Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu bức thiết và đang trở thành
một phong trào rộng lớn trong toàn ngành Giáo dục và Đào tạo. Nhiệm vụ quan
trọng này đã được chỉ rõ ở Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung
Ương Đảng (khoá VIII ): “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc
phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thói quen, nếp tư duy sáng tạo của người
học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào
quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và định hướng tự học, tự nghiên cứu cho học
sinh ”. Điều 28, Luật giáo dục 2005 qui định: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh”.
Ở nước ta, trong những năm gần đây phong trào đổi mới PPDH đã phát triển
với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau như :
“lấy người học làm trung tâm ”, “ phát huy tính tích cực ”, “ phương pháp dạy học
tích cực ”, “ tích cực hố hoạt động học tập ”, “ hoạt động hố người học ”... và đã
có rất nhiều cơng trình nghiên cứu tiêu biểu về đổi mới phương pháp dạy học. Tuy
nhiên những nghiên cứu trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào
những chủ đề cụ thể chưa được đề cập nhiều.
Giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Giới hạn là cơ sở, hàm số là vật
liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân, nội dung bao trùm chương
trình giải tích 11,12 THPT. Mặc dù có vị trí quan trọng như đã nói, song trong thực
tiễn dạy và học chủ đề này vẫn cịn nhiều khó khăn: Đối với giáo viên, việc giúp
học sinh chuyển từ tư duy “ hữu hạn, rời rạc ” của đại số sang tư duy “ vơ hạn, liên
tục ” của giải tích, giúp học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa giới hạn cịn gặp
nhiều khó khăn nhất định, về phía học sinh, sự chuyển biến về chất trong nhận thức

đòi hỏi phải suy nghĩ, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo những qui tắc, định lý
vào từng bài toán cụ thể là rất khó khăn và cịn bộc lộ những sai lầm trong khi giải
toán.
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

1


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Như vây, việc đi sâu nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh vào một lĩnh vực cụ thể trong
mơn tốn là rất cần thiết, giúp người giáo viên nâng cao kiến thức và các kỹ năng
nghề nghiệp, phù hợp với định hướng về phương pháp dạy học tích cực của chương
trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn.
Với những lí do trên đây, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Dạy
học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt
động học tập của học sinh ”.
2.Tên sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng
tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Phan Thị Dung
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại: 0386356614
E mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Phan Thị Dung
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng với mơn tốn 11, đổi mới phương pháp nhằm nâng cao
chất lượng của môn học.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu : Tháng 2 năm 2018

7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Về nội dung của sáng kiến
Ngồi mục lục, lời nói đầu, tài liệu tham khảo sáng kiến gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận.
Chương này trình bày một cách khái qt về cơ sở lí luận của phương pháp dạy học
theo hướng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, là cơ sở cho các chương
sau.
Chương 2. Vận dụng một số biện pháp sư phạm dạy học chủ đề giới hạn
theo hướng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Với cơ sở lí luận của phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

2


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
tập của học sinh, tác giả đã đưa ra các biện pháp gợi vấn đề trong dạy học chủ đề
giới hạn, đưa ra quy trình dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ vận dụng vào chủ đề giới
hạn.
Chương 3. Những sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán giới hạn.
Chương này tác giả đưa ra một số sai lầm về kiến thức, kĩ năng và ví dụ về những
sai lầm học sinh thường gặp khi giải các bài toán về chủ đề giới hạn. Các ví dụ đó
được trình bày theo hệ thống các dạng vô định, trong mỗi dạng đều đưa ra những
bài tập điển hình, phân tích sai lầm, chỉ rõ ngun nhân dẫn đến sai lầm và cách
khắc phục những sai lẫm đó. Đây là một chương tham khảo rất hữu ích cho việc
giảng dạy của giáo viên và việc học tập chủ đề giới hạn của học sinh.
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH.


1.1.1. Khái niệm về tính tích cực học tập của học sinh.
Nói về tính tích cực, theo Kharlamov trong tài liệu Phát huy tính tích cực của
học sinh như thế nào: “ Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, nghĩa là
của người hành động ”.
Tích cực ở đây là tích cực trong hoạt động nhận thức như là một trạng thái
hoạt động được đặc trưng bởi khát vọng học tập, sự nỗ lực tự nguyện về mặt trí tuệ
và với nghị lực cao trong q trình nắm vững tri thức.
Cịn nói về nhận thức, như chúng ta đã biết, nhận thức là sự phản ánh không
phải như bức tranh những hiện tượng, sự kiện và quá trình của hiện thực vào ý thức
con người. Hình ảnh của đối tượng hiện thực xuất hiện trong ý thức thơng qua sự
phản ánh có tính chất cải tạo, bao gồm trong đó sự sáng tạo. Đó có thể là sự phản
ánh giống hệt của những đối tượng trong hiện thực và cũng có thể là sự tạo nên
những hình ảnh mới của sự vật, hiện tượng, q trình chưa có trong thế giới khách
quan bằng cách tổng hợp, xây dựng từ những hình ảnh của các bộ phận khác nhau
của sự vật, hiện tượng, quá trình đang tồn tại trong hiện thực.
Có thể nói con đường của nhận thức khoa học tức là con đường phát hiện
những thuộc tính bản chất và những quy luật của thực tại khách quan, là một quá
trình phức tạp và rất đa dạng. Khoa học không chỉ nghiên cứu những gì nằm trên bề
mặt và có thể tri giác trực tiếp được, mà chủ yếu còn đi sâu vào những gì thường ẩn
náu sau những biểu hiện bề ngồi và chỉ có thể được phát hiện bằng sức mạnh của
lí trí, của tư tưởng. Theo V.I. Lênin: sự nhân thức “từ trực quan sinh động đến tư
duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn đó là con đường biện chứng
của sự nhận thức chân lí, nhận thức thực tế khách quan”. (V.I. Lênin toàn tập, tập
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

3


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích

cực hố hoạt động học tập của học sinh.
152 ).
Hơn nữa, sự học tập lại là trường hợp riêng của hoạt động nhận thức, một sự
nhận thức đã được làm cho dễ dàng đi và được thực hiện dưới sự chỉ đạo của giáo
viên. Vì vậy bất kì một sự nhận thức nào, trong đó có sự học tâp là một q trình
tích cực.
Nói về tính tích cực nhận thức, có nhiều quan điểm khác nhau. Trong sáng
kiến này, tác giả đồng tình với quan điểm của I. F Kharlamov . “Tính tích cục nhận
thức là trạng thái hoạt động của học sinh , đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng
trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức”
1.1.2 Những biểu hiện của tính tích cực của học sinh.
Tính tích cực thể hiện ở tích cực bên trong và tích cực bên ngồi.
- Tính tích cực bên trong là tích cực tư duy. Đây là tư duy nhằm phát hiện,
tìm hiểu và giải quyết các vấn đề mới đặt ra bằng kiến thức và kĩ năng đang có.
- Tính tích cực bên ngồi thể hiện ở trong hành động, ngơn ngữ. Ta có thể
nêu ra những dấu hiệu bề ngồi của tích cực học tập như sau:
+ Học sinh khao khát trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời
của bạn, thích được phát phát biểu ý kiến của mình về vấn đề nêu ra.
+ Học sinh hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề giáo
viên trình bày chưa đủ rõ.
+ Học sinh chủ động vân dụng linh hoạt những kiến thức, kĩ năng đã học để
nhận thức vấn đề.
+ Học sinh mong muốn được đóng góp với thầy, với bạn những thông tin
mới lấy từ những nguồn khác nhau, có khi vượt ra ngồi phạm vi bài học, mơn học,
Ngồi những biểu hiện mà giáo viên dễ nhận thấy nói trên cịn có những biểu
hiện về mặt xúc cảm, khó nhận thấy hơn như thờ ơ hay hào hứng, phớt lờ hay ngạc
nhiên, hoan hỉ hay buồn chán trước một nội dung nào đó của bài học hoặc tìm ra lời
giải thích cho một bài tốn. Những biểu hiện khác nhau ở từng học sinh, bộc lộ rõ ở
học sinh các lớp dưới, kín đáo ở các lớp trên.
Tác giả cịn phân biệt tính tích cực về mặt ý chí đó là:

-

Tập trung chú ý vào vấn đề đang học.

-

Kiên trì làm cho xong các bài tập.

-

Khơng nản trước những tình huống khó khăn.

-

Thái độ phản ứng khi chuông báo hết giờ học: tiếc rẻ, cố làm cho xong

Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

4


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
hoặc vội vàng gấp vở ra chơi.
Ngồi ra, tính tích cực học tập cịn được phân ra làm ba cấp độ được biểu
hiện từ thấp đến cao:
- Tính tích cực bắt chước, tái hiện: xuất hiện do tác động bên ngoài, người học
làm theo mẫu, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào trong theo chế độ nhập nội.
Loại này phát triển mạnh ở học sinh tiểu học.
- Tính tích cực tìm tịi: đi liền với quá trình lĩnh hội khái niệm, giải quyết tình

huống, tìm tòi các phương thức hành động,... với sự tham gia của động cơ, nhu cầu,
hứng thú và ý chí.
- Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tịi kiến thức
mới, tự tìm ra phương thức hành động riêng, trong đó có cách thức giải quyết mới
mẻ, không dập khuôn, độc đáo.
Hiện nay, gắn liền với PPDH người ta thường dùng các khái niệm: tư duy
tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo. Đó là những mức độ tư duy khác nhau mà
mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau.
Có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những hình trịn đồng tâm như sau:
Tư duy tích cực
Tư duy sáng tạo
Tư duy độc lập

Ta làm sáng tỏ mối quan hệ này bằng ví dụ sau:
Một học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứng minh định lý, cố
gắng hiểu được tài liệu. Ở đây có thể nói đến tư duy tích cực.
Nếu giáo viên đáng lẽ giải thích lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lý dựa
theo sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này có thể
nói đến tư duy độc lập (và tất nhiên cũng là tư duy tích cực ).
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm ra cách
chứng minh mà học sinh đó chưa biết. Chỉ có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học
sinh đã có tư duy tích cực và tư duy độc lập.
Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập cho học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái
5


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
kiến thức là cách hiệu quả nhất để cho họ hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý

thức. Chủ thể sử dụng thơng tin xuất phát từ hành động của bản thân mình tốt hơn
là thơng tin từ sự kiện bên ngồi. Vốn kiến thức thu nhận được ở nhà trường chỉ
sống và sinh sơi nảy nở nếu học sinh biết sử dụng nó một cách độc lập, sáng tạo.
Tính độc lập thực sự của học sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết cách
tổ chức cơng việc của mình một cách hợp lý trến cơ sở quy trình được giáo viên
hướng dẫn.
1. 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HỐ
HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THƯỜNG ĐƯỢC VẬN DỤNG
TRONG DẠY TỐN PHỔ THƠNG.
Để có thể lĩnh hội một cách tích cực những tri thức mà con người đã khám
phá được và để tạo tiềm năng làm giàu thêm những tri thức đó thì khơng thể không
sử dụng những tiềm năng to lớn của PPDH.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học hợp tác nhóm nhỏ là một
số trong các PPDH có tác dụng kích thích tính tích cực học tập của học sinh.
1.2.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.1.1. Cơ
a.

sở lý luận :

Cơ sở triết học :

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Một vấn đề gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu
cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm sẵn có.
Cơ sở tâm lý học .

b.

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh

nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc
phục, một tình huống gợi vấn đề.
c.

Cơ sở giáo dục học.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác
và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi
động cơ trong q trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Nó cũng biểu hiện sự thống
nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất.
1.2.1.2.

Những khái niệm cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề:
a. Vấn đề trong dạy học:
Theo Nguyễn Bá Kim trong tài liệu phương pháp dạu học môn toán, trong
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

6


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
dạy học toán, một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi
(hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các yêu cầu sau:
- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (yêu cầu hành động cịn chưa được thực
hiện).
- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi hoặc
thực hiện yêu cầu đặt ra.

Trong dạy học tốn, câu hỏi hoặc u cầu hành động cịn được gọi là bài tập.
Như vậy mọi vấn đề đều là bài tập nhưng vấn đề không đồng nghĩa với bài tập. Nếu
bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một qui tắc có tính chất thuật giải
thì khơng phải là vấn đề.
Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết phương pháp khử dạng vô định

∞
∞

giáo viên cho

x −1
x →∞ x 2 + 2 x
2

lim

học sinh làm bài tập: Tìm
thì đây khơng phải vấn đề. Nhưng nếu ta đưa
bài tập này khi học sinh chưa biết phương pháp trên đây thì đây lại là vấn đề.
Vấn đề mang tính chất tương đối: cùng một bài tập nhưng đối với học sinh
này là vấn đề, đối với học sinh khác có thể khơng là vấn đề.
b. Tình huống gợi vấn đề trong dạy học:
Tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều kiện sau:
- Tình huống phải tồn tại các vấn đề mà trình độ nhận thức, kiến thức, kĩ
năng, kinh nghiệm sẵn có chưa giải quyết được, gây ra các khó khăn, nảy sinh mâu
thuẫn giữa thực tiễn và trình độ nhận thức.
- Gợi nhu cầu nhận thức: Nghĩa là tình huống đặt ra học sinh phải thấy cần
thiết phải giải quyết, tốt nhất là tạo ra sự ngạc nhiên, hứng thú.
- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Tức là tình huống đặt ra tuy chưa

giải quyết được ngay nhưng học sinh đã có những tri thức liên quan đến vấn đề và
nếu tích cực suy nghĩ thì có thể giải quyết được.
Ví dụ: Dạy học số hạng tổng quát của một cấp số cộng:
Cho một cấp số cộng mà ba số hạng đầu của nó lần lượt là 1, 7, 13.
Tìm các số hạng lần lượt là số hạng thứ 4, 5, 6 của cấp số cộng đó.
Lời giải:
Ta có:

d =6

nên

u4 = 13 + 6 = 19
u5 = 19 + 6 = 25

Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

7


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
u6 = 25 + 6 = 31

Hãy tính

u999 = ?
u2003 = ?

Khi đó học sinh sẽ khơng dễ dàng tính được như ở câu hỏi trước, lúc này học

sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề. Học sinh phải phân tích được q trình có
u 2 , u3 , u 4 , u 5 , u 6

ở trên.

u2 = 7 = 1 + 6 = u1 + d
u3 = 13 = 7 + 6 = u2 + d = u1 + d + d = u1 + 2d
u4 = 19 = 13 + 6 = u3 + d = u1 + 2d + d = u1 + 3d
u5 = 25 = 19 + 6 = u4 + d = u1 + 3d + d = u1 + 4d
u6 = 31 = 25 + 6 = u5 + d = u1 + 4d + d = u1 + 5d

Từ đó có dự đốn

un = u1 + ( n − 1) d
un

u1

Do đó nảy sinh vấn đề: có thể tính số hạng bất kỳ
của cấp số cộng theo
và
d được khơng?
Giải quyết được vấn đề thì học sinh sẽ đi đến định lý về số hạng tổng quát của
u1

cấp số cộng có số hạng đầu và cơng sai d.
c. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
Dạy học giải quyết vấn đề bao gồm việc tạo ra trước học sinh những tình
huống có vấn đề, làm cho các em ý thức được, thừa nhận và giải quyết những tình
huống này trong quá trình hoạt động chung của giáo viên và học sinh, với tính tự

lực cao nhất của học sinh và dưới sự chỉ đạo chung của giáo viên.
Cũng tương tự V.Ơkơn trong tài liệu dạy học nêu vấn đề, viết: “ Dưới dạng
chung nhất dạy học nêu vấn đề là tập hợp những hoạt động như tổ chức các tình
huống có vấn đề, giúp đỡ cần thiết cho học sinh trong việc giải quyết vấn đề , kiểm
tra những phép giải đó và cuối cùng quá trình hệ thống hố và cuối cùng củng cố
những kiên thức tiếp thu được ”.
Như vậy trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra
nhũng tình huống gọi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái
8


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác.
Do đó ta thấy hạt nhân của nó là việc điều kiển học sinh thực hiện hoặc hồ
nhập vào q trình nghiên cứu vấn đề.
Theo V.Ơkơn: “Nét quan trọng nhất của dạy học giải quyết vấn đề không
phải là việc đặt câu hỏi mà là việc tạo ra các tình huống có vấn đề
• Đặc điểm:
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau:
Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ khơng phải là được
thơng báo tri thức dưới dạng có sẵn.
Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri
thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ khơng phải nghe
thầy nói một cách thụ động .
Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho học sinh phát triển
khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác học sinh học được bản

thân việc học.
• Các cấp độ trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
- Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này tính độc
lập của người học được phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn
đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó.
- Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này tính độc
lập của người học cũng được phát huy cao độ nhưng quá trình phát hiện và giải
quyết vấn đề không diễn ra một cách đơn lẻ mà có sự hợp tác giữa những người
học
- Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này người học
sinh khơng hồn tồn độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề mà có sự gợi ý dẫn dắt
của thầy khi cần thiết.
- Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này mức
độc lập của học sinh thấp hơn ở các cấp độ khác, thầy giáo tạo ra các tình huống
gợi vấn đề sau đó thày phát hiện trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề đó.
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh sẽ phải trải qua các
khâu sau:
+ Quan sát và nghiên cứu các sự vật, hiện tượng.
+ Phát hiện vấn đề.
+ Nêu giả thuyết.
+ Lập kế hoạch nghiên cứu.
+ Thực hiện kế hoạch.
+ Phát biểu lời giải.
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

9


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.

+ Kiểm tra lời giải.
+ Rút ra những kết luận thực tiễn vế khả năng và sự cần thiết vận dụng tri
thức đã thu được vào thực tế.
• Các bước tiến hành dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
Ta thấy hạt nhân của cách dạy và học này là việc điều khiển học sinh tự thực
hiện hoặc hồ nhập vào q trình nghiên cứu vấn đề.
Q trình này có thể chia thành các bước như sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra.Có
thể xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ tốn học nhưng có thể liên tưởng đến những
cách tìm tịi dự đốn sau: Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế, hướng tới sự
tiện lợi, hợp lý hố cơng việc, chính xác hố một khái niệm, hướng tới sự hồn
chỉnh và hệ thống, lật ngược vấn đề, xét tương tự, khái qt hố, tìm sự liên hệ và
phụ thuộc.
- Giải thích và chính xác hố tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề
được đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp.
Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ
sau:
Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải
Pháp

đúng

Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

10


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.

Kết thúc

* Giải thích sơ đồ:
- Khi phân tích vấn đề cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái
phải tìm. Trong toán học ta thường dựa vào những tri thức toán đã học, liên tưởng
đến những định nghĩa và định lý thích hợp.
Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu
huy động tri thức thường hay sử dụng những phưong pháp kỹ thuật nhận thức, tìm
đốn, suy luận như: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy
biến, tương tự hoá, khái quát hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy
xuôi, suy ngược lùi,... Phương hướng được đề xuất là không bất biến, trái lại có thể
phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Khâu này có thể
được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi hợp lý.
- Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành
được một giải pháp.
- Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem có đúng đắn khơng.
Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu khơng đúng thì lặp lại từ khâu
phân tích vấn đề cho đến khi tìm ra giải pháp đúng.
Sau khi tìm ra một giải pháp, có thể tìm ra một giải pháp khác, so sánh chúng
với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.

Bước 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại tồn bộ từ việc
phát hiện vấn đề cho tới giải pháp.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả
Để xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật
ngược vấn đề,... và giải quyết nếu có thể.
d. Một số cách tạo tình huống có vấn đề.
Có một số cách thơng dụng để tạo ra tình huống gợi vấn đề như sau :
- Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm.
- Lật ngược vấn đề .
- Xem xét tương tự.
- Khái quát hoá .
- Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải.
- Tìm sai lầm trong lời giải.
Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.
e.Ý nghĩa của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học:
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

11


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có ý nghĩa vơ cùng to lớn trong việc
phát huy tính tích cực học tập của học sinh, tạo ra bầu khơng khí hứng thú sáng tạo
trong học tập, giúp học sinh làm quen với các cách giải quyết vấn đề, giúp họ tìm
hiểu cả logic, đơi khi có chứa mâu thuẫn của sự tìm tịi những cách giải quyết này.
Theo I.Ia.Lemer trong tài liệu dạy học nêu vấn đề viết, dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề có các chức năng :

Chuẩn bị cho thế hệ trẻ tham gia lao động, sáng tạo, biểu lộ tiềm lực sáng tạo
trong tất cả mọi lĩnh vực hoạt động mai sau.
Đảm bảo cho học sinh lĩnh hội một cách sáng tạo các tri thức và phương thức
hoạt động .
Đảm bảo cho học sinh nắm được một cách sáng tạo các phương pháp của
khoa học hiện đại ở trình độ vừa sức và cần thiết đối với mỗi học sinh.
Tuy nhiên, dù có một vai trị tích cực to lớn, dạy học phát hiên và giải quyết vấn đề
cũng không thể trở thành PPDH vạn năng để cung cấp kiến thức cho học sinh .
Theo I.Ia.Lemer: “ Chỉ có một số tri thức và phương pháp hoạt động nhất định
được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của dạy học giải quyết
vấn đề. Những tri thức và kĩ năng này được học sinh tự lực thu lượm trong quá
trình giải quyết vấn đề sẽ giúp hình thành những cấu trúc đặc biệt của tư duy. Nhờ
các tri thức đó, tất cả các tri thức khác mà học sinh đã lĩnh hội không phải trực tiếp
bằng PPDH giải quyết vấn đề, sẽ được chủ thể chỉnh đốn lại, cấu trúc lại. Các cấu
trúc trí tuệ hình thành nhờ dạy học giải quyết vấn đề là những phương tiện không
thể thiếu được để thực hiện sự chỉnh đốn đó ”.
1.2.2 Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ:
a. Thế nào là dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ ?
Lớp học được chia thành các nhóm từ 4 - 6 người. Tuỳ theo mục đích, yêu
cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên hoặc có chủ định, ổn
định trong cả tiết học hoặc thay đổi trong từng phần của tiết học, các nhóm được
giao cùng một nhiệm vụ hoặc các nhiệm vụ khác nhau. Trong nhóm có thể phân
cơng mỗi nhóm viên hồn thành một phần việc.
Trong nhóm nhỏ, mỗi thành viên đều phải làm việc tích cực, khơng ỷ lại vào
một số thành viên tích cực hơn. Các thành viên trong nhóm giúp đỡ nhau tìm hiểu
vấn để trong khơng khí thi đua với nhóm khác.
Kết quả làm việc của mỗi nhóm sẽ đóng góp vào kết quả học tập chung của
cả lóp. Đến khâu trình bày kết quả làm việc của nhóm trước tồn lớp, nhóm có thể
cử ra một đại diên hoặc có thể phân cơng mỗi nhóm viên trình bày một phần nếu
vấn đề học tập khá phức tạp.

b. Các bước tiến hành tổ chức dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.
Bước 1: Làm việc chung cả lớp.
+ Nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức.
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

12


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
+ Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ.
+ Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm.
Bước 2: Làm việc theo nhóm.
+ Trao đối ý kiến thực hiện trong nhóm.
+ Phân cơng trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập và trao đổi.
+ Cử đại diện trình bày tổng hợp kết quả làm việc của nhóm.
Bước 3: Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp.
+ Đại diện các nhóm lần lượt báo cáo kết quả.
+ Thảo luận chung.
+ Giáo viên tổng kết, đặt vấn đề cho bài tiếp theo hoặc vấn đề tiếp theo.
c. Những ưu điểm và hạn chế khi dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ:
* Ưu điểm:
Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ trong mơn tốn cho phép các thành viên
trong nhóm chia sẻ các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân, cùng nhau
xây dựng nhận thức mới. Bằng cách nói ra những điều đang nghĩ, mỗi người có thể
nhận rõ trình độ hiểu biết của mình về chủ đề nêu ra, thấy được mình cần học hỏi
thêm những gì. Bài học trở thành q trình học hỏi lẫn nhau chứ khơng phải là sự
tiếp nhận thụ động từ giáo viên.
* Hạn chế:
Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ bị hạn chế bởi không gian chật

hẹp của lớp học, bởi thời gian hạn định của tiết học nên giáo viên phải biết tổ chức
hợp lý và học sinh đã khá quen với phương pháp này thì mới có kết quả. Trong dạy
học hợp tác theo nhóm nhỏ, giáo viên phải quan sát để không một học sinh nào
không làm việc hoặc ỷ lại vào thành viên khác của nhóm. Mặt khác cần tránh lạm
dụng chia nhóm một cách khiên cưỡng, khơng cần thiết, mất thời gian vơ ích. Mặt
khác, nếu học sinh chỉ biết phần viộc của nhóm mình được giao, thì cuối tiết học có
thể kiến thức của bài học trở thành một vài chi tiết chắp vá trong đầu học sinh.
Tóm lại với những thế mạnh của dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ sẽ:
Góp phần tạo ý thức tự chủ, độc lập của học sinh.
Tạo cơ hội để học sinh hoà nhập cộng đồng, tập lắng nghe ý kiến của người
khác, tập thể hiện quan điểm của bản thân.
Tạo cơ hội để học sinh nâng cao năng lực hợp tác, biết đánh giá ý kiến của
bạn, xác định trách nhiệm trong tập thể. Nếu người giáo viên biết vận dụng một
cách hợp lí sẽ góp phần đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt
động học tập của học sinh.
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

13


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
* Kết luận chương 1
Về cơ bản chương 1 đã nêu tương đối đầy đủ cơ sở lí luận của phương pháp
dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, bao gồm khái
niệm về tính tích cực học tập của học sinh, những biểu hiện của tính tích cực của
học sinh. Đặc biệt tác giả đã đưa ra hai phương pháp dạy học theo hướng tích hố
hoạt động học tập của học sinh thường được vận dụng trong dạy toán phổ thơng.
Đó là phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác theo
nhóm nhỏ. Mỗi phương pháp đều được trình bày kỹ từ cơ sở lí luận cho đến khái

niệm, đặc điểm, ưu điểm, nhược điểm và các bước tiến hành phương pháp. Chương
1 là cơ sở lý thuyết cho chương 2.

Chương 2
VẬN DỤNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HỐ
HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH
2.1. MỤC TIÊU DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
* Kiến thức : Học sinh phải nắm được :
+ Các khái niệm :
Dãy số có giới hạn 0.
Dãy số có giới hạn là một số thực.
Dãy số có giới hạn là

+∞

−∞

Dãy số có giới hạn là
Giới hạn của hàm số tại một điểm.
Giới hạn của hàm số tại vô cực.
Giới hạn một bên của hàm số.
Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn.
+ Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số.
+ Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực.
+ Một vài tính chất cơ bản của hàm số liên tục.
* Kĩ năng:
+ Học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt các định lí về giới hạn hữu hạn
và các quy tắc tìm giới hạn vơ cực để từ các giới hạn đơn giản đã biết tìm được giới
hạn của các dãy số và hàm số khác.

Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái
14


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
+ Biết tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
+ Biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một
đoạn, biết áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh
sự tồn tại nghiêm của một phương trình đơn giản.
* Tư duy:
+ Phát triển tư duy trừu tượng qua phương pháp hình thành khái niệm giới
hạn của dãy số.
+ Phát triển tư duy biện chứng qua xét mối quan hệ giữa các khái niệm: giới
hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục.
+ Mở rộng nhãn quan toán học khi nghiên cứu nhiều nội dung toán học nhờ
phương pháp chuyển qua giới hạn.
2. 2. NỘI DUNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
Theo phân phối chương trình đổi mới mơn tốn THPT Bộ Giáo dục và Đào
tạo, Đại số và Giải tích lớp 11. Chương giới hạn gồm hai phần:
Phần A: Giới hạn của dãy số:
Phần B: Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục.
Nội dung chương giới hạn được thể hiện trong sách giáo khoa đổi mới của
Bộ Giáo dục & Đào tạo: Đại số và giải tích 11, Đại số và giải tích 11 nâng cao, Bài
tập đại số và giải tích 11, Bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao, Tài liêu bồi dưỡng
giáo viên lớp 11, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11...Theo tinh thần của sách
giáo khoa mới, chương giới hạn cũng được biên soạn theo hướng: giảm nhẹ lí
thuyết, tăng cường thực hành, coi trọng vai trị của ghi nhận trực giác. Coi trọng rèn
luyện khả năng quan sát, dự đốn, coi trọng tính thực tiễn, tạo thuận lợi cho việc sử
dụng các thiết bị dạy học và ứng dụng công nghệ thông tin. Đặc biệt là tăng cường

các hoạt động của chính bản thân học sinh.
Giới hạn là một kiến thức mới đối vói học sinh; nó được áp dụng nhiều trong
toán học và là cơ sở của giải tích hiện đại nên dễ gây được hứng thú học tập cho đa
số học sinh. Cách trình bày, diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa là tương đối dễ
hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Số lượng bài tập là vừa phải nên
không gây tình trạng quá tải đối với đa số học sinh mà vẫn đảm bảo việc rèn luyên
kĩ năng tính toán.
Tuy nhiên, việc dạy học chủ đề giới hạn của giáo viên và việc tiếp cận kiến
thức về giới hạn của học sinh cịn gặp những khó khăn sau:
Một là, đối với học sinh, với tư duy ở trình độ THPT thì Giới hạn là kiến
thức mới và khó; lần đầu tiên học sinh được tiếp xúc, vì thế khơng tránh khỏi
những bỡ ngỡ và lúng túng khi học nội dung này.
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

15


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Hai là, số tiết giành cho chương trình cịn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến
thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lí ngại khó khi học nội
dung này.
Ba là, trong quá trình giảng dạy nội dung này, giáo viên thường sử dụng
phương pháp truyền thống mà chủ yếu là phương pháp thuyết trình và trực quan để
truyền thụ kiến thức cho học sinh. Từ đó dẫn đến dạy học nội dung này chưa đạt
hiệu quả cao.
Chính vì vậy, nếu giáo viên biết vận dụng phương pháp dạy học tích cực và
đưa ra các biện pháp dạy học thích hợp thì học sinh sẽ nắm vững được lý thuyết và
vận dụng tốt để giải bài tập.
2.3. CÁC BIỆN PHÁP GỢI VẤN ĐỀ TRONG DẠY CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN.

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tạo ra tình
huống gợi vấn đề. Khi dạy học chủ đề giới hạn có thể có một số cách sau đây để tạo
ra tình huống gợi vấn đề:
2.3.1. Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiêm (tính tốn đo đạc...)
Ví dụ 1: Xét dãy số

(U n )

Un =

với

(−1) n
n

tức là dãy số:

1 1 1 1
1
1
1 1
−1, , − , , − ,..., , − ,..., , ,...
2 3 4 5
10 11
23 24

Em hãy biểu diễn các số hạng của dãy số đã cho trên trục số và nêu nhận xét
Un

về điểm biểu diễn các số hạng của dãy số đó, khoảng cách từ điểm

đến điểm
0 ? Từ số hạng bao nhiêu trở đi, mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối
1 1 1 1
, , ,
10 23 50 100

nhỏ hơn
?
Học sinh có thể nêu nhận xét sau:
- Điểm biểu diễn các số hạng của dãy số trên nằm trên một đoạn thẳng.
- Khi n càng lớn thì các điểm biểu diễn càng gần với điểm biểu diễn số 0.
Un =

Khoảng cách
là n đủ lớn.

1
n

từ điểm

Un

đến điểm 0 nhỏ bao nhiêu cũng được miễn

Un

Học sinh có thể lập bảng tính
như sau:
n

1 2 3 ... 10 11 ... 23 24 ... 50
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

51 ... 500 ...
16


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
1
2

Un

1

1
3

...

1
10

1
11

...

1

23

1
24

...

1
50

1
51

...

1
500

...

Từ bảng trên, học sinh có thể nhận xét:
+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 11 trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn
Un =

1
10

, tức là:


1
1
<
n 10

với

∀n > 10

+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 24 trở đi, đều có giá trị
1
23

tuyệt đối nhỏ hơn
Un =

1 1
<
n 23

, tức là:

với

∀n > 23

+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 51 trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn
Un =


1
50

1 1
<
n 50

, tức là:

với

∀n > 50

+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 501 trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn
Un =

1
500

1
1
<
n 500

, tức là:

với

∀n > 500


Un

Từ việc biểu diễn các số hạng của dãy số và tính tốn trực tiếp
, học sinh
có ý niệm về hình ảnh các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số: Khi
chỉ số tăng lên vô hạn thì các điểm biểu diễn qui trị dần tới một điểm xác định trên
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

17


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
trục số, đó là điểm 0 và mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ
hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ đó học sinh sẽ hiểu được định nghĩa dãy số có giới hạn 0. (từ hình ảnh
trực quan và tính tốn thực nghiệm chuyển sang khái niệm tốn học trừu tượng ).
Ví dụ 2: Cho 3 hàm số:

(1)

x2 − 4
f ( x) =
x−2
 x2 − 4
,x ≠ 2

f ( x) =  x − 2
3, x = 2



(2)

(3)
a) Hãy so sánh

 x2 − 4
,x ≠ 2

f ( x) =  x − 2
 4, x = 2


f (2)

lim f ( x )

và

x →2

của từng hàm số đó.

b) Vẽ đồ thị của các hàm số và nêu nhận xét về các đồ thị đó.

Học sinh sẽ có được hình ảnh trực quan và nội dung khái niệm hàm số liên
tục tại điểm

x0 = 2


Ví dụ 3: Có thể đốn nhận tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn bằng hình học như sau:
Cho cấp số nhân

1 1 1
1
, 2 , 3 ,... n ...
2 2 2
2

S=

Ta có thể đoán nhận tổng

1 1
1
+ 2 + ... n + ... = 1
2 2
2

Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

nhờ hình sau:

18


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.


Ở hình trên: Trung điểm của đoạn
1 
 2 ,1

là điểm

1 1
+
2 22

trung điểm của đoạn

[ 0,1]

là điểm

1 1 
 2 + 22 ,1

1
2

, trung điểm của đoạn

là điểm

1 1 1
+ +
2 2 2 23


, ... Do đó

1 1
1
+ 2 + ... n + ... = 1
2 2
2

2.3.2. Xem xét tương tự
Ví dụ 1: Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, bằng cách tương tự cho học sinh phát
biểu khái niệm “giới hạn của hàm số tại vơ cực”, “giới hạn một bên”.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí giới hạn của “tổng, hiệu, tích, thương các hàm số”, tính
duy nhất về giới hạn của hàm số, các quy tắc tìm giới hạn vơ cực của hàm số, giới
hạn kẹp của hàm số. Giáo viên có thể cho học sinh phát biểu định lí về giới hạn của
“tổng, hiệu, tích, thương các dãy số”, tính duy nhất về giới hạn của dãy số, giới hạn
kẹp của dãy số. Từ đó gợi vấn đề: phải chăng đối với hàm số ta cũng có định lí
tương tự?
2.3.3. Khái qt hố

Ví dụ 1 : Cho hai dãy số
n →∞

xn =

với

lim yn lim ( xn + yn )

lim xn


Tìm

( xn ) , ( yn )

;

n →∞

,

n →∞

n −1
2n

yn =

,
lim

lim ( xn . yn )

,

n →∞

n →∞

,


3n
n +1

,

xn
yn

Có nhận xét gì vể mối liên hệ giữa các giới hạn đó? Từ đó, nhờ khái qt hố đi
đến các định lí về phép toán trên các giới hạn của các dãy số .
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

19


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Ví dụ 2: Sau khi học sinh đã giải các bài tập tìm giới hạn của thương hai đa thức cụ
thể :
x3 + 2 x − 1
x →±∞
2 x2 + 1
lim

x4 + 2
x →±∞ 3 x 4 + x − 5
lim

,


9 x2 + 4 x − 4
x →±∞ x 5 − 3 x 2 + 4
lim

,

;

có thể yêu cầu nêu kết quả tổng quát về giới hạn hai thương đa thức
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1x + an
g ( x ) = b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm −1 x + bm a0 , b0 ≠ 0

,

khi

x → ±∞

Ví dụ 3: Xét bài tốn:
f ( x) =

Cho hàm số
là

xn ≠ 2

với

∀n


2 x2 − 8
x−2

) sao cho

và 1 dãy số bất kỳ
lim xn = 2

Hãy xác định các giá trị tương ứng

x1 , x2 ,....xn ,...

những số thực khác 2 (tức

(1)
f ( x1 ) , f ( x2 ) ,....., f ( xn ) ,....

lim f ( xn )

của hàm số và tìm

Giải

Vì

xn ≠ 2

Do đó

f ( xn ) =


nên

f ( x1 ) = 2 ( x1 + 2 )

Từ (1) suy ra:

2 ( xn2 − 4 )
xn − 2

,

= 2 ( xn + 2 )

f ( x2 ) = 2 ( x2 + 2 )

với mọi n
, ...

f ( xn ) = 2 ( xn + 2 )

, ...

lim f ( xn ) = lim 2 ( xn + 2 ) = 2 ( limx n + 2 ) = 2 ( 2 + 2 ) = 8

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 8 khi x dần đến 2
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm:
Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và f là một hàm số xác định trên
khoảng (a; b) có thể khơng xác định tại điểm x 0 ta nói rằng hàm số f có giới hạn là
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái


20


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
số thực L khi x dần tới x 0 (hoặc tại điểm x0) nếu vói mọi dãy số
( a; b) \ { x0 }

( tức là

lim f ( xn ) = L

xn ∈

(a; b) và

xn ≠ x0

với

∀n

( xn )

trong tập hợp

lim xn = x0

) mà


ta đều có

.

Khi đó ta viết
lim f ( x ) = L

x → x0

hoặc

f ( x) → L

khi

x → x0

2.3.4. Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải để giải trực tiếp
Khi học sinh được giao một bài tập mà họ chưa biết thuật giải để giải trực
tiếp thì tức là tình huống có bao hàm một vấn đề. Vấn đề này gợi nhu cầu nhận thức
và khơi dậy ở họ niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kĩ năng của bản thân vào
việc giải quyết vấn đề, bởi vì kinh nghiệm từ quá trình học tập cho họ thấy rằng
mỗi bài tập thầy ra đều dẫn đến một tri thức bổ ích, hoặc giúp củng cố một tri thức
đã học hay rèn luyện một kĩ năng nào đó, và họ cũng thấy rằng khi giải những bài
tập như vậy chỉ cần sử dụng những tri thức đã được học.
Ví dụ: Khơng giải phương trình hãy chứng minh rằng:
Phương trình
Phương trình
Phương trình


x 2 − 3x + 1 = 0

có một nghiệm trên khoảng

x3 − x 2 − 5 x + 2 = 0
x3 + 2 x − 2 = 0

( 0;1)

có một nghiệm trên khoảng

có một nghiệm trên khoảng

( 0;1)

.

( 0;1)

.

.

Đối với phần a), học sinh phải sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
Đối với phần b), sau khi biến đổi
việc xét sự có nghiệm của phương trình
xét sự có nghiệm của phương trình

x 3 − x 2 − 5 x + 2 = ( x + 2 ) ( x 2 − 3x + 1)

x3 − x 2 − 5 x + 2 = 0

x2 − 3x + 1 = 0

trên khoảng

trên khoảng

( 0;1)

ta đưa được

( 0;1)

về việc

.

Đặt vấn đề: Đối với phương trình f(x) = 0 , trong đó f(x) là đa thức bậc cao khó
phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, thì có cách
nào xét sự có nghiệm của phương trình đó hay khơng ? Từ đó đi đến việc sử dụng
hệ quả của định lí 2 ( định lí về giá trị trung bình của các hàm số liên tục ):
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

21


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất

∈
một điểm c (a;b) sao cho f(c) = 0. Từ đó ta có lời giải cho các bài tập trên như
sau:
f ( x) = x 2 − 3 x + 1

a,

liên tục trên

[ 0;1]

.

f (0) = 1 > 0
f (1) = −1 < 0

( 0;1)

Vì

f (1). f (0) < 0

sao cho
x=c

khoảng

f (c ) = 0

chính là một nghiệm của phương trình


f ( x ) = x − x − 5x + 2
3

b,

∈

nên theo hệ quả trên, tồn tại ít nhất một điểm c

2

f (0) = 2

liên tục trên

[ 0;1]

f ( x) = 0

trên khoảng

( 0;1)

.

f (1) = −3
f (1). f (0) = −6 < 0

Vì

sao cho f(c) =0
x=c

nên theo hệ quả trên, tồn tại ít nhất một điểm c

chính là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên khoảng

f ( x ) = x + 2x − 2
3

c,

f (0) = −2

liên tục trên đoạn

[ 0;1]

( 0;1)

∈

( 0;1)

.

.

f (1) = 1


Vì

f (1). f (0) = −2 < 0

sao cho

f ( x1 ) = 0

nên theo hộ quả trên, tồn tại ít nhất một điểm

x = x1

f ( x) = 0

x1 ∈ ( 0;1)

( 0;1)

chính là một nghiệm của phương trình
trên khoảng
.
2.3.5. Tìm sai lầm trong lời giải.
Khi học sinh được yêu cầu tìm sai lầm trong một lời giải ( có thật hay hư cấu)
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

22


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.

do thầy đưa ra thì tức là tình huống bao hàm một vấn đề, bởi vì nói chung khơng có
thuật giải để phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản
thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, khơng thể chấp nhận lời
giải sai. Nó cũng gây cho người học niềm tin ở khả năng huy động tri thức, kĩ năng
sẵn có của bản thân mình vì họ hiểu rõ lời giải có sai chỉ liên quan đến tri thức đã
học
Ví dụ 1:
Tìm giới hạn:
Lời giải 1:

2
n 
 1
lim  2 + 2 + ... + 2 ÷
n →∞ n
n
n 


2
n 
1
2
n
 1
lim  2 + 2 + ... + 2 ÷ = lim 2 + lim 2 + ... + lim 2 = 0 + 0 + ... + 0 = 0
n →∞
n →∞ n
n →∞ n
n

n  n →∞ n
n

Lời giải 2:

n ( n + 1)
2
n 
1 + 2 + ... + n
n +1 1
 1
2
lim  2 + 2 + ... + 2 ÷ = lim
= lim
= lim
=
2
2
n →∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
n 
n
n
2n

2
n

Trong hai lời giải đó, lời giải nào đúng? Lời giải nào sai? Sai ở đâu?
lim x − 1

Ví dụ 2: Khi bắt đầu dạy giới hạn một bên, cho học sinh tìm

x →1

lim x − 1 = 0
x →1

Hầu hết học sinh đề cho rằng
Thực ra giới hạn này không tồn tại. Sai lầm này nảy sinh do học sinh không
f ( x) = x −1

x →1

chú ý đến điều kiện để xét giới hạn của hàm số
khi
là phải có
một khoảng K chứa điểm 1 mà f(x) xác định trên cả khoảng đó hoặc chỉ có thể xác
K \ { 1}

định trên tập hợp
.
Từ đó đặt vấn đề mở rộng khái niệm giới hạn để có khái niệm giới hạn một
bên.
Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số:

0, x < 0

f ( x ) =  x2 , 0 ≤ x < 1
− x 2 − 2 x + 1, x ≥ 1


Giáo viên tung ra tình huống:
Có một học sinh đã giải bài toán này như sau:
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

23


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Ta thấy rằng:
Với
Với

∀x ∈ ( −∞; 0 )

∀x ∈ [ 0;1)

∀x ∈ [ 1; +∞ )

thì

thì

f ( x) = 0


f ( x ) = x2

f ( x ) = − x2 − 2 x + 1

Với
thì
Tức là trên từng khoảng, nửa khoảng đã chỉ ra ở trên, f(x) đều là những đa
thức hữu tỷ nên nó liên tục trên các khoảng và nửa khoảng đó.
Ta lại có:

( −∞;0 ) ∪ [ 0;1) ∪ [ 1; +∞ )

∀x ∈ ( −∞; +∞ )

Kết luận: Vậy f(x) liên tục
Giáo viên yêu cầu học sinh, hãy tìm sai lầm trong lời giải trên?
Tiếp xúc với các bài toán về tìm giới hạn, học sinh rất dễ bị mắc sai lầm .
Các sai lầm xuất phát từ việc nắm không vững quy tắc vận dụng các định lí về giới
hạn, đặc biệt là các phạm vi có hiệu lực của định lí. u cầu học sinh tìm và sửa
chữa sai lầm có thể xuất hiện trong q trình giải tốn của họ chính là đã đặt học
sinh vào tình huống gợi vấn đề.
2.3.6. Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.
Sau khi phát hiện thấy một sai lầm, học sinh đứng trước một nhiệm vụ nhận
thức: Tìm nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm. Đó là một tình huống gợi vấn
đề bởi vì đối chiếu vối ba điều kiện của tình huống gợi vấn đề ta thấy:
Một là, học sinh chưa có sẵn câu trả lời và cũng khơng biết một thuật giải
nào để có câu trả lời.
Hai là, học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề, họ không thể chấp nhận để
nguyên nhân sai lầm mà không sửa chữa.

Ba là, vấn đề này có liên quan tới tri thức sẵn có của họ, khơng có gì vượt
q u cầu. Họ thấy nếu tích cực suy nghĩ vận dụng tri thức đã học thì có thể tìm
ra ngun nhân sai lầm.
I = lim

Ví dụ 1: Tính giới hạn
Sai lầm thường gặp:

x →∞

(
lim ( x + 1 − x ) = lim
2

x →∞

x →∞

(

x2 + 1 − x

x2 + 1 − x

)(

)

x2 + 1 + x


x +1 + x
2

) = lim ( x + 1) − x

Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên không xét các giới hạn riêng
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

2

x →∞

2

x +1 + x
2

= lim

x →∞

1
x +1 + x
2

=0

x → +∞, x → −∞


24


Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích
cực hố hoạt động học tập của học sinh.
Lời giải đúng:
lim

x →+∞

(

x +1 − x
2

x → −∞

)

(
= lim

x2 + 1 − x

)(

x2 + 1 + x

x2 + 1 + x


x →+∞

lim

− x → +∞

x →−∞

) = lim ( x + 1) − x
2

x →+∞

2

x2 + 1 + x

= lim

x →+∞

1
x2 + 1 + x

=0

(1)

)


(

x 2 + 1 − x = +∞

Khi
thì
nên
(2)
Từ (1),(2) suy ra không tồn tại giới hạn mà chỉ tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải
Ví dụ 2: Tính giới hạn
Sai lầm thường gặp

 1
1
1 
I = lim 
+
+ ... +
÷
2
n →+∞
n2 + 2
n2 + n 
 n +1

 1 
 1 
 1 
lim 
= lim 

= ... = lim 
÷
÷
÷= 0
2
2
2
n →+∞
n →+∞
n →+∞
n
+
1
n
+
2
n
+
n







Do

 1
1

1 
lim 
+
+ ... +
÷ = 01+402+ ...
4 +30 = 0
2
2
2
n →+∞
n +2
n +n 
n
 n +1

Nên
Nguyên nhân sai lầm:
Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc có giới hạn 0, tức là các
phép toán giới hạn tổng, hiệu chỉ phát biểu cho hữu hạn các số hạng
Lời giải đúng:
1
n2 + n

Do
1

n +n
2

lim


≤

n →+∞

Mà

≤

1
n2 + k

1
n +1
2

n
n2 + n

+

≤

1
n2 + 0

1
n +2

= lim


2

n →+∞

=

+ ... +

1
1
1+
n

1
n

với
1

n +n
2

∀k = 1, n

≤

nên:

n

=1
n

=1

. Theo định lí kẹp về giới hạn của dãy số

 1
1
1 
⇒ lim 
+
+ ... +
÷= 1
2
2
2
n →+∞
n +2
n +n 
 n +1

Tìm sai lầm trong lời giải phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm
các bài toán về giới hạn sẽ được nghiên cứu sâu trong chương III của khóa luận
2.3.7. Đặt thêm câu hỏi sau mỗi bài tập.
Ví dụ: Khi dạy tìm giới hạn vơ định bằng phương pháp thêm bớt giáo viên có thể
Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái

25