 √ x 3 + y √ x + x √ y +√ y 3 + . + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x 3 y +√ xy3 b. Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất. (. ). (. ) [(. ). (. ). (. )(. ). (. ). )(. (. [(. ). ). ]. a. Rót gän P Bµi 30: Cho biÓu thøc : 2x 1− x √ x3 − P= . √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rót gän P b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2 PhÇn 2: C¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc 2: Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh : m √ 2 x − ( √ 2 −1 )2= √2 − x +m 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=√ 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 − √ 2 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) ( m− 4 ) x 2 − 2 mx +m− 2=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√ 2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt c) TÝnh x 21+ x 22 theo m. 4. ].

(47) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2 Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) x −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M= x 1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x 1 ) kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 34: Tìm m để phơng trình : a) x 2 − x +2 ( m− 1 )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) 4 x 2 +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m2+ 1 ) x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh : x 2 − ( a− 1 ) x −a 2+ a −2=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ nhất 1 1 1 Bµi 36: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: + = b c 2 2 CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm x 2+ bx +c=0 x +cx +b=0 Bµi 37:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2 2 x − ( 3 m+2 ) x+12=0(1) 4 x 2 − ( 9 m −2 ) x +36=0( 2) 2 2 Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh : 2 x −2 mx +m − 2=0 a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x 2+ 4 x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm 2 2 b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1+ x 2=10 Bµi 40: Cho ph¬ng tr×nh x 2 −2 ( m− 1 ) x +2 m− 5=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? 2 Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh x −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x 1 ; x 2 ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1 ; x 2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất Bµi 42: Cho ph¬ng tr×nh ( m− 1 ) x 2 − 2 mx+m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ∀ m≠ 1 b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 5 d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn hệ thức: + + =0 x2 x1 2 Bµi 43: A) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 − mx+m− 1=0 (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1 ; x 2 víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A=x 21 + x 22 − 6 x1 x 2  Chøng minh A=m2 −8 m+8  Tìm m để A=8  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia 2 B) Cho ph¬ng tr×nh x −2 mx +2 m −1=0. 4.

(48) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1 ; x 2 víi mäi m. b) §Æt A= 2(x 21+ x22 )− 5 x 1 x2  CMR A= 8 m2 −18 m+9  T×m m sao cho A=27 c)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia. Bµi 44: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a . x 2 + bx+ c=0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt a) CMR a . S n+2 + bSn+1 +cSn=0 5. x 1 ; x 2 .§Æt S n=x n1 + x n2. 5. (n nguyªn d¬ng). 1+ √ 5 1− √ 5 + 2 2 2 Bµi 45: Cho f(x) = x - 2 (m+2).x + 6m+1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 Bµi 46: Cho ph¬ng tr×nh : x 2 −2 ( m+1 ) x +m 2 − 4 m+5=0 a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau d) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh . TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 47: Cho ph¬ng tr×nh x 2 − 4 x √3+8=0 cã hai nghiÖm lµ x 1 ; x 2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ 2 2 6 x1 +10 x 1 x 2+ 6 x2 cña biÓu thøc : M = 3 3 5 x 1 x 2 +5 x1 x 2 Bµi 48: Cho ph¬ng tr×nh x x − 2 ( m+2 ) x+ m+1=0 1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m= 2 b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để : 2 x 1(1 −2 x 2)+ x 2 (1− 2 x 1 )=m Bµi 49: Cho ph¬ng tr×nh 2 (1) (n , m lµ tham sè) x + mx +n −3=0  Cho n=0 . CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m x1 − x 2=1  Tìm m và n để hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ : x 21 − x 22=7 Bµi 50: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 −2 ( k −2 ) x − 2 k − 5=0 ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k 2 2 b) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho x 1+ x 2=18 Bµi 51: Cho ph¬ng tr×nh ( 2 m−1 ) x 2 − 4 mx+ 4=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k× c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m Bµi 52:Cho ph¬ng tr×nh : x 2 − ( 2 m− 3 ) x+ m2 −3 m=0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1< x 1< x 2 <6 PhÇn 3: HÖ ph¬ng tr×nh: ( m+1 ) x − y=m+1 Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ; x+ ( m−1 ) y=2 Cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y nhá nhÊt b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A=. (. )(. ). {. {. 4.

(49) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị a). |x|+1= y. {2 y −5=x. b). x −| y|=2 x y + =1 4 4. {. {| yy +1=3|=xx −12−1 Bµi 55: Cho hÖ ph¬ng tr×nh :. 4 {2bxx+− by=− ay=− 5. a)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a=|b| b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2) * ( √ 2− 1; √ 2 ) *§Ó hÖ cã v« sè nghiÖm Bµi 56:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m: Bµi 57: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh :. − y=2 m {mx 4 x − my=6+ m {axx +ay=1 ·+ y=2. a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt b) V« nghiÖm Bµi 58 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x 2 + xy+ y 2 =19 x − xy + y=− 1 Bµi 59*: T×m m sao cho hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: |x − 1|+| y −2|=1 2 ( x − y ) +m ( x − y −1 ) − x + y=0 Bµi 60 :Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: 2 x 2 − xy+3 y 2=13 x 2 − 4 xy −2 y 2=−6 Bµi 61*: Cho a vµ b tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : 3 2 a +2 b − 4 b+3=0 .TÝnh 2 2 a +b 2 2 2 a + a b − 2b=0 Bµi 61:Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (a+ 1) x − y =3 a . x+ y=a a) Gi¶i hÖ ph¬ng r×nh khi a=- √ 2 b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0 HÖ ph¬ng tr×nh Baøi 1: : Gi¶i c¸c HPT sau: 1.1.  2 x  y 3 2 x  3 y  2   a. 3 x  y 7 b. 5 x  2 y 6 Gi¶i:  2 x  y 3  y 2 x  3  y 2 x  3  x 2      3 x  y 7 3 x  2 x  3 7 5 x 10  y 2.2  3 a. Dïng PP thÕ:. {. { { { {.  x 2  Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:  y 1. 4.  x 2   y 1. c).

(50) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10  2 x  y 3 5 x 10  x 2  x 2     3 x  y 7 3.2  y 7  y 1 Dïng PP céng: 3 x  y 7  x 2  Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:  y 1 - §Ó gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi. 2 x  3 y  2 10 x  15 y  10 11 y  22  y  2      5 x  2 y 6 10 x  4 y 12 5 x  2 y 6 5 x  2.(  2 6)  x 2  Vaäy HPT cã nghiÖm lµ  y  2 - §èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶I sau ®©y: 3  2  x  1  y  1    2  5  1  x  1 y 1.2. + C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: x  1, y 0 . 3  2 2  y 1  x  1  y  1  y 2      2   5  2  5  1  2  5 1  x  1  1 1  x  1 y  x  1 y.  y 1    2  x  1  4.  x 2   y  2. 1 3    x  1   x  2 2   y 1  y 1. 3   x  2   y 1 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ + Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. §K: x  1, y 0 . 1 1 b a y x  1 §Æt ; . HPT đã cho trở thành:  1  x  1  2    1  2a  3b  1 2a  5b 1 2a  5.1 1  a  2   1      y  2a  5b 1 2b 2 b 1 b 1. 3   x  2    y 1 (TM§K). 3   x  2   y 1 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i. Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá)  x  y 3 a)  3x  4 y 2. 7 x  3 y 5 b)  4 x  y 2. 1.1: 1.2. Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số). 5.  x  2 2 y  5 a)   x 2  y  2. . .  2 1 x y  2  b)   x  2  1 y 1 . . .

(51) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3x  y 3 a)  2.1. 2 x  y 7. 4 x  3 y 6 b)  2 x  y 4. Baøi 4: Giaûi heä phöông trình Baøi 5:. 3 x  2 y 10  c)  2 1  x  3 y 3 3.  x  3 y 1  2 ( m  1) x  6 y 2m.  x 2  3 y 1 a)  2 x  y 2  2 2.2. . trong mỗi trường hợp sau a) m = -1. 5 x 3  y 2 2 b)   x 6  y 2 2 b) m = 0. c) m = 1. 2 x  by 4  a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình bx  ay  5 coù nghieäm laø (1; -2) 2  1; 2 b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm  2 x  y  2  x  3 y  1 Baøi 6: Giaûi heä phöông trình sau: . . . n  2m  m  1  n  1  2   m  3n  1 a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình  m  1 n  1 Baøi 7: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 x  y 4  x  y 1  x  2 y 5 3x  y  5 0 0, 2 x  3 y 2  x 3  2 y       3x  y 1 ; 3 x  2 y 3 ; 3 x  y 1 ;  x  y  3 0 ;  x  15 y 10 ; 2 x  4 y 2007 ; y 2 x  3 y 6  2 x  y 5  x  5   3x  y 2 2  5 5 3 3 15 x  y 5 x y      2 x  y  6 2 4 2  3 y  9 x 6 ;  ; 3 ; 2 ¿ 2 x −ay =b Bµi 8: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax+ by=1 ¿{ ¿ a. Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2 b. Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( √ 2; √ 3 ¿ Bµi 9: Gi¶I c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ¿ 1 2 ¿ ¿ − =2 3 √ x − 4 √ y=−8 3 √ x −2 − 4 √ y − 2=3 x+y x − y a) 5 b) c) 2 √ x −2+ √ y − 2=1 (®k x;y 2 ) 4 2 √ x + √ y=2 − =3 ¿ { ¿ { x+y x − y ¿ ¿ ¿{ ¿ 6 x  6 y 5 xy   2 x  3 y 5  x  3 y 5  y 2 x  1  3 ( x  y )( x  2 y ) 0 4 3    1    x y 2 2  3 3  5 x  5 y  3  x  y  1 ;  x 2 y  5   ; ; ;  3 x  3 y 3  2 3 ( x  1)  2( y  2) 5 ( x  5)( y  2) ( x  2)( y  1)     2 x  3 y 6  2 ; 3( x  1)  ( y  2) 1 ; ( x  4)( y  7) ( x  3)( y  4) .. 5.

(52) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3) 4  ( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5) 1 ; 2 1 1 4  1  x  y 5  x  y  x  y 2      1  1 1  5  4 3  x y 5  ; x y x y ;. 3( x  y )  5( x  y ) 12   5( x  y )  2( x  y ) 11 ; 5 5 7 5  1   2 x  3 y  3 x  y 8  x  y  2  x  y  1 4,5     3 2  3  5  3   4  2 x  3 y 3 x  y 8 ;  x  y  2 x  y  1 Phần 4: Hàm số và đồ thị. ¿ (d) ¿ Bµi 62: Cho hµm sè : y= (m-2)x+n ¿ Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- √ 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ √ 2 . c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0 d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bµi 63: Cho hµm sè : y=2 x 2 (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y=mx− 1 theo m d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x 2 và đờng thẳng (d) y=2 x+ m 1.Xác định m để hai đờng đó : a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B 2.Trong trêng hîp tæng qu¸t , gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2 a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x 2 tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi Bµi 66: Cho (P) y=− x2 a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng √ 2 3 Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y= x − 3 4 a) VÏ (d) b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d) a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình |x − 1|=m Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d) y=(m− 1) x+ 2 (d') y=3 x − 1 a) Song song víi nhau b) C¾t nhau c) Vu«ng gãc víi nhau Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :. 5.

(53) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 (d 1) y=2 x − 5 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ ( d2 ) y =x+ 2 (d 3 ) y=a . x −12 Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định 1 Bài 72: Cho (P) y= x 2 và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và 2 tiÕp xóc víi (P). Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2| a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình |x − 1|+|x +2|=m Bài 74: Cho (P) y=x 2 và đờng thẳng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) 2 Bµi 75: Cho (P) y=− x vµ (d) y=x+m 4 a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bµi 76: Cho hµm sè y=x 2 (P) vµ hµm sè y=x+m (d) a) T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 √ 2 Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d 1 ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d 1 ) ? V× sao ? b) Tìm a để hàm số y=a. x 2 (P) đi qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d 1 ) d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d 1 ) với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC 1 Bài 78: Cho (P) y= x 2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; 4 ] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhÊt. (Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; 4 ] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; y B ) tính y A; ; yB ) 2 Bµi 79: Cho (P) y=− x vµ ®iÓm M (1;-2) 4 a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi c) Gọi x A ; x B lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x 2A x B + x A x 2B đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó d) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B. *TÝnh S theo m *Xác định m để S= 4 (8+ m2 √ m2 +m+2) Bµi 80: Cho hµm sè y=x 2 (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P). 5.

(54) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P). y=−. 1 2 x 4. và đờng thẳng (d). y=mx − 2m −1. a) VÏ (P) b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định 1 Bài 82: Cho (P) y=− x 2 và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m. 4 a) VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B ∀ m∈ R b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất 2 3 Bài 83: Cho (P) y=− x và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ; 1 ) cã hÖ sè gãc lµ m 2 4 a) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt 2 x Bài 84: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y=− + 2 2 4 a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bµi 85: Cho (P) y=x 2 a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 86: Cho (P) y=2 x 2 a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đờng th¼ng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB (d1 ) x + y=m Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn (P) (d 2)mx + y=1 y=− 2 x 2 PhÇn 5: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh 1. chuyển động Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc cña ca n« khi níc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ 4 km/h. Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít h¬n thêi gian ®i ngîc 1 giê 20 phót . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi. Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận 3 tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính 4 quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút. Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ng ời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 1 giê 30 phót.. 5.

(55) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 94:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 Km ®i ngîc chiÒu nhau . Sau 1h40’ th× gÆp nhau . TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc 9Km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 Km/h. Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiªu Km ? Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đờng AB Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phót. Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B về A . Thời gian đi xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40 phót . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi . Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB. Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đ ờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc . Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ng ời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó còng ch¹y trong 7 giê, xu«i dßng 81 Km vµ ngîc dßng 84 Km . TÝnh vËn tèc dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng ( thùc ) cña ca n«. Bµi103: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót . TÝnh vËn tèc cña tÇu khi níc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 4 Km/h. Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km. Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h. Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng . Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đ ợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h . Tính vận tốc lúc ®Çu cña «t«. Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu. 2. N¨ng xuÊt Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong c«ng viÖc Êy trong bao l©u? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn v ợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.. 5.

(56) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đ ợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe cã khèi lîng b»ng nhau. 2 Bµi 112: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n . NÕu lµm chung trong 4 giê th× hoµn thµnh ® îc 3 mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. Bµi 114: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ngêi thø hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong . 3. ThÓ tÝch Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt 1 giê 48 phót . NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 1 đợc 10 m3 . Sau khi bơm đợc thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 3 15 m3 . Do vậy so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa. Bµi upload.123doc.net: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 1 giê 30 phót sÏ ®Çy 1 bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc bÓ . 5 Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ?. Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.. Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) Bµi 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Bµi 2: 1 Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau khi đợc quãng đờng 3 AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bµi 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở về A. Thời gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc 1 giê 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B. BiÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h vµ vËn tèc riªng cña can« lóc xu«i vµ lóc ngîc b»ng nhau. Bµi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km råi ngîc vÒ 36 km. BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc khi ngîc dßng lµ 6 km/h. Hái vËn tèc can« lóc xu«i vµ lóc ngîc dßng.. D¹ng 2: To¸n lµm chung – lµn riªng (to¸n vßi níc) Bµi 1:. 5.

(57) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 7 giê 12 phót th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 5 giê vµ 3 ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc công việc. Hỏi một ngời làm công việc đó trong 4 mÊy giê th× xong? Bµi 2: 4 Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc hå. NÕu vßi A ch¶y trong 3 giê vµ vßi B ch¶y trong 1 5 1 giờ 30 phút thì đợc hå. Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y trong bao l©u míi ®Çy hå. 2 Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ 5 giê. TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ?. Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bµi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?. Bµi 2: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ngêi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1%. Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ngêi. TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay?. D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc.. Bµi 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn (thuộc đất trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trọt là 4256 m2. Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn 5 m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m 2. NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng 9 m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2. TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu. Bµi 3: Cho mét tam gi¸c vu«ng. NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm vµ 3 cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm 2. NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i 2 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2. TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng.. D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè. Bµi 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Bµi 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3. Bµi 3: 1 Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . NÕu tö sè thªm 7 vµ 4 5 mÉu sè t¨ng gÊp 3 th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng . Tìm phân số đó. 24 Bµi 4: NÕu thªm 4 vµo tö vµ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m 1. NÕu bít 1 vµo c¶ tö vµ mÉu, ph©n sè 3 t¨ng . Tìm phân số đó. 2 ÔN TẬP HÌNH 9 Vấn đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông. 1. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông. 2. Trong tam giác vuông ta có định lí Pytago dùng để tính cạnh hoặc chứng minh các đẳng thức có liên quan đến bình phương của cạnh. Tam giác ABC vuông tại A khi đó: BC2=AB2+AC2. 3. Trong tam giác vuông tại A thì trung tuyến AM = BC/2. B A M. c. 5. h. b.

(58) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 C’ A. C. B. b’ H. C. a Công thức tính diện tích tam giác ABC vuông tại A: S=1/2. AB.AC=1/2.a.h Từ công thức diện tích ta có ngay: a.h = b.c. Công thức hình chiếu lên cạnh huyền: b’.c’= h2. Công thức về cạnh góc vuông và hình chiếu: b2= a.b’. Và c2=a.c’. 1 1 1  2 2 2 h b c . 8. Công thức về nghịch đảo đường cao: 9. Các cách để c/m một tam giác là tam giác vuông: 9.1. Chỉ ra tam giác có một góc vuông. 9.2. Chỉ ra tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức là : BC2=AB2+AC2.thì tam giác vuông tại A. 9.3. Chỉ ra một trung tuyến AM = BC/2. Thì tam giác vuông tại A. Bài tập: 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm; BC=5cm. AH là đường cao. Tính BH; CH;AC và AH. 2. Cho tam giác ABC cân tại A có BC=16cm; AH=6cm. Một điểm D  BH: BD=3,5 cm. C/m ▲ DAC vuông. 3. Cho ▲ ABC vuông tại A có AC=10cm; AB=8cm. Tính: a. BC. b. Hình chiếu của AB và AC lên BC. c. Đường cao AH. 4. Cho ▲ ABC vuông tại A có BC=20cm; AC=18cm. Tính AB;BH; CH và AH. 2 AB  AC 3 5. Cho ▲ ABC vuông tại A, có BC=12cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết . 6. Cho ▲ ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH=10cm; CH=42 cm. Tính BC; AH; AB và AC. 7. Cho đường tròn tâmO bán kính R=10cm.Dây cung AB bất kỳ có trung điểm I. a. Tính AB nếu OI=7cm. b. Tính OI nếu AB=14cm. 8. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB=26,5 cm. Vẽ dây cung AC=22,5cm. H là hình chiếu của C trên AB, nối BC. Tính BC; BH; CH và OH. 9. Hình thang ABCD cân; đáy lớn AB= 30cm, đáy nhỏ CD=10cm và góc A là 600. a. Tính cạnh BC. b. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN. 10. Cho đa giác lồi ABCD có AB=AC=AD=10cm, góc B bằng 600 và góc A là 900. a. Tính đường chéo BD. b. Tính khoảng cách BH và Điều kiện từ B và D đến AC. c. Tính HK. d. Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE; CE và DC. 11. Cho đoạn thẳng AB=2a. Từ trung điểm O của AB vẽ Ox  AB tại O. Trên Ox lấy D: OD=a/2.từ B kẽ BC  AD kéo dài. a. Tính AD; AC và BC theo a. b. Kéo dài DO một đoạn OE=a. C/m bốn điểm A; C; B và E cùng nằm trên một đường tròn. c. Xác định tính chất CE với góc ACB. d. Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF. e. Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP. 12. Cho ▲ ABC nhọn, nội tiếp (O;R) có: góc AOB= 900 và góc AOC =1200. a. C/m O ở trong tam giác ABC. b. Tính các góc tam giác ABC. c. Tính đường cao AH và BC theo R. 4. 5. 6. 7.. 5.

(59) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vấn đề: tỉ số lượng giác của góc nhọn. 1. Muốn có tỉ số lượng giác của góc nhọn ta phải có một tam giác vuông. 2. Trong tam giác vuông có góc nhọn  khi đó: a. Sin  =đối/ huyến. b. Côsin = kề/ huyền. c. Tan = đối / kề = sin /cos. d. Cotan  = kề/ đối = cos/ sin = 1/tan. 3. Nếu hai góc  và  phụ nhau tức là  +  = 900 khi đó: Sin  = cos . Cos = sin . Tan  = cot . Cot  = tan . 4. Bảng các giá trị lượng giác thường dùng: 00; 300; 450; 600 và 900. 5. Từ định lí Pytago trong tam giác vuông ta có ngay: sin2 +cos2 =1. 6. Từ định nghĩa ta có: tan .cot  = 1. 7. Từ tỉ số lượng giác ta thấy trong tam giác vuông nếu cho một goc và một cạnh thì các yếu tố còn lại cũng tính được. 8. Có thể dùng tỉ số lượng giác để đo các chiều cao trong thực tế. 9. Khi biết góc tính giá trị lượng giác hoặc cho giá trị lượng giác tính góc ta dùng máy tính bỏ túi. Bài tập: 1. Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. Tính các tỉ số lượng giác của các góc: ABH và HAB. 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính tỉ số lượng giác của góc ACB. 3. So sánh các tỉ số lượng giác: a. Sin300 và sin 720. b. Cos 450 và cos 75010’ c. Tan650 và tan450. d. Cot100 và cot350. 4. Cho tam giác vuông tại A có đường cao AH chia BC thành BH=64cm và CH=81cm. Tính các cạnh và góc tam giác ABC. 5. Cho ▲ ABC vuông tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi: a. BC =5cm và AB=3cm. b. BC=13 cm và AC=12 cm. c. AC= 4cm và AB=3cm. 6. Cho biết sin  =0,8. Tính các tỉ số lượng giác còn lại của . 7. Cho sin  = ½. Tính các tỉ số lượng giác của góc 900-. 8. Cho biết tan  =3. Tính các tỉ số lượng giác còn lại. 9. Cho ▲ ABC vuông tại A có AB=10cm và AC=15cm. a. Tính góc B. b. Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI. c. Vẽ AH  BI tại H. Tính AH. 10. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Bán kính OC  AB, gọi M là một điểm nằm trên OC sao  cho: tan OAM =3/4. AM cắt nửa đường tròn (O) tại D. Tính AM; AD và BD. Vấn đề: định nghĩa và sự xác định đường tròn. 1. Tập hợp các điểm cách O cho trước một khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu: (O; R). 2. Để xác định được đường tròn ta có các cách sau: 2.1. Biết tâm O và bán kính R. 2.2. Biết 3 điểm không thẳng hàng nằm trên đường tròn. 3. Cho (O; R) và điểm M. Khi đó có các khả năng sau:. 5.

(60) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. 4. 5.. 3.1. Nếu MO > R thì M nằm ngoài đường tròn (O; R). 3.2. Nếu MO=R thì M nằm trên đường tròn (O;R). Kí hiệu: M  (O; R). 3.3. Nếu MO < R thì M nằm trong đường tròn (O; R). Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung qua tâm. Vậy đường kính là dây cung lớn nhất trong một đường tròn. Muốn c/m các điểm cùng nằm trên (O; R) ta chỉ ra khoảng cách từ mỗi điểm đến O đều là R. Các cách khác sau này xét sau. Đường tròn qua hai điểm A và B có tâm nằm trên trung trực của AB. đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền.. 6. 7. Bài tập: 1. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn CD ; góc C=D =600; CD=2AD. C/m 4 điểm A; B; C; D cùng thuộc một đường tròn. 2. Cho ▲ ABC vuông tại A có AB=6cm; AC= 8cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? 3. Cho hình thoi ABCD; gọi O là giao điểm hai đường chéo. M; N; R và S là hình chiếu của O trên AB; BC; CD và DA. C/m 4 điểm M; N; R và S cùng thuộc một đường tròn. 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm; BC=9cm. a. C/m: A; B; C và D cùng thuộc một đường tròn. b. Tính bán kính đường tròn đó. 5. Cho hai đường thẳng xy và x’y’ vuông góc nhau tại O. Một đoạn thẳng AB=6cm chuyển động sao cho A luôn nằm trên xy và B trên x’y’. Hỏi trung điểm M của AB chuyển động trên đường nào? 6. Cho ▲ ABC có các đường cao AH và CK. C/m: a. C/m: B; K; H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó. b. So sánh Kí hiệu và BC. Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn. 1. Đường tròn là hình có một tâm đối xứng là tâm đường tròn đó. 2. Đường tròn có vô số trục đối xứng là mỗi đường kính của nó. 3. Đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm và ngược lại. 4. Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. 5. Dây cung nào gần tâm hơn thì dài hơn và ngược lại. 6. Vận dụng các tính chất trên ta có thể tính độ dài các đoạn và c/m các tính chất cũng như so sánh các đoạn thẳng dựa vào đường tròn. Bài tập: 1. Cho (O) và một dây cung CD. Từ O kẽ tia vuông góc CD tại M cắt (O) tại H. Tính bán kính R của (O) biết: CD=16cm và MH=4cm. 2. Cho (O; 2cm), MN là một dây cung của đường tròn có độ dài bằng 2cm. Khi đó khoảng cách từ O đến MN là bao nhiêu? 3. Cho (O; 12cm) có đường kính CD. Vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho góc NID bằng 300. Tính MN. 4. Cho đường tròn (O) và cung BC có số đo là 600. Từ B kẽ dây BD vuông góc đường kính AC và từ D kẽ dây DF //AC. Tính số đo cung DC; AB; FD. 5. Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB bằng hai lần số đo cung AnB. a. Tính số đo hai cung trên. b. Tính các góc của ▲ AOB. c. Tính khoảng cách từ O đến AB. 6. Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB bằng ba lần số đo cung AnB. a. Tính số đo hai cung trên. b. Tính các góc của ▲ AOB.. 6.

(61) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 c. Tính khoảng cách từ O đến AB. 7. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên AB lấy hai điểm M và N đối xứng nhau qua O. Từ M và N lần lượt kẽ hai đường thẳng song song cắt (O) tại H và K. C/m tứ giác MNKH là hình thang vuông. Vấn đề: vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng. 2. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khi đó có các trường hợp sau: 2.1. Nếu d(O;d) = OH > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Ta nói đường thẳng và đường tròn ngoài nhau hoặc không cắt nhau. 2.2. Nếu d(O; d) = OH = R khi đó đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất chính là H. Khi đó ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng này gọi là tiếp tuyến của (O)). 2.3. Nếu d(O; d) = OH < R thì đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A và B. Đường thẳng này gọi là cát tuyến với (O; R). 3. Vậy muốn xác định vị trí của đường thẳng d và đường tròn ta cần tìm bán kính R và khoảng cách d(O; d) rồi so sánh và kết luận. Bài tập: 1. Cho các đường thẳng và đường tròn trong bảng sau: R D Quan hệ. 4 5 4 4 50 75 3 2 2 9 2. Cho ▲ ABC có góc B > C, AB=x; AC=y và chiều cao AH= h. Hỏi bán kính của đường tròn tâm A có giá trị bao nhiêu để (A; R) cắt BC theo các trường hợp: a. Hai giao điểm nằm giữa B và C. b. B và C nằm giữa hai giao điểm. 3. Cho ▲ cân OAB có OA=OB=5cm và AB=6cm. Hỏi bán kính R của đường tròn (O; R) có giá trị bao nhiêu để đường tròn tiếp xúc AB. Vấn đề: tiếp tuyến của đường tròn. 1. Cho (O; R) tiếp tuyến của (O; R) là một đường thẳng tiếp xúc với (O; R). 2. Vậy d là tiếp tuyến (O; R) <=> d  OA tại A. A gọi là tiếp điểm. .O D. A. 3. Nói cách khác : d là tiếp tuyến của (O; R) <=> d(O; d) =R. 4. Ta có tính chất: từ một điểm M nằm ngoài (O; R) ta kẽ được hai tiếp tuyến đến (O; R) tại hai tiếp điểm A và B khi đó MA=MB. 5. Từ một điểm A trên (O; R) ta kẽ được một tiếp tuyến duy nhất, đó là đường thẳng qua A và vuông góc bán kính OA. 6. Từ hai điểm A và B trên (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thì MA= MB. A O. B. M. 6.

(62) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 7. Ngoài ra ta còn có : MO là phân giác của góc AOB và OM là phân giác góc AOB. 8. Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ một điểm nằm ngoài (O). 8.1. Ta nối OM. 8.2. Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) tại hai điểm A và B. 8.3. Nối MA và MB được hai tiếp tuyến. Bài tập: 1. Cho đường tròn tâm O; dây cung CD. Qua O vẽ OH  CD tại H, cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tại M. C/m MD là tiếp tuyến của (O). 2. Cho (O) mà M ngoài (O). Vẽ hai tiếp tuyếm MA và MB; gọi H là giao điểm của OM với AB. C/m: OM  AB và HA=HB. 3. Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB vẽ Ax  AB và By  AB ở cùng phía nửa đường tròn. Gọi I là một điểm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại I gặp Ax tại C và By tại D. C/m: AC+BD = CD. 4. Cho đường tròn (O; 5cm). Từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho MA  MB tại M. a. Tính MA và MB. b. Qua trung điểm I của cung nhỏ AB vẽ một tiếp tuyến cắt OA; OB tại C và D. Tính CD. 5. Cho (O) từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB =600. Biết chu vi tam giác MAB là 18cm, tính độ dài dây cung AB. 6. Cho (O) từ M ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Kéo dài OB một đoạn BI=OB. C/m: góc BMI bằng 1/3 góc AMI. 7. Cho (O) có đường kính AB.vẽ dây xung AC bất kỳ và kéo dài AC một đoạn CD=AC. a. C/m: tam giác ABD cân. b. Xác định vị trí của C để biến đổi là tiếp tuyến của (O) tại B và tính góc DAB. Vấn đề: vị trí tương đối của hai đường tròn. 1. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) khi đó dựa vào khoảng cách OO’ và R; R’ ta có các khả năng sau: 2. Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ thì hai đường tròn này tiếp xúc trong. 3. Nếu OO’ = R +R’ thì hai đường tròn có một điểm chung và điểm này là giao điểm của OO’ và hai đường tròn. Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngoài. 4. Nếu OO’ < R+R’ thì hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm. Hai điểm này nhận OO’ làm trung trực. 5. Nếu OO’ > R+R’ thì hai đường tròn không cắt nhau và ngoài nhau. 6. OO’ < R-R’ thì hai đường tròn đựng nhau. (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa trong (O; R). 7. Hai đường tròn đồng tâm là hai đường tròn có cùng tâm. 8. Nếu có hai đường tròn thì tiếp tuyến chung của chúng và đường nối tâm OO’ đồng quy. - Nếu đồng quy bên trong đoạn OO’ thì gọi là tiếp tuyến chung trong. - Nếu đồng quy bên ngoài đoạn OO’ thì gọi là tiếp tuyến chung ngoài. - Điếm đồng quy này chia OO’ theo tỉ lệ bằng tỉ lệ hai bán kính. Bài tập: 1. Hãy điền vào bảng sau vị trí giữa (O; R) và (O’; R’) biết: R R’ OO’ Quan hệ 8cm 7cm 9cm 15cm 6cm 9cm 5cm 3cm 10cm 12cm 4cm 6cm 10cm 8cm 18cm 1dm 8cm 2dm 2. Cho hai đường tròn (A; R1); (B; R2) và (C; R3) đôi một tiếp xúc ngoìa nhau. Tính R1; R2 và R3 biết AB= 5cm; AC= 6cm và BC=7cm. 3. Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 5cm) cắt nhau tại A và B. Tính độ dài dây cung chung AB biết OO’ = 8cm.. 6.

(63) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 4. Cho (O; R) và đường tròn (O’; R’) cắt nhau tại A và B với R > R’. Vẽ các đường kính AOC và AO’D. C/m ba điểm B; C và D thẳng hàng. 5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; vẽ cát tuyến chung MAN sao cho MA=AN. Đường vuông góc với MN tại A cắt OO’ tại I. C/m I là trung điểm của OO’. 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao điểm một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC và tiếp tuyến chung trong. C/m BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ tại M. 7. Hai đường tròn (O; R) và (O’; R) bằng nhau và tiếp xúc ngoài tại M. Đường tròn (O) và (O’) cùng tiếp xúc trong với đường tròn lớn (O”; R”) lần lượt tại E và F. Tính bán kính R” biết chu vi tam giác OO’O” là 20cm. 8. Cho đường tròn (O; 9cm); vẽ 6 hình tròn bằng nhau bán kính R đều tiếp xúc trong với (O) và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh nó. Tính bán kính R. 9. Cho hai đường tròn đồng tâm; trong đường tròn lớn vẽ hai dây cung AB=CD và cùng tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại M và N sao cho AB  CD tại I. Tính bán kính đường tròn nhỏ biết IA=3cm và IB= 9cm. Vấn đề: đường tròn ngoại tiếp- nội tiếp và bàng tiếp tam giác… đa giác. 1. Cho tam giác ABC, đường tròn đi qua 3 đỉnh A; B và C của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm cách đều 3 đỉnh nên là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác. 3. Đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. 4. Tâm của đường tròn nội tiếp là điểm cách đều 3 cạnh nên nó là giao điểm của ba đường phân giác. 5. Đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh BC và phần kéo dài của hai cạnh kia (AB và AC) gọi là đường tròn bàng tiếp trong góc A. 6. Vậy đường tròn bàng tiếẩmtong góc A có tâm là giao điểm phân giác trong góc A và hai phân giác ngoài tại B và C. 7. Một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp. 8. Tam giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn này gọi là ngoại tiếp tam giác. 9. Tam giác ngoại tiếp đường tròn thì đường tròn ngoại tiếp tam giác. Bài tập: 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O; R). Tính: c. Cạnh của tam giác ABC. d. Chiều cao AH theo R. 2. Cho tam giác ABC. D là điểm trên cạnh BC. Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD. C/m B; H và O thẳng hàg. 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c; AC=b. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp . C/m : b+c = 2(R+r). 4. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O; r) có AB=c; AC=b và BC=a. C/m: diện tích tam giác ABC bằng (a+b+c) .r 2 Vấn đề: Góc ở tâm- số đo độ của cung—so sánh cung. 1. Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm của đường tròn. 2. Góc này cắt đường tròn tại A và B khi đó cung AB là cung bị chắn của góc ở tâm AOB. 3. Ta có tính chất: số đo cung bị chắn bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. 4. So sánh cung: cung nào lớn hơn thì có số đo cũng lớn hơn và ngược lại. 5. Cung nào có góc ở tâm lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại. Bài tập: 1. Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM=10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. 2. Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD; DE và EC.. 6.

(64) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) với R > r. Điểm M ngoài (O; R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O; r), một cắt (O; R) tại A và B (A nằm giữa M và B); một cắt (O; R) tại C và D (C nằm giữa D và M). C/m: hai cung AB và CD bằng nhau. Vấn đề: Liên hệ giữa cung và dây. 1. Cho (O) cung AB là đường cong chạy từ A đến B theo đường tròn. Còn dây (dây cung) là đoạn thẳng AB. 2. Ta chú ý với hai điểm A và B trên (O) luôn tạo ra hai cung lớn và cung nhỏ. Sau đây ta chỉ xét cung nhỏ. 3. Hai dây cung bằng nhau <=> hai cung bằng nhau. 4. Dây lớn hơn <=> cung lớn hơn. Bài tập: 1. Cho (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song nhau. Qua O vẽ đường vuông góc AC tại M và BD tại N. So sánh hai cung AC và BD. 1  AmB  AnB 3 2. Cho (O) và dây cung AB chia đường tròn thành hai cung thỏa: . a. Tính số đo mỗi cung theo độ. b. C/m: khoảng cách từ tâm O đến dây AB là AB/2.   3. Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB và CD thỏa: AB 2CD . C/m: AB < 2.CD. Vấn đề: góc nội tiếp . 1. Góc nội tiếp của (O) là góc có đỉnh nằm trên đường tròn (O) và hai cạnh cắt (O) tại hai điểm phân biệt. 2. Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm trên đương tròn. 3. Số đo góc nội tiếp chắn cung bằng ½ số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó. Chú ý là cùng một cung. 4. Góc nội tiếp có số đo bằng ½ số đo cung bị chắn. 5. Cùng một cung có thể có nhiều góc nội tiếp thì các góc này đều bằng nhau. 6. Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì là góc vuông 900. 7. Các cung bằng nhau thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng bằng nhau và ngược lại. 8. Cung nào lớn hơn thì góc nội tiếp chắn cung đó cũng lớn hơn. Bài tập:  sd AC 4   1. Cho (O) có hai bán kính OA và OB vuông góc. Lấy C trên (O): sd BC 5 . Tính các góc của tam giác ABC. 2. Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A là 500. Nửa đường tròn đường kính accắt AB tại D và BC tại H. Tính số đo các cung AD; DH và HC. 3. Cho (O) có đường kính AB vuông góc dây cung CD tại E. C/m: CD2= 4AE.BE Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung. 1. Góc tạo bới một tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AX gọi là góc tạo bỡi tiếp tuyến và dây cung. 2. Số đo của góc này bằng ½ số đo góc ở tâm chắn cung AX. 3. Số đo của góc này bằng ½ số đo cung AX. 4. Số đo góc này cũng bằng số đo một góc nội tiếp bất kỳ chắn cung đó. Bài tập: 1. Cho (O) và ba điểm A; B và C trên (O). Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến tại A ở M. So sánh các góc: AMC ; ABC   va ACB . 2. Cho hai đường tròn (O) >(O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Qua A kẽ hai cát tuyến BD và CE (B; C  (O’)   còn D; E  (O)). C/m: ABC  ADE . 3. Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì: IC=CM. a. Tính góc AOI. b. Tính độ dài OM.. 6.

(65) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Vấn đề: góc có đỉnh bên trong – bên ngoài đường tròn. 1. Cho (O) và M trong (O) khi đó có hai đường thẳng cùng qua M tạo thành góc. Góc này là góc bên trong đường tròn. Hai đường thẳng này cắt đường tròn tạo thành các cung. 2. Khi đó số đo góc ở trong đường tròn bằng tổng số đo hai cung này chia hai. A B M C. D.   sdCD  sd AB AMB CMD   2 . 3. Cho (O) và M ngoài (O) khi đó góc mà các cạnh của nó luôn tiếp xúc hoặc cắt (O) gọi là góc ngoài đường tròn (O) tại M. Khi đó góc này cũng cắt đường tròn tao thành hai cung; một cung lớn và một cung nhỏ. 4. Số đo góc ngoài bằng sđ cung lớn – cung nhỏ sau đó chia hai. C A C A A M M n m M B D B B.   AMB  sdCD  sd AB 2.   AMB  sdCB  sd AB 2.   AMB  sd AmB  sd AnB 2. Bài tập: 1. Cho 4 điểm A; B; C và D theo thứ tự trên (O) sao cho: số đo các cung như sau: AB= 400; CD=1200. Gọi I là giao điểm AC và biến đổi. M là giao điểm của DA và CB kéo dài. Tính các góc CID và AMB. 2. Cho (O); từ M ngoài (O) ta vẽ cát tuyến MAC và MBD sao cho góc CMD có số đo 400. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Biết góc AEB là 700; tính số đo các cung AB và CD. 3. Cho (O) và M ngoài (O); vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đi qua O (B nằm giữa M và C). Đường tròn đường kính MB gặp MA tại E.    C/m: sd AnC sd BmA  sd BkE với AnC; BmA và BkE là các cung trong góc AMC. Vấn đề: cung chứa góc.  1. Cho đoạn thẳng AB cố định khi đó quỹ tích các điểm M sao cho: AMB  cho trước là một cung. Cung này được gọi là cung chứa góc  độ nhận AB làm dây. 2. Cho một dây AB và  độ khi đó ta có hai cung chứa góc  độ nhận AB làm dây và hai cung này đối xứng qua AB. 3. Cách vẽ cung chứa góc  độ nhận AB làm dây như sau: 3.1. Có AB: tại A vẽ tia At tạo AB góc . 3.2. Tại A vẽ tia Ax  At cắt trung trực AB tại O. 3.3. Vẽ cung tròn (O; OA) ở phía chứa O. 3.4. Khi đó cung này chính là cung chứa góc  nhận AB làm dây. 3.5. Ta lấy O’ đối xứng O qua AB và vẽ cung tròn (O’; O’A) ta đượ cung thứ hai. Baì tập: 1. Vẽ cung chứa góc 450 trên đoạn AB= 4cm.. 6.

(66) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. Vẽ cung chứa góc 1200 trên đoạn CD= 10cm. 3. Cho (O) có đường kính AB, điểm C di động trên (O). Gọi M là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Điểm M di động trên đường nào? Vấn đề: tứ giác nội tiếp. 1. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn. 2. Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa 4 điểm A; B; C và D cùng nằm trên 1 đường tròn. 3. Tứ giác nội tiếp đường tròn thì đường tròn gọi là ngoại tiếp tứ giác đó. 4. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tứ giác đó. 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) khi đó OA= OB= OC = OD =R. 6. Chú ý: O có thể nằm ngoài tứ giác; cũng có thể nằm trong hoặc nằm trên một cạnh chứ không phải lúc nào cũng nằm trong.. 7. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800. 8. Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 hoặc B+D=1800 thì ABCD nội tiếp. 9. Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau: a. Chỉ ra A+C =1800. b. Chỉ ra B+D=1800. c. Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc một đường tròn nào đó cụ thể. d. Chỉ ra các góc nội tiếp tại A và B cùng nhìn CD 1 góc bằng nhau. Bài tập: 1. Cho ▲ ABC có AB>AC. Vẽ ba đường cao AH; BK và CF; I là trực tâm ▲ ABC. Nêu tên các tứ giác nội tiếp đường tròn khi nối HK; KF và FH. 2. cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy A và B: OA=2cm; OB=6cm. trên Oy lấy hai điểm C và D: OC=3cm; OD=4cm. nối BD và AC. c/m: ABCD nội tiếp. 3. Cho (O) và A  (O). Từ M trên tiếp tuyến tại A vẽ cát tuyên MBC. Gọi I là trung điểm BC. C/m: AMIO nội tiếp. Vấn đề: đa giác đều ngoại tiếp--nội tiếp đường tròn. 1. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và góc đều bằng nhau. 2. Đa giác nội tiếp (O) là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên (O). Khi đó đường tròn gọi là ngoại tiếp đa giác. 3. Đa giác ngoại tiếp (O) là đa giác có các cạnh cùng tiếp xúc (O). Khi đó (O) gọi là ngoại tiếp đa giác. 4. Mỗi đa giác đều bất kỳ có một đường tròn ngoại tiếp và 1 đường tròn nôị tiếp và hai đường này đồng tâm. Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc. 5. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA=.. 6. Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh. Khoảng cách này gọi là trung đoạn của đa giác. 7. Cho n giác đều cạnh a khi đó: 7.1. Chu vi của đa giác: 2p= na với p là nửa chu vi (tên thường dùng). (n  2).1800 n 7.2. Mỗi góc có số đo: A=B=…= .. 6.

(67) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. 7.3.. 7.4. 7.5. 7.6.. a 1800 2sin n .(dùng tỉ số lượng giác). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R= a 180 0 2 tan n . Bán kính đường tròn nội tiếp r= 2 2 2 Ta có: R -r = a /4. Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r.. Bài tập: 1. Cho (O; R). Nêu cách vẽ hình vuông ABCD nội tiếp (O). Tính trung đoạn hình vuông theo R. 2. Cho ▲ ABC đều cạnh 6cm. a. Vẽ đường tròn ngoại tiếp ▲ ABC. b. Vẽ đường tròn nội tiếp ▲ ABC. c. Tính hai bán kính R và r. 3. Cho (O; 6cm). Nêu cách vẽ lục giác đều nội tiếp . Tính trung đoạn của lục giác đều đó. (dùng hai đường tròn phụ). Vấn đề: độ dài đường tròn--diện tích hình tròn. 1. Đường tròn chỉ là đường biên ngoài còn hình tròn là cả phần trong và biên. 2. Cho (O; R) khi đó độ dài đường tròn chính là chu vi của đường tròn: C= 2R. R.n 0 l 1800 . Vì cả đường tròn 3600 dài 2 R nên 10 dài 3. Nếu cho cung n0 trên (O; R) thì độ dài cung là: 2R  R  360 180 sau đó ta nhân lên. 4. Diện tích của(O; R) là : S=  R2. n0 R 2 3600 .= 5. Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 khi đó hình quạt OAB có diện tích: Squạt OAB = lab.R/2. 6. Hình viên phân là ta lấy phần quạt rồi bỏ đi tam giác OAB là được viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB. 7. Hình xuyến là hình tạo ra khi có hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Bằng cách lấy đường tròn lớn và bỏ đi đường tròn nhỏ. Phần ở giữa là hình xuyến. Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ( R2-r2). 8.  =3.14… nhưng thường dùng là =3.14. Bài tập: 1. Cho = 3,14 hãy điền vào các bảng sau: R Đường kính d Độ dài C Diện tích 5 6 94,2 28,26 2. Cho (O; 10cm) tính độ dài các cung có số đo: 300; 600 và 1200 lấy =3,14. 3. Đường tròn (O; R) có độ dài cung AB là 1cm và số đo cung AB là 300. Tính bán kính R. 4. Cho (O; 10cm) tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung 600; 900 và 1200. 5. Cho nửa đường tròn (O; 10cm) có đường kính AB. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính OA và OB ở trong nửa dường tròn (O; 10cm). Tính diện tích của phần nằm giữa ba đường tròn. 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC, lấy A trên (O) sao cho AB < AC. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC ở phía ngoài tam giác ABC.. 6.

(68) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 C/m: SABC bằng tổng hai diện tích của hai hình trăng khuyết ở phía ngoài (O). Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng. 1. Ta có thể chỉ ra ba điểm tạo thành góc bẹt (1800). 2. Vận dụng tính chất các đường đồng quy. 3. C/m hai tia AB và AC trùng nhau theo tiên đề Ơclit(cùng song song 1 đường). 4. Chỉ ra 3 điểm cùng nằm trên 1 đường nào đó. 5. Có thể chỉ ra AB+BC=AC. Bài tập: 1. Cho hình vuông ABCD, lấy BC làm cạnh vẽ tam giác đều BCF ngoài hình vuông, lấy AB làm cạnh vẽ tam giác đều ABE ở trong hình vuông. C/m: D; E và F thẳng hàng. 2. Cho ▲ ABC có AB < AC, trên tia đối của BA và CA lần lượt lấy hai điểm D và E: BD=CE. Gọi I là trung điểm BC, M là trung điểm DE. Vẽ hai hình bình hành BIFD và CIGE ngoài ▲ ABC. C/m: F; M và G thẳng hàng. 3. cho ▲ ABC vuông tại A. gọi H là hình chiếu của A xuống BC. vẽ tiếp tuyến BD và CE với đường tròn (A; AH). c/m: D; A và E thẳng hàng. 4. cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. qua A kẽ cát tuyến cắt (O) tại C và (O’) tại D. đường kính DO’I cắt đường kính COC’ tại M. c/m: A; I vàC’ thẳng hàng. 5. Cho nửa đươừng tròn (O) đường kính AC và nửa đường tròn (O’) đường kính AB với AB < AC và tiếp xúc trong nhau tại A. Vẽ đường vuông góc tại trung điểm I của BC gặp nửa (O) tại M; vẽ tiếp tuyến PD với (O’). C/m:A; D và M thẳng hàng. Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng bằng nhau. 1. Dùng hai tam giác bằng nhau. 2. Dùng tính chất của tam giác; hình thang cân; hình bình hành;….. 3. Sử dụng tính chất của đường chéo các hình. Tính chất đường trung bình. 4. Sử dụng tính chất bắc cầu. Bài tâp: 1. Cho hình vuông ABCD tâm O; qua O kẽ hai đường MON và EOF vuông góc nhau tại O với M; N  AB và CD còn E;F  AC và BC. C/m: MN=EF. 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M  AB và trên tia đối tia CA lấy N: CN=BM. Nối MN cắt BC tại I.c/m: MI=IN. 3. Cho ▲ ABC có AB<AC. Qua trung điểm M của BC vẽ đường vuông gócvới phân giác trong góc A cắt AB tại I và AC tại K. C/m: BI=CK. 4. Cho nửa (O) có đường kính AB=2R. Lấy hai điểm C và D trên cung AB: cung AC; CD và BD bằng nhau. Kéo dài dây AC một đoạn: EC=AC và kéo dài AD một đoạn DI=AD. Nối BI. C/m: BI=AE. 5. Cho ▲ ABC có AB > AC và góc A gấp đôi góc B. Một điểm M  AB và D trên tia đối AC: AM=AD. Nối DM kéo dài cắt BC tại N. C/m: MN=BN. Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vuông góc. 1. Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có 1 góc vuông 900. 2. Cho điểm O và d khi đó có duy nhất một đường thẳng qua O và  d. 3. Cho a//b khi đó nếu c  a thì c  b. 4. Ngoài ra ta còn dùng các tính chất khác như xem hai đường thẳng là hai cạnh của tam giác vuông. Xét các tính chấtấtm giác cân; tam giác vuông; hình thoi, hình chữ nhật;….. Để c/m hai đường thẳng vuông góc. Bài tập: 1. Cho ▲ ABC đều. Trên tia đối CB lấy điểm M sao cho CM=AB. C/m: AM  AB. 2. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy M và trên tia đối tia CD lấy N: CN=CM. C/m: DM  BN. 3. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Từ M ngài (O) vẽ các tiếp tuyến MA và MC. MC kéo dài gặp AB tại I. CO kéo dài gặp MA kéo dài tại N. C/m: MO  NI biết góc AMC bằng 600.. 6.

(69) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 4. Cho (O). Vẽ hai tiếp tuyên xy // x’y’ với hai tiếp điểm A và B; vẽ hai tiếp tuyến t //t’ với C và D là hai tiếp điểm. t cắt xy và x’y’ tại M; N. t’ cắt xy và x’y’ tại K và I. C/m: MI  NK. 5. Cho (O) đường kính AB. Kéo dài AB một đoạn BC và kéo dài dây cung AD một đoạn DM sao cho AB.AC=AD.AM. C/m: MC  AB. Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song. 1. Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung( không làm được gì). 2. Hai đường thẳng song song khi có đường thẳng cắt qua và tạo các cặp: 2.1 So le trong bằng nhau. 2.2 Đồng vị bằng nhau. 2.3 Các góc trong cùng phía đồng vị. 3. Hai đường thẳng cùng vuông góc đường thứ ba thì song song. 4. Hai cạnh đối của hình bình hành thì song song. 5. Tính chất dường trung bình tam giác và hình thang. 6. Các tính chất của các hình khác như hình hộp chữ nhật….. 7. Tính chất bắc cầu: chỉ ra a//b và b//c thì a//c. Bài tập: 1. Cho ▲ ABC có AB<AC. Ba trung tuyến AM; BD và CK. Từ K kẽ Kx//BD và từ D kẽ Dy//AB hai đường này gặp nhau tại I. C/m: AM//CI. 2. Cho (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Từ C kẽ Cx cắt AB tại M và (O) tại N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với (O) vẽ từ N tại I. Vẽ tiếp tuyến ID. C/m: Cx //OI. 3. Cho hình năm cạnh lồi ABCDE. Gọi M; N ;H và K lần lượt là trung điểm các cạnh AB; CD; BC và DE. Nối MN và HK. Gọi I; F lần lượt là trung điểm MN và HK. C/m: IF//AE. Vấn đề: c/m các đường thẳng đồng quy. 1. Các đường thẳng đồng quy là các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm. 2. Ta có thể chỉ ra một điểm O nào đó và c/m các đường thẳng cùng đi qua nó. 3. Ta gọi O là giao điểm hai đường thẳng và chỉ ra đường còn lại cũng qua nó. 4. Ta dùng tính chất các đường chéo hình bình hành; hình chữ nhật để chỉ ra các đường cùng đi qua trung điểm cạnh nào đó. 5. Vận dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác.. 6. Ta vận dụng định lí Talet đảo về các đoạn song song. Bài tập: 1. Cho ▲ ABC có AB <AC và H là trực tâm. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm các cạnh: AB; BC và AC. E; F và G lần lượt là trung điểm của AH; BH và CH. C/m: MG; PF và EN đồng quy. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E; F; G và H lần lượt là trung điểm các cạnh: BC; AB; AD và CD. I; J là trung điểm hai đường chéo BD và AC. C/m: FH; GE và IJ đồng quy. 3. Cho hình thang ABCD đáy lớn AB và đáy nhỏ CD. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm AB và CD. C/m: AD; BC và MM’ đồng quy. 4. Cho ▲ ABC có AB<AC. Vẽ phía ngoài tam giác ba hình vuông: ABHI; ACED và BCFG. Nối DI; EF và GH. Gọi AJ; BK và CL lấn lượt là ba đường cao của các ▲ AID; ▲ BHG và ▲ CEF.c/m: AJ; BK và CL đồng quy. ( Sử dụng các trung điểm ▲ ABCtính chất trung tưyến). Vấn đề: c/m hệ thức hình học. 1. Tức là ta phải đi c/m một đẳng thức đúng từ các dữ kiện đề bài cho. 2. Ta thường dùng các công thức của tam giác vuông nếu trong bài xuất hiện góc vuông. (xem phần trước). 3. Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số bằng nhau và từ tỉ số này ta suy ra đẳng thức cần c/m. 4. Chú ý là có thể sử dụng tính chất bắc cầu trong nhiều tam giác đồng dạng. 5. Vận dụng công thức diện tích và phân tích một hình thành nhiều tam giác và cộng diện tích lại. 6. Sử dụng tam giác bằng nhau để chuyển cạnh khi cần thiết. 7. Dùng các tính chất của đường trung bình; hình bình hành; đoạn chắn bỡi các đường thẳng //…. 6.

(70) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài tâp: 1. Cho (O) có đường kính AB. Qua A kẽ tiếp tuyến xy. Một điểm M  Ax; nối BM cắt (O) tại C. C/m: MA2= MB.MC. 2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O). D là điểm trên cung BC. (cung nhỏ). CD và AB kéo dài cắt nhau ở M; BD và AC kéo dài cắt nhau ở N. C/m:AB2= BM.CN. 3. Cho ▲ ABC có AB<AC. Từ M  AB vẽ MEF //BC cắt AC tại E và đường thẳng song song AB vẽ từ C tại F. AC cắt BF tại I. C/m: IC2 = IE.IA. 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=36mm; AD=24mm. Từ D nối đến trung điểm M của AB cắt AC tại I và CB kéo dài tại K. C/m: ID2=IM.IK. 5. Cho ▲ ABC vuông tại A. Vẽ phân giác trong AD của góc A (D  BC). Gọi khoảng cách từ D đến AB là 1 1 1   d. C/m: d b c . (sdct S). 6. Cho (O; R) và hai dây cung song song nhau AD và BE ở về hai phía của dây AB và cùng hợp với AB một góc 450. Nối DE cắt AB tại M. C/m: MA2+MB2+MD2+ME2= 4R2. (Sdtccung c/m:M=1vuông. Kẽ đường kính BC và xét tchìnhthang cung như ▲v). Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp. Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có các cách sau: 1. Chỉ ra A+C =1800. 2. Chỉ ra B+D=1800. 3. Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cùng thuộc một đường tròn nào đó cụ thể. 4. Chỉ ra các góc nội tiếp tại A và B cùng nhìn CD 1 góc bằng nhau. Bài tập: 1. Cho (O) đường kính AB. M là một điểm trên tiếp tuyến xBy. AM cắt (O) tại C; lấy D  BM; nối AD cắt (O) tại I. C/m: CIDM nội tiếp. 2. Cho ▲ ABC vuông tại A có AB=5cm và AC= 5 3 cm. Đường cao AH (H  BC). Đường tròn (H; HA) cắt AB tại D và AC tại E. C/m: CEBD nội tiếp. 3. Cho (O) đường kính AB; từ A và B vẽ Ax  AB và By  BA. Vẽ tiếp tuyến x’My’ (tiếp điểm M) cắt Ax tại C và By tại D. OC cắt AM tại I và OD cắt BM tại K. C/m: CIKD nội tiếp. 4. Cho (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC  AB. Từ B vẽ tiếp tuyến Bx. Gọi M là trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn tại E và Bx tại I. Tiếp tuyến từ E cắt Bx tại D. C/m: MODE nội tiếp. Vấn đề: tính góc. 1. Để tính góc ta dùng các tính chất về góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ nhau. 2. Các tính chất về góc của tam giác; góc trong và góc ngoài. 3. Vận dụng tính chất tổng các góc tam giác; tứ giác. 4. Vận dụng tính chất phân giác; phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc. 5. Vạn dụng tính chất của góc nội tiếp. 6. Vận dụng tính chất các tam giác đồng dạng. 7. Các tính chất về góc và hai đường thẳng song song. 8. Các tính chất của hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi;… Bài tâp: 1. Cho ▲ ABC cân tại A và góc A bằng 200. Lấy D  AC sao cho góc CBD=600 và lấy E  AB: góc BCE=500. Tính góc BDE. 2. Cho ▲ ABC cân tại A có trung tuyến AM và phân giác CD. Tính góc A biết AM=CD/2. 3. Cho ▲ ABC cân tại A và A=800. Lấy I trong ▲ ABC sao cho: góc IBC=100 và ICB=300. Tính góc BIA. 4. Cho (O) có đường kính AB. Dây cung AC> BC. Trên đường AC lấy hai điểm M và N đối xứng nhau qua C và BC=MC=CN. Tính các góc ANB và AMB. 5. Cho tứ giác ABCD có AB= 3 cm; BC=3cm ; CD=23 cm và góc BAD=ADC=600. Tính các góc: ABC và BCD.. 7.

(71) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 6. Cho ▲ ABC có AB<AC. Gọi (O) là đường tròn nội tiếp ▲ ABC. Các tiếp điểm thuộc cạnh AB và AC là M và N. Gọi K là giao điểm phân giác trong góc BAC và MN. Tính góc AKC. 7. Cho ▲ ABC nội tiếp (O; R) sao cho: BC-CA=R và BC.CA=R2. Tính các góc ▲ ABC. các bài toán ôn tập. 1. cho ▲ ABC vuông tại A có AB = 8cm và AC=5cm. ve các đường tròn tâm O đường kính AC và O’ đường kính AB cắt nhau tại M. a. c/m: C; M và B thẳng hàng. b. gọi H là hình chiếu của M lên AB và H’ trên AC. Tính: BC; AM; CM; BM; MH và MH’. c. tiếp tuyến tại C của (O) cắt AM tại E. tính EC. 2. cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. kéo dài AB và lấy trên đó đoạn BP=AB. gọi AM. PhÇn 6 : H×nh häc Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng kính COA và CO’B. Qua trung ®iÓm M cña AB , dùng DE  AB. a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G . CMR EC đi qua G d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O’ , vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q. a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R R Δ POQ 25 c) Khi PC= . CMR = 2 Δ CED 16 d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo mét chiÒu vµ trän mét vßng quanh CD Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey . a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn. b) Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g× ? c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ? Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bÊt k× , dùng tiÕp tuyÕn QB . a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax. c) H¹ BK  Ax , BK c¾t QO t¹i H . CMR tø gi¸c OBHA lµ h×nh thoi vµ suy ra quü tÝch cña ®iÓm H Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kính BOE . a) Tø gi¸c AFEC lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC , chøng minh H , I , E th¼ng hµng BH c) CMR OI = và H ; F đối xứng nhau qua AC 2 Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O’ tại E . a) So s¸nh  AMO víi  NMC ( - đọc là góc) b) Chøng minh N , B , E th¼ng hµng vµ O’P = R ; OP = R’ c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O’ Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB . Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D a) Tø gi¸c ODBC lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) CMR OC  AD ; OD  AC c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B. 7.

(72) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp ®iÓm ) . TÝnh c¸c gãc cña Δ MPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45 ❑0 . Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng tròn . Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp  MPQ khi M chạy trên d Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn t¹i M . a) CMR OM  BC b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định c) KÐo dµi Ax c¾t CB kÐo dµi t¹i F . CMR FB . EC = FC . EB ( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác ) Bµi 129: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), mét cung trßn BC n»m trong  ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC t¹i B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB , IK vµ Q lµ giao ®iÓm cña MC , IH. a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối của tia MI là phân giác  HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ  BC Bµi 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B^ A C > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F. a) CMR ba ®iÓm B , C , D th¼ng hµng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp  AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE . Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R √ 2 , một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN . a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông c) TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi ®o¹n AB , AC vµ cung nhá BC cña (O) Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trªn d©y BF lÊy ®iÓm E sao cho BE = AF. a)  AFC vµ  BEC cã quan hÖ víi nhau nh thÕ nµo ? T¹i sao ? b) CMR  FEC vu«ng c©n c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) . EC c¾t AB ë M , EA c¾t CD ë N. a) CMR  AMC đồng dạng  ANC . b) CMR : AM.CN = 2R2 CN c) Gi¶ sö AM=3MB . TÝnh tØ sè ND ¿❑ ❑ Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gäi Q lµ trung ®iÓm cña d©y MB , K lµ giao ®iÓm cña AM , HI. a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của  ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lÇn lît t¹i M, N . a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN . b) CMR : MO, NO theo thø tù lµ tia ph©n gi¸c c¸c gãc BMN, MNC .. 7.

(73) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R ( M ≠ A , B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó . Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng th¼ng BM c¾t Ax t¹i D . Chøng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP b) N vµ P lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C vµ D ). D©y ID , IC c¾t AB lÇn lît t¹i M vµ N . a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn b) IC vµ AD c¾t nhau t¹i E ; ID vµ BC c¾t nhau t¹i F . CMR EF // AB Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C ) và vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) t¹i I . a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) Chøng minh ba ®iÓm I , B , E th¼ng hµng c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC (Lớp10- bộ đề toán) Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C , D a) Chøng minh : CD // AB . b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định. c) CMR : KM.KN không đổi Bài 140: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao ®iÓm cña MN víi AC , AD lÇn lît lµ H , I ; giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K a) CMR: Δ NKD ; ΔMAK c©n b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD c) So s¸nh gãc CAK víi gãc DAK Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P. a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR : CM.CD kh«ng phô thuéc vÞ trÝ cña M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g× ? T¹i sao ? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di động. Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM c¾t nhau t¹i S . a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố định . b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA) c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB. ^ A=900 . d) Xác định vị trí của M sao cho M K Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F . C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I ; c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K . CMR: a) Gãc CID b»ng gãc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AFD tiÕp xóc víi PA t¹i A. 7.

(74) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E. a) CMR: M lµ trung ®iÓm cña BC b) CMR: Δ O1MO2 vu«ng c) Chøng minh B , A , E th¼ng hµng ; C , A , D th¼ng hµng d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đờng thẳng d ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R √ 2 cố định và một điểm M di động trªn cung lín AB sao cho tam gi¸c MAB cã ba gãc nhän . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB ; P , Q lÇn lît lµ c¸c giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA. a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O) b) Tø gi¸c AMBS lµ h×nh g× ? T¹i sao ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đờng tròn cố định. Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyÕn PM (M lµ tiÕp ®iÓm ) . a) CMR : BM // OP b) §êngth¼ng vu«ng gãcvíi AB t¹i O c¾t tia BM t¹i N . Tø gi¸c OBNP lµ h×nh g× ? T¹i sao ? c) Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN víi OP ; I lµ giao ®iÓm cña ON víi PM ; J lµ giao ®iÓm cña PN víi OM . CMR : K , I , J th¼ng hµng d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O) Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở điểm P . a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tø gi¸c CMPO lµ h×nh g× ? T¹i sao ? c) CMR : CM.CN không đổi d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại các điểm thứ hai E , F . a) CMR: B , F , C th¼ng hµng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O’) Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ). a) CMR c¸c tia OC , OD lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AOM , BOM. b) CMR : CA vµ DB vu«ng gãc víi AB c) CMR : Δ AMB đồng dạng ΔCOD d) CMR : AC.BD = R2 Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn . Gọi các điểm chính giữa của c¸c cung AM , MB lÇn lît lµ H , I . C·c d©y AM vµ HI c¾t nhau t¹i K . a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) H¹ ΙΡ ⊥ ΑΜ . Chøng minh IP lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R) c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.. 7.

(75) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 90 0 và ^ D=90 0 . Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , CO BM c¾t OC , OD lÇn lît t¹i E vµ F . a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? b) CMR : D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung MB. c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lợt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đờng tròn Bµi 152: Cho Δ ABC (AB = AC ) , mét cung trßn BC n»m bªn trong tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC t¹i B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đ ờng vu«ng gãc MI , MH , MK xuèng c¸c c¹nh t¬ng øng BC , CA , AB . Gäi giao ®iÓm cña BM , IK lµ P ; giao ®iÓm cña CM , IH lµ Q. a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc . b) CMR : MI2 = MH . MK c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ MI d) CMR nÕu KI = KB th× IH = IC PhÇn II: H×nh häc. Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình.. Bµi 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. D và E lần lợt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. DE cắt AB ë I vµ c¾t AC ë L. a) Chøng minh DI = IL = LE. b) Chøng minh tø gi¸c BCED lµ h×nh ch÷ nhËt. c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lµ h×nh thoi vµ tÝnh c¸c gãc cña h×nh nµy. Bµi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với nhau tại I. a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đờng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đờng vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó. b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là hình chữ nhật. c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đờng vuông góc hạ từ I xuống các cạnh cña tø gi¸c. Bµi 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đờng cao. Hai đờng tròn đờng kính AB và AC có tâm là O1 và O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đờng tròn (O1) và (O2) lần lợt tại M và N. a) Chøng minh tam gi¸c MHN lµ tam gi¸c vu«ng. b) Tø gi¸c MBCN lµ h×nh g×? c) Gọi F, E, G lần lợt là trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H. d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế nào? Bµi 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I và M. a) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n. đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều.. Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.. Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF. a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO'//BI. b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đờng tròn. c) KÐo dµi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB = AB. Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp. Bµi 2: Cho tam giác ABC. Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC. a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.Xác định tâm O của đờng tròn đó. b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đờng tròn.. 7.

(76) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đờng tròn (O') tại C, tia O'A cắt đờng tròn (O) tại D. Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp. b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn. Bµi 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông gãc AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc. b) Tia CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF. c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc. Bµi 5: Từ một điểm M ở bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một ®iÓm C. VÏ CD  AB, CE  MA, CF  MB. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ DE, K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF. Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc. b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bµi 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn. Vẽ hai đờng cao BD và CE. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA  DE. Bµi 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đờng thẳng qua A song song víi BM c¾t CM t¹i N. a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều. b) Chøng minh r»ng MA + MB = MC. 1 1 1 c)* Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ CM. Chøng minh r»ng: + = AM MB MD Bµi 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại một điểm thứ hai là F. Hai dây BC vµ MF c¾t nhau t¹i E. Chøng minh r»ng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc. b) AD. AE = AF. AN c) Đờng thẳng MF đi qua một điểm cố định. Bµi 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đờng tròn tại điểm N. Tia AN cắt đờng tròn tại điểm D. a) Chøng minh r»ng MB2 = MC. MN b) Chøng minh r»ng AB// CD c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó. Bµi 10: Cho đờng tròn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đờng kính MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đờng tròn (O) tại C. a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB. c) Gọi O' là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. 1 Chøng minh r»ng MAB =  AO'D. 2 d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Bµi 11: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vu«ng gãc víi AD ( E  AD). a) Chøng minh r»ng AHEC lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chøng minh r»ng CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE. d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nói trên biết AC= 6cm, ACB = 300. Bµi 12: Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F.. 7.

(77) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh r»ng AME = 2 ACB. c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đờng tròn (O). d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600. Bµi 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đờng tròn. Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D là tiếp điểm). a) Chøng minh r»ng C, M, D th¼ng hµng b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O). c) TÝnh tæng AC + BD theo R. d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600. Bµi 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia AC. Vẽ đờng tròn (O) tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BD, DA t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng M, N, P. a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đờng tròn. b) Chøng minh r»ng ba ®iÓm N, I, P th¼ng hµng. c) Gäi giao ®iÓm cña tia BO víi MN, NP lÇn lît lµ H, K. Tam gi¸c HNK lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC.. Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy.. Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt tại C và C'. Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt tại D và D'. a) Chøng minh C, B, D' th¼ng hµng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bµi 2: Từ một điểm C ở ngoài đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bµi 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O') tại D. a) Tø gi¸c BEFC lµ h×nh gi? b) Chøng minh ba ®iÓm A, D, F th¼ng hµng. c) CF cắt đờng tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’). Bµi 4: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đờng kính của (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngoµi (D  (O), E  (O’)). AD c¾t BE t¹i M. a) Tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c g×? b) Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’). c) KÎ Ex, By vu«ng gãc víi AE, AB. Ex c¾t By t¹i N. Chøng minh D, N, C th¼ng hµng. d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB và OO’. Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK.. Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.. Bµi 1: Cho đờng tròn (O ; R). Đờng thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K. a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp. b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định. Bµi 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN. a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định. b) TÝnh gãc MDN. c) MN c¾t BC t¹i K. Chøng minh DK vu«ng gãc víi MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất. Bµi 3:. 7.

(78) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau t¹i C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M. c) CH c¾t AB t¹i N, I lµ trung ®iÓm AB. Chøng minh MA.MB = MI.MN. d) Chøng minh: IM.IN = IA2. Bµi 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. Lấy N thuéc BM sao cho AM = BN. a) So s¸nh tam gi¸c AMC vµ BCN. b) Tam gi¸c CMN lµ tam gi¸c g×? c) KÎ d©y AE//MC. Chøng minh tø gi¸c BECN lµ h×nh b×nh hµnh. d) Đờng thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định. Bµi 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I lµ trung ®iÓm cña CD. a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn. b) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB, tø gi¸c OAHB lµ h×nh g×? c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định. d) §êng th¼ng qua C vu«ng gãc víi OA c¾t AB, AD lÇn lît t¹i E vµ K. Chøng minh EC = EK.. Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học.. Bµi 1: Cho đờng tròn (O) và dây AB. M là điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chøng minh MA2 = MC.MD. b) Chøng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. d) Gọi R1, R2 là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD. Chứng minh R 1 + R2 không đổi khi C di động trên AB. Bµi 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R và một điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đờng tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt ở C và E. a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE. b) Chøng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. HA FA + Chøng minh r»ng: . = HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đờng tròn. Bµi 3: Trên cung BC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các đờng thẳng AP và BC cắt 1 1 1 nhau t¹i Q. Chøng minh r»ng: . = + PQ PB PC Bµi 4: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại hai ®iÓm B, C. Chøng minh c¸c hÖ thøc: 1 1 1 + 2= 2 . a) 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2.. Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích.. Bµi 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B  (O); C  (O’)). a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600. b) Tính độ dài BC. c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đờng tròn. Bµi 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K). a) Chøng ming r»ng EC = MN. b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). c) Tính độ dài MN.. 7.

(79) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn. Bµi 3: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kÎ mét tiÕp tuyÕn thø ba c¾t hai tiÕp tuyÕn kia t¹i P vµ Q. a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết BAC = 600 và bán kính của đờng tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dài của tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC. Bµi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp , K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O là trung ®iÓm cña IK. a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). c) Tính bán kính của đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Bµi 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. E là một điểm trên đờng tròn mà AE > EB. M là một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB. a) Chøng minh AOM vu«ng t¹i O. b) OM cắt đờng tròn ở C và D. Điểm C và điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh ACM đồng dạng víi AEC. c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM. 2 d) Gi¶ sö tØ sè diÖn tÝch hai tam gi¸c Acm vµ AEC lµ . TÝnh AC, AE, AM, CM theo R. 3. Chủ đề 7: Toán quỹ tích.. Bµi 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đờng tròn (O) và M là điểm di động trên đờng tròn đó. Gọi D là hình chiÕu cña B trªn AM vµ P lµ giao ®iÓm cña BD víi CM. a) Chøng minh BPM c©n. b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đờng tròn (O). Bµi 2: Đờng tròn (O ; R) cắt một đờng thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngoài đờng tròn (O) kẻ các tiÕp tuyÕn MP, MQ. a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d. b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d. Bµi 3: Hai đờng tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng d đi qua A cắt các đờng tròn (O) và (I) lần lợt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đờng thẳng PO và QI. a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp. b) Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đờng thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đờng nào? c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất.. Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian.. Bµi 1: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’. BiÕt AB = 4 cm; AC = 5 cm vµ A’C = 13 cm. TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Bµi 2: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ cã diÖn tÝch mÆt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √ 2 cm2. TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toàn phần của hình lập phơng đó. Bµi 3: Cho h×nh hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’. BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ b»ng 60 0. TÝnh thÓ tÝch vµ diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. Bµi 4: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm vµ gãc AA’B b»ng 300. Bµi 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đờng thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC. b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp S.ABC, cho biÕt SG = 2a. Bµi 6:. 7.

(80) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đờng cao là a √ 2 .. 2 a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. b) TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. Bµi 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. a) TÝnh diÖn tÝch to¸n phÇn cña h×nh chãp. b) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp. Bµi 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy. b) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. Bµi 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. Bµi 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp. b) Chøng minh r»ng bèn mÆt bªn lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng. a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. Bµi 11: Một hình trụ có đờng cao bằng đờng kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh của nã. Bµi 12: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nón đó. Bµi 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đờng cao bằng 12 cm và đờng sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. Bµi 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó.. Bµi tËp H×nh tæng hîp. Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao)  CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE  AC => BEC = 900. CF là đờng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH = =>  AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC = =>  BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC). 8.

(81) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM =>  CHM c©n t¹i C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn  CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao).  CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE là đờng cao => BE  AC => BEA = 900. AD là đờng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE t¹i E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. 2 3. Chøng minh AC. BD = AB . 4 4. Chøng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 6. Chøng minh MN  AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lêi gi¶i:. 8.

(82) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = AB . 4 Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là bán kính. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB => IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra = = BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI  BK hayIBK = 900 . Tơng tự ta cũng có ICK = 900 nh vậy B và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ).. I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = √ 202 − 122 = 16 ( cm) 2 2 CH2 = AH.OH => OH = CH =12 = 9 (cm) AH 16 OC = √ OH2 +HC2 =√ 92+ 122=√ 225 = 15 (cm) Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d Lêi gi¶i: (HS tù lµm). Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đờng kính. 8.

(83) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vËy K, A, B cïng nhìn OM dới một góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ có một đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Lêi gi¶i: (HD)  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của BEC => BEC là tam giác cân. => B1 = B2. 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 =>  AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn. AM;  AOM lµ gãc ë t©m 2. Chøng minh BM // OP. 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Lêi gi¶i: (HS tù lµm).. 8.

(84) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 AOM 2 ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM ( t/c AOM 2 hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  AOP (3). Mà  ABM và  AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Lêi gi¶i: 1. Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). => KMF + KEF = 1800 . Mà KMF và KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2 = IM . IB. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . BAF là tam giác cân. tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung ®iÓm cña HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng). (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7). 8.

(85) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC  AE. ABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là đờng cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đờng cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.  ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ). => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1)  ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD). Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đơng vuông góc từ S đến AB. 1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn . Lêi gi¶i: 1. Ta có SP  AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng trßn ) => AMS = 900 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M’ cũng nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’  AB tại H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 900 => PM  OM tại M => PM là tiếp tuyến của đờng tròn tại M Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. = CB CF Lêi gi¶i:. 8.

(86) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900. Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. AD AF  2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => AB AC => DF // BC. 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp đợc một đờng tròn .. 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có  DBM = BCF ( hai góc đáy của tam giác cân). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM => BDM CBF => = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh : 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nµo. Lêi gi¶i: 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN. => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC NDC CM CO  => CD CN => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc với CD tại D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn . Lêi gi¶i: 1. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3). 8.

(87) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc một đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) => AE AF  AEF ACB => AC AB => AE. AB = AF. AC. * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chứng minh tơng tự ta cũng có O2F  EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn . Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K). 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). 3. TÝnh MN. 4. Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn Lêi gi¶i: 1. Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) 2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). 3. Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông tại A có EC  AB (gt) 2 => EC = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) =  .OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  . IA2 =  .52 = 25  ; S(k) =  .KB2 =  . 202 = 400  . 1 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S = 2 ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 1 S = 2 ( 625  - 25  - 400  ) = 2 .200  = 100  314 (cm2). 8.

(88) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Lêi gi¶i:. 1. Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh vậy D và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB).   D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC nh vậy BA, EM, CD là ba đờng cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.   4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900. Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đờng tròn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS     => CE CS  SM EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G. Chøng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lêi gi¶i: 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB   CAB . 2. Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp .. 8.

(89) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 90 nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. 0. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) => AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM => APMQ là tø gi¸c néi tiÕp. * Vì AM là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM. 1 2. Tam giác ABC có AH là đờng cao => SABC = 2 BC.AH. 1 Tam giác ABM có MP là đờng cao => SABM = 2 AB.MP 1 Tam giác ACM có MQ là đờng cao => SACM = 2 AC.MQ 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => 2 AB.MP + 2 AC.MQ = 2 BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH.   3. Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đờng cao => OH  PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) tại C và D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . Lêi gi¶i: => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ 0 bï). 1. Ta có : ACB = 90 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ). 8.

(90) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo trên Ta có BC  MA; AD  MB nên BC và AD là hai đờng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo giả thiết thì MH  AB nên MH cũng là đờng cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 .. Mµ A1 + M1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp. Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1. BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (vì là hai gãc kÒ bï); DE  AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung). => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 3. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà thôi.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bài 20. Cho đờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng hµng 5. DF, EG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1. BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 9.

(91) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp 2. BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE  AB tại M) nh vậy F và M cùng nhìn BD dới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kÝnh vµ d©y cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 4. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD  DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình tho => BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF . Theo trên BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BF  DF mà qua B chỉ có một đờng thẳng vuông góc với DF do ®o B, E, F th¼ng hµng. 5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC cũng là đờng cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy 6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF  O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2. Chøng minh IP // OQ. 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. Lêi gi¶i: 1. Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lợt là các bán kính của đờng tròn (O) và đờng tròn (I) . Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (I) tiếp xúc nhau tại A . 2. OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ.. 3. APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => OP  AQ => OP là đờng cao của OAQ mà OAQ cân tại O nên OP là đờng trung tuyến => AP = PQ. 1 4. (HD) Kẻ QH  AB ta có SAQB = 2 AB.QH. mà AB là đờng kính không đổi nên SAQB lớn nhất khi QH lớn nhất. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất. Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH  DE t¹i H nªn BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nên H và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD => BHCD là tứ giác néi tiÕp. 2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800. (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2).. 9.

(92) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 . 3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH  => KHC  KDB => KB KD => KC. KD = KH.KB. 4. (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên khi E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E  B th× H  B; E  C th× H  C). Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đờng trßn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên tam giác BFC vuông tại F. (1). FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đờng tròn suy ra CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450. Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đờng tròn. 4. CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC tại C => MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đờng trung trực cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. D 3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE. F 1 2 Lêi gi¶i: O H 1. AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) / _ 0 0 => AEB = 90 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 45 _K 1 => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 1 / I B. E. C. 2. Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đờng trung bình của tam giác HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2). Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.  ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vuông tại D có DI là trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đờng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trên ta có CD và AE là hai đờng cao của tam giác ABC => H là trực tâm của tam giác ABC => BH cũng là đờng cao của tam giác ABC => BH  AC tại F => AEB có AFB = 900 . Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD  ID t¹i D => OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE.. 9.

(93) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp . 3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ  MI. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ABC c©n t¹i A. 2. Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900. => MIB + MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 1800. mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => KMI = HMI (1). Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ B1 = C1  ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2). MI MK  Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => MH MI => MI2 = MH.MK. 4. Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI BC nên suy ra IM  PQ. Bài 26. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC 1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp = KB AB 4. Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M.    Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => MB MC => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c KC AC = cña gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB  2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña CD => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD.  3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => OM  BC t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp 4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC => OM  MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiếp tuyến của đờng tròn tại M. Bài 27 Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đờng tròn . Các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i:. 9.

(94) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10. (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (nội tiếp cùng ch¾n cung HM). Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM).  Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® BM ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2). Tõ (1) vµ (2) =>  HIM   KHM. MI MH  Theo trªn  HIM   KHM => MH MK => MI.MK = MH2 Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. 2. E, F nằm trên đờng tròn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: 1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ BHC = B’HC’ (đối đỉnh) => BAC + BHC = 1800. Theo trên BHCF là hình bình hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H và E đối xứng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC  HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của của HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trên F (O) và FEA =900 => AF là đờng kính của (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( vì cùng phụ ACB) (5). Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6). Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n. 4. Theo trên AF là đờng kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đờng trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI  BC ( Quan hệ đờng kính và dây cung) => OIG = HAG (vì so le GI OI 1 GI 1   trong); lại có OGI =  HGA (đối đỉnh) => OGI  HGA => GA HA mà OI = 2 AH => GA 2 mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bài 29 BC là một dây cung của đờng tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. 1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.. 9.

(95) C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất. Lêi gi¶i: (HD) 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) AEF = ABC (cïng bï CEF) =>  AEF   ABC. 2. Vẽ đờng kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC // BH (cùng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iÓm cña HK => OK là đờng trung bình của AHK => AH = 2OA’. 3. áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hia trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đờng tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có : R AA '  R ' AA1 (1) trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC; R’ là bán kính đờng tròn  AEF   ABC => ngo¹i tiÕp  AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña AEF. Tứ giác AEHF nội tiếp đờng tròn đờng kính AH nên đây cũng là đờng tròn ngoại tiếp AEF AH 2A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ 2 = AA’ . 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lợt là các đờng cao của các tam giác OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = 2 ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA1 AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R . AA ' mà AA ' là tỉ số giữa 2 trung tuyến của hai tam giác đồng dạng AEF và ABC nên AA ' EF FD ED = BC . Tơng tự ta có : OB’ = R . AC ; OC’ = R . AB Thay vào (3) ta đợc EF FD ED .BC  . AC  . AB AC AB 2SABC = R ( BC ) 2SABC = R(EF + FD + DE) * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn nhất khi SABC. 1 Ta có SABC = 2 AD.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AD lớn nhất, mà AD lớn nhất khi A là điểm chính giìa cña cung lín BC. Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đờng cao AH và bán kính OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: a) B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD)   1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => BM CM => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo gi¶ thiÕt AH  BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.. 9.

(96) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10   2. VÏ d©y BD  OA => AB AD => ABD = ACB. Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 . B  C 1200 B 700    0 B  C 200  C 50  =>  .R 2 .1202 1 R  .R 2 R 2 . 3 R 2 .(4  3 3)  R. 3.   3600 2 2= 3 4 12 b) Svp = SqBOC - S BOC = tø gi¸c néi tiÕp Bµi tËp 1 Cho  ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng th¼ng DA c¾t §êng trßn t¹i S. Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp.. · · b) ABD = ACD · c) CA lµ ph©n gi¸c cña SCB Bµi tËp 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc víi AD. Chøng minh: a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp . b) CA lµ ph©n gi¸c cña BCF. c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi tËp 3 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bµi tËp 4 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bµi tËp 5 0 Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A 90 ; AB > AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi A vµ C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCS . TA TC  c. TD TB . Bµi tËp 6 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ..

(97) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.. ·. b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cña MLN c/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña MN vµ LA. Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K lµ giao ®iÓm cña ML víi (O). Chøng minh r»ng KN // AQ. e/ Chøng minh  KLN c©n. Bµi tËp 7 Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng v ới đi ểm A v à AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn t ại hai đi ểm E v à B ( E n ằm giữa B và H) 1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R . Bµi tËp 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bµi tËp 9 Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF. Bµi tËp 10 Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đờng trßn ( B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi Hlµ trung ®iÓm cña DE. a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn này.  b) Chøng minh: HA lµ tia ph©n gi¸c BHC . c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE. Chøng minh: AB2 = AI.AH d) BH c¾t (O) t¹i K. Chøng minh: AE // CK. Bµi tËp 11 Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó. a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đờng tròn b) NÕu SA = AO th× SAOB lµ h×nh g×? t¹i sao?. AC.BD BC.DA . AB.CD 2. c) Chømg minh r»ng: Bµi tËp 12 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi tËp 13 Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn . 2) Chøng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bµi tËp 14 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F. a) Chøng minh AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b) Chøng minh:BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp . c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF d) Gäi M lµ lµ giao ®iÓm cña CE vµ BF. H·y so s¸nh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c BMC..

(98) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi tËp 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 1 3. Chøng minh ED = 2 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bµi tËp 16 Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nh ỏ AB l ấy 1 đi ểm C. V ẽ CD  AB; CE  MA; CF  MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC v à DF. Ch ứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE.CF c) IK  CD Bµi tËp 17 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh DMC đều. b) Chøng minh MB + MC = MA. c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc. d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ? Bµi tËp 18 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d. Bµi tËp 19 Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D. Chøng minh: 1. AE2 = AB.AC 2. Tø gi¸c AEOF 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn. 4. ED song song víi Ac. 5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định. Bµi tËp 20. µ. 0. Cho ABC có các góc đều nhọn và A = 45 . Vẽ đờng cao BD và CE của ABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE. a) Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp. DE b) TÝnh tØ sè BC c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA  DE Bµi tËp 21 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC ở điểm thứ hai E a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đờng trßn Êy. b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE Bµi tËp 22 0 Cho tam giác vuông ABC ( A 90 ); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng víi D). Chøng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn..

(99) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 c. AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF. Bµi tËp 23 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI c/ §êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S. Chøng minh: * I lµ trung ®iÓm cña RS. 1 1 2   * AB CD RS Bµi tËp 24 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx vµ Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn. b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào? Bµi tËp 25 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. a. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bµi tËp 26 Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đờng tròn cố định. b) Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ I vµ J. K lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp. c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định. d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc  TPT’ = 600. Bµi tËp 27 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đờng tròn đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai S. Chøng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp. ·. b) Khi M chuyển động trên AC thì ADM có số đo không đổi. c) AB//ST. Bµi tËp 28 Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P. a. Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. Bµi tËp 29 Cho  ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường tròn (O) đường kính HC c ắt BC tại I. BH cắt (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng  c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác của KCB Bµi tËp 30 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi Ac c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. 4. Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bµi tËp 31.

(100) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K. a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp. b) Chứng minh KH  AB c) Cho BC = R. Tính PK. Bµi tËp 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung ®iÓm cña IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi tËp 33 Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.  b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña BHC . 2 c) DE c¾t BC t¹i I. Chøng minh : AB AI.AH . R OH= 2 . TÝnh HI theo R. d) Cho AB=R 3 vµ Bµi tËp 34 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bµi tËp 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F. (E  (O1); F  (O2)). 1. Chứng minh AE = AF. 2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C (O 1); D  (O2)). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn. b. Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào? Bµi tËp 36 0  Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC, CD lÇn lît lÊy ®iÓm E, F sao cho EAF 45 . BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H. Chøng minh: a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp b) CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diÖn tÝch b»ng nhau Bµi tËp 37 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chøng minh: HK // CD. c. Chøng minh: OK.OS = R2. Bµi tËp 38 2 Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 3 AO. Kẻ dây MN vuông gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN, sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b. Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC. c. Chøng minh AE.AC  AI.IB = AI2. d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhá nhÊt. Bµi tËp 39.

(101) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc. b) Chøng minh: TÝch CM. CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M. c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn cố định. Bµi tËp 40 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ M xuèng BC; CA; AB. a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp.. ·. ·. b/ Chøng minh: MHI = MK H . c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK. Bµi tËp 41 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chøng minh: 1. Tích BN.BM không đổi. 2. Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp. 3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi tËp 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F. C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng: a. Gãc CID b»ng gãc CKD. b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn. c. IK // AB. Bµi tËp 43 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D. a. Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB. b. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB. Chøng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng th¼ng CD. 0 0 d. Cho biÕt BAM 45 vµ BAE 30 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo R. Bµi tËp 44 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB. Giọi I là trung điểm cña MN. Tõ A kÎ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K. Gäi C lµ giao ®iÓm cña Ax víi tia BI. a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bµi tËp 45 Cho  ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b) Kéo dài đờng cao CH của  ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đờng tròn. c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao? d) Chøng minh:  MBG c©n. Bµi tËp 46 Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt tia CN tại K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chøng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F. Xác định vị trí của C trªn d sao cho diÖn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt. Bµi tËp 47 Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho  ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (D  BC; E CA; F  AB) 4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 5. Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng: AH = 2OA'.

(102) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 6. Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích  ABC, 2p là chu vi  DEF. Chứng minh: a. d // EF b. S = p.R Bµi tËp 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K. a. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. b. Chøng minh IK song song víi BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành. Bµi tËp 49 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN//BC c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Bµi tËp 50 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp. b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lÇn lît t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung MB. c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lợt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đờng tròn. Bµi tËp 52 Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH. a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chøng minh: OH.OI = OK. OM c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) Bµi tËp 53 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đờng tròn đờng kính BC tại I. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC. Bµi tËp 54 Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn. a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn. b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bµi tËp 55 Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O tại A lấy điểm M (M không trùng với A). Tõ M kÎ c¸t tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn. b. IAB AMO . c. O lµ trung ®iÓm cña FE.

(103) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi tËp 56 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB .§êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q .AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F. a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành Bµi tËp 57 Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn. Đờng thẳng đi qua O vuông góc với xy tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đờng thẳng AM cắt xy tại E, đờng thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đờng thẳng AF cắt (O) tại K. Nối E với K. a) Chøng minh: IM = IF b) Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng tròn. c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O). d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp  AMH khi M di động trên (O) Bµi tËp 58 Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đ ờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H. Hãy chứng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM. 2) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) 3) Ba ®iÓm H; N; B th¼ng hµng Bµi tËp 59 Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO ; OM tại P và Q. a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp. b) Chøng minh SA2 = SD. SC. c) Chøng minh OM. OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S. d) Khi BC // SA. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA. Bµi tËp 60 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM ( K khác M và B ). AK c¾t MO t¹i I. a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK. Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp . c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK. e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu của K lên AB) Bµi tËp 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0). Tia phân giác trong của góc B, góc C cắt đờng tròn này thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t nhau t¹i F. Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC. a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n. b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i sao ? d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tø gi¸c AIFK. Bµi tËp 62 Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho 2 .OA AI = 3 . KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp. b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE . AC c) Chøng minh : AE .AC - AI .IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhÊt. Bµi tËp 63 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB ; DP cắt AB tại E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I. a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chøng minh: IK // AB. c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chøng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC.

(104) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED. f) Gọi R1 , R2 là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.Chứng minh: R 1 + R2 = 4R 2  PA 2 Bµi tËp 54 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a. E là điểm đi chuyển trên đoạn CD (E khác D), đ ờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K. 1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vuông cân . 2) Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua A , C, F , K. 3) Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đờng tròn . Bµi tËp 65 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB. Dựng đờng tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A, đờng tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N . 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB . 2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . 3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất . Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuy ến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.  b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC . 2 c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB AI.AH . Bµi tËp 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N . 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E vaø F. Bieát BF caét CE taïi H vaø AH caét BC taïi D. a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. OK c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số BC khi tứ. giaùc BHOC noäi tieáp. d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaø HC > HE. Tinh HC. Bµi tËp 69 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM . a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) TÝnh AH.AK theo R. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó Bµi tËp 70 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng . 2) Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đờng tròn 3) E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E. 4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . Bµi tËp 71 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt tại E và F . 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn . 3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Bµi tËp 72 Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E , EN cắt đờng thẳng AB tại F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp ..

(105) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB Bµi tËp 73 Cho  ABC cã 3 gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) . VÏ c¸c tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tuyÕn nµy c¾t nhau t¹i M . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn MC. CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cña gãc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chøng minh r»ng QP // EF. Bµi tËp 74 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bµi tËp 75 Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn. b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình g×? c. Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ PD; J lµ giao ®iÓm cña PC vµ DO; K lµ trung ®iÓm cña AD. Chøng tá r»ng c¸c ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. Bµi tËp 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vu«ng gãc víi BC . 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp .   2) Chøng minh AMB HMK 3) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK . Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. G ọi C l à đi ểm trên n ửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D khác C v à B. Các tia AC, AD c ắt Bx l ần l ượt t ại E và F. a, Chứng minh ABE vuông cân b, Chứng minh  ABF   BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau t¹i E. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E xuèng AD vµ I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn Bµi tËp 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bµi tËp 80 0 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B  45 ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh t¬ng øng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O). b. Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp. c. Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB vµ IK; Q lµ giao ®iÓm cña MC vµ IH. Chøng minh PQ  MI . Bµi tËp 81 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao AD, BE của tam giác. C¸c tia AD, BE lÇn lît c¾t (O) t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ M, N. Chøng minh r»ng: 1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó. 2. MN// DE.

(106) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đ ờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi. Bµi tËp 82 Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M  B ; M  C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Bµi tËp 83 Cho  ABC vuông cân tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kì thuộc đoạn AD (M không trùng A, D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC. H là hình chiếu vuông góc c ủa I trên đoạn DK a/Tứ giác AIMK là hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó. c/ B, M, H thẳng hàng. Bµi tËp 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E. Chứng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sö CH = AB. TÝnh sè ®o cña gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) c¾t nhau t¹i E. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Chøng minh: 1 CAB  AOD 2 a. . b. Tø gi¸c AEDO néi tiÕp. c. EI // AB. Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E. N ối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh: a/ AD // BI. b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng. c/ MD = MI. d/ DM2 = AM.MC. e/ Tứ giác DMBI nội tiếp. Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Trªn AC lÊy mét ®iÓm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn. b. Chøng minh AD.CD = ED.BD. c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và DKE ABE . Bµi tËp 88 Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). M là  M B; M C  . Từ M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, mét ®iÓm trªn cung nhá BC, AB. Gäi P lµ giao cña MB vµ IK; Q lµ giao cña MC vµ IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chøng minh PQ // BC Bµi tËp 89 1 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E mà OE = 3 AO, CE c¾t (O) ë M. a. TÝnh CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH của tam giác CDM. Bµi tËp 90 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iÓm B, cã tiÕp ®iÓm thø tù lµ E vµ F. Qua A kÎ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t ® êng trßn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I..

(107) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a. Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD. b. Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp. c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngoài đường tròn). Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F. 4) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp. 5) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB. 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b. Chøng minh AE.AB = AF.AC c. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi tËp 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chứng minh: a. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. b. AF // BD. c. Ba ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn. e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bµi tËp 94 Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyÕn víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') t¹i N. §êng trßn t©m I ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAN c¾t AB kÐo dµi t¹i P. a. Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn. c. Chøng minh r»ng: BP = BA. Bµi tËp 95 Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung ®iÓm cña ®o¹n EF. Chøng minh r»ng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn. c. Tam gi¸c PQO c©n. d. PM2 = PE.PF. e. PHM PHN . Một số đề thi tuyển sinh THPT §Ò sè 1 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 1998 – 1999) C©u I (2®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x  3y  5   3x  4y 2 C©u II (2,5®) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình). C©u III (4,5®) Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O 1) là đờng tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O 2) là đờng tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D kh«ng trïng víi A). 1) Chøng minh r»ng tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c vu«ng. 2) Chøng minh O1D lµ tiÕp tuyÕn cña (O2). 3) BO1 cắt CO2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đờng tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất. C©u IV (1®) Cho 2 sè d¬ng a, b cã tæng b»ng 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:.

(108) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 4  4    1  a2   1  b2    . C©u I Cho hµm sè f(x) = x2 – x + 3.. §Ò sè 2 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 1999 – 2000). 1 1) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = 2 vµ x = -3 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x khi f(x) = 3 vµ f(x) = 23. C©u II Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx  y 2  x  my 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. C©u III Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng trßn néi tiÕp víi c¹nh AB, BC, CA lÇn lît lµ P, Q, R. 1) Chøng minh tø gi¸c BPIQ lµ h×nh vu«ng. 2) Đờng thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đờng tròn. 3) §êng th¼ng AI vµ CI kÐo dµi c¾t BC, AB lÇn lît t¹i E vµ F. Chøng minh AE. CF = 2AI. CI. §Ò sè 3 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 1999 – 2000) C©u I 1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành. C©u II Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. C©u III Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đờng thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC t¹i P vµ c¾t AB t¹i Q. 1) Chøng minh BP = CQ. 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất. 3) Gäi H lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2. TÝnh gãc AHC. §Ò sè 4 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2000 – 2001) C©u I Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. C©u II Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : 1) x2 + x – 20 = 0 1 1 1   2) x  3 x  1 x 3) 31  x x  1 . C©u III Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH là đờng cao của tam giác (H  BC). 1) Chøng minh tø gi¸c ABDC lµ h×nh ch÷ nhËt. 2) Gäi M, N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B, C trªn AD. Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC. 3) Gọi bán kính của đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. Chøng minh : r + R  AB.AC.

(109) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 §Ò sè 5 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2000 – 2001). C©u I Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 0. 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4. C©u II Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. 4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt). C©u III Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đờng tròn ngo¹i tiÕp t¹i I. 1) Chøng minh OI vu«ng gãc víi BC. 2) Chøng minh BI2 = AI.DI.   3) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn c¹nh BC. Chøng minh r»ng : BAH CAO .   C  HAO B 4) Chøng minh : . §Ò sè 6 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2001 – 2002) C©u I (3,5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) x2 – 9 = 0 2) x2 + x – 20 = 0 3) x2 – 2 3 x – 6 = 0. C©u II (2,5®) Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua ®iÓm C(0 ; 2). C©u III (3®) Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lÇn lît t¹i E vµ F. 1) Chøng minh AE = AF. 2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành. C©u IV (1®) 3 x  7 y  3200 T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: . §Ò sè 7 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2001 – 2002) C©u I (3,5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 2(x – 1) – 3 = 5x + 4 2) 3x – x2 = 0 x  1 x 1  2 x 1 3) x . C©u II (2,5®) Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P). 1) C¸c ®iÓm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( 2 ; -4) cã thuéc (P) kh«ng ? 2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P). C©u III (3®) Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 1) Chứng minh rằng MN là đờng kính của đờng tròn đờng kính AH. 2) Chøng minh tø gi¸c BMNC néi tiÕp. 3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC. C©u IV (1®).

(110) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2 5  2 là nghiệm của phơng trình: x2 + 6x + 7 = x , từ đó phân tích đa thức x3 + 6x2 + 7x – 2. Chøng minh r»ng thµnh nh©n tö.. C©u I (3®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 4x2 – 1 = 0 x  3 x  1 x 2  4x  24   x2  4 2) x  2 x  2. §Ò sè 8 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2002 – 2003). 2 3) 4x  4x  1 2002 . C©u II (2,5®) 1  x2 Cho hµm sè y = 2 . 1) Vẽ đồ thị của hàm số. 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lợt là 1 và -2. Viết phơng trình đờng thẳng AB. 3) Đờng thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x 1 và x2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22. C©u III (3,5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, O lµ trung ®iÓm cña AB vµ D lµ ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh AB (D kh«ng trïng víi A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. 1) Chøng minh OI song song víi BC. 2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn. 3) Chøng minh r»ng CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC khi vµ chØ khi OI = OJ. C©u IV (1®). 74 3 T×m sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸. 7. .. §Ò sè 9 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2002 – 2003). C©u I (2,5®) Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 . C©u II (3®) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 x x  x2 x2 2) 1 1 x12  x 22  x1x x  x1  x 2 . . . . x12 x12  1  x22 x22  1. . 3) . C©u III (3,5®) Cho đờng tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn MAB. 1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đờng tròn. 2) PQ c¾t AB t¹i E. Chøng minh: MP2 = ME.MI. 3) Gi¶ sö PB = b vµ A lµ trung ®iÓm cña MB. TÝnh PA. C©u IV (1®) Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12. §Ò sè 10 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (1,5®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 4 5 2  3 8  2 18 2 A=.

(111) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 C©u II (2®) 1 2 x 2 ..  Cho hµm sè y = f(x) =. 1 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña x hµm sè trªn nhËn c¸c gi¸ trÞ : 0 ; -8 ; - 9 ; 2. 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lợt là -2 và 1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và B. C©u III (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x  2y 3  m  2x  y 3(m  2) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl. C©u IV (3,5®) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trªn AB, BC vµ AD. 1) Chøng minh :  MIC =  HMK . 2) Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK. 3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất. C©u V (1®) Chøng minh r»ng : (m  1)(m  2)(m  3)(m  4) lµ sè v« tØ víi mäi sè tù nhiªn m. §Ò sè 11 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) 3 2 x Cho hµm sè y = f(x) = 2 . 2 3 ).. 3 ),. 1) H·y tÝnh f(2), f(-3), f(f(  1 3  3  ;  1; 2  2; 3   2;  6  , D  2 4  có thuộc đồ thị hàm số không ? ,B 2) C¸c ®iÓm A  ,C C©u II (2,5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1 1 1   1) x  4 x  4 3 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) C©u III (1®) Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + 1 = 0. x x  x 2 x1 TÝnh 1 2 (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). C©u IV (3,5®) Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đờng tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chøa B, cã tiÕp ®iÓm víi (O 1) vµ (O2) thø tù lµ E vµ F. Qua A kÎ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t (O 1) vµ (O2) thứ tự ở C và D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) IA vu«ng gãc víi CD. 2) Tø gi¸c IEBF néi tiÕp. 3) §êng th¼ng AB ®i qua trung ®iÓm cña EF. C©u V (1®). . Tìm số nguyên m để. . m2  m  23 lµ sè h÷u tØ. §Ò sè 12 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2004 – 2005). C©u I (3®) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*). 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua:.

(112) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) A(-1; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1). 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần t thứ IV. C©u II (3®) Cho ph¬ng tr×nh 2x2 – 9x + 6 = 0, gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. 1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: a) x1 + x2 ; x1x2 3 3 b) x1  x 2 c). x1  x 2. .. 2 2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x1  x 2 và x 2  x1 là nghiệm. C©u III (3®) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN. 1) Chøng minh tø gi¸c AMNC néi tiÕp. 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đờng tròn đờng kính AB và BC. 3) Kẻ đờng kính MK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng. C©u IV (1®) Xác định a, b, c thoả mãn: 5x 2  2 a b c    3 x  3x  2 x  2 x  1  x  1 2 . §Ò sè 13 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2004 – 2005) C©u I (3®) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*). 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: 1   2 ; 5 2;  1  a) A(-1 ; 3) ; b) B ; c) C  2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1. C©u II (3®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a  1)x  y a   x  (a  1)y 2 cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5. 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên. C©u III (3®) Cho tam gi¸c MNP vu«ng t¹i M. Tõ N dùng ®o¹n th¼ng NQ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c MNP sao cho NQ = NP vµ   MNP PNQ vµ gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ, MI c¾t NP t¹i E.. . .   1) Chøng minh PMI QNI . 2) Chøng minh tam gi¸c MNE c©n. 3) Chøng minh: MN. PQ = NP. ME. C©u IV (1®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 1 x 5  3x 3  10x  12  4 2 2 x  7x  15 A= víi x  x  1 4 .. §Ò sè 14 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2005 – 2006) C©u I (2®) Cho biÓu thøc:.

(113) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10. . x. y. . 2.  4 xy . x y y x. x y xy N= ;(x, y > 0) 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) Tìm x, y để N = 2. 2005 . C©u II (2®) Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1). 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x13 + x23. C©u III (2®) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ hai chữ số 4 cho nhau thì ta đợc số mới bằng 7 số ban đầu. C©u IV (3®) Cho nửa đờng tròn đờng kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đờng tròn (P  M, P  N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đờng thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đờng thẳng MQ tại K. 1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đờng tròn. 2) Chøng minh: MP. PK = NK. PQ. 3) Tìm vị trí của P trên nửa đờng tròn sao cho NK.MQ lớn nhất. C©u V (1®) Gäi x1, x2, x3, x4 lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. TÝnh: x1x2x3x4. §Ò sè 15 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2005 – 2006). C©u I (2®) Cho biÓu thøc:  a  a  a  a   1   1   a  1   a  1   N= 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. C©u II (2®)  x  4y 6  1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  4x  3y 5 .. 2) Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau : 6 x 4x  5 y= 4 ;y= 3 vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. C©u III (2®) Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi b¹n n÷ 3 c©y. TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷ cña tæ. C©u IV (3®) Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đờng tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đờng tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP. 1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đờng tròn. 2) Đờng thẳng KI cắt đờng tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 3) Nèi QK c¾t MP t¹i J. Chøng minh : MI. MJ = MN. MP. C©u V (1®) Gäi y1 vµ y2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : y2 + 5y + 1 = 0. T×m a vµ b sao cho ph¬ng tr×nh : x2 + ax + b = 0 cã hai nghiÖm lµ : x1 = y12 + 3y2 vµ x2 = y22 + 3y1. §Ò sè 16 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2006 – 2007) Bµi 1 (3®) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0.

(114) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2x  y 3  2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 5  y 4x . Bµi 2 (2®) 1) Cho biÓu thøc: a 3 a1 4 a 4   4  a (a  0; a  4) a  2 a  2 P= a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9. 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè). a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0. Bµi 3 (1®) Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của « t«. Bµi 4 (3®) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM. c) BE.DN = EN.BD. Bµi 5 (1®) 2x  m 2 Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức x  1 bằng 2. §Ò sè 17 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2006 – 2007) Bµi 1 (3®) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 5(x - 1) - 2 = 0 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ. Bµi 2 (2®) 1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). x  x 2 5 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để 1 . 3) Rót gän biÓu thøc: x 1 x1 2   x  1 (x  0; x  1). P = 2 x  2 2 x 2 Bµi 3 (1®) Một hình chữ nhật có diện tích 300m 2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc hình chữ nhật míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. TÝnh chu vi cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 4 (3®) Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C). Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF. 1) Chøng minh: a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) MF vu«ng gãc víi HK. 2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. Bµi 5 (1®) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phơng trình y = x2. Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. §Ò sè 18 (§Ò thi cña thµnh phè H¶i Phßng n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x  ay 1 (1)  ax  y 2 1) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2..

(115) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. C©u II (2®) Cho biÓu thøc:  x2 x 1  x1    : 2 x x  1 x  x  1 1  x   A= , víi x > 0 vµ x  1. 1) Rót gän biÓu thøc A. 2) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. C©u III (2®) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1. 2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. C©u IV (3®) Từ điểm M ở ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và một cát tuyến MCD (MC < MD) tới đờng tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lợt là giao điểm của đờng thẳng AB với các đờng thẳng MO, MD, OI. 1) Chøng minh r»ng: R2 = OE. OM = OI. OK. 2) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đờng tròn.   3) Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD. Chøng minh : DEC 2.DBC . C©u V (1®) Cho ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 1. Chøng minh r»ng: 3 2  2  14 xy  yz  zx x  y 2  z 2 . §Ò sè 19 (§Ò thi cña tØnh B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) 1) TÝnh :. . . 2 1 .. 21. .  x  y 1  2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x  y 5 . C©u II (2®) Cho biÓu thøc:. . .  x x  1 x x 1  2 x  2 x 1    : x 1 x  x x  x  A=  . 1) Rót gän A. 2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. C©u III (2®) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tèc thùc cña ca n«. C©u IV (3®) Cho đờng tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. Chứng minh:   1) BMD BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp. 2) HK song song víi CD. 3) OK. OS = R2. C©u V (1®) Cho hai sè a, b  0 tho¶ m·n : 1 1 1   a b 2. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh Èn x sau lu«n cã nghiÖm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. §Ò sè 20 (§Ò thi cña tØnh Th¸i B×nh n¨m häc 2003 – 2004) C©u I (2®) Cho biÓu thøc:.

(116) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10  x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003    . x  1 x 1 x2  1  x  A= . 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rót gän A. 3) Với x  Z ? để A  Z ? C©u II (2®) Cho hµm sè : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003). 2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0. 1 2 x 3) TiÕp xóc víi parabol y = - 4 . C©u III (3®) 1) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh : Một hình chữ nhật có đờng chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. 2) Chứng minh bất đẳng thức: 2002 2003   2002  2003 2003 2002 . C©u IV (3®) Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy E. Nối BE và kéo dài c¾t AC t¹i F. 1) Chøng minh CDEF lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) KÐo dµi DE c¾t AC ë K. Tia ph©n gi¸c cña gãc CKD c¾t EF vµ CD t¹i M vµ N. Tia ph©n gi¸c cña gãc CBF c¾t DE vµ CF t¹i P vµ Q. Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh g× ? T¹i sao? 3) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng: r 2 = r12  r22 . §Ò sè 21 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2007 – 2008) C©u I (2®). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 2x – 3 = 0 ; C©u II (2®).. 2) x2 – 4x – 5 = 0. S. x 2 x1  . x1 x 2. 1) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2x – 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 , x 2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 1  3   1    1  a 3  a  víi a > 0 vµ a 9. 2) Rót gän biÓu thøc : A =  a  3 C©u III (2®). mx  y n   1; 3 1) Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình  nx  my 1 có nghiệm là . 2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Câu IV (3đ). Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O). Kẻ đờng kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I lµ trung ®iÓm cña OD. 1) Chøng minh OM // DC. 2) Chøng minh tam gi¸c ICM c©n. 3) BM c¾t AD t¹i N. Chøng minh IC2 = IA.IN. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0). Tìm m sao cho chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt. §Ò sè 22 (§Ò thi cña tØnh H¶i D¬ng n¨m häc 2007 – 2008). . C©u I (2®). 2x  4 0  1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 4x  2y  3 .. .

(117) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 2. 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh C©u II (2®).. x 2   x  2  4. .. 1 1) Cho hµm sè y = f(x) = 2x2 – x + 1. TÝnh f(0) ; f( 2 ) ; f( 3 ).  x x 1 x  1     x x x 1 x  1   2) Rót gän biÓu thøc sau : A = víi x  0, x  1. C©u III (2®) 1) Cho ph¬ng tr×nh (Èn x) x2 – (m + 2)x + m2 – 4 = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp? 2) Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm. §Õn khi lµm viÖc, do ph¶i ®iÒu 3 c«ng nh©n ®i làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau. C©u IV (3®). Cho đờng tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất kì trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Kẻ đờng kính BB’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 1) Chøng minh AH // B’C. 2) Chøng minh r»ng HB’ ®i qua trung ®iÓm cña AC. 3) Khi điểm B chạy trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đờng tròn cố định. C©u V (1®). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đờng thẳng trên là lớn nhất. §Ò sè 23 . . . C©u I (2®). 5 2  x  x  y 2    3  1 1, 7  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x x  y . C©u II (2®). 1 x  x  x , víi x > 0 vµ x  1. Cho biÓu thøc P = x  1 1) Rót gän biÓu thøc sau P. 1 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 2 . C©u III (2®) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Biết rằng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đờng thẳng y = -2x + 2003. 1) T×m a vµ b. 1  x2 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) của (d) và Parabol y = 2 . C©u IV (3®). Cho đờng tròn (O) và một điểm A nằm ở bên ngoài đờng tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đờng tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đờng thẳng đi qua O vuông góc với OP và cắt đờng thẳng AQ tại M. 1) Chøng minh r»ng MO = MA. 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ của đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ lÇn lît t¹i B vµ C. a) Chøng minh : AB + AC – BC kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm N. b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đờng tròn thì PQ // BC. C©u V (1®). Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2  2x  3  x  2  x2  3x  2  x  3 §Ò sè 24 C©u I (3®). 1) §¬n gi¶n biÓu thøc :.

(118) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 P = 14  6 5  14  6 5 . 2) Cho biÓu thøc :  x 2 x  2  x 1   . x  2 x  1 x  1  x  Q= ,  víi x > 0 ; x 1. 2 a) Chøng minh r»ng Q = x  1 ; b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. C©u II(3®).  a  1 x  y 4  ax  y 2a Cho hÖ ph¬ng tr×nh  (a lµ tham sè). 1) Gi¶i hÖ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2. C©u III(3®). Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại ®iÓm thø hai lµ N vµ P. Chøng minh : 1) Tích BM.BN không đổi. 2) Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp. 3) BN + BP + BM + BQ > 8R. C©u IV (1®). x 2  2x  6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y =. x 2  2x  5 .. §Ò sè 25 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho biÓu thøc : 2 1 1 x −1 + ¿2 . − √1 − x 2 2 √ x − 1 √ x+1 A=¿ 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 2) Rót gän biÓu thøc A . 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh theo x khi A = -2 . C©u 2 ( 1 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5 x  1  3x  2  x  1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) . a) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A . c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (D) . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đ ờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F , đờng thẳng vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K . 1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân . 2) Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua A , C, F , K . 3) Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đờng tròn . §Ò sè 26 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 1 2 Cho hµm sè : y = x 2 1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số. 2) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – mx + m – 1 = 0 . 1) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ..

(119) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 x 21+ x 22 −1 . Từ đó tìm m để M > 0 . M= 2 x1 x 2+ x 1 x 22 2) Tìm giá trị của m để biểu thức P = x 21+ x 22 −1 đạt giá trị nhỏ nhất . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : a) √ x − 4=4 − x b) |2 x+3|=3 − x C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đ ờng tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , đờng thẳng EC , DF cắt nhau tại P . 1) Chøng minh r»ng : BE = BF . 2) Mét c¸t tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O1) vµ (O2) lÇn lît t¹i C,D . Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF . 3) Tính diện tích phần giao nhau của hai đờng tròn khi AB = R . §Ò sè 27 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : |x +2|<|x −4| 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn lín nhÊt cña x tho¶ m·n . 2 x +1 3 x −1 > +1 3 2 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 . b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng . C©u3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) . b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox , Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB . Dựng đờng tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đờng tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N . 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB . 2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . 3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất . §Ò sè 28 . C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 2 x+x 1 x +2 Cho biÓu thøc : A=( √ − ): √ x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc . b) TÝnh gi¸ trÞ cña √ A khi x=4 +2 √ 3 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 2 x−2 x −2 x −1 − 2 = 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 x −36 x −6 x x +6 x C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1 2 Cho hµm sè : y = x 2 1 a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; ;0;2. 8 b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hoành độ lần lợt là -2 và 1 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD , trên cạnh BC lấy 1 điểm M . Đờng tròn đờng kính AM cắt đờng tròn đờng kính BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E . 1) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng . 2) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC . Chøng minh Δ BCF= ΔCDE 3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC . §Ò sè 29 C©u 1 ( 3 ®iÓm ). (. ).

(120) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 ¿ −2 mx+ y =5 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+3 y=1 ¿{ ¿ c) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . d) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . e) Tìm m để x – y = 2 . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) ¿ x2 + y 2=1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x 2 − x= y 2 − y ¿{ ¿ 2) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm chuyển động trên đờng tròn . Từ B hạ đờng thẳng vuông góc với AM cắt CM ở D . Chøng minh tam gi¸c BMD c©n C©u 4 ( 2 ®iÓm ) 1 1 + 1) TÝnh : √5+ √ 2 √ 5 − √ 2 2) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) . §Ò sè 30 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) ¿ 2 1 + =7 x −1 y+ 1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 5 2 − =4 x −1 y −1 ¿{ ¿ C©u 2 ( 3 ®iÓm ) x +1 1 Cho biÓu thøc : A= √ : 2 x √ x + x+ √ x x − √ x a) Rót gän biÓu thøc A . b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Tìm điều kiện của tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung . x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 vµ x2 + (2m + 3 )x +2 =0 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm A,B . Từ một điểm M trên d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F lµ tiÕp ®iÓm ) . 1) Chứng minh góc EMO = góc OFE và đờng tròn đi qua 3 điểm M, E, F đi qua 2 điểm cố định khi m thay đổi trên d . 2) Xác định vị trí của M trên d để tứ giác OEMF là hình vuông . §Ò sè 31 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh (m2 + m + 1 )x2 - ( m2 + 8m + 3 )x – 1 = 0 a) Chøng minh x1x2 < 0 . b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = x1 + x2 . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 + 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh lËp x1 x2 ph¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : vµ . x 2 −1 x 1 −1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho x2 + y2 = 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña x + y ..

(121) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 ¿ x 2 − y 2 =16 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x + y=8 ¿{ ¿ 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N . 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? §Ò sè 32 C©u1 ( 2 ®iÓm ) Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) ¿ x+ my=3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+ 4 y=6 ¿{ ¿ c) Gi¶i hÖ khi m = 3 d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 1 , y > 0 . C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Cho x , y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x5+y5 = x3 + y3 . Chøng minh x2 + y2 1 + xy C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) . Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) đờng kính AD . Đờng cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đờng tròn (O) tại E . a) Chøng minh : DE//BC . b) Chøng minh : AB.AC = AK.AD . c) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC . Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . §Ò sè 33 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Trôc c¨n thøc ë mÉu c¸c biÓu thøc sau : 1 1 2+ 1 ; B= ; C= A= √ 2 √3+ √2 √ 3 − √2+1 √ 2+ √2 − √ 2 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0 (1) a) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .T×m m tho¶ m·n x1 – x2 = 2 . b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1 1 ; b= Cho a= 2 − √3 2+ √ 3 √a ; x = √b LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c hÖ sè b»ng sè vµ cã c¸c nghiÖm lµ x1 = √b+ 1 2 √ a+ 1 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng . 2) Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đờng tròn 3) E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E. 4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . §Ò sè 34 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 2 1)Vẽ đồ thị của hàm số : y = x 2 2)Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên . C©u 2 ( 3 ®iÓm ).

(122) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+2 √ x −1+ √ x − 2 √ x −1=2 b)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 2 S=x √1+ y 2 + y √ 1+ x2 víi xy + √ (1+ x )(1+ y )=a C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt tại E và F . 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn . 3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho F(x) = √ 2− x+ √1+ x a) Tìm các giá trị của x để F(x) xác định . b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất . §Ò sè 35 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 2 1) Vẽ đồ thị hàm số y= x 2 2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 ) 3) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+2 √ x −1+ √ x − 2 √ x −1=2 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 x +1 4 x + =5 x 2 x +1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác của góc BAD cắt DC và BC theo thứ tự tại M và N . Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC . 1) Chøng minh c¸c tam gi¸c DAM , ABN , MCN , lµ c¸c tam gi¸c c©n . 2) Chứng minh B , C , D , O nằm trên một đờng tròn . C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho x + y = 3 vµ y 2 . Chøng minh x2 + y2 5 §Ò sè 36 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ 2 x +5+ √ x − 1=8 2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình x2 +ax +a –2 = 0 là bé nhất . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( 3 ; 0) và đờng thẳng x – 2y = - 2 . a) Vẽ đồ thị của đờng thẳng . Gọi giao điểm của đờng thẳng với trục tung và trục hoành là B và E . b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng x – 2y = -2 . c) Tìm toạ độ giao điểm C của hai đờng thẳng đó . Chứng minh rằng EO. EA = EB . EC và tính diện tích cña tø gi¸c OACB . d) C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt . b) Tìm m để x 21+ x 22 đạt giá trị bé nhất , lớn nhất . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm của AB , BC theo thứ tự là M , N và E , F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của của B , C trên đờng kính AD . a) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE . b) Chứng minh N là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF . §Ò sè 37 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 9 6 ; b= So s¸nh hai sè : a= 3 −√3 √ 11 − √2 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :.

(123) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 ¿ 2 x + y =3 a −5 x − y=2 ¿{ ¿ Gọi nghiệm của hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x+ y+ xy=5 x 2+ y 2 + xy=7 ¿{ ¿ C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho tứ giác lồi ABCD các cặp cạnh đối AB , CD cắt nhau tại P và BC , AD cắt nhau tại Q . Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt nhau tại một điểm . 3) Cho tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . Chøng minh AB . AD+ CB .CD AC = BA . BC+DC . DA BD C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho hai sè d¬ng x , y cã tæng b»ng 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : 1 3 S= 2 2 + x + y 4 xy §Ò sè 38 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2+ √ 3 2 −√3 P= + √ 2+ √2+ √3 √2 − √ 2 − √ 3 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 2) Cho ph¬ng tr×nh x2 – x – 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 , x2 . H·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ x1 x : ; 2 1 − x 2 1− x2 C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 2 x −3 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức : P= lµ nguyªn . x +2 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E , EN cắt đờng thẳng AB tại F . 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB §Ò sè 39 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) ¿ x 2 −5 xy −2 y 2=3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : y 2 + 4 xy + 4=0 ¿{ ¿ C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 2 Cho hµm sè : y= x vµ y = - x – 1 4 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ . 2 b) Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – 1 và cắt đồ thị hàm số y= x 4 tại điểm có tung độ là 4 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + q = 0.

(124) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . b) Tìm q để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình là 16 . C©u 4 ( 2 ®iÓm ) 1) T×m sè nguyªn nhá nhÊt x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh : |x − 3|+|x +1|=4 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 √ x 2 −1− x 2 −1=0 C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A . Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đ ờng cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM ở D . Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N . a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD . b) Chøng minh EF // BC . c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN . §Ò sè 40 C©u 1 : ( 2 ®iÓm ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3 . 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5 . C©u 2 : ( 2,5 ®iÓm ) 1   1 1  1  1 A=     :   1- x 1  x   1  x 1  x  1  x Cho biÓu thøc : a) Rót gän biÓu thøc A . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 7  4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . C©u 3 : ( 2 ®iÓm ) 2 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x  3 x  5 0 vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1  2 2 2 2 x x2 1 a) b) x1  x2 1 1  3 3 x  x2 x x2 1 c) d) 1 C©u 4 ( 3.5 ®iÓm ) Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . §Ò sè 41 C©u 1 ( 2,5 ®iÓm )  a a  1 a a 1  a  2   : a  a a  a  a  2  Cho biÓu thøc : A = a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . b) Rót gän biÓu thøc A . c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu . C©u 3 ( 2 ®iÓm ).

(125) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 1  1  x  y  x  y 3    2  3 1  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x  y x  y x 5 x 5 x  25   2 2 2 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  5 x 2 x  10 x 2 x  50 C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . VÏ vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ AB các nửa đờng tròn đờng kính theo thứ tự là AB , AC , CB có tâm lần lợt là O , I , K . Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) ở E . Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm cuae EA , EB với các nửa đ ờng tròn (I) , (K) . Chøng minh : a) EC = MN . b) MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I) và (K) . c) Tính độ dài MN . d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn . §Ò sè 42 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 1 1 a 1 1 a 1   1 a Cho biÓu thøc : A = 1  a  1  a 1  a  1  a 1) Rót gän biÓu thøc A . 2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 . 2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m . 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 vµ x2 cïng d¬ng . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC . 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp .   2) Chøng minh AMB HMK 3) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK . C©u 5 ( 1 ®iÓm )  xy ( x  y ) 6   yz ( y  z ) 12  zx( z  x) 30 T×m nghiÖm d¬ng cña hÖ :  §Ó sè 43 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - H¶i d¬ng - 120 phót - Ngµy 28 / 6 / 2006 ) C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2 x  y 3  2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 5  y 4 x C©u 2( 2 ®iÓm ) a 3 a1 4 a 4    a > 0 ; a  4 4 a a 2 1) Cho biÓu thøc : P = a  2 a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại ..

(126) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 3 3 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1  x2 0 C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km . Một ô tô đi từ A đến B , nghỉ 90 phút ở B , rồi lại từ B về A . Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ . Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h . Tính vận tốc lúc đi cña « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD C©u 5 ( 1 ®iÓm ) 2x  m 2 Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức x  1 bằng 2 . §Ó sè 44 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - H¶i d¬ng - 120 phót - Ngµy 30 / 6 / 2006) C©u 1 (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 5( x - 1 ) = 2 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b . Xác định a , b để (d) đi qua hai điểm A ( 1 ; 3 ) và B ( - 3 ; - 1) 2) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) x  x2 5 Tìm m để : 1 x 1 x1 2   ( x 0; x 0) x1 3) Rót gän biÓu thøc : P = 2 x  2 2 x  2 C©u 3( 1 ®iÓm) Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 . Nếu giảm chiều rộng đi 3 m , tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M  B ; M  C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Câu 5 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; 0 ) và Parabol (P) có phơng trình y = x2 . Hãy tìm toạ độ của điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất ..

(127) C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10.

(128)

ON THI VAO LOP 10 THPT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về