Tích phân các hàm số lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC 1. Thuộc các nguyên hàm :  1 a/  sin  ax+b  dx   cos  ax+b   a  . . c/.  cos  ax+b  dx . .  sin  ax+b  dx   ln c os ax+b      cos  ax+b  . b/.  1 sin  ax+b   a. . d/. cos  ax+b . . dx  ln sin  ax+b     sin  ax+b . . 2. Đối với : I   f ( x)dx . a/ Nếu f(x)= R  sin m x; cos n x  thì ta chú ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi .... 3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm . II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :  2. a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I   0. sin 2x  sin x 1  3 cos x. dx. . b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 .. sin 2x cos x dx 1  cos x 0 2. I. KQ: 2 ln 2  1. Giải . . 2  2 cos x  1 s inx dx sin 2 x  sin x dx   a. I   1  3cos x 1  3cos x 0 0 2. 1.  t2 1 2 cosx= 3 ;s inxdx=- 3 tdt Đặt : t  1  3cos x    x  0  t  2; x    t  1  2 2  t 1  2  1 1  2 2 3     2 tdt   2 2t  1 dt  2  1 t 3  t  2  34 Khi đó : I     1 9 t 9  3  3   1 27 2. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . 2 sin 2 x cos x 2sin x cos x cos 2 x dx   dx  2  s inxdx 1  cos x 1  cos x c osx+1 0 0 0 2. 2. 2. b. I  . 1.   dt=-sinxdx, x=0  t=2;x= 2  t  1 Đặt : t  1  cosx   2  f ( x)dx   t  1 dt   t  2  1  dt    t t   1. 2 2 1 1 Do đó : I  2  f ( x)dx  2  t  2   dt  2  t 2  2t  ln t   2 ln 2  1 0. 2. t. . 1. 2. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau . sin 2x. 2. I. a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .. cos x  4sin x 2. 0. 2. dx. KQ:. 2 3. . cos 3x dx sin x  1 0 2. b. CĐ Bến Tre – 2005 . I  . KQ: 2  3ln 2 Giải. . sin 2x. 2. a. I  . dx . Đặt : t  cos 2 x  4sin 2 x  t 2  cos 2 x  4sin 2 x. cos x  4sin x 2  2tdt   2sin x cos x  8sin x cos x  dx  3sin 2 xdx  sin 2 xdx  3 tdt Do đó :   x  0  t  1; x    t  2  2 2. 0. 2.  2. Vậy : I   f ( x)dx  0. 2 2 2 tdt 2 2 2 2  dt  t    31 t 31 3 1 3. . cos 3x dx . sin x  1 0 2. b. I  . Ta có : cos3x=4cos3 x  3cos x   4 cos 2 x  3 cosx=  4-4sin 2 x  3 cosx= 1-4sin 2 x  cosx. 1  4sin x  cosxdx 1 cos3x Cho nên : f ( x)dx  dx   1+sinx 1  s inx   dt=cosxdx,x=0  t=1;x= t 2  2 Đặt : t  1  s inx   1  4  t  12     dt   8  4t  3  dt    f ( x)dx  t t   2.  2. 2. 0. 1. 2 3 Vậy : I   f ( x)dx    8  4t   dt   8t  2t 2  3ln t   2  3ln 2 . 1. t. Ví dụ 3. Tính các tích phân sau Trang 2. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  2. a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 . I   0.  2. I. b. CĐ Y Tế – 2006 .. sin x  cos x 1  sin 2x.  4. sin xdx sin 2 x  2 cos x.cos 2. dx. x 2. KQ: ln 2. Giải . . 2. 2. . . 2 sin xdx s inx  2  dx   ln 1  cosx 2  ln 2 a. I   x 0 sin x  cos x. 1  cosx  0 1+cosx 0 sin 2 x  2 cos x.cos 2 0 2.  2. b. I    4. sin xdx. sin x  cos x 1  sin 2x.  2. dx    4.  2. sin x  cos x. sin x  cos x dx  s inx+cosx. dx  .  s inx+cosx . 2.  . . 1. 4. . . . . Vì : s inx+cosx= 2 sin  x   ;  x    x   3  sin  x    0 4 4 2 2 4 4 4   Do đó : s inx+cosx  s inx+cosx Mặt khác : d  s inx+cosx    cosx-sinx  dx  2. Cho nên : I    . 4. . d  s inx+cosx  1   ln s inx+cosx 2   ln1  ln 2   ln 2  sinx+cosx 2 4. Ví dụ 4. Tính các tích phân sau . cos 2x. 2. I. a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 .. 0. dx. KQ:. KQ:. 1 ln 3 4.  sin x  cos x  3. 3. 1 32. . b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .. cos 2x dx 1  2sin 2x 0 4. I. Giải . cos 2x. 2. a. I   0.  sin x  cos x  3. Cho nên : f ( x)dx . 3. dx . Vì : cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x   cosx+sinx  cosx-sinx  cos2x.  sinx-cosx+3. 3. dx .  cosx-sinx  cosx+sinx dx  3   sinx-cosx+3.   dt=  cosx+sinx  dx; x  0  t  2, x  2  t  4 Đặt : t  s inx-cosx+3    f ( x)dx  t  3 dt   1  3 1  dt 2 t3 t3  t   2. 4. 1 1  1 3 14 1  3 3  dt     2   2 t t   t 4 t  2 32 2. Vậy : I   f ( x)dx    0. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1   dt  4 cos 2 xdx  cos2xdx= dt 4  cos 2x  4 b. I   dx . Đặt : t  1  2sin 2 x   1  2sin 2x 0  x  0  t  1; x    t  3  4 . 3 3 1 cos 2x 1 dt 1 dx    ln t  ln 3 1  2sin 2x 41 t 4 1 4 0 4. Vậy : I  . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau : . 4sin3 x I dx 1  cos x 0 2. a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .. KQ: 2.  6. sin 3x  sin3 3x dx 1  cos3x 0. b. CĐ Bến Tre – 2006 . I  . Giải . . .  2 1  cos2 x 2 4sin3 x 1 2 a. I   dx  4  s inxdx=4  1  cosx  s inxdx=4. 1  cosx  2  2 1  cos x 1  cosx 2 0 0 0 0 2. . .  6. sin 3x  sin3 3x dx . 1  cos3x 0. b. I  . Ta có : sin 3x  sin 3 3x  sin 3x 1  sin 2 3x   sin 3x.cos 2 3x . 1  dt=-3sin3xdx  sin3xdx=- 3 dt Đặt : t  1  cos3x    x  0  t  2; x    t  1  6 . Vậy :. 6.  0. 1  t  1 1  1 11 f ( x)dx    dt    t  2   dt   t 2  2t  ln 32 t 31 t 3 2 1. 2. 2. 1 1 2 t     ln 2 6 3 1. Ví dụ 6. Tính các tích phân sau  2 3. a. I = .  3. c. I =. 3. sin x  sin x cot gx dx sin x. b. I =.  2. .  2.   x) 4 dx  sin(  x) 4 sin(. .  2. 2. 4 4 d. I =  cos 2 x( sin x  cos x)dx. 4.  sin x dx. 0. 0. Giải a. I =.  2 3. .  3. Trang 4. 1   s inx 3  1   sin x  sin x sin 2 x   cot gx dx   cot xdx sin x s inx  3.  2. 3. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  2.  2. 1   3 2   3 1   cot xdx    cot x cot xdx 2 sin x     3. 3.   sin(  x) 2 cosx-sinx 4 b. I = dx  dx     sin(   x)  cosx+sinx  2 2 4  2.  d  cosx+sinx     ln cosx+sinx 2  0   cosx+sinx   2 2  2.  2.  2. 1  cos2x  1  1  cos4x   dx   1  2cos 2x   dx 2 4 2   0 0.  4  sin x dx   . c. I =.  2. 2. 0  2.  1 1 1 3 3 1  3      cos2x+ cos4x  dx   x  sin 2x  sin 4x  2  2 8 4 32  8  0 16 08  2. 4 4 1 d. I =  cos 2 x( sin x  cos x)dx . Vì : sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x. 2. 0. Cho nên : . . . . 2. . 2 12 1 1  1  I   1  sin 2 2 x  cos2xdx=  cos2xdx-  sin 2 2 x cos 2 xdx  sin 2 x 2  sin 3 2 x 2  0 2 20 2 3  0 0 0 0. Ví dụ 7. Tính các tích phân sau  4.  2. a. I =  sin 5 xdx. b. I = .  6. 0.  3. 1 sin 2 x cot gx. dx.  2. c. I =  tg 2 x  cot g 2 x  2dx. d. */I =  ( 3 cos x  3 sin x )dx.  6. 0. Giải  2.  2. 0. 0. a. I =  sin 5 xdx .  1  cos x  2. 2.  2. sinxdx=-  1  2cos 2 x  cos 4 x  d  cosx  0.  2 1 5  2  3   cosx+ cos x  cos x  2  3 5   0 15 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  4. b. I = .  6. 1 2. sin x cot gx. dx .. 1 1  2 tdt   dx  dx  2tdt 2  sin x sin 2 x 2 Đặt : t  cot x  t  cot x    x    t  3; x    t  1  6 4 1. 3. 2tdt 3  2  dt  2t 2 t 1 1 3. Vậy : I   . . . 3 1.  3.  3.  3.  6.  6.  6. c. I =  tg 2 x  cot g 2 x  2dx  Vì : tanx-cotx=. 2   t anx-cotx  dx   t anx-cotx dx. sinx cosx sin 2 x  cos 2 x cos2x    2  2 cot 2 x cosx sinx s inxcosx sin2x.     t anx-cotx<0;x   ;        3 3 6 4 Cho nên : x   ;   2 x   ; 2   cot 2 x    ;     6 3 3 3     3 3   t anx-cotx>0;x   ;  4 3  . . 4. 3. 4. 6. 4. 6. . . 3 cos2x cos2x 1 dx   dx  Vậy : I     t anx-cotx  dx    t anx-cotx  dx    sin2x 2     sin2x. . 4. .  ln sin 2 x  4  12  ln sin 2 x  3  ln 2 6. 4.  2. d. I =  ( 3 cos x  3 sin x )dx (1) 0. Đặt : x .  2.  t  dx  dt , x  0  t .  2. ;x .  2. t 0. Do đó : . 2      I    3 cos   t   3 sin  t    dt     2   2     0 0. . . 3. . 2. sin t  3 cost dt   0. . 3. . sin x  3 cosx dx.  2. 2. Lấy (1) +(2) vế với vế : 2 I  0  I  0 Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau . . . 3. 4. cos 6 x  4 dx (NNI-2001)  sin x. a.  tan 4 xdx (Y-HN-2000) b. . cos2x 0  sinx+cosx+2  dx (NT-2000) c.. 4. Trang 6. 2. 4. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . d.. 2. 4. sin x 0 cos6 x dx ( GTVT-2000). e.. . 2. sin 2 x 0 4  cos2 x dx. f.. 1  2sin 2 x 0 1  sin 2 x dx (KB-03) 4. Giải . 2 sin 4 x 1  cos x  1 1  2 1 a.  tan xdx . Ta có : f ( x)  tan x  4  4 4 cos x cos x cos x cos 2 x  2. 3. 4. 4. 4. . . . 3. 3. 3. Do đó : I   f ( x)dx   . . 1 1 dx  3 2  1 dx   1  tan 2 x    2 tan x  x  4 2 2  cos x  cos x   cos x  4 4 4. . 4. . 1    4    2    3    t anx+ tan 3 x    2 3  2     2 3     2 3  2     3 12   3  12  3 12    4. * Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :. f ( x)  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x  1  1  tan 2 x 1  tan 2 x   tan 2 x  tan 2 x 1  tan 2 x    tan 2 x  1  1 . . . 3. 3. 3. . . 4. 4. Vậy : I    tan 2 x 1  tan 2 x    tan 2 x  1  1 dx   tan 2 x.. . 3 dx dx   dx cos 2 x  cos 2 x  4. 4. .   1  2  1  3 1 I   tan 3 x  t anx+x    3 3  3      1     3  3 4  3 12 3   3 4 . b.. 4. cos2x.   sinx+cosx+2  dx . 0. Ta có : f ( x) .  sinx+cosx+9 . . . 4. 4.  cos x  sin x    cosx-sinx  cosx+sinx   2. cos2x 3. 2.  sinx+cosx+9 .  sinx+cosx+9 . 3. 3.  cosx+sinx   cosx-sinx dx 1   3    0   sinx+cosx+2   . Do đó : I   f ( x)dx    0.   cosx+sinx=t-2.x=0  t=3;x= 4  t  2  2, Đặt : t  s inx+cosx+2   dt   cosx-sinx  dx  f ( x)dx  t  2 dt   1  2 1  dt 2 t3 t3  t . Vậy :   1 1 1 1  1 1  22      1  1   2  1 2 I    2  2 3  dt     2      2   t t   t t  3 3   2 2 2 2   3 9 3 2 2    sin t  cost  sin t  cost dt   sin t  cost  cost  sin t dt  f ( x)        sin t  cost+9   sin t  cost+9  2 2. . . . Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. . 2. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . cos 6 x  4 dx   sin x 2. c.. 4. 2 cos 6 x 1  sin x  1  3sin 2 x  3sin 4 x  sin 6 x 1 1    3 2  3  sin 2 x Ta có : f ( x)  4  4 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x 3. . . 2. Vậy : I   1  cot 2 x  . . . 2 dx dx  1  cos2x   3  3 dx    dx 2 2    sin x  sin x  2   . 4. 2. 2. 4. 4. 4. . 1 1  1  2 5 23    cot 3 x  3cot x  3 x  x  sin 2 x    2 4 8 12  3  4 . . . . . 4 sin x 1  cos x 1  1 1 dx  1 2 dx  dx   dx  dx  0 cos6 x 0 cos6 x 0  cos6 x cos4 x  0 cos4 x cos2 x 0 1  tan x  cos2 x 4. d.. 2. 2. 4. . 4. 4. . 4.   1  tan 2 x  0. 2. . . 4 4 4 1 1 2 2 4 dx  1  tan x dx  1  2 tan x  tan x d tan x  1  tan 2 x  d  t anx         2 2    cos x cos x 0 0 0. . . 2 1 1 1 8   1    t anx+ tan 3 x  tan 5 x  t anx- tan 3 x  4   tan 3 x  tan 5 x  4  3 5 3 5   0 3  0 15 . . . . . 2 2 2 d  7  cos2x  sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x 3 dx  dx  dx     ln 7  cos2x 2  ln e.  2    1  cos2x 4  cos x 7  cos2x 7  cos2x 4 0 0 4 0 0 0 2 2. . f.. . . . 1  2sin x cos2 x 1 4 d 1  sin 2 x  1 1 dx  dx  0 1  sin 2 x 0 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x  2 ln 1  sin 2 x 4  2 ln 2 0 4. 2. 4. Ví dụ 9. Tính các tích phân sau : .  2. a.  sin 3 x cos 4 xdx. b.. 0. . 2. sin 3 x.  1  2cos3x dx 0. . 6 sin 2 x cos 2 x dx  J   dx  K  c. I   s inx+ 3 c osx s inx+ 3 c osx 0 0 6. 5.  3. cos2x dx 3 s inx.  cosx-. 3. 2. Giải . . . 2. 2. 2. 0. 0. a.  sin 3 x cos 4 xdx   1  cos 2 x  cos 4 x.s inxdx    cos6 x  cos 4 x  d  cosx  0. . 1 2 1    cos 7 x  cos5 x  2  5 7  0 35. Trang 8. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . 2. 2. . . sin 3 x 1 3sin 3 x 1 2 d 1  2 cos 3 x  1 1 dx    dx       ln 1  2 cos 3 x  2  ln 3 b.  1  2cos3x 6 0 1  2 cos 3 x 6 0 1  2 cos 3 x 6 6 0 0 . . . sin x  cos x 1 1 16 1 dx   dx   dx  2 2   s inx+ 3 c osx 1 3 0 0 0 sin x  s inx+ cosx   3  2 2   x   d  tan     1 1 1 1  2 6  Do :   .     x    x  x  x  sin  x   2sin    cos  x+  tan    2cos 2    tan    3  2 6  6 2 6 2 6 2 6   x    d  tan      6 1 1 1 x   2 6  1  Vậy : I    ln tan    6  ln 3  ln 3 (1) 20 2 4 x  2 6 0 2 tan    2 6 6. c. Ta có : I  J  . 2. 2. 6. . . . . . 6 sin x  3cosx sin x  3cosx sin x  3cos x dx   dx s inx+ 3 c osx s inx+ 3 c osx 0 0 6. - Mặt khác : I  3J  . 2. 2. . . Do đó : I  3J    s inx- 3cosx  dx   cosx- 3 s inx  6  1  3 (2) 6. 0. 0.  3 3 1 1  I  ln 3   I  J  ln 3  16 4 4  Từ (1) và (2) ta có hệ :   I  3J  1  3  J  1 ln 3  3  1   16 4. .  3. . . . 2. 3. 6. Để tính K ta đặt t  x  3  dt  dx  x  3 ; t  0.x  5  t  2. . . 6. cos  2t+3 . 0.     cos  t+3   3 sin  t+3  2 2  . Vậy : K  . cos2t 1 3 1 dt  I  J  ln 3  8 2 0 sint+ 3cost 6. dt   . Ví dụ 10. Tính các tích phân sau . . a. c.. . 4. 1 0 1  sin 2 x dx ( CĐ-99). b.. 2. dx.  2  s inx+cosx (ĐH-LN-2000) 0. . . 2. 3. 10 10 4 4   sin x  cos x  sin x cos x  dx (SPII-2000)d. 0. 1 dx (MĐC-2000)   s inxsin  x+  6  6.  . Giải  4. . . 4 4 1 1 a.  dx   dx  2 0 1  sin 2 x 0 0  s inx+cosx . . 1   dx  tan  x   4  1  4   2 cos 2  x   0 4 . Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . b.. 2. dx.  2  s inx+cosx. .. 0. x 2. Đặt : t  tan  dt  1. 1. 1 x 2 cos 2 2. 1 x 2dt  dx  1  tan 2  dx;  dx  ; x  0  t  0, x   t  1 2 2 2 1 t 2 1. 1. 2 2dt 2dt dt   2   2 1  t  0 t  2t  3 0  t  12  2.  2 2 2 t 1  t 0 2  1 t2 1 t2  1 2 du; t  0  tan u  ; t  1  tan u  2 dt  2 2 cos u 2  Đặt : t  1  2 tan u   2dt 2 2  f (t )dt   du  2du 2 2  cos 2u 2 1  tan u t  1  2      u2   u 2 Vậy : I   2du  2u 2  2  u2  u1   2  arxtan  arctan 2  u1 2 u1   Vậy : I  . .. . c.. 2.   sin. 10. x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  dx. 0. Ta có : sin10 x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  sin 2 x  cos 2 x    cos 4 x  sin 4 x  cos6 x  sin 6 x    cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x sin 2 x . 1 1  cos4x 1  cos8x 15 1 1  1   cos 2 2 x 1  sin 2 2 x   cos 2 2 x  sin 2 4 x     cos4x+ cos8x 16 2 32 32 2 32  4  . . . 15 1 1 15  1 1 15 Vậy : I     cos4x+ cos8x  dx   sin 4 x 2  sin 8 x 2  32 2 32 32 2 8 32.8 64  0 0 0 2.  3. 1 dx .   s inxsin  x+  6  6        1 Ta có :  x    x   sin  x    x   sin  x   cosx-sinxco  x   = * 6 6 6  6 6 2         1 sin  x   cosx-sinxco  x   1 6 6  2 2 2  Do đó : f ( x)        s inxsin  x+  s inxsin  x+  s inxsin  x+   6  6  6         cos  x+  cos  x+   3 3 cosx  6   I  f ( x)dx  2  cosx   6   dx  2  ln s inx  ln sin  x+              sinx    6    sinx  sin  x   sin x    6 6 6 6     . d..  .  I  2 ln. s inx 3 1 2 3 3  ln  ln .  2 ln 2 2 3 2    sin  x+   6 6. Trang 10. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.  3.  6.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. * Chú ý : Ta còn có cách khác f(x)=. 1 1      3  sin 2 x 1 s inxsin  x+  s inx  s inx+ cosx   6 2 2   . . 3. 3. Vậy : I   . 2 1 dx    2 3  cot x sin x . 6. 6. 2d. . . 3  cot x 3  cot x. . . 2 3  cot x.  .   2 ln. 3  cot x. 3. .  2 ln. 3 2. 6. Ví dụ 11. Tính các tích phân sau . a..  3. 2. 2. s inxcos x 0 1  cos2 x dx (HVBCVT-99). b.  cos 2 x cos 2 2 xdx ( HVNHTPHCM-98) 0. . . c.. 4. sin 4 x 0 cos6 x  sin 6 x dx (ĐHNT-01). d.. 4. dx.  cos x 4. (ĐHTM-95). 0. Giải . a.. . s inxcos3 x 1 2 cos 2 x dx  (sin 2 x)dx 0 1  cos2 x 2 0 1  cos 2 x 2. 1. dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx Đặt : t  1  cos x   2  cos x  t  1; x  0  t  2; x  2  t  1 1 2 2 ln 2  1 1  t  1 1 1 1 Vậy : I    dt      1 dt   ln t  t   1 22 t 2 1t  2 2 2.  2. b.  cos 2 x cos 2 2 xdx . 0. 1  cos2x 1  cos4x 1 .  1  cos2x+cos4x+cos4x.cos2x  2 2 4 1 1 1 1  1 3  1  cos2x+cos4x+  cos6x+cos2x     cos2x+ cos4x+ cos6x 4 2 4 8  4 8. Ta có : f ( x)  cos 2 x cos 2 2 x . . . 1 3 1 1 1 3 1 1  Vậy : I     cos2x+ cos4x+ cos6x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  2  4 8 4 8 16 16 48  4  0 8 0 2. . c.. 4. sin 4 x.  cos x  sin 6. 0. 6. x. dx .. Vì : d  sin 6 x  cos6 x    6sin 5 x cos x  6cos5 x sin x  dx  6sin x cos x  sin 4 x  cos 4 x   d  sin 6 x  cos 6 x   3sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  dx  3sin 2 x cos 2 xdx. 3 2   sin 4 xdx  sin 4 xdx   d  sin 6 x  cos 6 x  2 3 . .  6 6 sin 4 x 2 4 d  sin x  cos x  2 4 6 6 dx      ln  sin x  cos x  4  ln 2 Vậy :  6 6 6 6 cos x  sin x 3 0  sin x  cos x  3 3 0 0 4. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . 4. 4. . . 4 dx 1 dx 1 4    1  tan 2 x  d  t anx    t anx+ tan 3 x  4  d.  4   2  2  cos x 0 cos x cos x 0 3   0 3 0. Ví dụ 12. Tính các tích phân sau . . . 4. b.  sin 2 x cos 4 xdx (NNI-96). a.  sin11 xdx ( HVQHQT-96). 0. 0.  4. c.  cos 2 x cos 4 xdx (NNI-98 ). d.. 0. . . 1  cos2x dx (ĐHTL-97 ). 0. Giải. . a.  sin11 xdx 0. Ta có :. sin11 x  sin10 x.s inx= 1-cos 2 x  s inx= 1-5cos 2 x  10 cos3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos 6 x  s inx 5. . Cho nên : I   1-5cos 2 x  10 cos3 x  10 cos 4 x  5cos5 x  cos6 x  s inxdx 0. 5 5 5 1   118   cos 7 x  cos 6 x  2 cos5 x  cos 4 x  cos3 x  cosx   6 2 3 21 7 0  4. b.  sin 2 x cos 4 xdx 0. Hạ bậc : 2.  1  cos2x   1  cos2x  1 2 sin x cos x      1  cos2x  1  2 cos 2 x  cos 2 x  2 2    8 1  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  cos2x-2cos 2 2 x  cos3 2 x  8 1 1 1+cos4x  1+cos4x    1  cos2x-cos 2 2 x  cos3 2 x   1  cos2x cos2x   8 8 2 2   2. 4. 1 1 cos6x+cos2x  1  cos2x-cos4x+cos4x.cos2x   1  cos2x-cos4x+  16 16  2  1  2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  32. . . . 4. 1 1 3 1 1  sin 6 x  sin 4 x  4  Vậy I    2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  dx   x  sin 2 x  32 64 32.6 32.4  32  0 0  2    2 d.  1  cos2x dx   2 cos xdx  2  cosx dx  2   cosxdx   cosxdx   0 0 0 0   2       2  s inx 2  s inx    2 1  1  2 2  0 2   . Trang 12. . . Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG 1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2. * Sử dụng công thức :. b.  0. b. f ( x)dx   f (b  x)dx 0. Chứng minh : x  0  t  b x  b  t  0.  Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,    Do đó :. b. 0. b. b. 0. b. 0. 0.  f ( x)dx   f (b  t )(dt )   f (b  t )dt   f (b  x)dx . Vì tích phân không. phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau . a/. 2. . 4sin xdx.   s inx+cosx . 2. 5cos x  4sin x. 0.   s inx+cosx . . . b/. 3. 3. dx. 0. 4. c/  log 2 1  t anx  dx. d/. 0. sin 6 x 0 sin 6 x  cos6 x dx 2.  1. e/  x m 1  x  dx n. f/. 0. sin 4 x cos x 0 sin 3 x  cos3 x dx 2. Giải  2. a/ I   0. 4sin xdx.  s inx+cosx . .(1) . Đặt :. 3.    dt   dx , x  0  t  ; x  t 0  2 2       4sin   t  t   x  x  t   4 cos t 2  2 2  f ( x)dx  dt    dt  f (t )dt 3  3 cost+sint          sin  2  t   cos  2  t        . Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :  0. 2. . 0. I   f (t )dt  . 4cosx.  sinx+cosx . 3. dx.  2. 2.  2. Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 2 I   0. . 4  s inx+cosx .  s inx+cosx . 3.  2. dx  I  2 . 1. 0  s inx+cosx . 2. dx. . 1    I  2 dx  tan  x   2  2  4  0 2 cos 2  x  0   4  2.  2. b/ I   0. 5cos x  4sin x.  s inx+cosx . 3. dx . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  2. I 0. . 5cos x  4sin x.  s inx+cosx . 3. 0. dx   . 5sin t  4 cos t. .  cost+sint . 3. 2. dt   0. 5sin x  4cosx.  s inx+cosx . 3. dx.  2. 2. . . 2. Vậy : 2 I   0. . 1 1  1  dx   dx  tan  x   2  1  I   2 4 2  0 2 cos 2  x  0   4  2. 1.  s inx+cosx . 2.  4. c/  log 2 1  t anx  dx . Đặt : 0.    dx  dt , x  0  t  ; x   t  0  4 4    t   x  x  t   4 4  f ( x)dx  log 2 1  t anx  dx  log 2 1  tan    t    dt    4   1  tan t  2 Hay: f (t )  log 2 1   dt   log 2 2  log 2 t   dt   log 2 1  tan t  1  tan t  . . 4. 4. 0. 0. 0. . Vậy : I   f (t )dt   dt   log 2 tdt  2 I  t 4  . 0. 4. . I. 4.  8. . sin 6 x dx (1) sin 6 x  cos 6 x 0 2. d/ I  .    sin 6   t  2 cos 6 x 2  d  t     6   6   0 cos6 x  sin 6 x dx  I (2)  sin   t   cos   t  2 2  2  0. . . . 2 cos x  sin x   dx  dx  x 2   I  Cộng (1) và (2) ta có : 2 I   6 6  cos x  sin x 2 4 0 0 0 2. 1. 6. 6. e/  x m 1  x  dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx n. 0. 0. 1. 1. 0. 0. Do đó : I   1  t  t n (dt )   t n (1  t )m dt   x n (1  x)m dx m. 1. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2.  2. 4sin x dx 1.  1  cosx 0. 2.. 3.. 5.  x5 1  x3  dx (ĐHKT-97 ) 6. 4.. 3.  0. 6.. 0. Trang 14. (XD-98 ).  3. s inxcos x 0 1  cos2 x dx 1. cosx+2sinx.  4 cos x  3sin x dx 0.  2. 4. . x  s inx dx ( HVNHTPHCM-2000 ) cos 2 x. x sin x.  2  cos x dx 2. ( AN-97 ). 0. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . 7. 9.. . 4. 1  s inx. 2.  8.  ln   dx ( CĐSPKT-2000 ) 1+cosx   0. s inx+2cosx 0 3sin x  cosx dx ( CĐSPHN-2000). . . x sin x 0 9  4 cos2 x dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) . * Dạng : I   . 10.. sin 4 x cos x 0 sin 3 x  cos3 x dx 2. asinx+bcosx+c dx a 's inx+b'cosx+c'. Cách giải : . Ta phân tích :. asinx+bcosx+c.   a 's inx+b'cosx+c'. dx  A . B  a ' cosx-b'sinx  C  a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'. - Sau đó : Quy đồng mẫu số - Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C . - Tính I :.   B  a ' cosx-b'sinx    C dx I   A   dx   Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c'   C   a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'    a 's inx+b'cosx+c' . VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ . Tính các tích phân sau : . a.. . 2. s inx-cosx+1 0 s inx+2cosx+3 dx ( Bộ đề ). b.. 4. cosx+2sinx.  4 cos x  3sin x dx. ( XD-98 ). 0.  2. s inx+7cosx+6 dx c.  4sin x  3cos x  5 0. d. I =.  2. 4 cos x  3sin x  1. dx  0 4 sin x  3cos x  5. Giải . a.. 2. s inx-cosx+1.  s inx+2cosx+3 dx . Ta có : 0. f ( x) . B  cosx-2sinx  s inx-cosx+1 C  A  s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3. 1. Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số : 1  A   5  A  2B  1  A  2 B  s inx+  2A+B  cosx+3A+C   3   f ( x)   2 A  B  1   B   . Thay vào (1) s inx+2cosx+3 5 3 A  C  1   4  C  5  . . 2. 2. . . 3 d  s inx+2cosx+3 4 2 1  3 4  1 I      dx     dx    ln s inx+2cosx+3 2  J 5 5 0 s inx+2cosx+3 5 0 s inx+2cosx+3 10 5 5 0 0  3 4 4 I    ln  J  2  10 5 5 5. - Tính tích phân J : Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 dx   ; x  0  t  0, x   t  1 dt  2 x 2 cos 2  1 x 2dt  2 Đặt : t  tan   . (3) J  2 1 2dt 2dt 2  t  1  2   0 f ( x)dx    2t 1 t2 1  t 2 t 2  2t  3 2 3  1 t2 1 t2. Tính (3) : Đặt :  du 2 .t  0  tan u   u1 ; t  1  tan u  2  u2 dt  2 2 cos u 2  t  1  2 tan u   1 2du 2  du  f (t )dt  2 2 c os u 2  cos 2u   2 u2 2 2  3 4 4 2  tan u1  Vậy : j=  du   u2  u1   I  I    ln   u2  u1   2 2 2 10 5 5 5 2 u  tan u  2  2 . b.. 4. cosx+2sinx.  4 cos x  3sin x dx;. f ( x) . 0. B  3cos x  4sin x  cosx+2sinx C  A   1 4 cos x  3sin x 4 cos x  3sin x 4 cos x  3sin x. 2 5. 1 5. Giống như phàn a. Ta có : A  ; B   ;C=0 . .  2 1  3cos x  4sin x   1  1 4 2 2  Vậy : I      dx   x  ln 4 cos x  3sin x  4   ln 5 5 4 cos x  3sin x  5 7 5  0 10 5 0 4. Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện . BÀI TẬP . . 1.. 2 3.  . sin 3 x  s inx cot x dx sin 3 x. 2.. 3cosx  4sin x dx 2 x  4 cos 2 x. 2.  3sin 0. 3. . . 3.. 2.   cos x  sin x  dx 5. 4.. 5. 0. 1  sin 2 x sin x dx sin 2 x. 2.   6. . 5.. 4.  0. . s inx-cosx dx 1  sin 2 x. 2.  0.  15sin. . 4. 3 x cos 3 xdx. 2. . . 7.. 2. 6.. s inxcosx a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x. dx.  a, b  0 . 3. 8.  tan 6 xdx 0. . 9.. ln  s inx   cos2 x dx 3. 10..  cos4x.cos2x.sin2xdx. . 6. Trang 16. 0. 2. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC     sin  x   4 6 4 tan x 4  dx . ( KA-08) 11.  12.  dx . (KB-08) cos2x sin 2 x  2 1  s inx+cosx  0 0 . 13. 15.. . 0. x sin x   x  1 cosx 0 x sin x  cosx dx . (KA-2011 ). . . 2. 2 2   cos x  1 cos xdx . (KA-09 ). 1  x sin x 0 cos2 x dx . (KB-2011) 3. 14. 16.. 17.. 18.. . sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x. dx . (KA-06). sin 2004 x 0 sin 2004 x  cos2004 x dx .( CĐSPHN-05) 2. . sin 3 x  sin x dx . ( CĐHY-06) 1  cos3x 0. 19. .  . 2. x sin x 0 sin 2 x cos2 x dx . CĐST-05) 6. 2. 0.  3. 4. 3. 20.. 3. dx . CĐSPHN-06)   s inxsin  x+  6 3 .  .  2. 21.  sin 2 x 1  sin 2 x  dx . ( CĐKT-06) 3. 0. Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>